El documento resume los resultados clave de un estudio pionero sobre la evolución de la cooperación realizado por Robert Axelrod en 1984. En el estudio, Axelrod invitó a expertos en teoría de juegos a participar en un torneo computarizado del dilema del prisionero iterativo. La estrategia ganadora fue "TIT FOR TAT", que coopera en la primera jugada y luego replica la acción del oponente en la jugada anterior. Axelrod también analizó propiedades teóricas de las estrategias cooperativas y determinó que ser "indul

1. La evolución de la cooperaciónRobert Axelrod, 1984 Presentación para Microeconomía 2 Maestría en Economía Universidad ORT Uruguay 2011

2. El Torneo Axelrod convoca a varios conocedores de teoría de juegos de diversas áreas del conocimiento Cada uno debe presentar una estrategia para participar en un torneo computarizado del dilema del prisionero iterativo. Cada estrategia se enfrentará contra todas las demás estrategias, contra si misma y contra una estrategia llamada “azar” Cada enfrentamiento consiste de 200 jugadas Se presentan 14 participantes de 5 disciplinas diferentes El objetivo es maximizar las ganancias totales, no los “mano a mano” ganados

3. El Juego Condiciones Generales: T > R > P > S R > (T+S)/2

4. Resultados

5. TIT FOR TAT Fue la estrategia ganadora de la primera ronda Consiste en comenzar cooperando y a partir de la segunda jugada, hacer lo mismo que hizo el oponente en la jugada anterior Observaciónes: Es imposible ganar una partida individual con esta estrategia. El maximo puntaje que puede obtener en una ronda es R*n (600 en el caso de este torneo), que es el resultado de la mutua cooperación en todas las jugadas

6. Análisis de los resultados El autor se pregunta: Hay alguna característica de las estrategias que tenga correlación con los resultados? Las reglas “decentes” quedaron en los primeros 8 lugares y las reglas “no decentes” obtuvieron las últimas colocaciones Definición: Decimos que una regla es decente si nunca es la primera en engañar Si el final del juego es conocido, podemos incluir dentro de las reglas decentes a las reglas que no son las primeras en engañar antes de las últimas jugadas La diferencia fue tan grande, que las reglas decentes puntuaron entre 472 y 504 mientras que la regla no decente que obtuvo mayor puntaje obtuvo 401

7. Análisis de los resultados Observaciones: Las reglas decentes prosperaron porque había un número suficientemente grande de ellas Dentro de las reglas decentes, las 2 que mejor puntuaron fueron las más indulgentes Ex-post, se pueden encontrar reglas que mejoren el resultado de TIT FOR TAT (Downing - 542, TIT FOR 2 TATS - 532, PROSPECTIVA - 520)

8. Segunda Ronda Para poder obtener mejores conclusiones, Axelrod organizó un segundo torneo. Se presentaron 62 participantes. Se dieron a conocer previamente los resultados del primer torneo, así como las principales conclusiones. Se modificó el problema del horizonte conocido de la ronda anterior, ya que la duración del juego se determinaba probabilísticamente (p=0,00346 ; w=1-p)

9. Resultados Nuevamente ganó TIT FOR TAT De las 15 primeras, 14 eran decentes De las 15 últimas, 14 eran no decentes La correlación entre decencia y puntaje fue 0,58 Otras dos características exitosas fueron la “provocabilidad” y la indulgencia.

10. Robustez de TIT FOR TAT Se probó la estrategia en 6 torneos hipotéticos diferentes. Ganó 5 y quedó 2da en el restante Se utilizó también un enfoque evolutivo: Se repite el torneo indefinidamente En cada ronda, la proporción de participantes con cada estrategia depende del puntaje que haya obtenido dicha estrategia TIT FOR TAT es nuevamente la “ganadora” ya que es la que más crece

12. Proposiciones Teóricas Proposición 1: Si la tasa de descuento es lo suficientemente grande, no existe una estrategia óptima que sea independiente de las aplicadas por los demás jugadores

13. Proposiciones Teóricas Def: Decimos que la estrategia A invade a la estrategia B si en un mundo donde todos juegan B y un solo individuo juega A, La estrategia A obtiene en promedio mejores resultados Def: Una estrategia es colectivamente estable si no puede ser invadida por ninguna estrategia. Proposición 2: TIT FOR TAT es colectivamente estable sii w≥ max {(T-R)/(T-P) ; (T-R)/(R-I)}

14. Proposiciones Teóricas Dem: TIT FOR TAT juega de acuerdo a lo que el oponente haya jugado la jugada anterior (y asume en la primera jugada que el oponente cooperó en -1) Cualquier estrategia que juegue contra TFT, después de jugar C, lo mejor que puede hacer es jugar C o D; y lo mejor que puede hacer luego de jugar D es jugar C o D. De esta forma, quedan determinadas las 4 posibles estrategias óptimas contra TFT. Jugar repetidamente CC, CD, DC o DD CD está dominada por CC y CC a su vez obtiene los mismos resultados que TFT por lo tanto no puede invadirla. Si ni DD ni DC pueden invadir a TFT, entonces ninguna estrategia puede hacerlo.

15. Proposiciones Teóricas Dem: DD no invade a TFT sii V(DD|TFT) ≤ V(TFT|TFT) -> T+wP/(1-w) ≤ R/(1-w) -> w ≥ (T-R)/(T-P) DC no invade a TFT sii V(DC|TFT) ≤ V(TFT|TFT) ->(T+wI)/(1-w2) ≤ R/(1-w) -> w ≥ (T-R)/(R-I)

16. Proposiciones Teóricas Proposición 3: Si w es lo suficientemente grande, cualquier estrategia A que pueda ser la primera en cooperar puede ser colectivamente estable. Dem: Si A coopera en la primera jugada: V(SD|A) ≥ T + wP/(1-w) V(A|A) ≤ R/(1-w) Si T + wP/(1-w)≥ R/(1-w) -> V(SD|A) ≥ V(A|A) (T-R)/(T-P) ≥ w -> V(SD|A) ≥ V(A|A)

17. Proposiciones Teóricas Proposición 4: Para que una estrategia decente sea colectivamente estable, es necesario que sea provocada por la primera defección del otro jugador. Dem: Si una estrategia decente no es provocada por una defección en la jugada n, puede ser invadida por una estrategia que coopere siempre y engañe en la jugada n

18. Proposiciones Teóricas Proposición 5: La estrategia SD es colectivamente estable siempre. Dem: V(X|SD)≤ P/(1-w) para toda X V(SD|SD) = P/(1-w) -> V(X|SD) ≤ V(SD|SD) para toda X

19. Proposiciones Teóricas Def: Una estrategia es maximalmente discriminante si puede cooperar alguna vez aunque el otro no haya cooperado nunca hasta entonces, si una vez que coopera, nunca vuelve a cooperar con SD pero coopera siempre con si misma Proposición 6: Las estrategias capaces de invadir a SD en clusters de mínimo valor de p son maximalmente discriminantes

20. Proposiciones Teóricas Dem: Para que un cluster de A logre invadir a SD debe ocurrir que pV(A|A) + (1-p)V(A|SD) > V(SD|SD) -> p > [V(SD|SD)-V(A|SD)]/[V(A|A)-V(A|SD)] p es mínimo cuando V(A|A) y V(A|SD) son máximos -> p es mínimo si A es maximalmentediscriminante

21. Proposiciones Teóricas Proposición 7: Si una estrategia decente es colectivamente estable, entonces no puede ser invadida por ningún cluster. Dem: Para que un cluster de A pueda invadir a una regla decente B, tiene que darse que pV(A|A) + (1-p)V(A|B) > V(B|B) Pero como B es decente, V(A|A)≤ V(B|B) para todo A -> Un cluster de A puede invadir a B sii V(A|B) > V(B|B) Pero eso equivale a que B no es colectivamente estable