11.contrastedehipóteses

MÉTODOS ESTATÍSTICOS
E NUMÉRICOS

UNIDADE 11

CONTRASTE DE HIPÓTESES

ÍNDICE
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

Conceptos

1. Introdución
2. Hipóteses estatísticas.
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.
4. Tipos de erros
5. Criterios de decisión.
6. Pasos para a construción dun contraste de
hipóteses.

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

Conceptos

1. Contraste de hipóteses para a media
2. Contraste de hipóteses para a proporción .
3. Contraste de hipóteses para a diferenza de
medias.
• Relación entre contraste de hipóteses e
intervalos de confianza.


1. Introdución

•Os obxectivos principais dos
procedementos de inferencia tratados
ata agora son dous:
•Determinar o valor concreto dun parámetro
poboacional ( Estimación puntual )
•Construír unha rexión aleatoria que conteña un
parámetro poboacional cunha probabilidade
prefixada de antemán (Intervalos de
confianza)


1. Introdución

•Neste tema veremos unha terceira
forma de inferencia estatística
denominada Contraste de hipóteses
•O contraste de hipóteses serve para
corroborar ou rexeitar unha afirmación
( hipótese ) sobre a poboación en estudo.


1. Introdución

•A teoría do contraste de
hipóteses foi proposta por
Egon Pearson e Jerzy
Neymann en 1928,
analizaron a técnica do
contraste, a eficiencia
relativa e a optimidade dos
contrastes. A pesar
dalgunha controversia, nos
anos 50 chegou a ser de
práctica xeral.


1. Introdución

• Probar estatísticamente unha hipótese
é comprobar se a información que
proporciona unha mostra observada
concorda (ou non) coa hipótese
estatística formulada sobre o modelo
de probabilidade en estudo e, polo
tanto, decidir se aceptar (ou non) a
hipótese formulada cunhas marxes de
erro previamente prefixadas.

1. Introdución

• É dicir, Contrastar unha hipótese é
comparar as prediccións coa realidade
que observamos. Se dentro da marxe de
erro que nos permitimos admitir, temos
coincidencia, aceptaremos a hipótese e,
en caso contrario a rexeitaremos.


1. Introdución

• Polo tanto, un contraste de hipóteses é
un procedemento que nos permite
decidir se unha hipótese realizada sobre
un parámetro descoñecido se acepta ou
se rexeita cunha probabilidade
prefixada α, chamada nivel de
significación


1. Introdución

• Vexamos exemplos de situacións nas
que podemos utilizar o contraste de
hipóteses


1. Introdución

• Exemplo 1: Unha máquina
prográmase para que produza
parafusos de 15,50 mm e, en
efecto, prodúceos cunha
lonxitude media de 15,50 mm e
unha desviación típica de 0,12
mm. Pasado un tempo, quérese
comprobar se a máquina segue
funcionando correctamente, pois
se teñen sospeitas de que se
desaxustou.


1. Introdución

• Exemplo 1: Temos que decidir se a lonxitude media
segue sendo μ =15,50 ou, se pola contra, µ ≠ 15,50; en
cuxo caso, ,54 mm
x = 15 deberemos reaxustar xa µ = máquina. Para
− 0,04 mm

verificalo extraemos unha mostra de 90 parafusos e
resulta que a media é x = 15,54
A diferenza x − μ = 0,04 pode deberse a que:
A máquina se desaxustou e μ ≠ 15,50
A máquina funciona ben e a diferenza débese ao
azar, consecuencia de elixir unha mostra
x − µ = 0,04 mm

Para decidir entre as dúas posibilidades faremos un
contraste de hipóteses (Contraste de hipóteses para a
media)

1. Introdución

• Exemplo 2: Segundo a información
dada pola Universidade de Santiago,
sabemos que a proporción de aprobados
nas probas de acceso á Universidade é do
95%.
Se queremos coñecer a veracidade desa
información, consideraremos a hipótese: a
proporción de aprobados nas probas de
acceso á Universidade é igual a 95% e a
contrastaremos coa información obtida a
partir dunha mostra. (Contraste de
hipóteses para a proporción)


1. Introdución

• Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo tipo de
motor para lavadoras. Ao cabo dos anos, estes motores
tiveron unha duración similar, pero na actualidade, a
segunda empresa afirma que os seus motores duran
máis que os da primeira. Para determinar se aceptamos
ou rexeitamos esta afirmación da empresa, podemos
utilizar o contraste de hipóteses para a diferenza
de medias.456456


2. Hipóteses estatísticas

Unha hipótese estatística é unha afirmación
respecto a algunha característica dunha
poboación.



Unha hipótese estatística pode ser:
• Paramétrica: é unha afirmación sobre os
valores dos parámetros poboacionais
descoñecidos.
Clasifícanse en:
• Simple: se a hipótese asigna valores únicos
aos parámetros ( μ = 1'5, σ = 10, ...).
• Composta: se a hipótese asigna un rango de
valores aos parámetros poboacionais
descoñecidos ( μ > 1'5, 5 < σ < 10, ...).



• Non Paramétrica:
É unha afirmación sobre algunha
característica estatística da poboación
en estudo.

Por exemplo:
• as observacións son independentes
• a distribución da variable é normal
• a distribución é simétrica, ...



O primeiro paso no contraste consiste en
formular as seguintes hipóteses:

A hipótese nula: denótase por H0 e é a
afirmación que se considera verdadeira e que
se quere contrastar.

A hipótese alternativa: denotada por H1, é a
afirmación contraria á formulada na hipótese
nula.



Observacións:

1º.- A aceptación de H0 non implica que esta
sexa correcta, se non que os datos da mostra
non proporcionaron evidencia suficiente como
para refutala.



2º.- Se o experimentador quere apoiar con
contundencia un determinado argumento é
debido a que este non pode ser asumido
gratuitamente e, polo tanto, só poderá ser
defendido a través do rexeitamento do
argumento contrario.
Por exemplo, se un médico quere avalar
empiricamente que unha nova vacina é efectiva,
entón a hipótese nula será:
H0: “A vacina non é efectiva”


3. Hipótese nula. Hipótese alternativa

• Exemplo 1: Unha máquina
prográmase para que produza
parafusos de 15,50 mm. e, en
efecto, prodúceos cunha
lonxitude media de 15,50 mm. e
unha desviación típica de 0,12
mm. Pasado un tempo, quérese
comprobar se a máquina segue
funcionando correctamente, pois
se teñen sospeitas de que se
desaxustou.



Para poder decidir,
definimos como hipótese
nula:
• H0:“a máquina funciona
ben”: μ=15,50 mm.

E, polo tanto:
• H1 : μ≠15,50 mm.



•Exemplo2: Segundo a información
dada pola Universidade de Santiago,
sabemos que a proporción de
aprobados nas probas de acceso á
Universidade é do 95%.
• H0:“a proporción de aprobados
é do 95% ”: p=0,95
E, polo tanto:
• H1: p≠0,95 mm



• Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo
tipo de motor para lavadoras. Ao cabo dos anos,
estes motores tiveron unha duración similar,
pero na actualidade, a segunda empresa afirma
que os seus motores duran máis que os da
primeira.
H0 : μ1-μ2 = 0
E, polo tanto:
• H1 : μ1-μ2 ‡ 0


4. Tipos de erros

O contraste de hipóteses non establece a
verdade da hipótese, senón un criterio que nos
permite decidir se unha hipótese se acepta ou
se rexeita segundo as mostras observadas
difiren significativamente dos resultados
esperados.

•Neste proceso podemos incorrer en dous tipos
de erros segundo sexa a situación real e a
decisión que tomemos.


4. Tipos de erros

• Erro de tipo I: Rexeitamos a hipótese
nula cando esta é certa.
• Error de tipo II: Non rexeitamos a
hipótese nula cando esta é falsa.
As catro posibles situacións que poden
dar lugar a un contraste de hipóteses
esquematízanse no seguinte cadro:


4. Tipos de erros

H0 certa H0 falsa

H0 rexeitada Erro tipo I Decisión
correcta
H0 non rexeitada Decisión Erro tipo II
correcta

A ter en conta:
Os dous tipos de erros son incompatibles: só é posible
cometer un erro de tipo I se se rexeita a hipótese nula;
mentres que o erro de tipo II está ligado ao non
rexeitamento da hipótese nula.

5. Criterios de decisión

Toda decisión esta suxeita a erro e, polo tanto,
calquera criterio utilizado para optar por unha
ou pola outra hipótese atenderá a controlar o
risco de equivocarse.

Temos dous posibles enfoques iniciais:
Unicamente pretendemos controlar o risco de
cometer un erro de tipo I
A decisión tomada garante probabilidades
prefixadas de antemán para ambos os dous
erros.



Acoutar a probabilidade de erro de tipo I
Esta proposta responde a aquelas
situacións nas que o experimentador
aposta inicialmente pola hipótese nula e
só está disposto a rexeitala se a
evidencia na súa contra é moi
importante, preocupándose en menor
medida de aceptala erroneamente.



Exemplo:
Nun proceso xudicial no
que se decide entre a
inocencia ou a
culpabilidade do reo só se
rexeitará a hipótese nula
(o acusado é inocente) se
a evidencia das probas
acerca da súa culpabilidade
vai máis alá de calquera
dúbida razoable.



Definición:
Chámase nivel de significación dun
contraste, α, á probabilidade de
cometer un erro tipo I

α = P ( “rexeitar H0” / ”H0 é certa” )



Fixar o nivel de significación é decidir
de antemán a probabilidade máxima que
se está disposto a asumir, de rexeitar a
hipótese nula cando é certa.
O nivel de significación o elixe o
experimentador, aínda que os valores
usados habitualmente son 0,1; 0,05 ou
0,01



•A selección dun nivel de significación
leva a dividir en dúas rexións o conxunto
de posibles valores do estatístico de
contraste:
– Unha de probabilidade α, coñecida como
rexión de rexeitamento ou crítica.
– Unha de probabilidade 1- α, coñecida como
rexión de aceptación.



•Se o estatístico de contraste toma un
valor pertencente á rexión de aceptación,
non existen razóns suficientes para
rexeitar a hipótese nula cun nivel de
significación α e o contraste dise
estatisticamente non significativo



•Se o valor do estatístico cae na rexión
de rexeitamento, entón asumimos un nivel
de significación α, que os datos non son
compatibles coa hipótese nula e a
rexeitamos. Dise que o contraste é
estatisticamente significativo



A ubicación das rexións de
rexeitamento e de aceptación dependerá
do tipo de hipótese alternativa.



Para unha hipótese nula simple do tipo
H0 : θ =θ0
as hipóteses alternativas máis importantes son:
– H0 : θ ‡ θ0
– Se α = P ( “rexeitar H0” / ”H0 é certa” )
– Entón a rexión de rexeitamento vén dada por:
RRα = (-∞,d(1-α)/2)U(dα/2,+∞)

Contraste bilateral


• Se H0 : θ≤θ0 Hα : θ > θ0
Entón a rexión de rexeitamento vén dada
por:
– RRα = (dα ,+∞)

Contraste unilateral dereito

• Se H0 : θ≥θ0 Hα : θ < θ0
Entón a rexión de rexeitamento vén dada
por:
RRα = (-∞,d(1-α))
Contraste unilateral
esquerdo



• Prefixar a probabilidade de
ambos os dous erros
Existen situacións nos que incorrer
nun erro de tipo II é tanto máis
grave que cometer un erro de tipo
I.



• Exemplo:
Na execución dunha proba para detectar a
presenza dun virus, cuxo desenvolvemento pode
ser mortal se non é medicado a tempo,
realizouse o seguinte contraste:

H0 : “ o virus non está presente”
Hα : “ o virus si está presente”



Un erro de tipo I
implicaría admitir a
existencia do virus
erroneamente.
A gravidade de
incorrer nun erro de tipo
II é evidente, xa que
equivale a descartar o
virus cando o paciente si
que o adquiriu.



En situacións deste tipo, ademais de
prefixar o nivel de significación, é
conveniente precisar tamén a
probabilidade que se está disposto a
asumir de non rexeitar a hipótese nula
erroneamente; incorrer nun erro de tipo
II.
Defínese :
β = P ( “non rexeitar H0” / ”Hα é certa” )


A ter en conta:
• Fixado o nivel de significación, a probabilidade
de erro de tipo II diminúe coa distancia entre
H0 e Hα
•A probabilidade de incorrer nun erro de tipo
II diminúe (aumenta) se aumenta (diminúe) a
probabilidade de cometer un erro de tipo I.
•Só é posible diminuir simultaneamente as
probabilidades de ambos os dous erros
aumentando o tamaño mostral.


hipóteses

1ºpaso.- Especificar sen ambigüidade,
as hipóteses nula e alternativa.
Dependendo do sentido da hipótese
alternativa, poderemos falar de
contraste bilateral ou unilateral
•Contraste bilateral: H1: p ‡ p0
•Contraste unilateral: H1: p < p0
ou
H1: p > p0

hipóteses

2º paso.- Fixar o nivel de significación
O nivel de significación, α, é a probabilidade de
rexeitar a hipótese nula cando esta é certa
(Erro tipo I)
Este nivel deberemos prefixalo de antemán e
tomaremos valores pequenos (0,05; 0,01; 0,1)
xa que determinaremos as rexións de
aceptación e rexeitamento a partir deste nivel
α.


hipóteses

2º paso.- Fixar o nivel
de significación

Contrate bilateral

Contrastes unilaterais


hipóteses

3º paso.- Determinación do estatístico
de contraste

Todos os estatísticos que imos utilizar
nesta unidade, dependerán do parámetro
sobre o cal se elaborou a hipótese nula.


hipóteses

Se a hipótese é sobre a media poboacional
X −µ
Z =
σ
n
Se a hipótese é sobre a proporción poboacional
ˆ
p −p
Z =
p ⋅ (1 − p )
n
Se a hipótese é sobre a diferenza de medias
Z=
(X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 )
σ 12 σ 2
2
+
n1 n2


hipóteses

4ºpaso.- Determinar as rexións de
aceptación e rexeitamento.
Contraste bilateral N(0,1)
RA en azul
RR en rojo

1-α

α/2 α/2

-zα/2 zα/2


hipóteses

Contraste unilateral N(0,1)
RA en azul
RR en rojo

esquerdo
1-α

α
-zα

N(0,1)

Contraste unilateral RA en azul
RR en rojo

dereito
1-α

α

zα


hipóteses

5º paso.- Tomar unha mostra da
poboación e calcular o valor de
estatístico de contraste, elixido no
paso 3, para esta mostra concreta.

A partir da mostra observada
podemos obter un valor concreto do
estatístico de contraste.

hipóteses

6º paso.- Tomar a decisión de rexeitar ou
non a hipótese nula, en función de que o
valor do estatístico valorado na mostra
observada se atope na rexión de
rexeitamento ou de aceptación.
Unha vez obtido o valor concreto do estatístico
na mostra e a rexión de aceptación poderemos
determinar se este valor é considerado
aceptable ou non e, polo tanto, se aceptamos
ou rexeitamos a hipótese nula


hipóteses

EXEMPLO 1:
O concello de Carballo afirma que
o 65% dos accidentes de tráfico
no que están implicados mozos son
debidos ao alcohol. Un investigador
decide contrastar dita hipótese
para o que toma unha mostra
formada por 35 accidentes e
observa que 24 deles foron
debidos ao alcohol
Que podemos dicir sobre a
información do concello?


hipóteses

EXEMPLO 1:
1º.- Definir as hipóteses nula e alternativa

H0 : p = 0.65
Hα : p ‡ 0.65

2º.- Elixir o nivel de significación
Tomaremos como un bo nivel de significación
α=0´01


hipóteses

EXEMPLO 1:
3º.- Determinación do estatístico de
contraste
A hipótese realízase sobre a proporción
poboacional; polo tanto, o estatístico de
contraste é:
ˆ
p − p0
z =
Estatístico de contraste p0 (1 − p0 )
n

hipóteses

EXEMPLO 1:
4º.- Determinación das rexións de
aceptación e de rexeitamento
Trátase dun contraste bilateral, polo
tanto o valor crítico é zα/2 = 2.58 ;
que é o valor que separa a rexión de
aceptación da de rexeitamento.

Rexión de aceptación (-2´58, 2´58)

hipóteses

5º.- Tomar unha mostra da poboación e
calcular o valor de estatístico de contraste
para esta mostra concreta.
24
p=
ˆ = 0´686; n = 35
35
Tipificamo s :
0´686 − 0´65
z= = 0´444
0´65(1 − 0´65)
35

hipóteses

6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a
hipótese nula, en función de que o valor do
estatístico valorado na mostra observada se
atope na rexión de rexeitamento ou de
aceptación.

Como 0´444 está no intervalo (-2´58, 2´58)
acéptase a hipótese nula e dicimos, a un nivel do 1%,
que a proporción de accidentes debidos ao alcohol é do
65%


hipóteses
y

0.03

0.028
N(0,1)
0.026 RA en azul
0.024
RR en rojo

0.022

0.02

0.018

0.016

0.014

1-α=0.99
0.012

0.01

0.008

0.006

α/2=0.005 0.004

0.002
α/2=0.005
x
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-zα/2 =-2.58 -0.002
0.444 zα/2=2.58



Temos unha poboación onde estudamos
unha variable que segue N(μ,σ) con σ
coñecida.
Queremos contrastar a hipótese
H0 : μ =μ0

a partir dos resultados dunha mostra x
de tamaño n para a cal a media mostral é


Para isto seguiremos os seguintes pasos:

1) Fixar o nivel de significación: α



2) Establecer a hipótese alternativa
Hipótese Tipo de
Hipótese nula
alternativa contraste
μ = μ0 μ ‡ μ0 Bilateral
Unilateral
μ ≤ μ0 μ > μ0
dereita
Unilateral
μ ≥ μ0 μ < μ0
esquerda


3) Elixir o estatístico de contraste

x − μ0
z= segue unha N(0,1)
σ
n



4) Construír a rexión de aceptación
R. aceptación
H0 Hα

(-zα/2, zα/2)
N(0,1)
RA en azul
RR en rojo

μ = μ0 μ ‡ μ0 1-α

α/2 α/2

- zα/2 N(0,1) zα/2

RA en azul

(-∞, zα )
RR en rojo

μ ≤ μ0 μ > μ0 1-α

α
N(0,1) zα
RA en azul

μ ≥ μ0 μ < μ0 (-zα, ∞)
RR en rojo

1-α

α
- zα



5) Verificación

Se x ∈ R.A ⇒ Ho acéptase

Se x ∉ R.A ⇒ Ho rexéitase



Se σ é descoñecida e o tamaño da mostra
n é grande (n≥30)
Farase como no caso anterior substituíndo a
varianza poboacional σ2 pola cuasevarianza
mostral ŝ2
Polo que o estatístico de contraste é
x − μ0
z=
sˆ
n



•EXEMPLO1: Crese que o
tempo medio de ocio que
adican ao día os
estudantes de Bacharelato
segue unha distribución
N(350,60) (minutos). Para
contrastar esta hipótese,
tómase unha mostra
aleatoria de 100 alumnos e
obsérvase que o tempo
medio é 320 minutos. Que
se pode dicir desta
afirmación ao nivel do
10%?



EXEMPLO 1:
1º.- Formulamos as hipóteses:
H0 : μ = 350 Hα : μ ‡ 350

2º.- O nivel de significación é α = 0´1
x − μ0
3º.- Estatístico de contraste z=
σ
n

4º.- Rexión de aceptación (-1´645, 1´645)



5º. - Tipificamo s
x = 320; n = 100; σ = 60
320 − 350
z= = −5
60
100

6º.- Como -5 non está no intervalo (-1.645, 1.645)
rexéitase a hipótese nula e, polo tanto, ao nivel do 10%
ponse en dúbida que o tempo medio adicado ao ocio polos
alumnos sexa 350 minutos.



y

N(0,1)
RA en azul
RR en rojo

1-α

α/2 α/2 x

-5 -zα/2=-1.645 zα/2=1.645



EXEMPLO2:
Quérese contrastar o contido
de azucre de distintos
cargamentos de remolacha.
Sábese que o contido medio de
azucre para remolacha de
regadío é do 18% e con media
superior para o de secano, sendo
a desviación típica 6% para
ambos os dous casos. Tómase
unha mostra de 20 cargamentos.
Que valor da media permitirá
tomar a decisión se é de secano
ou de regadío ao nivel do 5%?



EXEMPLO 2:
H0 : μ ≤ 18 Hα : μ > 18

2º.- O nivel de significación é α = 0´05
x − μ0
3º.- Estatístico de contraste z=
σ
n

4º.- Rexión de aceptación (-∞, 1´645)



y

N(0,1)
RA en azul
RR en rojo

1-α=0.95

α=0.5
x

zα=1.645



5º. - Tipificamos
x = ?; n = 20; σ = 6
x − 18
z=
6
20

x − 18
6º. - < 1.645 ⇒ x < 20,2%
6
20
Polo tanto, 20´2% é o punto crítico que nos permitirá tomar a
decisión se é de secano ou de regadío ao nivel do 5%.


8. Contraste de hipóteses para a proporción

Temos unha distribución binomial de
parámetros B(n,p) e queremos contrastar o valor
de p
H0 : p = p0

Para iso eliximos unha mostra de tamaño n na
que obtivemos que

ˆ
p=p



Para iso seguiremos os seguintes pasos:





Hipótese Tipo de
Hipótese nula
p = p0 P ‡ p0 Bilateral
Unilateral
p ≤ p0 p > p0
dereita
Unilateral
p ≥ p0 p < p0
esquerda



p − p0
ˆ
z= segue unha N(0,1)
p0 (1 − p0 )
n



4) Construír a rexión de aceptación

R. aceptación
H0 Hα

(-zα/2, zα/2)
N(0,1)
RA en azul
RR en rojo

p = p0 p ‡ p0 1-α

α/2 α/2

- zα/2 N(0,1) zα/2

RA en azul

(-∞, zα )
RR en rojo

p ≤ p0 p > p0 1-α

α
N(0,1) zα
RA en azul

p ≥ p0 p < p0 (-zα, ∞)
RR en rojo

1-α

α
- zα



5) Verificación

Se p ∈ R.A ⇒ Ho acéptase
ˆ

Se p ∉ R.A ⇒ Ho rexéitase
ˆ



EXEMPLO1:
Ronald A. Fisher comenza a súa obra “Deseño de
experimentos” co seguinte
exemplo:

Unha dama afirma que o sabor dunha taza de té con
leite é distinto cando se verte antes o leite que o té.
Para contrastar esta afirmación prepáranse 10 tazas
de té; en 5 de elas vértese antes o leite e nas 5
restantes, antes o té.



A continuación, a dama proba
en orde aleatoria as 10 cuncas e
acerta en 8 das 10.
Este feito é unha evidencia
significativa a favor da
hipótese?
Para contestar a esta pregunta
estudaremos cada un dos pasos
que deberemos seguir na
resolución de calquera problema
de contraste de hipóteses.



1º.- Definir as hipóteses nula e alternativa

Tomaremos como hipótese nula a máis conservadora
H0 : “O sabor dunha cunca de té é indiferente da
orde no que se verten o leite e o té”

e como hipótese alternativa, a nova información que
temos
H1 : “O sabor dunha cunca de té é distinto se se
verte primeiro o leite e logo o té ou se se fai ao
contrario”



Estas hipóteses verifícanse se ao elixir
unha mostra, a proporción de acertos é
igual a 0,5 ou maior ca 0,5 .

Polo tanto:
p=0,5 p>0,5



2º.- Fixar o nivel de significación

Tomaremos como un bo nivel de
significación α=0,05



3º.-Determinación do estatístico de contraste

A hipótese realízase sobre a proporción
poboacional; polo tanto, o estatístico de
contraste é:

p−p
ˆ p − 0,5
ˆ p − 0,5
ˆ
Z= = =
p( 1 − p) 0,5( 1 − 0,5 ) 0,16
n 10



4º.- Determinación das rexións de
aceptación e de rexeitamento
Trátase dun contraste unilateral, polo
tanto, o valor crítico é zα = 1.645 ; que é o
valor que separa a rexión de aceptación da
de rexeitamento.



y

N(0,1)
RA en azul
RR en rojo

1-α=0.95

α=0.5
x

zα=1.645



5º.- Tomar unha mostra da poboación e calcular o
valor de estatístico de contraste para esta mostra
concreta.
p − 0,5
ˆ
O estatístico elixido é : Z =
0,16
Na mostra coa que traballamo s ( as 10 cuncas de té )
0,8 - 0,5
o valor do estatístico é = 1,875
0,16
ˆ = 8 = 0,8
xa que p
10


6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese
nula, en función de que o valor do estatístico
valorado na mostra observada se atope na rexión de
rexeitamento ou de aceptación.

Como 1,875 > 1,65, este valor está dentro da rexión
de rexeitamento e polo tanto, rexeitamos a hipótese de
que o sabor dunha taza de té é independente da orde na
que se mesturen o té e o leite cun nivel de significación
do 5%



y

N(0,1)
RA en azul
RR en rojo

1-α=0.95

α=0.5
x

zα=1.645
1.875



•EXEMPLO 2:
Un adestrador asegura que os
seus xogadores encestan máis
do 92% dos tiros libres nos
adestramentos. Co fin de
contrastar esta afirmación
escolleuse aleatoriamente unha
mostra de 60 lanzamentos, dos
que 42 entraron na canastra.
Estes resultados, poñen en
dúbida a afirmación do
adestrador ou non?



EXEMPLO 2:
H0 : p ≥ 0.92 Hα : p < 0.92

2º.- Eliximos como nivel de significación α = 0´1
p − p0
ˆ
z=
3º.- Estatístico de contraste p0 ( 1 − p0 )
n

4º.- Rexión de aceptación (-1,28, ∞)



42
5º. - Tipificamos : p = ˆ = 0´7; n = 60
60
0´7 − 0´92
z= = −6´28
0´92(1 − 0´92)
60
6º. - Como - 6,28 ∉ ( - 1´28, ∞ )

rexéitase a hipótese nula e ponse en dúbida, a
un nivel do 10%, a afirmación do adestrador.



y

N(0,1)
0.024

0.022

RA en azul
0.02
RR en rojo
0.018

0.016

0.014

1-α=0.9
0.012

0.01

0.008

0.006

α=0.1 0.004

0.002

x
-6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-zα=-1.28
-6.28


medias

Temos dúas poboacións normais, N(μ1,σ1) y N(μ2,σ2)
con desviacións típicas coñecidas.
Queremos contrastar a hipótese H0 : μ1- μ2=v

Para iso collemos unha mostra de cada unha das
poboacións de tamaños n1 e n2

Nesas mostras obtivemos as medias mostrais:
x1 e x2


medias

Para iso seguiremos os seguintes pasos:



medias.


Hipótese Tipo de
Hipótese nula
μ1-μ2 = v μ1-μ2 ‡ v Bilateral
Unilateral
μ1-μ2 ≤ v μ1-μ2 > v
dereita
Unilateral
μ1-μ2 ≥ v μ1-μ2 < v
esquerda

medias


z=
(x − x ) − ( μ − μ ) segue unha N(0,1)
1 2 1 2

σ2
σ 2
1
+ 2
n1 n2


medias

4) Construir a rexión de aceptación

H0 Hα R. aceptación
N(0,1)

μ1-μ2 = v
RA en azul
RR en rojo

μ1-μ2 ‡ v (-zα/2, zα/2)
1-α

α/2 α/2

- zα/2 N(0,1) zα/2

RA en azul
RR en rojo

1-α

μ1-μ2 ≤ v μ1-μ2 > v (-∞, zα ) N(0,1)
RA en azul
RR en rojo
zα
α

μ1-μ2 ≥ v μ1-μ2 < v (-zα, ∞)
1-α

α
- zα


medias

5) Verificación

Se x1 − x2 ∈ R.A ⇒ Ho acéptase

Se x1 − x2 ∉ R.A ⇒ Ho rexéitase


medias

•EXEMPLO: Co fin de determinar se existen
diferenzas significativas entre dous grupos de
estudantes, realizamos o mesmo exame a 30
alumnos do primeiro grupo e a 35 do segundo;
obténdose a seguinte información:

Nota media Desviación típica

1º grupo 5,5 0,5

2º grupo 5,2 1


medias

•EXEMPLO:Dexesamos contrastar a hipótese
sobre a non existencia de diferenzas
significativas entre ambos os dous grupos cun
nivel de significación do 1%.


medias

EXEMPLO :
H0 : μ1-μ2 = 0 Hα : μ1-μ2 ‡ 0

2º.- Eliximos como nivel de significación α = 0´01

z=
(x − x ) − ( μ − μ )
1 2 1 2
3º.- Estatístico de contraste σ12 σ2
2
+
n1 n2

4º.- Rexión de aceptación (-2.575, 2.575)


medias

5º. − Tipificamos :
x1 − x2 = 5´5 − 5´2; n1 = 30; n2 = 35; σ1 = 0´5; σ2 = 1

z=
( 5´5 − 5´2) − 0 = 1´56
0´52 12
+
30 35
6º. - Como 1´56 ∈ ( - 2´575, 2.575 )
acéptase a hipótese sobre a non existencia de
diferenzas significativas entre os grupos.


medias
y

0.028

0.026

N(0,1)
0.024

0.022

RA en azul
RR en rojo
0.02

0.018

0.016

0.014

1-α=0.99
0.012

0.01

0.008

0.006

0.004

α/2=0.005
α/2=0.005 0.002

x
-3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

-zα/2=-2.575 1.56 zα/2=2.575


10. Relación entre contraste de hipóteses e
intervalos de confianza

Existe unha gran relación entre o intervalo de
confianza para un parámetro dunha distribución
e un contraste de hipóteses relativo ao mesmo.
Exemplo: Formulamos a hipótese de que a media
μ dunha distribución toma un determinado valor.
Construímos o intervalo de confianza para unha
mostra particular. Cando este intervalo non
conteña o valor μ0 equivalerá a rexeitar a
hipótese nula
H0 : μ = μ0



•EXEMPLO: O gremio de restaurantes de
Carballo afirma que o prezo medio do menú do
día é de 8 euros e queremos contrastar esta
hipótese. Para iso faremos:

Paso 1º.- Hipótese nula: H0 : μ = 8 €
Hipótese alternativa: Hα : μ ‡ 8 €
Paso 2º.- Fixamos o nivel de significación α=0,05



EXEMPLO:
x − μ0
Paso 3º.- O estatístico de contraste é z =
sˆ
n
Paso 4º.- Determinar a rexión de aceptación
(-zα/2, zα/2) = (-1.96, 1.96)



EXEMPLO:
Paso 5º.-Eliximos unha mostra aleatoria de 40
restaurantes e obtemos que o prezo medio da
mostra e a desviación típica mostral son:
x = 8,25 euros e s = 0,80 euros
ˆ
8,25 − 8
Tipifiquemos ese valor z = = 1´976
0,80
40



EXEMPLO:
Paso 6º.-Rexeitamos a hipótese nula xa
que existe evidencia suficiente de que o
prezo do menú sexa distinto de 8 euros
1,976 non está na rexión de aceptación
(-1.96, 1.96)


y

0.028

0.026

N(0,1)
0.024

0.022

RA en azul
RR en rojo
0.02

0.018

0.016

0.014

1-α=0.95
0.012

0.01

0.008

0.006

0.004

α/2=0.025
α/2=0.025 0.002

x
-3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
-zα/2=-1.96 zα/2=1.96 1.976



EXEMPLO:
Achemos agora un intervalo de confianza para a media
poboacional ao nivel do 5%
 s  
ˆ 0,80 
IC =  x ± z α

 =  8,25 ± 1,96
  = ( 8´002, 8´498 )
 2 n  40 

Polo tanto μ0 = 8 ∉ ( 8´002, 8´498 )

O intervalo de confianza non cobre o valor da media
poboacional ao nivel de significación do 5%


11.contrastedehipóteses

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (20)

Más de German Mendez

Más de German Mendez (14)

11.contrastedehipóteses