Apuntes de clase dinamica ruben boroscheck

Dinámica de Estructuras
Apuntes de Clase
Rubén Boroschek
REVISION E
Septiembre 2009
DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K 1

En el desarrollo de gráficas de estos apuntes contribuyeron:
Daniela Burgos M.
Luís Miranda
Cesar Urra
Los Alumnos del CI42G y CI72A Universidad de Chile
NOTA:
El texto esta en condición preliminar. Mis clases han sido transcritas inicialmente por los alumnos. He
logrado revisar alguna de ellas. Si bien he tratado de eliminar los errores tipográficos, siempre se
descubren nuevos. Por tanto úsese con cuidado.
El texto en amarillo no lo he revisado
El texto en azul no requiere ser leído para la comprensión del problema

INDICE
1. REFERENCIAS .................................................................................................................................................. 7
2. FORMULARIO BASE ....................................................................................................................................... 8
3. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................... 9
3.1.1. Demandas - Acciones: ......................................................................................................................... 9
3.1.2. ¿Cómo modelar estructuras?............................................................................................................. 11
3.1.3. Equilibrio ........................................................................................................................................... 12
4. SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD .......................................................................... 12
4.1. SISTEMAS DE UN GDL SIN AMORTIGUAMIENTO............................................................................ 12
4.2. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO,........................................................................ 14
4.3. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE............................................................................ 14
4.4. PESO EN LA ECUACION DE MOVIMIENTO........................................................................................ 19
4.5. ENERGÍA................................................................................................................................................... 21
4.6. SISTEMAS DE UN GDL CON AMORTIGUAMIENTO.......................................................................... 22
4.7. SOLUCIÓN HOMOGÉNEA DE LA ECUACIÓN DEMOVIMIENTO ................................................... 24
4.8. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE............................................................................ 28
4.9. EL AMORTIGUAMIENTO....................................................................................................................... 29
4.10. DECAIMIENTO LOGARITMICO............................................................................................................ 30
4.11. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DEMOVIMIENTO................................................................................ 33
4.12. EXITACIÓN ARMONICA C=0 ................................................................................................................ 34
4.13. EXITACIÓN ARMONICA C ARBITRARIO............................................................................................ 35
4.13.1. Factor de Amplificación Máximo....................................................................................................... 38
4.13.2. Análisis de la Amplificación Dinámica.............................................................................................. 38
4.13.3. Ancho de Banda del Factor de Amplificación ................................................................................... 39
4.14. EXITACION ARMONICA REGIMEN PERMANENTE.......................................................................... 41
4.14.1. Casos Básicos sensores...................................................................................................................... 42
4.14.2. Sensor de Aceleración: Acelerómetro................................................................................................ 45
4.14.3. Sensor de Desplazamiento Inercial.................................................................................................... 47
4.15. AISLAMIENTO DE VIBRACIONES ....................................................................................................... 48
4.16. RESPUESTA EN RESONANCIA ............................................................................................................. 50
4.17. ENERGÍA DISIPADA ............................................................................................................................... 54
5. SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE 1 GDL.......................................................................... 56
5.1. MÉTODO DE ACELERACIÓN PROMEDIO ....................................................................................................... 56
6. ENSAYOS EXPERIMENTALES.................................................................................................................... 59

6.1. CONDICIONES INICIALES O PULL BACK: ...................................................................................................... 60
6.2. VIBRACIÓN FORZADA:................................................................................................................................. 63
6.3. EXCITACIÓN AMBIENTAL ............................................................................................................................ 65
7. ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE LA FRECUENICA.................................................................................. 66
7.1. SERIE DE FOURIER....................................................................................................................................... 66
8. RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN OSCILADOR DE 1GDL........................................................... 67
8.1. CASO SERIE DE FOURIER BASE .................................................................................................................... 67
8.2. RELACIÓN DE COEFICIENTES DE SERIE DE FOURIER ARMÓNICOS Y EXPONENCIAL COMPLEJO..................... 67
8.3. REPRESENTACIÓN COMPLEJA DE LA SERIE DE FOUIER ................................................................................ 68
8.4. PAR DE TRANSFORMADA DE FOURIER ......................................................................................................... 69
8.5. RESPUESTA UTILIZANDO LA TRANSFORMADA DE FOURIER ......................................................................... 69
9. PULSO................................................................................................................................................................ 70
9.1. PULSO RECTANGULAR................................................................................................................................. 72
9.1.1. Fase I: Respuesta Máxima Bajo Aplicación de la Carga .................................................................. 72
9.1.2. Fase II: Respuesta Máxima Bajo Aplicación Nula ............................................................................ 73
9.1.3. Espectro de Respuesta al Impulso...................................................................................................... 74
9.2. PULSO SENOSOIDAL .................................................................................................................................... 75
9.3. PULSO ASCENDENTE ................................................................................................................................... 76
9.4. COMPARACIÓN PULSOS ............................................................................................................................... 77
9.5. EJEMPLO:..................................................................................................................................................... 78
10. IMPACTO..................................................................................................................................................... 79
11. CARGA ARBITRARIA EN EL TIEMPO ................................................................................................. 79
12. ESPECTRO Y PSEUDO ESPECTROS DE RESPUESTA....................................................................... 82
12.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMICIDAD Y ONDAS............................................................................................ 82
12.2. ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS .......................................................................... 86
12.3. ESPECTRO DE VELOCIDADES RELATIVAS....................................................................................... 87
12.4. ESPECTRO DE ACELERACIONES ABSOLUTAS................................................................................. 88
12.5. ESPECTRO DE DISEÑO EN CHILE.................................................................................................................. 90
12.6. PSEUDO ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION.......................... 92
12.7. ESPECTRO CUADRILOGARITMICO .................................................................................................... 92
12.8. OTRAS VARIABLES DE RESPUESTA SISMICA.................................................................................. 94
12.8.1. Integral de Housner ........................................................................................................................... 94
12.8.2. Relación entre Energía y Espectro de Fourier .................................................................................. 96
12.9. INTENSIDAD DE ARIAS................................................................................................................................. 97

13. MÉTODO DE RAYLEIGH......................................................................................................................... 98
13.1. BALANCE DE ENERGÍA ................................................................................................................................ 98
13.2. COORDENADAS GENERALIZADAS.............................................................................................................. 101
14. SISTEMA DE N GDL................................................................................................................................ 102
14.1.1. Fuerza Elástica ................................................................................................................................ 103
14.1.2. Fuerza Inercial................................................................................................................................. 104
14.1.3. Disipación........................................................................................................................................ 104
14.2. RELACIONES BÁSICAS: RIGIDEZ, FLEXIBILIDAD Y TRABAJO ..................................................................... 104
14.2.1. Condensación Estática..................................................................................................................... 104
14.2.2. Trabajo y Energía de Deformación ................................................................................................. 105
14.2.3. Ley de Betti ...................................................................................................................................... 105
14.2.4. Ecuación de Equilibrio Dinámico.................................................................................................... 106
14.3. FORMULACION DE VALORES PROPIOS CON FLEXIBILIDAD......................................................................... 108
14.4. PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD DE MODOS ......................................................................................... 108
14.4.1. Condiciones Adicionales de Ortogonalidad .................................................................................... 109
14.5. NORMALIZACIÓN MODAL.......................................................................................................................... 111
14.6. COORDENADAS MODALES ......................................................................................................................... 111
14.7. ¿COMO RESOLVEMOS? ............................................................................................................................... 112
14.8. ¿COMO CALCULAMOS LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO? ...................................................................... 114
14.8.1. Amortiguamiento Proporcional de Rayleigh ................................................................................... 115
14.8.2. Amortiguamiento Proporcional de Caughy ..................................................................................... 116
14.8.3. Amortiguamiento Proporcional de Penzien – Wilson...................................................................... 117
15. RESPUESTA SISMICA PARA UN SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD .................. 118
15.1. CASO SÍSMICO SOLUCIÓN EN EL TIEMPO................................................................................................... 119
15.1.1. Cortante Basal ................................................................................................................................. 120
15.1.2. Aceleración de Piso ......................................................................................................................... 121
15.1.3. Desplazamiento de Entrepiso........................................................................................................... 122
15.2. RESPUESTA ESPECTRAL............................................................................................................................. 123
15.2.1. Combinación Modal......................................................................................................................... 124
16. VECTOR DE INFLUENCIA R................................................................................................................. 127
17. TORSIÓN.................................................................................................................................................... 129
17.1.1. Excentricidades: .............................................................................................................................. 131
18. SISTEMAS CONTINUOS ......................................................................................................................... 132
18.1.1. Viga simplemente apoyada. ............................................................................................................. 134

18.1.2. Viga Cantilever ................................................................................................................................ 135
18.1.3. Ortogonalidad.................................................................................................................................. 136
18.1.4. Deformación por Corte (distorsión angular)................................................................................... 139
19. ANEXO A .................................................................................................................................................... 141
20. FRICCION .................................................................................................................................................. 142
20.1. MOVIMIENTO SIN RESORTE........................................................................................................................ 144
20.2. ENERGÍA DISIPADA EN REGIMEN PERMANENTE.......................................................................................... 144
20.3. INESTABILIDAD ......................................................................................................................................... 144

1. REFERENCIAS
Clough, R. y Penzien, J. “Dynamics of Structures”. McGraw – Hill. Segunda
Edición, 1993.
Chopra, A. “Dynamics of Structures”. Prentice Hall. Tercera Edición, 2006.

2. FORMULARIO BASE
1 GDL
Equilibrio
Dinámicomv(t ) + cv (t ) + kv (t ) = p(t )
Frecuencia Angular:
ω = k
m
Amort Crítico 2 2 crítico c = km = mω
Razón Amort Crítico:
c c
c m
= =
2 c
β
ω
Frec. Angular amortiguada; 1 2 D ω =ω −β
Respuesta a Condición Inicial:
− ⎡⎛ + ⎞ ⎤
v t e βω v
v βω
t v t 0 0 ( ) ( )
0 ( ) t sin cos
= ⎢⎜ ⎟ + D D
⎥
⎧ P t
−
⎪
ω θ
ω θ
−
+ + = − ⎨⎪⎩
t
⎧ −
sin( ω θ
)
v t e A t B t P D t
= + + ⎪ − ⎨⎪⎩
( ) t sin cos cos( )
n
= Σ
v ( t ) y ( t )
φ
− ω ω ω θ
D D
Transiente i t
=
⎡⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎢⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣⎝ ⎠ ⎦
Decremento Logarítmico: ln ( )
i i N v v
N
≈ +
t
( ) 1 ( ) exp( ( )) ( ( ))
= ∫ − − −
v t P t sen t d
= ∫ ⎡⎣ ⎤⎦ +Σ +Σ
y t L V v
m∗ m x φ x dx M φ x I φ x
L N
= ∫ ⎡⎣ ⎤⎦ +Σ ⎡⎣ ⎤⎦
c∗ c x φ x dx c φ x
L L N
= ∫ ⎡⎣ ⎤⎦ +∫ ′′ +Σ ⎡⎣ ⎤⎦
v L S T
k∗ k x φ x dx EI ( x )
φ dx k φ x
L N
= ∫ +Σ
p∗ t p x t φ x dx p x φ x
φ
M v
{ } [ M ]{ v
(0)}
= φ
=
=
⎧ ⎫
ω
F t M L V t
= ⎨ ⎬
Q t L V t
=Σ ω
= φ β
D
ω ω
ω
⎣⎝ ⎠ ⎦
Respuesta permanente Forzada:
0
( ) ( ) ( )
0
( )
0
sin( )
cos( )
i t
mv t cv t kv t P t
Pe ω θ

( ( ) ( )) 0
( )
Permanente
k
e
ωβ
ω −
θ

Factor de Amplificación Dinámica
1
1
2 2 2 2
1 2
D
ω β ω
ω ω
2
β
π
Integral de Duhamel:
0
D
D
m
τ βω τ ω τ τ
ω
Coordenadas Generalizadas
m∗z(t ) + c∗z (t ) + k∗z (t ) = p∗ (t )
Donde en general
( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2
0
0 1
( )'
L N N
n n n in
n i n
= =
( ) ( ) ( ) 2 2
0 1
n n
n
=
( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 2
0 0 1
n n
n
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,
0 1
n n
n
=
Y *
2
*
k
m
ω =
N GDL
[M]{v(t)} +[C]{v(t)} +[K]{v(t)} = {P(t)}
Rayleigh : [C] = a[M]+ b[K]
{ } { }
1
i i
i
=
[ ] 2 [ ] { } {0} i i ⎡⎣ K −ω M ⎤⎦ φ = ⇒{ω2} , [φ ]
Obtenemos los parámetros modales
{ }T [ ]{ }
i i i M = φ M φ i =1…n 2
i i i K =ω M
( ) { } [ ( )] T
i i P t = φ P t i = 1…n
Encontramos las condiciones iniciales para cada forma modal.
{ } [ ]{ (0)}
(0)
T
i
i
i
y
M
(0)
T
i
i
i
y
M

( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) / i i i i i i i i y t + ω β y t +ω y t = P t M i = 1…n
Respuesta
{ ( )} 2 [ ]{ } ( ) [ ] 2 { } ( ) E i i i i i i f t =Σω M φ y t = M Σω φ y t
{ ( )} ( ){ } { ( )} ( ){ } { ( )} ( ){ } i i i i i i v t =Σy t φ v t =Σy t φ v t =Σy t φ
Respuesta Sísmica:
Factor de Participación { } [ ]{ } T
i i L = φ M r
( ) i ( , , )
i i i g
i i
M
β ω
ω
Fuerza Elástica{ } [ ]{ }
2
( ) i i ( )
E i i
i i
M
φ
ω
⎩ ⎭
Σ
Cortante Basal
2
( ) i ( )
i i
i
M
Aceleración de Piso: { v T ( t )} ≅ Σω 2 { φ } Y ( t
)
i i i { } i ( , )
i i d i i
i
M

3. INTRODUCCIÓN
La respuesta de estructuras se puede clasificar según el tipo de carga a la cual estén sometidas o
por el tipo de respuesta que presenten. Las cargas pueden ser estáticas o dinámicas; las cargas
dinámicas dependen del tiempo, de la posición y de su magnitud. La respuesta de una estructura, a su
vez, puede ser estática o dinámica, si es dinámica actuarán en la estructura fuerzas de inercia, pudiendo
estar presentes además fuerzas disipativas.
3.1.1. Demandas - Acciones:
Pull Back o Condiciones Iniciales: La estructura está sometida condiciones iniciales.
CI: v0 CI:
Figura 3.1
Figura 3.2
Ensayo de Impacto (salto grupal) sobre pasarela
Demanda Armónica: Demanda armónicas con período característico, T, f (t) = f (t +T ). La respuesta
armónica simple puede ser la base de una respuesta dinámica compleja.

Figura 3.3
Acciones Periódicas No Armónicas: Presentan un periodo T característico, repitiéndose la función en
el tiempo. Se pueden resolver como suma de armónicos por medio de series de Fourier.
Figura 3.4
Impacto
ω
T
P(t)
T
P(t)
P sen( t)

Figura 3.5
Demanda Arbitraria: No obedece a ningún patrón regular. Un ejemplo son los terremotos.
Figura 3.6
vg(t
3.1.2. ¿Cómo modelar estructuras?
1. Por medio de discretización utilizando elementos uniaxiales.
2. Mediante ecuaciones diferenciales como la siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )
∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂
2 2 2
2 2 2
v x , t v x ,
t
EI x m P x ,
t
⎜ ⎟ + =
x x t
∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂
3. Por medio de elementos finitos.

4. Usando coordenadas generalizadas, donde se establece una función de desplazamiento del tipo
v ( x,t ) =Σφ ( x)ψ (t )
3.1.3. Equilibrio
Para determina el estado de equilibrio de una estructura se pueden utilizar los siguientes
métodos:
→ Métodos de Energía:
→ Suma de Fuerzas: ΣFx(t), ΣFy(t), ΣFz(t)
ΣMx(t), ΣMy(t), ΣMz(t ).
→ Trabajo Virtual.
4. SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD
4.1. SISTEMAS DE UN GDL SIN AMORTIGUAMIENTO
Algunos ejemplos de sistemas de un GDL son los siguientes:
k v(t),v(t),v(t)
Figura 4.1
Ejemplo de sistema de 1GDL
m
P(t)
m v(t),v(t),v(t)
k/2
Figura 4.2
k/2

Ejemplo de sistema de 1GDL
m kθ
θ (t)
Figura 4.3: Ejemplo de sistema de 1GDL
k
- DCL (Diagrama de Cuerpo Libre):
v(t),v(t),v(t)
m P(t)
F (t) E
Por la 2ª ley de Newton se tiene:
−FE (t) + P(t) = mv(t)
Donde:
( ) ( ) E F t = kv t : Fuerza elástica
Utilizando Principio de D’Alambert: fuerza de inercia F (t) m v(t) I = ⋅ que va en dirección opuesta al
movimiento:
F (t) F (t) P(t) I E + =
⇒mv(t) + kv(t) = P(t)
La ecuación 2.1 describe el movimiento de un sistema de 1GDL sin amortiguamiento en forma general.
Esta ecuación se puede obtener, también, aplicando el Principio de Trabajos Virtuales, como se muestra
a continuación:
P(t)
δv
F (t) E F (t) I
Para un sistema en equilibrio se debe cumplir que: δW = 0
Para el sistema mostrado se tiene:

δW = P(t)δ v − FE (t)δ v − FI (t)δ v = 0
F (t) F (t) P(t) I E ⇒ + =
4.2. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO,
mv(t) + kv(t) = P(t)
v(t) v (t) v (t) h p = + , donde v (t) h es la solución homogénea y v (t) p es la solución particular.
Solución homogénea:
m⋅v(t) + kv(t) = 0
⇒v(t) = Asin(Ct) + Bcos(Dt)
v t A Ct
v t B Dt
⇒C = k
⇒ D = k
ω = k [rad/seg] es la frecuencia angular natural del sistema.
Donde :
1
2
( ) =
sin( )
( ) =
cos( )
Reemplazando ( ) 1 v t en la ecuación 2.2:
−mAC2 sin(Ct) + kAsin(Ct) = 0
⇒ A[−mC2 + k]= 0 m
Del mismo modo con ( ) 2 v t :
−mBD2 cos(Dt) + kBcos(Dt) = 0
⇒ B[−mD2 + k]= 0 m
Entonces, C = D =ω , donde m
Entonces la solución homogénea del sistema está dada por:
v (t) Asin( t) B cos( t) h = ω + ω (ecc. 2.3)
4.3. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE
Para un sistema con P(t) = 0 se tiene que v (t) = 0 p . Si este sistema tiene como condiciones
iniciales 0 v(0) = v y 0 v(0) = v , se obtiene:
0 0 v(0) = Asin(0) + B cos(0) = v ⇒ B = v

v(t) = Aω cos(ωt) − Bω sin(ωt)
v
v A B v A
= − = ⇒ =
ω ω 0
ω
0 (0) cos(0) sin(0)
Luego, la solución está dada por:
v(t) = v sin(ωt) +
v cos(ωt)
0 v(t) = v sin(ωt) +
v cos(ωt)
0 = + ⎛ ⎞ ⎛ =
⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
ρ θ
ωt v
0
ω
Al ver un sistema de este tipo vibrar se observa la suma de las proyecciones de los vectores sobre el eje
real.
0
ω
Del gráfico anterior se tiene que:
2
2 0 0
0
0
v v arctg v
v
ω ω
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Luego el desplazamiento se puede escribir como:
v(t) = ρ cos(ωt −θ )
0 v
ω 0
ωt
I
R
ρ
θ

2π T =
f = 1
T
Figura 4.4: Desplazamiento versus tiempo.
Figura 4.5dinaDespinicial.m
En resumen, para el sistema en análisis se tiene:
Desplazamiento: v(t) = ρ cos(ωt −θ )
Velocidad: v(t) = −ρω sin(ωt −θ )
Aceleración: v(t) = −ρω 2 cos(ωt −θ ) = −ω 2v(t)
Las condiciones iniciales generan el desfase aparente del armónico.
t
v(t)
0 v
ω
0 v

Figura 4.6 Desfase asociado a condiciones iniciales
Al graficar los vectores de desplazamiento, velocidad y se desprende que para un desplazamiento
máximo la velocidad debe ser nula, mientras que para máxima velocidad el desplazamiento debe ser
cero.

Figura 4.7 Comparación en el tiempo de fase para desplazamiento, velocidad y
aceleración. Sin amortiguamiento y bajo condiciones iniciales.
I
R
v(t)
v(t)
ρω
ρω 2
v(t)
ρ
α (t)
α (t)
α (t) =ωt −θ

v t
( )
v t
( )

v t

( )
4.4. PESO EN LA ECUACION DE MOVIMIENTO
m
x Δest
m, W
x ( t ) = v ( t )
+ Δ
est
x t v t

( ) =
( )
x t v t

E F
I F
k
F kxt kvt k
F mxt
= = + Δ
=
W
Al realizar el equilibrio el sistema mostrado en la figura:
( ) =
( )
El DCL del cuerpo es:
Donde:
( ) ( )
( )
E est
I
est kΔ =W
Luego: 0 () () est ΣF = ⇒ kv t + kΔ + mv t =W
⇒kv(t) + mv(t) = 0
En este caso el peso no se considera.
Ejemplo:
v(t);v(t);v(t)

P(t)
k
γ v(t)
θ (t)
a
b
En este caso v(t) = bθ (t) y las ecuaciones de movimiento a obtener son,
θ θ
m t k t P t
*' ( ) + *' ( ) =
*'( )
m * v ( t ) + k * v ( t ) =
P *( t
)
0 M
F (t) Iy
F (t) Ix
v,v,v
ΣM = = F t b + F t b + F t a + M t − P t a
Además:

Donde m*, k* y P*(t) son formas generalizadas de la masa, la elasticidad y la solicitación del sistema.
DCL:
Entonces:
0 0 () () () () ()
A E Ix 2 Iy 2 2
F (t) Rx
F (t) Ry
F (t) E
P(t)
P(t)
0 M
F (t) Iy
F (t) Ix
F (t) Rx
F (t) Ry
F (t) E
A

= =

F t ab t a ab v t a a v t
2

F t kv t F t ab v t
( ) ( ) ( ) ( )
= = =
2 2
( ) ( )
2 2

P t a bkv t mb v t m a +
v t m a b v t
⇒ = + + +
k kb P t P t a
* = *() =
(⎛ + ⎞
2
)*
m m b a a b
= ⎜ + + ⎟
b b
∫ = ∫ =
1 t 1 t
0
2 2
⇒ mv t + k v t = ΔE =
t t
1 mv t + 1
kv t = E

2 c

2 Energía cinética Energía potencial
0 0
2
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
12 12
E Ix
Iy
b
ab v t a a b M t I t a b vt
b
γ
γ θ γ γ
γ γ
θ
+
= = + = ⋅
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 4 b 12
b
2 2 2
4 4 12
⎝ ⎠
4.5. ENERGÍA
Para un sistema en oscilación libre la ecuación de movimiento es m⋅v(t) + k ⋅v(t) = 0 , si se integra
esta ecuación en función de v se tiene:
∫ dv ∗{F (t) + F (t) = 0} I E
⇒∫mv(t)dv + ∫ kv(t)dv = 0
Resolviendo las integrales:
2
( ) 1 2
2
t
ti
∫ kv t dv = k v
2 2 2
2 1
( ) 1
2
t
t
mv t dv m d v dv dt mv
dt dt
( ) ( ) 2 2 2 2
1 1
Luego:
( )2 ( )2
_ _
Entonces la energía del sistema, c E , es constante.

E
Ec
Ecin
Epot
v(t) = ρ cos(ωt −θ )
Figura 4.10: Gráfico Energía versus desplazamiento.
4.6. SISTEMAS DE UN GDL CON AMORTIGUAMIENTO
v(t)
Los sistemas con amortiguamiento son aquellos donde actúan fuerzas disipativas.
k
v(t),v(t),v(t)
P(t)
c
m
Figura 4.11: Ejemplo de sistema de 1GDL con amortiguamiento
Las fuerzas disipativas, D F , se pueden deber a diferentes factores:

Factores de disipación
F
Calor Radiación
Roce Viscosidad
−ρ ρ
D F
−ρ ρ v
Coulomb:
μ ED ⋅ N
μ ⋅N ⋅vn
Gas:
α ⋅vn
Viscoso Lineal
c ⋅v
Al graficar la fuerza disipativa en función del desplazamiento del sistema se obtienen diferentes figuras:
Figura 4.12: Gráficos de disipación.
Equilibrio Dinámico DCL:
De donde:
F
F
E I P(t) F
D elipse
μ ⋅ N
−μ ⋅ N
DE F
v
c ⋅ v
− c ⋅v
Fuerza disipativa
por roce
Fuerza disipativa
por viscosidad

ΣF = ⇒ F (t)+ F (t)+ F (t) = P(t) I D E 0
Y como:
( ) ( ) I F t = mv t : Fuerza de inercia
( ) ( ) D F t = cv t : Fuerza disipativas
( ) ( ) E F t = kv t : Fuerza elástica
⇒mv(t ) + cv(t ) + kv(t) = P(t) (ecc. 2.4)
Si en un sistema se consideran la fuerza elástica y la fuerza disipativas juntas, como en el sistema del
ejemplo, se dice que el sistema es viscoelástico.
4.7. SOLUCIÓN HOMOGÉNEA DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Para determinar la solución homogénea se tiene:
mv(t) + cv(t) + kv(t) = 0
v t A t B t
v t Ge
v t Gse
v t Gs e
( ) = sin( ω ) + cos( ω
)
( )
=
( )
=
( )
=

Reemplazando estos valores en la ecuación de movimiento (ecc. 2.4):
mGs2est + cGsest + kGest = 0
ms2 + cs + k = 0 : Ecuación característica (ecc. 2.5).
− ± −
=
s c c k
− ⎛ ⎞ = ± ⎜ ⎟ −
m m m
⎝ ⎠
s c c
− ω
= ± ω
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −
m m
st
2
st
st
2 4
2
s c c km
m
2
2
2 2
1
2 2
ω ω
⎝ ⎠
c c
c m
2 c
β
ω
= =

s = −βω ±ω β 2 −1
De donde las características de la vibración de un sistema están dadas por:
c c Sobreamortiguamiento
c
:

c c Amortiguamiento crítico
c
: _
=
c c Subamortiguamiento crítico
c
: _

Caso 1: 2 2 crítico c = c = km = mω
( ) 1 2 1 2 v(t) =Ge−ω⋅t +Gte−ω⋅t ⇒v(t) = G +Gt e−ω⋅t
X
s c
−
= =−
2
m
ω
Luego:
Si c c ≥ c el sistema no vibra.

Figura 4.13 Respuesta bajo amortiguamiento crítico. Varias velocidades iniciales.
Caso Sub Amortiguado: c ccrítico
Desarrollando la ecuación anterior:
2
1
= − ± −
= − ± −
βω ω β
βω ω β
2
1

D
ρ βω ω
= − ±
= +
= +
D
i t i t
− + − −
βω ω βω ω
t i t i t
− −
s
s i
ω
Frecuencia angular amortiguada es 1 2 D ω =ω −β
( ) ( )
( )
1 2
1 2
( )
( )
D D
D D
i
v t Ge G e
v t e Ge G e
βω ω ω
Se sabe que:

e i
e i
cos sin
cos sin
θ θ
e e
θ θ
i
= +
= −
i
θ
θ
θ θ
− θ θ
⇒
( )
( )
cos 1
2
sin 1
2
i i
i i
e e
i
θ
θ
−
−
= +
= −
Entonces para los términos:
1 2 d(t) = G eiωDt +G e−iωDt
reconociendo
1 1R 1I 2 2R 2I G = G + iG G = G + iG
ordenado
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) cos ( ) cos R R D I I D I I D R R D d t = ⎡⎣ G +G ω t − G −G sen ω t ⎤⎦ + i ⎡⎣ G +G ω t + G −G sinω t⎤⎦
pero d(t) es real por tanto
1I 2I I G = −G = G y R R R G = G = G 1 2
Es decir son un par conjugado *
1 2 G = G
1 R I G = G + iG y 2 R I G = G −iG
Entonces:
1 2 d(t) = G eiωDt +G e−iωDt
( ) ( ) i Dt ( ) i Dt
R I R I d t = G + iG eω + G − iG e− ω
pero ( ) i Dt i( Dt )
R I G iG e Ge+ ω = ω +θ y ( ) i Dt i( Dt )
R I G iG e Ge − − ω = − ω +θ
Es decir son dos vectores de magnitud G rotando con ángulo Dα =ω t −θ pero en direcciones
contrarias por tanto se cancela la parte compleja y se suman las proyecciones en el eje real:
( ) 2 cos ( ) cos D D D d t = G ω t +θ == Asenω t + B ω t
donde 2 R A = G y 2 I B = − G
De donde se obtiene la respuesta al caso amortiguado sin excitación externa.
( ) t ( sin ( ) cos ( ))
D D v t = e−βω A ω t + B ω t

0 ρ v
+ ⋅β ⋅ω 0 0
ω
D
v v
− ⎡⎛ + ⎞ ⎤
v t e βω v
v βω
t v t = ⎢⎜ ⎟ + ⎥
⎛ + ⎞
v v v
= ⎜ ⎟ +
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
arctg v v
= ⎜ ⎟
2D
ω
Figura 4.14
4.8. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE
Para un sistema con P(t) = 0 y con condiciones iniciales 0 v(0) = v y 0 v(0) = v se tiene que
el desplazamiento está dado por:
0 0 ( ) ( )
0 ( ) t sin cos
D D
D
ω ω
ω
⎣⎝ ⎠ ⎦
Lo que es equivalente a:
( ) t cos( )
D v t = ρe−βω ω t −θ
Donde:
2
0 0 2
0
0 0
0
D
D
v
βω
ρ
ω
βω
θ
ω
⎝ ⎠

ρ : Amplitud máxima.
Envolvente e−β ⋅ω⋅t
2
Periodo T π
D
ω
D
=
Figura 4.15
4.9. EL AMORTIGUAMIENTO
El valor de la razón de amortiguamiento varía según el tipo de material, como se ve en la
Acero Hormigon
Albañilería
→ ≈ −
→ ≈ −
En el límite de daño (fluencia)
Acero Hormigon
Albañilería
→ ≈ −
→ ≈ −
Al desarrollar la ecuación que define la frecuencia angular amortiguada se tiene:
= − ⇒⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟
siguiente lista.
Sin daño
/ 0,01 0.03
0,03 0,05
/ 0,03 0.10
0,05 0,15
2
1 2 D 1 2
D
ω
ω ω β β
ω
⎝ ⎠
2 1
2
ω D
⇒ +β =
ω
2
Algunos valores para β según esta última ecuación se muestran en la tabla 2.1.

Valores para β
ω
ω
β D
T
T
D
=
0,01 0,9999
0,05 0,9987
0,10 0,9950
0,20 0,9798
0,40 0,9165
Figura 4.16 Variación de la razón de periodo amortiguado y no amortiguado en función de la
razón de amortiguamiento critico.
4.10. DECAIMIENTO LOGARITMICO
De la respuesta a condiciones iniciales se conoce la envolvente de respuesta y con ella se puede
determinar la razón de amortiguamiento, β :
iv = ρe−βω y ti N
i m v ρe−βω +
v e
v
⎛ ⎞
⎜ ⎟ = =
⎝ ⎠ −
v T N N
v
i i N v v
N
β
β π
= +
≈ +
ti
+ = entonces i TDN
i m
βω
+
= sacando el logaritmo
2
ln 2
1
i
D
i m
π
βω βω
+ ω β
( )
2
ln
1 −
2
aproximando
ln ( v v
)
i i N 2
N
β
π

i v
2 i v
β pendiente
π
⎛ ⎞
⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
=
Calculo de Amortiguamiento: Deteccion de la envolvente,
II) Identificacion de cruces por cero y extremos.
III ) Grafico de amplitud maxima y número del maximo
Caso Particular reducción de la mitad de la respuesta.
ln ( v v
)
i i N 2
N
β
= +
π
v
1 ln
2 2
( )
ln 2
2
i
i
N v
N
β
π
πβ
=

Número de Ciclos para obtener un 50% de reducción de amplitud inicial
β
ln (2)
2
N
πβ
=
0,01 11,03
0,05 2,2
0,10 1,1
Figura 4.17 Número de Ciclos completos para alcanzar un decaimiento respecto de un
valor inicial de referencia. La líneas corresponden a porcentajes de reducción de amplitud
inicial.

Figura 4.18Decaimiento logarítmico de dos
frecuencias cercanas. Ambas con distinto
amortiguamiento.
Figura 4.19 Decaimiento logarítmico de tres
frecuencias cercanas. Todas con distinto
amortiguamiento.
4.11. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
La ecuación de movimiento de un sistema de 1GDL con amortiguamiento es:
mv(t ) + cv(t ) + kv(t ) = f (t)
Para la solución homogénea se tiene:
mv t cv
t kv t
v v
v v
( ) + ( ) + ( ) =
0
1 1 1
(0)
=
(0)
=
mv t cv t kv t f t
v
v
0
0
= +
= +

= +
0

0
(1)
Para la solución particular:

( ) + ( ) + ( ) =
( )
2 2 2 (0) =
0
(0) =
0

(2)
Sumando ambas soluciones:
( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2
(1) (2)
m v (t) v (t) c v (t) v (t) k v (t) v (t) 0 f (t)
+
⇒ + + + + + = +
v ( 0 )
0
v
v ( 0 )
0
v
v(t) v (t) v (t)
1 2

⇒mv(t ) + cv (t ) + kv (t ) = Ci f (t )
v ( t ) = C v ( t
) i ( ) ( ) ( ) n
( )
⇒ + + =Σ
mv t cv t kv t C f t
1
i i
i
=
( ) ( ) i i v t =ΣC v t
4.12. EXITACIÓN ARMONICA C=0
Ecuación de equilibrio dinámico:
( ) ( ) ( ) ( )
mv t + cv t + kv t =
p t
p t = P ωt c
=
0 ( ) sin( ) 0
mv
t kv t P t
v t A t B t
v t G t v t G t
⇒ + =
ω
⇒ = +
⇒ = ⇒ =−
ω ω
ω ω ω

t G m Gk P t
sin( ) sin( )
ω ω ω
G P P
k m k
ω ω
⎛ ⎞
⎜ ⎟
v t A t B t P t
( ) = sin( ) + cos( ) + ⎜ 1 ⎟
sin( )
ω ω ω
⎜ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜⎜ − ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
v v

(0) 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
v t P t t
( ) 1 sin( ) sin( )
⇒ = ⎜ ⎟ ⎡ − ⎤ ⎜ ⎛ ⎞ ⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎜⎜ − ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

Resolviendo:
( ) ( ) 0
2
sin( )
( ) sin( ) cos( )
( ) sin( ) ( ) sin( )
h
p p
Reemplazando la solución particular:
2
0
0 0
2 2
2
1 1
k
ω
⇒ ⎡⎣− + ⎤⎦ =
⇒ = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ − ⎥ ⎢ − ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Luego, el desplazamiento total está dado por:
0
2
1
k
ω
ω
Si:
= =
0
(0) = =
0
0
v v
0
2
1
k
ω
ω ω
ω ω
ω

Resonancia
P0 : Δ estático ( est Δ ) 2
1
FAD
− ⎛
ω
0 1
= T
ω
T
ω
⎞
Donde:
k
1
1
⎟⎠
⎜⎝
ω
: Factor de amplificación dinámico (FAD).
Figura 4.20 Respuesta a forzante armónica con amortiguamiento nulo. No se elimina el transiente.
Es periódica.
ω
Cuando =1
ω
se alcanza la resonancia del sistema, es decir, el FAD se vuelve infinito.
Figura 4.21
4.13. EXITACIÓN ARMONICA C ARBITRARIO
Entonces, si se tiene:

P sin( ω
t
)
⎫
i ⋅ ω ⋅ t ( ) ( ) ( ) 0 ( )
mv t cv t kv t Pe P cos( t ) P sin( t )
i
ω ω
A
θ
+ + = = + ⎬⎭
0 0 0
P t
0
cos( ω
)
i t
ω

βω ω ω

v t Ge
v t Gi e
v t G e
Gei t i P ei t
⇒ ⋅ ⋅ ⎡− + + ⎤ = ⎣ ⎦
⇒ =
ω ω βωω ω ω
2
1
ω ω ω
⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜⎜ − ⎜ ⎟ + ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
γ = , entonces:
v ( t ) P 1
e
k 1 2
2
i
γ βγ
v t P e
( ) 1
:
1 2

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
2 2 0
i t
v t c v t k v t P e
m m mP
v t v t v t e
m
⇒ + + =
⇒ + + =
La solución particular es:
2
( )
( )
( )
i t
p
i t

p
i t
p
ω
ω
ω
ω
ω
=
⇒ =
⇒ =−
Al reemplazar en la ecuación de movimiento:
2 2 0
0
2 2
1 2
m
G P
m
i
β
ω ω
ω
Si ω
( )
0
0
( ) ( )
2 2 2
1
2
tan 2
1
i t
p
i t
p i
k Ae
con
A
ω
ω
θ
γ βγ
βγ
θ
γ
−
=
− +
⇒ =
= − +
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠
Entonces:

( )
( ) ( )
p t P t v t P D t
= ω ⇒ = ω −θ
p t P t v t P D t
= ω ⇒ = ω −θ
⎧ P t
−
⎪
ω θ
ω θ
−
+ + = − ⎨⎪⎩
t
⎧ −
sin( ω θ
)
v t e A t B t P D t
= + + ⎪ − ⎨⎪⎩
( ) t sin cos cos( )
− ω ω ω θ
D D
Transiente i t
v t P 0
De
2 2 2
( )
: 1 1
1 2
i t
p
k
con D
A
ω θ
γ βγ
= −
= =
− +
Con este resultado se tiene:
Si
( ) 0 ( )
0 ( ) cos ( ) cos p
k
( ) 0 ( )
0 ( ) sin ( ) sin p
k
En resumen:
( ) ( ) ( )
0
0
( )
0
sin( )
cos( )
i t
mv t cv t kv t P t
Pe ω θ

El desplazamiento es:
( ( ) ( )) 0
( )
Permanente
k
e
ωβ
ω −
θ

Figura 4.22 Respuesta bajo excitación armónica a
partir de condiciones iniciales nulas. Notar el gran
efecto inicial transiente y su decaimiento para
pasar a un régimen permanente controlado por la
frecuencia de excitación.

4.13.1. Factor de Amplificación Máximo
1
1
=
⎡⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎢⎜ −⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣⎝ ⎠ ⎦
( ) ( )
2 2 2 2
1 2
−
= ⎡ − + ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦
1
=
⎡ − − + − ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦
1 1 1
= = =
⎡ + − ⎤ ⎡⎣ − ⎤⎦ − ⎣ ⎦
1 1
= ≈
1 2 1
1 1
2 1 2
D
D
⇒ = − ≈
γ β
⇒ = ≈
D
ω ω
β
ω ω
1
D 1 γ 2 2 2βγ 2 2
Derivando ( ) ( ) ( ( )( ) ( ) ) 3
1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0
2
dD
d
γ βγ γ γ βγ β
γ
− − ⎡ ⎤ = ⎢ − + ⎥ − − + = ⎣ ⎦
= −4γ (1−γ 2 )+ 8β 2γ = 0 una posible solución es γ = 0
Eliminando esta solución: (γ 2 −1)+ 2β 2 = 0
De donde: γ = ± 1− 2β 2
ω
Por tanto 1 2 β
2
ω
= − Máximo existe solo si 1− 2β 2 ≥ 0
1 1
2 2
β ≤ ⇒β
El valor del máximo es:
( ( )) ( ) max 1
2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2
D
β β β
( )1 1 2 4 2 2 2 2 4 2
4β 4β 1 2β 4β 4β 2β 1 β
max 2
2 1 2
D
β β β
−
4.13.2. Análisis de la Amplificación Dinámica
Factor de amplificación dinámico de desplazamiento. Ojo que no es lo mismo para el caso de velocidad y
aceleración.
1
( 1 2 ) 2 ( 2
) 2
D
γ βγ
=
− +
2
max
max 2
β β β
−

Figura 4.23Factor de amplificación dinámica y ángulo de desfase para distinto amortiguamiento y razón
de frecuencia.
4.13.3. Ancho de Banda del Factor de Amplificación
Dado el factor de amplificación:

1
=
⎡ ⎤ ⎢⎣ ( − ) + ( )
⎥⎦
1
2 2 2 2
1 2
1 11
2 2 2
= =
β β β
1 2 1 16 16 4 4 32
= − ± − + − +
β β β β

D
γ βγ
Y su máximo aproximado. Buscamos las frecuencias para un factor del máximo.
D
max
β
≈
Igualando:
1 1 1
( 1 γ 2 ) 2 ( 2βγ ) 2 ( 2 2
2 2β ) 8β
− +
( ) ( ) 1−γ 2 2 + 2βγ 2 = 8β 2
1− 2γ 2 +γ 4 + 4β 2γ 2 = 8β 2
γ 4 +γ 2 (4β 2 − 2)+ (1−8β 2 ) = 0
Buscamos las raíces:
( ) ( ) 2 2 2 2
2 4 2 4 2 41 8
2
γ
− + ± − − −
=
2 4 2 2
4 2
2
2
16 16
4 1
β +
β
β β
+
γ 2 =1− 2β 2 ± 2β 1+β 2 si β 1
Eliminamos radical y:
γ 2 ≅ 1 − 2 β −
2
β
2
1
γ 2 ≅ 1 + 2 β −
2
β
2
2
Pero 1− 2β − 2β 2 1−β −β 2
β 1− 2β − 2β 2
1−β −β 2

f f f
≈ entonces
I
R
+
v v
v
ω ⋅t −θ
1 ⇒γ =1−β −β y 2
2 ⇒γ =1+β −β
mv t cv
t kv t P t
F t F t F t p t
F t F t F t p t
⇒ + + = ω
⇒ + + =
⇒ + + − =
I
F c P D
f f
f
v t P D t
( ) = sin( −
)
( ) = cos( −
)
R
θ
F
I F
0 P
Dω
k
= 0
0.01 0.9898 0.9899
0.05 0.9460 0.9475
0.10 0.8832 0.8900
Simplificamos
2
2 2
1 2 γ −γ =1−β −β −1+β +β = 2β de donde:
γ γ
2 1 2 1
2 2
β
− −
= = y dado que es muy simétrica 1 2
2
f f
f f
2 1
2 1
β
−
=
+
Podemos obtener la razón de amortiguamiento del ancho de banda.
4.14. EXITACION ARMONICA REGIMEN PERMANENTE
Analizando mv(t ) + cv(t ) + kv (t ) = p(t) , con 0 p(t) = P sin(ωt)
0
0
0 2
( ) sin( )
p
p
p
kP
v t D t
k
v t P D t
k
ω θ
ω ω θ
ω ω θ
= − −

( ) ( ) ( ) 0 sin( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0
I D E
I D E
Todos los vectores giran con velocidad ω ⋅t

Analizando según el valor de θ , se tienen los siguientes casos:
I
π 2
R
E F
I F
− ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠
0 P
D F
1)
π
θ = :
2
Como 1
2
tan 2
1
βγ
θ
γ
⇒γ =1 ⇒ Se produce resonancia.
4.14.1. Casos Básicos sensores
El sensor se puede representar como un sistema de un grado de libertad amortiguado. Analizaremos el
caso de que este sensor esta adosado a una superficie que vibra bajo excitación armónica.

v t
v t
v t
Figura 4.24 Esquema simplificado de un sensor mecánico.
En el sistema mostrado en la figura la estructura tiene una ecuación de movimiento del tipo:
mv(t ) + cv(t ) + kv (t ) = p0 sin(ωt)
Analizamos preliminarmente el caso de respuesta permanente. Luego se generaliza para condición
transientes y permanente y carga arbitraria. La solución permanente es:
v t P D t
( ) 0 sin ( ) P
⇒ = ω −θ
k
k c
v
( )
( )
( )
0
0
0
sin
sin
sin
g
g
g
ω
ω
ω

m

JAMES DEWEY and PERRY BYERLY
The early history of seismometry (to 1900)
Bulletin of the Seismological Society of America, Feb
1969; 59: 183 - 227
James Forbes
Seismometer 1844The
screws(E) acting on
the support (D) are
used to help set the
pendulum in an
upright position
Horizontal pendulum seismograph, as invented by English
seismologist John Milne in 1880.
Wood Anderson 1927

4.14.2. Sensor de Aceleración: Acelerómetro
Si se tiene una aceleración aplicada a la estructura del tipo ( ) sin ( ) g go v t = v ωt :

( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ) ( )
mv t cv t kv t
m v t v t cv t kv t
m v t v ωt cv t kv t

0

mv ( t ) + cv ( t ) + kv ( t ) = −mv sin ( ωt
) go + + =
+ + + =
0
+ + + =
sin 0
mv D v t D t v t
−
= − = − −
T
g
go
( ) go sin ( ) sin
( ) go
2 k
ω θ ω θ
ω

Requerimos que la observación sea proporcional a la aceleración. En el caso básico que la amplitud
máxima de respuesta de desplazamiento sea proporcional a la aceleración.
0 ( ) g ⇒ v t ∝ v
Esto es la base de un acelerómetro.
Para que funcione, requerimos que la dependencia del Factor de Amplificación Dinámica (D) sea minima
o inexistente. Esto ocurre bajo dos condiciones:
a) Sistema con amortiguamiento arbitrario y γ 0.2 o,
b) O sistemas con razón de amortiguamientoβ = 0,6 − 0,7 .
En ambos casos y ω debe ser muy grande, es decir ( k m ). Esto es difícil de realizar y finalmente se
requiere un lector muy sensible.
En la Figura 4.25 se observa el efecto de la frecuencia y el amortiguamiento del sensor en la
reproducción fiel de la aceleración. En estas figuras se grafica el desplazamiento de la masa del sensor
contra la aceleración de excitación. Para el caso de amortiguamiento 0.7 y frecuencias altas se obtiene
una reproducción casi perfecta. Esto son los valores que utilizan acelerómetros comerciales orientados a
ingeniería sísmica.

Figura 4.25 Respuesta de sensor de aceleración
bajo excitación arbitraria de aceleración. Notar el
ajuste de amplitud y fase. Las diferencias están
asociadas a la banda de frecuencias y
amortiguamiento del sensor.
4.14.3. Sensor de Desplazamiento Inercial
Cuando deseamos medir el desplazamiento del terreno se tiene la misma estructura anterior:
mv(t ) + cv(t ) + kv (t ) = p0 sin(ωt)
v t P D t
( ) 0 sin ( ) P
⇒ = ω −θ
v ( t ) v sin
t
v ( t ) v sin
t
ω
ω ω
⇒ = −
La aceleración total sobre la masa del sensor y la respuesta es:
2
−
( ) sin
( ) sin
⇒ =− −
⇒ = −
k
En este caso se tiene el desplazamiento de la carcasa como incógnita y se deriva dos veces para obtener
su aceleración en función de la amplitud de desplazamiento de la carcasa:
( )
2 ( )
=
g go
g go
( ) ( )
( )
0
2
0
g
g
m v
v t D t
k
v t v D
ω
ω θ
γ ω θ

Figura 4.26 Factor de amplificación dinámica de modificado por la razón cuadrática de
frecuencias de excitación y natural de un sistema de un grado de libertad.
Para que el resultado obtenido sea independiente de la relación γ 2 ⋅D , la masa debe ser mucho mayor
que la rigidez (m k ) y γ 1.5 para β = 0,6 − 0,7 .
Un resultado similar se utiliza en medidores de velocidad inerciales, sismómetros o geófonos.
Sensor Medición Directa
4.15. AISLAMIENTO DE VIBRACIONES
Si se tiene la estructura mostrada en la figura, con ( ) 0 P(t) = P sin ωt , la solución particular
está dada por:

k
P(t)
c
F (t) R
v t P D t
( ) = 0 sin ( ω −θ
) P
F ( t ) kv ( t ) PD sin
t
F ( t ) c P D cos t P D cos
t
= = −
= − = −
⎡ ⎤
⎢ ⎛ ⎡ ⎤ 1 + ⎜ 2
⎞ ⎥ ⇒ = + = + ⎛ ⎞ ⎢ ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢⎛ ⎞ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ − ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎢⎣⎝ ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦
La Transmisibilidad de fuerzas es:
⎡ ⎤
⎢ 1 + ⎛ ⎜ 2
⎞ ⎥ = ⎢ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢⎛ ⎢ ⎛ ⎞ ⎞ ⎥ ⎢⎜⎜ − ⎜ ⎟ ⎟⎟ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
⎥ DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K 49
k
Entonces, las fuerzas son:
( )
( ) ( )
0
0
0
E p
D
k
ω θ
ω
ω ω θ ω θ
ω
Como E F y D F están a 90 grados la fuerza resultante, R F , es:
1
2 2
1
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
R D E o o F F F PD P
ω
β
ω ω β
ω ω ω
β
ω ω
1
2 2
2 2
1 2
F
R
o
TR
P
ω
β
ω
ω ω
β
ω ω
Se puede demostrar que la TR es idéntica para razones de aceleración y desplazamiento absolutos.

Figura 4.27
4.16. RESPUESTA EN RESONANCIA
v(t)
( ) 0 P(t) = P sin ωt
Figura 4.28
Dado:
v ( t ) e t ( A sin ( t ) B cos ( t )) P 0 D sin ( t
)
= −βω ω + ω + ω −θ
D D
k
π
ω =ω ⇒θ =
En resonancia 2

1 1
= =
y ( 2 )2 ( )2
1 2 2
A P B P
1 1
= =
k β k β
2 1 2
⎧⎪ ⎛ ⎞ ⎪⎫ = ⎨ ⎜ + ⎟ − ⎬ ⎪ ⎜ − ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭
v ( t ) 1 P e sin t cos t cos
t
0 − ⋅ ⋅
( ) ( ) ( )
β
ω ω ω
v t = e − −
t
v
v(t)
1 envolvente
D
γ βγ β
− +
Si las condiciones iniciales son nulas:
v v

Entonces:
(0) = =
0
0
(0) = =
0
0
v v
0 0
2
−
de donde
k
N
2
2 1
est
t
D D
v
β ω β
ω ω ω
β β
Si:
1

= =
d
Luego: ( ) ( ) 1 1 cos( )
2
t
est
βω ω
β
est v
2β
T

Figura 4.29
Entonces la envolvente de la función está dada por 1− e−β ⋅ω⋅t
Si se analiza la envolvente es posible estimar la taza de crecimiento para un tiempo dado t = nT la
π
amplitud es
2
A e t e T t e 2 n
= −βω = −β = − πβ .

Figura 4.30 Taza de crecimiento de la respuesta resonante. A menor amortiguamiento mas tiempo para
alcanzar respuesta máxima.
Si una estructura no tiene amortiguamiento,β = 0 utilizando la regla de L’Hospital’s:
1 ⎧⎪ ⎛ ⎞ ⎪⎫ 0 ⎨ t
⎜ sin ( ) + ⎜ cos ( ) ⎟ − cos
( )
⎟ ⎬ ⎪ − 2
= ⎩ ⎝ ⎠ ⎪ ⎭
( ) 2 1
D D
⎧⎪ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎨− ⎢ ⎜ + ⎟ − ⎥ + ⎪ ⎢ ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎩ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦
1 − β ⋅ ω
⋅
sin cos cos ...
e t t t t
2
t
( ) 2 1 lim
⎛ ⎞⎪⎫ + ⎜ + − ⎟⎬ ⎜ − ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭
Al evaluar β = 0 encontramos el limite
( ) 1 (sin( ) cos( ))
v t t t t
v
= ω −ω ω
est
Pe t t t
v t k
v
β ω β
ω ω ω
β
β
− ⋅ ⋅
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
3
2 2
2
1
.... 1 sin 1 1 sin
1 2
D D
est
t
D D
v t
v
e t t
β
β ω
β
ω ω ω ω
β
ω β β ω
β
→
−
− ⋅ ⋅
2 est

Figura 4.31
4.17. ENERGÍA DISIPADA
Para calcular la energía disipada en un sistema se integra la ecuación de movimiento del sistema
en función del desplazamiento entre dos instantes de tiempo dados, de la siguiente manera:
( F ( t ) + F ( t ) + F ( t ) )
dv
=
0
( )
( )
1 mv ( t ) 1 k v ( t ) F ( t ) dv
0
2 2
⇒ + + =
∫ =∫ = ∫
( )
( )
2
1
2
2 2
1 1
1
2 2
K V
v t
I D E
v t
v t
t t
t t D
v t
E E
Δ Δ
∫
∫

Desarrollando la última integral se tiene:
( 2 )
( )
1
( ) 2
v t
D
v t
F t dv cv dv dt cv dt
dt
Finalmente se tiene que:

t
( ) 2
1
ΔE + ΔE = −∫cv 2
t dt
_
v t P t
= −
π
θ =
v t P t
P t P t r t
⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
ω ω
D F
K V
t
Energía disipada

En resonancia se tiene que ω =ω , entonces P(t) F (t) D = .
Si 0 P(t) = P sin(ωt) , entonces:
( ) 0 ( ) 1 sin
2
k
ω θ
β
pero como se está en resonancia: 2
( ) 0 ( ) 1 cos
2
k
ω
β
⇒ =
Luego:
2
( ) ( ) ( )
2 0 2
0
sin( ) 1 cos
2
k
β
Entonces, la energía disipada corresponde al área de la elipse que se forma al graficar F (t) D en
función de v(t) , como se muestra en la figura 2.32.
Figura 4.32
v(t)
P(t) r(t)
v(t)

E F
ρ
W 1 kρ V =
2
2
A abW
P t P
F cv c A c
W P P
= = ⎫⎪
= ⎪⎪⎪
= = ⇒ = ⎬⎪
= ⎪⎪⎪
elipse D
D elipse
c c
c m
= = se tiene:
c = = W =
W
c m k
+
v = v v n + n
(1)
v v v
= + (2)
v v t v t
Δ = Δ + Δ (4)
Entonces:
0
max 2
0
0
( )
1
2
D
k
ρ
π
ωρ ωρ π
π
β
⎭

2
D c W
πωρ
⇒ =
β
Como 2 c
ω
2 2 2 2 2
W
W
4
D D
c
D
V
β
π ω ρ π ρ
β
π
⇒ =
Figura 4.33
5. SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE 1 GDL
5.1. MÉTODO DE ACELERACIÓN PROMEDIO
1
2
ave
Si llamamos n 1 n n v v v + − = Δ
Entonces
2
n
ave n
Δ
La velocidad se obtiene integrando
n 1 n n v v v + = + Δ (3)
El incremento de velocidad n Δv esta dado por
n ave Δv = v Δt y utilizando (2)
2
n
n n
Δ

El desplazamiento se obtiene integrando nuevamente
n 1 n n v v v + = +Δ (5)
El cambio de desplazamiento en el paso es:
v v + v t +
Δ = Δ
v v v
+ Δ +

Δ = n n n
Δ = Δ + Δ Δ v tv t v t
(7)
n n n
4 1
Δ v = ⎛⎜ Δ v − v Δ t − v
Δ t
⎞ n Δ ⎟ ⎝ n n 2 n ⎠
4 4 2 n n n n v v v v
(9)
Δ = Δ − −
4 4 , ,
N ( )
1
v v v v v f v v v
(10)
= Δ − − ⇒ =
Δ Δ
n n n n n n n n
1 2 1 1
+ + +
t t
v v
v v t t 4 v 4 v 2
v

Δ ⎛ ⎞ Δ = Δ + ⎜ Δ − − ⎟ ⎝ Δ Δ ⎠

Δ = Δ −
(11)
n n
1
2
n
(6)
Reemplazando (3) en (6)
( ) 1
2 2
Usando (4)
1 ( 2 ) 1 2
n n 2 n 4 n Δv = v Δt + v Δt + Δv Δt (8)
Para obtener n 1 v + en términos de , , n n n ν v v despejamos n Δv de (8)
( 2 )
2
t
2
t t
Δ Δ
Dado que n 1 n n v v v + = + Δ
Entonces
( )
n +
n
−
Reemplazando (9) en (4) 2
2
n
n n n n
t t
Reduciendo:
2 2 n n n v v v
t
Δ
Entonces
P1
1
2 2 2
vn vn
n n n n n n v v v v v v
t t
+ −
+ = +Δ − = Δ −
Δ Δ
( ) 1 1, , n n n n v f v v v + + =
Sustituyendo (5), (10) y (11) en
n 1 n 1 n 1 n 1 mv cv kv P + + + + + + =

4 4 2
⎛ Δ − − ⎞ + ⎛ Δ − ⎞ + = ⎜ Δ Δ ⎟ ⎜ Δ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
m v v v c v v
kv P
n n n n n n n 2 1 1
t t t + +
4 2 4 4 2
⎛ ⎜ m + c + k ⎞ ⎟ v = P + m ⎛ ⎜ v + v + v ⎞ ⎟ + c ⎛ ⎜ v + v

⎞ ⎝ Δ t 2 Δ t ⎠ n + 1 n +
1 ⎝ Δ t 2
n Δ t n n ⎠ ⎝ Δ t n n ⎟ ⎠
K 4 m 2 c k
constante para todo el proceso, y
= + +
Δ Δ
4 4 2
= + ⎛ + + ⎞ + ⎛ + ⎞ ⎜ Δ Δ ⎟ ⎜ Δ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n n n n n n n P P m v v v c v v
+ + =
Finalmente el algoritmo a utilizar es:
Inicialización:
K 4 m 2 c k
= + +
Δ Δ
4 4 2
= + ⎛ + + ⎞ + ⎛ + ⎞ ⎜ Δ Δ ⎟ ⎜ Δ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n n n n n n n P P m v v v c v v
+ + =
n 1 n 1 v K− P

4 4 2 2 2 n n n n n n n m c k P
⎛⎜ Δν − ν − ν ⎞⎟ + ⎛⎜ Δν + ν
⎞⎟ + Δν = Δ ⎝ Δ Δ ⎠ ⎝ Δ ⎠
Si
2
t t
1 1 2
t t t + +
Entonces:
1
n 1 n 1 v K− P
2
t t

1 ( )
0 0 0 v = m− −cv − kv
For n=0:length(P)
a. 1 1 2
t t t + +
b. 1
c. 1
2
n n n v v v
= Δ −
+ Δ
t d. 1 ( )
v = m− P − cv −
kv
n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 end
Método Alternativo
Alternativamente para casos no lineales es mejor restar dos pasos consecutivos
n 1 n 1 n 1 n 1 m v c v k v P + + + + Δ + Δ + Δ = Δ
En este caso se puede utilizar el valor tangente para cada una de las propiedades de la estructura.
2
t t t

4 2 4 2 2 n n n n m c k P m c
t t t
⎛⎜ + + ⎞⎟Δν = Δ + ⎛⎜ ν + ν ⎞⎟ + ν ⎝ Δ Δ ⎠ ⎝ Δ ⎠
kˆ 4 m 2 c k
= + +
Δ Δ
Δ = Δ + ⎛⎜ ν + ν ⎞⎟ + ν ⎝ Δ ⎠

4 4 2 n t n t n n

Δν = Δν − ν − ν
2

ˆ 1 ˆ
n n Δν = k − ΔP con 2
t t
y
ˆ 4 2 2 n n n n n P P m c
t

Finalmente el procedimiento es el siguiente
Dados 1 , , , , ; , , n n n n n n n ν ν ν P P P n c k + Δ = −
1. Calcular kˆ
2. ˆ
n ΔP
3. ˆ 1 ˆ
n n Δν = k − ΔP
4. n 1 n n ν ν ν + = +Δ
5.
2 2 n t n n
Δν = Δν − ν
Δ
6. n 1 n n ν ν ν + = + Δ
7. 2
Δ Δ
8. n 1 n n ν ν ν + = + Δ
o
1 [ ]
ν = m− P − cν −
kν
n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 6. ENSAYOS EXPERIMENTALES
Se dispone de un gran número de opciones para realizar ensayos sobre estructuras. Entre las técnicas
más utilizadas están: ensayo por condiciones iniciales o Pull Back, ensayo por vibración forzada y ensayo
por excitación ambiental. La aplicación de uno u otro ensayo depende entre otros de:
1. Las condiciones de la estructura o sistema.
2. El uso de la estructura.
3. La disponibilidad de equipos excitación y registro.
4. Los plazos de realización del ensayo.
5. La precisión que se quiera obtener en los datos.
6. El costo del ensayo.

A continuación se describen en forma general las técnicas más comunes para la realización de ensayos.
En el texto de Dinámica Estructural Avanzada se pueden encontrar con mayores detalles las técnicas
utilizadas para la ubicación de la instrumentación de excitación y medición, las características técnicas del
equipo de registros y los procedimientos más comunes de determinación de propiedades dinámicas.
6.1. CONDICIONES INICIALES O PULL BACK:
Aplicando condiciones iniciales de velocidad o desplazamiento se obtiene un régimen de oscilación libre
( f (t) = 0). Al graficar la respuesta del sistema en términos del desplazamiento, velocidad, aceleración,
fuerza u otro, se puede determinar el período (T) y la razón de amortiguamiento (β ). Si el
desplazamiento y velocidad inicial es conocido en conjunto con la fuerza que los produce es posible
determinar también constantes de rigidez, la masa y el amortiguamiento de la estructura.
Si el sistema es de varios grados de libertad es relativamente difícil conocer las matrices básicas de
masa, rigidez y amortiguamiento. Generalmente lo que se obtienen son los las propiedades modales de la
estructura.
CI: v0 CI: v’0
Figura 6.1: Ensayo Pull Back

Figura 6.2 Sistema de tiro
para provocar desplazamiento
inicial en Muelle de ventanas
Figura 6.3 Respuesta ante liberación abrupta en muelle de ventanas. A)
Registro de aceleración. B) Espectrograma de la respuesta
Figura 6.4 Definición de Espectrograma. Figura 6.5 Ejemplo de espectrograma en un funciona
armónica con frecuencia con variación lineal

Figura 6.6 Ejemplo de aplicación del método de decremento logarítmico en estructuras de varios grados de
liberad con frecuencias características bien separadas. A. Separación utilizando filtros de las distintas
bandas predominantes. B) Señal filtrada. C) Selección de máximos absolutos. D) Grafica de máximos
absolutos e identificación de amortiguamiento medio.
Figura 6.7 Impacto por salto en pasarela peatonal. Respuesta y ajuste a varias frecuencias mediante
técnicas de optimización.

Figura 6.8 Aplicación de impactos mediante el golpe de una pala mecánica. Respuesta ante el impacto.
6.2. VIBRACIÓN FORZADA:
En este ensayo se instala una máquina en la estructura que genera una vibración con frecuencia y fuerza
conocida. Normalmente este equipo de excitación se compone de dos masas excéntricas que rotan en
dirección contraria. Alternativamente se utilizan gatos hidráulicos que mueven en forma unidireccional
masas variables en la estructura. La maquina se hace oscilar a frecuencias conocidas y se determina el
desplazamiento máximo. Posteriormente se grafica la respuesta máxima en función de la frecuencia de
excitación. La grafica es posteriormente normalizada por el valor de frecuencia en el máximo. La grafica
resultante es utilizada para determinar la frecuencia de la estructura y la razón de amortiguamiento
utilizando el método de ancho de banda.
Para el caso de excitación fuerzas excéntricas, el valor de la fuerza aplicada depende de la maza
excéntrica, su distancia al eje de rotación y la frecuencia de excitación ( ( ) 2 2 e p t = m eω ).
ω ω
( ) 2 2 e p t = m eω
ω

Diseñada por Dino
Morelli, Thomas
Caughey desarrollo
sistema eléctrico.
Hudson, Donald E. (1961) A New vibration exciter for dynamic tests of full scale structures. Technical Report:
CaltechEERL:1961.EERL.1961.001. California Institute of Technology.
Keightley, W. O. (1964) A Dynamic investigation of Bouquet Canyon Dam. Technical Report:
CaltechEERL:1964.EERL.1964.002. California Institute of Technology

Figura 6.9 Utilización de masa excéntrica en viaducto Cypress EEUU, 1989.
6.3. EXCITACIÓN AMBIENTAL
Este ensayo es el más económico y consiste en colocar una serie de censores en la estructura de modo
que registren los desplazamientos obtenidos gracias a la excitación ambiental a la que está expuesta la
estructura diariamente (viento, transito, microtemblores, uso, otros). De los datos obtenidos se identifican
por medio de métodos estadísticos los parámetros modales fundamentales de la estructura. Los métodos
mas conocidos son la Descomposición en el Dominio de la Frecuencia y la Identificación del Subespacio
Estocástico en el dominio del Tiempo. Una descripción de estos métodos se encuentra en el texto de
Dinámica Avanzada de Estructuras.
sensores estadísticas
Figura 6.10: Ensayo con excitación ambiental.
max v
ω

7. ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE LA FRECUENICA
7.1. SERIE DE FOURIER
Jean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo
de 1830 en París), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la
descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes
llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del
calor.
Cualquier excitación periódica, P(t) , puede ser transformada en una sumatoria de funciones
trigonométricas básicas de acuerdo a los conceptos de Serie de Fourier:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
P t a a nt b sen nt
( ) cos 2 2 n n
∞ π ∞ π
Σ Σ
= + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
T T
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n p n p
Tp
0 1 ( )
⎞
⎛
P t nt
2 ( ) cos 2π
n dt
T
⎞
⎛
P t sen nt
2 ( ) 2π
n dt
T
0
1 1
= =
Donde:
= ∫
p
P t dt
T
a
0
; ∫ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
=
Tp
p p
T
a
0
; ∫ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
=
Tp
p p
T
b
0
p T Es el período de la función P(t)
Definimos las siguientes variables 1
2
p T
π
ω = = Δω y n ω = nΔω
Ejemplo:
Dada la función rampa de la Figura. Su composición se presenta en las Figuras para 7 y 201 coeficientes
(dinaFourieCoef.m).
Figura 7.1 Figura 7.2

Figura 7.3
8. RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN OSCILADOR DE 1GDL
8.1. CASO SERIE DE FOURIER BASE
mv(t) + cv(t) + kv(t) = p(t) con 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
p t a a n t b n t
( ) cos 2 sin 2 n n
∞ π ∞ π
Σ Σ
= + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
T T
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n = 1 p n =
1
p
⎛ ⎡ ⎤ ⎞
⎜ ⎢ ⎥ ⎟
⎜ Σ
⎢ + 1
⎥ ⎟
⎜ ⎢ ⎥× ⎟
⎜ 0 1
⎢⎛ ω 2 ⎞ 2 ω
2 ⎥ ⎟ = ⎜ ⎢⎜⎜ − ⎛ ⎞ + β
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢⎣⎝ ⎝ ω ⎠ ⎠ ⎝ ω
⎟ ⎥ ⎠ ⎥⎦ ⎟
2 2
ω ω β ( ω ω
ω ) β ( ω
)
ω ω ω ω
( ) 1 1 2
2 1 1 2 cos
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
p t a a n t b n t
( ) cos 2 sin 2 n n
∞ π ∞ π
Σ Σ
= + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
T T
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n p n p
n
n n
n n n n
n n n n n n
a
v t
k
a b sen t a b t
∞
=
⎜ ⎟
⎜ ⎪⎧⎡ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎤ ⎪⎫⎟ ⎜ ⎨⎢ + ⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ + ⎢ ⎜⎜ −⎜ ⎟ ⎟⎟ − ⎥ ⎬⎟ ⎜ ⎪⎩⎢⎣ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭⎟ ⎝ ⎠
n ω = nΔω y
8.2. RELACIÓN DE COEFICIENTES DE SERIE DE FOURIER ARMÓNICOS Y EXPONENCIAL
COMPLEJO.
0
1 1
= =

cos( x ) = 1 ( eix + e−ix
)
x = − i eix − e−ix
∞ ∞
( ) 1 1
= +Σ + − Σ −
in t in t in t in t
p t a a e Δ ω e − Δ ω i b e Δ ω ie − Δ
ω
n n
2 2
n n
( ) 1 1
∞ ∞
= + Σ in t − + Σ in t
+
p t a e Δ ω a ib e −Δ
ω a ib
n n n n
2 2
n n
c 1 c 1
2 n n 2 n n = a − ib = a + ib y con o c o = a
∞ ∞ ∞
= +Σ +Σ = Σ
( ) in t in t in t
p t c c e Δ ω c e − Δ ω c e Δ
ω
n n n
n n n
p n v t = G eω ; ( ) ( i nt )
1
n n ( )
⎛ ⎞
( ) 1 1
= ⋅⎜ ⎟ ⎝ − + ⎠
n 1 2
= Σ
v t c H e
2
sin( ) 1 ( )
2
( ) ( ) 0
1 1
= =
( ) ( ) 0
1 1
= =
Si ( ) * ( )
n n
*
0
1 1
= = =−∞
8.3. REPRESENTACIÓN COMPLEJA DE LA SERIE DE FOUIER
A partir de la ecuación de equilibrio ( ) ( ) ( ) i nt
n mv t + cv t + kv t = c eω
Solución ( ) i nt
v t = iω G eω ; v ( t ) = −ω 2 ( G ei ω
nt )
p n n p n n Reemplazando en la ecuación de equilibrio
( 2 ) n n n n G −mω + ciω + k = c
2
n n
G c
k mω icω
=
− +
2
1
1 2
n
n
n n
n n
G c
k
ω i ω
β
ω ω
=
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
⎢ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦
entonces ( ) n n n G = c H ω
2
n n
H
k i
ω
γ βγ
con n
n
ω
γ
ω
=
Finalmente la respuesta permanente es: ( ) ( ) i nt
p n n v t = c H ω eω
La solución a una excitación periódica arbitraria
i nt
( )
= Σ
pt ce
n
n
∞ ω
=−∞
Como ( ) ( )
i nt
n n
n
ω
ω
∞
=−∞

8.4. PAR DE TRANSFORMADA DE FOURIER
Tp →∞ ω→ω cn →c(ω)
n Para extender a señales no periódicas, se hace tender el límite de T → ∞
p 8.5. RESPUESTA UTILIZANDO LA TRANSFORMADA DE FOURIER
A partir del par de Transformada de Fourier
1 ∞
( ) ( ) exp( )
∫
∫
pt c itd
ω ω ω
π
−∞
∞
c Pt itdt
= ∫
v t H ω c ω iωt dω
⎡ ⎤
⎢ ⎥
( ) 1 1
= ⎢ ⎥
⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎥ ⎢ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
⎧ ℑd v t ⎫
⎨ = i ℑ
vt
⎩ dt
⎬ ⎭
v(t) = ℑ−1{P(ω)H(ω)} v(t) = ℑ−1{iωP(ω)H(ω)} v(t) = ℑ−1{(iω )2 P(ω)H(ω)}
Debido a la forma en que se entrega el espectro de Fourier para índices positivos solamente es necesario
desdoblar las frecuencias y la respuesta al impulso en el espacio de frecuencia.
(respfre.m)
% senal en el espacio de la frecuencia
Pw=fft(P);
%%Definicion de simetria de FRF
if ~any(any(imag(P)~=0)), % if x is not complex
2
( ) ( ) exp( )
ω ω
−∞
=
= −
Encontramos la respuesta continua:
( ) 1 ( ) ( ) exp( )
2
π
∞
−∞
Otros parámetros de respuesta pueden obtenerse de la propiedad de derivada en el espacio de la
frecuencia
Dado una excitación: ℑ{p(t)} = P( f )
FRF: 2
1 2
H
k
i
ω
ω ω
β
ω ω
Dado que la derivada en el espacio de la frecuencia
( ) ( ) { ( )}
n
n
n
ω
if rem(nP,2), % nfft odd

select = (1:(nP+1)/2)';
else
select = (1:nP/2+1)'; %% par
end
else
select = (1:nP)'; %% complejo
end
f = (select - 1)*Fs/nP;
% Funcion de Respuesta en Frecuencia Single Sided
FRF=zeros(nP,1);
fratio=f/fo;
unos=ones(length(f),1);
% Para señal compleja.
FRF(select)=(unos/k)./(unos-(fratio).^2+(j*2*beta).*(fratio));
%% Correccion para doble sided spectra
if ~any(any(imag(P)~=0)), % if P is not complex
% correcion de frecuencia
f=[f ; zeros(nP-length(f),1)];
if rem(nP,2), % nfft odd
FRF(select(end)+1:end)=conj(FRF(((nP+1)/2):-1:2)); % Symetric
f(select(end)+1:end)=-f(((nP+1)/2):-1:2); % Notar signo negativo.
else
FRF(select(end)+1:end)=conj(FRF(nP/2:-1:2)); %% impar no se consider
punto central
f(select(end)+1:end)=-f((nP/2):-1:2);
end
end
d=real(ifft(FRF.*Pw));
v=real(ifft((j*f*2*pi).*FRF.*Pw));
a=real(ifft((j*f*2*pi).^2.*FRF.*Pw));
9. PULSO
Un pulso es una acción que esta acotada en el tiempo y se puede tratar en forma aproximada separando
en dos posibles fases la respuesta de la estructura:

La Fase 1 bajo la presencia de una acción externa y la fase II bajo oscilación libre con
condiciones iniciales. Dinapulso.m
La respuesta varia de acuerdo a la relación entre duración del pulso y periodo
del sistema.
Es conveniente estudiar el comportamiento ante algunos pulsos básicos. Se desarrolla el caso de pulso
rectangular. En general la respuesta máxima no esta influida por el amortiguamiento en forma

significativa. Los desarrollos se realizan sin amortiguamiento y luego se comparan con respuestas
amortiguadas.
9.1. PULSO RECTANGULAR
Dinapulsorec.m
9.1.1. Fase I: Respuesta Máxima Bajo Aplicación de la Carga
= ω + ω +
= + + = −
= − ω
si t ≤ td
m v(t) + k v(t) = p(t) = p
0 Solución
v ( t ) G G p
0 p
k
= ⇒ =
v(t) ( A sen t B cos t ) p0
k
si v (0) = 0 ν (0) = 0
v (0) 0 B p0 B p0
k k
v(t) =ω ( A cosωt − B senωt ) = 0 entonces A = 0
Final solución: ( ) 0 (1 cos ) v t p t
k

El valor máximo es:
max v p 1 cos t 2 p
= − ω = y ocurre para d 1/ 2 t
0 ( ) 0
k k
T ≥ dado que 2
ω = π
T
9.1.2. Fase II: Respuesta Máxima Bajo Aplicación Nula
si t ≥ t
d m v(t) + k v(t) = p(t) = 0
Por tanto la solución es oscilación libre
v ( t − t ) = A cos ω ( t − t ) + B senω ( t − t
) d d d t ' = t − t
d Condicion inicial para oscilación libre
v ( t ' = 0) = v ( t ) = p 0 (1 − cos ω
t
) d d
k
v t v t p sen t
( ' 0) ( ) o
= = = ω ω
Sabemos que:
d d
k
v t − t = v t = ω t − t + v t senω t −
t
( ) ( ' 0) cos ( ) ( ' =
0) ( ) d d d
ω

v A B v v P t sen t
ω ω

0 (0) 1 cos d
= + = ( ) + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟
= ( − )
+ 2 2
2 2 2 0 2
ω
d
max 2
k
ω ω
⎝ ⎠
2
p 0 t 2 t 2
sen t
k
ω
2 1 2cos cos d
= − + +
ω ω d d
ω
ωp t
k
= − ω 0 2 2 cos 2 d p t
0 2(1 cos ) d
= ⎜⎛ − π ⎟⎞
k T
⎝ ⎠
max 2 d v p sen t
= π para
0
k T
1
2
d t
T

9.1.3. Espectro de Respuesta al Impulso
D vP
Sea max
0
k
=
Espectro (envolvente de todas las respuestas)
Se presenta la respuesta para todas las razones de duración período y distinto
amortiguamiento. Dinapulsosen

9.2. PULSO SENOSOIDAL

9.3. PULSO ASCENDENTE

9.4. COMPARACIÓN PULSOS
Compara pulsos de igual amplitud y duración. dinaPulsoCompara.m
Si no hay cruces por cero ⇒ Dmax = 2

Compara pulsos de igual área bajo el pulso.(Normalizada para el caso de rectangurlar).
9.5. EJEMPLO:
Suponga una excitación tipo Seno de duración un segundo
P0 =1000; td =1
k = 4; m =1
t = 1 4 d = 0.333 ⇒ D
≈
1.2
T
2 π
1
v = P 0
D Q = kv =
P D
max max max 0
k

10. IMPACTO
En impacto se dice que el Δt es tan pequeño que el amortiguador y el resorte no alcanzan a ser
excitados. Por tanto el impacto es una acción muy corta en el cual los desplazamientos durante la
aplicación de la carga se pueden despreciar.
≈ = − / v(t)→0
t v ( t ) v ( t ) dt P ( t )
dt
v t v t v
sen t
( ) = cos( ) +
( )
ω ω
v t t v t sen t t
( − ) = ( ) ( −
)
⎛ ⎞
( ) 1 ( ) ( ( ))
∫
v t t Pt dt sen t t
− = ⎜⎜ ⎟⎟ −
v 1 *10
Si 1 1
4
t
T
se cumplen las simplificaciones asociadas a las ecuaciones de impacto
mv(t) + cv(t) + kv(t) = P(t) Y c = 0
v(t) P(t) k v(t) 0
m m
1
0
m
= ∫ = ∫
Movimiento libre:
1
0
1
1 1
1 1
0
o
II
t
II
m
ω
ω
ω
ω
ω
⎝ ⎠

Ejemplo
0 50 0.1 1.2 d P = t = T =
∫ P(t)dt
3 0.3 1/ 4
1.2
d t
T
=
max
mω
=
11. CARGA ARBITRARIA EN EL TIEMPO
La respuesta de UN impacto unitario se escribe como:

t
( ) 1 1
( ) ( t t
1 )
( ( ))
∫
v t t P t dt e sen t t
d
1 1
0
= Σ Δ − − −
v t P t t sen t
t
( ) 1 ( ) exp( ( )) ( ( ))
= ∫ − − − → Integral de Duhamel
v t P t sen t d
d
m
βω ω
ω
− − ⎛ ⎞
− = ⎜⎜ ⎟⎟ −
⎝ ⎠
Figura 11.1
Para varios impactos
( ) 1 ( ) exp( ( )) ( ( )) D
D
m
τ βω τ ω τ
ω
En el caso de una secuencia infinita de impactos
mv(t) + cv(t) + kv(t) = P(t)
0
D
D
m
τ βω τ ω τ τ
ω

t
v ( t ) = ∫ P ( τ ) h ( t −τ )
dτ → Integral de Convolución
h sen
τ βωτ ω τ
= − → Respuesta impulso unitario
0
( ) 1 exp( ) ( ) D
D
m
ω
La convolución implica tres pasos fundamentales:
Dinaconvu.m Función original Desdoblamiento
Desplazamiento Convolución

12. ESPECTRO Y PSEUDO ESPECTROS DE RESPUESTA
12.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMICIDAD Y ONDAS.
Figura 12.1Distribución de sismos en el planeta en un periodo de un año.
Figura 12.2 Generación e interacción de placas de la corteza terrestre.

Figura 12.3
Topografia digital de america. Los bordes
de placa quedan identificados.
Figura 12.4Ondas de Cuerpo Ondas Superficiales
Figura 12.5 Esquema básico de un registrados
sísmico inercial
Sistema real de registro.

Figura 12.6 Distribución de sismos en Chile en un siglo.

Figura 12.7 Registro epicentral obtenido en roca. Sismo del Terremoto de Tocopilla
del 14 de Noviembre del 2007.

FI (t) + FD (t) + FE (t) = 0 mvt (t) + cv(t) + kv(t) = 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v t v t v t
mv t cv t kv t mv t P t
= +

+ + =−
=
La respuesta a esta excitación es la integral de Duhamel
t
( ) 1 ( ) exp( ( )) ( ( ))
−
= ∫ − − −
v t v t βω t τ sen ω t τ dτ
t
( ) 1 ( ) exp( ( )) ( ( ))
−
= ∫ − − −
t
g
g e
0
g d
ω
D
Maurice Biot (1905 - 1985) desarrolló el concepto
de espectro de respuesta en su tesis doctoral de
1932. Es importante notar que indicó, que si bien
este se generaba para base fija, esto era
generalmente conservador debido a posibles
flexibilidades del medio de soporte.
12.2. ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS
0
g d
ω
d
Sd(T,β ) = max v(t)
( ) g →v t T →∞
Nota: Si 0 T = 0→La estructura es infinitamente rígida
⇒ El desplazamiento relativo suelo oscilador es nulo

Si 0 T = ∞ → La estructura es muy flexible. El desplazamiento relativo oscilador base es igual al
desplazamiento de la base g max T = ∞⇒ Sd → v
Figura 12.8
12.3. ESPECTRO DE VELOCIDADES RELATIVAS
Sabemos:
t
( ) 1 ( ) exp( ( )) ( ( ))
−
= ∫ − − −
b t
φ ( t ) = ∫ G ( t , τ )
dτ
b t
d φ ( t ) = ∫ dG ( t , τ
) d τ + G ( t , b ( t )) db −
G ( t , a ( t ))
da
dt dt dt dt
t
βω
= ∫ − − − +
v t v t sen t d
() ( )exp( ( )) ( ( )) ...
−
+ ∫ − − − +
0
g d
ω
d
Recordando que:
( )
a t
( )
( )
a t
( )
0
0
g D
D
τ βω τ ω τ τ
ω
0
()exp( ( )cos( ( )) ...
t
D
g D
D
v t t d
ω
τ βω τ ω τ τ
ω

v t t t sen t t dt v t sen t d
( ) exp ( ( ) )
( ( )) (0) exp( ( 0)) ( ( 0)) 0 g d g d
+ −βω − ω −
+ −βω − ω −
dt dt
0 N
0
t
β
∫
v ( t ) v ( ) exp( ( t )) sen ( ( t ))
d

⇒ = − − −
2
0
τ βω τ ω τ τ
g D
−
− − − −
β
τ βω τ ω τ τ
v t t d
T k Sv
T k Sv v
→ ⇒ →∞⇒ =
→ ∞ ⇒ → ⇒ →
1
0
( ) exp( ( )) cos( ( ))
t
g D
∫

Se define: ( , ) max ( ) v S T β = v t
max
0 0
0 g
Figura 12.9
12.4. ESPECTRO DE ACELERACIONES ABSOLUTAS
T ( ) ( )
g v = v t + v t
La importancia de determinar la aceleración absoluta máxima del sistema radica en que depende de las
fuerzas inerciales en el sistema
v(t) dv(t)
=
dt

Luego sumar vg (t) para obtener vT (t)
A partir de la ecuación de movimiento (conocidas v(t) y v(t) )
mv t cv t kv t
v t c v t k v t

( ) + ( ) + ( ) =
0
( ) ( ) ( )
⇒ = −
T = ⇒ k →∞⇒ Sa →
PGA
T → ∞ ⇒ Sa
→
T
T
−
m m
Conocido vT (t) por cualquier método
Sa(T,β ) = max vT (t)
0
0
Figura 12.10

12.5. ESPECTRO DE DISEÑO EN CHILE

Sa(T) Ao α
I
R
=
⎛ ⎞
T
T
T
T
+ ⎜ n
⎟
= ⎝ ⎠
0
3
⎛ ⎞
+⎜ n
⎟
⎝ 0
⎠
1 4.5
1
P
α
Figura 12.11
Zona 3: Ao=0.4
Zona 2: Ao=0.3
Zona 1: Ao=0.2
Figura 12.12

12.6. PSEUDO ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION
Se define como:
Sd T Sd T
PSv T Sd T
PSa T Sd T
PSa T PSv T
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
β β
β ω β
β ω β
β ω β
PS = T PS ⇒ PS = T − π +
PS
= ⇒ = − + π +
2
=
=
=
=
12.7. ESPECTRO CUADRILOGARITMICO
Resume los contenidos de los pseudos espectros de desplazamientos y aceleración
Dado que:
log( ) log( ) log(2 ) log( )
d 2 π
v d v
Entonces
PS 2 π
PS log( PS ) log( T ) log(2 ) log( PS
) a v a v T

T
PS Tn cmβ π s
PS T
PS T cm
β = − π +
π
β
PS
PS T
log( ) 2log(2 )
a
=
Ejemplo:
1sec
( , ) 2
n
=
v
=
Entonces
log( ( , )) log(1) log(2 ) log(2 )
d n
d n
( , ) 1
⇒ =
log( ( , )) log(2 ) log( ) log( ( , )) a n n v n PS T β = π − T + PS T β
2
( , ) (2 )
a n
π
β π
⇒ =

12.8. OTRAS VARIABLES DE RESPUESTA SISMICA
12.8.1. Integral de Housner
George W. Housner (December 9, 1910 (Saginaw, Michigan) - November 10, 2008
(Pasadena, California))
Housner, George (1989) Interview with George W. Housner. Oral History Project, California
Institute of Technology Archives, Pasadena, California.
2.5
1 β
Integral de Housner = SI = ∫ Sv T = dT
0.1
( , 0.20)
2.4
La Banda de Períodos utilizada es la más frecuente en edificios. Muy sensible al amortiguamiento
utilizado por tanto se recomienda utilizar 20% de razón de amortiguamiento crítico. Al usar Sv no
considera comportamiento inelástico de estructuras.

Kobe EQ. Predominante SI.

12.8.2. Relación entre Energía y Espectro de Fourier
t
( ) 1 ( ) exp( ( )) ( ( ))
= ∫ − − −
v t v τ βω t τ sen ω t τ dτ
t
( ) 1 ( ) ( ( ))
= ∫ −
g v t v τ sen ω t τ dτ
E t = kv t + mv t
⎛ t ⎞ ⎛ t
⎞
1 1 ∫ ( ) ( ( )) 1 ∫
( ) cos( ( ))
2 2
g g k v τ sen ω t τ dτ m v τ ω t τ dτ
ω
= ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
t t
E ( t )*2 ∫ v ( ) sen ( ( t )) d v
( )cos( ( t ))
d
m
g ∫ g
2 2 2 2
t sen t t t sen t sen
sen t sen sen t sen t sen t sen t
cos ( ω − ωτ ) + ( ω − ωτ ) = cos ( ω ) cos ( ωτ ) + 2cos ω cos ωτ ω ωτ
+
...
... cos 2 cos cos cos
cos ( ) ( )
+ + − + =
= +
ω ωτ ω ωτ ω ωτ ωτ ω ωτ ω
ωτ ωτ
⎡⎛ t ⎞ ⎛ t
⎞ ⎤
= ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦
E t v d v sen d
m
2 ( ) ( ) cos( ) ( ) ( )
∫ ∫
τ ω τ τ ω τ
g g
∞ ∞
∫ ∫
v ( t ) v ( t ) exp( i t ) dt v ( t ) exp( i t )
dt
g g g i t t isen t
ℑ = − = −
ω ω
− = −
∞ ∞
ℑ = ∫ − ∫
( ) ( )cos( ) ( ) ( ) g g g v t v t ωt dt i v t sen ωt dt
0
g D
ω
D
β = 0
ω
0
La energía Total de 1 GDL: 2 2 ( ) 1 ( ) 1 ( )
2 2
2 2
0 0
2 2 2
2
0 0
ω
τ ω τ τ τ ω τ τ
ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇒ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Si desarrollamos sen(ωt −ωτ ) y cos(ωt −ωτ )
sen(ωt −ωτ ) = sen(ωt )cos (ωτ ) − sen(ωτ )cos (ωt )
cos(ωt −ωτ ) = cos (ωt )cos(ωτ ) + sen(ωt ) sen(ωτ )
Por tanto
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
sen
2 2 1/ 2
0 0
{ }
0
−∞
exp( ) cos( ) ( )
ω ω ω
⇒ { }
0 0

⎡⎛ ∞ ⎞ ⎛ ∞ ⎞ ⎤
∫ ∫
ℑ = ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) g g g v t v t ωt dt v t sen ωt dt
⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦
{ }
2 2 1/ 2
0 0
Lo anterior indica que la Transformada de Fourier es una medida de Energía al final del sismo. Máximos
en el Espectro son indicadores que gran energía se ha introducido al sistema.
Insertar Figura que compara FFT y SV
Normalmente la energía máxima no ocurre al final del sismo por tanto la transformada de Fourier es
menor a Sv.
Notar que la velocidad máxima del sistema se puede estimar a partir de la evolución de la energía.
max max E(t ) = E por tanto se puede estimar la velocidad máxima posible como
2
max max
max
max
1
2
2
E mv
v E
m
=
=

12.9. INTENSIDAD DE ARIAS
π
= ∫
0
( )
2
t
g IA vtdt
g
Escala de medida de energía
Kobe EQ Arias Intensity.

Rotated Record IA (trace)= 1569.23
I =
543.4058 -228.3716 2.1706
-228.3716 839.0633 -15.5247
2.1706 -15.5247 186.7571
traza =
1.5692e+003
vect =
0.0118 0.8785 -0.4776
0.0279 0.4771 0.8784
0.9995 -0.0236 -0.0189
vals =
186.3495 0 0
0 419.3228 0
0 0 963.5540
13. MÉTODO DE RAYLEIGH
13.1. BALANCE DE ENERGÍA
v(t) = z0sen(ωt) 0 v(t) = z ω cos(ωt)
E. cinética 2 ( ) 1 ( )
E t = mv t E. potencial E ( t ) = 1 kv 2 ( t
)
k 2 p 2 ( ) ( ) p k E t + E t = E = cte
E max
E
p
E max
E
k
=
=
debe cumplirse pues el máximo de una se encuentra cuando la otra es cero.

1 2 1 2 1 2 2
2 2 2
→ k v = m v = mω v
A partir de la energía obtenemos la frecuencia 2 k
m
⇒ω =
Este método parte de establecer para una estructura la forma de vibrar φ (x) , luego
0 v(x,t) =φ (x) y(t) =φ (x)z sen(ωt)
l l
⎡ ⎤
E ( t ) 1 m ( x ) x v ( x , t ) 1 m ( x ) ( x ) z cos( t )
x
[ ]
2 2
2
⎣ ⎦ ∫ ∫
δ φ ω ω δ
= ⎢ ⎥ =
2 0
δ
2 2
0 0
l
1 ( ) ( )
2
kE = z ω ∫φ x m x δ x
Falta calcular la energía potencia:
E k
E M k k θ θ θ θ θ θ
1 ( , ) ( , )
2
E M x t x t x
θ δ
M x t EI x v x t
δ
δ
δ
( , ) ( ) ( , )
1 ( ) ( , )
2
k
t
δ
2 2 2
0
0
2
2
1
2
1 1 ( ) 1
2 2 2
p
p
= Δ
= = =
0
2
2
2 2
2
0
l
p
l
p
x
E EI x v x t x
x
δ
δ
=
=
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫
∫
Reemplazando el φ (x) :

1 ( ) ( ) ''( )
2
1 ( ) ''( )
2
[ ]
2 2 2
0
E EIxzsen t x x
[ ]
E EIxz x x
φ δ
x x x x x
= ⎛ ⎞⎛ − ⎞ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
L L L L
x cte
→ =− =
x x senL
x sen x
0
2 2
0
0
l
p
l
p
ω φ δ
φ δ
→ =
→ =
∫
∫
[ ]
[ ]
2
∫
∫
2 0
2
0
( ) ''( )
*
*
( ) ( )
k p
l
l
E E
EI x x x
k
m
m x x x
ω
φ δ
=
→ = =
Ejemplo: viga simplemente apoyada.
Construimos φ como una parábola talque cumpla las condiciones de borde en los apoyos.
2
2
''( ) 2
120
2
( ) 1
φ
2
4
φ
=
ω
φ
( )
L
EI
mL
EI x = M =
cte
→ No puede ser.
Veamos φ como una sinusoide.
π
( ) ( )
2
''( )
L L
φ
π π
φ
=
= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
2 97.4 EI
mL
ω =
La frecuencia menos es la que mas se acerca a la forma de vibrar real.

375
192
k
=
k
1
=
2
⎤
1
⎡
=
0.9
Nos damos un [ ] ⎥⎦
⎢⎣
1 φ
como primer modo.
Energía Cinética
1 Σ 2 1
Σ
2 2
2 2
1
Σ
2
1 50*0.9 10*1 50.5 *1000
2 2
E mv m ω
v

= =
k i i i i
{ }
( )
2 2
0
φ ω
i i
2 2 2 2 2
0 0
= 1
⎡ Σ
− 2
⎤
2
⎣ 1
⎦
1
Σ
2
1 3750 1 0.9 1920 0.9 *1000
2
1 1592.7*10
2
E k v v
v piso i i i
piso i i i
−
ω = =
ω = 5.6 rad/seg (para el primer modo)
13.2. COORDENADAS GENERALIZADAS
Generamos la ecuación de equilibrio dinámico a partir de una forma de vibrar mediante Desplazamientos
Virtuales δ v
Ecuación de trabajo:
z m
z z
ω ω
→=
→= ⎡⎣ + ⎤⎦ =
Energía Potencial.
[ ] ( )
( )
( ) ( )
2 2
0 1
z k
2 2 2
0
2 3
0
z
z
φ φ
−
→= −
→= ⎡ − + ⎤ ⎣ ⎦
→=
Luego
2 1592.7 31.54
50.5
0 D E δW Fδ v F δ v F δ v Ι = + + =

L N N
−∫ ( ) ( ) ( ) −Σ ( ) ( ) −Σ ( ) ′ ( ) ′ +
0
m x z t φ x δ vdx M z t φ x δ v I z t φ x δ v
n n n n
n n
= =
0 1 1
...
L L N
−∫ EI ( x ) z ( t ) φ ′′ x δ v ′′ dx − ∫ k ( x ) z ( t ) φ ( x ) dxδ v −Σ k φ ( x ) z ( t
)
+
( ) ...
n
=
0 0 1
n n
L N L
−∫ c ( x ) z ( t ) φ ( x ) δ vdx −Σ c φ ( x ) z ( t ) δ v + ∫ p ( x )
δ vdx
=
0
n n
0 n
=
1 0
Agrupando por variable de movimiento:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
⎡ L N N
⎤
∫ Σ Σ
− ⎢ + + ′ ′ ⎥ +
z t m x φ x φ x δ zdx M φ x φ x δ z I φ x φ x δ z
n n n n n n
⎣ 0 n 1 n
1
⎦
...
= =
⎡ L L N
⎤
∫ ∫ Σ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
− ⎢ ′′ ′′ − − ⎥ +
z t EI x φ x φ x δ zdx k x φ x φ x dxδ z k φ x φ x δ z
( ) ( ) ...
⎣ 0 0 n
1
⎦
n n n
=
⎡ ⎤
L N L
∫ Σ ∫
Así
m∗z(t ) + c∗z (t ) + k∗z (t ) = p∗ (t )
Donde en general
( ) ( )2 ( ) ( ) ( )
z t c x φ x dxδ z c φ x φ x δ z pφ x δ zdx
− ⎢+ + ⎥ = −
⎣ ⎦
0 1 0
= ∫ ⎡⎣ ⎤⎦ +Σ +Σ
m∗ m x φ x dx M φ x I φ x
L N
= ∫ ⎡⎣ ⎤⎦ +Σ ⎡⎣ ⎤⎦
c∗ c x φ x dx c φ x
L L N
= ∫ ⎡⎣ ⎤⎦ +∫ ′′ +Σ ⎡⎣ ⎤⎦
k∗ k x φ x dx EI ( x )
φ dx k φ x
L N
= ∫ +Σ
p∗ t p x t φ x dx p x φ x
( )
n n n
n
=
( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2
0
0 1
( )'
L N N
n n n in
n i n
= =
( ) ( ) ( ) 2 2
0 1
n n
n
=
( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 2
0 0 1
n n
n
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,
0 1
n n
n
=
Y
*
2
k
m
*
ω =
14. SISTEMA DE N GDL
Siempre trabajamos con los GDL dinámicos. Si tenemos exceso de estáticos, debemos condensar hasta
tener solo los dinámicos.

Para NGD, se tiene que en el equilibrio de fuerzas:
{ I ( )} nx1 { D ( )}nx1 { E ( )}nx1 { ( )} f t + f t + f t = P t
Donde la s fuerzas elásticas, de inercia y disipación, se definen como:
{ } [ ] { } 1 1 ( ) ( ) E nx nxn nx f t = K v t
{ } [ ] { } 1 ( ) ( ) I nxn nx f t = M v t
{ } [ ] { } 1 ( ) ( ) D nx nxn nxn f t = C v t
14.1.1. Fuerza Elástica
Uno de los primeros pasos para resolver esto, es el cálculo de la matriz de rigidez, identificar los grados
de libertad del sistema la matriz de masa, para esta última debemos poner preferentemente los GDL en el
centro de masa.
Ejemplo:
⎡ EA
⎤
⎢ 0 0
⎢ L
⎥
⎥
= ⎢ ⎢ + ⎥ ⎥
⎢ ⎥
⎢ + + + ⎛ ⎢ ⎜ + ⎞⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦
⎟⎥ K 0 12 EI 6 EI 12
EI R
[ ] 3 2 3
L L L
EI EI R EIR EI R EIR EI
L L L L L L
0 6 12 6 4 12 6
2 3 2 2 2
Para K33: si giro 1, se tiene

14.1.2. Fuerza Inercial
0 0
⎡ ⎤
= ⎢ ⎢ 0 0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0
⎥⎦
K K v t F t
K K v t F t
( ) ( )
( ) ( ) 0
⎡ ⎤ ⎪⎧ ⎪⎫ ⎧ ⎫ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎣ ⎦ ⎩⎪ ⎪⎭ ⎩ = ⎭
[ ]{ } [ ]{ } { } { } 10 0 11 1 1 K v (t) + K v (t) = F (t) = 0
{ } [ ] 1 [ ]{ }
⎡ ⎤
( ) = ( ) =⎢ ⎥
( )
K ~
= T nxn K T [T ], no depende del tiempo, entonces:
{ v ( t ) } [ T ]{ v ( t
)
}
{ v ( t ) } [ T ]{ v ( t
)
}
{ v ( t ) } [ T ]{ v ( t
)
}
[ ]
0
0
0
m
M m
I
Cuando escogemos GDL en el centro de masa, la matriz es diagonal, lo que facilita enormemente los
cálculos.
14.1.3. Disipación
{ } [ ] { } 1 1 ( ) ( ) D nx nxn nx f t = C v t
En general no calculamos C dado que normalmente el disipador no existe.
14.2. RELACIONES BÁSICAS: RIGIDEZ, FLEXIBILIDAD Y TRABAJO
14.2.1. Condensación Estática
[ ]{ ( )} { ( )} E K v t = F t
[ ] [ ]
[ ] [ ]
{ }
{ }
00 01 0 0
10 11 1 1
1 11 10 0 v (t) K K v (t) − = −
[ ]{ } [ ][ ] 1 [ ]{ } { }
K v (t) − K K − K v (t) =
F (t) 00 0 01 11 10 0 0 {[ K ] − [ K ][ K ] − 1 [ K ]}{ v (t) } =
{ F (t) }
00 01 11 10 0 0 { } [ ]{ }
[ ]
[ ] [ ]
{ } 0 1 0
11 10
I
v t T v t v t
K K −
⎢⎣− ⎥⎦
[ ] [ ] T
[ ] [ ]nxn nxn
0
0
0
=
=
=

[C~]= [T]T [C][T]

[ ]T [ ][ ] ⎡⎣M ⎤⎦ = T M T
14.2.2. Trabajo y Energía de Deformación
Matriz de flexibilidad
1 11 1 12 2 1 ... n n v = f p + f p f p
{v} = [F]{P}
Rigidez {P} = [K]{v}
Energía de deformación. (V)
1 1 { } { }
2 2
V = ΣP ⋅ v = P v
Utilizando flexibilidad
v =
F P
P =
K v
K − 1 P K −
1
K v
K P v
1
2
N
T
i i
i
1 { } [ ]{ }
2
T V = P F P
De manera alternativa utilizando matriz de rigidez
1 { } { } 1 { } [ ]{ }
2 2
T T V = P v = v K v
Como la energía de deformación es positiva
{vT }[K]{v} 0
{ P } T [ F ]{ P }
0 Por tanto para v y P arbitrario [K],[F] son positiva definidas no singulares o invertibles. Entonces
{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ }
[ ] { } =
[ ] [ ]{ }
[ ] −
1
{ } =
{ }
[ K ] −
1
[ F
]
⇒ =
14.2.3. Ley de Betti
Tenemos dos sistemas de cargas 1 y 2 sobre un cuerpo
Trabajo de Carga 1 a través de desplazamientos 1. W = { P } T { v
} 11 1 11

1
2
Luego se aplica carga 2 lo que genera un trabajo adicional de: W +W = { P } T { v } + { P } T { v
} 22 12 2 22 1 12
1 1
2 2
El trabajo total es: { } T { } { } T { } { } T
{ } 11 22 12 1 11 2 22 1 12
Total W =W +W +W = P v + P v + P v
Si aplicamos en orden inverso:
Carga 2: { } { } 22 2 22
1
2
1 1
2 2
1
2
T W = P v
Trabajo Adicional W +W = { P } T { v } + { P } T { v
} 11 21 1 11 2 21
Trabajo Total: { } T { } { } T { } { } T
{ } 11 22 21 2 2 1 11 2 21
Total W =W +W +W = P v + P v + P v
Debido a que la energía de deformación es independiente de la aplicación a la carga
{ } { } { } { } 1 12 2 21
T T P v = P v
“El trabajo hecho por un grupo de fuerzas debido a las deformaciones de un segundo grupo de fuerza es
igual al trabajo hecho por el segundo grupo de fuerza debido a las deformaciones del primer grupo”
14.2.4. Ecuación de Equilibrio Dinámico
Luego la ecuación característica de equilibrio, para un sistema de NGD es:
[M]{v(t)} +[C]{v(t)} +[K]{v(t)} = {P(t)}
Solución a la ecuación:
Primero resolvemos para [C] = 0
Problema homogéneo:
Donde su solución es conocida:
0 y(t) = y (t)sen(ωt)
[ ] { } { } 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) nx nx v t = φ y t = φ y t sen ωt
{ } 2 { }
0 v(t) = −ω φ y sen(ωt)
Si reemplazo la solución.
[ ] 2 [ ] { } { }
1 1 0 nxn nxn nx nx ⎡⎣ K −ω M ⎤⎦ φ =
det ⎡⎣[K]−ω2 [M]⎤⎦ = 0
De esta ecuación se obtiene i ω
(Valores propios.), los que representan las frecuencias de cada modo.
Problemas de valores propios

n soluciones.
n frecuencias.
n valores propios.
Ejemplo
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
m =
1 0
0 2
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
k =
2 2
2 4
⎡ − ⎤
⎢− ⎥ ⎣ ⎦
phi =
0.7071 0.7071
0.5000 0.5000
⎡− − ⎤
⎢− + ⎥ ⎣ ⎦
ω2 =
0.5858 0
0 3.4142
polcaract = [1 -4 2]
Figura 14.1
NGDL= 5
m = 2
k = 3
beta = 0.0500
polcaract =1.0000 -13.5000 63.0000 -118.1250 75.9375 -7.5938
phi =
0.4221 0.3879 0.3223 -0.2305 0.1201
0.3879 0.1201 -0.2305 0.4221 -0.3223
0.3223 -0.2305 -0.3879 -0.1201 0.4221
0.2305 -0.4221 0.1201 -0.3223 -0.3879

0.1201 -0.3223 0.4221 0.3879 0.2305
w2 =
0.1215 0 0 0 0
0 1.0354 0 0 0
0 0 2.5731 0 0
0 0 0 4.2462 0
0 0 0 0 5.5238
Figura 14.2 Figura 14.3
14.3. FORMULACION DE VALORES PROPIOS CON FLEXIBILIDAD
⎡⎣ [ ] − [ ] ⎤⎦ { }
=
[ ] [ ] [ ] { }
⎡ ⎢⎣ − ω ⎤ ⎥⎦
φ
= ⎡ ⎢⎣ − ⎤ ⎥⎦
= No es un problema simétrico por tanto es mas difícil de resolver y converge a los valores mayores.
14.4. PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD DE MODOS
⎡⎣ [ K ] −ω 2 [ M ] ⎤⎦ { φ } =
{0} i i DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K 108
2
1 2
0
0
K M
K K M
ω φ
ω φ −
⎡⎣ − ⎤⎦ =
[ I ] 2
[ FM
][ ] { }
nxn
[ ] [ ][ ] { }
2
0
1 I F M
φ
0
ω
2 [ ]{ } [ ]{ }
i i i ω M φ = K φ
Trasponiendo

i i i ω φ M = φ K //Matriz [M] y [K]simétricas.//Multiplicando por { } j φ
= 2 { }T [ ] { }T [ ]
= 2 { }T [ ]{ } { }T [ ]{ }
i i j i j ω φ M φ = φ K φ
Consideremos la ecuación para el modo j
2 [ ]{ } [ ]{ }
j j j ω M φ = K φ // pre-multiplicando por { }T
i φ
= 2 { }T [ ]{ } { }T [ ]{ }
j i j i j ω φ M φ = φ K φ (2)
Restando (2) – (1)
2 { } [ ]{ } 2 { } [ ]{ } 0. T T
j i j i i j ω φ M φ −ω φ M φ =
( 2 2 ){ } [ ]{ } 0 T
j i i j ω −ω φ M φ =
si i j = ω i ω j.
= { } [ ]{ } 0 T
i j φ M φ = (3) Ortogonalidad de modos respecto a la matriz de masa [M].
Introduciendo (3) en (1)
{ } [ ]{ } 0 T
i j φ K φ = si i j Ortogonalidad de modos respecto a la matriz de rigidez [K].
Consideremos: [ ]{ } { } j j K φ = f
= { } { } 0 T
i jφ f = El Trabajo de las “fuerzas” que producen deformación del modo {ф}j
por los desplazamientos del otro modo {ф}i, es nulo.
{ }T [ ]{ }
k i j i
→ ≠
→ =
0
i j φ K φ =
i J
i k Rigidez modal
m i j
{ } [ ]{ } 0
T i
i j
→ =
=
M
i j
φ φ
→ ≠
i m Masa modal
14.4.1. Condiciones Adicionales de Ortogonalidad
Considerando [ ]{ } 2 [ ]{ }
n n n K φ =ω M φ y con m ≠ n
Si premultiplicamos por { }T [ ][ ] 1
m φ K M −
{ } [ ][ ] 1 [ ]{ } 2 { } [ ][ ] 1 [ ]{ } 0 T T
m n n m n φ K M K φ ω φ K M M φ − − = =
{ } [ ][ ] 1 [ ]{ } 0 T
m n φ K M K φ − = que es otra regla de ortogonalidad

Adicionalmente si premultiplicamos por { }T [ ][ ] 1 [ ][ ] 1
m φ K M K M − −
{ }T [ ][ ] 1 [ ][ ] 1 [ ]{ } 2 { }T [ ][ ] 1 [ ]{ }
m n n m n φ K M K M K φ ω φ K M K φ − − − = y dado la regla anterior
{ } [ ][ ] 1 [ ][ ] 1{ } 0 T
m n φ K M K M φ − − =
Otra familia es utilizar la matriz de flexibilidad: [ ] 1 [ ] K F − =
1 T
n n n K φ =ω M φ , con m ≠ n y premultiplicando por { } [ ][ ] 2
Considerando [ ]{ } 2 [ ]{ }
φ M F
m
ω
n
2
ω
1 T n T
{ } [ M ][ F ][ K ]{ } { } [ M ][ F ][ M
]{ }
φ φ =
φ φ
m n m n
2 2
ω ω
n n
1 T T
De donde: { } [ ]{ } { } [ ][ ][ ]{ } 2
m n m n
n n n K φ =ω M φ por { } [ ][ ][ ][ ] 2
2
ω
1 T n T
M F M F K M F M F M
φ φ =
φ φ
m n m n
ω ω
1 T T
− −
b MM K M K
2 0
= =
φ φ
φ −
φ
K M K
n
φ M φ φ M F M φ
ω
= de donde se genera la ortogonalidad
{ } [ ][ ][ ]{ } 0 T
m n φ M F M φ =
Ahora si premultiplicamos [ ]{ } 2 [ ]{ }
1 T
m
n
φ M F M F
ω
{ } [ ][ ][ ][ ][ ]{ } { } [ ][ ][ ][ ][ ]{ }
2 2
n n
De donde: { } [ ][ ][ ]{ } { } [ ][ ][ ][ ][ ]{ } 2
m n m n
n
φ M F M φ φ M F M F M φ
ω
= y se genera la ortogonalidad
{ } [ ][ ][ ][ ][ ]{ } 0 T
φ M F M F M φ =
m n Estas dos familias de propiedades ortogonales se pueden presentar mediante
{ } T [ ] [ ] 1 [ ] b
{ } 0
m n φ M M K φ b ⎡ − ⎤ = −∞ ∞ ⎣ ⎦
0 { } [ ]{ } 0 T
m n b = φ M φ =
1 { } [ ]{ } 0 T
m n b = φ K φ =
{ } T
[ ][ ] 1 [ ][ ] 1
[ ]{ }
m n
{ } T
[ ][ ] 1
[ ]{ }
0
m n
=
{ } [ ] [ ] 1 [ ] [ ] 1 [ ] { } 2 T
m n b φ M K M K M φ = − ⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Apuntes de clase dinamica ruben boroscheck

Apuntes de clase dinamica ruben boroscheck

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (16)

Destacado

Destacado (6)

Similar a Apuntes de clase dinamica ruben boroscheck

Similar a Apuntes de clase dinamica ruben boroscheck (20)

Último

Último (20)

Apuntes de clase dinamica ruben boroscheck