1. 81,9(56,'$' 1$&,21$/ $%,(57$ < $ ',67$1&,$ 81$'
(63(,$/,=$,Ð1 (1 ,1*(1,(5Ì$ '( 352(626 '( $/,0(1726 %,20$7(5,$/(6
0e72'26 0$7(0É7,26
35,0(5$ 81,'$' É/8/2 9(725,$/
$3Ì78/2 812 ,1752'8,Ð1
/(,Ð1 '26
/RV SUREOHPDV GH LQJHQLHUtD HQ JHQHUDO UHTXLHUHQ DOWRV QLYHOHV GH OyJLFD FXDOLWDWLYD GHELGR D TXH ORV OD
QHFHVLGDG GH PRGHODPLHQWRV HV IUHFXHQWH
(O SULPHU SDVR GH FXDOTXLHU PRGHODPLHQWR HV HO GLEXMR GH XQ VLVWHPD R GLDJUDPD GHO VLVWHPD TXH VH HVWXGLD (O
VHJXQGR SDVR HV HQWUHOD]DU WRGD OD LQIRUPDFLyQ ItVLFD TXtPLFD TXH VHD DSOLFDEOH ODV OHHV GH FRQVHUYDFLyQ ODV
H[SUHVLRQHV GH YHORFLGDG GH FDPELR TXtPLFR R ItVLFR 1RUPDOPHQWH HQ HVWH SXQWR HO LQJHQLHUR GHEH WRPDU
GHFLVLRQHV FULWLFDV DFHUFD GH FXDQ GHWDOODGR GHEHUi VHU HO PRGHOR OR TXH FRQOOHYD D OD UHDOL]DFLyQ GH VXSRVLFLRQHV
R VLPSOLILFDFLRQHV TXH KDFHQ PDV VHQFLOOD OD UHVROXFLyQ GH ORV VLVWHPDV GH HFXDFLRQHV 6H GHEH HVSHFLILFDU HO
SURSyVLWR UHDO GHO PRGHOR SDUD HYDOXDU FXDQWR HVIXHU]R YDOH OD SHQD HPSOHDU HQ VX FRQVWUXFFLyQ (O HVWXGLDQWH
SRGUi REVHUYDU HQ HVWH FXUVR FRPR D PDRU JUDGR GH GHWDOOH TXH VH UHTXLHUD HQ HO PRGHOR HVWH VH KDFH PiV
FRPSOHMR SRU WDQWR UHTXHULUi GH PXFKR PDV HVIXHU]R HV VX FRQVWUXFFLyQ
(O WHUFHU SDVR UHTXLHUH GH OD IRUPXODFLyQ GH XQD VROXFLyQ PDWHPiWLFD DQDOtWLFD R HO PRQWDMH GH XQD WpFQLFD
QXPpULFD ILQLWD R GLIHUHQFLDO GH HOHPHQWRV GH YROXPHQ VHJXLGR GHO SODQWHDPLHQWR GH ODV HFXDFLRQHV GH
FRQVHUYDFLyQ (O UHVXOWDGR ILQDO SXHGH VHU XQD IyUPXOD PDWHPiWLFD HOHPHQWDO R XQD VROXFLyQ QXPpULFD
H[SXHVWD HQ XQ DUUHJOR GH Q~PHURV
(-(03/2 '( /$ )2508/$,Ð1 '( 81 02'(/2 (1)5,$0,1(72 '( 81 )/8,'2

2. RQVLGpUHVH HO HQIULDPLHQWR GH XQ IOXLGR HQ XQ WXER FLUFXODU 6H KDUi HO PRGHODPLHQWR FRPHQ]DQGR FRQ HO
PRGHOR PiV VLPSOH DGLFLRQDQGR FRPSOHMLGDG GH DFXHUGR DO QLYHO GH SUHFLVLyQ UHTXHULGD
0RGHOR IOXMR SLVWyQ
(O IOXMR SLVWyQ FRQVLGHUD TXH QR H[LVWH XQ SHUILO GH YHORFLGDG HQ OD WXEHUtD HV GHFLU OD YHORFLGDG GHO IOXLGR HV HO
PLVPR HQ FXDOTXLHU XELFDFLyQ UDGLDO GHO WXER LQFOXVR HQ OD SDUHG (VWR LPSOLFD TXH HQ HO WXER H[LVWHQ XQDV
FRQGLFLRQHV GH WXUEXOHQFLD TXH SHUPLWHQ TXH OD WHPSHUDWXUD VHD XQLIRUPH HQ FXDOTXLHU SRVLFLyQ UDGLDO GHO WXER
3DUD HO SULPHU PRGHOR ODV VXSRVLFLRQHV VHUiQ
6H REWHQGUi XQD VROXFLyQ GH HVWDGR HVWDEOH QR GHSHQGLHQWH
GHO WLHPSR

3. /DV SURSLHGDGHV ItVLFDV GHO IOXLGR WLHQHQ YDORUHV FRQVWDQWHV
/D WHPSHUDWXUD GH OD SDUHG HV FRQVWDQWH XQLIRUPH QR
FDPELD HQ OD GLUHFFLyQ ] R U

4. WLHQH XQ YDORU 7Z
/D WHPSHUDWXUD GH HQWUDGD HV FRQVWDQWH XQLIRUPH FRQ XQ
YDORU 7R GRQGH 7R!7Z
(O SHUILO GH YHORFLGDG HV SODQR XQLIRUPH
(O IOXLGR VH HQFXHQWUD ELHQ PH]FODGR DVt TXH OD WHPSHUDWXUD
HV XQLIRUPH UHVSHFWR D U
/D WUDQVIHUHQFLD GH FDORU SRU FRQGXFFLyQ HV GHVSUHFLDEOH D OR ODUJR GH OD WUDHFWRULD ]
6HOHFFLRQDQGR XQ YROXPHQ GH FRQWURO GLIHUHQFLDO SDUD HO VLVWHPD HQ HVWH FDVR XQD SRUFLyQ GHO IOXLGR

5. VH UHDOL]D
HO PRGHOR /D OH GH FRQVHUYDFLyQ GH OD HQHUJtD HV
9HORFLGDG GH HQWUDGD YHORFLGDG GH VDOLGD + YHORFLGDG GH JHQHUDFLyQ = YHORFLGDG GH DFXPXODFLyQ
D TXH VH FRQVLGHUD HVWDGR HVWDEOH OD DFXPXODFLyQ HV FHUR FRPR QR VH FRQVLGHUDQ IXHQWHV GH JHQHUDFLyQ GH
FDORU HV GLIHUHQWH OD JHQHUDFLyQ D OD WUDQVIHUHQFLD

6. HO WpUPLQR JHQHUDWLYR WDPELpQ HV FHUR (O ~QLFR FDORU TXH VH
WUDQVILHUH HV HO GHELGR D OD GLIHUHQFLD GH WHPSHUDWXUD FRQ OD SDUHG IUtD /D YHORFLGDG GH UHPRFLyQ GH FDORU SXGH
VHU H[SUHVDGD FRPR

7. 81,9(56,'$' 1$,21$/ $%,(57$ $ ',67$1,$ 81$'
(63(,$/,=$,Ð1 (1 ,1*(1,(5Ì$ '( 352(626 '( $/,0(1726 %,20$7(5,$/(6
0e72'26 0$7(0É7,26
( )
Δ4 = K$ 7]

8. − 7Z = π5Δ]K 7]

9. − 7Z ( )
(P HVWD HFXDFLyQ VH WLHQH 7]

10. TXH HV XQ SURPHGLR
7]

11. − 7] + Δ]

12. 7]

13. =
'H PDQHUD WDO TXH FXDQGR Δ] WLHQGH D FHUR /LP 7]

14. = 7]

15. Δ] →
(QWRQFHV SDUD XQ HOHPHQWR GH ORQJLWXG Δ] HO EDODQFH GH HQHUJtD HV
Y R $ρ S 7]

16. − Y R $ρ S 7] + Δ]

17. − π5Δ]

18. K 7 − 7Z

19. =
HQHUJtD TXH HQWUD HQHUJtD TXH VDOH SHUGLGD D WUDYpV GH OD SDUHG
/RV GRV SULPHURV WpUPLQRV YLHQHQ GH HYDOXDU OD HQWDOStD GH HQWUDGD VDOLGD
5HDUUHJODQGR OD HFXDFLyQ GLYLGLHQGR SRU Δ] VH REWLHQH
7 ] + Δ]

20. − 7 ]

21. − Y $ρ S − π5K

22. 7 − 7Z

23. =
Δ]
(YDOXDQGR HO OtPLWH FXDQGR Δ] WLHQGH D FHUR
G7
Y $ρ S + π5K

24. 7 − 7Z

25. =
G]
(V XQD FRVWXPEUH TXH SDUD IDFLOLWDU OD VROXFLyQ VH DJUXSHQ WpUPLQRV (QWRQFHV VL λ = π5K Y $ρ WHQHPRV
S
G7]

26. + λ 7]

27. − 7Z

28. =
G]
(O HVWXGLDQWH SXHGH YHULILFDU TXH HVWD HV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO QR KRPRJpQHD TXH VH UHVXHOYH FRQ HO
OODPDGR ´IDFWRU LQWHJUDQWHµ /D VROXFLyQ GHO PRGHOR SDUD OD FRQGLFLyQ GH IURQWHUD 7

29. 7R

30. HV
§ − π5K] ·
7]

31. = 7R − 7Z

32. H[S¨ ¸ + 7Z
¨ Y $ρ S ¸
© ¹
0RGHOR 3HUILO GH YHORFLGDG SDUDEyOLFR
'H OD PHFiQLFD GH IOXLGRV GH SUHJUDGR HO HVWXGLDQWH GHEH UHFRUGDU TXH FXDQGR HO IOXMR HQ XQD WXEHUtD QR HV
VXILFLHQWHPHQWH WXUEXOHQWR VH JHQHUD XQ SHUILO GH YHORFLGDGHV TXH HV SDUDEyOLFR FRQ XQ PtQLPR HQ OD SDUHG
Y

33. XQ Pi[LPR HQ HO FHQWUR /D H[SUHVLyQ PDWHPiWLFD SDUD OD YHORFLGDG HQ IXQFLyQ GHO UDGLR HV
ª § U · º
YU

34. = Y « − ¨ ¸ »
« ©5¹ »
¬ ¼
'RQGH YR HV XQD YHORFLGDG SURPHGLR
3DUD HVWH QXHYR PRGHOR ODV VXSRVLFLRQHV
FDPELDQ
(O SHUILO GH YHORFLGDG HQ HV SDUDEyOLFR
GHSHQGH GH OD SRVLFLyQ HQ U
(O IOXLGR QR HVWD FRPSOHWDPHQWH PH]FODGR
HQ OD GLUHFFLyQ U SRU OR WDQWR VH GHEH WHQHU HQ
FXHQWD OD WUDQVIHUHQFLD GH FDORU UDGLDO
/D FRQGXFFLyQ UDGLDO HV LPSRUWDQWH
(VWDV QXHYDV FDUDFWHUtVWLFDV ItVLFDV JHQHUDQ XQ
1XHYR YROXPHQ GH FRQWURO TXH HV HO TXH VH
PXHVWUD HQ OD ILJXUD RQ OD IRUPD GH XQ

35. 81,9(56,'$' 1$,21$/ $%,(57$ $ ',67$1,$ 81$'
(63(,$/,=$,Ð1 (1 ,1*(1,(5Ì$ '( 352(626 '( $/,0(1726 %,20$7(5,$/(6
0e72'26 0$7(0É7,26
SRUFLyQ GH FLOLQGUR KXHFR GH HVSHVRU ΔU ORQJLWXG Δ] (O FDORU FUX]D GRV VXSHUILFLHV OD DQXODU QRUPDO DO IOXMR
GHO IOXLGR HO iUHD GHO SHUtPHWUR GHO DQLOOR 6H QHFHVLWD HQWRQFHV GHVLJQDU XQDV FDQWLGDGHV DGLFLRQDOHV
YHFWRULDOHV

36. SDUD UHSUHVHQWDU OD WUDQVPLVLyQ GH FDORU SRU FRQGXFFLyQ
T U U ]

37. = FDORU FRQGXFWLYR HQ OD GLUHFFLyQ UDGLDO
T ] U ]

38. = FDORU FRQGXFWLYR HQ OD GLUHFFLyQ D[LDO
(O EDODQFH GH HQHUJtD HV
Y ] π5ΔU

39. ρ S 7] U

40. − Y ] π5ΔU

41. ρ S 7] + Δ] U

42. + πUΔUT ]

43. ] − πUΔUT ]

44. ] + Δ] + πUΔ]T U

45. U − πUΔ]T U

46. U + ΔU =
'LYLGLHQGR WRGR SRU πΔUΔ] UHDUUHJODQGR VH REWLHQH
7] + Δ] U

47. − 7] U

48. [UT ] ] ] + Δ]
− [UT ] ] ]
[UT U ] U+ ΔU − [UT U ] U
− Y ] ρ S U − − =
Δ] Δ] ΔU
7RPDQGR OtPLWHV FXDQGR Δ] ΔU WLHQGHQ D FHUR UHFRUGDQGR OD GHILQLFLyQ GH XQD GHULYDGD SDUFLDO VH REWLHQH
∂7 ∂ (UT ] ) ∂ (UT U ) ∂T ] ∂UT U

49. ∂7
− Y ] ρ S U − − = y − = Y ] ρ S
∂] ∂] ∂U ∂] U∂U ∂]
(Q HVWH SXQWR OD HFXDFLyQ QR WLHQH VROXFLyQ SXHV VH GHVFRQRFHQ TU T] 7 6H GHEH LQWURGXFLU HQWRQFHV OD OH GH
)RXULHU TXH GLFH T = −N∇7 TXH HQ HVWH FDVR VH WUDGXFH HQ
∂7 ∂7
T U = −N T ] = −N
∂U ∂]
,QWURGXFLHQGR HVWDV GRV QXHYDV HFXDFLRQHV OD HFXDFLyQ GHO SHUILO GH YHORFLGDG VH WLHQH
∂7 ∂ § ∂7 · ª § U · º ∂7
N +N ¨U ¸ = Y ρ S « − ¨ ¸ »
∂] U ∂U © ∂U ¹ « © 5 ¹ » ∂]
¬ ¼
(VWH PRGHOR HV XQD HFXDFLyQ HQ GHULYDGDV SDUFLDOHV GH VHJXQGR RUGHQ TXH HV EDVWDQWH FRPSOHMR GH UHVROYHU
1yWHVH FRPR HO FDPELR HQ VROR XQD GH ODV SUHPLVDV OOHYy D XQ FDPELR IXQGDPHQWDO HQ OD PDWHPiWLFD QHFHVDULD
SDUD UHVROYHU HO PRGHOR (VWH HV HO FDVR JHQHUDO D PHGLGD TXH VH UHTXLHUD XQD SUHFLVLyQ PDRU SDUD OD VROXFLyQ
GHO PRGHOR ODV HFXDFLRQHV UHVXOWDQWHV VHUiQ PiV FRPSOHMDV HQ PXFKRV FDVRV QR VROXFLRQDEOHV FRQ PpWRGRV
DQDOtWLFRV OOHYDQGR DO XVR GH PpWRGRV QXPpULFRV
20%,1$,Ð1 '( 9(/2,'$' 21(3726 '( (48,/,%5,2
/RV SURFHVRV GRQGH VH FRPELQDV OD YHORFLGDG GH WUDQVIHUHQFLD XQ HVWDGR GH HTXLOLEULR WHUPRGLQiPLFR VRQ
FRPXQHV HQ ORV PRGHORV GH LQJHQLHUtD 3DUD LOXVWUDU HVWD FRPELQDFLyQ VH HPSOHDUi HO HMHPSOR GH XQD VHSDUDFLyQ
SRU DGVRUFLyQ
RQVLGHUH XQ VyOLGR GH DOWD SRURVLGDG FRPR FDUEyQ DFWLYDGR

50. TXH VH SRQH HQ FRQWDFWR FRQ XQD PH]FOD IOXLGD
TXH FRQWLHQH XQD VXVWDQFLD TXH VH DGVRUEHUi HQ HO VyOLGR (O SURFHVR GH DGVRUFLyQ HV UHODWLYDPHQWH UiSLGR DVL
TXH VH SXHGH FRQVLGHUDU TXH FHUFD GH ODV SDUWtFXODV H[LVWH XQ HTXLOLEULR
T = .
'RQGH T HV OD FRPSRVLFLyQ SURPHGLR GH OD IDVH VyOLGD H[SUHVDGD FRPR PROHV GH VROXWR DGVRUELGR SRU XQLGDG
GH YROXPHQ GH VyOLGR
GHQRWD OD FRPSRVLFLyQ GHO VROXWR PROHV GH VROXWR SRU XQLGDG GH YROXPHQ GH IOXLGR

51. TXH H[LVWLUtD HQ HTXLOLEULR 6H VXSRQGUi TXH HO FRHILFLHQWH GH WUDQVIHUHQFLD GH PDVD FRQWUROD HO IHQyPHQR

52. 81,9(56,'$' 1$,21$/ $%,(57$ $ ',67$1,$ 81$'
(63(,$/,=$,Ð1 (1 ,1*(1,(5Ì$ '( 352(626 '( $/,0(1726 %,20$7(5,$/(6
0e72'26 0$7(0É7,26
(O HVTXHPD VH PXHVWUD HQ OD ILJXUD 6H XWLOL]DUi XQ SHUILO GH YHORFLGDG SODQR
SDUD IDFLOLWDU HO PRGHOR 6L OD FRUULHQWH GH SURFHVR HV GLOXLGD UHVSHFWR D OD
VXVWDQFLD TXH VH YD D DGVRUEHU ORV HIHFWRV FDOyULFRV VH GHVSUHFLDQ DVt TXH VH
SXHGH WRPDU HO SURFHVR LVRWpUPLFR 6L ODV SDUWtFXODV GHO VyOLGR VRQ SHTXHxDV
ORV HIHFWRV GH GLIXVLyQ D[LDO SXHGHQ LJQRUDUVH (O WUDQVSRUWH LQWHUIDFLDO
GHVGH HO IOXLGR HQ PRYLPLHQWR ODV SDUWtFXODV LQPyYLOHV REHGHFH D XQD OH
GH YHORFLGDG D TXH HO iUHD WRWDO LQWHUIDFLDO VH FRQRFH OD FDQWLGDG GH PROHV
TXH VH WUDQVILHUHQ HQ XQ YROXPHQ HTXLYDOHQWH D XQ DYDQFH Δ] HV
Δ5 = N F D −

53. $Δ]
'RQGH N F D HV XQ FRHILFLHQWH GH WUDQVIHUHQFLD GH PDVD TXH KDFH UHIHUHQFLD DO
iUHD VXSHUILFLDO GHO VyOLGR KDFH UHIHUHQFLD D OD FRQFHQWUDFLyQ HQ HO OtTXLGR
$ HV HO iUHD GH IOXMR HQ HO HTXLSR
$SOLFDQGR OD OH GH FRQVHUYDFLyQ GH OD PDVD VH REWLHQH
∂ ∂T
Y R $] W

54. − Y $] + Δ] W

55. = ε$Δ] + + ε

56. $Δ]
∂W ∂W
YR HV OD YHORFLGDG GHO IOXLGR ε HV OD IUDFFLyQ GH YDFtRV HQ HO HTXLSR QR WRGR HO VyOLGR RFXSD WRGR HO YROXPHQ
KD XQD SRUFLyQ GH YROXPHQ SRU GRQGH SXHGH SDVDU HO IOXLGR

57. 1yWHVH TXH HVWD HFXDFLyQ GHSHQGH GHO WLHPSR
SXHV FRPR VH HVWD DGVRUELHQGR XQD VXVWDQFLD HVWD VH TXHGD GHQWUR GHO HTXLSR OXHJR KD XQD DFXPXODFLyQ
/D HFXDFLyQ SXHGH UHDUUHJODUVH SDUD OOHJDU D
∂ ∂ ∂T
− YR =ε + − ε

58. ∂] ∂W ∂W
'H LJXDO PDQHUD VH SXHGH KDFHU XQ EDODQFH HQ OD IDVH HVWDFLRQDULD WHQLHQGR HQ FXHQWD TXH OD DGVRUFLyQ UHPXHYH
PDWHULDO GH OD IDVH IOXLGD OR DFXPXOD HQ HO VyOLGR (O EDODQFH HV OD YHORFLGDG GH DFXPXODFLyQ HV LJXDO D OD
YHORFLGDG GH WUDQVIHUHQFLD

59. ∂T ∂T
$ − ε

60. Δ] = N F D −

61. $Δ] − ε

62. = N F D −

63. ∂W ∂W
$ PHGLGD TXH HO SURFHVR VH DFHUTXH DO HTXLOLEULR FXDQGR HO VyOLGR VH VDWXUH QR SXHGD DGVRUEHU PDV

64. ∂T
WHQGHUi D
→ 5HHPSOD]DQGR OD FRQGLFLyQ GH HTXLOLEULR SDUD HOLPLQDU T GH ODV HFXDFLRQHV

65. VH OOHJD D
∂W
∂ ∂ ∂
Y +ε + − ε

66. . =
∂] ∂W ∂W
∂
− ε

67. . = N F D −

68. ∂W
/D VROXFLyQ GH HVWH VLVWHPD GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV SXHGH UHDOL]DUVH SRU YDULRV PpWRGRV TXH VH
GLVFXWLUiQ HQ HO FXUVR