Régimen unidimensional de transmisión de calor en superficies extendidas

Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 1
J.M. Corberán, R. Royo (UPV) Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas 1
TRANSMISIÓN DE CALOR
EN RÉGIMEN
ESTACIONARIO
UNIDIMENSIONAL (II).
SUPERFICIES EXTENDIDAS.

Diapositiva 2
INDICE:
1. INTRODUCCIÓN.
1.1. EJEMPLOS DE APLICACIÓN.
1.2. CLASIFICACIÓN.
2. ECUACIÓN GENERAL.
3. ALETAS RECTAS DE SECCIÓN CONSTANTE.
3.1. HIPÓTESIS DE CÁLCULO.
- Aleta muy larga.
- Calor despreciable en el extremo de una aleta.
- Convección en el extremo de la aleta.
3.2. COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
CON LA APLICACIÓN DE LAS TRES HIPÓTESIS.
4. ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE. ALETAS ANULARES.
5. EFICIENCIA.
6. EFECTIVIDAD. CONDICIONES DE UTILIZACIÓN DE ALETAS.
7. CARACTERIZACIÓN DE SUPERFICIES ALETEADAS.
7.1. RESOLUCIÓN POR ANALOGÍA ELÉCTRICA.
7.2. CONFIGURACIONES ALETEADAS COMPLEJAS
8. CONSIDERACIONES DE DISEÑO.

Diapositiva 3
INTRODUCCIÓN
OBJETIVO: AUMENTO DEL CALOR DISIPADO POR
CONVECCIÓN AL AMBIENTE.
Tfluido , h
Tsup , A
Q=A*h*(Tsup-Tfluido)

Diapositiva 4
EJEMPLOS DE APLICACIÓN:
Diapositiva 5

Diapositiva 6
1.2. CLASIFICACIÓN:
SECCIÓN CONSTANTE
Aletas rectas
Sección constante
Aguja
Sección constante
Diapositiva 7
Aleta anular de espesor
uniforme Aleta recta de
Sección variable
Aguja
Sección variable
Aleta anular de espesor
variable
SECCIÓN VARIABLE

Diapositiva 8
ECUACIÓN GENERAL
Q (x+dx)
x
dx
Acond
Q(x)
dAconv
dQconv
convdQdxxQxQ ++= )()(
)())(( xdATxThdQ convconv ⋅−⋅= ∞ dx
xdT
xAkxQ cond
)(
)()( ⋅⋅−=
∞−= TxTx )()(θ
Balance de energía
Utilización función de diferencia de temperaturas
0
11
2
2
=⋅





⋅⋅⋅−⋅





⋅⋅+ θθθ conv
cond
cond
cond
A
dx
d
k
h
Adx
d
A
dx
d
Adx
d

Diapositiva 9
AGUJAS Y ALETAS RECTAS DE SECCIÓN CONSTANTE
Tf , h
x
L
Q
Tb
Q
L
Tb
Q
x w
e
Tf , h
Q D
A cond A b
.w e
A conv
..2 ( )w e x
A cond A b
.π D
2
4
A conv
..π D x
P*x P*x
Aconv=P x

Diapositiva 10
02
2
2
=⋅− θ
θ
m
xd
d
))(()(()( 4321 xLmchCxLmshCeCeCx xmxm
−⋅⋅+−⋅⋅=⋅+⋅= ⋅−⋅
θ
condAk
Ph
m
⋅
⋅
=
0
11
2
2
=⋅





⋅⋅⋅−⋅





⋅⋅+ θθθ conv
cond
cond
cond
A
dx
d
k
h
Adx
d
A
dx
d
Adx
d
00
)0(
==
⋅⋅−=⋅⋅−===
x
b
x
baleta
xd
d
kA
xd
Td
kAxQQ
θ

Diapositiva 11
CONDICIONES DE CONTORNO:
BTxT == )0(1) ??)( == LxT2)
L
TB
TFLUIDO
TB
L
TB
TFLUIDO
L
TB
TFLUIDO
T(L)
L
TFLUIDO
T(L) TFLUIDO
QEXTREMO=0
d
d x
T ( )L 0
QCOND=QCONV
.k
d
d x
T( )L .h T ( )L T fluido
T(x=L)=Tconocida
T(x=L)=Tconocida

Diapositiva 12
(I): ALETA MUY LARGA
θ b
θ ( )x .θ
b e
.m x
h
km
Q
h
km
AhmkAQ aletasinbasebbbbaleta
⋅
⋅=
⋅
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= __θθ
0)()( →∞→→∞→ xTxT fluido θ

Diapositiva 13
(II) CALOR DESPRECIABLE EN EL EXTREMO DE LA ALETA
En muchas ocasiones Qextremo es despreciable frente al disipado
por el resto de la aleta:
0=
= Lxdx
dθ
( ) ( )( )
( )
( ) )( Lmth
h
km
QLmth
h
km
AhQ
Lmch
xLmch
x
aletasinbasebbaleta
b
⋅⋅
⋅
⋅=⋅⋅
⋅
⋅⋅⋅=
⋅
−⋅
⋅=
θ
θθ
Qextremo» 0
Qcond

Diapositiva 14
(III) CONVECCIÓN EN EL EXTREMO DE LA ALETA:
Qcond
Qconv
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )Lmsh
km
h
Lmch
xLmsh
km
h
xLmch
x b
⋅⋅
⋅
+⋅
−⋅⋅
⋅
+−⋅
⋅=θθ
)( ∞
=
−⋅=⋅⋅− TTh
xd
Td
Ak
Lx
b
( )
( )





 ⋅
⋅
+
+⋅⋅
⋅
⋅⋅⋅=
h
km
Lmth
Lmth
h
km
AhQ bbaleta
1
1
θ
( )
( )





 ⋅
⋅
+
+⋅⋅
⋅
⋅=
h
km
Lmth
Lmth
h
km
Q aletasinbase
1
1

Diapositiva 15
(II) y (III)
Evolución temperatura
en agujas disipador:
L=0.02 m. k=100 W/mK
t=0.003 m. h = 25 W/m2
K
(I)
θb
COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
CON LA APLICACIÓN DE LAS TRES HIPÓTESIS.
Aplicación de agujas en disipador
fluidoTxT →∞→ )(
0=
= Lxdx
dT
)( ∞
=
−⋅=⋅⋅− TTh
xd
Td
Ak
Lx
b
(I):
(II):
(III):

Diapositiva 16
ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE
Q(x+dx)
x
dx
Acond
Q(x)
dAconv
dQconv
0
11
2
2
=⋅





⋅⋅⋅−⋅





⋅⋅+ θθθ conv
cond
cond
cond
A
dx
d
k
h
Adx
d
A
dx
d
Adx
d

Diapositiva 17
CASO MÁS SIMPLE DE ALETA DE SECCIÓN VARIABLE:
ALETA ANULAR.
erAcond ⋅⋅⋅= π2 ( )22
2 baseconv rrA −⋅⋅= π
0
1 2
2
2
=⋅−⋅⋅+⋅ θθθ n
dr
d
rdr
d
ek
h
n
⋅
⋅
=
2
( ) ( )0201)( rnKCrnICx ⋅⋅+⋅⋅=θ
I y K: funciones modificadas de Bessel de primera y segunda especie, orden 0.
Superficies:

Diapositiva 18
Hipótesis: convección despreciable en el extremo.
–Distribución de temperaturas:
Potencia calorífica:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1010
1010
ebeb
ee
b
rnIrnKrnKrnI
rnIrnKrnKrnI
r
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅= θθ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1010
1111
2
ebeb
beeb
bbaleta
rnIrnKrnKrnI
rnIrnKrnIrnK
h
nk
erhQ
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅= θπ

Diapositiva 19
Efficiency of extended surfaces, Gardner, K.A.
(ASME Thermal Engineering Proceedings, 1945)
Hipótesis:
• Transmisión de calor unidimensional.
•Coeficiente de convección uniforme.
•Temperatura de la base uniforme.
•Flujo de calor despreciable en extremo.
0
11
2
2
=⋅





⋅⋅⋅−⋅





⋅⋅+ θθθ conv
cond
cond
cond
A
dx
d
k
h
Adx
d
A
dx
d
Adx
d
( )[ ] ( )[ ] 0122212 222222222
2
2
=⋅⋅−+⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−+⋅ ⋅
θααθαθ npmxmxxcp
dx
d
xxm
dx
d p
EFICIENCIA

Diapositiva 20
Resultados tabulados a través del parámetro eficiencia:
(Ojo, llamada efectividad en el libro A.F. Mills)
baseatemperaturaleta
aleta
Q
Q
__
=η
( )
fluidobase
mediafluido
convb
A
conv
bconv
aleta
TT
TT
A
dA
Ah
Q
conv
−
−
=
⋅
⋅
=
⋅⋅
=
∫
θ
θ
θ
η 0
Aplicación práctica fundamental a efectos de cálculo:
Aconv=Aaleta baletaaleta hAQ θη ⋅⋅⋅=

Diapositiva 21

Diapositiva 22
EFECTIVIDAD DE UNA ALETA:
bb
aleta
Ah
Q
θ
ε
⋅⋅
=
base
aleta
A
A
=
η
ε
Evaluación de la conveniencia de utilización de aletas
Se justifica la utilización de aletas, si εεaleta mayor que 2
Para aletas de sección constante y convección despreciable
en el extremo:
( )Lmth
h
km
⋅⋅
⋅
=ε )()( Lmth
h
km
LP
A
Lmth
h
km
A
A b
aleta
b
⋅⋅
⋅
⋅
⋅
=⋅⋅
⋅
⋅=η

Diapositiva 23
EFECTIVIDAD DE UNA ALETA DE SECCIÓN
CONSTANTE CONSIDERANDO CONVECCIÓN EN EL
EXTREMO.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
m*L
Efectividad
m*k/h=2.5 m*k/h=5 m*k/h=10 m*k/h=15 m*k/h=20

Diapositiva 24
Empleo de aletas justificado:
Sección constante:
••k alta:k alta: materiales conductividad elevada
••t bajo:t bajo: espesor aletas pequeño
••h bajo:h bajo: en entornos con convección débil
1>>
⋅
h
km
:1
2
>>
⋅
⋅
=
⋅
ht
k
h
km
(recomendable
superior a 10)

Diapositiva 25
CARACTERIZACIÓN DE SUPERFICIES ALETEADAS
libreareaaletasaleteadaerficie QQQ __sup +=
baletastotalbaletasaleteadaerficie hAAhAQ θθη ⋅⋅−+⋅⋅⋅= )(_sup
total
aletas
A
A
=β
βηβη −+⋅= 1pond
pondbtotalbtotalaleteadaerficie hAhAQ ηθβηβθ ⋅⋅⋅=−+⋅⋅⋅⋅= )1(_sup
Se define el parámetro geométrico:
Te
Alibre
Apared
Aaletas Atotal=Alibre+Aaletas

Diapositiva 26
RESOLUCIÓN POR ANALOGÍA ELÉCTRICA EN
PARALELO:
hAhA
R
aletaslibre
T
⋅⋅+⋅
=
η
1
pondtotal
total
aletas
total
libre
total
T
hA
A
A
A
A
hA
R
ηη ⋅⋅
=
⋅+⋅⋅
=
1
)(
1
21
111
RRRT
+=
hA
R
aletas ⋅⋅
=
η
1
2
hA
R
libre ⋅
=
1
1Tb Tb
RT
∞T ∞T

Diapositiva 27
T e
∑ ⋅⋅
+
⋅
+
⋅
−
=
i totalepondparedi
i
paredi
ei
AhAk
e
Ah
TT
Q
η
11
∑ ⋅⋅
+
⋅⋅⋅








+
⋅⋅⋅⋅
−
=
+
j totalepondi
j
j
ii
ei
AhkL
r
r
hLr
TT
Q
ηππ
1
2
ln
2
1
1
MurosMuros multicapamulticapa
CilindrosCilindros
Ti
Te
En cada caso el calor se calcula referido a un área característica,
que suele ser la interior o la exterior de la superficie global:
)(_ eirefAref TTUAQ −⋅⋅= )(
_
eiref
refA
TTA
Q
U
−⋅
=

Diapositiva 28
CONFIGURACIONES ALETEADAS COMPLEJAS
Diapositiva 29
ASHRAE, 1993:
b
a
"Configuración hexagonal"
a
b
"Configuración rectangular"
ri
( )
i
i
rm
rmth
⋅
⋅⋅
=
φ
η
ek
h
m
⋅
⋅
=
2 ( ) ( )( )
( )baf ,
ln35.011
=
⋅+⋅−=
α
ααφ

Diapositiva 30
CONSIDERACIONES DE DISEÑO
•Perfil óptimo para la disipación de una potencia
térmica con el mínimo volumen.
•Dimensiones óptimas para un determinado
volumen de aleta.
•Espaciado óptimo entre aletas.
•Elección del material.
•Contacto térmico con la base.
APLICACIONES TEORÍA CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN 1D.
•Extrusión de fibras.
•Cables eléctricos.
•Colectores solares.
•Medida de temperatura de una gas con un termopar.

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