Semana1 Elasticidad

1. 1) ELASTICIDAD

2. 1) ELASTICIDAD
1.1) Introducción
La teoría de la elasticidad (TE) como la mecánica de sólidos (MS) deformables describe
cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a
fuerzas exteriores.
Cuerpos  Deformables
{Descripción adecuada}
Los cuerpos pueden ser rígidos, elásticos o plásticos dependiendo de la materia de que
este hecho y de la fuerza que apliquemos.
i) Rígidos: difícil de deformar por acción de una fuerza y si en caso de apliquemos una
fuerza grande se romperá.
ii) Plástico: Son aquellos que a la acción de fuerzas se deforma sin romperse,
quedando deformada cuando deja de actuar la fuerza, sino que queda deformados
permanentemente.
iii) elástico: Son aquellos que a la acción de una fuerza el cuerpo se deforma, pero
recupera sus dimensiones originales cuando cesan dichas fuerzas
 Esfuerzo
 Deformación
 Módulos elásticos
Y
S
B





 Régimen elástico
1.2) Esfuerzo y deformación

3. Experimentalmente:
Li  L
A: sección transversal
Se observa:
 los L van a depender de las F

y A
siempre en régimen elástico
 los L dependen de L
Se define:
a) Esfuerzo, s: Es la fuerza aplicada F y el área A sobre la que actúa, F/A.
(Fuerza por unidad de área)
F
Esfuerzo s
A
 
b) Deformación, e: Si a una barra de longitud L le aplicamos una fuerza de tracción F y
la barra sufre un alargamiento ∆L, se define alargamiento o deformación longitudinal
como: (Deformación unitaria)
L
Deformación e
L

 
Con estas definiciones se observa relación directa entre los esfuerzos y las
deformaciones.
Módulo elástico = Esfuerzo/Deformación
E
M
D







1

s
s Me M
e
 
L A
F

F

F

L
L
F

F


4. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 4
M  1010
2
N
m
¿? Podría describir curvas s-e donde se muestren las 3 fases: elástica,
plástica y de ruptura.
¿? Podría describir curvas s-e especiales.
1.3) Ley de Hooke
La ley de Hooke es solo aplicable a deformaciones unitarias pequeñas, hasta
que se alcanza el límite de proporcionalidad, analizando si es un cuerpo rigido,
elástico o platico (ver figura).
D
E
Régimen elástico

5. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 5
1.4) Módulos elásticos
i) Modulo de Young, Y
Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.
/
/
F A
Y
L L


N/m2
ii) Modulo de corte, S
Describe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efecto
de fuerzas aplicadas según sus caras (fuerzas tangenciales o de corte),
Para pequeñas fuerzas F la cara de área A se desplaza relativamente una
pequeña distancia x hasta que las fuerzas internas del cuerpo logran
equilibrar dicha fuerza.
La resistencia al desplazamiento x se describirá en base al modelo S,
A
F

h
f
F

x
h
x
tg


h 
f

6. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 6
/
/
Esfuerzo de corte F A
S
Deformación de corte x h
 


Fh
S
A x


iii) Modulo volumétrico, B
Describe la resistencia del material a deformaciones volumétricas.
Supongamos que el cubo de área A esta sometido a las fuerzas F sobre cada
una de sus caras. El cubo está sometido a compresión, el modulo volumétrico
esta definido por,
Si esta presión,
F
p
A
 , se escribe como una variación de presión, p ,
/
p
B
V V

 

F A
F
F
F
/ /
/ /
F A F A
B
V V V V
   
 

7. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 7
En estas condiciones se introduce el “- “para obtener un B > 0.
Compresión: p > 0  V < 0 B > 0.
Dilatación o expansión: p < 0  V > 0 B > 0.
¿? Existirán otros módulos elásticos.
Ejercicio 1:
1° Ideal
v2(0)  0
→ MRUV Polea ideal
Cuerda ideal,  m
m1,m2 , puntuales
L = 2 m1 = 3, m2 = 5
 = 4 x 10-3
¿? t
2° Polea real → a afectada
→ I=I (m,r) , f  polea
 CR
 MRUV
3° Cuerda real
→ Deformación
→ CR
→ MRUV
4°1º) t ¿?
2,5
4
g
a    t(y2 0) ?
y(t) y (0)+ v(0) t -
2
1
at2
y
m2
h2 1m
m1

8. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 8
2
2
5,2
010 t
5,2
2
t
5º3°) Considerando sólo deformación de la cuerda, T=?, t=?
w2 – T = m2 a
T = w2 – m2 a
 50 – 5 x 2,5
T  37,5
/
/
F A FL
Y L F T
L L YA
     

Yacero  20 x 1010
 
m
xx
x
L 

6,27
1021020
25,37
2310


t  ¿?
Ejercicio 2: La deformación causada a la barra de longitud L, x, mediante la
aplicación adecuada de la fuerza F, es decir, el trabajo efectuado por F sobre el
sistema elástico, queda almacenado como energía potencial elástica en el
sistema…veamos que es asi,
Mostraremos que en el sistema queda almacenada energía potencial elástica
que puede expresarse de esta manera,
Acero
A
-F F
-L 0 x x

9. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 9
,1
2
p elEF AL
u
A L unidad de volumen
 
   
 
Al aplicar la fuerza F, tal como muestra la figura, producirá una deformación x,
descrita por,
/
/
AYF A
x L
x FY
L
 
 
 
 
De tal forma que la fuerza del sistema será,
elast
AY
F x
L
   {En todo momento la fuerza aplicada F es tan intensa como
la respuesta elástica del sistema, siempre que el proceso
se realice muy lentamente, estado cuasiestacionario}
Ahora, calculando el trabajo de esta fuerza,
, , , , , , , ,
elF
p el p el f p el i p el f p elW E E E E E        
2
0 , ,0
1
/
2
el
L
F L
p el p el
AY AY
W x dx x E E
L L

   
          
   

2
,
1
2
p el
AY
L E
L
   
2
,
1
2
p el
A
L E
L
Y 
   
 
1
2
A
 
L
/F A

L / L
2
L
 
 
 
,p elE
,
1
2
p elF L E  
1
AL


10. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 10
,1
2
p elEF L
u
AL AL

  

1
2
F L
u
A L
  
   
  
1
2
s e u
¿? Aplicaciones tecnológicas de la deformación de los cuerpos en sus
tres fases notables: elástica, plástica y de ruptura.
S1P10) Se cuenta con una barra troncocónica
maciza cuya sección circular varía
uniformemente a lo largo de su longitud L, entre
los diámetros d y D. Los extremos están sujetos
a una fuerza axial F, determine la deformación
unitaria ó específica debido a dicha fuerza.
SOLUCION:
De
 
2
,
2 2
D dFL Fdx d
L dL y x
YA Y y L

     
d/2 D/2
F F
L
b/2
d/2
L
Y
A(x)
D/2
d/2 y F
0 x
X Ax L

11. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 11
   
2 20
0
2 2
2
L
I
Fdx F dx FL
dL L
Y Y dDD d D dY
d x d x
L L
 
 
 
 
 
     
     
     
    
 

?I 
D d
u d x
L
 
  
 
D d
du dx
L
 
  
 
  2
*
D
d
I
L du L
I
D d u dD
 
 
   
  
 

* 1 1 1D
d
I
u d D
 
     
 

02FL
L
Y dD
   
2L F
L Y dD


S1P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de
longitud (longitud sin estirar) con un diámetro de 0,1 mm.
El sistema es puesto en movimiento como un péndulo
cónico con un ángulo  en el vértice.
a) Calcule la deformación del alambre.
b) El periodo del movimiento rotacional cuando la tensión en
el alambre en dos veces el peso de la masa (Yacero = 21 x 1010
Pa).
SOLUCION:
DCL (m):

m

12. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 12
T

m
w
Datos: m=1, l=2, d==10-4
, Yacero = 21x 1010
.
Del equilibrio en la vertical,
...cos secT mg T mg   
Y de la dinámica circular,
2
...' , 't
cp cp
v
F Tsen ma m R l sen l l l
R
        
De α y β,
2
..t n .a
'
tv
mg m
l sen
 
a) Del modulo de Young,
2 22
4
sec
2
FL Tl Tl
Y Y l T mg
LA Y dd
l



       
    
   
   
2 2
4 seclmg
l
Y d


 
b) T (periodo)=?, con la condición 2
3
T mg

   ( T: tensión)
2
( )T periodo
w


La frecuencia angular la obtenemos de ,

13. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 13
2cpF Tsen m  g sen m 'l sen 2
w
2 2
'
'
g g
w l l l w
l l l
       
 
Con lo que el T queda,
2
2
l l
T
g

 
 0,0242usando l   0,6T 
S1P1) La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes
características: peso = w, área transversal = A,
longitud = L y módulo de Young = Y. Si una pesa de
peso 2 w es colocado en la parte inferior, halle la
deformación de la barra considerando la deformación
por peso propio.
SOLUCION: Primero determinaremos la deformación causada por el peso
propio de la barra, para lo cual tomamos un elemento de la barra de longitud
infinitesimal dx, como se muestra en la figura, sobre la cual actúa la fuerza
w(x), es decir, la fuerza debido al peso del trozo de barra de longitud x,
( )
w
w x x
L
 
  
 
Esta fuerza producirá un elemento de deformación dado por,
   ( )
( )
w
x dx
w x dxFL
Y
A
wL
d L xdx
AY AY LAYL
 
 
    

barra
L
2w
X
dx
w(x)
x
0
w w(x)

14. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 14
Para calcular la deformación total integramos para toda la barra,
0 1
2
L wL
L L
AY
w
L xdx
LAY
      
Ahora, para la deformación total, consideramos la deformación que produce la
pesa 2w,
2
(2 ) 2w L wL
L
AY AY
  
Con lo que la deformación total es, 1 2
2
2
wL wL
L L L
AY AY
      
5
2
wL
L
AY
 

15. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 15
S1P4) Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y área transversal de 2,00 cm2
se sujeta por un extremo al extremo de una varilla de acero de longitud L
y sección de 1,00 cm2
. La varilla compuesta se somete a tracciones
iguales y opuestas de 6,00 x 104
N en sus extremos.
a) Calcule L si el alargamiento de ambas varillas es el mismo
b) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla?
c) ¿Qué deformación sufre cada varilla?
Modulos de Young:
Cobre: 11 x 1010
Pa
Acero: 20 x 1010
Pa
SOLUCION: Representamos a la varilla compuesta en el siguiente diagrama,
a) Determinamos L de la condición 1 2L L L     . Mostramos DCL de cada
varilla en la dirección de interés y aplicamos la condición,
1 2 21
1 2
1 2 11 2 1
FL F L A Y
L
AY
L
L L L
AY A Y
       
F A1 L1 L A2 F
F L1 F F L F

16. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 16
Calculando,
  4
1 2 2
1 1
1,40 1 10L A Y
L
AY


 
  10
20 10 
4
2 10
  10
11 10 
1,27
1,27L 
b) Calculando los esfuerzos,
4
8
1 4
1
6,00 10
3 10
2,00 10A
F
s
A
F
s 

   

 
4
8
2 4
2
6,00 10
6,00 10
1,00 10
F
s
A 

   

8 8
1 23 10 6 10s s    
c) Calculando las deformaciones,
s s
L L
L
s sL
Y L
Y
L
e
 
 
 
  8
31 1
1 10
1
3 10 1,40
3,81 10
11 10
s L
L
Y


    

  8
32 2
2 10
2
6 10 1,27
3,81 10
20 10
s L
L
Y


    


17. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 17
d
3
1 2 3,81 10L L 
    
S1P14) Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4,0 x 108
,
el acero se rompe. Determine la fuerza de corte para, a) cortar un
perno de acero de 1 cm de diámetro, y b) hacer un hoyo de 1 cm de
diámetro en una plancha de acero de 0,50 cm de espesor.
SOLUCION:
a) Determinación de la fuerza de corte,
F
De la ecuación del esfuerzo de corte,
2
2
44
4
F s d
s F
A
F
F
d

   
   
28 2
10 1 10
4
 
 
31,4F kN
Por lo tanto, una fuerza mayor que F cortara al perno.
b) Ahora, determinamos la fuerza de corte para hacer el hoyo,

18. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 18
d
F
 
F
d w
F
s F s d w
A 
  
    8 2 2
4 10 1 10 0,5 10F   
    
62,8F kN
S1P2) Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M,
módulo de Young Y, gira libremente con velocidad
angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin fricción y
pivoteando en uno de sus extremos.
Determine:
a) La deformación producida en la barra
b) En donde se produce el esfuerzo máximo
SOLUCION:
a)   2
cpdF dF dm w r 
M
dm dr
L
 
  
 
w
L,M
dm w
dFcp
r dr
O

19. Cuaderno de Actividades: Ondas y Termodinamica
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 19
 
2
Mw
dF r rdr
L

 
2
2
: " "
2
cp
Mw
F r r dF
L
 
2
2
2
2
( )
2
2
Mw
r dr
L Mw
Y dL r dr
AdL LAY
FL
Y
A L
 
 
    

2
2
0 0 2
L L Mw
L dL r dr
LAY
    

2 2
6
Mw L
L
AY
 
b) De
2
2
2
22( )
2
Mw
r
F MwLs r r
A A LA
   ,
por lo tanto, en r=L,
2
( )
2
Mw L
s L
A
