DE LAS OLIMPIADAS GRIEGAS A LAS DEL MUNDO MODERNO.ppt
Aletas2
1. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 1
TRANSMISIÓN DE CALOR
EN RÉGIMEN
ESTACIONARIO
UNIDIMENSIONAL (II).
SUPERFICIES EXTENDIDAS.
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
1
2. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 2
INDICE:
1. INTRODUCCIÓN.
1.1. EJEMPLOS DE APLICACIÓN.
1.2. CLASIFICACIÓN.
2. ECUACIÓN GENERAL.
3. ALETAS RECTAS DE SECCIÓN CONSTANTE.
3.1. HIPÓTESIS DE CÁLCULO.
- Aleta muy larga.
- Calor despreciable en el extremo de una aleta.
- Convección en el extremo de la aleta.
3.2. COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
CON LA APLICACIÓN DE LAS TRES HIPÓTESIS.
4. ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE. ALETAS ANULARES.
5. EFICIENCIA.
6. EFECTIVIDAD. CONDICIONES DE UTILIZACIÓN DE ALETAS.
7. CARACTERIZACIÓN DE SUPERFICIES ALETEADAS.
7.1. RESOLUCIÓN POR ANALOGÍA ELÉCTRICA.
7.2. CONFIGURACIONES ALETEADAS COMPLEJAS
8. CONSIDERACIONES DE DISEÑO.
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
2
3. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 3
INTRODUCCIÓN
OBJETIVO: AUMENTO DEL CALOR DISIPADO POR
CONVECCIÓN AL AMBIENTE.
Tfluido , h
Q=A*h*(Tsup-T fluido)
Tsup , A
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
3
4. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 4
EJEMPLOS DE APLICACIÓN:
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
4
Diapositiva 5
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
5
5. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 6
1.2. CLASIFICACIÓN:
SECCIÓN CONSTANTE
Aletas rectas
Aguja
Sección constante
Sección constante
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
6
Diapositiva 7
SECCIÓN VARIABLE
Aleta anular de espesor
uniforme
Aleta recta de
Sección variable
Aguja
Sección variable
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Aleta anular de espesor
variable
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
7
6. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 8
ECUACIÓN GENERAL
dQconv
dAconv
x
Acond
Q (x+dx)
Q(x)
dx
Balance de energía
Q( x) = Q( x + dx ) + dQconv
dT ( x)
dQconv = h ⋅ (T ( x) − T∞ ) ⋅ dAconv ( x)
dx
Utilización función de diferencia de temperaturas θ ( x ) = T ( x) − T∞
Q( x ) = −k ⋅ Acond ( x ) ⋅
1
d
1 h d
d2
d
θ +
⋅ ⋅ Acond ⋅ θ −
⋅ ⋅ ⋅ Aconv ⋅ θ = 0
A
dx
A
dx2
cond dx
cond k dx
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
8
7. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 9
AGUJAS Y ALETAS RECTAS DE SECCIÓN CONSTANTE
Tf , h
Q
Q
Tb
e
P*x
L
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
D
P*x
w
x
Tf , h
Q
Tb
Aconv =P x
A cond A b w. e
A conv 2 . ( w e) . x
Q
x
L
2
π .D
A cond A b
4
A conv π . D . x
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
9
8. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 10
1
d
1 h d
d2
d
θ +
⋅ ⋅ Acond ⋅ θ −
⋅ ⋅ ⋅ Aconv ⋅ θ = 0
A
dx
A
dx2
cond dx
cond k dx
h⋅ P
m=
k ⋅ Acond
d 2θ
− m 2 ⋅θ = 0
d x2
θ ( x ) = C1 ⋅ e m⋅ x + C 2 ⋅ e − m⋅ x = C 3 ⋅ sh ( m ⋅ ( L − x ) + C4 ⋅ ch( m ⋅ ( L − x ))
Qaleta = Q( x = 0) = − Ab ⋅ k ⋅
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
dT
dx
= − Ab ⋅ k ⋅
x= 0
dθ
d x x=0
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
10
9. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 11
CONDICIONES DE CONTORNO:
1)
T ( x = 0 ) = TB
TB
T(L)
2)
T FLUIDO
TB
T ( x = L) = ??
QEXTREMO=0
d
dx
TFLUIDO
TB
L
QCOND =Q CONV
k.
d
dx
T ( L) h . T ( L )
TFLUIDO
T (L )
0
L
TB
T(x=L)=Tconocida
T(x=L)=Tconocida
T fluido
T(L)
TFLUIDO
L
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
TFLUIDO
L
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
11
10. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 12
(I): ALETA MUY LARGA
θ b
T ( x → ∞) → T fluido
θ (x) θ
b
Qaleta = Ab ⋅ k ⋅ m ⋅ θ b = h ⋅ Ab ⋅θ b ⋅
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
θ ( x → ∞) → 0
. e m. x
m⋅k
m⋅k
= Qbase _ sin _ aleta ⋅
h
h
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
12
11. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 13
(II) CALOR DESPRECIABLE EN EL EXTREMO DE LA ALETA
En muchas ocasiones Qextremo es despreciable frente al disipado
por el resto de la aleta:
Q cond
Qextremo» 0
dθ
dx
=0
x= L
ch(m ⋅ (L − x ))
ch(m ⋅ L )
m⋅k
m⋅k
Qaleta = h ⋅ Ab ⋅θb ⋅
⋅ th(m ⋅ L ) = Qbasesin aleta ⋅
⋅ th( m ⋅ L)
h
h
θ ( x) = θ b ⋅
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
13
12. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 14
(III) CONVECCIÓN EN EL EXTREMO DE LA ALETA:
Qcond
Qconv
θ(x ) = θb ⋅
Q aleta
− k ⋅ Ab ⋅
dT
dx
= h ⋅ (T − T∞ )
x =L
h
⋅ sh(m ⋅ (L − x ))
m⋅ k
h
ch(m ⋅ L ) +
⋅ sh(m ⋅ L )
m⋅ k
ch(m ⋅ ( L − x )) +
m⋅ k
m⋅k
⋅ th(m ⋅ L ) + 1
⋅ th (m ⋅ L ) + 1
h
h
= Qbase sin aleta ⋅
= h ⋅θb ⋅ Ab ⋅
th (m ⋅ L )
th(m ⋅ L )
1+
1+
m⋅k
m⋅k
h
h
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
14
13. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 15
COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
CON LA APLICACIÓN DE LAS TRES HIPÓTESIS.
Aplicación de agujas en disipador
θb
(I):
T ( x → ∞ ) → T fluido
(II): dT
(II) y (III)
dx
= 0
x=L
dT
(III): − k ⋅ Ab ⋅ d x
Evolución temperatura
en agujas disipador:
L=0.02 m. k=100 W/mK
2
t=0.003 m. h = 25 W/m K
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
(I)
= h ⋅ (T − T∞ )
x= L
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
15
14. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 16
ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE
dQconv
dAconv
x
Acond
Q (x+dx)
Q(x)
dx
1
d
1
d2
d
h d
θ +
⋅ ⋅ Acond ⋅ θ −
⋅ ⋅ ⋅ Aconv ⋅ θ = 0
A
dx
A
dx2
cond dx
cond k dx
15. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 17
CASO MÁS SIMPLE DE ALETA DE SECCIÓN VARIABLE:
ALETA ANULAR.
Superficies:
2
Aconv = 2 ⋅ π ⋅ (r 2 − rbase )
Acond = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ e
d2
1 d
⋅θ + ⋅ ⋅ θ − n 2 ⋅θ = 0
dr 2
r dr
n=
2⋅h
k ⋅e
θ ( x ) = C1 ⋅ I (n ⋅ r )0 + C2 ⋅ K (n ⋅ r )0
I y K: funciones modificadas de Bessel de primera y segunda especie, orden 0.
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
17
16. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 18
Hipótesis: convección despreciable en el extremo.
–Distribución de temperaturas:
θ (r ) = θ b ⋅
I (n ⋅ r )0 ⋅ K (n ⋅ re )1 + K (n ⋅ r )0 ⋅ I (n ⋅ re )1
I (n ⋅ rb )0 ⋅ K (n ⋅ re )1 + K (n ⋅ rb )0 ⋅ I (n ⋅ re )1
Potencia calorífica:
Qaleta = h ⋅ 2 ⋅ π ⋅ rb ⋅ e ⋅ θ b ⋅
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
k ⋅ n K (n ⋅ rb )1 ⋅ I (n ⋅ re )1 − K (n ⋅ re )1 ⋅ I (n ⋅ rb )1
⋅
h I (n ⋅ rb )0 ⋅ K (n ⋅ re )1 + K (n ⋅ rb )0 ⋅ I (n ⋅ re )1
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
18
17. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 19
EFICIENCIA
Efficiency of extended surfaces, Gardner, K.A.
(ASME Thermal Engineering Proceedings, 1945)
Hipótesis:
• Transmisión de calor unidimensional.
•Coeficiente de convección uniforme.
•Temperatura de la base uniforme.
•Flujo de calor despreciable en extremo.
1
d
1 h d
d2
d
θ +
⋅ ⋅ Acond ⋅ θ −
⋅ ⋅ ⋅ Aconv ⋅ θ = 0
2
A
dx
A
dx
cond dx
cond k dx
[
]
[
]
d2
d
2⋅ 2 θ + (1−2⋅m) ⋅ x −2⋅α⋅ x2 ⋅ θ + p2 ⋅c2 ⋅ x2⋅ p +α2 ⋅ x2 +α⋅( 2⋅ m−1) ⋅ x+m2 − p2 ⋅n2 ⋅θ = 0
dx
dx
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
19
18. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 20
Resultados tabulados a través del parámetro eficiencia:
(Ojo, llamada efectividad en el libro A.F. Mills)
η=
Qaleta
Qaleta _ temperatura _ base
Qaleta
η=
=
h ⋅ Aconv ⋅ θ b
∫
Aconv
0
θ ⋅ dAconv
θ b ⋅ Aconv
=
(T − T
)
fluido media
Tbase − T fluido
Aplicación práctica fundamental a efectos de cálculo:
Aconv =Aaleta
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Qaleta = η ⋅ Aaleta ⋅ h ⋅θ b
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
20
19. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 21
20. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
21. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 22
EFECTIVIDAD DE UNA ALETA:
ε=
Q aleta
h ⋅ Ab ⋅ θ b
ε Aaleta
=
η Abase
Evaluación de la conveniencia de utilización de aletas
Se justifica la utilización de aletas, si ε aleta mayor que 2
Para aletas de sección constante y convección despreciable
en el extremo:
ε=
A m⋅k
A m⋅ k
m⋅k
⋅ th ( m ⋅ L ) = b ⋅
⋅ th (m ⋅ L)
⋅ th ( m ⋅ L) η = b ⋅
Aaleta h
P⋅L h
h
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
22
22. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 23
EFECTIVIDAD DE UNA ALETA DE SECCIÓN
CONSTANTE CONSIDERANDO CONVECCIÓN EN EL
EXTREMO.
20
18
16
Efectividad
14
12
10
8
6
4
4.75
4.5
4.25
4
3.75
3.5
3.25
3
2.75
2.5
2.25
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
0
2
m*L
m*k/h=2.5
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
m*k/h=5
m*k/h=10
m*k/h=15
m*k/h=20
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
23
23. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 24
Empleo de aletas justificado:
m⋅k
>> 1
h
(recomendable
superior a 10)
Sección constante: m ⋅ k
2⋅k
=
>> 1 :
h
t ⋅h
•k alta: materiales conductividad elevada
•t bajo: espesor aletas pequeño
•h bajo: en entornos con convección débil
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
24
24. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 25
CARACTERIZACIÓN DE SUPERFICIES ALETEADAS
Apared
Te
Aaletas
Atotal=Alibre+Aaletas
Alibre
Qsup erficie _ aleteada = Qaletas + Qarea _ libre
Qsuperficie _ aleteada = η ⋅ Aaletas ⋅ h ⋅ θ b + ( Atotal − Aaletas ) ⋅ h ⋅ θ b
Se define el parámetro geométrico:
β=
Aaletas
Atotal
Qsuperficie _ aleteada = Atotal ⋅ h ⋅ θ b ⋅ ( β ⋅η + 1 − β ) = Atotal ⋅ h ⋅ θ b ⋅ η pond
ηpond = β ⋅ η + 1 − β
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
25
25. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 26
RESOLUCIÓN POR ANALOGÍA ELÉCTRICA EN
PARALELO:
R1 =
Tb
R2 =
1
Alibre ⋅ h
T∞
Tb
1
Atotal ⋅ h ⋅ (
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
T∞
1
Aaletas ⋅η ⋅ h
1
1
1
=
+
RT R1 R2
RT =
RT
Alibre Aaletas
+
⋅η )
Atotal Atotal
RT =
=
1
Alibre ⋅ h + Aaletas ⋅ η ⋅ h
1
Atotal ⋅ h ⋅ η pond
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
26
26. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 27
T
e
Muros multicapa
Q=
Ti
Te
Q=
1
hi ⋅ A pared
Ti − Te
ei
1
+∑
+
ηpond ⋅ he ⋅ Atotal
i k i ⋅ Apared
Cilindros
Ti − Te
r
ln j +1
rj
1
1
+
+∑
2 ⋅ π ⋅ ri ⋅ L ⋅ hi
ηpond ⋅ he ⋅ Atotal
j 2⋅π ⋅ L ⋅ ki
En cada caso el calor se calcula referido a un área característica,
que suele ser la interior o la exterior de la superficie global:
Q = Aref ⋅ U A _ ref
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Q
U A _ ref =
⋅ (Ti − Te )
Aref ⋅ (Ti − Te )
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
27
27. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 28
CONFIGURACIONES ALETEADAS COMPLEJAS
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
28
Diapositiva 29
ASHRAE, 1993:
η=
th( m ⋅ ri ⋅ φ )
m ⋅ ri
m=
2⋅h
k ⋅e
φ = (α − 1) ⋅ (1 + 0.35 ⋅ ln (α))
α = f (a , b )
b
a
ri
a
b
"Configuración rectangular"
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
"Configuración hexagonal"
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
29
28. Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001
Diapositiva 30
CONSIDERACIONES DE DISEÑO
•Perfil óptimo para la disipación de una potencia
térmica con el mínimo volumen.
•Dimensiones óptimas para un determinado
volumen de aleta.
•Espaciado óptimo entre aletas.
•Elección del material.
•Contacto térmico con la base.
APLICACIONES TEORÍA CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN 1D.
•Extrusión de fibras.
•Cables eléctricos.
•Colectores solares.
•Medida de temperatura de una gas con un termopar.
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)
Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas
30