Aletas2

Tema 5: Régimen est. unidim. (II). Superficies extendidas R. Royo J. M. Corberán Curso 2000-2001

Diapositiva 1

TRANSMISIÓN DE CALOR
EN RÉGIMEN
ESTACIONARIO
UNIDIMENSIONAL (II).
SUPERFICIES EXTENDIDAS.
J.M. Corberán, R. Royo (UPV)

Tema 5: Régimen estacionario unidimensional (II). Superficies extendidas

1


Diapositiva 2

INDICE:
1. INTRODUCCIÓN.
1.1. EJEMPLOS DE APLICACIÓN.
1.2. CLASIFICACIÓN.
2. ECUACIÓN GENERAL.
3. ALETAS RECTAS DE SECCIÓN CONSTANTE.
3.1. HIPÓTESIS DE CÁLCULO.
- Aleta muy larga.
- Calor despreciable en el extremo de una aleta.
- Convección en el extremo de la aleta.
3.2. COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
CON LA APLICACIÓN DE LAS TRES HIPÓTESIS.
4. ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE. ALETAS ANULARES.
5. EFICIENCIA.
6. EFECTIVIDAD. CONDICIONES DE UTILIZACIÓN DE ALETAS.
7. CARACTERIZACIÓN DE SUPERFICIES ALETEADAS.
7.1. RESOLUCIÓN POR ANALOGÍA ELÉCTRICA.
7.2. CONFIGURACIONES ALETEADAS COMPLEJAS
8. CONSIDERACIONES DE DISEÑO.


2


Diapositiva 3

INTRODUCCIÓN
OBJETIVO: AUMENTO DEL CALOR DISIPADO POR
CONVECCIÓN AL AMBIENTE.
Tfluido , h

Q=A*h*(Tsup-T fluido)

Tsup , A



3


Diapositiva 4

EJEMPLOS DE APLICACIÓN:



4

Diapositiva 5



5


Diapositiva 6

1.2. CLASIFICACIÓN:
SECCIÓN CONSTANTE

Aletas rectas

Aguja

Sección constante

Sección constante



6

Diapositiva 7

SECCIÓN VARIABLE

Aleta anular de espesor
uniforme

Aleta recta de
Sección variable

Aguja
Sección variable


Aleta anular de espesor
variable


7


Diapositiva 8

ECUACIÓN GENERAL
dQconv
dAconv
x

Acond
Q (x+dx)

Q(x)

dx

Balance de energía

Q( x) = Q( x + dx ) + dQconv

dT ( x)
dQconv = h ⋅ (T ( x) − T∞ ) ⋅ dAconv ( x)
dx
Utilización función de diferencia de temperaturas θ ( x ) = T ( x) − T∞
Q( x ) = −k ⋅ Acond ( x ) ⋅

 1
 d
 1 h d

d2
d
θ +
⋅ ⋅ Acond  ⋅ θ − 
⋅ ⋅ ⋅ Aconv  ⋅ θ = 0
A
 dx
A

dx2
 cond dx

 cond k dx




8


Diapositiva 9

AGUJAS Y ALETAS RECTAS DE SECCIÓN CONSTANTE

Tf , h

Q
Q
Tb

e

P*x

L


D
P*x

w

x

Tf , h

Q

Tb

Aconv =P x

A cond A b w. e
A conv 2 . ( w e) . x

Q
x

L
2
π .D
A cond A b
4
A conv π . D . x


9


Diapositiva 10

 1
 d
 1 h d

d2
d
θ +
⋅ ⋅ Acond  ⋅ θ − 
⋅ ⋅ ⋅ Aconv  ⋅ θ = 0
A
 dx
A

dx2
 cond dx

 cond k dx


h⋅ P
m=
k ⋅ Acond

d 2θ
− m 2 ⋅θ = 0
d x2

θ ( x ) = C1 ⋅ e m⋅ x + C 2 ⋅ e − m⋅ x = C 3 ⋅ sh ( m ⋅ ( L − x ) + C4 ⋅ ch( m ⋅ ( L − x ))

Qaleta = Q( x = 0) = − Ab ⋅ k ⋅


dT
dx

= − Ab ⋅ k ⋅
x= 0

dθ
d x x=0


10


Diapositiva 11

CONDICIONES DE CONTORNO:

1)

T ( x = 0 ) = TB

TB

T(L)

2)
T FLUIDO

TB

T ( x = L) = ??
QEXTREMO=0
d
dx

TFLUIDO
TB

L
QCOND =Q CONV
k.

d
dx

T ( L) h . T ( L )

TFLUIDO

T (L )

0

L

TB

T(x=L)=Tconocida
T(x=L)=Tconocida

T fluido

T(L)
TFLUIDO

L


TFLUIDO

L


11


Diapositiva 12

(I): ALETA MUY LARGA

θ b

T ( x → ∞) → T fluido

θ (x) θ
b

Qaleta = Ab ⋅ k ⋅ m ⋅ θ b = h ⋅ Ab ⋅θ b ⋅

θ ( x → ∞) → 0

. e m. x

m⋅k
m⋅k
= Qbase _ sin _ aleta ⋅
h
h


12


Diapositiva 13

(II) CALOR DESPRECIABLE EN EL EXTREMO DE LA ALETA
En muchas ocasiones Qextremo es despreciable frente al disipado
por el resto de la aleta:

Q cond

Qextremo» 0

dθ
dx

=0
x= L

ch(m ⋅ (L − x ))
ch(m ⋅ L )
m⋅k
m⋅k
Qaleta = h ⋅ Ab ⋅θb ⋅
⋅ th(m ⋅ L ) = Qbasesin aleta ⋅
⋅ th( m ⋅ L)
h
h

θ ( x) = θ b ⋅



13


Diapositiva 14

(III) CONVECCIÓN EN EL EXTREMO DE LA ALETA:

Qcond

Qconv

θ(x ) = θb ⋅

Q aleta

− k ⋅ Ab ⋅

dT
dx

= h ⋅ (T − T∞ )
x =L

h
⋅ sh(m ⋅ (L − x ))
m⋅ k
h
ch(m ⋅ L ) +
⋅ sh(m ⋅ L )
m⋅ k

ch(m ⋅ ( L − x )) +

m⋅ k
m⋅k
⋅ th(m ⋅ L ) + 1
⋅ th (m ⋅ L ) + 1
h
h
= Qbase sin aleta ⋅
= h ⋅θb ⋅ Ab ⋅
th (m ⋅ L )
th(m ⋅ L )
1+
1+
 m⋅k 
 m⋅k 




 h 
 h 



14


Diapositiva 15

COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
CON LA APLICACIÓN DE LAS TRES HIPÓTESIS.
Aplicación de agujas en disipador

θb

(I):

T ( x → ∞ ) → T fluido

(II): dT

(II) y (III)

dx

= 0
x=L

dT

(III): − k ⋅ Ab ⋅ d x
Evolución temperatura
en agujas disipador:
L=0.02 m. k=100 W/mK
2
t=0.003 m. h = 25 W/m K

(I)

= h ⋅ (T − T∞ )
x= L


15


Diapositiva 16

ALETAS DE SECCIÓN VARIABLE

dQconv
dAconv
x

Acond
Q (x+dx)

Q(x)

dx
 1
 d
 1

d2
d
h d
θ +
⋅ ⋅ Acond  ⋅ θ − 
⋅ ⋅ ⋅ Aconv  ⋅ θ = 0
A
 dx
A

dx2
 cond dx

 cond k dx



Diapositiva 17

CASO MÁS SIMPLE DE ALETA DE SECCIÓN VARIABLE:
ALETA ANULAR.

Superficies:

2
Aconv = 2 ⋅ π ⋅ (r 2 − rbase )

Acond = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ e

d2
1 d
⋅θ + ⋅ ⋅ θ − n 2 ⋅θ = 0
dr 2
r dr

n=

2⋅h
k ⋅e

θ ( x ) = C1 ⋅ I (n ⋅ r )0 + C2 ⋅ K (n ⋅ r )0
I y K: funciones modificadas de Bessel de primera y segunda especie, orden 0.


17


Diapositiva 18

Hipótesis: convección despreciable en el extremo.
–Distribución de temperaturas:

θ (r ) = θ b ⋅

I (n ⋅ r )0 ⋅ K (n ⋅ re )1 + K (n ⋅ r )0 ⋅ I (n ⋅ re )1
I (n ⋅ rb )0 ⋅ K (n ⋅ re )1 + K (n ⋅ rb )0 ⋅ I (n ⋅ re )1

Potencia calorífica:
Qaleta = h ⋅ 2 ⋅ π ⋅ rb ⋅ e ⋅ θ b ⋅


k ⋅ n K (n ⋅ rb )1 ⋅ I (n ⋅ re )1 − K (n ⋅ re )1 ⋅ I (n ⋅ rb )1
⋅
h I (n ⋅ rb )0 ⋅ K (n ⋅ re )1 + K (n ⋅ rb )0 ⋅ I (n ⋅ re )1


18


Diapositiva 19

EFICIENCIA
Efficiency of extended surfaces, Gardner, K.A.
(ASME Thermal Engineering Proceedings, 1945)
Hipótesis:
• Transmisión de calor unidimensional.
•Coeficiente de convección uniforme.
•Temperatura de la base uniforme.
•Flujo de calor despreciable en extremo.
 1
 d
 1 h d

d2
d
θ +
⋅ ⋅ Acond  ⋅ θ − 
⋅ ⋅ ⋅ Aconv  ⋅ θ = 0
2
A
 dx
A

dx
 cond dx

 cond k dx


[

]

[

]

d2
d
2⋅ 2 θ + (1−2⋅m) ⋅ x −2⋅α⋅ x2 ⋅ θ + p2 ⋅c2 ⋅ x2⋅ p +α2 ⋅ x2 +α⋅( 2⋅ m−1) ⋅ x+m2 − p2 ⋅n2 ⋅θ = 0
dx
dx


19


Diapositiva 20

Resultados tabulados a través del parámetro eficiencia:
(Ojo, llamada efectividad en el libro A.F. Mills)

η=

Qaleta
Qaleta _ temperatura _ base

Qaleta
η=
=
h ⋅ Aconv ⋅ θ b

∫

Aconv

0

θ ⋅ dAconv

θ b ⋅ Aconv

=

(T − T

)

fluido media

Tbase − T fluido

Aplicación práctica fundamental a efectos de cálculo:
Aconv =Aaleta

Qaleta = η ⋅ Aaleta ⋅ h ⋅θ b

20


Diapositiva 21


Diapositiva 22

EFECTIVIDAD DE UNA ALETA:

ε=

Q aleta
h ⋅ Ab ⋅ θ b

ε Aaleta
=
η Abase

Evaluación de la conveniencia de utilización de aletas
Se justifica la utilización de aletas, si ε aleta mayor que 2
Para aletas de sección constante y convección despreciable
en el extremo:

ε=

A m⋅k
A m⋅ k
m⋅k
⋅ th ( m ⋅ L ) = b ⋅
⋅ th (m ⋅ L)
⋅ th ( m ⋅ L) η = b ⋅
Aaleta h
P⋅L h
h



22


Diapositiva 23

EFECTIVIDAD DE UNA ALETA DE SECCIÓN
CONSTANTE CONSIDERANDO CONVECCIÓN EN EL
EXTREMO.
20
18
16

Efectividad

14
12
10
8
6
4

4.75

4.5

4.25

4

3.75

3.5

3.25

3

2.75

2.5

2.25

2

1.75

1.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0

0

2

m*L
m*k/h=2.5

m*k/h=5

m*k/h=10

m*k/h=15

m*k/h=20


23


Diapositiva 24

Empleo de aletas justificado:

m⋅k
>> 1
h

(recomendable
superior a 10)

Sección constante: m ⋅ k
2⋅k
=
>> 1 :
h
t ⋅h
•k alta: materiales conductividad elevada
•t bajo: espesor aletas pequeño
•h bajo: en entornos con convección débil



24


Diapositiva 25

CARACTERIZACIÓN DE SUPERFICIES ALETEADAS
Apared

Te

Aaletas

Atotal=Alibre+Aaletas

Alibre

Qsup erficie _ aleteada = Qaletas + Qarea _ libre
Qsuperficie _ aleteada = η ⋅ Aaletas ⋅ h ⋅ θ b + ( Atotal − Aaletas ) ⋅ h ⋅ θ b
Se define el parámetro geométrico:

β=

Aaletas
Atotal

Qsuperficie _ aleteada = Atotal ⋅ h ⋅ θ b ⋅ ( β ⋅η + 1 − β ) = Atotal ⋅ h ⋅ θ b ⋅ η pond

ηpond = β ⋅ η + 1 − β


25


Diapositiva 26

RESOLUCIÓN POR ANALOGÍA ELÉCTRICA EN
PARALELO:

R1 =

Tb

R2 =

1
Alibre ⋅ h

T∞

Tb

1
Atotal ⋅ h ⋅ (


T∞

1
Aaletas ⋅η ⋅ h

1
1
1
=
+
RT R1 R2
RT =

RT

Alibre Aaletas
+
⋅η )
Atotal Atotal

RT =
=

1
Alibre ⋅ h + Aaletas ⋅ η ⋅ h

1
Atotal ⋅ h ⋅ η pond


26


Diapositiva 27

T

e

Muros multicapa
Q=

Ti

Te
Q=

1
hi ⋅ A pared

Ti − Te
ei
1
+∑
+
ηpond ⋅ he ⋅ Atotal
i k i ⋅ Apared

Cilindros
Ti − Te
r 
ln  j +1 
 rj 
1
1
 +
+∑ 
2 ⋅ π ⋅ ri ⋅ L ⋅ hi
ηpond ⋅ he ⋅ Atotal
j 2⋅π ⋅ L ⋅ ki

En cada caso el calor se calcula referido a un área característica,
que suele ser la interior o la exterior de la superficie global:

Q = Aref ⋅ U A _ ref

Q
U A _ ref =
⋅ (Ti − Te )
Aref ⋅ (Ti − Te )

27


Diapositiva 28

CONFIGURACIONES ALETEADAS COMPLEJAS



28

Diapositiva 29

ASHRAE, 1993:
η=

th( m ⋅ ri ⋅ φ )
m ⋅ ri

m=

2⋅h
k ⋅e

φ = (α − 1) ⋅ (1 + 0.35 ⋅ ln (α))
α = f (a , b )

b
a
ri

a
b

"Configuración rectangular"


"Configuración hexagonal"


29


Diapositiva 30

CONSIDERACIONES DE DISEÑO
•Perfil óptimo para la disipación de una potencia
térmica con el mínimo volumen.
•Dimensiones óptimas para un determinado
volumen de aleta.
•Espaciado óptimo entre aletas.
•Elección del material.
•Contacto térmico con la base.

APLICACIONES TEORÍA CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN 1D.
•Extrusión de fibras.
•Cables eléctricos.
•Colectores solares.
•Medida de temperatura de una gas con un termopar.



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