Examenes uni pasados

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FI -203. R, S, T EXAMEN FINAL 12-07-10 CIGLO: 2010-1
1.- o la
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¡*YEl ela
carga de 2000 Kg. que soporta. Existe un a,
posición D a lo largo de la ranura horizontal a
través de la cual el cable debe pasar y ser
asegurado, para mantener la posición
mostrada en la figura. Hallar la distancia "x".
+ 2.- Una partícula choca de manera perfectamente
elástica contra otra idéntica en reposo. El que
-: llega tiene una rapidez de 35 m/s. Después del
choque, uno de las partículas se mueve formando
un ángulo a = 37o con respecto de la trayectoria
de la partícula incidente (eje X), y el otro formando
. un cierto ángulo B.
a) Calcular las velocidades después del choque
(magnitud y dirección) de las partículas
b) Hallar el ángulo B
tt,ltq v.
"1
( antes )
Ílztrg
( después )
L:
e.c.a.
3.- Dado el paraboloide cz = x2 + y2 y el
plano que pasa por z=h; hallar:
a.- el centro de masa del solido.
b.- el momento de inercia con respecto al
eje Z.
4.- Hallar lo y 1",
v
5.- Dada la fuerza
F = (y2 - 2xyz3¡i + (3 + 2xy - x'z')i +(623
- Z:/;yz2¡X y una partícula que se mueve
desde el punto (2, -1, 2) hasta el punto
(-1,3, -2);hallar el trabajo realizado.

a
1.- Hallar el momento de inercia con respecto al
eje Z de la región encima del plano Xy limitada
por el cono invertido de altura h y radio de la base
b y el cilindro ,' * y'= b2 y altura h
2.- El sistema mostrado en la figura está en
equilibrio. Las fuerzas de fricción entre las
superficies de los elementos de la figura son
nulas. El cilindro homogéneo de peso W1 = gO,O
N, está ubicado simétricamente entre la pared
vertical y la compuerta uniforme de peso W. =
400,0 N la cual a su vez está articulada en O y
sostenida por la cuerda BDF. La cuerda según BD
forma un ángulo de 90o con OBC. El bloiue de
peso W2 = 100,0 N, está sostenida por una cuerda
desde el extremo C de la compuerta. Según el
sistema de coordenadas X_y, el punto D de la
cuerda corta al eje Y. La longitud OC de la
compuerta es L = 6,0 m, las longitudes de OA,AB
y BC son idénticas e igual a 2,0 m,la longitudbD
es iguala 5,0 m.
a) Calcule las magnitudes de las tensiones
Tt, Tz, de las reacciones en O, A y E.
b) Teniendo en cuenta el DCL de la
'compuerta, los correspondientes valores
obtenidos en (a) y el sistema de
coordenadas X - y, exprese todas las
"flechas" como vectores (es decir, en
función de i, j, k).
c) A partir de la definición, encuentre los
correspondientes torques, de T1, T2, y de
la reacción en A con respecto al punto O.
3.- La aceleración "a" de una corredera unida
a un resorte es . proporcional al
UNIVERSIDAD NACIONAL DE II{GENIERIA
Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica
AREA DE CIE¡{CIAS BASICAS
Ff -203- R, S, T EXAMEN SUSTTTUTORTO 19-07-iO CTCLO: 2O1O-1vlvEv. Áv lv_ |
desplazamiento "x" a partir de la posición en
que la fuerza del resorte es nula y esta
dirigida en sent¡do contrario al
desplazamiento, la relación existente, a= _k2x,
donde k es una constante. La velocidad de la
corredera es vo cuando x=0 ! si t=Q cuando
x=0, hallar:
a) Eldesplazamiento
b) La velocidad en cualquier instante.
c) Graficar el desplazamiento ia veloóidad y la
aceleración
4 Calcular el trabajo realizado para hacer que una
partícula efectúe una vuelta en una circunferencia
C en el plano XY, si su centro coincide con el
origen de coordenadas, el radio de la
circunferencia es de tres unidades y la fueza del
campo está dada por:
7 = (2x - y + z)i + (x + y - zli + (3x - 2y +42¡¡
5 - Un proyectil de masa m=50 g se mueve a la
derecha con rapidez vo=30 m/s. El pr:oyectil
golpea y se incrusta en el extremo de una barra
estacionaria de masa M = 400 g, longitud 1,50 m
que está articulada alrededor de un eje sin fricción
que pasa por su centro (o). Todo el movimiento
ocurre en el plano horizontal. Se pide:
a) El momento lineal y el momento angular
inicial del proyectil, con respecto al centro
(o).
b) Luego del impacto, ¿se conserva el
. momento angular?. Explique.
c) Encuentre el momento de inercia del
sistema proyectil - barra después del
impacto, con respecto al eje de giro y la
velocidad angular de giro.
d) Determine la pérdida de energía mecánica
debido al impacto.
e.c.a.

Ft -203
4000 kg
EXAMEN FINAL
R:O,art
!o-8011
2 Un miembro rigido ABG es amarrado a la
superflcie esférica vertical yz, por una
articulación en A y los cables BE y CD El
peso del miembro es despreciable frente a la
carga de 4000 Kg. que soporta. Existe un a
posición D a lo largo de la ranura horizontal a
través de la cual el cable debe pasar y ser
asegurado, para mantener la posición
mostra.da en la figura. Hallar la distancia ,,x".
z
Fig 2
I
-'1 8m
UNIVERSIDAD NACIONAL DE IIGEIIERIA
Facultad de Ingenicría Geológica, ltlinera y Metalúrgica
AREA DE CIEICIAS BASICAS
15-12-08 CICLO: 2OOB-2
3.- Localizar el centro de gravedad de la pieza de
chapa metálica que se incjica. El extremo A esta
hecho de un material que pesa 20 kglm2 y el resto
esta construido de material que pesa 10 kg/m2
(Fig. 3 )
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V-
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{cm
4.- Demostrar la 2da Ley de Kepler. Calcular la
velocidad de escape rje un satélite que se
encuentra a 1000 km. de la tierra.(R,=6,37x106 nr)
5.- Determinar los momentos de inercia del
paralelepípedo rectángulo homogéneo de masa
"m" respecto a sus ejes centÁides x6 , z y
respecto al eje x que pasa por su extremo.
I
b
i
e. c. a.

7
A.- t" corredera pesa 1.5 lb. y se mueve a lo I ROemas graficar velocidad inicial (desde el
/ targo de la barra lisa curvada,bajo la accion I reposo hasta su velocidad) versus D.
de su propio peso y una fuerza exterior
aplicada y constante F=-10i+15j+10k N. Si la
co.rredera parte del reposo en A determine su
veiocidad cuando alcanza B.
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Fl -203- R
9t
vaior de P maniiene ei bloque en equilibrio,
considerando que el coeficiente de fricción es
0,'10 para todas las superficies en contacto.
10'
I
/.- Determinar el rango de valores para la
/fuerza P fuera def cual la cuña se desliza y
,/ levanta o baja el bloque y dentro del cual el
.X
^[l- S" tiene un anillo ie radio. B, rigido y fijo al
. suelo por medio del punto A. Un cuerpo de
masa m, parte de B con una velocidad inicial
de'180 crr'i./s v desliz: sin rozamienlo sobre el
anillo y cae a una i.stancia "D' del punto de
apoyo A. Hallar esta distancia ( R= 25 cm.).
ot1 5 l<:)
TiNI/E,RSIDAD NACIONAL DE II.- GENIERIA
Frcultad dc I rrgcrrier.íl Gcológica, Alinc¡-a ¡, Alcrulúr-gicl
AREA DE CiENCIAS BASICAS
EXAMEN PARCIAL 02-02-0e CICLO: 2008 - 3
calcularparat=1
a) Veclor unitario tangentz.
b) Curvatura.
c) Vector unitario normal.
d) Vector unitario binormal.
5.- Una parlícula se mueve iiguiendo l;
trayectoria'de ia espira logaritmica mostrada.
Calcular los módulos de la velocidad y
aceleración respectiva en función de b, 0 y
sus derivadas, sabiendo que é = w es
constante.
r= e* (espira logarítmica)
A <- D -___+
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Fl -203
UNIVERSIDAD NACIOI{AL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica
AREA DE CIEiCIAS BASICAS
EXAMEN FINAL 15.-12-08 CICLO: 2008-2
o
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u
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1.- En la Fig. 1 se muestra un bloque A que
desciende con una velocidad de 3 m/sg. La esfera
B se considera que es ?naciza y homogénea
moviéncjose sobre cojinetes sin rozamiento.
Además, el resorte se encuentra comprimido
inicialmente 0,20 m y tiene un modulo de 80kg/m.
Determinar la velocidad de A en el"rhstante que
desciende 1.50 m.
Q= O,3 rn
2.- Uq miembro rígido ABC es amarrado a la
superfrcie esf érica vertical yz, por una
articulación' en A y los cables BE y CD. El
peso del miembro es despreciable frente a la
carga de 4000 Kg. que soporta. Existe un a
posición D a lo iargo de la ranura horizontal a
, través de la cual el cable debe pasar y ser
. asegurado, para mantener la posición
mostrada en la figura. Hallar la
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3.- Localizar el centro de gravedad de la pieza de
chapa metálica qlá se indica. El extremo A esta
hecho de un material que pesa 20 kg/m2 y el resto
esta construido
'de
material que pesa 10 kg/m2
(Fis. 3 )
4.- Demostrar la 2da Ley de Kepler. Calcular la
velocidad de escape de un satélite que- se
encuentra a 1000 km. de la trerra.(R¡ =6,37x10o m)
5.- Determinar los momentos de inercia del
paralelepipedo rectángulo homogéneo de masa
"m' respecto a
'5us
ejes centÁides xs ,- z y
respecto al eje x que pasa por su.extre
Ls
+e.c.a.
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UI{IrERS IDAD l{A CI O NAI D E IN G-F- n* IE RtA
Fecuited de Ingeniería Geológic:r, lVlinere y iVletalúrgica
AREA DE CI'ENCIAS BASICAS
73-12-48 CICLO: 2008-2
i
i
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l
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e c.a.
Fr -203 EXAMEN SUSTITUTORIO
1.- Un disco eircular de radio r rueda sin
deslizar a lo largo del eje x, con una rapidez
constante v, como se indica en la, Fig. 1. En el
tiempo t=0, un punto A sobre la periferia del
disco coincide con el origen. lnvestigar el
movimiento ddl punto A y escribir sus
ecuaciones
, l-,r( " i
I
r-
l'/
I
- Fig. 1
/
/ Z.- el poste, plataforma solidaria y motor eléctrico
pesan en conjunto 140 Kg. y tiene el centro de
gravedad de la combinación situado en G. La
carga adicionada por el motor crea un par de
reacción de '10 m.kp sobre el árbol del motor,
según se indica en la Fig. 1, determinar las
tensiones T1 y T2 de los cables soportantes.
Supóngase soportado el poste por una
articulación de rotuta en A.
Fi1.2
3.- Localizar el centroide del volumen que se ve
en la Fig. 3.

Fl -203- S 5b p.C.
z
I
2.- Calcutar la resultante
resultante de la Fig- l
y el momento
3..-_Una esfera sólida de radio "R" y masa'M"
y otra hueca de rgual radio y masa, se
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1-;|-d9ili1ar.lg¡1ensionesTrYT:enlos_lstlellant1ala.^.-{^
f,:,'"?.;"::".i;tri:lr
.'¡ v' ;::T I rlF?ri! l,*,lS ;Ni"'J".:,"0:"if:,:Hallar la relacién de ias .rf"r. üando
llegan a ta base del ptano ¡ncl¡naJo.
¡(,.,Lj
r.d.. '
1."4.: Sobre una superficie lisa, se halla 2
pnsmas cuyos áagulos son de 45" y su
masa "m", desde una altura H, cae una
bolita de mas m1 << rn que'golpea al
prisma de la ízquierda " rebota
horizontalmente y golpej al prisma de la
d.erecha y rebota vLrtic¿lmente- galtar la
altura del rebote final, todos los choques
son elásticos (Fig. 3)
fTll
O
H; I
,¿5
,no!_ _
Se suelta una bolita de masa 1.m,,
oesde una altura ..h,, 'y
cae sobre unasuperficie sólida de coeficiente derestitución .,",.
., qt" tiempá ámpleara
hasta dar el cuarto rebote_
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UNIVERSIDAD I+A(]IONAL D.E, INGENIERIA
Facultad'de Ingenieríl Gcológica, Illincra 1' IHetalúrgica
AREA DT CIEI{CIAS BASICAS
FI _203- R, S, T EXAMEN FINAL 13-07-09 CICLO: 2009-1
í.- Un miembro rígido ABC es amanado a la
superficie esférica vertical yz, Por una
articulación en A y los cables BE y CD. El
peso del miembro es despreciable frente
-. a la carga de 5000 Kg. que soporta.
Existe un a posición D a lo largo de la
ranura horizontal a través de la cual el
cable debe pasar y ser asegurado, para
mantener la posición mostrada en la
figura. Hallar la distancia'/.
r'" 6m Io.V
z
2.- Hallar 1,.
v
Fig.2
3.- Se lanza un proyectil de 6 Kg. de masa
con una rapidez de 4mis, formando un ángulo
de 3tr con la horizontal. En la parte mas alta
v
l+ - )
I tom
I
l6m
de su trayectoria explota en dos pedazos,
mr=2kg y m2=4k9.
a) S¡ m1 alcanza la posición inicial de
lanzamiento ¿A que distancia de m' caerá
mz?
b) ¿Cuánta energia se libera en la explosión?
4.- En el diseño preliminar de una maquina
clasificadora del coneo, los paquetes que se
mueven hacia abajo por una rampa lisa a 2
pies/s son detenidos por un resorte lineal
¿Cuál debe ser la constante del resorte si no
se quiere que un paquete de 10 lb. quede
sometido a una desaceleración máxima
superior a 109?
<-.
2 pies/s
3 pies
5.- Una bola maciza uniforme de masa N4 y
radio R rueda sin deslizamiento por un plano
inclinado O con la horizontal (ver figura 4).
Encontrar la condición que debe cumplir el
ángulo de lnclinación O, para que la esfera
ruede sin deslizamiento.
e.c.a.

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I
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hasta C=i=n=rse-

.1 -La. q_cqle¡ación'-a' de g_la conedera u¡ida a _
un resorte es proporcional al desplazamiento
'x' a partír de la posición en que fa fueza del
iesorte es nula y esta dirigida en sentido
contrario al desplazamiento. la relación
existente, a= -Kx, donde k es una consbnte.
La velocidad de la corredera es vo cuando x=0
y si t=0 cuando x=0, hallan
a) El desptazamiento
b) la velocjdad eri cualquier instanle.
c) graficar e[ desplazamiento la velocidad y ta
acef ención.
2.- Determinar el momenlo de una fueza de
180 Ko- respecto a una recta que pase por el
punto A y sea paralela at eje z (FiS. f ). La
fuerzapasaporelpunto (4,-2,4). tec|
E/.AMEN PARCIAL
.+
el cent¡oide del volumen que,se
Fig. 1
.3.- Localizar
---__y_e_enja Eig.2
4.- 2 benes viajan cada uno con una velocidaC
de 25km¡h. van al encuentro en la mis¡na vía
recta. Una paloma que vuela a 50kmh saie
volando de un tren cuando los 2 üenes están
separados 50bn, hacia el otro [en. Al llegar a
34.
- .IiNIVERSIDAD .NACIO ¡{AL D E JsG EIERIA
Facultad de Ingeniería Geológica, lIinera -v if,z,-2.:-:7ice
AREA DE CTENCIAS BASIC.IS
CICLO : 20071
este_ se regresa ¿'. g:imero, después al
segundo, y así sucel:rz.nente. Cuantos viajes
puede hacer la palonz Ce un tren al otro antes
de que se estrellen. (Suponga que la paloma
mide 02m)
5.- La tone vertical que se ilustra en la Fig.3
esta sujeta por las dos tensiones de los cables.
Se desea amarar al extremo A de la torre una
retenida de alambre que forme un ángulo de
45o con la hoüonbrl. Dicha retenida se tensa
hasta lograr que la resulLante de las tensiones
en los 3 alambres sea vedical a lo largo de la
torre. Hallar la lensión necesaria en la reteniCa
y las coordenaCas r. y del punto en que debe
ser anclada en tierra.
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con una repidez de z< pie,sls;";;r"'o;:!:H; I ^:.::."-":1",:l'd-parrcuia
de masa'm' ¿s r6,írl:i.
r"o.'r.J-.,,í-"i"'o-.* 0.,' 5 I :::,::'" ^':?:::,'.1_, i 13. n9¡" ,up",,o,-¿;':;
punro'A. que esra a r-a pi"iá"" ó;"0-t-o|o..,";#I" ij I :::to^:.:_".Ticilindrico
sin rriccíón. o" rJ¡á -ñi ol,'curva sr dicha desace'leración es p.p"r.¡"""i
"r I :.fj::f:,li" pasa sobre la parte rup.rioi
-o'=.
Xi:::::_'j .::,3{e-l;:Á:;;,.';;;''o"",= i." I :l,j,l"l"-rparticura
se mueve rapidez consia.:..
en el püntoA.
vs ¡c rrdvesrorra
I ul Por integración direcla de W=(r.or . €ocuÉr;r:r
I ::lr*:i" reatizado.at mover ta párricuta a ra¡,,,i,:
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superior del cuerpo semícilindrico.
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FI -203. R, S, T EXAh'iEN FINAL
Un miembro rigido ABC es amarrado a la
superlrcie esférica verticai yz, por una
artiiÚlaóiOn en A y lós cables BE y CD El
peso del miembro es desDreciable frente
a la carga de 5000 Kg. que soporia.
Existe un a posíción D a lo largo'de la
r3nura horizontal a través de la cual el
cable debe pasar y ser asegurado, pare
mantener la posición mostrada en la
figura. Hallar la disiancia'f .
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Fig.2
3.- Se lanza un proyectil cie 6 Kg. cie masa
- con una rapidez de 4mis, formando un ángulo
_-,-.
de 30p con la horizontal. En la oarle mas aita
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AR.trA DE CIEJ.{CIAS E.^,.SICAS
13-07-09 CICLO: 2009-1
cje su tiayectoria explota en dos pedazos,
m.=2P.9 r rn2-4k9.
a) Si
'
m1 ¿lcanza la posición inicial de
lanzamiento ¿A que dis'.ancia de m.' c¿erá
mZ?
b) ¿Cuánta energía se libera en la explosión?
4.- En el diseño preliminar de una maquina
clasificadora del correo, lcs paque'res que se
mueven hacia abajc por una rampa lisa a 2
pies/s son deterridcs por un resorte lineal
¿Cuál debe ser la constante del resorte si no
se quiere que .un paquete de 10 lb- quede
sometido a una desaceleración rháxima
'sr-:perior a 109?
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2 pieds
pres
5.- Una bola maciza uniforme de masa M y
radio--R rúeda Sin deslizarniento por un plano
inclinado O con la horizontal (ver figura 4).
Encontr::r la condíción que debe cumplir el
ángulo de inciinación O, para que la esfera
ruede sin deslizamiento.
e.c_a

est¿ en úna superíici= horizonial en doncie
puede moverse libremenie en cjicha dirección.
El proyectil sele del cañón .0.006 seg.
después de disparado, calcular ia velocidad
-lJ-.- C¿lcutar el c=niroide dE la superficie
lrapezoioal 4." i" r,'=;icat¡ cje ta Fig 2 I
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Fig. 3. Demostrar que 0 , *
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l '-une prticula p dc lnasr m sc dcspl'rz:l por un plrno inclimdo AS quc ricnc rn cocllcicntc dc roz¡¡nicnro
u collslanle ' dicho plano fontn rur i:gulo u co¡¡ la horizont¡l : si prrc desdc el rcposo dcsdc cl punto nlitsalr<r (A). dcl pluno inclimdo. hallar:
¡l) La acclcnrción,
b) La r.clocid:rd.
c) La dist¡ncia rccorrid:l dcspués dc un ricm¡n t
2'-sc l¡tlr'':t trn pro-vcctil co¡r |clocitl:ltl inicirl ro fonrwrdo un;ingrrlo ¡ corr tl horizolrLrl. Si sobrc cl pro'cctrt
¡lclri:¡ ttut [rlcr¿a adicionalticbido a ln rcsisrcncia cic'l ;jrc i.gu:rr alpr'. dondc f] cs,nr co^sranlc ¡rcsirir.:r r.r-csll vclocii!:¡rl inst¡rni:lrrca E¡rcontr¡r:
, l) La r clocitl¡r
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b) .. El .cctor posición cn cualquicr licrlrpo.
!'-a) un:l oarticura se mue'3 bljo r: a-cción d¿ ia íuerza f- = rg,rque ,: del prrnlo.A. a.l ounro B cuyos resoeclir.c.s r..;;.;c,¡sició,¡ son 2Jiallar e! tralr.rjo rr:alizacio. r -- '-
b) H:rt¡rl¡ cnersí¡ cinJrica de u¡r¿ pi-ícuia c¿ 20 urid¿cies cievelocidad cic i í'+ -í J.+4¡n
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S .t-,t¡z/L,.Lr a/x44-t ¿L/¿-r'¡,,.o. /¿s tXfi¿,,265 rtc I'S ¿.,¿.'zt.s
lqrlLe A.¡2,<-¿¿fh'tt ,&V'rS.r,f= . g. /^ /a-r¿ 72(rzaa.2;Tt'-z+(
a a.t:/h ¿-'"t( / ;"; n6yL '/o
r rt'¿'1't 'L 7ex'*ii
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13 13 Sctr¿-.:cl: sori'i'tr==c= <u- s3 '¡3 3í
al6i,r-1¡ kr, kr.
LT p"totas ccn raPiceces de
an- stmultána"r?eni3 con
inial (',,er fig.3), Cor':Ce los
15 r¡ls Y 2O
.;.ls
una suPeríci:
cceÍcientes c:
1¡,l
:úción scn 3r Y ez-
l.fr" r" relaciénle los cceicieni=s (:¡/e2)' ce
át."""r. que arr'bcs ¿lcaf'c3í'i la r'ls'-'e-
ilrura máxima-
bi;; ;a ;.7 iu¿t' es la cisiai'cia er't;=
= -' I
ip"ir"t icr,c: l¿s:=l::=s r';:=c:=r':i 3i
suelo¡, si las ¡:icias se 3í'11=;r ;u::: ?':' ! i:
alturas máxir¡as.

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*irirr'- l:); ii-lli -'
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(Fig. 3) )
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misma vía recta. Una paloma .que- vuela- a- [ -masa
m,-parte de B con una velocidá.d-'inicial
trenes están separados 60km, hacia el otro I anillo y cae a una distancia "D" del punto de
tren al otro antes de que se estrellen. I ( 5p)
(suponga que la pafoma mide 0.1m)
2.- Determinar el rango üe valores para la
fuerza P fuera del cual la cuña se desliza y
levanta o baja el bloque y dentro del,cual el
valor de P mantiene el bloque en equilibrio,
considerando que el coeficiente de fricción es
O,10 para lodas las superficies en contacto.
10"
P
3.- La aceleración "a" de una corredera unida
a un resorte es proporcional al
desplazamiento "x" a partir de la posición en
que la fuer¿a del resorte es nula V g:t¿_
.di¡igidq . en sentido-- contrario
"a.t.-
desplazamiento, la relación existente, a= -p'x.
cjonde p es una constante. La velocidad de la
corredera es vo cuando x=0 y si t=0 cuando
x=0, hallar:
a) El desplazamiento
b) la velocidad en cualquier instante.
c) graficar el dasplazamiento la velocidad y la
aceleración.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENTtrRIA
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-"-- Fecuiri:l dc'In gen ierír Ge
AREA DE CIEN
FI -203 EXAMEN PARCIAL
1.- 2 trenes viajan cada uno con una I 4.- Se tiene un.anillo,de radio.R,
Ígi9p,y,!io,3l
60km/h sale volando Ce un iren cuando los 2 I .¡" 2 m/s y desiiza sin rozamiento só6re el'
tren. Al llegar a este se .re-oresa al primerc, I apoyo A. Hallar esta distancia ( R= 30 cm.)-
después al segundo, y asi sucesivamente. I Además graficar velocidad inicial (desde el
Cuantos viajes puede hacer la paloma de un ] reposo hasta su velocidad) versus D.
A+_
5.- Un cuerpo W que pesg 25 lb. desliz¿, Jn
una guía lisa vedical un resorte que tiene una
¿c¡istante de resorte ft= 2 lb/pie tiene el
cuerpo con el fondo de una guia. Una cuerda
está unida a la parte superior de W y a un
dispositivo que sirve para jalarla. como se
indica en la Fig. 1 en la posición indicada el
resorte tiene su longítud natural y el cuerpo
no tiene velocidad.- Dado que se aplica una
fuer¿a de magnitud constante de 60 lb., a
trarrós de la cuerda, encontrar la velocidad de
W cuando llega a la parte superior de la guia
(3p)
F=60 lb
e.c-4.
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l.- t" corredera pesa i.5 lb. y se mueve a lo
/ largo de la barra iisa curvacj: tajo la acción
de su propio peso ); urra lv=na exierior
aplicada y constani: F=-10i+15j*lOf N. Si la
- corred=ra parte ciel reposo en A. deiermine su
velocidad cuando ¿,,c¿nt¿ b-
,---v.
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.¡vaior ci+ P maniien: ei bloque en equilibrin,
consic'elarrclo qu" ei cosÍcierrie c'e friccló¡r es
0,10 p;ra lcdas las s-:c=,ícies en contacto.
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L/- S. ii=ne un anilic :: r¿iio. R. ri¡i;.¿ - ';;.. -¡
suelo por m=iio cí: .lu.rio A. Ur, cu=;po de
mase m. p=ie d= E ccn una r'=lccio'¿ó inici¿i
cje 160 crri./s v ci=sli:: sin roza:':rie;lio scbia el
¿nillo v c¿= ¿ ura i _:i¿-rcia
-D' d=i punic da
. et)oyo 4.. !.zll¿r es:= iisiencia ( R= 25 crn.).
c.(
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/'/.- Delerminar el l=;'tgo ie ','¿:.ries pali, la
/íuerza P fuera del cilal la ru¡ia se desiiza ;'
'/ levanta o baja €l blu:cr¡e y Cenlro cjel cual el
// ¿,
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F:rcul(rd de lrrgeniern GcoNóEi_cr-illinerr _r ltet
Ad3nÉs gr¿fcar uebcilad
- repos h=da gl :rúriHl versus
/
Sea la curva:
y=17+2 , y= tr ;Z=l?-1
c¿lcularparat=1
a) Vacl.or unitaric, tangtni=.
b) Ct¡rvalura. 4.4
c) Vector uniterio norrná1. .
cj) Veclor unitario binornlal.
5.- Una periicula se mueve siouiendo la
lra¡,ectoiia de ia espira logarítmica nrostrada.
C¿lcular los módirlcs de la velocidad y
aceleración respecliva en funcrón ie b, 0 y
sus clerivad¿s, sabiendo clue ó = vr es
consieni e.
í= eto lespira lcAaritmica)
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2.- Hallar lx.
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EF = 45 crn
CH = 20 crn
FG = 25 crn
DE=5crnAO
Fig l
tl
e5
5.- El sistema mosirado en la fig.5. se libera del reposo estando
el resorte sin deformación. Hallar:
a) La velocidad del bloque B en el instante que choca con el piso
del sistema en este mismo instante. Se conoce W¡ = { (g, r,¡!. =
U1o Ks, K = s0 N/m
)!Y= O.¡, n = z.i.m. Fr"(_
L(J - ñ,-t
/i.
r )'
A i.-
L-v. r,L<
Despreciar el efecio de
F =0.5
2.- Una bomba espec¡al de 400kg. pasa por el origen de
un sistema de referencia 0XyZ con una velocidad relativa
al s¡stema vo = 200 i m/sg. En un tiempo t=0, luego la
bomba se separa en 3 partes, A, B y C. que pesan
respectivamente 200 Kg., 12Q-Kg. y B0 Kg. si en t = 3 s9.
Las posiciones de A y B son:
ru = 1000i + 400j - 500k y
r¡= 300i - 200j + 100k (m) ;
Y va= 600i + 2O0j- 300K y QUe v5 es paralela al plano xz.
determinar'
lfL-Sobre_una superficie lisa, se halla 2 prismas cuyos árigulos
son de 45- y su masa'm', desde una altura H, cae una bolita de
mas m1 << m que golpea al prisma de la izguierda rebota
horizontalmente y golpea al prisma de la derecha y rebota
verticalmente. Hallar la altura del rebote final. todos los choques
son e!ásticos (Fig. a)
ffir
O
11
I
Fis 4
(,-
/- la corredera pesa 1.5 Kg. y se mueve a lo largo de la
barra lisa curuada bajo la acción de su propio peso y una
fuerza exterior aplicada y constante F=-10i+15j+1Ok N S¡
la conedera parte del reposo en A determine su velocidad
1000]b
cuando alcanza B

/ :ii ii-j i i:jÍ.+¡-,::.i :.!hyi¡;r!: a
' - : li:t .
.r l '.ri.'
R,S
Íi¿ Ir .:. t
a
- firZ
r¡ueve bajc la acciÓn de una
en un iiuiCc que se ccone al
uÍra fuez.z propcrcicnal -al
3:-..:acf-acc de f a veiocidadl esto es Fr = -kf
%)e:e:mlnai ei rnórxentc ce ine¡ci= Cei m=zc de
"
1,_.
€'¡ig. 2 ¡'escecic al a;a c-o. L3 c=bzz¿ es ie
f--_l
l-1-"r:=, q'u1"-velocicad li,¡iie es
". =
'Fvrt
Un c'-e;c cue pesa 25 ic. cesi:z= e.'t !iiz
a lisa veitiGl un rs:scrte cue iiene u:-.a
consl.ante de i-esc;te k= 2 l'o/pie tie¡e e! cii3-c
ccn el fc¡.dc ce una guía. Una cue¡-da es'ia '-rnid=
a la parie sJrericr Ce W y a u¡ dis¡osit;vc :.:e
sile para jaiaila, ccrno se inCica en la Fig. .. e¡. ia
posición incicasa el ;'escíte tiene su lc¡g.;iuC
na:ural y el'crepc no tiene velccidaC. DaCc que
se aplica una fuerza de magnitud co;lstante de E3
[b., a través de la cuelca, enccn:rar ia veic:!3ad
de W cuandc lleca
=
la Darte suce;'icr ce la c'-lía.
n
, )ttu J,v,-,/=Q;nS
L-=Cü liD
'--:il:s:;ar cue la reiasión er.t:e la valccicac y la
iis.a;:.a es: , /
. ¡ ".F..-",L,, ,-/u'= (7 ) * (vo'-(;))e'" m'^.. f
f- f-
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ñei:ese i:ia;'[v' ,en f'.i¡áón ce x paia vo = C. Si la
'. ¿'
i:e:z¿ se su=iiiie iespués qus e! c'-eipo al:=¡cs
ia r;d,c:id=d'liñr'S-,m-cstiar q'..1e !a ve:3c:Cai is la
ti--¿.1
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U N I VT, t]. sS I D A g I.{ II C - O * * D E I N- G E. N I E, R,]I A
F r.c';[i¡d ce lir3e:ielia Gs:.iógñca, IV[inera y Metaltú:gica
AR-EA DE CItrNCIAS BASI.CAS
Fr-anen Final {?-,07,ü7 GICLO,: e0e7 - i
pesc desp;ecrabie y se iejan caei Ce sds ei
reposc en ros;ción ho¡izontal a ür.a aiiu;a is 3
pulg. Sob;e cics masas pesadas de acerc y la':cn,
-"i ei ccs:ic;en:e de res'.i':ución ¡;a:=- '.a b:'= ;- la
rnasa ee ;ató.i es C.{ }, pa;a ia c'.;a :cfa y- a f:n=si
js ace:c es 0.0. Caicular la velcc:Ca: engulac w
js :a ba:la inmeCia'.ane.rle iesp:,'és :3: :s:sla
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iae el radio de curvatura de la trayectoria en
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Fis.1.
'sirnuttáneamenie con una superficie horizontal iver lig 3). donde
los coeficientes de restitución Sofl e ¡ ! e1
a) Halle la relación de los coeficientes (e1le¡), de tal manera
que ambos alcancen la misma altura máxima.
Si e- es 0.7 cual es la distancia entre P y Q (puntos donde
las pelotas impactan en el suefo). si las pelotas se cruzan
justo en sus alturas máximas
20 n/s
3.-Una esfera de I Kg. de peso, cuelga de un hilo de
longitud 2.6m y forma un Angulo de 53" con la vertical y al
soltarse de esta posición, choca con otra esfera de 25k9.
de peso que se halla en reposo y esta situada por debajo
de la vertical como la Fig. 3. si e=0 6 entre las esferas y
p=0.3. Hallari :
a) Que espacio recorre la segunda esfera hasta
cietenerse.
b) Que tiempo emPleo en detenerse.
/ Fis. 3.
Í Dos F¿lctas con:epiCeces de 15 m/c 'j 24 m!:
'ho'an
'l
i
L
b)
P
pasar por A;
el punto A. .
donde b>c. STl" t"u. no rota, determinar la aceleración de A en
términos de 0l!si el brazo rasurado gira en sentido antihorario con
velocidad angular constante r'r
d
-''f
FINALES
,r/.- S. tiene un anillo de radio R, rigido y fijo al suelo por
/medro del punto A. Un cuerpo de masa m, parte de B con
una velocidad inicial de 1.50 mis y desliza s¡n rozamiento
sobre el anillo y cae a una distancia "D" del punto de
apoyo A. Hallar esta distancia 1 R= 30 cm.)
4.- Una lamina de 600 gr. tiene las dimensiones rndicadas en la
fig 4. si la lamina se cuelga del punto medio en el segmento GH
¿ Cual es el momento de inercia de la lamina respecto del eje
perpendicuiar a la lamina y que pasa por este punto?'
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g o;minar -er homento 1:^ l^"i, ?i;"'33.- Determln¿r st rr'vrrrY"-- 'l en la iigu'a 3'--_r.
lrP"m"ia sombreada que se ve':
c"n iasPecio al eie x'
y=x¿
!=2-b=?ü
5 - S- ,u="='un" lo"'
una al'.ura -"h" Y cee
solida d= coeiicient= c
tiemPo emol=ara hasla.
e.c.á

7.. "-^
l'.:
-.-y'..¡,--'¿-^'t.;l
.7.,',
3.- Lccalizzr el centroiCe del volumen que se ve
en la Fig. 3.
I)i. ](;l
!iili
A<- D
->
'- . -:=
---' 'Z'
2.- ' Deiermina¡' ei i¿ Jic de giro cai eslabc'r
si;éi¡'icc de acero i3soecic a! eja c---c
Latón
'-a*
) -U -) )-l
Jr :l(_ >c -¿*.
-,r__irr---
/

r:E. r.
5.- Lcs cc3iTcienies ce í¡:cciin cara fas
s':pe,-ici=s =n
coni=cio ie muesi¡a en la Fig.
5 ceie¡',¡inar el rango de magnriuC=s c'e fa
¡.¡eda hcrizcnia[ P e:lic¿Ca al blceue iníei'icr
?¿ía rnani=ner a lcics lcs bicques en
=quilibno.
i
i-Una esí=ra Ce I Kg. ie cesc, cuelga Ce un
i1o ée icrgiZcc 7.er? y ienrte urr Ár;g:--iv C=
l" ccn la ,rañieal y al scltarsa Ce esia
--4-¡¿Erl,
¿io¿i c1n iir¿ =sf=-'
Ce 2-ck3:- i:
i.Sq qu-" se halla en repcso y esta's¡iuada
'tr.i=zjc' i= ie v+i'¡-zzi ecr-liÓ ia Fig:. 3. si
=0.6 antr= las esferas Y F=0.3. Hallar:
i
-Qgg
c¡-c'zcic r-;ú'?3 ia sr;u''-<la
asia Ceienerse.
i Qu: ii=-,tr7'z ?'-:f-4---r ¿¡r d=a'ier-s¿-
n_¡_j_:--- -l -----¡-
)- :----:- J-r
Uei-; t:inZa d t ( tvtl tq ta<J L3 rl 3c:crc uc:
ra:c de la fg. 4 rescecio al eje o-o. La
;e=z ¿= le u-r-l+:¿ 'u¿rz qua pe-iá i.C+
k''tt y el ,'nango =s Ca acero que pesa 7.E
¿S;ci'g
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I
IIIffi¡WEMSIDAD MAGIOTiAI DE !ffiGEM!EMÚA
FAcULTAD DE INGENIERÍa epOr,ócICA/ MINER;A' Y METAJ,URGICA
FISIGA I
2DA PRÁCTICA CALIFICADA
Problem
El record olímpico de salto largo es de 8.90 m y le pertenece a Bob Beamon" quien lo obtuvo
las Olimpiadas de México en 1968. ¿ Qué tan cerca estuvo de alcanzar el máximo posible
ausencia de resistencia del aire, si g en México vale 9-78 m/s2 y que v6: 9'50 m/s ?
,/,/
Problema2./
/
Una partícula de 10.5 kg se encuentra en reposo en el origen, entonces, se le aplica una fuerza
F:(15e-rs,15-3t).Cr.randot:5seretiralafuerzaF,enesemomento:¿cualeslaposición
la velociciad de la partícula ?
Problema 3
Desde 1o alto de la Torre de Pisa ( inclinada 15o respecto de la vertical ) se
dispara un proyectil de 1 kg con una velocidad inicial de 30 m/s y un rángulo
de elevación de 17". Describir sl msvimiento del proyectil, respecto de un
sistema de coordenadas cartesiano fijo a la torre y con ejes paralelo y
perpendicular a la superficie de lanzamiento.
,/
Problema//
,/
Encuentre
"f
ru{t_! 9:!Wy las componentes normal y tangqncial de la aceleración,
coordenadas cilíndricas de las siguientes fi:nciones posición expresadas en Coord. Cartesianas ;
P(t): ( 15t , lft, 5t )
P(t) : ( l+Cos(t), 1+Sin(t), t )
r s/ I 0/2008
EPS
en
en
A,o/

CIALES
-_,¡!.r,
" '
-l--f ¡
T
Pdo @.7q'aü
G;dcrn $. l ltufl
T4oedrio [. 55 gtrn]
¡-f 5z =4r',
T
,r' l.-Denrosua¡ qLrc los compoucntes (dc los lectorcs trnitanos){q
/Se lanza un balón con vo=55 m/s, haciendo un ángulo. la acclcracióu a lo largo de los vectorcs uuil-¡rios irr t g{, son:
4e 30"
"on "t "1"
y. rn et mismo instante del l¿ nzamiJnto '.- * = 1d2r/dt1) - (de/di)r
--.-.--jtj-empieza un viento con una aceleración a=1,5 m/s en la
--
2(dr/dtxd0/dt)-t('dO/dt)1. .,-=.-- 1.
dirección x. A que dis-tancia del jugador caerá el balón. // ^ :-
(Considerea g=ig-/rf v"n el ejezi Z.-5"^lacurla: 'r=t--d,l3: -r'=tz' z=t'-il,'i
(Cab'lat
'
t..--i"-'
3.- Calcular la resultante y el momento resultante de la a) V'cctor uniti:rio lalrgcnl.ü. b)Curvatura c)
FiS.i Vcctor unitrrio norma!
I " d) Vcctor trnittrio bino¡nral
J - I tre n¡s r irinn c,¡ilr unr-i con ¡:n¡ r clrrcidrd de li)km/lr r ¡n r.1.- I trcncs rir.jnn critlu uno con,.:n¡ rclocid¿ld dc lOkm/h. ran al
cncucntro cn l¡ ¡ris;nn '. i¡ rcctlr. Un cónclor quc r uila a (i0kn/h
s¡lc rolando dc Lur [r.ru cuarri.ic los 2 ircncs están sap:uildos
(¡Ok¡r. hiici:r r-'l i,rirc r.ren- ,.tl il,-:gar a cst¿ sr'rc.grcsil al primcro.
I
-- ({-./ clüspuss ai sc5iin,-iu- ¡ ilsi sucesirarrrerriú Cr¡iiirü: ' iii.jus ¡.;u:j.:
I -1
hic,:r cl cóndor dc
.un
trcn al otro lrtcs dc r¡uc se cstrcltcu.
(supongr quc cl cóndor rnrdc I mi
1.- l-Jn cuerpo se ntueve bajo la acción de una fuerza-.
constante F en un fluido que se opone ai movimiento con
una fuer¿a proporcional al cuad¡'ado de la velocidad; esio
es F¡ = -kv' Demostrar que la velocidad limite es v¡ =
Fnl= Demostrar que la relación entre la velocidad y la
Y,t
dista¡cra es.
.-,F, ,.z,F,,-r,L,,
¿=(e,,z,t)
, -
k
J+(vo -
k))e m j
3 =(t2,t,l) Representar v2 en íunción de x para vo = o Si la fuerza se
C -(sent,2,t+r) ili,i:'.;":;:?'r:: :X"";:J"1"ff,"'J:"J::.i#ffi1l:Calcular: 1/e del valor de la velocidacl limite después de recorrer
^l [2,+nat
una distancia m/k
-'>-
o¡ ]-i*ze¿, ft;";i;ttJ[¿#.€?"T:xTgt",:H?iE
.,i.. /l trayectona es de 8O pulgadas y el ánguio € entre el vector . .. ,
'''' .l LfZÁ x Cll velocidad y una recta fija de referencia,tléne valor en su '#,-
..' dt"
--- -'lr=o
Ar0 |
segunda derivada respecto al riempo:
^:1 t 3 r¿d/s2.
i;;51^ll?#"'"=""-T',i',i",?:[xr". 'lli"],'.1J3,"i"'"",,." o'
,,'o',, !slgulenlerormacomomueStralaflgUraLocailzarelcen.tro
de gravedaC Dete¡mine la variación en unidad de tiempo del radio dg.,;.i.#'
cur-ratura p de la particula en A. . ir ':;!;.;::.'ja..1 .?- . r .is'¿+--T1 d:-¡
- G,)t 'i:'r
- ..;t'j-F:- +*1.
/i;,lir,>/.t'i,11;.<,1¿7
:l
¡i
z
z
'loo I
. ¡ ,'*.:9,ii:

,/,/:
./^
,// t.- g-ea Ia curya:
' x= lnSect;y = lnSent;z = t
calcularparat=r/4
a) Vector unitario tangente.
b) Curvatura.
c) Vector unitar¡o normal.
d) Vector unitario binormal
-2.- 3 bloques de mdsa m, 2m y 3m son empujados a le-
largo de una superficie horizontal lisa por med¡o de una
-
fuer¿a constante F. Hallar:
a) La aceleración de cada bloque. b)La fuerza que ejerce
el bloque 2m sobre 3m.
5.- Determina el punto
rr t l
que equidista de los planos:
Et= x+ y+z *3:0 y
1.- Demostrar que
v3
p-
lvxa/
donde:
v = velocidad a = aceleración
Fig. 1
.- Demostrar que para el movimiento
':-
relativo rotaciónal
.-
uniforme, se cumple que:
v=v +wxr
donde v es la veloc¡da4-en-eféjlt¡n rotar, Y v' es la
velocidad en el eje rotado.
4.- Dado:
/= (e' ,2,t)
B=(t2,t,I)
(=(sent,2,t+1)
Calcular:
a [t+aat
q
IE x2edt
ede
-_l
2
)
o :_12,1x C)l
dt r'=o
5 - La pluma unrfo¡me AD pesa 200 Kg y esta fija en A a
la pared medtante una rotula. Si en la cuerda que sopoda
al peso P. en la posición indicada, hay que tener aplicada
una íuerza de 'l
50 Kg, cieterminar las tensiones Tr y Tz y
la íuerza tctal que actúa sobre la conexión en A (Fig 2)
2.- Localizar el centroide la Fig. 1
(P""e,o = 8gicm2. pcobre= 7 glun2,
Fa¡tm,n,o,3 g/cm2. )
:z-
t
eÁ

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___v_
ü¡ - ¿+ = c,e i"S o,4 IDJ = c/2 fi¿

I9. -il3'-
:1
'1. r:i'
t
1.2m i4 -- 0.9m
.Y-Un cuerpo W que pesa 25 lb. desliza en una guia l¡sa
Tvertical un resorte que t¡ene una constante de resorte k= 2
lb/pie tiené el cuerpo con el fondo de una guía. Una
cuerda esta unida a la parte superior de W y a un
dispositivo que s¡rve para jalarla, como se indica en la Fig.
{ en la posición indicada el resorte tiene su longitud
'natural
y el cuerpo no tiene velocidad. Dado que se aplica
una fueza de magnitud constante de 60 lb., a través de la
cuerda, encontrar la velocidad de W cuando llega a la
parte superior-de la guía.
:F
F=6O lb
F
.:
Fig. 1
h=2ó=20" Fig 2
/t- Demos¡rar oue:
/f// lx +ly - 1,, + lv,
Donde l, , lr (x'oy')esta rotando un
Respecto al eje original xoY
', 4--' Una nave especial de 200k9. Pasa por el origen de un
sistema de referencia OXYZ con una velocidad relativa al
sistema vo = 300i m/sg. En un tiempo t=0 , luego la nave
se sepam en 3 partes, A, B y C, que pesan
respectivamente 100 Kg., 60 kg. y 40 Kg. si en t=3 sg.
Las posiciones de Ay Fson r:"
= 1200i + 400j - 60Ok y ru
= 350i-200j+800k (m) y v"= 500i + 200j- 300k y QU€ v5 es
paralela al plano xz, determinar: a)La posición de C en
t=3s9. b)La velocidad de C en t=3 sg. Despreciar el efecto
,)'"*--
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lo l.-,rgo C:'l ::je :(, con una reipiCei c:-s:a.::3 '/,
coñro sc irlciica':;; lc Fig. l. En el ti:;::;: i=:. -n
[,.lriio A sobi'e fa P,;iiíeria d¿l disco ccli::: cc:'l
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origerr, ln,¿:stig¡r el inclvinliento del qun:c A.
Y¡ ,!='2¿s-k-€
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/'-ocalizar ei
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centroide del volumen que se ','e
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.#i''D,,,.',',-r-,iiiri l. l, l:. petü lJ :r:p:-i,'rci,: c.-: "n'1", t-jg.sc'Í:; una erlir:ro 'H, c;= un;i b,;l:r.,: ,.: .
l,-i.r-:: rf't? '-.-'< rr; que (jolcci Li pr:,.Jrar ,¡'-: /-1
i'clr-li:rCa ¡'s;rcia iior'i=on ial¡lt.litl:-. ), golpc-:: : !
prisnta cie J¿ oc.recha y roiht--,tá v,cjriicaf;rgrtl.,..
l-isllar la altura de! reboi= final, iLlct(,s los
ci-rc-lLr3s 3Jn e!E-s-ligr:-:; iFig-. 3)
Fig. 3
"l-l
I
)I
¡,G
4'a '
..6.
g^ . "'
Fig. 1
_ c..i
".' P"uo
Donde 1., , l, (x'oy')esta rotando un ángulo
R.especto al eje original xoy.
P Sobi'e una superlcis lisa, se halla ?
pí-¡sines curic'g !r,gulos son de 45' ,/ su rnasa
uJUs¡u vvt I
to ciesde A haSia B sohre ia v'_riiia
lj:l, llevándo'adhe¡icu'un resode.
Detennina.,- ia' energía pérdida por ro'amiento
si el collar tiene una velocidad de 6 pies/s al
pasar por A_y..A.pies/s al ll'egar al punto B. La
constante del resorte e's de 2 lb. /pie y su
longitud sin estirares de 3 pies.
!'"": = lt
dY2 oco etf
e.c a
,¡ n .le¿'.'Lu'
ta''
P"-
Derrrcsii-ar que:
lr. +ly = 1,. * l.t
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tlN I VIri{SI I)¿l) N¡CIONTL l)li j NG Iri'J I ll,lil¡
li:rcrrlt:rt[ rlc Ini¡cnicr'í:r Gcrrltii¡ic:t, iVlirrcre y'ilct:rlrir'11icrr
(-'.
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¡ rtc¡' D It CJITN-CL'rs-iJérsI C ¿ S
Examen Final 17 -1147
lvl
I
l¡L
.0-)
"t
Fl -203- R, S t' ;
,. A^
l/
I
Determinar el rango de valores para
P fuera del cual la cuña se desliza
levanta o baja el bloque y cientro del cual
v¡loc-de-P m¿'nti
_rLtl
l
)'1", ñ 0
Jk H;',:.'ffi ;J:'i"il"!";, ilii:ff" i:
üierda rebota horizontalmente y golpea al
ffrisma de la derecha y rebota verticalmente.
Hallar la altura del rebote final, todos los
choques son elásticos (Fig. 3)
CICLO: 2007 - 7
Fig. 3
.<--
Y
el
l
circular flla, llevando adhdricc un i!5ol-te .
Determinar fa energía pérdica por rozareie+lc
si el collar-lene !ng velocidad cie^B-gie;,1s-al
pasar po@ a'ffi$>ar llesaTl-nulgf 8)bJE )Laoasar po(A y E presDal llegartl.punlorbrla
constante:dáFresoÍG es.de á. lb4f6-y su
longitud s¡n estira
"t
dAi.j-'::
,/ üF.=¿
/itLL ---xV,-,
l" a- ?)"É
F{iN=r b-Ft'
Oemostrar que:
lx+ly=f,,+lz
Donde-T¡;-f(xoy')ásta rotando un ángulo
P.especto al eje original xoY.
Sobre una superficie lisa, se halla 2
ísmas cuyos ángulos son de 15' y su rnasa
< LLCt.
r{
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'yF
qü'
l-'r
J-
' eL.ó
So"r,ou = or -iq
I
)
1001b¡
Determinar l" y¡1. para la superficie de la
1 . -/ '.f,*
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'.$ . l-^ =11
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