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Curso de Algebra Lineal (s´ptima versi´n, 2012). e o Luc´ Contreras Caballero. ıa Depto. Matem´ticas. Fac. Ciencias. a Universidad Aut´noma de Madrid. o 1

´ PROLOGO. He escrito este curso tratando de expresar de la forma m´s sencilla posible los conceptos de algebra a ´lineal, requiriendo solamente los conceptos previos de Bachillerato. Corresponde a los programas delos dos semestres de primer curso de algebra lineal de C.C. F´ ´ ısicas en la Universidad Autńoma de oMadrid. Despu´s ha sido ampliado para cubrir tambiń los programas de los semestres de Algebra e eLineal y Algebra Lineal y Geometr´ de CC. Matem´ticas. ıa a Aqu´ se encontraban en la tercera versiń, algunos trabajos originales de la autora: Una intro- ı oducciń geom´trica a los determinantes, una demostraciń sencilla de la regla de Cramer, demostra- o e ociones elementales del teorema de Jordan en dimensiń 2, 3 y 4, la obtenciń de la base de Jordan o oen dimensiń 2 y 3 y una aplicaciń del espacio dual a la obtenciń de condiciones necesarias y o o osuficientes para la diagonalizaciń simultńea de formas cuadr´ticas. o a a Tambiń se encontraba una aplicaciń del concepto de dimensiń al c´lculo del rango de una e o o amatriz y aplicaciones de la diagonalizaciń de formas cuadr´ticas, y entre los ejercicios, aplicaciones de o ala diagonalizaciń de matrices y de su forma de Jordan a problemas de poblaciones. Y se explicitaban oel m´todo de Gauss, el teorema de Rouch´-Frobenius y el criterio de Sylvester. Otra aplicaciń e e ointeresante es la de la tćnica de las proyecciones al m´todo de m´ e e ınimos cuadrados. En la cuarta versiń he aãdido otros trabajos tambiń originales: condiciones necesarias y sufi- o n ecientes para detectar el carćter de las formas cuadr´ticas degeneradas, una demostraciń elemental a a odel teorema de Jordan general para endomorfismos, un m´todo fćil para hallar la forma de Jordan y e auna demostraciń de que el sentido f´ o ısico de la regla del sacacorchos del producto vectorial coincidecon el sentido matem´tico de dicho producto vectorial. a En la quinta versiń he aãdido la din´mica de poblaciones. En la sexta versiń he aãdido un o n a o ncap´ıtulo de cńicas y otro de cu´dricas. En la s´ptima version he aãdido una apńdice sobre el o a e n eespacio cociente. El curso es autocontenido, con todas las demostraciones de los resultados y teoremas expuestosde forma l´gica y rigurosa. o Intentando que los alumnos estudien los conceptos, se introducen motivaciones de los mismos yse intercalan muchos grupos de ejercicios con dificultad progresiva. Algunos ejercicios se plantean deforma que se puedan resolver de distintas maneras, lo cual permite al alumno la comprobaciń de osus resultados. Tambiń he intercalado dibujos que facilitan la comprensiń de los conceptos y de los razonamien- e otos y ejemplos resueltos en los ultimos cap´ ´ ıtulos. Luc´ Contreras Caballero. ıa 3

´ INDICE. ŃUMEROS COMPLEJOS.Introducciń. o 9Regla de Ruffini para soluciones fraccionarias. 12N´meros Complejos. u 14Inverso de un n´mero complejo. u 15Propiedades de las soluciones de las ecuaciones. 19Forma trigonom´trica y forma polar de un n´mero complejo. e u 22Radicaciń. o 26MATRICES. SUS OPERACIONES.Introducciń. o 31Operaciones en las matrices. 32Tipos de matrices. 38 ´ ´METODO DE GAUSS Y REDUCCION DE GAUSS-JORDAN.Introducciń. o 47M´todo de Gauss. e 50Operaciones elementales en una matriz. 57Reducciń de Gauss-Jordan. o 63Matrices Invertibles. 68Caracterizaciń de las matrices invertibles. o 69M´todo de Gauss para obtener la inversa de una matriz invertible. e 77DETERMINANTES y SISTEMAS de ECUACIONES.Introducciń. o 81Propiedades de los determinantes y operaciones elementales. 85Definiciń de los determinantes. o 90Comprobaciń de las propiedades. o 91Regla de Cramer sin utilizar la matriz inversa. 98Caracterizaciń de las matrices invertibles por su determinante. o 100Determinante del producto. 101Desarrollo del determinante por una fila cualquiera y por una columna cualquiera. 104F´rmula para la inversa. o 106Regla de Cramer. 110Teorema de Rouch´-Frobenius. e 111Producto Vectorial. 116ESPACIOS VECTORIALES.Introducciń. o 125 4

Cuerpo. Propiedades. 127 Espacio Vectorial. 129 Subespacios Vectoriales. 131 Bases. 141 Teorema de la Base. 147 Cambio de base. 153 Aplicaciones del concepto de dimensiń a procesos concretos. o 155 Independencia del n´mero de escalones obtenidos escalonando una matriz. u 155 Extracciń de la base a partir de un sistema generador. o 156 Aplicaciń del rango a la obtenciń de las ecuaciones cartesianas de un subespacio dado por sus o ogeneradores. 158 C´lculo del rango de la matriz A y b´squeda del menor distinto de cero de orden igual al rango. a u160 Aplicaciń al m´todo de Gauss. o e 163 Suma e intersecciń de subespacios vectoriales. o 164 APLICACIONES LINEALES. Introducciń. o 171 Expresiń matricial de una aplicaciń lineal. o o 174 Cambio de base en la expresiń matricial de una aplicaciń lineal. o o 177 Nćleo de una aplicaciń lineal. u o 183 Imagen de una aplicaciń lineal. o 186 F´rmula de las dimensiones para una aplicaciń lineal. o o 190 Isomorfismos. 192 Espacio dual. 195 ESPACIO EUCLIDEO. ´ Introducciń. o 201 Ortogonalidad. 202 Bases Ortogonales. 205 Ortogonalidad entre subespacios. 207 Complemento Ortogonal. 207 Teorema de Tellegen. 209 Proyecciones en general. 211 Proyecciones Ortogonales. 212 Proyecciń ortogonal de un vector sobre un subespacio. o 213 Teorema de la aproximaciń optima. o ´ 215 M´todo de Aproximaciń de M´ e o ınimos Cuadrados. 216 Aplicaciń del m´todo de m´ o e ınimos cuadrados a la regresiń lineal. o 218 5

Aplicaciń del m´todo de m´ o e ınimos cuadrados a la obtenciń de la matriz de la aplicaciń proyecciń o o oortogonal sobre un subespacio. 221 ESPACIO EUCL´ IDEO GENERAL. Una generalizaciń m´s del Producto Escalar. o a 222 Expresiń polinomial de una forma bilineal en un espacio vectorial de dimensiń finita. o o 226 Expresiń matricial de una forma bilineal en un espacio vectorial de dimensiń finita. o o 226 Complementario Ortogonal en el espacio eucl´ ıdeo general. 229 Proyecciones ortogonales en un espacio eucl´ ıdeo general. 230 M´todo para encontrar una base ortonormal en un espacio vectorial de dimensiń finita. e o 232 M´todo de ortogonalizaciń de Gram-Schmidt. e o 233 Ortogonalidad en un espacio eucl´ ıdeo general. 238 Desigualdad de Schwarz. 239 Cambio de base. 241 Condiciones Necesarias y Suficientes para que una matriz corresponda a un Producto Escalar.(Criterio de Sylvester). 243 DIAGONALIZACION ´ DE ENDOMORFISMOS. Aplicaciones autoadjuntas en espacios eucl´ ıdeosy herm´ ıticos, y aplicaciones unitarias en espacios herm´ıticos. Introducciń.o 249 Vectores propios y valores propios. 250 Primera condiciń necesaria y suficiente para que el endomorfismo sea diagonalizable. o 251 Segunda condiciń necesaria y suficiente para que el endomorfismo sea diagonalizable. o 257 Din´mica de poblaciones. a 259 Multiplicidad de los valores propios. 260 Tercera condiciń necesaria y suficiente para que el endomorfismo sea diagonalizable. o 262 Aplicaciones autoadjuntas en un espacio eucl´ ıdeo. 264 Diagonalizaciń de las Aplicaciones Autoadjuntas, (de las matrices sim´tricas). o e 268 Espacios Herm´ ıticos. 275 FORMAS CUADRATICAS. ´ Introducciń.o 281 Expresiń matricial de una forma cuadr´tica. o a 281 Cambio de base en formas cuadr´ticas. a 285 Diagonalizaciń de formas cuadr´ticas. o a 287 Diagonalizaciń de una forma cuadr´tica en una base ortonormal. o a 287 Estudio de Cńicas. o 291 M´ximos y m´ a ınimos de funciones. 292 M´ximos y m´ a ınimos en la esfera unidad. 293 Energ´ de rotaciń de un s´lido. ıa o o 294 Diagonalizaciń de formas cuadr´ticas completando cuadrados. o a 295 6

Ley de inercia de Sylvester. 302 Criterio de Sylvester para formas cuadr´ticas definidas positivas. a 306 Criterios para formas cuadr´ticas degeneradas. a 311 Diagonalizaciń simultńea de formas cuadr´ticas. o a a 319 Condiciones necesarias y suficientes para la diagonalizaciń simultńea de formas cuadr´ticas.325 o a a FORMAS DE JORDAN EN DIMENSION 2, 3 y 4. ´ Introducciń. o 333 Consideraciones previas. 334 Forma de Jordan de Matrices 2 × 2 de n´meros reales. u 335 Forma de Jordan de Matrices 3 × 3 de n´meros reales. u 339 3 Resumen de la forma de Jordan en R . 354 Forma de Jordan compleja de Matrices 4 × 4 de n´meros complejos. u 355 Resumen de la forma de Jordan en R4 . 360 ´ DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE JORDAN PARA ENDOMORFISMOS. Teorema de Jordan. 363 Ejemplos para un m´todo fćil para hallar la base de Jordan. e a 367 M´todo general. e 378 APLICACIONES ORTOGONALES. ESPACIO AF´ Y MOVIMIENTOS. IN Introducciń. o 383 Definiciń y propiedades. o 383 Estudio de las transformaciones ortogonales de R2 . 389 Estudio de las transformaciones ortogonales de R3 . 395 Espacio Af´ ın. 405 Aplicaciones afines con puntos fijos. 414 Movimentos en el plano. 420 Movimentos en el espacio tridimensional. 425 Sentido del producto vectorial. 438 ´ CONICAS. Introducciń. o 441 Ecuaciones de las cńicas en posiciń canńica. o o o 443 Ecuaciones de algunas cńicas en posiciń no canńica. o o o 446 Algunos ejemplos de reducciń de curvas de segundo grado a su ecuaciń canńica. o o o 449 Reducciń de la ecuaciń general de la expresiń de una curva de segundo grado a su expresiń o o o ocanńica. o 453 Invariantes de las cńicas. o 455 Clasificaciń de las cńicas. o o 457 Ejes de simetr´ y centro de las cńicas no degeneradas. ıa o 458 C´lculos en la elipse del ejemplo 5. a 460 7

C´lculos en la hip´rbola del ejemplo 6. a e 461C´lculos en la par´bola del ejemplo 7. a a 462Unificaciń de las cńicas en una definiciń de lugar geom´trico. o o o e 465 ĆUADRICAS.Introducciń. o 469Estudio general de la superficie de segundo grado. 472Invariantes de las cu´dricas. a 476Clasificaciń de las cu´dricas. o a 478Resumen de la clasificaciń de las cu´dricas. o a 479Ejes de simetr´ y centro de las cu´dricas no degeneradas. ıa a 479Otros invariantes de las cu´dricas degeneradas. a 482Ley de los signos de Descartes. 484 ÁPENDICE: ESPACIO VECTORIAL COCIENTE. 487 8

´ NUMEROS COMPLEJOS. Introducciń. o Los distintos tipos de n´meros han ido apareciendo en la historia del hombre progresivamente, usegń las necesidades de las actividades que realizaba y son estudiados hoy tambiń progresivamente u edesde la escuela primaria a la Universidad. Debido a la necesidad de contar las cabezas de ganado surgieron los n´meros naturales, (que uson todos positivos) con los que se puede sumar; los n´meros enteros, (que pueden ser positivos o unegativos e incluyen al cero) sirven para indicar los intercambios de mercanc´ y dinero; con ellos se ıaspuede sumar y restar. La multiplicaciń es una forma m´s r´pida de hacer una suma de sumandos o a aiguales y entonces se plantea el problema de hacer la operaciń inversa a la multiplicaciń que es la o odivisiń, pero esta operaciń no siempre tiene soluciń con n´meros enteros, por lo que se crearon o o o uotros n´meros llamados fraccionarios o racionales. u Los n´meros enteros se caracterizan por el hecho de que cualquier ecuaciń de la forma x + a = b u otiene soluciń cuando los n´meros que aparecen en ella son enteros. o u Los n´meros fraccionarios se caracterizan por el hecho de que cualquier ecuaciń de la forma u oa1 x + a = b tiene soluciń cuando los n´meros que aparecen en ella son fraccionarios y a1 = 0. o u Hay otro conjunto de n´meros en los que tambiń la ecuaciń a1 x + a = b tiene soluciń si a1 = 0, u e o oson los n´meros reales que se construyen como l´ u ımites de sucesiones de n´meros fraccionarios. Los un´meros reales incluyen a los fraccionarios. La ecuaciń anterior es una ecuaciń de primer grado con u o ouna inc´gnita, que tambiń se puede escribir a1 x + a0 = 0. Nos podemos plantear el problema sobre o esi una ecuaciń m´s general: an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 tiene siempre soluciń cuando los o a on´meros que aparecen en ella son reales. La respuesta es que no y para obtener respuesta positiva utenemos que construir otro conjunto de n´meros que se llama n´meros complejos y se designa por C. u u Hay ejemplos de ecuaciones de segundo grado que no tienen soluciń real. La ecuaciń m´s o o asimple que no tiene soluciń real es x2 + √ = 0. La ecuaciń general de segundo grado, de la forma o 1 o b2ax2 + bx + c = 0 tiene la soluciń x = −b± 2a −4ac pero si b2 − 4ac < 0 no encontramos ningń n´mero o u ureal para x. Lo asombroso es que escribiendo por i un n´mero imaginario que satisfaga i2 +1 = 0, encontramos un´meros, llamados complejos, que son soluciones de todas las ecuaciones de segundo grado planteadas. u √ √Ya que si b2 −4ac < 0, tenemos b2 − 4ac = i 4ac − b2 que tiene un sentido imaginario. Entonces, elconjunto de los n´meros soluciones de todas las ecuaciones de segundo grado que se pueden plantear u √ 2 −4aces el conjunto de los binomios de la forma −b ± b 2a 2a donde el segundo sumando puede ser real ó imaginario. Este es el conjunto de los n´meros complejos en el que i2 = −1 por ser i soluciń u ode la ecuaciń x2 + 1 = 0. Los representaremos, en general, como a + bi, donde a y b son ahora on´meros reales cualesquiera. El conocimiento de las propiedades de las operaciones de los n´meros u ucomplejos ampl´ la cantidad de ecuaciones que podemos resolver. Es muy importante y sorprendente ıa 9

el teorema fundamental del ´lgebra que afirma que cualquier ecuaciń de grado n con coeficientes a ocomplejos tiene siempre al menos un n´mero complejo como soluciń. u o Haciendo ingeniosas combinaciones con los coeficientes de la ecuaciń de tercer grado, del Ferro oy Tartaglia encontraron la forma general de sus soluciones, que ha pasado a la historia como f´rmula ode Cardano. La resoluciń de la ecuaciń de cuarto grado fu´ reducida a la soluciń de la ecuaciń de o o e o otercer grado por Ferrari. Pero el problema es mucho m´s dif´ si el grado de la ecuaciń es mayor, a ıcil ono estando claro ni siquiera que la ecuaciń tenga soluciń. En este sentido, la importancia de los o on´meros complejos, de los que hemos hablado en la introduciń, y del Teorema Fundamental del u oAlgebra demostrado por Gauss estriba en que afirma que cualquier ecuaciń de grado n con ocoeficientes complejos tiene siempre al menos un n´ mero complejo como soluciń. Este u oteorema afirma la existencia de la soluciń pero sigue quedando el problema de c´mo encontrarla o oefectivamente. Durante mucho tiempo, los matem´ticos estuvieron buscando una f´rmula general a opara todas las ecuaciones de un cierto grado expresada por raices de expresiones racionales de suscoeficientes, hasta que un matem´tico llamado Abel demostr´ que esta forma general expresada por a oradicales comń para todas las ecuaciones de un cierto grado no exist´ a partir de grado 5. M´s u ıa atarde, otro matem´tico llamado Galois encontr´ las condiciones necesarias y suficientes que han de a overificar los coeficientes de la ecuaciń para que sus soluciones se puedan expresar por radicales. Ań o uhoy no todas las ecuaciones estń resueltas y en eso trabajan los algebristas. a Sin embargo, se puede demostrar y lo demostraremos m´s adelante que, debido a las propiedades ade los n´meros complejos, si los coeficientes de la ecuaciń son reales las soluciones complejas aparecen u opor parejas conjugadas de la misma multiplicidad. Y de aqu´ que toda ecuaciń de grado impar con ı, ocoeficientes reales tiene al menos una soluciń real. o El Algebra es el estudio de la resolubilidad de las ecuaciones; en cuanto que las ecuaciones seresuelven haciendo operaciones con los coeficientes que aparecen en ellas, el algebra es tambiń el ´ eestudio de las propiedades de las operaciones que podemos hacer con esos n´meros. u En este cap´ıtulo repasaremos algunos resultados de bachillerato, los generalizaremos y adem´saestudiaremos ciertas propiedades de los n´meros complejos que nos servirń para ampliar la cantidad u ade ecuaciones que sabemos resolver. 10

Recordemos conocimientos de Bachillerato sobre las ecuaciones de grado n. Las soluciones enteras de una ecuaciń de grado n con coeficientes enteros deben ser divisores del ot´rmino independiente. e Veamos por qu´: Sea an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 una ecuaciń de grado n donde todos e olos ai son enteros y sea a una soluciń entera de la ecuaciń. Entonces, o o an an + an−1 an−1 + · · · + a1 a + a0 = 0 =⇒ an an + an−1 an−1 + · · · + a1 a = −a0 ,de donde (an an−1 + an−1 an−2 + · · · + a1 )a = −a0 ;como todos los n´meros del parńtesis son enteros, la ultima expresiń indica que la soluciń a divide u e ´ o oa a0 . Esta regla nos permite muchas veces encontrar las soluciones enteras de una ecuaciń de grado on por tanteo, ya que el n´mero de divisores de un n´mero fijado es finito. Y se puede utilizar para u uecuaciones con coeficientes fraccionarios, una vez que hemos quitado los denominadores. En Bachillerato se estudia tambiń la regla de Ruffini, que es un algoritmo para hallar Pn (a) y elos coeficientes del polinomio cociente Qn−1 (x). Este algoritmo es un m´todo para obtener el resto Pn (a) = an an + an−1 an−1 + · · · + a1 a + a0 eresultante de dividir Pn (x) por x − a, consistente en lo siguiente: Se colocan en una fila los coeficientes an , an−1 , an−2 , · · · a1 , a0 y debajo de ´sta, a la izquierda eel n´mero a y se hace una l´ u ınea horizontal: an an−1 an−2 ··· a1 a0 2 n a) 0 an a an a + an−1 a ··· ··· an a + · · · + a1 a −− −− − − − − − −−−−− −−− −−−−− −−−−−−− an an a + an−1 an a2 + an−1 a + an−2 ··· an an−1 + · · · + a1 an an + · · · + a1 a + a0 Se suma 0 a an y se pone debajo de la l´ ınea horizontal a la altura de an ; se multiplica por a,se pone an a debajo de an−1 al que se suma, obtenińdose debajo de la l´ e ınea horizontal an a + an−1 ;de nuevo, se multiplica este n´mero por a, se coloca debajo de an−2 y se suman los dos n´meros, u uobtenińdose an a2 + an−1 a + an−2 debajo de la l´ e ınea horizontal; se va repitiendo el mismo proceso conlas sumas que se van obteniendo debajo de la l´ ınea horizontal, tenińdose a la altura de a1 la suma ean an−1 + an−1 an−2 + · · · + a2 a + a1 , que multiplicada por a y sumada a a0 da: an an + an−1 an−1 +· · · + a2 a2 + a1 a + a0 = Pn (a). Segń lo demostrado anteriormente, este n´mero es cero si y s´lo si u u oel polinomio considerado es divisible por x − a. 11

Adem´s, los n´meros obtenidos debajo de la l´ a u ınea horizontal son los coeficientes de los t´rminos ede mayor grado de los restos sucesivos obtenidos al hacer la divisiń del polinomio Pn (x) por x − a; opor ello son los coeficientes de las potencias de x en el polinomio cociente Qn−1 (x). Por ejemplo, la ecuaciń x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 = 0 puede admitir como soluciones los odivisores de 24, entre ellos est´ el 3; para ver si el 3 es efectivamente una soluciń aplicamos la regla a ode Ruffini para hallar el resto de la divisiń del polinomio dado por x − 3: o 1 −10 35 −50 24 3) 0 3 −21 42 −24 −− −− −− −− −− −− 1 −7 14 −8 0 Habiendo salido cero el ultimo n´mero de abajo a la derecha, el resto de dividir el polinomio por ´ ux − 3 es cero y el cociente es x3 − 7x2 + 14x − 8. Efectivamente, una soluciń de la ecuaciń es 3. o o Recordemos estos conocimientos en los Ejercicios: 1.1.1. Resolver utilizando la regla de Ruffini las ecuaciones: 1−λ 1 3 4 3 2 x − 2x − 13x + 14x + 24 = 0. 1 2 − λ −2 = 0. 0 1 3−λ 1.1.2. Resolver las ecuaciones siguientes: x4 − 13x2 + 36 = 0. x6 − 14x4 + 49x2 − 36 = 0. La regla de Ruffini se puede generalizar a soluciones fraccionarias: Regla de Ruffini para soluciones fraccionarias. Se puede generalizar a las soluciones fraccionarias el resultado 1) demostrado para las solucionesenteras de una ecuaciń de grado n con coeficientes enteros, encontrńdose que 3) si un n´ mero o a uracional M/N irreducible es soluciń de la ecuaciń de grado n con coeficientes enteros, o oM debe ser divisor del t´rmino independiente y N debe ser divisor del coeficiente del et´rmino de mayor grado. e Demostraciń: Sustituyendo la soluciń M/N en la ecuaciń dada tenemos: o o o M n M M Mn M n−1 M an ( ) + an−1 ( )n−1 + · · · + a1 + a0 = 0 =⇒ an n + an−1 n−1 + · · · + a1 + a0 = 0 N N N N N N 12

de donde quitando denominadores y sacando factor comń tenemos uan M n +an−1 M n−1 N +· · ·+a1 M N n−1 = −a0 N n ≡ M (an M n−1 +an−1 M n−2 N +· · ·+a1 N n−1 ) = −a0 N ndonde, debido a que todos los n´meros son enteros y a que M no tiene factor comń con N, se tiene u uque M divide a a0 . Tambiń tenemos: e−an M n = an−1 M n−1 N +· · ·+a1 M N n−1 +a0 N n ≡ −an M n = N (an−1 M n−1 +· · ·+a1 M N n−2 +a0 N n−1 )donde, debido a que todos los n´meros son enteros y a que N no tiene ningń factor c´mń con M, u u o use tiene que N divide a an . La regla de Ruffini tambiń se puede aplicar con las raices fraccionarias. e Conviene practicar esta generalizaciń en los Ejercicios: o 1.2.1. Resolver las ecuaciones: a) 6x2 − 5x + 1 = 0. b) 12x3 − 40x2 + 27x − 5 = 0. c) 24x3 − 26x2 + 9x − 1 = 0. d) 12x3 − 32x2 + 25x − 6 = 0. e) 6x4 + 7x3 − 3x2 − 3x + 1 = 0. 13

N´ meros Complejos. u Veremos ahora los N´meros Complejos, cuyo conocimiento nos permitir´ la resoluciń de m´s u a o aecuaciones: Se llama expresiń bin´mica de un n´mero complejo a la forma a + ib, donde a y b son n´meros o o u ureales, en la cual a es la parte real y b es la parte imaginaria. El conjugado de un n´mero complejo uz = a + ib es z = a − ib. Los n´meros complejos se pueden sumar como binomios: u (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)y pueden comprobarse fćilmente, utilizando las propiedades de los n´meros reales, (lo cual se re- a ucomienda como ejercicio), las propiedades de la suma: a) Asociativa. b) Tiene elemento neutro: 0+i0 (un elemento que sumado a cualquier otro lo deja igual). c) Todo n´mero complejo tiene elemento opuesto respecto a la suma: (el elemento opuesto de uuno dado es el elemento que sumado con ´l da el elemento neutro). e d) Conmutativa. La existencia de la suma con las propiedades antes enumeradas se resume en una frase: Losn´meros complejos son un grupo aditivo conmutativo. u Los n´meros complejos tambiń se pueden multiplicar como binomios donde i2 = −1. u e (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)y puede comprobarse, tambiń utilizando las propiedades de los n´meros reales, que el producto es: e u a) Asociativo. b) Tiene elemento neutro (1). c) Todo elemento distinto del cero tiene elemento inverso. d) Es conmutativo. La existencia del producto con las propiedades antes enumeradas se resume en la frase: Losn´meros complejos distintos de cero son un grupo multiplicativo conmutativo. u De las propiedades anteriores, s´lo voy a comprobar aqu´ que todo n´mero complejo distinto de o ı ucero tiene inverso. 14

Inverso de un n´ mero complejo. u Si buscamos el inverso x + iy de un n´mero complejo a + ib, buscamos un n´mero tal que u u (a + ib)(x + iy) = 1 es decir, un n´mero tal que (ax − by) + i(ay + bx) = 1. u Si el n´mero fuera real: z = a, de a−1 a = 1 tenemos que z −1 = a−1 . Si el n´mero fuera imaginario u upuro: z = ib, de −ib−1 ib = 1 tenemos que z −1 = −ib−1 . Podemos suponer en lo que sigue que el n´mero no es real ni imaginario puro, es decir, que ua = 0 = b. Como dos n´meros complejos son iguales cuando tienen la misma parte real y la misma parte uimaginaria, ha de ser: ax − by = 1 a2 x − aby = a ≡ (si a = 0, b = 0) bx + ay = 0 b2 x + aby = 0de donde (a2 + b2 )x = a. Aqu´ podemos despejar x por ser a2 + b2 = 0, ya que estamos suponiendo ıa = 0, b = 0. Entonces x = a/(a2 + b2 ). Tambi´n, ha de ser: e abx − b2 y = b abx + a2 y = 0de donde (a2 + b2 )y = −b, donde tambi´n podemos despejar y = −b/(a2 + b2 ). e 1 Hemos obtenido que el inverso de a + ib, es (a2 +b2 ) (a − ib), siempre que a + bi sea distinto de cero.Compru´bese que esta f´rmula es v´lida para los casos particulares hallados al principio, en los que e o ael n´mero era real o era imaginario puro. u Para dividir z1 por z2 (si z2 = 0) multiplicamos z1 por el inverso de z2 . Por un procedimiento similar de igualar partes real e imaginaria podemos hallar, dado un n´mero complejo c + di uotro n´mero complejo a + bi que elevado al cuadrado d´ c + di. As´ podemos resolver todas las ecuaciones bicuadradas u e ıen el conjunto de los n´meros complejos. u e) Adem´s el producto es distributivo respecto a la suma (debe comprobarse). a La existencia de la suma y del producto con las propiedades antes enumeradas se expresa en otrafrase: Los n´meros complejos son un cuerpo conmutativo. u Otros cuerpos ya conocidos son los conjuntos de los n´meros racionales y de los n´meros reales. u u Ahora se puede comprobar como Ejercicios: 15

1.3.1. Comprobar que, en el cuerpo de los n´meros complejos, tienen tantas soluciones como su ugrado, las ecuaciones siguientes: x2 − x + 1 = 0. √ x2 − 3x + 1 = 0. 2x3 + 4x2 − 3x + 9 = 0. x4 − x3 − 3x2 + 4x − 4 = 0. 2 λ 1 1 2 −λ = 0. 2λ 1 1 x6 + 4x4 + 5x2 + 2 = 0. x4 − x3 − x2 − x − 2 = 0. x4 + x3 − x − 1 = 0. 6x4 + x3 + 2x2 − 4x + 1 = 0. 6x5 + 5x4 + 4x3 + 4x2 − 2x − 1 = 0. x5 + x4 − x − 1 = 0. 6x4 + x3 + 11x2 + 2x − 2 = 0 12x4 + x3 + 11x2 + x − 1 = 0 6x4 − 11x3 + 10x2 − 11x + 4 = 0 4x4 + 4x3 − 11x2 + 4x − 15 = 0 4x4 + 16x3 + 31x2 + 64x + 60 = 0 1.3.2. Factorizar los polinomios igualados a cero en las ecuaciones anteriores y en las siguientes: x5 − 2x4 + 2x3 − 4x2 + x − 2 = 0. 6x4 + 7x3 − 3x2 − 3x + 1 = 0. 16

x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 = 0. x7 + x6 + 6x5 + 6x4 + 9x3 + 9x2 + 4x + 4 = 0. Observar que algunas no son totalmente factorizables en binomios de grado 1 con coeficientesreales. Cuando se admiten los coeficientes complejos, o bien hay tantos factores como el grado de laecuaciń, o bien llamando al n´mero de veces que se repite un factor, multiplicidad de ese factor, la o usuma de las multiplicidades de los factores de primer grado es igual al grado de la ecuaciń. o 1.3.3. Demostrar que en un cuerpo, se tiene b · 0 = 0, cualquiera que sea b. 1.3.4. Demostrar que en un cuerpo, si a = 0, ax = 0 ⇒ x = 0. 1.3.5. Probar que en un conjunto de n´meros que sea un cuerpo, la ecuaciń a1 x + a = 0 tiene u osoluciń unica si a1 = 0. No tiene soluciń si a1 = 0 y a = 0. Tiene infinitas soluciones si a1 = 0 = a. o ´ o Recordemos que se llama conjugado del n´mero complejo z = a + ib al n´mero a − ib que se u urepresenta por z = a − ib. Utilizando la notaciń de conjugado de un n´mero complejo, hemos o uobtenido anteriormente respecto a su inverso que: z −1 = (a2 +b2 ) z. 1 Se puede representar el n´mero complejo a + ib como el punto del plano que tiene coordenadas ucartesiamas (a, b). Entonces, el punto correspondiente al conjugado de un n´mero complejo es el upunto sim´trico respecto al eje OX. e a+ib U b ƒ a ƒ ƒ ƒ ƒ w ƒ a-ib 17

Por el teorema de Pit´goras, el n´mero a2 + b2 es el cuadrado de la longitud del vector con origen a uen el origen de coordenadas y extremo en el punto. Esta longitud se llama m´dulo del n´mero o ucomplejo y se representa por |z|. Entonces, podemos escribir: z −1 = |z|2 z. De donde se deduce 1tambiń |z|2 = zz. e Para hacer operaciones con los n´meros complejos se proponen los Ejercicios: u 1.4.1. Hallar los siguientes n´meros complejos en forma bin´mica: u o 1 + 2i 1 + 2i 2 (1 + 2i)3 (1 + 2i)3 (1 + 2i)(1 − 2i), , ( ), , . 1 − 2i 1 − 2i (2 − i)3 (2 − 2i)3 1.4.2. Hallar un n´mero complejo en forma bin´mica: a + bi tal que (a + bi)2 = 1 + i. u o 1.4.3. Resolver la ecuaciń x4 − 2x2 + 10 = 0 en el cuerpo de los n´meros complejos. o u 2 1.4.4. Resolver la ecuaciń z − (1 + i)z + i = 0 en el cuerpo de los n´meros complejos. o u 1.4.5. Demostrar a) z1 + z2 = z1 + z2 b) z1 · z2 = z1 · z2 1.4.6. Demostrar: a) |z| = |z| b) |z1 · z2 | = |z1 ||z2 | c) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | 18

Propiedades de las soluciones de las ecuaciones. A) Utilizando el ejercicio 1.4.5. anterior se obtiene que las soluciones complejas de una ecuaciń ocon coeficientes reales aparecen por parejas conjugadas: Sea an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 una ecuaciń de grado n donde todos los ai son reales oy sea z una soluciń compleja de la ecuaciń. Entonces, o o an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0 =⇒ an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0 =⇒ an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0 =⇒ an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0donde se ve que tambiń z es soluciń de la ecuaciń. e o o B) El n´mero a es soluciń de la ecuaciń: an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0, si y s´lo si el u o o o n n−1binomio x − a divide al polinomio an x + an−1 x + · · · + a1 x + a0 . En efecto, llamando Pn (x) aeste polinomio y dividńdolo por x − a obtendr´ e ıamos: Pn (x) = Qn−1 (x)(x − a) + R(x)pero R(x) = R es un n´mero por ser el grado del resto menor que el grado del divisor. Sustituyendo uahora el valor a en la expresiń de la divisiń, tenemos: o o Pn (a) = Qn−1 (a)(a − a) + R = Rlo que nos dice que el resto de esta divisiń es cero si y s´lo si a es soluciń de la ecuaciń dada, o o o otenińdose as´ que el polimomio Pn (x) es divisible por x − a si y s´lo si a es soluciń de la ecuaciń e ı o o oPn (x) = 0. Con lo que conocida una soluciń de una ecuaciń, esta queda reducida a otra de grado o omenor, presumiblemente m´s fćil (Qn−1 (x) = 0). a a No podemos demostrar ahora con los conocimientos que tenemos el teorema fundamental delalgebra, pero s´ podemos ver consecuencias suyas:´ ı C) Todo polinomio con coeficientes complejos puede factorizarse en binomios de primer grado concoeficientes complejos. En efecto, dado un polinomio Pn (x), con coeficientes complejos, al tener la ecuaciń Pn (x) = 0 osiempre soluciń en los n´meros complejos por el teorema fundamental del algebra, existe z1 , tal o u ´ 19

que Pn (x) = (x − z1 )Qn−1 (x), donde el grado del cociente Qn−1 (x) es n − 1. Este nuevo polinomiocociente puede factorizarse igualmente por el teorema fundamental del ´lgebra, obtenińdose Pn (x) = a e(x − z1 )(x − z2 )Qn−2 (x). El grado del polinomio cociente puede seguir siendo rebajado hasta 1, encuyo momento, habremos factorizado el polinomio dado en n binomios de primer grado, algunos delos cuales se pueden repetir. Observando que los binomios de primer grado que factorizan un polinomio se pueden repetir yllamando multiplicidad de cada raiz zi al exponente de x − zi en la factorizaciń de Pn (x), ahora ovemos que la suma de las multiplicidades de las soluciones reales y complejas de una ecuaciń de grado n con ocoeficientes complejos es igual al grado de la ecuaciń. o Tambiń se define la multiplicidad de una raiz zi de un polinomio Pn (x) como el n´mero ni tal e u nique Pn (x) = (x − zi ) Qi (x) donde Qi (zi ) = 0. D) Si la ecuaciń es de grado impar con coeficientes reales, alguna de sus soluciones ha de ser real. o Veamos primero que las raices complejas no reales de un polinomio con coeficientes reales, apare-cen con la misma multiplicidad que sus conjugadas: Si Pn (x) = 0 es una ecuaciń con coeficientes reales y z1 y z 1 son dos soluciones conjugadas, osiendo z1 = a + ib; al ser Pn (x) = (x − z1 )Qn−1 (x) se tiene: 0 = Pn (z1 ) = (z1 − z1 )Qn−1 (z1 ) = −2biQn−1 (z1 )donde b = 0, por lo que Qn−1 (z1 ) = 0, siendo Qn−1 (x) divisible por x − z1 ; entonces, Pn (x) = (x − z1 )(x − z1 )Qn−2 (x) = (x − (a + bi))(x − (a − bi))Qn−2 (x) = [(x − a)2 + b2 ]Qn−2 (x) El polinomio Qn−2 (x) debe tener todos sus coeficientes reales, porque Pn (x) y (x − a)2 + b2 lostienen reales, por ello, si Qn−2 (x) tiene una raiz compleja no real tambiń tiene a su conjugada. Lo emismo ocurrre con los sucesivos cocientes de Qn−2k (x)por (x − z1 )(x − z 1 ), de ser divisibles por x − z1 ,por ello la raiz z 1 aparece tantas veces como la raiz z1 . Entonces, si todas las raices del polinomio, de grado impar, fueran complejas no reales, la sumade sus multiplicidades ser´ par, no coincidiendo con su grado, por tanto, tiene que haber al menos ıauna soluciń real. o E) Si un polinomio de grado n se anula para m´s de n valores distintos de la variable x, el polinomio aes el polinomio nulo, (todos los ai son nulos). (De donde si el polinomio no es nulo y es de grado n,no se puede anular para m´s de n valores de la variable). a 20

En efecto, cogiendo n valores distintos {xi }i∈{1...n} que anulen al polinomio, por ser Pn (x1 ) = 0,Pn (x) es divisible por x − x1 , es decir, Pn (x) = Qn−1 (x)(x − x1 ). Si x2 = x1 anula al polinomio,Pn (x2 ) = 0 implica que Qn−1 (x2 )(x2 − x1 ) = 0, lo cual a su vez implica que Qn−1 (x2 ) = 0, por lo queQn−1 (x) = Qn−2 (x)(x − x2 ), y Pn (x) = Qn−2 (x)(x − x2 )(x − x1 ). Repitiendo el mismo procedimientocon n raices distintas, llegamos a que podemos expresar: Pn (x) = Q0 (x − xn )(x − xn−1 ) · · · (x − x2 )(x − x1 )donde Q0 es un n´mero, que debe ser igual a an . Cogiendo un valor m´s: (xn+1 ), que anule al u apolinomio, suponiendo que existe, tenemos: 0 = Pn (xn+1 ) = an (xn+1 − xn )(xn+1 − xn−1 ) · · · (xn+1 − x1 )donde por estar en un cuerpo y ser todos los parńtesis distintos de cero, ha de ser an = 0. Por la emisma razń, an−1 = 0 y as´ sucesivamente hasta el a0 . (Un polinomio igual a una constante se anula o ıpara algń valor de x s´lo si esta constante es cero). u o F) Con un razonamiento an´logo se puede demostrar que encontradas k raices de un polinomio, cuya asuma de multiplicidades es igual al grado del polinomio, no puede haber otra raiz m´s. a En efecto, una vez escrito: Pn (x) = (x − z1 )n1 (x − z2 )n2 · · · (x − zk )nk an donde Σni = n, y an = 0si hubiera otra soluciń m´s: zn+1 , se tendr´ o a ıa: 0 = Pn (zn+1 ) = (zn+1 − z1 )n1 (zn+1 − z2 )n2 · · · (zn+1 − zk )nk an Por ser los n´meros complejos un cuerpo, el producto de una serie de factores es cero si y s´lo si u oalguno de los factores es cero, por lo que zn+1 debe coincidir con alguno de los zi anteriores. 21

Forma trigonom´trica y forma polar de un n´ mero complejo. e u La forma bin´mica de los n´meros complejos es adecuada para la suma, pero para la multiplicaciń o u ohay otra forma m´s adecuada que es la forma polar. a Adem´s, para expresar de formas an´logas entre s´ las soluciones de la ecuaciń xn − 1 = 0 ≡ a a ı o nx = 1 vamos a utilizar la forma trigonom´trica y la forma polar de un n´mero complejo. e u Ya hemos dicho que los n´meros complejos se pueden poner en correspondencia con los puntos del uplano. Para ello, trazamos en el plano dos rectas perpendiculares, una horizontal y la otra vertical,llamamos O (origen) al punto intersecciń de las dos rectas e introducimos una unidad de medida. oEntonces al n´mero complejo a + ib puede asociarse el punto P que est´ a distancia ”a” unidades u ade medida del eje vertical y ”b” unidades de medida del eje horizontal. Al mismo tiempo podemosdibujar un vector con origen O y extremo P. Por el teorema de Pit´goras la longitud de este vector acoincide con el m´dulo del n´mero complejo. El vector est´ perfectamente determinado tambiń por o u a esu longitud y por el ńgulo que hace con la direcciń positiva de uno de los ejes; vamos a escoger el eje a ohorizontal y al angulo que forma el vector con este eje le llamamos argumento del m´dulo complejo. ´ oHemos llegado a otra determinaciń de un n´mero complejo por su m´dulo y su argumento que da o u olugar a la forma trigonom´trica y a la forma polar. e a+ib U b r 6 φ a La forma polar del n´mero complejo a + ib es el s´ u ımbolo reiφ donde r es el m´dulo y φ es el oargumento del n´mero complejo. (El m´dulo r es siempre positivo). u o Es de observar que cuando r = 0, cualquiera que sea φ, el n´mero es el cero. Y que reiφ = rei(φ+2π) , ues decir, todos los n´meros complejos con el mismo r y argumentos diferencińdose en un m´ltiplo u a ude 2π coinciden. 22

Dado que a = rcosφ y b = rsenφ, el n´mero complejo es tambiń a + ib = r(cosφ + isenφ), siendo u e´sta la forma trigonom´trica del n´mero complejo. Se ve que tanφ = b/a. La forma trigonom´tricae e u e iφy la forma polar dan la relaciń e = (cosφ + isenφ). o Otros ejercicios para la familiarizaciń con estas formas son: o 1.5.1. De los n´meros complejos enunciados a continuaciń calcular su m´dulo y su argumento y u o oescribirlos en forma trigonom´trica y en forma polar. e √ √ 1 3 3 1 1 + i, 1 − i, −1 − i, +i , +i 2 2 2 2 1.5.2. Comprobar que cualquier n´mero complejo tiene el mismo m´dulo que su conjugado y que u osu opuesto. ¿Cál es la relaciń entre los argumentos de un n´mero complejo, su conjugado y su u o uopuesto? 1.5.3. Suponiendo conocidos el m´dulo y el argumento de un n´mero complejo, hallar el m´dulo o u oy el argumento de su inverso. Las formas trigonom´trica y polar nos pasan de la naturaleza puramente algebraica de los en´meros complejos a su representaciń geom´trica, lo cual va a revertir en el descubrimiento de u o em´s propiedades de dichos n´meros. a u Por ejemplo, la expresiń de la multiplicaciń de n´meros complejos se simplifica: o o u iφ1 iφ2 Sean z1 = r1 e = r1 (cosφ1 + isenφ1 ) y z2 = r2 e = r2 (cosφ2 + isenφ2 ) y multipliqu´moslos esegń la regla que tenemos para multiplicarlos en forma bin´mica: u o r1 eiφ1 r2 eiφ2 = z1 z2 = r1 (cosφ1 + isenφ1 ) · r2 (cosφ2 + isenφ2 ) = (r1 cosφ1 r2 cosφ2 − r1 senφ1 r2 senφ2 ) + i(r1 cosφ1 r2 senφ2 + r1 senφ1 r2 cosφ2 ) = r1 r2 (cosφ1 cosφ2 − senφ1 senφ2 ) + ir1 r2 (cosφ1 senφ2 + senφ1 cosφ2 ) = = r1 r2 (cos(φ1 + φ2 ) + isen(φ1 + φ2 ) = r1 r2 ei(φ1 +φ2 ) Donde vemos que la multiplicaciń de n´meros complejos dados en forma polar o trigonom´trica o u ese hace multiplicando sus m´dulos y sumando sus argumentos. Debido a ello, la asociatividad del oproducto se demuestra mucho m´s fćilmente utilizando la forma polar. a a Otros ejercicios son: 1.6.1. Demostrar utilizando la forma bin´mica y la forma polar de los n´meros complejos que: o u a) El producto de un n´mero por su conjugado es un n´mero real. u u 23

b) El cociente de un n´mero por su conjugado es de m´dulo 1. u o Observar que la demostraciń usando la forma polar es m´s corta. o a c) Comprobar los resultados anteriores en los c´lculos siguientes: a 3 + 4i (1 + 2i)(1 − 2i), , 3 − 4i d) Utilizar los resultados anteriores para calcular: √ √ √ √ √ 2 √ 2 2 2 2 2 2 +i 2 ( +i )( −i ), √ √ 2 2 2 2 2 − i 22 2 1.6.2. Probar la asociatividad de la multiplicaciń de n´meros complejos usando su expresiń en o u oforma polar y comparar la simplicidad del c´lculo respecto del que hay que hacer para demostrarla aen forma bin´mica. o 24

La potenciaciń sale tambiń beneficiada de esta forma simple de multiplicar en forma polar. o eSegń lo visto: u z n = (reiφ )n = rn einφ = rn (cos(nφ) + isen(nφ))de donde se obtiene la f´rmula de Moivre: o cos(nφ) + isen(nφ) = (cosφ + isenφ)nen la que desarrollando el ssegundo miembro por el binomio de Newton y separando partes reales eimaginarias tenemos expresiones para cos(nφ) y sen(nφ) en funciń de cosφ y senφ. o Otra repercusiń geom´trica de la forma polar de un n´mero complejo se pone de manifiesto si o e uobservamos lo que ocurre al multiplicar n´mero de m´dulo 1 por otro n´mero complejo dado: u o u eiφ · reiα = rei(φ+α)Vemos que el resultado es un n´mero complejo del mismo m´dulo resultante de girar el n´mero u o ucomplejo dado un angulo φ. ´ Por tanto, la operaciń geom´trica giro se expresa algebraicamente como una multiplicaciń. o e o i(2+i) u e e e e e ¨2+i B e ¨¨ e ¨ e¨ë ¨ ¨¨ e ¨ë e¨ 25

Radicaciń. o La extracciń de raices tambiń se hace mucho m´s fćilmente cuando los n´meros vienen o e a a udados en forma polar. Extraer las raices n-´simas de un n´mero complejo z es hallar los n´meros x tales que xn = z, e u u nes decir, resolver la ecuaciń x − z = 0. Si z es real, esta ecuaciń, por ser de coeficientes reales, o otiene las raices complejas por parejas conjugadas, es decir, las raices complejas de un n´mero real uaparecen por parejas conjugadas. Las soluciones de la ecuaciń xn − z = 0 (si z = 0) tienen multiplicidad 1: vamos a ver que no opueden tener multilicidad mayor o igual que 2: Si una soluciń z1 la tuviera, se podr´ escribir xn − z = (x − z1 )2 Qn−2 (x), entonces, derivando o ıa n−1en los dos miembros tendr´ ıamos nx = 2(x − z1 )Qn−2 (x) + (x − z1 )2 Qn−2 (x), que al sustituir x por n−1 nz1 , da nz1 = 0, imposible si z1 = 0. Al ser cada raiz de multiplicidad 1, debe haber n raices distintas. Veamos c´mo se obtienen: o Dado z = |z|eiα , un n´mero complejo x es raiz n-´sima de z si xn = z, es decir, escribiendo u ex = reiφ en forma polar, si rn einφ = |z|eiα , pero tambiń si rn einφ = |z|ei(α+2π) o rn einφ = |z|ei(α+k2π) , e ´ ncualquiera que sea k, para lo cu´l es suficiente que r = |z| y nφ = α + k2π, cualquiera que sea k. a n La condiciń r = |z| siempre tiene soluciń porque |z| es positivo pero puede tener dos soluciones o oreales para r si n es par, de las cuales s´lo cogemos la positiva porque el m´dulo es siempre positivo. o oPero lo m´s importante es que debido a la no unicidad de la expresiń polar de un n´mero complejo, a o ucuando k var´ tenemos distintas posibilidades para φ de la condiciń nφ = α + k2π. Lo que nos da ıa, opara φ las soluciones:   φ0 = α  n  φ1 = α + 2π    n n φ2 = α + 2 2π  n n  φ3 = α + 3 2π  n n ··· ···     φn−1 = α + (n − 1) 2π  n n α 2π α φn = +n ≡ n n n Para el valor de r = + n |z| hay n posibles argumentos, (ya que φn es equivalente a φ0 ), por loque hay n raices complejas de cada n´mero complejo dado. u 26

Las raices n-´simas del n´mero complejo 1 tienen m´dulo 1 y argumentos k2π/n, donde k var´ e u o ıade cero a n − 1. El conjunto de estos n n´meros con la operaciń multiplicaciń es un ejemplo de u o ogrupo multiplicativo finito. Sus puntos correspondientes determinan un pol´ ıgono regular de n ladoscon un v´rtice en el punto (1,0). Cada raiz determina tambiń un giro del plano de ńgulo k2π/n e e aEstos giros del plano dejan invariante cualquier pol´ ıgono regular de n lados con centro en el origen.Dos de estos giros se pueden realizar sucesivamente, lo cual da un giro que se llama composiciń ode los dos giros. La operaciń composiciń de giros corresponde a la multiplicaciń de los n´meros o o o ucomplejos que los representan. Por ello, el conjunto de los giros que dejan invariante un pol´ ıgonoregular con centro en el origen es un grupo multiplicativo finito. Se proponen los siguientes Ejercicios: donde se pide hacer los c´lculos en forma polar. a 1.7.1. Calcular en forma polar y en forma bin´mica los siguientes n´meros complejos: o u √ √ √ −4, i, −i, . Comprobar que los resultados son los mismos. 1.7.2. Calcular en forma bin´mica y en forma trigonom´trica los siguientes n´meros complejos: o e u √ √ 1 + i, −2 + 2iComparando las expresiones determinar el valor de cos(π/8) y cos(3π/8). Comprobar que cos2 (π/8)+cos2 (3π/8) = 1. ¿Por qu´?e 1.7.3. Expresar las siguientes raices en forma bin´mica utilizando la forma trigonom´trica corres- o epondiente y el ejercicio anterior. √ √ √ √ 4 4 −16, 3 −8, 3 −27i, 16i. 1.7.4. Hallar las raices cuartas de −i y representarlas gr´ficamente. a 1.7.5. Hallar las raices quintas de la unidad. Seãlar cu´les son las raices que son conjugadas n aentre s´ ı. 1.7.6. Hallar las siguientes raices: √ √ 3 3 1 6 1 3 +i , +i 2 2 2 2¿C´mo estń relacionadas entre s´ o a ı? 1.7.7. Resolver en el cuerpo de los n´meros complejos las ecuaciones: u x6 + 1 = 0, 27

x6 + 2x3 + 1 = 0, x6 + x3 + 1 = 0, x6 + 2x4 + 2x2 + 1 = 0, 3x7 + x6 + 6x4 + 2x3 + 6x + 2 = 0. 2x7 − x6 + 4x4 + 2x3 + 2x − 1 = 0 2x7 + x6 + 4x4 + 2x3 + 2x + 1 = 0 4x8 − x6 − 8x5 + 2x3 + 4x2 − 1 = 0 2x5 + x4 − 2x3 − x2 + 2x + 1 = 0 Comprobar que la suma de las multiplicidades de las soluciones complejas (entre ellas las reales)de cada ecuaciń es igual a su grado. o 1.7.8. Habiendo comprobado que (xn−1 + xn−2 + xn−3 + · · · + x + 1)(x − 1) = xn − 1, demostrarque a) La ecuaciń x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 no tiene ninguna soluciń real. o o b) La ecuaciń xn + xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 = 0 no tiene ninguna soluciń real si n es par y o otiene exactamente una soluciń real si n es impar. ¿Cu´l es la soluciń real si n es impar? o a o c) Las raices (n + 1) − esimas de la unidad que no coinciden con 1, son soluciones de la ecuaciń ´ oxn + xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 = 0. 1.7.9. Resolver en el cuerpo de los n´meros complejos las ecuaciones: u x6 + x5 − x − 1 = 0, x7 + x6 − x − 1 = 0, 2x5 + x4 + x3 + x2 + x − 1 = 0, 6x6 + 5x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 − 2x − 1 = 0. Comprobar que la suma de las multiplicidades de las soluciones complejas (entre ellas las reales)de cada ecuaciń es igual a su grado. o 1.7.10. Deducir de la f´mula de Moivre o a) Las f´rmulas del coseno del ńgulo triple y del seno del ńgulo triple. o a a b) Las f´rmulas an´logas para el angulo qu´ o a ´ ıntuple. 1.7.11. Hallar cos(π/12) calculando la raiz de eiπ/6 utilizando las formas bin´mica, trigonom´trica o ey polar de los n´meros complejos y comparando los resultados. u 28

1.7.12. Comprobar que las raices de orden n de la unidad y por ello los giros que dejan invarianteun pol´ ıgono regular de n lados con centro en el origen y un v´rtice en 1, son un grupo multiplicativo econmutativo. Otros ejemplos y problemas se pueden encontrar en el cap´ ıtulo 1 del libro [A], en el cap´ ıtulo 4 de[B], en el ap´ndice A2 de [G] en el cap´ e ıtulo 20 de [S] y en el cap´ıtulo 4 del libro [H] de la bibliograf´ ıa. Soluciones de 1.2.1: a) 1/2,1/3, b) 1/2,1/3,5/2, c) 1/2,1/3,1/4, d) 1/2,√ √ 2/3,3/2. e) 1/2,1/3,−1(doble). Soluciones de las cinco ultimas ecuaciones de 1.3.1: −1/2, 1/3, i 2, −i 2; −1/3, 1/4, i, −i; 1/2, 4/3, i, −i; ´3/2, −5/2, i, −i; −3/2, −5/2, 2i, −2i. 29

Bibliograf´ ıa. [A1]. Algebra Lineal y aplicaciones. Jorge Arves´ Carballo, Renato Alvarez Nodarse, Francisco uMarcellń Espaõl. Ed. S´ a n ıntesis 1999. [A2] La Matem´tica: su contenido, m´todos y significado. A. D. Alexandrov, A. N. Kolmogorov, a eM. A. Laurentief y otros. Ed. Alianza Universidad. 1981. [B] N´meros y Convergencia. B. Rubio. Ed. B. Rubio. 2006. u [D]. El Universo de las Matem´ticas. Willian Dunham. Ed. Pir´mide. 1994. a a [G1] Matem´ticas 1 Bachillerato. Carlos Gonzalez Garc´ Jes´s Llorente Medrano. Maria Jos´ a ıa. u eRuiz Jimńez. Ed. Editex. 2008. e [G]. Algebra Lineal con aplicaciones. Stanley I. Grossman. Ed. McGraw-Hill. 1992. [H]. Algebra y Geometr´ E. Hernńdez. Ed. Addison-Wesley-U.A.M. 1994. ıa. a [S]. Algebra Superior. M. R. Spiegel. Ed. Mc Graw Hill 2000. 30

MATRICES. SUS OPERACIONES. Introducciń. o Definiciń: Una matriz es una disposiciń rectangular y entre parńtesis de n´meros; Es por o o e utanto, una tabla de n´meros entre parńtesis y tiene un determinado n´mero de filas, que llamamos u e um y un determinado n´mero de columnas que llamamos n. Entonces se dice que la matriz es m × n. u Puede ser de n´meros positivos, de n´meros enteros, de n´meros racionales, de n´meros reales o u u u ude n´meros complejos. u Las tablas aparecen bastante en la vida cotidiana. P. ej. la tabla de valores de compra y venta de distintasmonedas con una fija (sea ´sta el euro), es una tabla de tantas filas como monedas consignemos y de dos columnas. eOtro ejemplo es la tabla de porcentaje de composiciń de unos alimentos determinados segń los hidratos de carbono, o ugrasas y prote´ ınas; ´sta es una tabla de tantas filas como alimentos hayamos listado y tres columnas. Las presiones ey temperaturas de un conjunto de n gases forman una tabla de dos filas y n columnas. Las tablas se transforman enmatrices cuando sus datos son utilizados para c´lculos. a Una matriz de una fila y una columna es un n´mero entre parńtesis. u e La derivada de una funciń real de variable real es un n´mero, y se generaliza a la derivada de una funciń real o u ode varias variables por una matriz de una fila y varias columnas, cada una de las cuales es una derivada parcial. Deespecial inter´s en f´ e ısica son las derivadas de una funciń real de tres variables, que se llaman gradientes y son tres on´meros entre parńtesis. u e Un punto de R3 se representa por tres coordenadas entre parńtesis, lo cual es una matriz 1 × 3. e 3Algunas veces, para comodidad de c´lculo, un vector de R se representa por los n´meros en columna; a uentonces es una matriz 3 × 1. En ´lgebra lineal aparecen las matrices m×n al expresar de forma global los sistemas de ecuaciones alineales de m ecuaciones con n inc´gnitas. Para ello se define el producto de matrices. o Tambiń se utilizan para expresar las aplicaciones llamadas lineales y los productos escalares. Y epara relacionar distintos sistemas de coordenadas en el mismo espacio vectorial. Ciertas operaciones del conjunto de n´meros que aparecen en la matriz se trasfieren a operaciones ucon las matrices pero no siempre con las mismas propiedades que las operaciones de los n´meros de ulos que estń formadas. Nuestro objetivo en este cap´ a ıtulo es definir y estudiar dichas operaciones. 31

Operaciones en las matrices. Si representamos por K un conjunto de n´meros, se representa por Mm×n (K) el conjunto de las umatrices de m filas y n columnas que tienen n´meros de ese conjunto. Cada sitio de la matriz se ullama entrada. Introducimos la notaciń general de una matriz: se escribe o A = (aij )i∈{1,2,...m},j∈{1,2,...n}donde aij es el n´mero que ocupa el lugar de la fila i y la columna j. Cuando estń claras en el u acontexto, las variaciones de i y de j, no se especifican por sencillez de escritura. Si K tiene un producto, cualquier matriz puede multiplicarse por un n´mero del conjunto del que uest´ formada. Si A = (aij ) ∈ Mm×n (K) y s ∈ K, se define s · A = (saij ). a Este producto verifica: Si K tiene unidad (1): 1 · A = A Es distributivo si el producto de K es distributivo respecto a una suma: (s + t) · A = s · A + t · A Hay asociatividad mixta si K es asociativo: (st) · A = s · (t · A) Si en el conjunto K hay una suma, tambiń ciertas matrices se pueden sumar, pero para eso etienen que tener el mismo n´mero de filas y de columnas. La suma no es una operaciń en el u oconjunto de todas las matrices sino en Mm×n (K) cuando se han fijado m y n. Entonces, se define: si A = (aij )i∈{1...m}j∈{1...n} ∈ Mm×n (K) y B = (bij )i∈{1...m}j∈{1...n} ∈ Mm×n (K),A + B = (aij + bij )i∈{1...m}j∈{1...n} ∈ Mm×n (K), Se propone comprobar como ejercicios que 2.1.1. La suma es asociativa si la suma en K lo es. 2.1.2. La matriz cero (que tiene cero en todos los sitios), es elemento neutro para la suma si ceroes el elemento neutro de K respecto a su suma. 2.1.3. Si cada elemento de K tiene elemento opuesto respecto a la suma, cada matriz tieneelemento opuesto. Recordando la definiciń de grupo, los ejercicios 2.1.1., 2.1.2., y 2.1.3. se expresan conjuntamente oafirmando que si K es un grupo aditivo, Mm×n (K) lo es. Se puede comprobar tambiń como ejercicio que si K es un grupo aditivo conmutativo, Mm×n (K) etambiń lo es. e Adem´s la suma es distributiva respecto al producto por los elementos de K si lo es en K. aCompru´bese como ejercicio que s · (A + B) = s · A + s · B. e Estas operaciones con todas las propiedades enumeradas se dan p. ej. en M1×3 (R) que coincidecon el espacio de los vectores y por analog´ la estructura de Mm×n (K) con estas dos operaciones ıa,con las propiedades enumeradas se llama espacio vectorial. 32

Para pasar a otra operaciń entre matrices llamada producto, observemos que una matriz fila o1 × n y una matriz columna n × 1 se pueden multiplicar n´mero a n´mero: u u n (a1j )j∈{1...n} · (bi1 )i∈{1...n} = a1k · bk1 k=1dando otro n´mero. u Esto es lo que se hace para calcular el producto escalar de dos vectores de R3 : se coloca uno delos vectores en fila y el otro en columna y se multiplican n´mero a n´mero. u u Es tambiń lo que se hace para calcular lo que tenemos que pagar en una compra multiplicando la matriz fila de elos precios de los art´ ıculos que hemos comprado por la matriz columna de las cantidades que hemos comprado de cadauno de ellos. Observemos tambiń que una matriz A ∈ Mm×n (K) puede escribirse como superposiciń de filas: e o   F1  F2  A= .     . .  Fmo como yuxtaposiciń de columnas: o B = (C1 , C2 , · · · , Cn ) Si las filas de A tienen el mismo n´mero de elementos que las columnas de B, A y B se pueden umultiplicar multiplicando las filas de A por las columnas de B, siendo n n (AB)ij = Fi · Cj = aik bkj que escribiremos Aik Bkj k=1 k=1 Este producto es una operaciń que va de Mm×n (K)× Mn×u (K) en Mm×u (K). Para que sea ooperaciń en Mm×n (K), ha de ser m = n. o Podemos decir, por tanto, que las matrices cuadradas tienen otra operaciń, el producto, con las osiguientes propiedades: a) El producto es asociativo si el producto en K lo es: A(BC) = (AB)C. En efecto, vamos a ver que el n´mero de la entrada (i,j) de A(BC) es el mismo que el n´mero de u ula entrada (i,j) de (AB)C: Suponiendo que A ∈ Mm×n (K), B ∈ Mn×u (K), C ∈ Mu×s (K). 33

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