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Representación Gráfica
                                       de un Vector




                           dirección: obvio...
¿Por qué es importante la dirección de
           una cantidad vectorial?
La misma rapidez (escalar)
del viento, pero dist...
Representación de un vector en
                 Coordenadas Rectangulares
  Cualquier vector A que se encuentre en el plan...
Representación de un vector en
             Coordenadas Polares
Algunas veces es más conveniente representar un punto en e...
La dirección de un vector en 2-D
                                y
                                            Sea    = 13...
Ejemplo: Encuentre el vector en coordenadas polares
si sus coordenadas en el plano x-y son (-2, -5)

                     ...
El Método Gráfico para la Suma de Vectores

                   C                          Los vectores se unen
           ...
EL VECTOR NEGATIVO
        LA MAGNITUD O MODULO DE UN VECTOR ES
           SIEMPRE UNA CANTIDAD POSITIVA.

 Un vector es n...
RESTA DE VECTORES
RESTARLE UN VECTOR A OTRO VECTOR ES
EQUIVALENTE A SUMARLE SU VECTOR NEGATIVO

                          ...
Pregunta de concepto

 Para los vectores a, b y c, indicados en la
 figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es
 corre...
LA LEY DEL COSENO
   • Sean los vectores a y b

      Sea el menor ángulo formado entre los vectores
      unidos por su o...
Sea R el vector resultante de sumar el vector a con el vector
b, esto es R = a + b, y el angulo formado entre a y b
unidos...
La ley del coseno en función del ángulo α


                   R
                             b

             a
          ...
Sea P el vector resultante de la diferencia
entre los vector a y b, y sea R la resultante
de la suma entre a y b.
        ...
Vectores Unitarios:
 Un Vector Unitario es un vector
  que tiene magnitud 1 y no tiene
  unidades                        ...
LOS VECTORES UNITARIOS i, j y k
 Un vector unitario es la relación entre el vector
 y su magnitud             
          ...
Suma de Vectores usando
                componentes:
   Considere C = A + B.

     (a)   C = (Ax i + Ay j) + (Bx i + By j...
Cualquier vector puede ser expresado en
   término de vectores unitarios.

                           A = Ax i + Ay j + Az...
B
                     A




                                                        C




Exprese los vectores de la figu...
B
                  A




                                                       C


Para los vectores de la figura realic...
Proyeción de un Vector en Tres
           Dimensiones
 Cualquier vector en tres
  dimensiones puede ser
  proyectado sobr...
Una Nota sobre la regla de la mano derecha
      en el sistema de coordenadas
 Un sistema de
  coordenadas en tres       ...
Right Handed Coordinate Systems
     Which of these coordinate
     systems obey the right-hand    I.                II.
 ...
Las componentes ortogonales del vector A
 en tres dimensiones (3D).
                                  y


                ...
Exprese el vector indicado en la figura en
    función de sus componentes rectangulares
    i, j k.                     A ...
Determine la magnitud de los vectores A, B y C


                2        2            C
A          5        8
           ...
Para el paralelepípedo de la figura, determine el ángulo
 formado entre los vectores a y b.


                            ...
Solución:

                                                       y

    R      a b            b a                   ...
y      Otra solución
                           a = 6j – 4k =>              a2 = 62 +42   => a = = 7,21
                  ...
LA LEY DEL SENO
                                PQ
                         Sen
    c                            a
       ...
PQ                        RS
Sen                      Sen
       a   aSen   bSen           c
                             ...
LA LEY DEL SENO

                                      c
                                                b
               ...
Utilice la ley del seno para determinar los valores
de las tensiones de cada una de las cuerdas.


                       ...
T2
                                                                70
                                                 T1 ...
El Método Analítico para
      la Suma de Vectores
• El método geométrico de suma de vectores NO es el
procedimiento recom...
SUMA DE VECTORES: COMPONENTES ORTOGONALES



                           B
                                    A




      ...
Cy    By
                                           B             C


                                                    ...
DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN
                     DEL VECTOR R
            Rx = Ax + B x + Cx (suma vectorial)...
Determine el vector que al sumarse a los
 vectores a y b den una resultante nula.

 a) i – 10j + 3k                y
 b) 2...
y         Solución:                                      a) i – 10j + 3k
                                               a...
VECTOR EN 3-D Y LOS COSENOS DIRECTORES

                           y
                                                     ...
NOTAS IMPORTANTES SOBRE LA
                 DIRECCIÓN DE UN VECTOR
 Si el vector se encuentra en el plano (2-D), la
 direc...
RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES
                      Ax                        Ay                     Az
         C...
y
A = 10 i – 8 j + 4 k                                             10 i


¿Cuál es la dirección
   del vector A?          ...
El vector mostrado en la figura tiene una
         magnitud de 20 unidades. El ángulo que
         forma el vector con el ...
y      Solución:                         Ay
                                           Cos
                               ...
EL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
 Sean A y B dos vectores y sea el menor ángulo formado
 entre los vectores unidos por su o...
Proyección de un Vector: Producto Punto
 El producto punto nos dice
  acerca de cuán paralelo son dos
  vectores.
 El pr...
Proyección de un Vector: Producto Punto
 El producto punto nos dice
  acerca de cuán paralelo
  son dos vectores.
 El pr...
A


                                            A•B=0
                               B
           A
                      ...
Dados los vectores A y B. En cuál de los siguientes casos
el valor de A•B tiene el mayor valor




               1
  A   ...
EL PRODUCTO ESCALAR EN COORDENADAS CARTESIANAS

SEAN LOS VECTORES:                  A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By...
A = Ax i + Ay j + Az k               y           B = Bx i + By j + Bz k

  A•B=             Suma de los productos de sus r...
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR

             A
                                  Acos es la proyección del...
Dado el siguiente gráfico:


                            P
                                                   S
          ...
Para que los vectores: a = 6 i – 3 j + 6 k
      y b = i – 2 j + 3 k sean ortogonales,
        debe tomar el valor de


  ...
Sean lo vectores: a = 5i - 2j + 3k y
           b = 2i + 5j + 6k. La proyección del
           vector a sobre el vector b ...
Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 15 u,
      el ángulo formado entre los vectores
      A y B es
                        ...
Solución:                        |A| = 10 u y |B| = 15 u
       y
                   B               A • B = AB Cos = Ax B...
EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORES
   Sean A y B dos vectores y sea el menor ángulo formado entre
   los vectores unidos por su ...
La regla de la mano derecha y la
            dirección del vector C

                                Cruce el vector A con...
La Regla de la Mano Derecha




FLORENCIO PINELA - ESPOL   62          05/02/2010 23:47
C               DIRECCIÓN DEL VECTOR C


                                           AxB=C
                               B...
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL
          PRODUCTO VECTORIAL


                             A
                              ...
Para la operación entre vectores C = AxB
 indique si cada enunciado es correcto o no
1. (A x B) x C = 0                   ...
Producto Cruz
 El producto cruz de dos
                                                   Recall angular momentum
  vect...
EL PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS

 SEAN LOS VECTORES:                  A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i +...
A x B = AxBy i x j + AxBz i x k + AyBx j x i + AyBz j x k + AzBx k x i + AzBy k x j
                 i                    ...
A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k

          i   j    k
                         Ay Az             ...
Sean los vectores A y B no paralelos que se encuentran en un
mismo plano, se define C = AxB, entonces podemos afirmar que:...
C = AxB                      En el grafico se indica que el vector C
  F = ExD            A         es el resultado del pr...
Sean los vectores A = 3 i – j + 2 k y B = -2 i – 2 j – 4 k, el
     vector unitario perpendicular al plano formado por los...
Solución:                    A = 3 i – j + 2 k y B = -2 i – 2 j – 4 k

              i      j      k
                     ...
¿Cuál de las siguientes alternativas representa un
       vector perpendicular al plano sombreado de la
       figura?.   ...
Solución:
                  6                               Un vector perpendicular al
                                   ...
DETERMINE EL VALOR DEL ÀREA DEL PLANO
 SOMBREADO DE LA FIGURA
                                                          y
...
Dos vectores A y B vienen expresados por:
     A = 3i + 4j + k ; B = 4i - 5j + 8k. Es verdad que A y
     B:

a)   Son par...
Solución:

       A = 3i + 4j + k                 y       B = 4i - 5j + 8k.

 Utilicemos la ley del coseno para determinar...
Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de
      coordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas
 ...
Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de
  coordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas (2,3,...
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VECTORES: Bachillerato y Nivel Cero B (ESPOL)

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conceptos básicos sobre vectores y sus operaciones

  • Por Favor estimado Docente Florencio Pinela C, necesito me facilite descargar esta presentación para aprendizaje sobre física precisamente basada en este tan interesante material... Correo: dany-_-solorzano2@hotmail.com...de antemano gracias
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  • Por Favor estimado Docente Florencio Pinela C, necesito me facilite descargar esta presentación para una lección sobre física precisamente basada en este tan interesante material... Correo: frepo1000@hotmail.com...de antemano gracias
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VECTORES: Bachillerato y Nivel Cero B (ESPOL)

  1. 1. Representación Gráfica de un Vector dirección: obvio magnitud: longitud La localización es irrelevante Estos son idénticos FLORENCIO PINELA - ESPOL 1 05/02/2010
  2. 2. ¿Por qué es importante la dirección de una cantidad vectorial? La misma rapidez (escalar) del viento, pero distinta velocidad (vector) ¿Qué preguntaría el piloto a la torre de control, si de ésta le indican que el viento sopla en el aeropuerto a 40 km/h? FLORENCIO PINELA - ESPOL 2 05/02/2010
  3. 3. Representación de un vector en Coordenadas Rectangulares Cualquier vector A que se encuentre en el plano x-y es posible representarlo por medio de sus componentes rectangulares Ax y Ay    !Cuidado! A2 2 Ax 2 Ay A Ax Ay Ax 4  A A Ax2 Ay 2 Ay 3    A Ax Ay 7 Ax = A cos A Ay Ay = A sen Ay 1 Ay tan tan Ax Ax Ax FLORENCIO PINELA - ESPOL 3 05/02/2010
  4. 4. Representación de un vector en Coordenadas Polares Algunas veces es más conveniente representar un punto en el plano por sus coordenadas polares, (r, ) donde r es la distancia desde el origen hasta el punto de coordenadas (x,y) y es el ángulo entre r y un eje fijo, medido contrario a las manecillas del reloj. y y (x,y) tan x r 1 y tan x x 2 2 o r x y 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 4
  5. 5. La dirección de un vector en 2-D y Sea = 130 Sen 130 = 0,766 Cos 130 = -0,643 x -α α = - 230 Sen(-230 )= 0,766 Cos(-230 )=-0,643 • Positivo en “sentido” antihorario • Negativo en “sentido” horario FLORENCIO PINELA - ESPOL 5 05/02/2010
  6. 6. Ejemplo: Encuentre el vector en coordenadas polares si sus coordenadas en el plano x-y son (-2, -5) ¡Cuidado cuando use tan = y/x ! ' 1 5 tan 68, 2o 2 -2 ¡Línea de acción del vector! r o o 180 68, 2 -5  r ( 2)2 ( 5)2 29 r : 29; 248, 2o 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 6
  7. 7. El Método Gráfico para la Suma de Vectores C Los vectores se unen B extremo con origen, A+B conservando su A+B+C magnitud y dirección. El vector resultante A parte del origen del primero al extremo del último D R R = A + B +C + D      R A B C D Florencio Pinela FLORENCIO PINELA - ESPOL 7 05/02/2010
  8. 8. EL VECTOR NEGATIVO LA MAGNITUD O MODULO DE UN VECTOR ES SIEMPRE UNA CANTIDAD POSITIVA. Un vector es negativo cuando apunta en dirección contraria a uno definido como positivo. Cuando un vector NO está referido a un sistema de coordenadas. B C A -A -B -C FLORENCIO PINELA - ESPOL 8 05/02/2010
  9. 9. RESTA DE VECTORES RESTARLE UN VECTOR A OTRO VECTOR ES EQUIVALENTE A SUMARLE SU VECTOR NEGATIVO A – B = A + (- B) A B Del extremo de B al extremo de A A-B A-B Polígono Unamos los vectores por su origen FLORENCIO PINELA - ESPOL 9 05/02/2010
  10. 10. Pregunta de concepto Para los vectores a, b y c, indicados en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?    1) a c b    a 2) a b c    c 3) c b a 4) Todas son correctas b FLORENCIO PINELA - ESPOL 10 05/02/2010
  11. 11. LA LEY DEL COSENO • Sean los vectores a y b Sea el menor ángulo formado entre los vectores unidos por su origen Sea el ángulo formado entre los vectores unidos extremo con origen b b a a FLORENCIO PINELA - ESPOL 11 05/02/2010
  12. 12. Sea R el vector resultante de sumar el vector a con el vector b, esto es R = a + b, y el angulo formado entre a y b unidos por su origen. R b sen b a b cos R2 = (a + b cos )2 + (b sen )2 R2 = a2+ b2cos2 + 2abcos + b2 sen2 R2 = a2 + b2 + 2ab cos
  13. 13. La ley del coseno en función del ángulo α R b a R2 = a2 + b2 + 2ab Cos = 180 - cos = cos (180 - ) = - cos R2 = a2 + b2 - 2ab Cos
  14. 14. Sea P el vector resultante de la diferencia entre los vector a y b, y sea R la resultante de la suma entre a y b. R b P P=a-b a R=a+b R2 = a2 + b2 + 2ab Cos P2 = a2 + b2 - 2ab Cos Recuerde que la magnitud del vector a –b es igual a la magnitud del vector b – a FLORENCIO PINELA - ESPOL 14 05/02/2010
  15. 15. Vectores Unitarios:  Un Vector Unitario es un vector que tiene magnitud 1 y no tiene unidades U  Es usado para especificar una dirección û  Un vector unitario u apunta en la y dirección de U A menudo denotado con un j “sombrero”: u = û x  Ejemplos útiles son los vectores k i z unitarios cartesianos [ i, j, k ]  apuntando en las direcciones de los ejes x, y y z
  16. 16. LOS VECTORES UNITARIOS i, j y k Un vector unitario es la relación entre el vector y su magnitud  U ˆ u U     y A Ax Ay Az  j A ˆ Ax i Ay ˆ j ˆ Az k k i x z FLORENCIO PINELA - ESPOL 16 05/02/2010
  17. 17. Suma de Vectores usando componentes:  Considere C = A + B. (a) C = (Ax i + Ay j) + (Bx i + By j) = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j (b) C = (Cx i + Cy j)  Comparando las componentes de (a) y (b):  Cx = Ax + Bx C By B  Cy = Ay + By A Ay Bx Ax
  18. 18. Cualquier vector puede ser expresado en término de vectores unitarios. A = Ax i + Ay j + Az k Se pueden sumar, restar y multiplicar Sean los vectores A= 2i – 4j + 6k y B= 4i + 2j – 3k   A B = 6i – 2j + 3k   A B = - 2i – 6j + 9k   A 2B = 10i FLORENCIO PINELA - ESPOL 18 05/02/2010
  19. 19. B A C Exprese los vectores de la figura en función de vectores unitarios 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 19
  20. 20. B A C Para los vectores de la figura realice la siguiente operación: A + B – 2C 20 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL
  21. 21. Proyeción de un Vector en Tres Dimensiones  Cualquier vector en tres dimensiones puede ser proyectado sobre el plano x-y. z  La proyección del vector forma   un ángulo con el eje de las x. a a  Ahora proyecte el vector sobre el eje de las z.  El vector original forma un ángulo con el eje z. y x
  22. 22. Una Nota sobre la regla de la mano derecha en el sistema de coordenadas  Un sistema de coordenadas en tres z dimensiones debe obedecer la reglas de la mano derecha.  Doble los dedos de su MANO DERECHA de tal y forma que vayan desde x hasta y. Su pulgar x apuntará en la dirección z. September 5, 2007
  23. 23. Right Handed Coordinate Systems Which of these coordinate systems obey the right-hand I. II. rule? y y A. I and II. B. II and III. x z C. I, II, and III. z x D. I and IV. x x E. IV only. III. IV. y z z y September 5, 2007
  24. 24. Las componentes ortogonales del vector A en tres dimensiones (3D). y Ayj A Ax i x Az k  z A ˆ j ˆ Axi Ay ˆ Az k A 2 A x A 2 y A 2 z FLORENCIO PINELA - ESPOL 24 05/02/2010
  25. 25. Exprese el vector indicado en la figura en función de sus componentes rectangulares i, j k. A = 10 i – 8 j + 4 k y 10 i ¿Cuál sería la magnitud del vector A?  A 8 A A 102 82 42 -8j 4 x 10 4k z FLORENCIO PINELA - ESPOL 25 05/02/2010
  26. 26. Determine la magnitud de los vectores A, B y C 2 2 C A 5 8 8 2 2 A B B 8 6 2 2 2 C 5 6 8 6 5 FLORENCIO PINELA - ESPOL 26 05/02/2010
  27. 27. Para el paralelepípedo de la figura, determine el ángulo formado entre los vectores a y b. y a) 45,0º b) 48,2º 6 a c) 50,2º x b 4 d) 53,8º z 5 e) 55,2º FLORENCIO PINELA - ESPOL 27 05/02/2010
  28. 28. Solución:      y R a b b a R 6 a x 2 2 2 b R a b 2ab cos 4 z 5 a 2 b2 R 2 Cos a 42 62 2ab o b 52 6 2 50, 2 R2 52 4 2 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 28
  29. 29. y Otra solución a = 6j – 4k => a2 = 62 +42 => a = = 7,21 6 b = 5i + 6j => b2 = 52 + 62 => b = = 7,81 a b x Llamamos c al vector (a + b) = 5i + 12j – 4k 4 z 5 c = 13,60 a) 45,0º Utilizando la ley del coseno b) 48,2º C2 = a2 + b2 + 2ab cos c) 50,2º Despejando el coseno de y reemplazando los d) 53,8º módulos de los vectores a,b y c e) 55,2º Cos = (185-52-61)/112,62 Cos = 0,64 Por tanto es igual a 50,2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 29 05/02/2010
  30. 30. LA LEY DEL SENO PQ Sen c a b PQ Sen a b R RS Sen P c RS Sen S b Q Sen Sen
  31. 31. PQ RS Sen Sen a aSen bSen c cSen bSen PQ RS Sen Sen b b Sen sen Sen Sen b a b c Sen Sen Sen a b c a b c Sen Sen Sen
  32. 32. LA LEY DEL SENO c b a Sen Sen Sen a b c a b c Sen Sen Sen FLORENCIO PINELA - ESPOL 32 05/02/2010
  33. 33. Utilice la ley del seno para determinar los valores de las tensiones de cada una de las cuerdas. T1 40 T2 20 100 N T3 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 33
  34. 34. T2 70 T1 70 40 T3 T2 T1 40 20 T3 T1 100 N sen70o sen70o T3=100 N T3 T2 sen40o T3 T1 100 N T2 100 N sen70o sen40o sen70o 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 34
  35. 35. El Método Analítico para la Suma de Vectores • El método geométrico de suma de vectores NO es el procedimiento recomendado en situaciones donde se requiere alta precisión o en problemas tridimensionales. En esta sección se describe un método para sumar vectores que hacen uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangular. A estas proyecciones se las llama componentes del vector. Cualquier vector se puede describir completamente por sus componentes. FLORENCIO PINELA - ESPOL 35 05/02/2010
  36. 36. SUMA DE VECTORES: COMPONENTES ORTOGONALES B A C FLORENCIO PINELA - ESPOL 36 05/02/2010
  37. 37. Cy By B C R Ay A Ry Ax Bx Cx Rx         Rx Ax Bx Cx Ry Ay By Cy FLORENCIO PINELA - ESPOL 37 05/02/2010
  38. 38. DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN DEL VECTOR R Rx = Ax + B x + Cx (suma vectorial) Ry = Ay + B y + Cy (suma vectorial) R Ry Rx 2 2 Magnitud del vector R R R x R y Línea de acción del 1 Ry vector R tan Rx FLORENCIO PINELA - ESPOL 38 05/02/2010
  39. 39. Determine el vector que al sumarse a los vectores a y b den una resultante nula. a) i – 10j + 3k y b) 2i – 5j + 6k b a c) 5j + 6k 5 d) 10j – 3k x e) –10j + 3k 3 7 z FLORENCIO PINELA - ESPOL 39 05/02/2010
  40. 40. y Solución:  a) i – 10j + 3k a 7i 5 j b) 2i – 5j + 6k b a  c) 5j + 6k d) 10j – 3k 5 b 7i 5 j 3k e) –10j + 3k x    7 3 a b c 0 z Si un vector determinado vale cero, sus componentes ortogonales valdrán cero también. ax + bx + cx = 0 → cx = 0 ay + by + cy = 0 → cy = - 10 j C = 0 i – 10 j + 3 k Az + bz + cz = 0 → cz = 3 k FLORENCIO PINELA - ESPOL 40 05/02/2010
  41. 41. VECTOR EN 3-D Y LOS COSENOS DIRECTORES y Ax Cos A Ay Ay Cos A A x Ax Az Az Cos A z FLORENCIO PINELA - ESPOL 41 05/02/2010
  42. 42. NOTAS IMPORTANTES SOBRE LA DIRECCIÓN DE UN VECTOR Si el vector se encuentra en el plano (2-D), la dirección del vector será indicada a través del valor del ángulo que forma el vector con el eje positivo de las “x”. Si el vector se encuentra en el espacio (3-D), la dirección del vector será indicada por los ángulos que forma el vector con cada una de las direcciones positivas de los ejes de coordenadas. FLORENCIO PINELA - ESPOL 42 05/02/2010
  43. 43. RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES Ax Ay Az Cos Cos Cos A A A Teorema de A2 Pitágoras en 2 2 Ax Ay Az2 A2 ( ACos ) 2 ( ACos ) 2 ( ACos ) 2 3-D A2 A2 Cos 2 A2 Cos 2 A2Cos 2 A2 A2 (Cos 2 Cos 2 Cos 2 ) Cos 2 Cos 2 Cos 2 1 Con esta expresión, si conocemos dos de los tres ángulos podemos hallar el tercero. FLORENCIO PINELA - ESPOL 43 05/02/2010
  44. 44. y A = 10 i – 8 j + 4 k 10 i ¿Cuál es la dirección del vector A? A 8 -8j A 102 82 42 x 4 z 10 4k Ax 1 10 Cos cos 41,8o A 13, 41 Ay 1 8 Az 4 Cos cos 126,6o Cos cos 1 72,6o A 13, 41 A 13, 41 FLORENCIO PINELA - ESPOL 44 05/02/2010
  45. 45. El vector mostrado en la figura tiene una magnitud de 20 unidades. El ángulo que forma el vector con el eje y es: y a) 30,0º b) 60,0º x 6 c) 72,5º 8 z d) 41,1º e) 35,2º FLORENCIO PINELA - ESPOL 45 05/02/2010
  46. 46. y Solución: Ay Cos A x ¿Cuánto vale Ay? 6 8 z 2 2 2 2 A Ax A y A z Ay 202 82 62 17,32 Ay 1 17,32 Cos cos 30o A 20 FLORENCIO PINELA - ESPOL 46 05/02/2010
  47. 47. EL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Sean A y B dos vectores y sea el menor ángulo formado entre los vectores unidos por su origen A B A • B = A B Cos De acuerdo a la definición, A • B es un número que puede ser positivo, negativo o cero, todo depende del valor del ángulo entre los vectores. FLORENCIO PINELA - ESPOL 47 05/02/2010
  48. 48. Proyección de un Vector: Producto Punto  El producto punto nos dice acerca de cuán paralelo son dos vectores.  El producto puntos (producto escalar) de dos vectores puede ser pensado como la proyección de uno de los vectores sobre el  otro. B   A B AB cos ( A cos ) B  A  Componentes A(B cos )   A B Ax Bx Ay By Az Bz September 5, 2007
  49. 49. Proyección de un Vector: Producto Punto  El producto punto nos dice acerca de cuán paralelo son dos vectores.  El producto puntos (producto escalar) de dos vectores puede ser pensado como la proyección de uno de los vectores sobre el  otro. Projection is zero B   A B AB cos  Componentes    A B Ax Bx Ay By Az Bz A September 5, 2007
  50. 50. A A•B=0 B A A•B <0 B A A•B >0 B FLORENCIO PINELA - ESPOL 50 05/02/2010
  51. 51. Dados los vectores A y B. En cuál de los siguientes casos el valor de A•B tiene el mayor valor 1 A 2 3 B A B A B FLORENCIO PINELA - ESPOL 51 05/02/2010
  52. 52. EL PRODUCTO ESCALAR EN COORDENADAS CARTESIANAS SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k A • B = (Ax i + Ay j + Az k) • (Bx i + By j + Bz k) A • B = (Ax i) • (Bx i + By j + Bz k) + Ay j • (Bx i + By j + Bz k) + Az k •(Bx i + By j + Bz k) El producto escalar entre vectores respectivamente perpendiculares es igual a cero A • B = Ax i • (Bx i) + Ay j • (By j) + Az k •(Bz k) A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz FLORENCIO PINELA - ESPOL 52 05/02/2010
  53. 53. A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k A•B= Suma de los productos de sus respectivas componentes A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz ¡TENGA CUIDADO CON LOS SIGNOS DE LAS COMPONENTES DE LOS VECTORES! A•B=B•A EL PRODUCTO ESCALAR ES CONMUTATIVO FLORENCIO PINELA - ESPOL 53 05/02/2010
  54. 54. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR A Acos es la proyección del vector A B sobre el vector B, esto es AB El área del rectángulo que tiene por lados A Cos y B, es AB Cos AB Cos es por definición el resultado de multiplicar escalarmente dos vectores de magnitudes A y B que forman un ángulo . A • B =ABB = BAA = AB Cos = Ax Bx + Ay By + Az Bz FLORENCIO PINELA - ESPOL 54 05/02/2010
  55. 55. Dado el siguiente gráfico: P S Q Entonces: S•P = S•Q a) Verdad b) Falso c) Faltan los ángulos de los vectores FLORENCIO PINELA - ESPOL 55 05/02/2010
  56. 56. Para que los vectores: a = 6 i – 3 j + 6 k y b = i – 2 j + 3 k sean ortogonales, debe tomar el valor de a) –4 b) 4 c) –6 d) 6 e) –8 α=-4 FLORENCIO PINELA - ESPOL 56 05/02/2010
  57. 57. Sean lo vectores: a = 5i - 2j + 3k y b = 2i + 5j + 6k. La proyección del vector a sobre el vector b es. a) 4.6 b) 3.2 c) 2.8 d) 2.2 e) 1.2 (5)(2) ( 2)(5) (3)(6) ab 2, 23 2 2 2 2 5 6 FLORENCIO PINELA - ESPOL 57 05/02/2010
  58. 58. Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 15 u, el ángulo formado entre los vectores A y B es y a) 90,0º b) 86,4º b c) 80,4 d) 76,4º 5 x a e) 70,4º z FLORENCIO PINELA - ESPOL 58 05/02/2010
  59. 59. Solución: |A| = 10 u y |B| = 15 u y B A • B = AB Cos = Ax Bx + Ay By + Az Bz 5 x Ax = 5 Ay = 0 Az = ? A z Bx = 5 By = ? Bz = 0 A • B = AB Cos = (5)(5) + 0( By) + (Az)0 (10)(15) Cos = (5)(5) 1 25 cos 80, 4o 150 FLORENCIO PINELA - ESPOL 59 05/02/2010
  60. 60. EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORES Sean A y B dos vectores y sea el menor ángulo formado entre los vectores unidos por su origen.    A C AxB B Se define el producto A x B como otro vector, llamemos C a este vector. Por definición C es un vector perpendicular al plano formado por los vectores A y B y su dirección está de acuerdo a la regla de la “mano derecha”, la magnitud del vector C es por definición:  C C AB Sen FLORENCIO PINELA - ESPOL 60 05/02/2010
  61. 61. La regla de la mano derecha y la dirección del vector C Cruce el vector A con el vector B “barriendo” el menor ángulo. El pulgar extendido le da la dirección del vector C FLORENCIO PINELA - ESPOL 61 05/02/2010
  62. 62. La Regla de la Mano Derecha FLORENCIO PINELA - ESPOL 62 05/02/2010 23:47
  63. 63. C DIRECCIÓN DEL VECTOR C AxB=C B A BxA=-C B A AxB=-BxA El producto vectorial no es conmutativo!!! -C FLORENCIO PINELA - ESPOL 63 05/02/2010
  64. 64. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL A A Sen B    A x B = C = AB sen C = AB Sen => Área del paralelogramo formado por los vectores A y B FLORENCIO PINELA - ESPOL 64 05/02/2010
  65. 65. Para la operación entre vectores C = AxB indique si cada enunciado es correcto o no 1. (A x B) x C = 0 V F 2. C (A x B) = C2 V F 3. La proyección del vector A sobre V F el vector C es cero 4. La proyección del vector C sobre V F el vector B es diferente de cero 5. La magnitud del vector C V F corresponde al área del paralelogramo formado de A y B 65 05/02/2010
  66. 66. Producto Cruz  El producto cruz de dos  Recall angular momentum vectores nos dice acerca de    cuán perpendiculares ellos son. L r p Usted los encontrará en el  Torque    contexto de rotación o torque. r F   A B AB sin   B  Dirección perpendicular tanto a B sin A y B (regla de la mano-   derecha) A B B A    A ˆ ˆ ˆ  i j k A sin   A B Ax Ay Az Bx By Bz ( Ay Bz ˆ Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) ˆ ( Ax By j ˆ Ay Bx )k
  67. 67. EL PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k A x B = (Ax i + Ay j + Az k) x (Bx i + By j + Bz k) A x B = (Ax i) x (Bx i + By j + Bz k) + (Ay j) x (Bx i + By j + Bz k) + (Az k) x (Bx i + By j + Bz k) El producto cruz de vectores que tienen la misma dirección vale cero!! A x B = (Ax i) x (By j + Bz k) + Ay j x (Bx i + Bz k) + Az k x (Bx i + By j) A x B = AxBy i x j + AxBz i x k + AyBx j x i + AyBz j x k + AzBx k x i + AzBy k x j FLORENCIO PINELA - ESPOL 67 05/02/2010
  68. 68. A x B = AxBy i x j + AxBz i x k + AyBx j x i + AyBz j x k + AzBx k x i + AzBy k x j i j ixj=k -k jxk=i i kxi=j k j i x k = -j k -j j x i = -k A x B = AxBy k + AxBz (-j) + AyBx (-k) + AyBz i + AzBx j + AzBy (-i) Agrupemos los términos i, j y k A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k FLORENCIO PINELA - ESPOL 68 05/02/2010
  69. 69. A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k i j k Ay Az Ax Az Ax Ay AxB= Ax Ay Az = By Bz i - Bx Bz j + Bx By k Bx By Bz  C ˆ j ˆ ( Ay Bz Az By ) i ( Ax Bz Az Bx ) ˆ ( Ax By Ay Bx ) k             Cx Cy Cz 05/02/2010 FLORENCIO PINELA - ESPOL 69
  70. 70. Sean los vectores A y B no paralelos que se encuentran en un mismo plano, se define C = AxB, entonces podemos afirmar que: a) El modulo del vector C representa el área del triangulo formado por A y B b) La proyección vectorial de A sobre B es ( A.B ) / |B| c) La proyección escalar de A sobre B es ( A.B )|B| d) La proyección escalar de C sobre A es 0 e) No se puede realizar lo operación AxB FLORENCIO PINELA - ESPOL 70 05/02/2010
  71. 71. C = AxB En el grafico se indica que el vector C F = ExD A es el resultado del producto vectorial entre A y B y el vector F es el F B resultado del producto vectorial entre E y D. E Cuál de las siguientes opciones representa mejor la dirección de un vector que sumado al vector (D x C) da una resultante nula. A B C D FLORENCIO PINELA - ESPOL 71 05/02/2010
  72. 72. Sean los vectores A = 3 i – j + 2 k y B = -2 i – 2 j – 4 k, el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A y B es 8 8 a )0i 128 j 128 k Si logramos determinar un 8 8 8 vector perpendicular al plano b) 192 i 192 j 192 k formado entre los vectores A y B. Podemos determinar el c) 1 i 11 j 8 k vector unitario dividiendo éste 186 186 186 vector para su magnitud. 8 8 8 e) i j k 384 384 384 8 16 8 e) i j k 384 384 384 FLORENCIO PINELA - ESPOL 72 05/02/2010
  73. 73. Solución: A = 3 i – j + 2 k y B = -2 i – 2 j – 4 k i j k -1 2 3 2 3 -1 AxB= 3 -1 2 = -2 -4 i - -2 -4 j + -2 -2 k -2 -2 -4 A x B = [(-1)(-4) - (-2)(2)] i – [(3)(-4) - (-2)(2)] j + [(3)(-2)-(-2)(-1)] k C =Ax B = 8 i+ 8 j– 8 k  ˆ C 8i 8 j 8k C C 82 82 82 ˆ 8 8 8 C i j k 192 192 192 FLORENCIO PINELA - ESPOL 73 05/02/2010
  74. 74. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa un vector perpendicular al plano sombreado de la figura?. y 6 a) 24i + 20j + 30k b) –5i + 6j + 8k x c) –12i – 10j + 15k 5 d) 12i – 10j –15k e) 24i + 20j+ 15k 4 z FLORENCIO PINELA - ESPOL 74 05/02/2010
  75. 75. Solución: 6 Un vector perpendicular al plano sombreado, es también A x perpendicular al plano formado 5 por los vectores A y B B 4 z A=6j–4k B=5i–4k i j k 6 -4 0 -4 0 6 AxB= 0 6 -4 = 0 -4 i - 5 -4 j+ 5 0 k 5 0 -4 A x B = - 24 i – 20 j - 30 k FLORENCIO PINELA - ESPOL 75 05/02/2010
  76. 76. DETERMINE EL VALOR DEL ÀREA DEL PLANO SOMBREADO DE LA FIGURA y Solución: 6 C = A x B = - 24 i – 20 j - 30 k La magnitud de C representa A x el área del paralelogramo 5 El área sombreada B (rayada) corresponde a la 4 z  mitad del área del C C 242 202 302 paralelogramo.  C 43,3 Area sombreada 21,65 u 2 2 2 FLORENCIO PINELA - ESPOL 76 05/02/2010
  77. 77. Dos vectores A y B vienen expresados por: A = 3i + 4j + k ; B = 4i - 5j + 8k. Es verdad que A y B: a) Son paralelos y apuntan en la misma dirección. b) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias. c) Forman un ángulo de 45º entre sí. d) Son perpendiculares. e) Todas las alternativas anteriores son falsas. FLORENCIO PINELA - ESPOL 77 05/02/2010
  78. 78. Solución: A = 3i + 4j + k y B = 4i - 5j + 8k. Utilicemos la ley del coseno para determinar el ángulo formado entre los vectores.   A B AB cos Ax Bx Ay By Az Bz Ax Bx Ay By Az Bz cos AB 1 12 20 8 1 0 cos cos 90o (26)(105) 2730 FLORENCIO PINELA - ESPOL 78 05/02/2010
  79. 79. Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de coordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas (2,3,5) y (5,4,2) respectivamente. ¿Cuál de las siguientes alternativas representaría un vector perpendicular al plano formado por las rectas?. a) –23 i – 9 j – 26 k b) 9 i – 14 j + 8 k c) 9 i – 23 j + 26 k d) 23 i – 9 j + 26 k e) –9 i + 14 j – 8 k = (-9+32)i – (-1-8)j + (8+18)k = 23 i + 9 j +26 k = - 23 i - 9 j – 26 k FLORENCIO PINELA - ESPOL 79 05/02/2010
  80. 80. Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de coordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas (2,3,5) y (5,4,2) respectivamente.¿Cuál de las siguientes alternativas representaría un vector perpendicular al plano formado por las rectas?. AC (5 4)i [(4 ( 5)] j (2 6)k C AC i 9 j 4k AB (2 4)i [3 ( 5)] j (5 6)k AB 2i 8 j k B A FLORENCIO PINELA - ESPOL 80 05/02/2010

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