Cap 2 campo eléctrico y ley de gauss 19 38-2010 ii

Cuaderno de Actividades: Física II

2) CAMPO ELÉCTRICO
Y LEY DE GAUSS

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 19


r
2.1) Definición de campo eléctrico, E
r
El vector E describe las propiedades eléctricas del espacio {medio}.

r q0 r
Fe
r
E
r Fe P P
E= →
q0
q q

Donde:

q0 : Carga de prueba , q0 → +
q0 → 0

Campo eléctrico: Discusión…

“Las interacciones del campo no son instantáneas”
“La carga q modifica el medio que la rodea (campo)”

r
E



Ecuaciones de E
i) q

r r
kqq0 ( r − r ′ )
r r3 r
rq r − r′ kqr r r q P
E ( rr ) = = r 3 , si r ′ ≡ 0 r
q0 r r
E (qrr )
r′
r
r

En general :
r r
r r kq ( r − r ′ )
Eq ( r ) = r r 3
r − r′

ii) Distribuciones Discretas, DD

qi

qi P

r
E (qrr )
i

r r
ri = r ' r
r

r r
r DD r i =n r
r
E ( r ) = ∑ E qi ( r ) ≡ ∑ r r 3 i ( i)
i = n kq r − r

i =1 i =1 r − ri

iii) Distribuciones continuas:
continuas:

j) Volumétrica



r r
rρ k ρ dv′ ( r − r ′ )
E ( rr ) = ∫ r r 3 , v : representa el volumen
ρ r − r′

jj) Superficial

r r
rσ kσ da′ ( r − r ′ )
E ( rr ) = ∫ r r 3 , a o s : representa el área
σ r − r′

jjj) Lineal

r r
rλ k λ dl ′ ( r − r ′ )
E ( rr ) = ∫ r r 3 , l : representa la longitud
λ r − r′

“Las distribuciones de carga crean el campo”

Observaciones

r
j) u E ≡ N
  C

r
r Fe
jj) E = : definición operacional
q0

r r r
Fe = q0 E , Fe : Fuerza " sentida " por q0 .
r
E : creado por cierta distribución de
jjj)
cargas en la posición de q0 .
r
jv) El E es usado intensivamente en las ecuaciones.



2.2) Lineas de fuerza, LF

ρ( rr ) r r r
P rρ k ρ ( r ) dv′ ( r − r ′ )
E ( rr ) = ∫ r r3
ρ r − r′
r
r′
r
∀ρ , E se obtiene por definicion
r
r

→ LEY DE GAUSS: ρ de alta simetría .
r
→ Útil sólo para ρ de alta simetría: E “fácil” de calcular.
→ LF / LF=simetría ρ .

Definición de lineas de fuerza
r r
Son las trayectorias descritas por las q0 debido a la Fe ≡ qE ( ) generada por
cierta ρ .
r
Fe
r
ρ ( r ') q0

LF

“La forma de las LF esta ligada a cómo se distribuye la q”



LF para diversas distribuciones de carga

i) ρ ≡ q

r
Fe

q0 ii)
q

q
g|q|

ρ : q1 − q2 g+-
gd


Caso especial:

 q1 ≡ q2 ≡ q

q1 → +

q2 → −
d → " pequeña "




Dipolo eléctrico:
Modelo más simple para describir
sistemas cargados (cuando d se
aprox. a 0)

d

q -q

iii) ρ ≡ λ

O
λ

λ

iv) ρ ≡ σ

σ σ

O

v) ρ ≡ ρ 0 ∨ ρ ( r )



Q = ∫ ρ dv
Q

Características
r q0 r
j) E tg LF E

jj)
ρ+ ρ−

jjj) No se cruzan

jv) Distribución de LF:

k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad.

kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.

¿? Prepare maquetas de LFs

2.3) Ley de Gauss



Establece la proporcionalidad entre el flujo eléctrico a través de cierta superficie
cerrada, llamada gausiana y la carga eléctrica encerrada por dicha superficie.

Johann Carl Friedrich
Gauss,
El príncipe de las
matemáticas.

Definición del flujo eléctrico, φE
r

r
Es la cantidad física escalar que informa acerca de cuanto E atraviesa la
superficie.

r r r r
r
E φES ≡ φE ≡ ∫ E.ds ≡ ∫ E.da ,
r

S S
r r
r ds = da : vector de area elemental
da
da
r
r → da ≡ da
S=A da  r
 → da ⊥ da



Ley de Gauss

r r
φ r
E ,SG ∫E
= Ñ .da α
SG
qNE

r r q
SG Ñ∫
SG
E.da ≡ NE
ε0

qNE ≡ ∫ ρ dV
SG

Para simplificar los cálculos ver que:
r r r
E ⋅ da ≡ E da cosθ

r r r r
1º θ ≡ 0 ∨ π → E ⋅ da ≡ ± E da

{ }
r r r r r
2º E ≡ cte → E ⋅ da ≡ E da E sale dela ∫

*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada}

¿? Investigue por lo menos una biografía del Príncipe de las Matemáticas.

¿? Que otros flujos se usan en la Física.

¿? Será posible matematizar las LF



Ejemplo

Z λ

dl = dz
dq = λ dz
r
r′ r Y
E
r
r
X

r
1º Por la definición de E

r r
rλ k λ dl ′ ( r − r ′ ) r ˆ
r = rj ( r − r ′ ) ≡ ( rj − zkˆ ) → r − r ′ ≡
r r ˆ r r
r 2 + z2
E ( rr ) = ∫ r r3
λ r − r′ r ˆ
r ′ = zk

r r
Eλ ( r ) =
∞ ˆ (
ˆ
k λ dz rj − zk ) =E ˆ
∫ ˆ + Ez k
j
{r }
y
2 32
−∞
2
+z

∞
dz
Ey = kλr ∫ = ¿?
−∞ {r 2
+z }
2 32

∞
zdz
Ez = − k λ ∫ → 0, por simetria
{r }
32
−∞
2
+z 2



2º λ → alta simetría → Gauss

λ λ

r r
r
r
da r
E
H H
r
E

O

SG=SCL+STS+STI



r r qNE
∫
ÑE ⋅ da ≡
SG
∫
SCL
+ ∫
STS
+ ∫
STI
=
ε0
6 8
7 678
r r r r
da || E da ⊥ E

r q r
= ∫
SCL
E da + 0 + 0 = NE , SG : E = cte
ε0

r  r λH
= E  ∫ da  = E { 2π rH } =
 SCL  ε0

r λ
→ E =
2π rε 0

S1P22)
a) Localice en la figura los puntos donde el campo eléctrico es cero.
b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las líneas de fuerza del campo
resultante.
c) Haga un gráfico cualitativo de E vs. x, dónde E se evalúe en puntos del eje
X.

Solución:

Q q- q+ E- P E+ S
x
d1 0 d0 d x

k q+ k q− 2q 5q
E+ ≡ E− → ≡ → ≡
d2 { d0 + d }
2
a) Para el punto S: d2 1 
2

 + d
2 
1 
2  + d + d 2  ≡ 5d 2
4 



 1
2 ± 4 − 4 × 3×  − 
1  2 2 + 10
3d 2 − 2d − ≡ 0 → d1,2 ≡ → d1 ≡ ≡ 0,9
2 2×3 6
Igual en Q:

E+ ≡
( )
k 2q
≡ E− ≡
( ) → 2d
k 5q 2
≡ 5d12 + 5d1 +
5
2 1
 1 d12 4
d1 + 
 2

5
−5 ± 25 − 4 × 3 ×
5 4 −5 ± 10
3d12 + 5d1 + ≡ 0 → d11,2 ≡ ≡ ≡ −0,3; −1,4
4 2×3 6
b)

- + x

c) Para el punto S:
 
r k { +2q} ˆ k { −5q} ˆ  
 2 5 ˆ ˆ
ET ≡ 2
i+ 2
i ≡ kq  2
− 2  i ≡ ET i
 1 x  x − 1  x 
x −    
 2  2 

 
 
 2 5 1
ET ≡ kq  2
− 2  ← x > ,L hay que especificar para cada región
 x − 1  x  2

 2
 




E-
y ET

E+

0,9
0 0,5 x

E+ E+

S1P7) En la distribución mostrada ρ0 es
constante y q0 es una carga puntual.
R0 ρ0 centro de la circunferencia
Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0. q0

R0/2

d

Solución:

0 0’ q
r
R0/2 d
R0
ρ0

Por superposición:



Q Q’

0 0’
+ ≡ r
-ρ0

ρ0

r r r  kQ
 kQ ' 
ˆ
Eq0 ≡ EQq0 + EQ ' q0 ≡  2 + i ;

 d ( d − R0 / 2 ) 


3
4 3 4 R  Q
Q ≡ ρ 0 π R0 , Q ' ≡ − ρ0 π  0  ≡ −
3 3 2 8

 
 
r 4π 3  1 1 ˆ ˆ
Eq0 ≡ k ρ 0 R0  2 − 2
i ≡ Eq0 i
3  d  R 
8 d − 0  

  2  

R0
Si d >> R0 → << 1{despreciando los cuadrados}
d
−2 −2
1 1  R   R   R 
→ 2
≡ 2 1 − 0  → 1 − 0  = 1 + 0 
 R  d  2d   2d   d 
d 2 1 − 0 
 2d 

Usando la aproximación del Binomio de Newton:

(1 − x) n ≈ 1 − nx cuando x << 1



4 π R0  ( 1 + R0 / d ) 
3
→ Eq0 = k ρ0 2 
1− 
3 d  8
144 244  3

4 R0  1  R0  
3
Eq0 = π k ρ0 2 1 − 1 +  
3 d  8 d 

3
1 R0  R 
Eq0 = π k ρ0 2 7 − 0 
6 d  d 
¿? Encuentre este resultado usando la definición. Analice la expresión
integral.

Ahora, usando

r r r 1 3
R0  R ˆ
F ≡ q0 E Fq0 = π q0 k ρ0 2 7 − 0  i
6 d  d 

S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal
λ(φ)= λ0 cosφ, donde λ0 es una constante positiva y φ el ángulo
azimutal, ¿Cuál es el modulo del vector campo eléctrico?
Z a) En el centro del anillo
P b) En su eje a una distancia
z≡d d de su centro. Analice la
expresión obtenida para
d >> R.
λ
r r
0 y r k λ (φ )dl ( r − r ')
φ R a) E ( 0) ≡ ∫ r r 3
λ r −r'
x dq
r r r
r ≡ 0, r ' ≡ R cos φ i + Rsenφ ˆ
ˆ j
r
→ ( r − r ') ≡ − R cos φ i − Rsenφ ˆ
ˆ j
r r 3
r − r 1 ≡ R 3 ; dl ≡ Rdφ



r −k λ0  2π  2
 ˆ 1

E λ ( 0) ≡  ∫0  { cos φ dφ i + sen 2φ dφ ˆ  
j
R    2{ 

1
( 1 + cos 2φ )
2
r −k λ0π ˆ r kλ π
E λ ( 0) ≡ i → E λ ( 0) ≡ 0
R R

r ˆ r
b) r ≡ zk , r ' ≡ R cos φ i + Rsenφ ˆ
ˆ j
r r
→ ( r − r ' ) ≡ − R cos φ i − Rsenφ ˆ + zk
ˆ j ˆ

r r 3
{ }
3/ 2
r − r ' ≡ R2 + z 2 ; dq ≡ λ R dφ

r −k λ0 R 2  2π  2
 
→ Eλ ( z ) ≡ ˆ 1 sen 2 z ˆ 
3/ 2  ∫0  {
cos φ dφ i + { φ dφ ˆ − cos φ dφ k  
j
 
{ R +z
2 2
}
 
 2 R{ 
rλ − k λ0π R 2 ˆ rλ k λ0π R 2
E ( z) ≡ i → E ( z) ≡ ,
{ } { }
3/ 2 3/ 2
R +z
2 2
R +z
2 2

rλ k λ0 R 2π
lim E ( z ) ≡
z >> R z3

S1P47) Determine el campo eléctrico de un disco de radio R con densidad
superficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.

Solución:

z A) Usando coordenadas
r
r polares (≡
coordenadas
σ cilíndricas en el plano)
rr y
r' y

x


da=(rdθ)dr
dr
dθ r
x
θ

r r
r r kdq ( r − r ') r
E ( r ) ≡ ∫ r r 3 ≡ kσ I
σ r −r'

dq = σ da = σ ( rdθ dr )
r
r ≡ ( 0,0, z )
r
r ' ≡ ( r cosθ , rsenθ ,0 )

r k ( σ rdθ dr ) ( −r cosθ , − rsenθ , z )
I ≡∫
( )
s 3/ 2
r2 + z2

 R 2π
≡ ∫ ∫
( −r cosθ , −rsenθ , z ) rdθ dr 

 0 0
( 
)
3/ 2
r2 + z2
 
2π 2π
∫0
cosθ dθ =0
∫
0
senθ dθ =0 (por evaluarse en sus periodos)

r 2π R rzdrdθ ˆ
I ≡∫ ∫ k
(r )
0 0 3/ 2
2
+ z2



 
≡
 { ∫ dθ } ∫ (
0
2π

0
R zrdr
r2 + z2 )
3/ 2
k

ˆ
 

 
rdr
≡ ( 2π ) z ∫
R
kˆ

( ) 
0 3/ 2
r2 + z2
 

r z
 z ˆ

E ( z ) ≡ kσ ( 2π )  − k
z
 R2 + z 2 

¿? Encuentre este resultado usando la definición con un elemento de área
cartesiano. Analice la expresión integral.
¿? Qué ocurre si R → ∞

R→∞
r z ˆ  kσ ( 2π ) k

ˆ
E ( z ) ≡ kσ ( 2π ) k ≡ 
z − kσ ( 2π ) k

ˆ

r 1 σ
E ( z ) ≡ k ( 2π ) σ ≡ ( 2π ) σ ≡  : El E de un plano!
4πε 0  2ε 0
(verifíquelo usando LG)

B) Usando anillos de λ=σdr

z
r
r
σ
rr y
r'

x



r ˆ r
b) r ≡ zk , r ' ≡ r cos φ i + rsenφ ˆ
ˆ j
r r
→ ( r − r ') ≡ −r cos φ i − rsenφ ˆ + zk
ˆ j ˆ

r r 3
{ }
3/ 2
r − r ' ≡ r2 + z2 ; dq ≡ λ rdφ

r kσ rdr  2π 
 
→ dE λ ( z ) ≡ ˆ − rsenφ dφ ˆ + zdφ k  
ˆ 
3/ 2  ∫0  124
 −r cos φ dφ i { j
{ r +z
2 2
}
 

4 3 

R
rλ kσ (2π ) zrdr ˆ rσ kσ (2π ) zrdr ˆ
dE ( z ) ≡ k → E ( z) ≡ ∫ k
{ } { }
3/ 2 2 3/ 2
r +z
2 2
0 r + z
2

r z
 z ˆ

E ( z ) ≡ kσ ( 2π )  − k

 z R +z 
2 2



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