1. Espacio métrico
2º Bachillerato

3. Ángulo entre dos rectas
Definición: Es el menor de los ángulos que forman sus vectores direccionales.
∧ ∧ ∧ ∧
→ → → →
cos (r , s) = cos ( ur , us ) cos (r , s) = – cos ( ur , us )
∧ ∧. → →
→ → | ur us |
cos (r , s) = | cos ( u , v ) | =
→ →
| ur |.| us |

4. Ángulo entre dos rectas: expresión analítica.
Condiciones de perpendicularidad y paralelismo
x − x1 y − y1 z − z1 x − x 2 y − y2 z − z 2
Sean r: = = y s: = = dos rectas
a b c a' b' c'
cualesquiera. Entonces:
∧ |aa' + bb' + cc'|
cos (r , s) =
a2 + b2 + c2 a'2 + b'2 + c'2
Condición de perpendicularidad
 
r ⊥ s ⇔ u r · u s = 0 ⇔ a a' + b b' + c c' = 0
Condición de paralelismo
a b c
r // s ⇔u r proporc. u s ⇔ = =
a ' b' c '

5. Ángulo entre dos planos
Definición: El ángulo de dos planos secantes a y b es el menor de los ángulos diedros
que determinan. Su medida coincide con el ángulo rectilíneo formado por dos rectas
perpendiculares a la arista en un punto cualquiera.
∧ ∧ ∧ ∧
,β
) → ,→
cos (α= cos ( nαβ
n ) cos (α – cos (→
,β
)= ,→
nαβ
n )
∧ ∧ → →
. nβ
→ | nα |
→
cos (α | cos ( nαβ=
,β
)= ,n )|
→ →
. | nβ
| nα |
|

6. Ángulo de dos planos: expresión analítica.
Condiciones de perpendicularidad
Si a y b son dos planos cualesquiera a: Ax + By + Cz + D = 0 y
b: A'x + B'y + C'z + D' = 0. Entonces:
∧ |AA' + BB' + CC'|
cos (α , β) =
A2 + B2 + C2 A'2 + B'2 + C'2
Condiciones de perpendicularidad
→ →
α ⊥ β ⇔ nα . nβ = 0 ⇔ A A' + B B' + C C' = 0

7. Ángulo entre recta y plano
Definición: El ángulo de una recta r y un plano a es igual al ángulo que forma la
recta r con la proyección ortogonal, r', de r sobre a.
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
sen (r , α (→
) = cos ur , →
nα
) →) = | cos (→) |
→
sen (r , α cos (– ur , nα
)= ur , →
nα
∧ ∧ → →
→ → | ur . nα |
sen (r , α) = | cos ( ur , nα ) | =
→ →
| ur | . | nα |

8. Ángulo entre recta y plano: expresión analítica.
Condiciones de perpendicularidad y paralelismo
x – x1 y – y1 z – z1
Sean r: a = b = c y α: Ax + By + Cz + D = 0. Entonces:
∧ |aA + bB + cC|
cos (r , α) =
a2 + b2 + c2 A2 + B2 + C2
Condiciones de perpendicularidad
→ a b c
→
r ⊥ ur || nα
α⇔⇔ C = =
A B
Condiciones de paralelismo
→ →
r || α r . nα0 ⇔ + cC = 0
⇔=
u a A + bB

9. Proyección ortogonal
1 Punto sobre plano 2 Recta sobre plano
P pertenece π r incluida π
P no pertenece π r no incluida π

10. Distancia entre dos puntos
A(x1, y1, z1) • B(x2, y2, z2)
•
→ → →
→ a + AB = b
a →
b → → →
AB = b – a
→
AB = (x2 – x1 , y2 – y1, z2 – z1)
→
d (A, B) = |AB| = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

11. Distancia entre punto y plano
Dado P (un punto) y α (un plano), se define la distancia punto-plano, d(P, α), como la
longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el plano.
Según la definición anterior: d(P, α) = d(P, Q)
→→ →
Aα= Aα + QP
P Q
→ → → → → →
ΑαP • nα = AαQ • nα + QP • nα
=0
→ →
→ • nα| |Ax1 + By1 + Cz1 + D|
|AαP
d (P, α Q) = |QP| =
) = d(P, =
→ A2 + B2 + C2
| nα|

12. Distancia entre dos planos paralelos
La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto
cualquiera de un plano al otro plano.
d(α, β) = d(Pα, β) = d(Pβ, α)

13. Distancia entre punto y recta
Dado P (un punto) y r (una recta), se define la distancia punto recta, d(P, r), como la
longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de Q sobre la
recta.
(x1, y1, z1)
Según la definición anterior: d(P, r) = d(P, Q)
→ → →
ArP = ArQ + QP
(xo, yo, zo)
→ →→ → →→
Α
rP x ur = ArQ x ur + QP x ur
→
=0
(a, b, c)
→ →
→ x ur |
|ArP |(x1 – xo, y1 – yo, z1 – zo) x (a, b, c)|
d (P, r) = d(P, Q) = |QP| = =
→ |(a, b, c)|
| ur |

14. Distancia entre dos rectas paralelas
La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto
cualquiera de una de ellas a la otra.
s
d(r, s) = d(Pr, s) = d(Qs, r)

15. Distancia entre dos rectas que se cruzan
La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la
existente entre el plano paralelo a r que pasa por s y
el plano paralelo a s que pasa por r.
Partiendo de la figura
• d(r, s) = d(As, α)=d(Ar, β)
→→
|Aα •nα
P |
• Como sabemos que d (P, α=
)
→
| nα
|
→ → →
• Tomamos Aα r ; P = As ; nα r x us
=A =u
Y nos quedará:
→ → → → → →
| ArAs . ( ur x us ) | | det (ArAs, ur , us ) |
d (r, s) = d(As, α
)| = =
→ →→ →
| ur x us | | ur x us |
Esto nos da la altura del paralelepípedo (volumen/ área)

16. Perpendicular común (I)
La perpendicular común a dos rectas no paralelas es la recta que corta
ortogonalmente a cada una de ellas.
p →
us • La recta p, perpendicular
común, queda determinada por
As → → el corte de los planos α y β.
β ur x us
s •
r • Se observa que
α
• α (Αr, →,→ x→s)
ur ur u
Ar →
ur →→ →
β (Αs, us, ur x us)
A X,→ ) = 0
→ → →
 r ur , ur x us
det(
Por lo tanto p: 
AsX,→ ) = 0

det(
→ → →
us , ur x us

17. Perpendicular común (II)
p La distancia entre las dos rectas, viene dada por la
us distancia entre los puntos Pr y Ps situados uno
Ps sobre dada una de las rectas y en la perpendicular
común
s
El punto Pr tendrá por coordenadas genéricas las
correspondientes a las ecuaciones paramétricas
Pr vr r
de la recta: Pr = (x1 + t u1, y1 + t u2, z1 + t u3)
Análogamente las coordenadas del punto de s serán: Ps = (x2 + t v1, y2 +t v2, z2 + t v3)
  

 r Ps ·u r =0
P
El vector PrP2 es ortogonal a los vectores u y v, luego   
 r Ps ·u s =0
P
Se obtiene así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y s que permiten
conocer los puntos y luego su distancia.
A partir de ellos se puede escribir la ecuación de la perpendicular común.

18. Áreas de paralelogramos y triángulos
Paralelogramos
→ →
S(ABCD) = | AB x AC |
Triángulos
1 → →
S(ABC) = |AB x AC|
2

19. Volumen de paralelepípedos y tetraedros
Paralelepípedo
→ → →
V = |det (AB, AC, AD)|
Tetraedro
Por ser una pirámide: V = (1/3) · base · altura
→ →
1 |AB x AC|
Base = S(ABC) =
2
→ → →
Altura = h = |AD| cos(AD, h) Por tanto:
→ → → → → →
1 |AD · (AB x AC)| = 1 |det (AB, AC, AD)|
V=
6 6