1. Cuaderno de Actividades: Física General
2) Vectores
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2. Cuaderno de Actividades: Física General
2) Vectores
r
V
Segdo,
Segmento orientado
1º Gráfica o Geométrica

 2º Analítica
Z
r
V
γ
kˆ β
α ˆj
iˆ Y
X
r
V
α Horizontal
r
Horizontal V
i) Intensidad: Geométricamente relacionada con la longitud del vector.
También se le denomina magnitud, modulo, norma.
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3. Cuaderno de Actividades: Física General
ii) Orientación: Geométricamente relacionada con ángulos, los cuales se
denominaran ángulos directores.
Los vectores están en nuestro entorno…
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4. Cuaderno de Actividades: Física General
¿? Construya su vector.
2.1) Tipos de vectores:
1) Vectores unitarios, ( uˆ ) : Son vectores cuyo modulo es unitario, u =1
ˆ .
j ˆ
u → iˆ , ˆ , k
ˆ
↓ ↓ ↓
X + Y+ Z+
r
2) Vector nulo, ( 0 ) : Son vectores de intensidad nula y orientación arbitraria.
r r r r
Si V ≡0 → V ≡ 0 ≡0
3) Vectores paralelos: Vectores con la misma orientación.
r
V
r
α horizontal W
α horizontal
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5. Cuaderno de Actividades: Física General
4) Vectores antiparalelos: Vectores con orientación contraria.
r
V
α horizontal
α+π
horizontal
r
W
5) Negativo de un vector: Son antiparalelos de la misma intensidad (longitud).
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6. Cuaderno de Actividades: Física General
r r r
V
W ≡ −V
r
W
6) Vectores iguales: Son paralelos de igual intensidad.
r r r
V
V ≡W
r
W
7) Vectores ortogonales: Son vectores que forman ángulo geométrico de 90º.
r rr
V
V ⊥W
r
W
…
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7. Cuaderno de Actividades: Física General
2.2) Operaciones graficas o geométricas con vectores
r r r r r
V ∧W → = +
S V W …¿?
i) Suma o composición de vectores:
γ
r r r
A B D
α β ε
r
C
r r
R≡S
“n” vectores:
Se debe colocar SECUENCIALMENTE el conjunto de vectores (no
importando el vector inicio), de tal forma que el vector suma o resultante se
obtiene uniendo el punto inicial con el punto final de la secuencia.
r r r r r r r r r
n ≡ 4: A, B, C , D ⇒ S ≡ A + B + C + D
r r r r r
S ≡ D +C + B + A
r r r r r (*)
S ≡C + A+B+D
M
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8. Cuaderno de Actividades: Física General
r
S
r r
B D
r
A
σ
α
r
C
El vector S estará definido si,
r
r 1º) S

S √
 2º) σ

¿? Principio de superposición: Muestre, mediante aplicación práctica, que
el resultado de la suma o composición de 4 vectores, no depende del
orden de los sumandos (*). Por ejemplo, sean los vectores A, B, C y D,
r r r
A ≡ 20 cm, α ≡ 30º , B ≡ 25 cm, β ≡180º , C ≡ 30 cm, γ ≡ 250º y
r
D ≡10 cm, α ≡300º . Realizar la suma en hojas milimetradas y comprobar
r
que en todos los casos se obtiene el mismo vector S .
r r r
Caso especial: n=2, S = A +B
r
B
r
S
σ θ
r
A
r
r S

S ¿?
σ

r
B senθ
{ }
r r2 r2 r r 1/ 2
S ≡ A + B + 2 A B cos θ tg σ = r r
A + B cosθ
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9. Cuaderno de Actividades: Física General
r
ii) Multiplicación de un V
por un escalar k: k ∈ ¡
(real)
r r
V W
r r r
W ≡ kV k>O W k<O
r r
.W ≡ O ;k≡ O
r r
0 < k < 1: W < V
r r
. k > O: k ≡1 :W ≡ V
r r
k >1 :W > V
r r
. k ≡ O: W ≡O
r r
−1 < k < 0 : W < V
r r
. k < O: k ≡ −1 :W ≡ V
r r
k < −1 :W > V
r r r
VS A, B →
iii) Producto Escalar de : vectores
r
B
θ
r
B cos θ
r
A
r r r r
Definición: A. B = A B cos θ
Vectores ⇒ Escalares
r r
A ≡ u ⇒ A ≡ u =1
ˆ ˆ
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10. Cuaderno de Actividades: Física General
r r r
A. B ≡ B cosθ
r
Se usa: En la definición de WF
r
F≡
r r r r r
WA →cte ≡ F . ∆ AB
B r ; ∆ AB = rB − rA
r
r r r
iv) Producto Vectorial: A, B ∧P → vectores
r
P
r
B
θ
r
A
r r r
A×B ≡ P
Vectores → Vectores
Regla de la mano derecha
Definición:
r r r
1º ) P ≡ A ×B ≡ A B senθ
r r
(
2º ) RMD : ⊥Ρ A, B )
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11. Cuaderno de Actividades: Física General
S2P3) Determine el valor de P,
r r r r r r r r r
A.B + A × C + B.C A = 40 , B = 50 , C = 30
P= r r r r r r r r r r
A × B + A.C + B × C ( )
S A, B = 37º , S( )
B, C = 53º
Solución: Los vectores A, B y C en el plano, con
r r r r
α ≡S ( A, B ) =37º y β ≡S ( B , C ) =53º
Y Y
r r r
C B B
β α
r
X
α
A X
r r
β C
A
1º 2º
Debemos elegir la opción más sencilla (Principio de Ockham), 1º, a menos
que se diga lo contrario,
r r r r 10
4
A . B = A B cos α ≡ ( 40 ) ( 50 ) cos 37º = 40. 50 . =1600
51
r r r r r r
A × C = A C cos γ ≡ ( 40 ) ( 30 ) sen90º = ( 40 ) ( 30 ) ( 1) = 1200 ; γ ≡ γ A, C ( )
r r 10
3
B.C = ( 50 ) ( 30 ) cos 53º = 50 .30. = 900
5
r r 10 3
A ×B = ( 40 ) ( 50 ) sen37º = 40. 50 . =1200
5
r r
A.C = ( 40 ) ( 30 ) cos 90 º = 0
r r 10
4
B × C = ( 50 ) ( 30 ) sen 53º = 50 .30. = 1200
5
1600 +1200 + 900 37 00 37
→P =
1200 + 0 +1200
=
24 00
=
24
¿? Investigue el Principio de Ockham.
2.2) Operaciones analíticas con vectores
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12. Cuaderno de Actividades: Física General
i) Conceptos Previos
r
j) Componentes de vector ( V )
k) En R2
y
r
V
r r
Vy Vy
x
r
Vx
r r r r
V ≡ Vx + Vy V ≡Vx i +Vy ˆ
ˆ j
r r
. Vx → Componente vectorial de V en x.
r r
. Vy → Componente vectorial de V en y.
kk) En R3
Z
r
Vz
r
V
r
kˆ ˆj Vy
Y
iˆ
r
Vx
X
r r r r
V = Vx +V y +Vz
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13. Cuaderno de Actividades: Física General
r r
. Vx → Componente vectorial de V en X.
r r
. Vy → Componente vectorial de V en Y.
r r
. Vz → Componente vectorial de V en Z.
j ˆ
iˆ, ˆ, k : BASE ORTONORMADA
ˆ ˆ j ˆ K ≡0
i . ˆ ≡i .k ≡ ˆ.k ≡
ˆ j
ˆ j ˆ
i ≡ ˆ ≡ k ≡1
r
V ˆ j ˆ
∴ ≡Vxi +Vy ˆ +Vz k
XYZ = 0XYZ DEXTROGIRO
r
jj) Forma Analítica de V :
r
ˆ j ˆ
V ≡Vx i +Vy ˆ +Vz k
r
 + :→ Vx x+

 r
Vx ,Vy ∧Vz → ¡ 0 :→ 0
r
 − :→ V
 x−
 x
Vx , Vy ∧ Vz → Componentes Escalares de
r
V .
jjj) Ángulos de Vectores:
k) En R2
r r r
y V ≡ V cos θ i + V s enθ ˆ
ˆ j
1 24
4 3 124
4 3
r Vx Vÿ
V
uˆvr
θ
x
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14. Cuaderno de Actividades: Física General
r r  
 ˆ + s enθ j 
V ≡V cos θ i 244 ˆ 
14 4 3

 ˆr
uV 

r
r r V
V ≡ V uV ∴ uV
ˆ r ˆ r ≡ r
V
kk) En R3
z
r
V
γ
α β
Y
x
r r r r
ˆ j ˆ
V ≡ V cos α i + V cos β ˆ + V cos γ k
1 24
4 3 1 24 4 3 124
4 3
1 Vxr 3 1 V24 1 Vzr 3
4 24 4yr 3 4 24
Vx Vy Vz
r

ˆ + cos β ˆ + cos γ k 
≡ V cos α i j ˆ
1444 24444
4 3

 ˆr
uV 

Vx Vy V
cos α = r cos β = r cos γ = rz
V V V
r r
jv) V: ˆ j ˆ
V ≡Vxi +Vy ˆ +Vz k
r
V = Vx2 +Vy2 +Vz2
r r
ˆ ( +2 ) +( − ) +( + )
2 2 2
Ejemplo: V ≡ 2i −3 ˆ + 4k ⇒V =
ˆ j 3 4 ≡ 29 =5,38
L
Propiedad: cos2α + cos2β+ cos2γ = 1
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15. Cuaderno de Actividades: Física General
¿? Construya su sistema coordenado.
ii) Operaciones
r r r r
j) A +B ≡R ≡S
r
A ≡ Ax i + Ay i + Az ˆ
ˆ ˆ j r r
r → A + B ≡ ( Ax + Bx ) i + ( Ay + By ) ˆ + ( Az + Bz ) k
ˆ j ˆ
ˆ j ˆ
B ≡ Bx i + By ˆ + Bz k
r r
jj) W ≡ kV
{ }
r
W ≡k Vxi +Vyj +Vzk ≡( kVx ) i +( kVy ) ˆ +( kVz ) k
ˆ ˆ ˆ ˆ j ˆ
rr
jjj) A. B
r r
A.B ≡AxBx +AyBy +AzBz
r r r r
A.B ≡ A B cosθ
 r r 
 A.B 
θ ≡ ArcCos  r r ≡ µA .µB 
ˆr ˆr
 A B 
 
jv)
r r
A× B
r r  Ax Ay Az 
÷≡{ Ay Bz − B y Az } i −{ Ax Bz − Bx Az } ˆ +{ Ax B y − Bx Ay } k
A ×B ≡  ˆ j ˆ
 Bx By Bz 
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