Este documento trata sobre los conceptos básicos de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos considerada como un objeto en sí mismo. Explica conceptos como el conjunto universal, diagramas de Venn, subconjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia. También cubre leyes algebraicas de conjuntos y el producto cartesiano de dos conjuntos.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO ESCUELAS DE INGENIERIAS CATEDRA ESTRUCTURA DISCRETA I CONJUNTOS REALIZADO POR ARENAS WILLENNYS

2. Conjuntos Definición un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosas: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto Conjunto Universal El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

3. Conjuntos Diagrama de Venn Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas. Formas de determinar un Conjunto Comprensión Cuando están dados como dominio proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que cumplen una condición dada Extensión Cuando todos los elementos son enumerados uno a uno

4. Subconjuntos Definición Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 } En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también. Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë . Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos. Relación de Inclusión Es una relación conjunto - conjunto. Se dice que un conjunto A está incluido en otro B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B.

5. Subconjuntos Propiedades REFLEXIVA Todo conjunto es subconjunto de si mismo. ANTISIMETRICA Si dados dos conjuntos A y B se verifica A B, entonces se deduce que B A. TRANSITIVA. Dados tres conjuntos A, B y C, si se verifica Conjuntos Vacios Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ . Por ejemplo: Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B. A Ç B= { } El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como: A Ç B=Æ

6. Operaciones con Conjuntos Unión La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por: A È B = { x/x Î A ó x Î B } Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 } A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 } Intersección Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 } Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así: A Ç B = { x/x Î A y x Î B } Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

7. Operaciones con Conjuntos Intersección En el siguiente ejemplo se muestra un gráfico de dos conjuntos que tienen elementos en común: Todos los elementos de A están contenidos en B

8. Operaciones con Conjuntos Complemento El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como: A'={ x Î U/x y x Ï A } Diferencia Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como: A - B={ x/x Î A ; X Ï B }

9. Operaciones con Conjuntos Diferencia Mediante el diagrama de Vann

10. Algebra de los Conjuntos Leyes de Idempotencia A U A = A I A = A A Leyes Asociativas A U (BUC) = (AUB) U C A I (BIC) = (AIB) I C Leyes Conmutativas A U B = B U A A I B = B I A Leyes Distributivas A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I (B U C) = (A I B) U (A I C) A Leyes de Identidad A U f = A I f = f A Leyes de Dominación A U U = U U: conjunto universal A I U = A Leyes de Complementación A U C(A) = U A I C(A) = f ff) = U C (C(A)) = A C (U) = C ( Leyes de De Morgan C(A U B) = C(A) I C (B) I B) = C(A) U C (B) C(A

11. Producto cartesiano Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B} Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8} entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)} mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)} Nótese que Ax B ¹ Bx A Teorema. Si A,B,C son tres conjuntos entonces: A x B = F Û A = F Ú B = F A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C) Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C) Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)