Relaciones entre conjuntos Pertenencia, Inclusión, Igualdad Operaciones entre conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia, Complemento.

3. Esencialmente los conjuntos se nombran con letras mayúsculas (A,
B, C, …. X, Y, Z).
Los elementos con letras minúsculas (a, b, c, …. x, y, z),
encerrados entre llaves y se relacionan a través del signo igual.
Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A se escribe x ϵ A.
Si no pertenece x al conjunto A se escribe x ∉ A.

5. Para representar un conjunto se utilizan los signos { } (llaves); y se
pueden utilizar dos maneras para expresar un conjunto:
 Por extensión, enumerando todos y cada uno de los elementos
que forman parte de él; por ejemplo:
 Por comprensión, nombrando la propiedad común a todos los
elementos ; por ejemplo: como M es el conjunto formado por
todos los múltiplos de 4 menores que 30, se escribe;


7. 1. Determinar por extensión cada conjunto
a)
Los números pares menores que 11 son: 0, 2, 4, 6, 8, 10. Por tanto.
b)
Las letras de la palabra aroma son a, m, o, r. Por tanto.

8. 2. Determinar por comprensión cada conjunto
La característica común de los elementos del
conjunto D es que son divisores de 12, por tanto:
La característica común de los elementos del conjunto
C es que son aves de corral, por tanto:

10. Un conjunto se puede representar gráficamente en un diagrama
conocido como diagrama de Venn; en el caso de los conjuntos
numéricos también se pueden representar mediante un
diagrama Lineal.
Por ejemplo el conjunto M = {0, 1, 2, 3, 4} se puede representar
así:
.0 .3
.2
.1 .4
M
0 1 2 3 4
Diagrama de Venn
Diagrama Lineal

12. Es el conjunto que sirve como referencia para
para otros conjuntos con características
comunes. Se simboliza con la letra
Es un conjunto formado por un solo elemento
Es un conjunto que carece de elementos. Se simboliza con la
letra griega 𝝓 que se lee "fi", o con un par de llaves sin
elementos en su interior {}.

13. Es un conjunto que esta formado por un numero determinado
de elementos que se pueden contar
Es un conjunto que esta formado por un numero
indeterminado de elementos, por lo tanto, no se pueden
contar.

15. 1. Representar el conjunto C= {0, 5, 10, 15, 20}
en un diagrama de Venn y en un diagrama lineal.
.0 .5
.10
.15 .20
C
0 5 10 15 20
Diagrama de Venn
Diagrama Lineal

16. 2. Determine el conjunto universal por comprensión, que
sirve como referencia a los conjuntos representados en
el siguiente diagrama.
U
V C
V= {x/x es un vocal}
C= {x/x es una consonante}
Por tanto, el conjunto universal corresponde a:
U= {x/x es una letra del abecedario}

17. 2. Determinar por extensión cada conjunto y hallar el
número de elementos. Luego, clasificarlo.
a) R= {x/x ϵ N, x > 100}
R= {101, 102, 103, 104, . . . }
Como existen infinitos números mayores que 100,
entonces, el conjunto es infinito.

18. b) O = {x/x es un mamífero, venenoso y pone huevos}
O = {Ornitorrinco}
Porque el ornitorrinco es el único mamífero que es
venenoso y se reproduce por huevos. El conjunto O tiene
un elemento. Por tanto, el conjunto O es unitario

20. La relación que se establece entre un elemento y un conjunto se
conoce con el nombre de relación de pertenencia, la cual
permite establecer, si un elemento pertenece o no al conjunto.
Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A se escribe x ϵ A.
Si no pertenece x al conjunto A se escribe x ∉ A.

21. Dados dos conjunto A y B, entre ellos se
pueden presentar las siguientes relaciones.
Un conjunto A esta incluido en B o es
subconjunto B, si y solo si, todos los
elementos de A son elementos de B y
se simboliza A ⊂ B.
Es decir,A ⊂B ⟺ ∀x, x ∈A ⇒ x ∈ B
B
A

22. Dos conjuntos A y B o son iguales, si y solo si,
todos los elementos de A son elementos de B
y todos los elementos de B son elementos de
A.
La igualdad entre dos conjuntos se
simboliza,A=B, y se lee “A es igual a B”
BA

23. A B
Dos conjunto A y B son
Intersecantes cuando tienen
elementos comunes, pero A B y B
A.
Es decir, a no esta contenido en B y
B no esta contenido en A

24. A B
Dos conjuntos A y B son disyuntos cuando no
tienen ningún elementos en común.

26. • La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado
por los elementos que pertenecen a A, a B o ambos.
• La unión de dos conjuntos A y B se simboliza A U B y se
determina por compresión así,
• A U B = {x / x ∈ A ∨ x∈ B}

27. Para representar gráficamente la unión entre dos conjuntos A y B
se dibujan los conjuntos de acuerdo con la relación que hay entre
ellos, y se sombrea con lineas la región de la grafica donde se
encuentran ubicados los elementos de A o de B, como se indica a
continuación.
Cuando los conjuntos
tienen elementos
comunes.
A y B son Intersecantes
A B
B ∪ A
Cuando los conjuntos
no tienen elementos
comunes.
A y B son disyuntos
A B
B ∪ A
Cuando los conjuntos
de B son elementos
de A.
B ∪ A
A es subconjunto de B
B
A

28. Ejemplo
Sean los conjuntos La representación grafica de A U B
A B

29. 3.1.1. PROPIEDADES DE LA UNIÓN ENTRE
CONJUNTOS
 En la unión de dos conjuntos se cumplen las siguientes
propiedades
 A ∪ B = B ∪ A. La unión es conmutativa
 (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). La unión es asociativa
 A ∪ Ø = A. Para todo A.
 A ∪U= U. Para todo A.

30. 1) Representar gráficamente la unión de los conjuntos que se
indican en cada caso.
EJEMPLOS
 Primero se determina por extensión cada conjunto
 SOLUCIÓN R = {15, 16, 17, 18, 19, 20}
 S = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Como R C S, se tiene que:
R U S = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

31. Por tanto, la grafica es:

32. b) T = {x/x es un divisor de 15}
V = {x/x es un múltiplo de 8 menor que 20}
 Primero se determina por extensión cada conjunto
 SOLUCIÓN
 T = {1, 3, 5, 15}
 V = {8, 16}
Dado que: T y V, no tienen elementos en
común; los conjuntos son disyuntos.

33.  Por tanto, T U V = {1, 3, 5, 8, 15, 16}
 De donde, Su representación gráfica será:
T V

34. 3.2 INTERSECCIÓN ENTRE
CONJUNTOS
• La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto formado por los elementos comunes de A
y B .
• La intersección entre A y B se simboliza y se
determina por compresión así,

35. Para representar gráficamente la intersección entre dos
conjuntos A y B se dibujan los conjuntos de acuerdo con la
relación que hay entre ellos, y se hacen con líneas sobre la
región de la grafica donde se encuentran ubicados los
elementos comunes.
A y B son Intersecantes
A B
B ∩ A
A y B son disyuntos
A B
B ∩ A B ∩ A
A es subconjunto de B
B
A

36. 3.2.1. PROPIEDADES DE LA
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Las propiedades de la intersección
son:

37. 1) Encontrar la intersección entre los siguientes
conjuntos
EJEMPLOS
 Primero se determina por extensión cada
conjunto
 SOLUCIÓN
 M = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}
 N = {0, 2, 4, 6, 8}
1) M = {x/x es un número primo menor que 20}
2) M = {x/x es un número par menor que 10}
 Luego, se forma la con los elementos
comunes, así, = {2}

38. 2) En un restaurante, 12 personas almuerzan plato
principal, 7 personas almuerzan entradas y 5
personas almuerzan plato principal y entradas.
¿Cuántas personas almorzaron solo una opción
en el restaurante?
 Primero se realiza la grafica de dos conjuntos
intersecantes, P, plato principal y E, entradas.
 Para ello, se ubica la información de tal manera que en
se ubiquen los que almuerzan plato principal y entrada.
 Los que solo almuerzan plato principal son 12 – 7 = 5
 Los que solo almuerzan entradas 7 – 5 = 2
 SOLUCIÓN

39.  Luego, la grafica de la situación es:
P E
7 5 2
 Por tanto, 9 personas almuerzan solo una
opción en el restaurante

40. 3.3 COMPLEMENTO DE UN
CONJUNTOS
• El complemento de un conjunto A contenido en
un conjunto universal U, es el conjunto formado
por todos los elementos que están en U. Pero
que no esta en el conjunto A. El complemento del
conjunto A se simboliza:
U
A
 El complemento de un
conjunto A se representa
gráficamente como se
muestra en la figura.

41. 3.3.1 LEYES DE MORGAN
• Las leyes de Morgan son propiedades que
relacionan unión, la intersección y el
complemento de dos conjuntos A y B. estas leyes
son las siguientes.

42. 1.) Verificar que para los siguientes
conjuntos.
EJEMPLOS
Sea:
U = {x/x es un digito nueve menor o igual a nueve }
A = {x/x es un divisor de 8}
B = {x/x es un digito par}

43. SOLUCIÓN
Primero, se determinan por extensión los tres
conjuntos así;
= {0, 3, 5, 6, 7, 9}
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {1, 2, 4, 8}
B = {0, 2, 4, 6, 8}
Segundo, se encuentra y
= {1, 3, 5, 7, 9}
Se escriben los elementos de U que no
pertenecen en A.
Se escriben los elementos de U que no
pertenecen en B.

44. Tercero, se determinan así;
= {3, 5, 7, 9} Se escriben los elementos y
que pertenecen.
Cuarto, se halla así;
= {0, 1, 2, 4, 6, 8}
Se escriben los elementos que
pertenecen a A o a B.

45. Luego, se obtiene
así:
= {3, 5, 7, 9}
Se escriben los elementos de U que no
pertenecen en .
Finalmente, se comparan los dos conjuntos y
Com
o
= {3, 5, 7,
9}
y = {3, 5, 7,
9}
Se obtiene que los dos conjuntos son iguales
Verificándose que

46. ACTIVIDAD
PARA DESARROLLAR EN EL CUADERNO
En un salón de clase hay 20 estudiantes, 12 tienen gafas, 8
tienen cabello negro y 5 tienen gafas y cabello negro.
¿Cuántos estudiantes no tienen gafas ni pelo negro?
 Primero se realiza la grafica de
dos conjuntos intersecantes,
G, Gafas y N, Cabello negro.
 Luego, se obtienen los datos para cada parte
del diagrama así:
 SOLUCIÓN

47. Los que no tienen ni gafas ni cabello negro
corresponden a
De donde = 7 + 5 + 3
= 15
Por tanto, = 20 – (7 + 5 + 3 )= 5
Finalmente, se podrá concluir que del total de 20
estudiantes, 5 no tienen ni gafas ni cabello negro.
 Los que usan solo son 12 – 5 = 7
 Los que solo tienen pelo negro serán 8 – 5 = 3

48. ACTIVIDAD
PARA DESARROLLAR EN EL CUADERNO
Representa en un diagrama de Venn los siguientes
conjuntos
U = {a, b, c, e, i, j, m, n, o, p, s, l}
A = {c, a, j, o, n} B = {m, e, s, a} C = {s, i, l, a}
Luego, realiza las operaciones entre conjuntos
indicadas.
a) b) c) d) e) f)

49. 3.4 DIFERENCIA ENTRE
CONJUNTOS
La diferencia entre los conjuntos A y B, es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen a A y no
pertenecen a B. La diferencia entre A y B se simboliza A-B
y se determina por compresión de la siguiente manera.
𝐴 − 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}

50. La diferencia entre los conjuntos A y B, se representa dibujando los
conjuntos de acuerdo con la relación que hay entre ellos y rayando
la región de la grafica donde se encuentran ubicados los elementos
que están en A y no están en B.
A y B son Intersecantes
A B
B − A
A y B son disyuntos
A B
A − B = A B − A
A es subconjunto de B
B
A

51. EJEMPLOS
Observa la grafica y realiza las siguientes operaciones entre los
conjuntos.
.w
.x
.y
.z
.u
.v .r
.s
.t .p .q
A B
U
a) A - B
Solución
Se escriben los elementos que solo pertenecen
el conjunto A
A – B = {w, x, y}

52. b) B - A
Solución
Se escriben los elementos que solo pertenecen el conjunto B.
B – A = {u, v, r, s}
c) (A – B)C
Solución
Se escriben los elementos que no pertenecen el conjunto A - B.
(A – B)C = {p, q, r, s, t, u, v, s}