Codigos lineales y de bloque

1. TALLER DE TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN Y LA INFORMACIÓN
1. ¿Qué tipos de códigosse conocen?
2. ¿A qué se refiere laequivalenciay automorfismode códigos?
Dos códigosC y D, q-ariosdecimosque sonequivalentessi se puede obtenerunodel otro
a travésde unacombinaciónde operacionesde
lossiguientestipos:
1. Permutaciónde lasposiciones.
2. Permutaciónde lossímbolosde unaposiciónfija.
3. A que se refiere uncódigo lineal.
A un códigobloque de longitudny2k palabrascódigose le llamacódigolineal (n,k) si y
sólosi sus 2k palabrascódigoformanun subespaciok-dimensional.De hecho,uncódigo
binarioeslineal si ysólosi la sumade módulo2 de dospalabrascódigoes tambiénuna
palabracódigo.
4. Que son loscódigos dualesu ortogonales
Dos códigosse dice que sondualescuandola matrizde comprobaciónde paridadH de
unoes la matrizgeneradoradel otro.
Un códigolineal Cse llamaauto ortogonal si C <=~C y se llamaauto dual si laigualdadse
verifica;esdecir,C= ~C
Claramente,paraserautodual,escondiciónnecesariatenerdimensiónn=22
5. Codificacióny decodificaciónde códigoslineales
Para hacer lacodificaciónencódigoslinealesusamosunaaplicaciónlineal que tiene que
serinyectiva;luegoel espaciode laspalabrasde longitudkverificaF^k~=C. Cuandoun
códigoesmuy grande,se apreciacon claridadlanecesidadde codificarydescodificarpor
formula.El procesode codificaciónesengeneral,muchomásfácil que el de
decodificación.Larazónes que enla decodificaciónhemosincluidolacorrecciónde
errores,lomás costoso.
6. Cuálesson los constructorescon códigoslineales.
Pinchado,Extendido,Plotkin

2. 7. A que se refiere la Cota de Hamming, Singletony CódigosMDS
Cota de Hamming: En losdatoscodificadosenHammingse puedendetectarerroresen
un bity corregirlos,sinembargonose distingue entreerroresde dosbitsyde un bit(para
loque se usa Hammingextendido).Estorepresentaunamejorarespectoaloscódigoscon
bitde paridad,que puedendetectarerroresen sólounbit,perono puedencorregirlo.
Cota de SingletonyCódigosMDS:Esta cota es sencillaperomuy´útil yda lugara los
códigosde ReedSolomon,que veremosdespués,yque se usanpara lareproducciónde
losCD. 4.3.1. Teorema.Parad ≤ n se tiene que Aq(n,d) ≤ q n−d+1. Demostración.
Trivialmente,Aq(n,n) =q = q n−n+1 y vamosa hacer descenso.Sead< n.Aq(n,d) ≤ qAq(n
− 1, d) ≤ · · · ≤ q n−d Aq(d, d) = q n−d (q) = q n−d+1. 4.3.2. Observación.Enparticular,para
un [n,k, d]-códigolineal q-ario,k≤ n − d + 1. 4.3.3. Definición.Uncódigoque verificala
igualdadenel teoremaanteriorse conoce comocódigoseparable de distanciamáxima
(maximumdistance separableMDS).La primerapropiedadesobvia,aunquemuy
importante.
8. Investigue sobre lostipos especialesde códigoslineales:Hammingy códigos simples,de
Golayy Reed-Muller
Hamming:El códigode Hammingagrega tresbitsadicionalesde comprobaciónporcada
cuatro bitsde datos del mensaje.El algoritmode Hamming(7.4) puede corregircualquier
error de un solobit,perocuandohay erroresenmás de un bit,la palabratransmitidase
confunde conotra con error enun sólobit,siendocorregida,perode formaincorrecta,es
decirque la palabraque se corrige esotra distintaala original, yel mensaje final será
incorrectosinsaberlo.Parapoderdetectar(aunque sincorregirlos) erroresde dosbits,se
debe añadirunbit más,y el códigose llamaHammingextendido.
Golay:el códigobinariode Golayes untipode códigocorrectorde erroresusadoenlas
comunicacionesdigitales.El códigobinariode Golay,juntoconel códigoterciariode Golay
tiene unaparticularidadyconexióninteresanteconlateoría de losgrupos esporádicos
finitosenmatemáticas.El códigollevael nombre enhonor aMarcel J.E Golay.
Reed-Muller:LoscódigosReed-Mullersonunafamiliade códigoslinealesde correcciónde
erroresutilizadosenlascomunicaciones.Loscódigosde Reed-Mullerpertenecenalas
clasesde códigoslocalmente establesyde códigoslocalmentedecodificables,porloque
son útilesenel diseñode pruebasprobabilísticamente verificablesenlateoríade la
complejidadcomputacional.

3. 9. Investigarlos siguientescódigoscíclicos:
Códigoscíclicosy anillosde polinomios
Cerosde un código cíclicoy matriz de control
Codificacióny decodificaciónencódigoscíclicos.
Codificación: La codificación de un código lineal es bien simple, basta con multiplicar la
matrizgeneradoraG del códigopor el bloque acodificar,estoes:Sea m ∈ Kn q el bloque a
codificary seaG una matrizgeneradorade nuestrocódigoC entoncesel bloque codificado
será mtG. Observamos que dar un código lineal enrealidad no es más que dar una matriz
generatrizGy que el procesode codificaciónde unbloque exigelarealizaciónde nksumas
y productos (k esla dimensióndel código).Encuanto a la codificaciónde un códigocíclico
el proceso es exactamente el mismo, solovaria la forma de la matriz generatriz G que en
este caso es tiene una forma particular.
Decodificación: Varia la forma de corregir el error debido a las particularidades de estos
códigos, pues no va a ser necesaria guardar la tabla completa de síndrome/líder, aunque
nosvamosa verforzadosarealizaralgunaque otraoperaciónmás.Aparte de estolamatriz
H de control posee la forma particular vista con anterioridad.