Prof: Maximiliano Rivera Departamento de Fisica Universidad Técnica Federico Santa María

1. Física General II
Ley de Gauss
(Aplicaciones)
Clase 4
Prof. Maximiliano A. Rivera
Depto de Física, UTFSM
maximiliano.rivera@usm.cl

2. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0

3. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0

4. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0

5. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +

6. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ +
+ +
+
+
R +
+
+
+
+
+
+ +
+ +

7. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ + r
+ +
Tomando una superficie Gaussiana +
+
de radio r > R R +
+
+
+
+
+
+ +
+ +

8. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ + r
+ +
Tomando una superficie Gaussiana +
+
de radio r > R R +
+
+
+
+
+
+ +
+ +

9. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ + r
+ +
Tomando una superficie Gaussiana +
+
de radio r > R R +
+
+
+
+
+
Encerramos una carga Q + +
+ +

10. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ + r
+ +
Tomando una superficie Gaussiana +
+
de radio r > R R +
+
+
+
+
+
Encerramos una carga Q + +
+ +
¿Es el campo fuera de la esfera
igual que el campo producido por
una carga puntual a una distancia
R?

11. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ + r
+ +
Tomando una superficie Gaussiana +
+
de radio r > R R +
+
+
+
+
+
Encerramos una carga Q + +
+ +
¿Es el campo fuera de la esfera
igual que el campo producido por
una carga puntual a una distancia 1 Q
R? ~
E(r) =
4⇡"0 r2

12. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ +
+ +
+
+
R +
+
+
+
+
+
+ +
+ +

13. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ +
+ +
Tomando una superficie Gaussiana +
+ r
de radio r < R R +
+
+
+
+
+
+ +
+ +

14. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ +
+ +
Tomando una superficie Gaussiana +
+ r
de radio r < R R +
+
+
+
+
+
+ +
+ +

15. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ +
+ +
Tomando una superficie Gaussiana +
+ r
de radio r < R R +
+
+
+
+
+
Encerramos una carga Q=0 + +
+ +

16. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ +
+ +
Tomando una superficie Gaussiana +
+ r
de radio r < R R +
+
+
+
+
+
Encerramos una carga Q=0 + +
+ +
¿Implica esto que el campo dentro
del conductor es cero?

17. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ +
+ +
Tomando una superficie Gaussiana +
+ r
de radio r < R R +
+
+
+
+
+
Encerramos una carga Q=0 + +
+ +
¿Implica esto que el campo dentro ~
E(r) = 0
del conductor es cero?

18. Esfera Conductora Cargada
I
⇥ s Qenc Las cargas se distribuyen en la superficie
E = E · d⇥ =
S 0
+ +
+ +
Tomando una superficie Gaussiana +
+ r
de radio r < R R +
+
+
+
+
+
Encerramos una carga Q=0 + +
+ +
¿Implica esto que el campo dentro ~
E(r) = 0
del conductor es cero?
En el interior de un conductor
el campo eléctrico es cero

19. Esfera con cargas adheridas
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0

20. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen

21. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga

22. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
Encuentre la forma del campo eléctrico
tanto fuera como dentro de la esfera

23. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
Encuentre la forma del campo eléctrico
tanto fuera como dentro de la esfera

24. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
+ +
Encuentre la forma del campo eléctrico + ++
+ +
tanto fuera como dentro de la esfera + + + ++
+
+
+ + + +
+ +
+ + +
+
+ +
+ +

25. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
+ +
Encuentre la forma del campo eléctrico + ++
+ +
tanto fuera como dentro de la esfera + + + ++
+
+ R
+ + + +
+ +
+ + +
+
+ +
+ +

26. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
+ +
Encuentre la forma del campo eléctrico + ++
+ +
tanto fuera como dentro de la esfera + + +r ++
+
+ R
+ + + +
+ +
+ + +
para r > R + +
+ +
+

27. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
+ +
Encuentre la forma del campo eléctrico + ++
+ +
tanto fuera como dentro de la esfera + + +r ++
+
+ R
+ + + +
+ +
+ + +
para r > R + +
+ +
+

28. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
+ +
Encuentre la forma del campo eléctrico + ++
+ +
tanto fuera como dentro de la esfera + + +r ++
+
+ R
+ + + +
4 3 + +
+ + +
para r > R Qenc = ⇡R ⇢ + +
3 +
+ +

29. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
+ +
Encuentre la forma del campo eléctrico + ++
+ +
tanto fuera como dentro de la esfera + + +r ++
+
+ R
+ + + +
4 3 + +
+ + +
para r > R Qenc = ⇡R ⇢ + +
3 +
+ +
Fuera de la esfera cargada

30. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
+ +
Encuentre la forma del campo eléctrico + ++
+ +
tanto fuera como dentro de la esfera + + +r ++
+
+ R
+ + + +
4 3 + +
+ + +
para r > R Qenc = ⇡R ⇢ + +
3 +
+ +
3
Fuera de la esfera cargada ~ = ⇢R r
E ˆ
3"0 r 2

31. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
+ + +
+
+ + + +
+ + ++
+
+ + R
+ + +
+ + +
+
+ +
+ +
+ +

32. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
Encuentre la forma del campo eléctrico
tanto fuera como dentro de la esfera + + +
+
+ + + +
+ + ++
+
+ + R
+ + +
+ + +
+
+ +
+ +
+ +

33. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
Encuentre la forma del campo eléctrico
tanto fuera como dentro de la esfera + + +
+
+ + + +
+ r+ + +
+
para r < R + + R
+ + +
+ + +
+
+ +
+ +
+ +

34. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
Encuentre la forma del campo eléctrico
tanto fuera como dentro de la esfera + + +
+
+ + + +
+ r+ + +
+
para r < R en este caso la carga encerrada + + R
+ + +
depende de la distancia a la + + +
+
que se mida el campo eléctrico + +
+ +
+ +

35. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
Encuentre la forma del campo eléctrico
tanto fuera como dentro de la esfera + + +
+
+ + + +
+ r+ + +
+
para r < R en este caso la carga encerrada + + R
+ + +
depende de la distancia a la + + +
+
que se mida el campo eléctrico + +
+ +
+ +
4 3
Qenc (r) = ⇡r ⇢
3

36. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
Encuentre la forma del campo eléctrico
tanto fuera como dentro de la esfera + + +
+
+ + + +
+ r+ + +
+
para r < R en este caso la carga encerrada + + R
+ + +
depende de la distancia a la + + +
+
que se mida el campo eléctrico + +
+ +
+ +
4 3
Qenc (r) = ⇡r ⇢
3
Dentro de la esfera cargada

37. Esfera con cargas adheridas
I Imagine un volumen esférico que en su interior
⇥ s Qenc contiene cargas adheridas a ella, de tal forma que
E = E · d⇥ =
S 0 su densidad es constante en todo el volumen
Sea ⇢ la densidad volumétrica de carga
Encuentre la forma del campo eléctrico
tanto fuera como dentro de la esfera + + +
+
+ + + +
+ r+ + +
+
para r < R en este caso la carga encerrada + + R
+ + +
depende de la distancia a la + + +
+
que se mida el campo eléctrico + +
+ +
+ +
4 3
Qenc (r) = ⇡r ⇢
3
~ ⇢
Dentro de la esfera cargada E= rr
ˆ
3"0

38. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0

39. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0

40. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
+
+ +
+ + + +
+ + +
+
+ + +
+ +

41. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
+
+ +
+ + + +
+ + +
+
+ + +
+ +

42. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
+
+ +
+ + + +
+ + +
+
+ + +
+ +

43. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
Por simetría traslacional , el campo debe ser normal a la
superficie
+
+ +
+ + + +
+ + +
+
+ + +
+ +

44. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
Por simetría traslacional , el campo debe ser normal a la
superficie
+
+ +
+ + + +
+ + +
+
+ + +
+ +

45. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
Por simetría traslacional , el campo debe ser normal a la
superficie
Por simetría de escala, el campo no
+
debe depender de la distancia al plano + +
+ + + +
+ + +
+
+ + +
+ +

46. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
Por simetría traslacional , el campo debe ser normal a la
superficie
Por simetría de escala, el campo no
+
debe depender de la distancia al plano + +
+ + + +
+ + +
+
+ + +
+ +

47. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
Por simetría traslacional , el campo debe ser normal a la
superficie
Por simetría de escala, el campo no A
+
debe depender de la distancia al plano + +
+ + + +
+ + +
+
+ + +
+ +
A

48. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
Por simetría traslacional , el campo debe ser normal a la
superficie
Por simetría de escala, el campo no A
+
debe depender de la distancia al plano + +
+ Qenc + + +
+ + +
+
+ + +
+ +
A

49. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
Por simetría traslacional , el campo debe ser normal a la
superficie
Por simetría de escala, el campo no A
+
debe depender de la distancia al plano + +
+ Qenc + + +
+ + +
+
+ + +
+ +
A
Qenc = A

50. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
Por simetría traslacional , el campo debe ser normal a la
superficie
Por simetría de escala, el campo no A
+
debe depender de la distancia al plano + +
+ Qenc + + +
+ + +
+
+ + +
+ +
A
Qenc = A
I
~ ~
E · dS = E A + E A

51. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
Por simetría traslacional , el campo debe ser normal a la
superficie
Por simetría de escala, el campo no A
+
debe depender de la distancia al plano + +
+ Qenc + + +
+ + +
+
+ + +
+ +
A
Qenc = A
I
~ ~
E · dS = E A + E A
= 2E A

52. Plano conductor cargado
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
Por simetría traslacional , el campo debe ser normal a la
superficie
Por simetría de escala, el campo no A
+
debe depender de la distancia al plano + +
+ Qenc + + +
+ + +
+
+ + +
+ +
A
Qenc = A
I
~ ~
E · dS = E A + E A
= 2E A
~
E= n
ˆ
2"0

53. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
+
-
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-

54. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
+
-
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-

55. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
+
-
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-

56. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
+
-
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-

57. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
+
-
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-

58. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
~
E= n
ˆ
2"0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
+
-
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-

59. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
~
E= n
ˆ
2"0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
~ +
E= n
ˆ
2"0 -
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-

60. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
~
E= n
ˆ
2"0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
~ +
E= n
ˆ
2"0 -
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-
~
E= n
ˆ
2"0

61. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
~
E= n
ˆ
2"0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
~ +
E= n
ˆ
2"0 -
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-
~
E= n
ˆ ~
E= n
ˆ
2"0 2"0

62. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
~
E= n
ˆ ~
2"0 E= n
ˆ
2"0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
~ +
E= n
ˆ
2"0 -
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-
~
E= n
ˆ ~
E= n
ˆ
2"0 2"0

63. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
~
E= n
ˆ ~
2"0 E= n
ˆ
2"0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
~ +
E= n
ˆ ~
E= n
ˆ
2"0 - 2"0
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-
~
E= n
ˆ ~
E= n
ˆ
2"0 2"0

64. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
~
E= n
ˆ ~
E=0 ~
2"0 E= n
ˆ
2"0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
~ +
E= n
ˆ ~
E= n
ˆ
2"0 - 2"0
- -
- - - -
- - -
- - - -
-
-
~
E= n
ˆ ~
E= n
ˆ
2"0 ~
E=0 2"0

65. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
~
E= n
ˆ ~
E=0 ~
2"0 E= n
ˆ
2"0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
~ +
E= n
ˆ ~
E= n
ˆ
2"0 ~
-E = n
ˆ 2"0
- - "0-
- - -
- - -
- - - -
-
-
~
E= n
ˆ ~
E= n
ˆ
2"0 ~
E=0 2"0

66. Planos paralelos cargados
I
⇥ s Qenc
E = E · d⇥ =
S 0
~
E= n
ˆ ~
E=0 ~
2"0 E= n
ˆ
2"0
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+
~ +
E= n
ˆ ~
E= n
ˆ
2"0 ~
-E = n
ˆ 2"0
- - "0-
- - -
- - -
- - - -
-
-
~
E= n
ˆ ~
E= n
ˆ
2"0 ~
E=0 2"0
Muy importante cuando veamos
condensadores de energía