1. estigac
ón
i
Academ
ia Método para linealizar
la salida de un sensor
Des
arrollo
Inv
Ciencia
Rigoberto Quintero RESUMEN Este trabajo es un aporte en el diseño de sistemas
Camacho1 de medición, por cuanto permite calcular el valor de
En este artículo se presenta un método sencillo la resistencia constante, que debe colocarse en para-
para linealizar un sensor. El método consiste en en- lelo con la resistencia variable, de tal manera que la
contrar un valor fijo para una resistencia que se co- salida de un censor resistivo resulte lineal; investiga-
loca en paralelo con la resistencia variable, además ción que nació como un aporte propio en un trabajo
para probar el método se muestra un ejemplo en el como estudiante de la cátedra de Instrumentación,
que se linealiza un termistor (resistencia que varia en la especialización en Bioingeniería.
con los cambios de temperatura), el cual es utilizado
para el diseño de un circuito de medición de voltaje,
en donde se requiere que la salida sea lineal. LINEALIZACIÓN DE UN SENSOR
Palabras clave: Linealizacion, Sensor, Resisten- Supongamos que el sistema (sensor) que se esta
cia de linealizacion, Regresión Lineal diseñando tiene una resistencia variable R(x), la cual
varia no linealmente de acuerdo con una variable
Method for Linealizar the Exit of a Sensor independiente x (por ejemplo la temperatura) que
pertenece al intervalo [a , b], esta situación la repre-
sentamos mediante el circuito de la figura 1, linealizar
ABSTRACT el sistema consiste en establecer una metodología
In this paper a simple method for lining a sensor para diseñar el sistema de tal manera que la salida
is presented. The method consists in finding a sea lineal
fixed value for a resistance put parallel together
with the variable resistance, an example, in which
a termistor is lined, is shown as well, in order to
test the method. This method is used for designing R(x) +
a voltage measuring circuit, where the output is --
required to be lineal.
INTRODUCCIÓN Figura 1. circuito con una resistencia variable
Comprender el funcionamiento de los seres vivos El método consiste en encontrar una resistencia
no solamente desde el punto de vista de la fisiología fija en paralelo, la cual llamaremos resistencia de
si no también desde la ingeniería; este es uno de los linealización RL, esta situación la mostramos en la
principales objetivos de la bioingeniería, por cuanto figura 2
de esta comprensión depende el éxito en la solución
de problemas en el campo de la medicina como: El
transplante de órganos, reconstrucción total o par-
Linealizar un cial de las extremidades, corrección de problemas
sensor consiste de visión entre otros. +
en encontrar el
RL R(x) -
valor de la El diseño de aparatos de medición de alta preci-
resistencia que sión para sensar el comportamiento de los sistemas
debe colocarse vivos, es de suma importancia para el logro de los
objetivos anteriormente expuestos, uno de los re- Figura 2. Circuito en paralelo con una
en paralelo con
quisitos cuando se diseñan estos aparatos de medi- resistencia fija de linelizacion Rl
la resistencia ción es la linealidad de su salida (por ejemplo en un
variable medidor de voltaje que depende de la temperatura, CÁLCULO DE RL
la variación del voltaje por unidad de temperatura
debe ser constante), es así como en este articulo se Supongamos que tomamos n valores de la varia-
1
Miembro Grupo de Investigación
presenta un modelo muy sencillo para linealizar la ble x en el intervalo [a, b], y se toman n valores de la
Informática Educativa (GIIE) de la
Universidad Distrial Francisco salida de un sensor y este método se prueba resistencia R(x) sean dichos valores; (x0, R0), (x1,R1) ,
José de Caldas.
linealizando un resistor. (x2,R2), ..., (xn-1 ,Rn-1), además, podemos suponer que
los xk están ordenados de menor a mayor, esto es:
Artículo recibido en Abril de 2003
Aceptado en Junio 2003 a=x0<x1<x2<x3<…….xn-1=b, con lo cual Rk = R(xk),
82 Vol. 8 No.1
No.1
Ingeniería

2. La resitencia para k= 0,1,2,3,,,,,,n-1, como las resistencias están LINEALIZACIÓN DE UN TERMISTOR
en un semicon- en paralelo, entonces la resistencia equivalente [1]esta
dada por: Los termistores son resistencias sensibles a la tem-
ductor decrece peratura, estos se fabrican de materiales
exponencialmente semiconductores tales como los óxidos de níquel,
con la Rk R L (1)
rk = r ( x k ) = cobalto o manganeso y sulfuros de hierro, aluminio
temperatura Rk + R L o cobre. Los óxidos semiconductores, al contrario
de los metales, muestran un decremento en la resis-
como lo que se busca es que la respuesta rk sea tencia con un incremento en la temperatura. La rela-
lineal, entonces tenemos que: ción entre la resistencia R(x) como función de la tem-
ri − r j peratura x del termistor se muestra a continuación:
m= , para todo (2) i ≠ j
xi − x j (2) 1 1
β( − )
i = 0,1,2,....., n − 1 j = 0,1,2,....., n − 1 R ( x ) = R0 e x x0 (11)
donde Ro es la resistencia del termistor a la tempe-
donde m es una constante real (pendiente de la
ratura x0 y β es una constante del material, llamada la
recta), en particular podemos encontrar m así: si de- temperatura característica del material, claramente la
finimos rmax = r ( x max ) y rmin = r ( x min ) , enton- ecuación anterior nos indica que la salida de un
ces:
termistor es no lineal, en la tabla1 y la Fig. 3 se mues-
rmax − rmin tra la salida de un termistor (con una constante de
m= (3) auto calentamiento de 2mV/oC) para diseñar un ter-
x max − x min
mómetro el cual se quiere que opere en un rango en-
de otra parte reemplazando a cada rk definido en tre 20 y 42 grados centígrados
(1) en (2) tenemos: k xk Rk
1 20 2492
Ri R L
−
R j RL
(4) TABLA I. 2 22 2282
Ri + R L R j + R L RESISTENCIA DEL
3 24 2090
m= para todo i, j 4 26 1915
xi − x j TERMISTOR RK EN 5 28 1757
OHMS A UNA 6 30 1611
luego: TEMPERATURA XK 7 32 1481
EN GRADOS 8 34 1360
Ri R L R j RL r −r CELSIUS
− = m( x i − x j ) = ( max min )( x i − x j ) para todo i, j 9 36 1251
Ri + R L R j + R L x max − x min 10 38 1152
11 40 1060
remplazando tenemos: 12 42 982
Ri R L
−
R j RL  R R R R   xi − x j 
=  max L − min L    para todo i, j (5) RESISTENCIA SIN LINEALIZAR
Ri + R L R j + R L  R max + R L R min + R L   x max − x min 
 
2380
RESISTENCIA EN (OMN)
2180
factorizando R L tenemos que: 1980
Ri Rj  Rmax Rmin   xi − x j 
RL ( −
Ri + R L R j + R L
) = RL  −   para todo i, j
 Rmax + R L Rmin + R L   x max − x min 
(6) 1780
1580
como R L es distinto de cero tenemos 1380
1180
Ri Rj  Rmax Rmin   xi − x j  (7)
− = −   para todo i, j 980
Ri + R L R j + R L  Rmax + R L Rmin + R L   x max − x min 
20 25 30 35 40 45
TEMPERATURA EN (CENTIGRADOS)
como Rmax = R( xmax ) = R( b ) = Rb y Rmin = R( xmin ) = R( a ) = Ra Figura 3. Salida del termistor
remplazando en (7), y además como la igualdad es
cierta para todo i,j entonces se puede tomar i=n: como se observa la salida es no lineal, por lo tanto
 Rb Ra   b − x j  para linealizar la salida se debe calculara RL en la ecua-
(8)
Rb Rj
− = −   para todo j = 1,2,3....., n − 1
Rb + R L R j + R L  Rb + R L R a + R L   b − a
 
 ción (10 ), para lo cual se requiere el valor de p, el cual
si definimos: p = b − x j ,tenemos que: se calcula mediante la ecuación p=
b− xj
donde j es
b−a b−a
Rj  Rb Ra  cualquier valor entre 1 y 12, en este caso elegimos j =
Rb
− = −  p para todo j = 1,2,3....., n − 1
Rb + R L R j + R L  Rb + R L R a + R L 
(9) 7 es decir el valor central de la temperatura xj = 32, así
42 − 32
despejando R L en 9 se tiene: que p= = 0.4545 , y para calcular RL , utilizamos
42 − 20
la formula 10, esto es:
Ra ( Rb − R j ) − pR j ( Rb − Ra )
RL = para todo j = 1,2,3……,n-1 (10)
p( Rb − Ra ) − Rb + R J
2492 (982 − 1481) − 0.4545 (982 − 2492)
RL = = 1212,55
0.4545 (982 − 2492) − 982 + 1481 con ,
Dado que la salida de los termistores es no lineal,
a continuación se presenta un ejemplo en el se este valor aplicamos la ecuación (1) a los valores de
linealiza un termistor la tabla 1 y obtenemos la tabla 2 y la Fig 4,
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No.1 83
Ingeniería

3. TABLA II.
k xk Rk rk la salida de un sistema de medición sea lineal, es una
RESISTENCIA RK
1
2
20
22
2492
2282
815,7
791,8
característica importante del sistema por cuanto el
LINEALIZADA 3 24 2090 767,4 cambio en la respuesta por unidad de la variable in-
4
5
26
28
1915
1757
742,4
717,4
dependiente es constante.
6 30 1611 691,8
7 32 1481 666,7
8
9
34
36
1360
1251 615,7
641
SENSIBILIDAD
10
11
38
40
1152
1060
590,7
565,6
La sensibilidad en un punto a de un sistema f(x),
12 42 982 542,6 se define como la derivada en ese punto, en el caso
del termistor al sensibilidad mide la variación de la
RESISTENCIA 850
resistencia por unidad de temperatura, por lo tanto
LINEALIZADA
la sensibilidad de la resistencia linealizada es la pen-
RESITENCIA EN (ohms)
800
diente de la recta (-12,52), o también se puede tomar
750
700
650
la medida aproximada de la sensibilidad en cada pun-
600 to mediante la aproximación:
550
r ( x k +1 ) − r ( x k )
500 S ( xk ) = (12)
20 25 30 35 40 45 x k +1 − x k
TEMPERATURA EN (oC)
Figura 4. Salida de la resistencia linealizada ESTIMACIÓN DEL ERROR
Una forma de probar que efectivamente la salida Además del error de estimación del modelo de
es lineal es utilizar del método de los mínimos cua- mínimos cuadrados, el cual se define como ek=rk-
drados [2] para ajustar los datos (xk , rk) a una recta y r(xk), se debe calcular el error que se comente en la
verificar mediante el coeficiente de determinación medición y se define como la razón entre el error de
del modelo, la tabla de análisis de varianza y las prue- estimación del modelo y la sensibilidad esto es:
ek
S ( x k ) , aplicando la relación (12 ) y la formula del
Ek =
bas sobre los parámetros de modelo que los datos se
ajustan a un modelo lineal [2], lo cual se puede reali- error en los datos de la tabla 2 se obtiene la tabla 6,
zar con cualquier paquete estadístico. Las tablas 3, 4, notamos que el error de medición para el termistor
5 de salida de computadora, sobre la idoneidad del da en unidades de temperatura
modelo se muestran a continuación: TABLA VI. SENSIBILIDAD EN (OHMS/OC)
TABLA III. TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA Y ERROR DE MEDICIÓN EN (OC)
xk Rk rk S(XK) r(XK) eK EK
Gr.lib S.deC C:M F V.C deF
20 2492 815,7 -11,93 816,85 -1,18 0,099
Regresión 1 89730 89730 140021 4,6E-22
22 2282 791,8 -12,23 791,80 0,02 -0,001
Residuos 10 6,41 0,64 24 2090 767,4 -12,46 766,75 0,61 -0,049
Total 11 89737 26 1915 742,4 -12,51 741,70 0,74 -0,060
28 1757 717,4 -12,80 716,65 0,78 -0,061
TABLA IV. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y 30 1611 691,8 -12,57 691,60 0,23 -0,018
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN DEL MODELO 32 1481 666,7 -12,84 666,55 0,15 -0,011
34 1360 641,0 -12,64 641,50 -0,48 0,038
Coeficiente de correlación 1,000 36 1251 615,7 -12,49 616,45 -0,71 0,057
Coeficiente de determinación R^2 1,000 38 1152 590,7 -12,59 591,40 -0,65 0,052
R^2 ajustado 1,000 40 1060 565,6 -11,50 566,35 -0,78 0,067
42 982 542,6 541,30 1,28
Error típico 0,801
SENSIBILIDAD PROMEDIO -12,41
Observaciones 12
Es de anotar que la sensibilidad promedio como
TABLA V.PARÁMETROS DEL MODELO
Y PRUEBA T PARA LOS MISMOS es de esperarse es parecida a la pendiente de la recta
estimada.
Coeficientes Estadístico t Probabilidad
Intercepción 1067,35 1004,05 0,00
Pendiente -12,52 -374,19 0,00 DISEÑO DEL CIRCUITO DE MEDICIÓN
Modelo R(x)=-12,52x+1067,05
Usando un montaje potenciometrico de pendien-
Si la salida de como se puede verificar en las tablas tanto el co- te negativa se diseña un circuito de medición, dicho
un sistema de eficiente de correlación como el de determinación circuito se presenta en el siguiente gráfico:
medición es son aproximadamente iguales 1 lo que indica que los
datos se ajustan a un modelo lineal, además la prue-
lineal; un cambio
ba F del modelo, la que se muestra en la tabla de
de escala se análisis de varianza, demuestra también que el mo-
R(xx)
reduce a un delo es lineal y este hecho se refuerza con la prueba VF
+
problema de t , para los parámetros del modelo que indica que la
RL
V(xk)
regla de tres pendiente de la recta no es cero, así podemos afir-
simple. mar que el modelo es : r (x)=-12,52x+1067,05. Que Figura 5. Circuito de medición
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Ingeniería

4. Para calcular el voltaje de alimentación VF , es ne- CURVA DE VOLTAJE DE SALIDA
cesario tener en cuenta que para el termistor que se 0,48
esta diseñando, la potencia que se disipa dentro de 0,46
VOLTAJE EN (VOLTIOS)
él, no calienta mas 0.05oC, con lo cual como el
0,44
0,42
termistor tiene la característica de que el 0,40
0,38
autocalentamiento es de 2mV/oC, luego La poten- 0,36
cia de disipación es (0.05).2=0.1mV = 0.0001V , 0,34
0,32
además utilizando un divisor de voltaje [1]se obtiene 0,30
20 25 30 35 40 45
la siguiente relación: TEMPERATURA (0C)
Figura 6. Salida de voltaje
V (xk )
=
R( x k ) (13)
VF R( x k ) + R L
TABLA XI. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y
donde RL es la resistencia de linealizacion calcula- COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN DEL MODELO
da anteriormente, si tomamos R( x k ) = Rb − Ra = Rc y Coeficiente de correlación 1,00
para este valor de la resistencia encontramos un va- Coeficiente de determinación
lor Vc , mediante la formula para el calculo de la po- R^2 1,00
tencia P = V , en particular Vc = PRc y remplazando el
2
R
R^2 ajustado 1,00
la ecuación (13) tenemos: Vc = Rc que despejando Error típico 0,00
VF Rc + R L
VF tenemos: Observaciones 12
( Rc + R L )Vc ( Rc + R L ) PRc TABLA XI. PARÁMETROS DEL MODELO Y
VF = =
Rc Rc (14) PRUEBA T PARA LOS MISMOS
para el caso particular de este resistor Coeficientes Estadístico t Probabilidad
Rc = 1510 , R L = 1212,55 , P = 0.0001 ,y remplazando es- Intercepción 0,617 1004,054 0,0000
tos valores en (14) tenemos: Pendiente -0,007 -374,194 0,000
(1510 + 1212.55) (0.0001).(1510) Modelo V(x)=-0,007x+0,617
VF = = 0.707
1510
este valor se remplaza en (13), para obtener la salida Se observa que los errores de medición de la tem-
de voltaje la cual se muestra en la tabla 7 que contiene peratura en el caso del voltaje (que se calculan utili-
también los valores de la sensibilidad y el error de zando las formulas que se usaron para el calculo de
medición, la Fig 6 muestra la salida de voltaje en fun- los errores para la resistencia) son los mismos en el
ción de la temperatura, donde se observa que efecti- caso de resistencia, como era de esperarse.
vamente es lineal, esto se corrobora ajustando los da-
tos, de la temperatura contra voltaje, a un modelo li-
neal[2] como se puede verificar mediante las tablas 7, CONCLUSIONES
8 y 9, por lo tanto el modelo V(x)=-0,007x+0,617 , 1. El uso adecuado de los conceptos matemáticos
ajusta perfectamente la salida de voltaje como el de derivada, linealidad nos conducen a
resultados de mucha utilidad en la ingeniería.
TABLA VII. SALIDA DE VOLTAJE, SENSIBILIDAD Y ERROR DE MEDICIÓN
2. Es posible utilizar esta metodología en el caso de
xk Rk Vk S(XK) V(XK) eK EK
sensores capacitivos solamente que la capacitancia
20 2492 0,4713 -0,0069 0,472 -0,0007 0,099
variable y la capacitancia fija van en serie.
22 2282 0,4575 -0,0071 0,458 0,0000 -0,001
24 2090 0,4434 -0,0072 0,443 0,0003 -0,049
3. La linealizacion de un sensor es importante por
26 1915 0,429 -0,0072 0,429 0,0004 -0,06
cuanto la sensibilidad del sistema de medición es
constante.
28 1757 0,4145 -0,0074 0,414 0,0005 -0,061
30 1611 0,3997 -0,0073 0,400 0,0001 -0,018
32 1481 0,3852 -0,0074 0,385 0,0001 -0,011
34
36
1360
1251
0,3704
0,3558
-0,0073
-0,0072
0,371
0,356
-0,0003
-0,0004
0,038
0,057
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
38 1152 0,3413 -0,0073 0,342 -0,0004 0,052 [1] DAVID E. JONSON , JOHNNY R JONSON Y METER D
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40 1060 0,3268 -0,0066 0,327 -0,0004 0,067
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42 982 0,3135 0,313 0,0007
SENSIBILIDAD [2] SCHEAFFER MCCLAVE, Probabilidad y Estadística para Inge-
PROMEDIO -0,007 niería, Grupo Editorial Iberoamérica Segunda Edición.
TABLA VIII. ANÁLISIS DE VARIANZA PARA EL VOLTAJE
Rigoberto Quintero Camacho
Gr.lib S.deC C:M F V.C deF Profesor de Matemáticas de la Facultad de Ingeniería, Licenciado en
Regresión 1 0,029958 0,03 140021 4,57E-22 Matemáticas Universidad Pedagógica Nacional, Especialista en Es-
Residuos 10 2,00E-06 2,00E-07 tadística Universidad Nacional, Especialista en Bioingeniería Univer-
sidad Distrital.
Total 11 0,02996
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Ingeniería