El siguiente documento presente un caso de estudio de una línea trifásica multiconductora, se desea conocer el comportamiento en estado estable del voltaje respecto a la frecuencia, siendo necesario determinar los parámetros de la línea, debido a que estos varían en frecuencia, se calculan para cada frecuencia del rango de frecuencia deseado y en cada calculo, se determina el voltaje en la carga.

1. Análisis del
voltaje en
estado
estable
respecto a la
frecuencia.
Alumno:
Orlando Ramírez Barrón.
El siguiente documento presente un caso de estudio de
una línea trifásica multiconductora, se desea conocer el
comportamiento en estado estable del voltaje respecto a
la frecuencia, siendo necesario determinar los parámetros
de la línea, debido a que estos varían en frecuencia, se
calculan para cada frecuencia del rango de frecuencia
deseado y en cada calculo, se determina el voltaje en la
carga.
Profesor: Dr.
Pablo Moreno
Villalobos.

2. Orlando Ramírez Barrón.
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Caso de estudio.
Para empezar con el análisis de la de la línea de transmisión, se propone la estructura
mostrada en la figura 1 de una línea trifásica con dos conductores por fase.
Figura 1. Línea trifásica con dos conductores de guarda.
Los parámetros de la línea se muestran en la tabla I.
Tabla I. Características del conductor
Diámetro (cm) Resistencia CD (𝛀/𝒌𝒎)
Conductor de fase. 3.0 0.0664
Conductor de guarda. 1.0 1.4260
Ecuaciones de la línea.
Sean las ecuaciones de una línea multiconductora:
−
𝜕𝑣(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥
= 𝑅𝑖(𝑥, 𝑡) + 𝐿
𝜕𝑖(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
(1)
−
𝜕𝑖(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥
= 𝐺𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝐶
𝜕𝑣(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
(2)
Siendo 𝑣 e 𝑖 los vectores de voltaje y corriente. 𝑅, 𝐺, 𝐿 y 𝐶 son las matrices de los parámetros
de la línea. A continuación, se presenta una imagen donde se observa la interacción de los
parámetros al tratarse de un caso multiconductor.

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Figura 2. Parámetros de una línea trifásica.
Debido a que los parámetros de la línea muestran dependencia de la frecuencia, las soluciones
de las ecuaciones de línea se obtienen en el dominio de la frecuencia. El comportamiento de
una línea multiconductora se describe mediante las dos siguientes ecuaciones:
−
𝑑𝑉𝑥(𝜔)
𝑑𝑥
= 𝑍(𝜔)𝐼 𝑥(𝜔) (3)
−
𝑑𝐼 𝑥(𝜔)
𝑑𝑥
= 𝑌(𝜔)𝑉𝑥(𝜔) (4)
Donde, 𝑍(𝜔) y 𝑌(𝜔) son las matrices de impedancia y admitancia de la línea. La matriz de
impedancia se define mediante la expresión:
𝑍(𝜔) = 𝑅(𝜔) + 𝑗𝜔𝐿(𝜔) (5)
La matriz de admitancia, se expresa mediante:
𝑌(𝜔) = 𝐺 + 𝑗𝜔𝐶 (6)
Los elementos de la matriz G están asociados a las corrientes de fuga a tierra a través de los
aisladores, lo cual solo sucede en caso de aisladores contaminados. Por lo tanto, sus valores
pueden despreciarse para ciertos estudios.

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3
Calculo de los parámetros de la línea.
Matriz de capacitancia.
Para la obtención de los elementos de interés, se aplica el método de las imágenes.
Figura 3. Aplicación del método de las imágenes.
El vector de potencial respecto a tierra de los conductores, se define por la ecuación:
𝑣 = 𝑃𝑞 (7)
Donde 𝑣 es el vectro de voltajes, 𝑞 es el vector de cargas eléctricas necesario para producir
ese voltaje y 𝑃 es la matriz de potencial, la cual se define:
𝑃 =
1
2𝜋𝜀0
[
𝑙𝑛
𝐷11
𝑟1
… 𝑙𝑛
𝐷1𝑛
𝑑1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑙𝑛
𝐷 𝑛1
𝑑 𝑛1
… 𝑙𝑛
𝐷 𝑛𝑛
𝑟𝑛 ]
Siendo 𝜀0 la permitividad del espacio libre, 𝑟𝑖 el radio del i-esimo conductor.
𝐷𝑖𝑗 = √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
2
+ (𝑦𝑖 + 𝑦𝑗)
2
(8)

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𝑑𝑖𝑗 = √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
2
+ (𝑦𝑖 − 𝑦𝑗)
2
(9)
En caso de presentar conductores agrupados por fase, se emplea la ecuación para obtener el
radio equivalente:
𝑅 𝑒𝑞𝑖 = √𝑛𝑟𝑖(𝑟𝑏) 𝑛−1𝑛
(10)
Donde 𝑛 es el número de conductores y 𝑟𝑏 es el radio de los conductores agrupados.
Definidos los parámetros de los componentes de la matriz de potencial, la matriz de
capacitancia se calcula con la siguiente ecuación:
𝐶 = 𝑃−1 (11)
Matriz de impedancia.
La matriz de impedancia puede definirse como:
𝑍 = 𝑍 𝑒𝑥𝑡 + 𝑍𝑖𝑛𝑡 (12)
𝑍 𝑒𝑥𝑡 se define como la impedancia externa interpretando el campo magnético exterior al
conductor, la impedancia externa puede separarse en dos elementos:
𝑍 𝑒𝑥𝑡 = 𝑍 𝑔 + 𝑍 𝑒 (13)
Donde:
𝑍 𝑔 =
𝑗𝜔𝜇0
2𝜋
[
𝑙𝑛
𝐷11
𝑟1
… 𝑙𝑛
𝐷1𝑛
𝑑1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑙𝑛
𝐷 𝑛1
𝑑 𝑛1
… 𝑙𝑛
𝐷 𝑛𝑛
𝑟𝑛 ]
𝑍 𝑒 =
𝑗𝜔𝜇0
2𝜋
[
𝑙𝑛
𝐷11′
𝐷11
… 𝑙𝑛
𝐷1𝑛′
𝐷1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑙𝑛
𝐷 𝑛1′
𝐷 𝑛1
… 𝑙𝑛
𝐷 𝑛𝑛′
𝐷 𝑛𝑛 ]
Siendo:
𝐷𝑖𝑗
′
= √(𝑦𝑖 + 𝑦𝑗 + 2𝑝 )
2
+ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
2
(14)
𝑝 es la profundidad compleja definida mediante la expresión:

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𝑝 = √
1
𝑗𝜔𝜇 𝑒(𝜎𝑒 + 𝑗𝜔𝜀 𝑒)
(15)
𝜎𝑒 es la conductividad, 𝜇 𝑒 es la permeabilidad y 𝜀 𝑒 es la permitividad de la tierra.
Referente a la impedancia interna del conductor, al usar diferentes aproximaciones para
diferentes rangos de frecuencia, producen una discontinuidad en el cálculo de la impedancia.
A manera de evitar tal discontinuidad se emplea la siguiente ecuación para todo el rango de
frecuencias.
𝑍𝑖𝑛𝑡 =
[
√ 𝑅 𝑐𝑑𝑖
2
+ 𝑍 𝐻𝐹𝑖
2
0 0
0 ⋱ 0
0 0 √ 𝑅 𝑐𝑑𝑛
2
+ 𝑍 𝐻𝐹𝑛
2
]
Donde 𝑅 𝑐𝑑 es la resistencia de cd del conductor y 𝑍 𝐻𝐹 es la impedancia del conductor, la cual
se puede aproximar mediante la siguiente expresión:
𝑍 𝐻𝐹 =
1
2𝜋𝑟𝑐 𝑝𝑐 𝜎𝑐
(16)
Siendo 𝑟𝑐 el radio del conductor, 𝜎𝑐 la conductividad del conductor y 𝑝𝑐 la profundidad
compleja del conductor definida por:
𝑝𝑐 = √
1
𝑗𝜔𝜇 𝑐 𝜎𝑐
(17)
Obtención del estado estable mediante el modelo de admitancias.
Sean las condiciones iniciales y de frontera de voltaje y corriente de una línea de transmisión:
𝐼0 = 𝑌𝑐𝑜𝑡ℎ(𝑦𝑙)𝑉(0) − 𝑌𝑐𝑠𝑐ℎ(𝑦𝑙)𝑉(𝑙) (18)
𝐼𝑙 = 𝑌𝑐𝑠𝑐ℎ(𝑦𝑙)𝑉(0) − 𝑌𝑐𝑜𝑡ℎ(𝑦𝑙)𝑉(𝑙) (19)
La cual, representa una red de dos puertos, la red se muestra en la siguiente figura.

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Figura 4. Red de dos puertos de la línea de transmisión.
Si expresamos la fuente mediante una admitancia y una fuente de corriente además de
expresar la carga como admitancia, obtenemos un equivalente de admitancias mostrado en
la figura 5.
Figura 5. Modelo equivalente de admitancias.
Las ecuaciones del equivalente puedes describirse mediante la siguiente expresión matricial:
[
𝐼𝑠
0
] = [
𝐴 + 𝑌𝑠 −𝐵
−𝐵 𝐴 + 𝑌𝐿
] [
𝑉0
𝑉𝑙
]
Donde:
𝐴 = 𝑌𝑐𝑜𝑡ℎ(𝑦𝑙)
𝐵 = 𝑌𝑐𝑆𝐶ℎ(𝑦𝑙)
𝑌𝑠 y 𝑌𝐿 son matrices diagonales que presentan las admitancias del lado de la fuente y del lado
de la carga.

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se utiliza una transformación para trasladar las matrices 𝑍 al dominio modal, donde se
obtienen los componentes de secuencia positiva, negativa y cero.
𝑍012 = 𝑇−1
𝑍 𝑎𝑏𝑐 𝑇
De la matriz 𝑍012 se obtienen los componentes de secuencia positiva, negativa y cero para la
resistencia y la inductancia de la línea.
Resultados.
Se desea observar el comportamiento del voltaje respecto a la frecuencia, se asume entonces,
que las fuentes de excitación irán cambiando de frecuencia, una forma de realizar dicha tarea
es ir calculando los parámetros de la línea a diferentes frecuencias y después determinar el
voltaje de estado estable en la carga utilizando como excitación valores fasoriales desfasados
entre si 120 grados tal como un sistema trifásico balanceado. Se considera un rango de
frecuencia de 10 Hertz a 1 Mega Hertz, con una longitud de 50 kilómetros. Se elaboró un
programa para determinar los parámetros de línea de secuencia positiva y el voltaje respeto
a la frecuencia, el programa se encuentra en el anexo 1 de este archivo. Se grafican los valores
de resistencia e inductancia respecto a la frecuencia
Figura 6. Resistencia de la línea respecto a la frecuencia.

9. Orlando Ramírez Barrón.
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Figura 7. Inductancia de la línea respecto a la frecuencia.
Figura 8. Variación del voltaje de 10 a 1000 Hertz.

10. Orlando Ramírez Barrón.
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Figura 9. Variación del voltaje de 10 a 10000 Hertz.
Figura 10. Variación del voltaje de 10 a 100000 Hertz.

11. Orlando Ramírez Barrón.
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Figura 11. Variación del voltaje de 10 a 1000000 Hertz.
Conclusión.
De la representación fasorial de la inductancia y la capacitancia, se sabe que estas cambian
su valor al existir variaciones de frecuencia, entonces, las matrices de impedancia y
admitancia de la línea también se ven afectadas. Se presentó las técnicas para la
determinación de los parámetros de la línea de transmisión, al variar el valor los elementos
el voltaje en estado estable del lado de la carga también sufrirá un cambio. La forma de
observar este comportamiento es calculando los parámetros de la línea dentro de un rango de
frecuencia de interés, contando con el modelo de admitancias anteriormente, se resuelve un
sistema matricial y se determina el voltaje de la carga en estado estable para cada frecuencia
de interés, se observa que al incrementar la frecuencia, el voltaje de estado estable de la carga
tiende a disminuir su valor respecto a las frecuencias iniciales.
Anexo 1. Programa principal.
% CINVESTAV gdl.
% Modeladodo de elementos de sistemas electricos
% Ramirez Barron Orlando
clear all

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11
close all
%discretization data
T=10e-3; N=8000; dt=T/N; wmax=2e6; dw=((wmax)/N-2);
w2=(10:dw:wmax/2)';
w=2*pi*j*w2;
%source
Ro=0.001; Lo=0.1;
%load
Rl=4000; Ll=0.11;
%TL parameters
rgnd=100; roal=2.826e-8; R=.0254; long=50e3;
Pal=sqrt(roal/(w(1)*(4e-7)*pi));
% Calculo de parametros de linea Z,Y,A,B
A=zeros(3,3,length(w));
B=zeros(3,3,length(w));
for k=1:length(w)
p(k)=sqrt(rgnd/(w(k)*(4e-7)*pi));
[Z,Y,Zint,Zs,ze,zg,Zog,Zgo,Zgg,Zt,Pe] = Threephase(rgnd,roal,w(k));
[M,Q]=eig(Z*Y);
gam=(sqrt(Q));
Yc=(inv(Z)*(M*gam*inv(M)));
A(:,:,k)=Yc*M*diag(coth(diag(gam*long)))*inv(M);
%
B(:,:,k)=Yc*M*diag(csch(diag(gam*long)))*inv(M);
end
%admittances and source current
Yo=zeros(3,3,length(w));
Yl=zeros(3,3,length(w));
Vo=[1 -0.5+j*0.866025 -0.5-j*0.866025].';
Io=zeros(3,length(w));
for i=1:length(w)
yo=(1/(Ro+w(i)*Lo));
yov=[yo,yo,yo];
Yo(:,:,i)=diag(yov);
yl=(1/(Rl+w(i)*Ll));
ylv=[yl,yl,yl];
Yl(:,:,i)=diag(ylv);
Io(:,i)=Yo(:,:,i)*Vo;
end
% % %
N=length(w);
V=zeros(6,N); I=[(Io);zeros(3,N)];
for ii=1:N
Yn=[Yo(:,:,ii)+A(:,:,ii) -B(:,:,ii); -B(:,:,ii)
Yl(:,:,ii)+A(:,:,ii)];
V(:,ii)=YnI(:,ii);
end
V=abs(V);
plot(w2,V(4,:)); hold on; plot(w2,V(5,:)); hold on; plot(w2,V(6,:));
ylabel('Voltaje en la carga en estado estable'); xlabel('frecuencia Hz');
title('Voltaje vs frecuencia')
%% Calculo de secuancia positiva y negativa
%Obtenga la resistencia e inductancia respecto a la frecuencia
f2=logspace(1,6,N);
w2=(2*pi*f2);

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T=((1/sqrt(3))*[1 sqrt(2) 0; 1 -1/sqrt(2) sqrt(3)/sqrt(2); 1 -
1/sqrt(2) -sqrt(3)/sqrt(2)]);
for k=2:length(w2)
s(k)=(j*(w2(k)));
[Z,Y] = Threephase(rgnd,roal,s(k));
RED=1000*(Z);
zss(k)=((1/3)*(RED(1,1)+RED(2,2)+RED(3,3)));
zmm(k)=((1/3)*(RED(1,2)+RED(2,3)+RED(3,1)));
bee(:,:,k)=[zss(k) zss(k) zss(k)];
ZN(:,:,k)=diag(bee(:,:,k));
ZN(1,2,k)=zmm(k);
ZN(2,1,k)=zmm(k);
ZN(1,3,k)=zmm(k);
ZN(3,1,k)=zmm(k);
ZN(3,2,k)=zmm(k);
ZN(2,3,k)=zmm(k);
Zabc(:,:,k)=ZN(:,:,k);
Z012(:,:,k)=(inv(T)*Zabc(:,:,k)*T);
Rz(:,:,k)=real(Z012(:,:,k)); % matriz de resistencias
rp(k)=(Rz(3,3,k)); % resistencia secuencia +
rzero(k)=(Rz(1,1,k)); % resistencia secuencia zero
Lz(:,:,k)=imag(Z012(:,:,k)); % matriz de inductores
lp(k)=((1e3)*((1/(w2(k)))*(Lz(3,3,k))));
llsz(k)=((1e3)*((1/(w2(k)))*(Lz(1,1,k))));
end
%% Graficos
figure(2)
plot(f2,rp); grid on
ylabel('Resistencia ohm/km')
xlabel('frecuencia Hz')
title('Secuencia positiva')
%%
figure(4)
loglog(f2,lp); grid on
ylabel(' Inductancia mH/km')
xlabel('frecuencia Hz')
title('Secuencia positiva')