UAGRM

1. Proyección de
un vector sobre
otro
MAT103-SE
Ingeniera Katime Gutierrez Bruno
GRUPO 3

2. INTEGRANTES
Avila Sandoval Jussel
221179763
Camargo Leaños Selene
Copa Monzon D'alessandro
221043985
222049243
Carata Padilla Juan Marcelo
221179879

3. INTEGRANTES
Paye Botero José Carlos
222009349
Rojas Cruz German Lider
221045732
Rojas Cruz German Lino
221045740

4. Concepto
01
¿Qué es la proyección
de un vector sobre
otro?
02
¿Cómo calculamos la
proyección de un vector
sobre otro vector?
03
Coordenadas del vector
proyección
Coordenadas
04
Aqui resolverémos
varios ejemplos
Ejemplos
Proyección
Tabla de contenido

5. Concepto
01 ¿Qué es la proyección de un
vector sobre otro?

6. Se podría decir que no es mas que la
“sombra” que produce un “foco” que
está enfrente del vector sobre el cual
estamos proyectando.
vamos a ver gráficamente qué es la
proyección de un vector sobre otro
vector. Tenemos los siguientes
vectores u y v, que forman un ángulo
alfa:
¿Qué es la proyección de un vector
sobre otro?
α
𝒖
𝒗

7. Vamos a representar gráficamente la proyección del
vector u sobre el vector v que como veremos más
adelante, no es igual a la proyección del vector v
sobre u. Para ello, desde el extremo de u, trazamos
una recta perpendicular al vector v
α
𝒖
𝒗

8. Ahora, sobre el vector v, dibujamos un vector desde el
origen de ambos vectores hasta el punto donde se
cortan la recta perpendicular y el vector v. El vector
resultante (de color blanco) es el vector proyección de u
en v
α
𝒖
𝒗

9. Ahora vamos a representar gráficamente la proyección del
vector v sobre el vector u. El procedimiento es el mismo que
acabamos de realizar, pero teniendo en cuenta que la
proyección es del vector v sobre u.
Desde el extremo del vector v, trazamos una recta perpendicular
al vector u:
α
𝒖
𝒗

10. Ahora, sobre el vector u, dibujamos un vector desde el
origen de ambos vectores hasta el punto donde se
cortan la recta perpendicular y el vector u, que será el
extremo. El vector de color blanco que resulta es el
vector proyección de v en u, que si te das cuenta, no
tiene nada que ver con la proyección de u en v:
α
𝒖
𝒗

11. Proyección
02 ¿Cómo calculamos la proyección
de un vector sobre otro vector?

12. ¿Cómo calcular la proyección de un
vector sobre otro vector?
Módulo del vector proyección
Al módulo del vector proyección se le llama
segmento de proyección. El módulo del vector
proyección corresponde a la longitud del vector
proyección.
Vamos a calcular el módulo de u sobre v.
Si en vez de representar los vectores,
representamos sus módulos, es decir, sus
longitudes, el vector u, junto con el vector
proyección y la recta perpendicular forman un
triángulo rectángulo:
α
|𝒖|
|𝒗|
|𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢|

13. Aplicando las razones trigonométricas, podemos definir el coseno de alfa como el
módulo del vector proyección de u sobre v, entre el módulo del vector u:
cos 𝛼 =
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢
𝑢
Si despejamos el módulo del vector proyección nos queda:
α
|𝒖|
|𝒗|
|𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢|
|𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢|= 𝑢 ∗ cos 𝛼
Por otro lado, a partir de la fórmula del producto
escalar de dos vectores:
𝑢 ∗ 𝑣 = 𝑢 𝑣 ∗ cos 𝛼

14. Despejamos también el coseno de alfa:
cos 𝛼 =
𝑢 ∗ 𝑣
𝑢 𝑣
Y esta expresión del coseno de alfa, la sustituimos en la expresión donde
teníamos despejada el módulo del vector proyección de u sobre v:
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢 =
𝑢∗𝑣
𝑢 𝑣
𝑢
De donde podemos eliminar el módulo de u y nos queda:
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢 =
𝑢∗𝑣
𝑣

15. Coordenadas
03 Coordenadas del vector
proyección

16. Ahora vamos a ver cómo calcular las coordenadas del vector proyección de u
sobre v.
Para obtener el vector proyección vamos a multiplicar el módulo del vector
proyección por un vector unitario que tenga la misma dirección que tiene el
vector proyección.
En el caso de la proyección del vector u sobre el vector v, el vector proyección
tiene la misma dirección que el vector v, por tanto, necesitamos el vector unitario
del vector v.
Para calcular el vector unitario del vector v, dividimos el vector v entre su módulo:
Vector Proyección
Vector unitario de 𝑣 =
𝑣
𝑣

17. Al dividir un vector entre su módulo, el módulo del vector que nos
queda es igual a 1. y por eso se dice que es un vector unitario.
Por tanto, el vector proyección de u sobre v, será igual su módulo, por
el vector unitario de v:
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢= 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢 *
𝑣
𝑣
=
Si expresamos el módulo del vector proyección con su fórmula, nos
queda:
=
𝑢∗𝑣
𝑣
∗
𝑣
𝑣

18. Que operando, nos queda la fórmula del vector proyección que es igual
al producto escalar de los vectores u y v, dividido entre el módulo del
vector v al cuadrado, multiplicado por las coordenadas del vector v:
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢 =
𝑢∗𝑣
𝑣 2 𝑣
El resultado de esta fórmula es un vector, ya que realmente en esta
fórmula, la fracción corresponde a un número, multiplicada por el
vector v y eso es igual a un vector.

19. Ejercicios
04 Coordenadas del vector
proyección

20. Vamos a ver ahora cómo resolver ejercicios de proyección de un
vector sobre otro, aplicando las fórmulas que acabamos de explicar.
Dados los siguientes vectores: u= (2,0) v=(3,-4)
Determinar la proyección del vector u sobre el vector v.

21. Vamos a ver ahora cómo resolver ejercicios de proyección de un
vector sobre otro, aplicando las fórmulas que acabamos de explicar.
Dados los siguientes vectores: u= (2,0) v=(3,-4)
Determinar la proyección del vector u sobre el vector v.
v =(3,-4)
u= (2,0)

22. Vamos a ver ahora cómo resolver ejercicios de proyección de un
vector sobre otro, aplicando las fórmulas que acabamos de explicar.
Dados los siguientes vectores: u= (2,0) v=(3,-4)
Determinar la proyección del vector u sobre el vector v.
Tenemos que calcular la proyección de u sobre v,
luego tenemos que aplicar la siguiente fórmula:
v =(3,-4)
u= (2,0)
proy𝑣u =
𝑢∗𝑣
𝑣 2 𝑣

23. Vamos a ver ahora cómo resolver ejercicios de proyección de un
vector sobre otro, aplicando las fórmulas que acabamos de explicar.
Dados los siguientes vectores: u= (2,0) v=(3,-4)
Determinar la proyección del vector u sobre el vector v.
Tenemos que calcular la proyección de u sobre v,
luego tenemos que aplicar la siguiente fórmula:
Vamos a ir calculando cada uno de los
elementos que necesitamos.
En primer lugar, calculamos el producto escalar
de u y v, mediante su expresión analítica:
v =(3,-4)
u= (2,0)
proy𝑣u =
𝑢∗𝑣
𝑣 2 𝑣

24. Vamos a ver ahora cómo resolver ejercicios de proyección de un
vector sobre otro, aplicando las fórmulas que acabamos de explicar.
Dados los siguientes vectores: u= (2,0) v=(3,-4)
Determinar la proyección del vector u sobre el vector v.
Tenemos que calcular la proyección de u sobre v,
luego tenemos que aplicar la siguiente fórmula:
Vamos a ir calculando cada uno de los
elementos que necesitamos.
En primer lugar, calculamos el producto escalar
de u y v, mediante su expresión analítica:
v =(3,-4)
u= (2,0)
u * v = (2,0) * (3,-4)= (2)(3)+(0)(-4)=6
proy𝑣u =
𝑢∗𝑣
𝑣 2 𝑣

25. Ahora calculamos el módulo de v:

26. Ahora calculamos el módulo de v:
𝑣 = 3 2 + −4 2 = 5

27. Ahora calculamos el módulo de v:
Y finalmente, sustituimos estos valores en la fórmula junto con las
coordenadas del vector v:
𝑣 = 3 2 + −4 2 = 5

28. Ahora calculamos el módulo de v:
Y finalmente, sustituimos estos valores en la fórmula junto con las
coordenadas del vector v:
proy𝑣
u =
6
52
(3, −4)
𝑣 = 3 2 + −4 2 = 5

29. Ahora calculamos el módulo de v:
Y finalmente, sustituimos estos valores en la fórmula junto con las
coordenadas del vector v:
proy𝑣
u =
6
52
(3, −4)
𝑣 = 3 2 + −4 2 = 5
proy𝑣
u =
6
25
(3, −4)

30. Ahora calculamos el módulo de v:
Y finalmente, sustituimos estos valores en la fórmula junto con las
coordenadas del vector v:
proy𝑣
u =
6
52
(3, −4)
𝑣 = 3 2 + −4 2 = 5
proy𝑣
u =
6
25
(3, −4)
Y operamos:

31. Ahora calculamos el módulo de v:
Y finalmente, sustituimos estos valores en la fórmula junto con las
coordenadas del vector v:
proy𝑣
u =
6
52
(3, −4)
𝑣 = 3 2 + −4 2 = 5
proy𝑣
u =
6
25
(3, −4)
Y operamos:
proy𝑣
u = (
18
25
, −
24
25
)