El documento aborda el concepto de vectores en matemáticas, definiendo sus características como origen, módulo, dirección y sentido, además de describir el sistema de coordenadas cartesianas. También se explican operaciones relacionadas como la suma y resta de vectores, incluyendo la propiedad de la suma y reglas como el paralelogramo, así como los productos escalar y vectorial. Finalmente, se presentan aplicaciones en geometría analítica, incluyendo el cálculo de coordenadas del punto medio y condiciones de alineación de puntos.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago
Mariño”
Sede Barcelona – Puerto la Cruz
Arquitectura
Vectores
Profesor:
Pedro Beltrán
Bachiller:
Luis Vargas
C.I: 28.104.727
Barcelona, 2017

2. En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta
y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección.
En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo.
Identificar un vector, veamos la siguiente figura:
Esta figura nos muestra un sistema de coordenadas espaciales (y, x, z) y un vector V . Entonces, podemos
decir que básicamente, un vector es una flecha, la cual nos indica una dirección . En este caso, la flecha
expresa el sentido positivo del vector.
Un Vector es un segmento de recta orientado que posee una dirección, un sentido y una longitud o
módulo.
Vectores

3. Características de Vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
Origen: también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo: es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del
vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección: viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado
de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y
tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con
exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

4. Suma de Vectores
Para sumar dos vectores
libres vector “u” y vector “v” se
escogen como representantes
dos vectores tales que el
extremo de uno coincida con
el origen del otro vector.
Propiedades de la suma de vectores
1) Asociativa: u + (v + w ) = (u + v ) + w
2) Conmutativa: u + v = v + u
3) Elemento neutro: u + 0 = u
4) Elemento opuesto: u + (− u) = 0
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes
dos vectores con el origen en
común, se trazan rectas paralelas
a los vectores obteniéndose un
paralelogramo cuya diagonal
coincide con la suma de los
vectores.
Para sumar dos vectores se
suman sus respectivas
componentes.

5. Resta de Vectores
Para restar dos vectores libres vector “u” y vector “v”
se suma vector “u” con el opuesto de vector “v”
Las componentes del vector resta se obtienen restando
las componentes de los vectores.
Ejemplo:
La diferencia de dos vectores A y B se
define como
A - B = A + (-B)
Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y
como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores, pero vectores con sentidos
opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de
vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.

6. Productos
Producto escalar: El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al
multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Producto vectorial: El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es
perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v.
Su módulo es igual a:
Producto mixto: El producto mixto de los vectores u, v y w es igual al producto escalar
del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.

7. Angulo: El ángulo que forman dos vectores u y v viene dado por la expresión:
Ejemplo:
Cosenos directores: En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector u =
(x, y), a los cosenos de los ángulos que forma el vector u con los vectores de la base.

8. Aplicaciones en Geometría Analítica
Coordenadas de un punto medio en un segmento
Las coordenadas del punto medio de un
segmento son la semisuma de las coordenadas
de los extremos.
Condición para que tres puntos estén alineados
Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre
que los vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre
cuando sus coordenadas son proporcionales.

9. Simétrico de un punto respecto de otro
Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto
medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:
Coordenadas del baricentro
Baricentro o centro
de gravedad de un
triángulo es el punto
de intersección de
sus medianas. Las
coordenadas del
baricentro son:
División de un segmento en una relación
dada
Dividir un segmento
AB en una relación
dada r es determinar
un punto P de la recta
que contiene al
segmento AB, de
modo que las dos
partes, PA y PB, están
en la relación r: