algebra

1. Álgebralineal
169
Introducción
En unidades anteriores manejamos diferentes clases de espacios
vectoriales, entre ellos definimos los vectores columna y vectores
renglón como conjuntos ordenados de n números reales pertenecientes
al espacio vectorial Rn
. En esta unidad usaremos como ejemplos el espacio
vectorial R2
con el fin de introducir dos conceptos nuevos: la norma de un
vector y el producto interno de dos vectores. Posteriormente, generalizaremos
estos conceptos a espacios vectoriales diferentes.
Iniciaremos con el manejo geométrico del espacio vectorial R2
también
llamado espacio euclideano.
5.1. El espacio vectorial R2
: longitud, dirección
y distancia
Como se definió anteriormente, los vectores del espacio vectorial R2
son
parejas ordenadas (x, y) de números reales, las cuales podemos representar
en el plano cartesiano; sin embargo, para muchas aplicaciones que incluyen
fuerza, velocidad, aceleración, momento, etc., es importante pensar en un
vector no como un punto sino como una entidad que tiene longitud y dirección.
Esto nos lleva a la siguiente definición:
Definición 5.1 Sean P y Q dos puntos en el plano cartesiano. Entonces el
segmento de recta dirigido de P a Q, que se denota por PQ

, es el segmento de
recta que va de P a Q.
Nota que el segmento PQ

y el QP

son diferentes pues tienen sentidos
opuestos (figuras 5.1. a y 5.1. b).
Figura 1.a. Figura 1.b.

2. 170
Unidad 5
Al punto P del segmento dirigido PQ

se le llama punto inicial y a Q punto
terminal.
Si desplazamos el segmento PQ

en forma paralela de modo que P
se encuentre exactamente en el origen, obtendremos un segmento dirigido
equivalente al original, ya que tienen la misma longitud, dirección y el mismo
sentido (figura 5.2).
Figura 5.2.
Esta equivalencia será muy útil ya que podremos identificar a cada punto
P del plano cartesiano como un vector dirigido que tiene como punto inicial
al origen y a P como punto terminal; a sus coordenadas (x, y) se les llama
componentes del vector.
Ejemplo 1
a) Consideremos al punto O cuyas coordenadas son (0,0); este vector es el
vector cero y su representación gráfica es el origen de los ejes coordenados.
b) Consideremos el punto P (3,4) y cuya gráfica se observa en la figura 5.3.
Figura 5.3.

3. Álgebralineal
171
Al inicio de la unidad mencionamos que los vectores del plano tienen
longitud y dirección. Intuitivamente entendemos por longitud el tamaño del
vector, ahora definiremos formalmente longitud o magnitud de un vector.
Definición 5.2 Consideremos un vector v = (a,b) en el plano cartesiano.
Entonces la longitud o magnitud de v, que se denota por v = magnitud de
v = a b
2 2
 .
Observa que la magnitud es un escalar que siempre es positivo.
Esta definición no es arbitraria, sino que se deduce directamente del
teorema de Pitágoras (figura. 5.4), ya que si se observa, siempre se formará un
triángulo rectángulo entre los ejes coordenados y el vector de nuestro interés.
Figura 5.4.
Ejemplo 2
Calcular la magnitud de los siguientes vectores:
a) v = (2,2) v = 2 2 4 4 8 2 2
2 2
    
b) v = (–3, 3 2 ) v       
( ) ( )
3 3 2 9 18 27 3 3
2 2
Definiremos ahora lo que es la dirección; intuitivamente, la dirección es el
grado de inclinación del vector y por lo tanto:
Definición 5.3. Sea v = (a,b) un vector del plano cartesiano. La dirección
de v se define como el ángulo , medido en radianes, que forma el vector con
el lado positivo del eje x.

4. 172
Unidad 5
Por conveniencia se escoge de tal manera que 0 2
 
  .
De la figura 5.4 podemos deducir que tan 
b
a
; sin embargo, debemos
tener cuidado, ya que la función tangente es periódica con periodo y por tanto
existen 2 valores de  que satisfacen tan 
b
a
en el intervalo de 0 2
 
  , de
tal modo que para tener un valor único debemos determinar el cuadrante donde
se encuentra el vector.
Ejemplo 3
Encontrar la dirección de los siguientes vectores:
a) v = (2, 2) ya que tan 
2
2
= 1 y como v se encuentra en el primer
cuadrante entonces  tan–1
(1) = 
b) v = (–2,–2)de tan 


2
2
= 1, y como v se encuentra en el tercer
cuadrante por lo que al ángulo   tan–1
(1)=  se le debe sumar 
para obtener 

5. Álgebralineal
173
c) v = (–2,2) de tan 
2
2
= –1 y como v se encuentra en el segundo
cuadrante entonces a   tan–1
(–1) = –  se le suma  para obtener

d) v = (2, –2) ya que tan 

2
2
= –1 y como v se encuentra en el
cuarto cuadrante, entonces a  tan–1
(–1) = – se le suma 2 para
obtener el ángulo 
Resumiendo, si el vector se encuentra en el segundo o tercer cuadrante, el
ángulo se obtiene sumando  al ángulo  







tan 1 b
a
; si el vector se encuentra
en el cuarto cuadrante al ángulo  







tan 1 b
a
se le suma 2.
¿Cuál será el significado de multiplicar un vector por un escalar positivo o
por uno negativo?
Consideremos el vector v = (1,1), su magnitud v   
1 1 2
2 2
tan  
1
1
1 y su dirección es 
Tomemos ahora el producto del vector por un escalar dados por u = 3v y

6. 174
Unidad 5
w = –3v, entonces u = 3(1,1) = (3,3) y w = –3(1,1) = (–3,–3)
Vamos ahora a encontrar su magnitud y dirección.
u v
    
3 3 18 3 2 3
2 2
y
w v
       
( ) ( )
3 3 18 3 2 3
2 2
Si  y  son los ángulos de inclinación de u y w respectivamente,
entonces:
tan  
3
3
1 y /4, sin embargo tan 



3
3
1, pero como w está en el
tercer cuadrante eso quiere decir que u tiene la misma dirección que
v pero w tiene dirección opuesta (véase las figuras 5.12 b y 5.12 c).
De donde podemos generalizar que al multiplicar un vector por un escalar
positivo, su magnitud se multiplica por el escalar y conserva la misma
dirección; al multiplicar por un escalar negativo, su magnitud se multiplica
por el valor absoluto del escalar y tiene dirección opuesta, es decir, su ángulo
aumenta  radianes.
De lo anterior podemos observar que es más comodo tener vectores cuya
magnitud sea 1 y trabajar con ellos, lo que nos lleva a dar la siguiente
definición.
Definición 5.4. Sea v un vector, entonces v se le llama vector unitario si su
magnitud es 1:
v 1

7. Álgebralineal
175
Esta definición nos permite tener una caracterización de los vectores
unitarios.
Ejemplo 4
Consideremos los vectores canónicos i = (1,0) y j (0,1)
Vamos a encontrar su magnitud
i   
1 0 1
2 2
j   
0 1 1
2 2
por lo que podemos decir que i y j son vectores unitarios.
De aquí nos surge la siguiente pregunta: ¿dado un vector cualquiera,
podremos encontrar un vector que tenga la misma dirección pero que sea
unitario? La respuesta es sí, y para ello retomaremos el hecho de lo que
significa multiplicar un vector por un escalar.
Teorema 5.1. Sea v un vector, entonces el vector u =
v
v
es un vector
unitario.
Vamos a encontrar vectores unitarios a partir de vectores que no lo son
usando el teorema anterior.
Ejemplo 5
Consideremos el vector v = (3, 2), calculemos su magnitud
v     
3 2 9 4 13
2 2
entonces definamos al vector
u =
v
v
 
( , )
( / , / )
3 2
13
3 13 2 13 calculemos la magnitud de u
u      
( / ) ( / ) / / /
3 13 2 2 13 2 9 13 4 13 13 13 1 por tanto u sí es
unitario.

8. 176
Unidad 5
Por último, introduciremos el concepto de distancia entre dos puntos. Para
ello usaremos el concepto de geometría analítica y la relacionaremos con el
concepto de longitud.
Consideremos los siguientes vectores v = (2, 3) y u = (1,–2); vamos a
encontrar la distancia entre ellos como puntos en el plano cartesiano.
Sabemos por geometría analítica que la distancia entre los puntos (2,3) y
(1,–2) la podemos obtener sustituyendo en la siguiente fórmula:
( ) ( ) ( ) ( )
x x y y
2 1
2
2 1
2 2 2
2 1 3 2 1 25 26
         
Si consideramos los puntos como vectores, observamos que esta distancia
se conforma sacando la magnitud del vector formado por la diferencia entre los
vectores u y v.
v u
       
( , ) ( , )
2 1 3 2 1 5 1 5 26
2 2
de lo anterior obtenemos la siguiente definición:
Definición 5.5. Sean u y v dos vectores, entonces la distancia entre u y v es
la longitud del vector v–u, es decir: d (v,u) = v u

La distancia, definida de esta manera, posee las siguientes propiedades y
nos va a permitir generalizarla a espacios vectoriales distintos de Rn
.

9. Álgebralineal
177
Teorema 5.2. Si d (v,u) = v u
 es la distancia entre u y v, entonces
i) d (v, u) > 0,
ii) d (v, u) = 0 si v = u
iii) d (v, u) = d (u, v)
iv) d (v, u)  d (v, w) + d(w, u) (Desigualdad del triángulo)
Viendo las características que debe cumplir una distancia surge la pregunta,
¿será ésa la única forma de definir una distancia? La respuesta es no.
Pondremos ejemplos en las siguientes secciones.
Ejercicio 1
1. Encuentra la magnitud y dirección de los siguientes vectores:
a) x = (3,–4)
b) y = (–1,0)
c) u = (–2/3, 1/2)
d) w = (0, –5)
2. Encuentra el vector unitario que tenga la misma dirección que el vector
dado:
a) u = (2, –3)
b) v = (–3, 4)
c) w = (–2, 3)
3. Encuentra la distancia entre las siguientes parejas de vectores:
a) a = (–1,–2), b = (3, –2)
b) c = (2, 3), d = (–4, 0)
c) e = (0, 3), f = (0, –2)
5.2. Producto interno, ángulo entre vectores
en R2
En la unidad 1 definimos el producto escalar de dos vectores en Rn
de la
siguiente manera:

10. 178
Unidad 5
si u = (u1
, u2
, ..., un
) y v = (v1
, v2
, ..., vn
) son dos vectores en Rn
, entonces
u•v = u1
v1
+ u2
v2
+ ... + un
vn
. Si trasladamos este resultado a R2
tenemos la
siguiente definición:
Definición 5.6. Sean u = (a1
, b1
) y v = (a2
, b2
), entonces el producto interno
de u y v es
u•v = a1
a2
+ b1
b2
.
Al producto interno también se le llama producto punto.
Recordemos que el producto interno es un número real al igual que la
magnitud de un vector. ¿Habrá alguna relación entre ellos?
El siguiente teorema nos indica cuál es esa relación y nos brinda otra
manera (que vamos a poder generalizar), de encontrar la magnitud de un
vector.
Teorema 5.3. Sea v un vector de R2
, entonces v v v
2
 
Vamos a probar que éste es otro método para encontrar la magnitud de un
vector:
Ejemplo 6
Consideremos el vector v = (3,–5), entonces
v      
3 5 9 25 34
2 2
( )
usando el teorema anterior tenemos que
v•v = (3)(3) + (–5)(–5) = 9 + 25 = 34 = v 2
y como podemos observar, ambos métodos dan el mismo resultado.
¿Qué significado geométrico tendrá el producto interno de dos vectores en R2
?
La siguiente definición nos ayudará a aclararlo.

11. Álgebralineal
179
Definición 5.7. Sean u y v dos vectores diferentes de cero. El ángulo 
entre u y v es el ángulo no negativo más pequeño ( 0  
  ) que hay entre
ellos.
Si v = u, entonces  = 0 si y  =  si < 0 (Figura. 5.14).
En la figura 5.14. se observa gráficamente cómo es que se toma el ángulo
, el más pequeño de los dos ángulos que se forma entre dos vectores.
El siguiente resultado nos da una manera de encontrar el ángulo entre dos
vectores.
Teorema 5.4. Si u y v son dos vectores diferentes de cero y  es el ángulo
entre ellos, entonces cos 

u v
u v
Este teorema nos permite tener una expresión para el producto interno
u v u v
  cos en términos del ángulo entre dos vectores y sus magnitudes.
En el siguiente ejemplo usaremos este teorema para encontrar el ángulo
entre dos vectores.

12. 180
Unidad 5
Ejemplo 7
Sean u = (2,3) y v = (–7,1) el producto interno es u•v = (2)(–7) +
(3)(1) = –14 + 3 = –11, las magnitudes son u     
2 3 4 9 13
2 2
y
v      
( ) ( )
7 1 49 1 50
2 2
por lo tanto: cos 





  


u v
u v
11
13 50
11
13 50
11
650
y
 cos 






1 11
650

Existen particularidades entre dos vectores cuyos ángulos son 0, /2 (90°),
 (180°), 3y 2 (360°).
La siguiente definición nos dice en qué consisten las particularidades.
Definición 5.8. Dos vectores diferentes de cero, u y v son:
a) paralelos si el ángulo entre ellos es cero o  (180°)
b) ortogonales (perpendiculares) si el ángulo entre ellos es /2 (90°) o 3/2
(270°).
En el siguiente ejemplo verificaremos vectores que son paralelos u
ortogonales y posteriormente generalizaremos los resultados obtenidos.

13. Álgebralineal
181
Ejemplo 8
a) Consideremos los vectores u = (2,1) y v = (4, 2), determina si son
paralelos u ortogonales.
Vamos a encontrar el producto interno u•v = (2)(4) + (1)(2) = 8 + 2 = 10;
sus magnitudes u     
2 1 4 1 5
2 2
y
v     
( ) ( )
4 2 16 4 20
2 2
y el ángulo que hay entre ellos.
cos 

   
u v
u v
10
5 20
10
100
10
10
1 y = cos–1
(1)
de donde podemos concluir que u y v son paralelos.
b) Consideremos los vectores u = (2,1) y v = (–4, –2), determina si son
paralelos u ortogonales.
El producto interno u•v = (2)(–4) + (1)(–2) = –8 + (–2) = –10;
sus magnitudes u     
2 1 4 1 5
2 2
y v       
( ) ( )
4 2 16 4 20
2 2
y el ángulo que hay entre ellos
cos 







 
u v
u v
10
5 20
10
100
10
10
1 y cos–1
(–1)18

14. 182
Unidad 5
de donde podemos concluir que u y v son paralelos.
c) Sean u = (2,1) y v = (–1, 2), determina si son paralelos u ortogonales.
El producto interno u•v = (2)(–1) + (1)(2) = –2 + 2 = 0;
sus magnitudes u     
2 1 4 1 5
2 2
y
v      
( ) ( )
1 2 1 4 5
2 2
y el ángulo que hay entre ellos
cos 

   
u v
u v
0
5 5
0
25
0
5
0 y cos–1
(0)9
de donde podemos concluir que u y v son ortogonales.
En el ejemplo anterior observamos que si los vectores son ortogonales, el
coseno de su ángulo es cero, pero como el coseno es un cociente, el numerador
debe ser cero, de donde se desprende el siguiente resultado:

15. Álgebralineal
183
Teorema 5.5. Dos vectores u y v , diferentes de cero, son ortogonales, si y
sólo si, su producto interno es cero, es decir u•v = 0.
Este resultado nos va a ser muy útil cuando generalicemos la noción de
ortogonalidad en espacios vectoriales distintos de Rn
.
Ejemplo 9
Considera la pareja de vectores u = (–3, 4) y v = (2, –6), su producto
interno u•v = (–3)(2) + (4)(–6) = –6 + (–24) = –30, por lo tanto podemos
asegurar que u y v no son ortogonales.
Ejercicio 2
1. Encuentra el producto interno de las siguientes parejas de vectores:
a) (3, –2), (3, 4)
b) (0,3), (–1,0)
c) (–5,–1), (5, 1)
2. Encuentra el ángulo entre las parejas de vectores del ejercicio anterior.
3. Di si las siguientes parejas de vectores son paralelos, ortogonales o
ninguna de las dos cosas:
a) (–2, 4), (1, –2)
b) (8, 1), (–1, 8)
c) (3, 0), (1,1)
4. ¿Cuáles deberán ser las coordenadas del vector u para que sea ortogonal
al vector v = (2, –3)?

16. 184
Unidad 5
5.3. Espacios vectoriales no euclideanos con
producto interno
En esta sección generalizaremos los conceptos que vimos en las secciones
anteriores a espacios vectoriales no euclideanos, es decir, espacios vectoriales
que no tengan ninguna relación con Rn
. Comenzaremos con el concepto de
producto interno.
Definición 5.9. Sea V un espacio vectorial. Decimos que V tiene producto
interno, si para cada pareja de vectores u y v en V existe un escalar único (u, v),
llamado producto interno de u y v que satisface las siguientes propiedades:
Si u, v y w están en V y  es un escalar;
i) (v, v)  0
ii) (v, v) = 0 si y sólo si v = 0
iii) (u, v + w) = (u, v) + (u, w)
iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w)
v) (u, v) = (v, u)
vi) (u, v) = (u, v)
vii) (u, v) = (u, v)
Nota: En otros textos el producto interno se representa por <v, v>
Daremos varios ejemplos de espacios vectoriales con producto interno.
Ejemplo 10
a) Consideremos el espacio vectorial Dn
de las matrices diagonales de
orden nn. Sean A, B en Dn
, definimos (A, B) = a11
b11
+ a22
b22
+ ... + ann
bnn
vamos a probar que es un producto interno. Sean A, B, C en Dn
i) (A, A) = a11
a11
+ a22
a22
+ ... + ann
ann
= a11
2
+ a22
2
+ ... + ann
2
 0
ya que todos son cuadrados.
ii) (A, A) = 0, entonces
a11
a11
+ a22
a22
+ ... + ann
ann
= a11
2
+ a22
2
+ ... + ann
2
= 0
lo cual sucede sólo si todas las aii
= 0, entonces A es la matriz cero.
iii) (A, B + C) = a11
(b11
+ c11
) + a22
(b22
+ c22
) + ... + ann
(bnn
+ cnn
)
= [a11
b11
+ a11
c11
] + [a22
b22
+ a22
c22
]+ ... + [ann
bnn
+ ann
cnn
]
= [a11
b11
+ a22
b22
+ ... + ann
bnn
] + [ a11
c11
+ a22
c22
+ ... + ann
cnn
]

17. Álgebralineal
185
= (A, B) + (A, C)
iv) (A + B, C) = (a11
+ b11
) c11
+ (a22
+ b22
) c22
+ ... + (ann
+ bnn
) cnn
= [a11
c11
+ b11
c11
] + [a22
c22
+ b22
c22
]+ ... + [ann
cnn
+ bnn
cnn
]
= [a11
c11
+ a22
c22
+ ... + ann
cnn
] + [ b11
c11
+b22
c22
+ ... + bnn
cnn
]
= (A, C) + (B, C)
v) (A, B) = a11
b11
+ a22
b22
+ ... + ann
bnn
como el producto de números es
conmutativo, se tiene que:
(A, B) = b11
a11
+ b22
a22
+ ... + bnn
ann
= (B, A)
vi) (A, B) = a11
b11
+ a22
b22
+ ... + ann
bnn
; factorizando tenemos
que:
(A, B) = ( a11
b11
+ a22
b22
+ ... + ann
bnn
) =  (A, B)
vii) (A, B) = a11
(b11
) + a22
(b22
) + ... + ann
(bnn
); factorizando 
 tenemos que
(A, B) = ( a11
b11
+ a22
b22
+ ... + ann
bnn
) =  (A, B)
Por lo tanto (A, B) = a11
b11
+ a22
b22
+ ... + ann
bnn
satisface las características
de producto interno.
b) Consideremos C[a, b] el espacio vectorial de las funciones continuas en
el intervalo [a, b].
Definimos en C[a, b] a (f, g) = f t g t dt
a
b
   
 , vamos a probar que es un
producto interno.
Sean f, g, h en C[a, b], entonces:
i) ( f, f ) = f t f t dt f t dt
a
b
a
b
( ) ( ) ( )
 


2
0, ya que f 2
no es negativa.
ii) ( f, f ) = f t dt
a
b
2
( )
 = 0 únicamente si f(t) = 0
iii) ( f, g+h) = f t g t h t dt f t g t f t h t dt
a
b
a
b
( )    

 
         

 

  ;
propiedad de la integral
 
 
f t g t dt f t h t dt
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( ) = ( f, g) + ( f, h)
iv) ( f + g, h) = f t g t h t dt f t h t g t h t dt
a
b
a
b
   

 
  



         

 

  ;
propiedad de la integral
         
 
f t h t dt g t h t dt
a
b
a
b
= (f, h) + (g, h)

18. 186
Unidad 5
vi) (f, g) =  
f t g t dt f t g t dt
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )
 
 = f, g)
vii) (f, g) = f t g t dt f t g t dt
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )
 
  
  = f, g)
Por lo anterior (f, g) = f t g t dt
a
b
( ) ( )
 es un producto interno en C[a,b].
5.4. Norma. Propiedades
En esta sección, definiremos y generalizaremos el concepto de longitud,
también llamado norma.
Definición 5.10. Sea V un espacio vectorial con producto interno definido
y u en V.
La norma de u, que se denota u está dada por u u u
 ( , ) .
Esta definición nos muestra un modo de encontrar la longitud de objetos
que en apariencia no la tienen. Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 11
a) Consideremos el espacio D3
con el producto interno definido en el
ejemplo 10a; encontraremos la norma de una matriz en D3
.
Sea A =
3 0 0
0 5 0
0 0 4









en D3
, entonces (A, A) = 32
+ (–5)2
+ 42
= 9 + 25 +
16 = 50
y la norma de A es A = (A,A)  50
b) Consideremos el espacio P2
[0,1], de todos los polinomios de grado
menor o igual a dos continuos en el intervalo [0, 1]. Como P2
[0,1] es un
subespacio de C[0,1], podemos usar el producto interno definido en el ejemplo
10b.

19. Álgebralineal
187
Sea f (t) = t2
–3t en P2
[0,1],
(f, f) = f t dt t t dt t t t dt
2
0
1
2 2 4 3 2
0
1
0
1
3 6 9
( )
 

 

 
   

 

=
t t t
5 4 3
0
1
5
6
4
9
3
   1/5 – 6/4 + 9/3 = 17/10
la norma de f es f f f
 
( , ) /
17 10
por lo tanto podemos decir que: f f f f t dt
  
( , ) ( )
2
0
1
En el siguiente teorema se enuncian las propiedades que satisfacen cualquier
norma independientemente del producto interno del que provenga.
Teorema 5.6. Sea V un espacio vectorial con producto interno, y una norma
definida, entonces:
i) u  0
ii) u = 0 si y sólo si u = 0
iii)  
u u

iv) u v u v
  
Nota que las primeras tres propiedades se deducen de las propiedades que
cumple el producto interno. Vamos a probar que se cumple la cuarta propiedad
en un ejemplo.
Ejemplo 12
Consideremos el espacio vectorial D3
con la norma definida en el ejemplo
11a.
Sean A =
1 0 0
0 1 0
0 0 3











y B =
2 0 0
0 3 0
0 0 1











en D3
, entonces:
A+ B   
( , )
A B A B

20. 188
Unidad 5
A + B =
3 0 0
0 2 0
0 0 2








; (A + B, A + B) = 9 + 4 + 4 = 17 de donde:
A+ B  17
A A A
    
( , ) 1 1 9 11 y B B B
    
( , ) 4 9 1 14
y por lo tanto 17 11 14
  que implica A B A B
  
En R2
vimos que los vectores unitarios tenían características especiales
y eran fáciles de manejar, ¿sucederá lo mismo en otros espacios vectoriales?
Consideremos la siguiente definición, que es una generalización de la definición
de vector unitario en R2
.
Definición 5.11. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea u
un vector de V.
Decimos que u es vector unitario si u = 1
Veamos los vectores unitarios de los ejemplos 11a y 11b.
Ejemplo 13
Consideremos el espacio D3
con la norma definida A A A
 ( , ) .
Sea A =
a
b
c
0 0
0 0
0 0








Si A es unitario, entonces: A A A
    
( , ) a b c
2 2 2
1 eso señala
que a b c
2 2 2
  = 1. Lo que nos indica que las matrices diagonales de 33
unitarias son aquellas cuya suma de los cuadrados de la diagonal es 1.
¿Podremos construir vectores unitarios? La respuesta nos la da el siguiente
resultado, que utilizaremos más adelante para construir bases llamadas
ortonormales.

21. Álgebralineal
189
Teorema 5.7. Sea V un espacio vectorial con producto interno y una norma
definida.
Sea u un vector en V, entonces el vector v =
u
u
es un vector unitario.
Este teorema nos proporciona un método para construir vectores unitarios.
Usaremos como ejemplo el espacio vectorial de las matrices diagonales
(ejemplo 13).
Ejemplo 14
Sea A =
3 0 0
0 2 0
0 0 1











, entonces su norma es:
A A A
     
( , ) ( )
3 2 1 14
2 2 2
Construyamos el vector unitario
B =
A
A

1
14
3 0 0
0 2 0
0 0 1











=
3 14 0 0
0 2 14 0
0 0 1 14
/
/
/











vamos a encontrar la norma de B
B B B
    
( , ) ( / ) ( / ) ( / )
3 14 2 14 1 14
2 2 2
    
9 14 4 14 1 14 14 14 1
/ / / /
por lo que efectivamente B es un vector unitario.

22. 190
Unidad 5
Ejercicio 3
1. Encuentra la norma de las siguientes matrices en D3
:
a) A =












3 0 0
0 7 0
0 0 10
b) B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1








2. Usa el teorema 5.7. para construir, a partir del vector f(t) = t2
+3 de
P2
[0,1] un vector unitario en P2
[0,1]
5.5. Distancia. Propiedades
Una vez definida la norma de un vector podemos generalizar el concepto
de distancia, de la siguiente manera:
Definición 5.12. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sean u
y v elementos de V.
La distancia entre u y v se define como la norma de la diferencia de los
vectores u y v.
d (u, v) = u v

Esta definición nos permitirá encontrar la distancia entre vectores que
no son de Rn
y en los cuales será importante definir conceptos como discos
abiertos y discos cerrados los cuales se requieren en conceptos más complejos
como límites y derivadas en cálculo vectorial.
Ejemplo 15
Encontrar la distancia entre las funciones f(t) = 2t2
– 3 y g(t) = –5t2
– 1 que
son elementos del espacio vectorial C[0, 1] con la norma definida en el ejemplo
11b.

23. Álgebralineal
191
f – g = 2t2
– 3 –(–5t2
– 1) = 2t2
– 3 + 5t2
+ 1 = 7t2
– 2,
     
  
g t dt t t dt
( ) ( )
7 2 49 28 4
2 2
0
1
4 2
0
1
      
49
5
28
3
4
49
5
28
3
4 2 11
5 3
0
1
t t t .
La distancia cumple ciertas propiedades que tienen relación con aquellas
que cumplen tanto la norma como el producto interno del cual está definido.
Estas propiedades se muestran en el siguiente teorema:
Teorema 5.8. Sean V un espacio vectorial con producto interno y d una
distancia definida en V tal que si u , w y v son vectores de V, entonces:
i) d (u, v) 0
ii) d (u, v) = 0 si y sólo si u = v
iii) d (u, v) = d (v, u)
iv) d( u, w)  d (u, v) + d (v, w)
Las tres primeras propiedades son consecuencia directa de la definición de
la norma; en cuanto a la cuarta, es una propiedad conocida como desigualdad
del triángulo.
Probaremos la segunda en el caso de las matrices diagonales en D2
con la
norma definida en el ejemplo 13.
Ejemplo 16
Sean A y B matrices en D2
, entonces A =
a
b
0
0





 y B =
c
d
0
0





 ,
supongamos que
d (A, B) = 0, esto implica que
A B A B A B
        
( , ) ( ) ( )
a c b d
2 2
0
de donde (a – c)2
+ (b – d)2
= 0, por lo tanto a – c = b – d = 0
esto nos conduce a que a = c y b = d y A = B.

24. 192
Unidad 5
Ejercicio 4
1. Encuentra la distancia entre las funciones f(t) = 3t + 4 y g(t) = t2
+ 4 de
P2
[0,1] con la distancia definida como en el ejemplo 15.
5.6. Ángulo entre dos vectores. Proyección de
un vector sobre otro
Otro de los conceptos que vale la pena generalizar es el de ángulo entre
vectores, ya que nos proporciona un modo de definir vectores ortogonales,
los cuales serán importantes en la construcción de bases ortonormales para
un espacio vectorial, pues tienen características especiales que ayudarán en el
manejo de solución de ecuaciones usando vectores y valores propios.
Definición 5.13. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sean u,
v vectores en V.
El ángulo entre u y v es un número real en el intervalo 0  
  tal
que
cos
,
 
 
u v
u v
Vamos a encontrar el ángulo entre dos matrices A y B del espacio vectorial D2
.
Ejemplo 17
Consideremos A =
1 0
0 1






 y B =
1 0
0 2





 (A, B ) = 1 + (–2) = –1
A A A
     
( , ) a b
2 2
1 1 2
B B B
     
( , ) a b
2 2
1 4 5
entonces, cos
,
.
 
 




 
A B
A B
1
2 5
1
10
0 316227 de donde

25. Álgebralineal
193

Construiremos ahora lo que se denomina proyección de un vector sobre
otro.
En esta parte usaremos el espacio euclideano R2
para ejemplificar el
significado de la proyección, aunque la definición se dará para espacios
vectoriales con producto interno cualquiera.
Definición 5.14. Sean u y v dos vectores diferentes de cero en un espacio
vectorial V con producto interno. Entonces la proyección de u sobre v es un
vector denotado por proyv
u que se define como proyv
u =
u v
v
v
,
 
2
Haremos una ejemplificación en R2
para ver cuál es su significado.
Ejemplo 18
Encontrar la proyección del vector u = (2,3) sobre el vector v = (4,–1)
(u, v) = 8–3 = 5; v
2
= 16 +1 = 17 entonces
proyv
u =
u v
v
v
,
 
2
=
5
17
(4, –1) = (20/17, –5/17)
Observemos que la proyv
u es un vector en la misma dirección de v.
Este concepto permitirá encontrar la proyección ortogonal de un vector
sobre otro, que se manejará en la siguiente unidad.

26. 194
Unidad 5
Ejercicio 5
1. Sean f, g  C[0, 1], encuentra el ángulo entre las funciones f(t) = t y
g(t) = et
.
2. Encuentra la proyección del vector u = (2, –1) sobre el vector v = (–3, 2).
3. ¿Cuál debe ser el ángulo entre u y v para que proyv
u = 0?
Ejercicios resueltos
1. Encuentra la magnitud y dirección del vector u = (5, –1)
u      
5 1 25 1 26
2 2
( )
tan tan .
 


 






  

1
5
1
5
348 41 6 08
1 D
' radianes.
2. Encuentra el vector unitario en la misma dirección que v = (1, –2):
v      
1 2 1 4 5
2 2
( )
u =
v
v


 
( , )
( / , / )
1 2
5
1 5 2 5
Vamos a checar que u es unitario.
u       
( / ) ( / ) / / /
1 5 2 5 1 5 4 5 5 5 1
2 2
3. Encuentra el vector unitario de D2
a partir de la matriz B 







3 0
0 1
B B B
    
( , ) ( )
3 1 10
2 2
Construyamos la matriz
A
B
B
 






 







1 1
10
3 0
0 1
3 10 0
0 1 10
/
/

27. Álgebralineal
195
Probaremos que la matriz A es unitaria:
A A A
      
( , ) ( / ) ( / ) / /
3 10 1 10 9 10 1 10 1
2 2
4. Encuentra la proyección del vector u = (2, –5) sobre v = (4, 1)
Según nuestra fórmula proyv
u =
u v
v
v
,
 
2
.
(u, v) = 8–5 = 3; v
2
=16 + 1 = 17, entonces:
proyv
u = 3/17(4,1) = (12/17, 3/17).
Ejercicios propuestos
1. Encuentra la magnitud y dirección del vector v = (2, 5 ).
2. Encuentra el vector unitario en la misma dirección que v = (–4, –3).
3. Encuentra un vector ortogonal al vector v = (a, b).
4. Encuentra la norma de la matriz A =
2 0 0
0 1 0
0 0 3











de D3
.
5. Encuentra un vector unitario en D3
a partir de la matriz A =
2 0 0
0 1 0
0 0 3











.
6. Encuentra la distancia en P2
[0,1] entre las funciones f(t) = t+1 y
g(t) = –2t + 1.
7.EncuentraelánguloentrelasmatricesdeD2
A 







1 0
0 1
y B 







1 0
0 1
.
8. Encuentra la proyección de u = (1, 0) sobre v = (1, –1)

28. 196
Unidad 5
Autoevaluación
1. Es la longitud del vector (3, –4):
a) 25
b) 7
c) 5
d) 1
2. La dirección del vector (4, 8) es:
a) 
b) tan ( )


1
8 4
c) 8/4
d) tan ( )
1 8
4
3. El vector unitario en la dirección de u = (4,3) es:
a) (7, 13)
b) (8, 6)
c) (4/5, 3/5)
d) (4/7, 3/7)
4. Es el producto interno de (3,4) y (3, 2):
a) (3+3)(4+2) = 36
b) 3(3) + 4(2) = 17
c) (3 –3)(2 –4) = 0
d) 3(3) – 4(2) = 1
5. Los vectores (2, –12) y (3, 1/2) son:
a) Ni paralelos ni ortogonales.
b) Paralelos.
c) Ortogonales.
d) Idénticos.
6. Es la expresión para la proyección del vector u sobre el vector v:
a)
u v
v
v
,
 
2
b)
v u
u
u
,
 
2

29. Álgebralineal
197
c)
u v
u
v
,
 
2
d)
u v
v
u
,
 
2
7. Es el producto interno de las funciones f(t) = t y g(t) = t3
en C[0, 1]:
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
8. Es la norma de la matriz
3 0 0
0 2 0
0 0 8











en D3
:
a) 3
b) 77
c) 77
d) 69
9. Es el vector unitario en D2
a partir de
3 0
0 5






 :
a)
3 34 0
0 5 34
/
/







b)
3 34 0
0 5 34
/
/







c)
9 34 0
0 25 34
/
/






d)







5 0
0 3
10. Encuentra el ángulo entre las funciones f(t) = sen t y g(t) = cos t en
C[0,2]
a) 0
b) 180°
c) 90°
d) 45°

30. Álgebralineal
199
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1.
a) Magnitud = 5; dirección = 306.87° = 5.36 radianes.
b) Magnitud = 1; dirección = 180° =  radianes.
c) Magnitud = 5/6; dirección = 143.13° = 2.5 radianes.
d) Magnitud = 5; dirección = 270° = 3radianes.
2.
a) ( / , / )
2 13 3 13

b) (–3/5, 4/5)
c) ( / , / )
2 13 3 13
3.
a) 4
b) 45
c) 5
Ejercicio 2
1.
a) 1
b) 0
c) –26
2.
a) 86.82°
b) 90°
c) 180°
3.
a) Son paralelos.
b) Son ortogonales.
c) No son parelelos ni ortogonales.

31. 200
Unidad 5
4. Cualquiera de la forma k(3, 2) con k real.
Ejercicio 3
1.
a) 158
b) 3
2. g(t) =
1
3
5
56
3
56
5
2 2
( ) ( )
t t
  
Ejercicio 4
1. d ( f, g) = 77 10
/
Ejercicio 5
1. 14.18°
2. (24/13, –16/13)
3. 90°
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. magnitud = 3; radianes = 0.84; dirección = 48.19°
2. (–4/5, –3/5)
3. (b, –a)
4. 14
5. 2/ 14 0 0
0 1/ 14 0
0 0 3/ 14











6. 3
7. 180° =  radianes
8. (1/2, –1/2)

32. Álgebralineal
201
Respuestas a la autoevaluación
1. c)
2. d)
3. c)
4. b)
5. c)
6. a)
7. d)
8. c)
9. b)
10. c)