Apuntes de vectores

Primera Sección: Vectores
Ingeniería y vectores
Los contaminantes de las aguas subterráneas pueden entrar en el agua potable de una
comunidad atravezando la roca porosa del manto acuífero.
Si las aguas freáticas fluyen a una velocidad v1 por una zona de contacto entre dos tipos de
rocas, su velocidad cambia a v2.
En estos casos, la dirección y la velocidad de circulación se pueden obtener mediante la
fórmula:
2
1
2
1
φtg
φtg
v
v
=
Donde los ángulos ϕ1 y ϕ2 son como se muestran en la figura:
Sabiendo que para la Piedra Arenisca: 5v 1 =
día
cm
y que para la Piedra Caliza:
8,3v 2 =
día
cm
, calcule las componentes de los vectores v1 y v2 siendo ϕ1 = 30º.
v1
φ1
φ2
v2
Arenisca
Caliza

2
Introducción
Tanto en Física como en la vida cotidiana hay cantidades tales como el tiempo, la
temperatura, la masa, la densidad, la cantidad de carga eléctrica, la cantidad de baldosas
necesarias para cubrir el piso de un patio, entre otras que quedan completamente definidas
por un número real y la unidad correspondiente. Este tipo de magnitudes se denominan
magnitudes escalares.
Sin embargo, otras cantidades tales como la velocidad, la fuerza necesaria para correr un
mueble, tienen una cualidad “direccional”.
Por ejemplo, imagine que dos pintores: Carlos y Juan están pintando el living de una casa,
por tal motivo deben correr un escritorio que se encuentra en un rincón apoyado sobre dos
paredes. Carlos le dice a su compañero que prepare la pintura mientras él lo corre. Entonces,
Carlos decide colocar una soga alrededor del mueble, y aplica una fuerza sobre el mismo
para desplazarlo.
¿Es suficiente decir que Carlos aplicó una fuerza de F unidades de fuerza para lograr su
objetivo?........ Es claro, que no alcanza con especificar la fuerza aplicada mediante un número
real, ya que resulta importante la dirección y el sentido en que dicha fuerza se aplica con el
fin de lograr el objetivo.
El modelo matemático para representar estas cantidades en las cuales importa la dirección y
el sentido, además de la magnitud, es el concepto de vector y se denominan magnitudes
vectoriales.
Se llaman magnitudes escalares aquellas que se caracterizan mediante un número real con
una unidad apropiada de medida.
Se llaman magnitudes vectoriales aquellas que se caracterizan por su magnitud, su
dirección y su sentido
En este módulo desarrollaremos conceptos del Álgebra Vectorial, estudiando las operaciones
y propiedades de los vectores en el espacio bidimensional: R2
y tridimensional R3
.
Propósitos
Esperamos que logre dar respuesta a las siguientes preguntas cuando finalice la lectura
comprensiva y activa de la presente unidad.

3
• ¿Qué es un vector?
• ¿Cuándo dos vectores son equipolentes?
• ¿Qué propiedades cumple la suma de vectores?
• ¿Qué propiedades cumple el producto de un vector por un escalar?
• ¿Cómo se determinan las componentes del vector posición de un punto de R2
y de R3
?
• ¿Cuáles son las componentes de un vector si se conocen las coordenadas del punto origen
y las coordenadas del punto extremo?
• ¿Qué carasterística tiene un versor?, ¿Cómo determinar el versor asociado a un vector?
• ¿Cuáles son los versores canónicos?, ¿Cómo se define un vector en función de ellos?
• ¿Cómo obtiene algebraica y geométricamente el vector suma de dos vectores?
• ¿Cómo obtiene algebraica y geométricamente el vector resultado del producto entre un
número real y un vector?
Recuérdelas y a medida que avance en el estudio de los temas de la unidad vuelva a estas
preguntas que son la guía de su estudio.
Vector
Un segmento de recta queda determinado por sus puntos extremos, si estos puntos están dados
en cierto orden se dice que el segmento esta orientado y a este segmento orientado se lo llama
vector.
En la figura, observamos como representamos geométricamente a un vector:
vAB =
A
B
r En la recta r elegimos dos puntos: A y B, si
consideramos que el punto A es el origen y B es el
extremo tendremos un segmento orientado, el vector
AB, y por ser una magnitud vectorial, se identifica: una
dirección, un sentido y una magnitud.
La recta r es la dirección del segmento orientado. Al
decir: “con origen en A y extremo en B” estamos dando un
sentido . Además, la longitud desde el origen A hasta el
extremo B es la magnitud, norma o módulo del vector.
D

4
Clasificación de vectores
Los vectores admiten una clasificación teniendo en cuenta el contexto en el cual se aplican.
Podemos hablar de: vectores fijos, vectores deslizantes y vectores libres. En Física
trabajará con vectores de los tres tipos mencionados, pero en esta asignatura trabajaremos con
los vectores libres.
Para poder definir el concepto de vector libre necesitamos definir vectores equipolentes
Es sencillo comprobar que los vectores de la figura tienen el mismo sentido, el mismo
módulo y la misma dirección
Imagínese que con una línea une los puntos A y C y con otra línea une los puntos B y D.
¿Qué figura obtiene?................
La figura que obtiene es un paralelogramo, en consecuencia puede afirmar que los vectores:
- tienen la misma dirección. ¿porqué?...........
- tienen el mismo módulo. ¿porqué?...........
- el sentido es el mismo. ¿porqué?...........
Por lo tanto, diremos que:
Dos vectores son equipolentes cuando tienen la misma dirección, sentido y módulo.
Luego, un vector libre es el representante de todos los vectores que son equipolentes a uno
dado.
v es el representante de los vectores del conjunto
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
D

5
Adición de Vectores
Retomando el problema de los pintores, supongamos que el escritorio es muy pesado y que
Carlos no puede moverlo solo, así que le pide ayuda a Juan, quién contribuye y entre los
dos logran moverlo. ¿Qué ocurrió?..............Evidentemente, las fuerzas aplicadas, generaron
otra fuerza que actúa sobre el cuerpo y que permite el movimiento del mismo. Además,
durante el desplazamiento ambos pintores observan que éste se produce en una dirección
distinta. ¿Qué dirección y sentido tiene esta fuerza?...........El modelo matemático que nos
permite dar respuesta al interrogante es el concepto de adición de vectores.
Si
→
v y
→
w son dos vectores entonces podemos definir el vector suma:
→→→
+= wvu
El vector suma se obtiene gráficamente colocando al vector
→
w de modo que su punto inicial
coincida con el punto terminal de
→
v . El vector suma:
→
u se representa uniendo el punto
inicial de
→
v con el punto terminal de
→
w .
Es decir, sean: entonces:
Propiedades de la adición de vectores:
1) Ley de composición interna: La suma de dos vectores es un vector:
→→→
+= wvu
2) Conmutatividad:
→→→→
+=+ vwwv
3) Asociatividad:
→→→→→→→→→
++=++=++ uwvuwvuwv )()(
4) Existencia de elemento neutro: Existe un elemento denominado vector nulo
→
0 tal
que para cualquier vector
→
v se cumple que
→→→→→
=+=+ vv00v y constituye el
elemento neutro para la suma de vectores.
5) Existencia de elemento opuesto: Para todo vector
→
v existe un vector opuesto
→
− v
tal que :
→→→→→
=+−=−+ 0vvvv )( .
→
v
→
w
→
w
→
v
→→→
+= wvu
D

6
Por cumplirse estas propiedades para la suma de vectores, diremos que: el par (V;+) es un
Grupo Conmutativo o Abeliano, donde: V es el conjunto de vectores y “+” es la suma de
vectores que definimos anteriormente.
¿Qué otros Grupos Abelianos conoce?..........
A raíz de las propiedades de la suma de vectores, podemos definir la diferencia entre
vectores de la siguiente forma:
Si
→
v y
→
w son vectores cualesquiera, entonces podemos definir al vector diferencia:
→
u =
→
v
–
→
w como:
→
u =
→
v –
→
w = 





−+
→→
wv
Ejemplo
Ejercicio
1. Teniendo en cuenta la figura, determine el vector que se pide en cada caso:
ehgzsizc
khcbysiyb
fbxsixa
++=
−++=
=+
)
)
)
D
CB
A
Los vectores
→
v y
→
w representan los lados del
paralelogramo ABCD que se muestra en la
figura. →
v
→
w
Determine:
a) La suma de los vectores:
→
v +
→
w
b) La resta de los vectores:
→
v –
→
w
a
h
e
g
b
k
c
d
f
D

7
Producto de un vector por un escalar
Sea
→
v un vector diferente del nulo y un número real (escalar) diferente de cero, entonces el
producto α
→
v se define como el vector cuya longitud es α .
→
v y cuya dirección es la
misma que la de
→
v si α > 0 y opuesta si α < 0.
Observemos algunos casos gráficamente:
Propiedades del producto por un escalar
1) Ley de composición externa: El producto entre un vector y un escalar es un
vector , es decir: vu α=
2) Asociatividad Mixta : α ( β
→
u ) = (α β)
→
u = β (α
→
u )
3) Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores : α (
→→
+ wv ) = α
→
v + α
→
w
4) Propiedad distributiva respecto a la suma de escalares: (α + β)
→
u = α
→
u + β
→
u
5) El escalar 1 es neutro para el producto por un escalar: 1
→
u =
→
u 1 =
→
u
Espacio Vectorial
Sea V: el conjunto de vectores, R: el conjunto de números reales y las operaciones: “+”: la
suma de vectores y “.”:producto entre un número real y un vector. Diremos que la cuaterna:
(V; + ; R ; .) es un Espacio Vectorial por cumplirse en el conjunto V las propiedades que
se enuncian para las operaciones definidas.
v
v2
uu−
w
w
2
1
D

8
Ejercicio
2. Resuelva graficamente las siguientes operaciones teniendo en cuenta los vectores que se
muestran en la figura:
a b
a)
b)
Vectores en sistemas de coordenadas
Vectores en el espacio bidimensional: R2
Sea el sistema cartesiano ortogonal: Oxy.
Todo punto P = (xp ; yp) tiene asociado una vector
→
v que se denomina vector posición del
punto P.
El origen del vector posición es el origen de coordenadas y el extremo del vector posición es
el punto P como muestra la figura.
En consecuencia, podemos escribir al vector
en términos de las coordenadas del punto P,
donde diremos que:
xp es la componente del vector en la dirección del eje x
yp es la componente del vector en la dirección del eje y
Por lo tanto:
La expresión analítica del vector posición del punto P es: OP = ),( pp yxv =
→
Teniendo en cuenta la expresión analítica de un vector en R2
se define:
1) Sean ),( yx vvv = y ),( yx uuu =
→
entonces: )uv,uv(uv yyxx ++=+
→→
2) Sea ),( yx vvv = y α un escalar entonces: );( yx vvv αα=α
→
ba2 −
)ba(2 +−
O
x
y
yP
xP
P
D
D
D

9
Ejemplo
El punto del plano P(–3 ; 5) tiene asociado un vector con origen en el origen de
coordenadas y extremo en el punto P, cuyas componentes son: );( 53OP −= ,
gráficamente:
Ejercicio
3. Utilice el gráfico que se da a continuación para dar la expresión en función de las
componentes de cada vector
y
1
1 x
4. Considerando el mismo gráfico, resuelva algebraicamente las siguientes
operaciones:
d2)a(c)cd3b2a)b)cb(a)a +−+++++
5. Considerando los vectores: )a;a(a yx= y )b;b(b yx= y los números reales: α y
β compruebe las siguientes propiedades:
bαaα)ba(α)c0)a(a)ba0a)a +=+=−+=+
)aβ(αa)βα()eaa1)d ==
a
b
c
d
y
x
5
–3
P
O

10
Vectores en el espacio tridimensional: R3
Análogamente a R2
, en R3
todo punto: P = (xp,yp,zp), tiene asociado un vector posición:
→
v ,
cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo es el extremo del punto P.
Definimos analíticamente al vector posición
del punto P como: =OP ),,( ppp zyxv =
→
A partir de la expresión analítica de un vector en R3
: ),,( zyx vvvv = , podemos definir la
suma y el producto de un vector por un escalar de la siguiente forma:
1) Sean ),,( zyx vvvv = y ),,( zyx uuuu =
→
entonces:
),,( zzyyxx uvuvuvuv +++=+
→→
2) Sea ),,( zyx vvvv = y α un escalar entonces: ),;( zyx vvvv ααα=α
→
Ejemplo:
Si consideramos a los puntos del espacio P(0;3;2) y Q(4;3;0), tendremos que el vector
posición del punto P es ( )2;3;0OP = y el vector posición del punto Q es ( )0;3;4OQ = .
Grafíquelos
Ejercicio:
6. Escriba y represente gráficamente el vector posición de cada punto: P0(1;0;0), P1(0;2;0),
P2(–2;–3;5) y P3(4;5;–6). Determine analíticamente el opuesto del triplo del vector 1OP
x
yO
z
P
xP
yP
zP
D

11
Expresión canónica de un vector
Cada uno de los ejes coordenados tiene asociado un versor o vector unitario que se denomina
canónico. Aclaremos que se denomina versor o vector unitario a todo vector cuyo módulo
sea una unidad de longitud.
En R2
se llama:
∨
i (versor i) al versor canónico asociado al eje x y
∨
j (versor j) al versor
canónico asociado al eje y. En consecuencia, la terna 




 ∨∨
ji0 ,, define un sistema de
coordenadas en el plano y el plano recibe el nombre de plano coordenado, donde todo vector:
),( yx vvv =
→
tiene asociada la expresión canónica:
∨∨→
+= jvivv yx
Análogamente en R3
, se asocia el versor canónico
∨
k (versor k) al eje z, de esta forma la
cuaterna ordenada 




 ∨∨∨
kji0 ,,, recibe el nombre de sistema de coordenadas cartesianas en el
espacio R3
y todo vector: ),,( zyx vvvv =
→
tiene asociada la expresión canónica:
∨∨∨→
++= kvjvivv zyx
Ejemplos:
a) La expresión canónica del vector de componentes: );( 35v −=
→
es:
∨∨→
−= j3i5v
b) La expresión canónica del vector de componentes: );;( 724v −−=
→
es:
∨∨∨→
−+−= k7j2i4v
Ejercicio:
7. Escriba la expresión canónica del vector posición de cada punto: P0(1;0;0),
P1(0;2;0), P2(–2;–3;5) y P3(4;5;–6). Obtenga el vector suma de los cuatro vectores
posición.
1
i
y
x
–3
5
O →
v
1
j
i
j ∨∨→
−= j3i5v

12
Vector definido por las coordenadas
de un punto origen y un punto extremo
Dados dos puntos del plano P = (xp;yp) y Q = (xq;yq) podemos asociar al punto P como el
origen de un vector y al punto Q como su extremo, de modo de definir al vector PQv =
→
como se ve en la figura:
Analógamente en R3
, las componentes del vector
→
v si consideramos como origen del
vector al punto P(xp,yp,zp) y como su extremo al punto Q (xq, yq, zq) surgen de la siguiente
manera:
Generalizando:
Dados dos puntos del plano coordenado P y Q, el vector PQ se obtiene por restar al vector
posición del punto extremo Q el vector posición del punto origen P
z
x
y
xP
xQ
zP
yP
zQ
yQ
P
Q
O
Considerando la figura, por
definición de suma de vectores
sucede que: PQOPOQ +=
Entonces: OPOQQP −=
Por lo tanto:
( ) ( )PPPQQQ zyxzyxQP ;;;; −=
( )PQPQPQ zzyyxxQP −−−= ;;
xP
yP
P
y
x
yQ
xQ
Q
O
Observemos que por definición de
suma de vectores: PQOPOQ +=
Entonces: OPOQPQ −=
reemplazando por la definición
analítica de cada vector posición y
operando, tendremos que:
( ) ( )PPQQ yxyxPQ ;; −=
( )PQPQ yyxxPQ −−= ;
D

13
Ejemplos:
a) El vector con origen en el punto P(–3;5) y extremo en el punto Q(2;3) es:
)2;5()5;3()3;2(OPOQPQ −=−−=−= . Verifíquelo gráficamente.
b) El vector con origen en el punto P(2;3;1) y extremo en el punto Q(3;5;1) es:
)0;2;1()1;3;2()1;5;3(OPOQPQ =−=−= . Verifíquelo gráficamente.
Ejercicio
8. Teniendo en cuenta que la figura se compone con cubos de arista 1 unidad de
longitud, determine la expresión en función de las componentes del vector que
representa a la suma de los cinco vectores de la figura.
Norma o Módulo de los vectores
Recordemos que los dos pintores juntos, pudieron desplazar al escritorio. En ese momento
observamos que este desplazamiento se produjó en una dirección distinta a la dirección de
cada una de las fuerzas aplicadas y nos hemos preguntado: ¿Qué intensidad tiene la fuerza
equivalente que actua sobre el cuerpo?.....Para contestar lo preguntado, el modelo matemático
que necesitamos el concepto de norma o módulo de un vector.
Observemos en la figura, la representación de un vector en R2
:
En el triángulo rectángulo ABC por el Teorema de Pitágoras,
tenemos que:
222
BCABAC += entonces:
22
BCABAC +=
Por lo tanto:
Si
→
v = (vx;vy) la norna o módulo del vector
→
v es: 2
y
2
x vvv +=
y
x
z
2
3
5
y
x
vy
vx
C
A B
→
v
D

14
Análogamente:
Se define la norma o módulo de un vector del espacio tridimensional R3
:
Sea el vector: ),,( zyx vvvv = entonces su norma es:
2
z
2
y
2
x vvvv ++=
→
(I)
Teniendo en cuenta la figura realice la deducción de la fórmula (I)
Propiedades de la norma o módulo de los vectores
1) La norma de un vector es un número real positivo o nulo: 0v ≥
2) La norma de la suma de dos vectores es menor o igual a la suma de las normas de cada
uno de los vectores: vuvu +≤+ (Desigualdad del triángulo)
3) La norma del vector que se obtiene por el producto entre un escalar y un vector es igual al
valor absoluto del escalar por el módulo del vector: vkvk =
Ejemplo:
Determinar la norma del vector con origen en el punto ( )011P ;; y extremo en el
punto ( )450Q ;; .
Para hallar la norma del vector PQ , necesitamos determinar sus componentes, entonces:
( ) ( ) ( )4;4;10;1;14;5;0PQ −=−=
Luego: ( ) 33441PQ 222
=++−=
Ejercicio
9. Dé un ejemplo da cada una de las propiedades de la norma de un vector en R2
x
y
z
vx
vy
vz
v
D

15
Igualdad de vectores
Sean los vectore: ( )321 vvvv ;;= y ( )321 wwww ;;= diremos que son iguales si y sólo
si son iguales las componentes homólogas.Es decir:
332211 wvwvwvwv =∧=∧=⇔=
Ejercicio
10.Aplicando la definición anterior, establezca el valor de a ∈ R y b ∈ R para que
se cumplan las siguientes igualdades:
a) ( ) ( )00bb1a 32
;; =−− b) ( ) ( )16b5101bb2a 2
;;;; −=+
Ángulos directores
En la figura se muestran los dos ángulos que determina la dirección de un vector en R2
con
el sentido positivo de cada uno de los ejes coordenados. Éstos ángulos se denominan
ángulos directores.
Deducción: Sea el vector: ( )yx v;vv =
En el triángulo rectángulo OPA, se tiene que:
v
v
αcos x
= entonces el ángulo director es:
v
v
arccosα x
=
En el triángulo rectángulo OPB, se tiene que:
v
v
βcos x
= entonces el ángulo director es:
v
v
arccosβ x
=
Observación: el valor del coseno de un ángulo director se denomina coseno director.
Propiedad de los cosenos directores
Relación Potagórica:
Sean α y β los ángulos directores de un vector
→
v ∈ R2
entonces: cos 2
α + cos 2
β = 1
Demuestre la propiedad.
y
x
vy
vx
O
→
v
α
β
P
A
B
D

16
Analógamente:
Si consideramos un vector en R3
, la dirección del vector determinará con el sentido positivo
de cada uno de los ejes coordenados tres ángulo directores y por tanto tres cosenos directores.
Sea ( ) 3
zyx Rv;v;vv ∈= y sean α, β y γ los ángulos que determina el vector con cada eje
coordenado en sentido positivo, entonces:
Los cosenos directores del vector son:
v
v
αcos x
=
v
v
βcos
y
=
v
v
γcos z
=
Los ángulos directores del vector son:
v
v
arccosα x
=
v
v
arccosβ
y
=
v
v
arccosγ z
=
Y en este espacio la propiedad enunciada anteriormente es:
Relación Pitagórica
Sean α, β y γ los ángulos directores de un vector
→
v ∈ R3
entonces: cos2
α + cos2
β + cos2
γ = 1
Ejercicio
11.Resuelva los siguientes problemas:
a) Un barco navega a una velocidad de 22,5 h
km en dirección S50ºE. Exprese la
velocidad v del barco como vector.
b) Un aeroplano con velocidad de 322 h
km vuela en dirección N50ºE, y con un viento de
64 h
km sopla desde el oeste. Determine el vector que representa el rumbo verdadero
del avión y la magnitud de la velocidad en tierra del avión.
Versor o vector unitario
Decimos que
→
v es un versor o vector unitario si y sólo si 1v =
→
.
Cuando un vector es un versor se simboliza: v
x
y
z
vx
vy
vz
γ
βα
→
v
D

17
Ejemplo:
El vector: 







=
2
3
2
1
v ; es un versor, ya que: 1
2
3
2
1
v
22
=







+





=
¿Cómo determinar el versor asociado a un vector?
Consideremos el vector no nulo v = (vx ;vy )
que se muestra en la figura.
Las componentes del vector dependen del
módulo del vector y del coseno del ángulo
director del vector respecto de cada eje,
es decir:
( ) ( )βcosv;αcosvv;vv yx ==
Luego, si multiplicamos al vector por el escalar
v
1
obtenemos:
( ) )βcos;α(cosβcosv;αcosv
v
1
v
v
1
==
Este vector conserva la dirección y sentido del vector v y su norma es 1 como consecuencia
de la Relación Pitagórica, ya que: ( ) 1βcosαcosβcos;αcos 22
=+=
Por lo tanto:
El versor asociado a un vector tiene por componentes a los cosenos directores del vector:
En R2
:
Si α y β son los ángulos directores del vector v , entonces: v )βcos;α(cos=
En R3
:
Si α, β y γ son los ángulos directores del vector v , entonces: v )γcos;βcos;α(cos=
En ambos casos, las componentes del versor asociado a un vector se obtienen realizando el
producto entre el vector y el recíproco del escalar que define a la norma del vector:
v v
v
1
=
y
x
vy
vx
O
→
v
αcosvvx =
βcosvvy =
D

18
Ejemplo
Hallar el versor asociado al vector: ( )111w ;;=
Para determinar el versor asociado, necesitamos multiplicar al vector por el escalar:
w
1
,
entonces: ( ) 





===
3
1
3
1
3
1
111
3
1
w
w
1
w ;;;;
Ejercicio
12.En cada uno de los siguientes casos encuentre el versor asociado
a) 





−=
2
1
2v ; b) 





=
27
1
9
1
3
1
v ;;
Vectores Paralelos
En R2
y R3
dos vectores son paralelos si y sólo si las componentes homólogas son
proporcionales. Simbólicamente:
wvRwv α=∈α∃⇔ ://
Demuestre que: wvRwv α=∈α∃⇔ ://
Ejemplo
Sean los vectores =v (1;2;3) y w = (–3;–6;–9). Observamos que las componentes homólogas
son proporcionales, es decir: 3−=
−
=
−
=
−
3
9
2
6
1
3
(nota: –3 es constante de proporcionalidad)
Entonces: v3w −= y por lo tanto son vectores paralelos.
Ejercicio
13.Determine el vector que es paralelo al vector ( )2102v ;;= tal que:
c) Tenga norma 6 b) Tenga norma 2 y sentido opuesto
D

19
Combinación Lineal
Sea V un espacio vectorial. Sea A = { v1, v2 , v3 , ..., vn } un conjunto finito de vectores de
V diremos que:
El vector v ∈ Ves combinación lineal de los vectores del conjunto A si y sólo si existen
escalares: α1, α2 , α3 , ..., αn tales que:
α1v1 + α2v2 + α3v3 + ... + αnvn = v
Ejemplo
• ¿El vector ( )0;8;8=u es combinación lineal de los vectores del conjunto:
( ) ( ){ } 3
R0;4;1;0;1;4A ⊂= ?
Teniendo en cuenta la definición, debemos plantear: ( ) ( ) ( )0;8;80;4;1α0;1;4α 21 =+ y
analizar si existen los escalares: α1 y α2 para que se cumpla la igualdad.
Entonces, operando surge el sistema de ecuaciones lineales:





=+
=+
=+
0α0α0
8α4α
8αα4
21
21
21
donde:
5
8
21 =α=α
En consecuencia, como existe valor para los escalares α1 y α2, entonces el vector u es
combinación lineal del conjunto de vectores A.
• ¿El vector )6;3;4(=v es combinación lineal del conjunto ( ) ( ){ } 3
R0;4;1;0;1;4 ⊂ ?
Procediendo de manera análoga que en el ejemplo anterior, al analizar la
combinación lineal surgirá el sistema de ecuaciones:





=α+α
=α+α
=α+α
600
341
44
21
21
21
que es un sistema incompatible, y por lo tanto no existen los escalares: α1 y α2 y por lo
tanto, v no es combinación lineal de los vectores del conjunto A.
Importante!!!!
La definición de combinación lineal no exige que los escalares: α1, α2,...., αn sean
únicos, sólo se exige que existan.
D

20
Ejercicio
14.En cada caso, analizar si el vector que se propone es combinación lineal del conjunto de
vectores que se enuncia.
a) )1;7;5(=v ( ) ( ) ( ){ } 3
R1;1;1;1;1;0;0;1;1A ⊂=
b) )4;3;2(=v ( ) ( ) ( ){ } 3
R8;6;4;2;1;1;2;2;1A ⊂=
c) )0;3;2(=v ( ) ( ){ } 3
R)5;4;1(;3;1;2;4;2;2A ⊂=
Independencia lineal y dependencia lineal
Sea V un espacio vectorial. Sea A = { v1, v2 , v3 , ..., vn } un conjunto finito de vectores de
V, decimos que:
A es linealmente independiente (li) en V si la única forma de escribir al vector nulo: OV
como combinación lineal de los vectores de A es con todos los escalares nulos:
α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 + ... + αn vn = OV ⇔ α1 = α2 = α3 = ... = αn = 0
En caso contrario,
A es linealmente dependiente (ld) en V si existen escalares: α1, α2 , α3 , ..., αn no todos
nulos tales que:
α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 + ... + αn vn = OV
¿Cómo determinar análiticamente si un conjunto de vectores en linealmente
independiente o dependiente? Para analizar si un conjunto de vectores es li o ld, debemos
investigar qué tipo de combinación lineal genera al vector nulo del espacio vectorial.
Veamos algunos ejemplos:
• ¿El conjunto: ( ) ( ) ( ){ } 3
R1;1;0;0;1;1;1;0;1A ⊆= es li o ld?
Planteamos: ( ) ( ) ( ) ( )0;0;01;1;00;1;11;0;1 321 =α+α+α
efectuando las operaciones obtendremos el sistema de ecuaciones lineales:





=α+α
=α+α
=α+α
0
0
0
31
32
21
Al resolverlo, resulta que el sistema de ecuaciones presenta una única solución, la
solución trivial: 0321 =α=α=α , entonces se cumple la definición y por lo tanto, el
conjunto de vectores A es li.
D

21
• ¿El conjunto ( ) ( ) ( ){ } 3
R10;8;6;1;1;1;4;3;2B ⊆= es li o ld?
Empleando el mismo proceso que en el ejemplo anterior, tendremos:
( ) ( ) ( ) ( )0;0;010;8;61;1;14;3;2 321 =α+α+α





=α+α+α
=α+α+α
=α+α+α
0104
083
062
321
321
321
Al resolver el sistema de ecuaciones lineales, obtenemos que:





∈
−=
−=
Rα
α2α
α2α
3
32
31
En consecuencia, el sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado (presenta
infinitas soluciones), claramente una de las soluciones es la trivial, pero no es la única
posibilidad de obtener al vector nulo por combinación lineal de los vectores dados, por lo
tanto: el conjunto de vectores B es ld.
¿Por qué el conjunto A es li y el conjunto B es ld?
Si observamos los vectores del conjunto A, podremos concluir que: no hay dos vectores
paralelos y tampoco son tres vectores coplanares, esto garantiza que ningún vector del
conjunto es combinación lineal de los restantes, en consecuencia: cada vector representa
una dirección única, esto es la dirección de cada vector es independiente de las otras. Por
esto, el conjunto A es linelamente independiente.
En cambio, en el conjunto B sucede que es posible expresar a uno de los vectores como
combinación lineal de los dos restantes, por ejemplo: ( ) ( ) ( )10;8;61;1;124;3;22 =+ , esto
garantiza que los tres vectores coplanares, entonces el conjunto no contiene vectores con
direcciones independientes unas de otras, sino dependientes. Por esto, el conjunto B es
linealmente dependiente.
15.Determinar analíticamente, cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son
linealmente independientes o linealmente dependientes.
a) ( ) ( ){ } 2
R4;2;3;1S ⊂=
b) ( ) 2
R
3
1
;
3
5
;1;5M ⊂












−−=
c) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 3
R1;1;0;1;0;0;5;4;2;1;1;1T ⊂=
d) ( ) ( ) ( ){ } 3
R9;8;0;0;5;3;1;2;1D ⊂−−−−=

22
Ejercicio
16.Hallar los valores de k ∈ R tal que los siguientes conjunto de vectores sean linealmente
independientes.
a) ( ) ( ){ } 2
R3;2;;1A ⊂= k b) ( ) ( ) ( ){ } 3
R;3;3;1;1;2;2;2;1B ⊂= k
Coordenadas de un vector
Sea V un espacio vectorial. Sea A = { v1, v2 , v3 , ..., vn } un conjunto finito de vectores
linealmente independiente y tal que todo vector x de V es combinación lineal de A.
Entonces, diremos que:
Para cada vector x ∈ V existe un único conjunto de escalares: α1, α2 , α3 , ..., αn
tales que expresen al vector x como combinación lineal de los vectores del conjunto A, es
decir:
α1v1 + α2v2 + α3v3 + ... + αnvn = x en forma única
Estos escalares únicos se denominan coordenadas del vector x respecto de los vectores del
conjunto A.
Ejemplos
• Las coordenadas del vector ( )3;4=u respecto del conjunto ( ) ( ){ }1;0;0;1A = de R2
son: α1= 4 y α2 = 3 pues: ( ) ( )1;0.30;1.4 +=u
• Las coordenadas del vector ( )3;4=u respecto del conjunto ( ) ( ){ }1;1;1;1B =−== ba de
R2
y que surgen al resolver la combinación lineal: ( ) ( ) ( )3;41;1.α1;1.α 21 =+− son:
α1= 2
1
y α2 = 2
7
Geométricamente:
La ubicación en el espacio de un vector no se
modifica al cambiar el sistema de referencia
del espacio, sino que según sea el sistema de
referencia que se adopte varían las coordenadas
del vector. Esto es, las coordenadas de los
vectores de un espacio dependen del sistema de
referencia que se adopte.
4 i
3 j
–0,5 a
3,5 b
u
a
b
D

23
17.Sea el sistema de referencia que definen las direcciones de los vectores del
conjunto ( ) ( ){ } 2
R1;1;1;1C ⊂−= . Determine las coordenadas de los vectores:
( )3;2=u y ( )1;1−=v , y en cada caso verifique gráficamente.
Autoevalución: Vectores – Primera Parte
1. Sean los puntos: M(1;2;3), N(2;4;6) y S(–3;0;1). Obtenga:
a) Los vectores: MN, MS. Expréselos en función de sus componentes y también en
forma canónica.
b) SNNS + A partir del resultado, ¿qué puede decir de los vectores?
c) 2 MN – 3 MS
d) MN , SNNS + y MS3MN2 −
e) Los cosenos directores y los ángulos directores del vector MN
f) El versor asociado al vector MN
g) Un vector paralelo al vector MN de norma 5
2. Resuelva el problema inicial planteado en Ingeniería y Vectores , aplicando los
conceptos que hasta aquí hemos desarrollado.
3. Explique porqué las siguientes afirmaciones son falsas proporcionando un contraejemplo
adecuado o un argumento teórico.
a) Siempre un conjunto de dos vectores no nulos es linealmente independiente.
b) Si {v} es linealmente independiente entonces v es el vector nulo.
c) Si los conjuntos de vectores: {u;v} y {v;w} son linealmente independientes en el
espacio vectorial V entonces el conjunto de vectores: {u ;w} es linealmente
independiente.
d) Si u y v son vectores de R3
tales que: vu = entonces u = v
4. Demuestre que las siguientes afirmaciones son verdaderas.
d) Si { u; v ; w } es un conjunto linealmente independiente en el espacio vectorial V
entonces el conjunto {2u + v ; u + v + w ; u + w } también es linealmente
independiente.
e) Si el vector x es combinación lineal de los vectores del conjunto A= {u;v;w}
linealmente independiente entonces la combinación lineal es única.

24
Software Mathematica
La interfaz del software permite realizar operaciones entre vectores. Para ingresar un vector
se utiliza la notación de lista por ejemplo:
( )542v ;;= escribiremos: v = { 2 , 3 , 5 }
A continuación, observará como se procede para realizar las operaciones de suma de vectores
y del producto entre un escalar y un vector:
82, 3, 5<+ 85, - 7, 0<87, - 4, 5<
3
4
85, - 7, 0<
:15
4
, -
21
4
, 0>
2
5
82, 3, 5<-
3
10
85, - 7, 0<
:-
7
10
,
33
10
, 2>
Ejemplo: Calcular el versor asociado al vector ( )542v ;;=
Ingresando la siguiente expresión:
1
22 + 32 +52
82, 3, 5<
Obtendremos como respuesta:
:$2
19
,
3
38
,
5
38
>
Por lo tanto el vesor asociado al vector es: 







=
∨
38
5
38
3
19
2
v ;;

25
Ejemplo
Determinar si el conjunto de vectores: ( ) ( ) ( ){ }1;5;3;1;1;1;0;2;1A = es linealmente
independiente en el espacio vectorial (R3
; + ; R ; .)
Para responder el ejercicio planteado, necesitamos investigar como es la combinación lineal
que define al vector nulo del espacio vectorial, entonces:
( ) ( ) ( ) ( )0;0;01,5;3α1,1;1α0,2;1α 321 =++ (I)
Equivalente al sistema de ecuaciones:





=++
=++
=++
0ααα0
0α5αα2
0α3αα
321
321
321
Para resolver un sistema de ecuaciones usando el software Mathematica, uno de los métodos
posibles es el comando:
Solve[{ecuación 1,ecuación 2,....,ecuación n},{variable 1,variable 2,....,variable n}]
Al ingresar una ecuación hay que recordar que, para que el software la entienda como tal, se
utilizan dos iguales seguidos. Observemos com se escribe el sistema de ecuaciones planteado
anteriormente, tenga en cuenta que por comodidad de escritura se realizó el siguiente
reemplazo: α1= a, α2 = b y α3 = c
Ingresamos:
Solve@8a+ b+ 3cŠ 0, 2a+ b+ 5c Š 0, b+ c Š 0<, 8a, b, c<DClicleamos INTRO del teclado numérico y obtenemos la respuesta:
Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables.
88a ® - 2c, b ® - c<<
Notemos que, el software contesta que el sistema no pudo resolverse para todas las variables
planteadas y que muestra como una de ellas define a las otras variables, esta situación
significa que el sistema es compatible indeterminado.
Ahora pensemos cuál es la respuesta para el ejercicio planteado:
Mediante el software obtuvimos que: la respuesta del planteo (I) es:
α1= –2c, α2 = –c y α3 = c ∈ R
Por lo tanto los escalares en la combinación lineal (I) no valen únicamente cero y en
consecuencia, el conjunto A es linealmente dependiente.

26
Respuestas de las actividades
1.
a) ax = b) by = c) dz =
2. Consulte la respuesta con su profesor
3. a) )5;2( b) )2;4( − c) )4;4(− d) )1;4( −−
4. a) (2;7) b) (–2;–2) c) (–14; –3)
5. a) Aplicando definición de suma y por neutro en suma de R:
a)a;a()0a;0a()0;0()a;a(0a yxyxyx ==++=+=+
Los restantes ítems del ejercicio se demuestran de manera análoga a la que se muestra.
Quedan como ejercicio para el lector.
6. OP0=(1;0;0) ; OP1=(0;2;0) ; OP2=(–2 ;–3 ;5) ; OP3=(4;5;–6). El triple del opuesto de OP1
es el vector: –3OP1= (0;–6;0)
7. OP0= i ; OP1= 2j ; OP2= –2i –3j + 5k ; OP3= 4i + 5j – 6k. La suma de ellos es: (3;4;–1)
8.
La suma de los vectores es: (6;2;4)
9. Un ejemplo de la desigualdad del triángulo en R2
:
)1;4()3;2()1;4()3;2()1;4(v)3;2(u −+≤−+⇒−=∧=
Operando: 171340 +≤ 73,732,6 ≤⇒
Un ejemplo de la norma del producto entre un escalar y un vector en R3
:
)5;3;2(3uα3α)5;3;2(u −−=⇒−=∧−=
Operando: 34215)9()6()5;3;2(3uα 222
=+−+−=−−=
Donde: uα)5;3;2(3532338338.9342 222
=−−=++===
y
x
z
2
3
5
(0;2;2)
(0;1;0) (0;0;2)
(3;–1;0)
(3;0;0)

27
10.a) a = b = –1 ; a = –1 ∧ b = 0 ; a = –1 ∧ b = 1 ; a = 1 ∧ b = –1 ; a = 1 ∧ b = 0 ; a = b = 1
b) a = 4 ∧ b = 3 ; a = 6 ∧ b = 2
Demostración en R2
de la Propiedad de los cosenos directores (página 15)
En R2
: Teniendo en cuenta la figura y la definición de coseno de un ángulo, resulta:
a
a
arccosα
a
a
αcos xx
=⇒=
a
a
arccosβ
a
a
βcos
yy
=⇒=
Luego:
( )
1
aa
aa
aa
aa
a
aa
a
a
a
a
βcosαcos 2
y
2
x
2
y
2
x
2
2
y
2
x
2
y
2
x
2
2
y
2
x
2
2
y
2
2
x22
=
+
+
=
+
+
=
+
=+=+
11.a) v = (22,5 cos 40° ; –22,5 cos 50°) b) Consulte con su profesor
12. a) 





−
17
1
;
17
4
b) 





91
1
;
91
3
;
91
9
Demostración de Paralelismo de vectores (página 18)
Realizamos la demostración para vectores del plano coordenado, de manera análoga puede
demostrarse que dos vectores del espacio R2
son paralelos , si sus componentes homólogas
son proporcionales.
Siendo los vectores: ( )yx v;vv = y ( )yx w;ww = distintos del vector nulo, si son paralelos
entonces tienen la misma dirección, y en consecuencia los mismos ángulos directores.
Por lo tanto:
v
v
αcos x
= =
w
w
´αcos x
= por lo cual:
w
v
w
v
w
w
v
v
x
xxx
=⇒= (1)
y
O
α
α´
β
β´
x
v
w

28
v
v
βcos
y
= =
w
w
´βcos
y
= por lo cual:
w
v
w
v
w
w
v
v
y
yyy
=⇒= (2)
De las igualdades (1) y (2) se tiene que:
w
v
w
v
w
v
y
y
x
x
== y como: λ
w
v
= ,
resulta que las componentes de los vectores son proporcionales:
λ
w
v
w
v
y
y
x
x
== yyxx
y
y
x
x
wλvwλvλ
w
v
λ
w
v
=∧=⇒=∧=⇒
En consecuencia, que: ( ) ( ) ( ) ( ) wλvw;wλv;vwλ;wλv;v yxyxyxyx =⇒=⇒=
13. 







−−−







2
2
;
2
5
;
2
1
)b3;
2
5
3;
2
3
)a
14. a) Si: α1 = 6, α2 = 2 y α3 = –1
b) Si: α1 = 1 –2 α3 , α2 = 1 –2 α3 y α3 ∈ R
c) No hay combinación lineal
15. a) LI b) LD c) LD d)LI
16.a)
2
3
k ≠ b) 3k ≠
17. [ ]










−
=
2
5
2
1
u A [ ] 




−
=
0
1
v A
Autoevaluación: Vectores –Primera Parte
Cada grupo de estudio deberá entregar la resolución de la autoevaluación a su docente.

29
Glosario
Ángulo entre vectores: dos vectores considerados con un origen común determinan dos ángulos. Se conviene
que, el ángulo entre vectores es el comprendido en el intervalo [0;π].
Ángulos directores: ángulo que determina la dirección del vector y el sentido positivo de un eje coordenado.
Magnitud escalar: magnitud que queda completamente caracterizada mediante un número real y una unidad
de medida.
Magnitud vectorial: magnitud que queda completamente caracterizada mediante una dirección, un sentido y un
módulo.
Vector libre: vector represente de una clase de vectores equipolentes.
Vector: segmento orientado, magnitud vectorial caracterizada por una dirección, un sentido y un módulo.
Vectores equipolentes: vectores que tienen la misma dirección, sentido y módulo.
Vectores paralelos: cuando los vectores tienen la misma dirección, y esto es que los vectores tienen
componentes proporcionales.
Vectores unitarios o versor: dícese de los vectores cuyo módulo es 1. Todo vector tiene asociado un versor
que representa a la dirección.
Versores canónicos: vectores unitarios representantes de la dirección de cada uno de los ejes coordenados de un
sistema de referencia.
Combinación Lineal: En un espacio vectorial, un vector v es combinación lineal de un conjunto de vectores
{ }n21 v;;v;vA = si y sólo si existen los escalares: α1, α2, ...y αn tales que: nn2211 v.αv.αv.αv +++=
Coordenadas de un vector: Sea A = { v1, v2 , v3 , ..., vn } un conjunto de vectores que es linealmente
independiente y tal que todo vector x del espacio vectorial V es combinación lineal de A.
Entonces, diremos que:
Para todo x ∈ V existe un único conjunto de escalares: α1, α2 , α3 , ..., αn tales que expresen al
vector x como combinación lineal de los vectores del conjunto A, es decir:
α1v1 + α2v2 + α3v3 + ... + αnvn = x en forma única
Este único conjunto de escalares: α1, α2 , α3 , ..., αn se denominan coordenadas del vector x respecto del
conjunto A.
Dependencia Lineal: Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si existe una combinación lineal no
trivial que permite expresar al vector nulo del espacio vectorial.
Espacio Vectorial: Estructura algebraica definida por medio de diez axiomas que se verifican entre los
elementos de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares que es un cuerpo.
Independencia Lineal: Un conjunto de vectores es linealmente independiente en un espacio vectorial cuando la
única combinación lineal que define al vector nulo del espacio vectorial es la trivial.

30
Bibliografía
• Anton, H., “Introducción al Álgebra Lineal”, Editorial Limusa, 2° Edición,
México,2000.
• Nakos, G., Joyner, D., “Álgebra Lineal con aplicaciones”, Thomson Editores, 1º
Edición, México, 1998.
• Kolman, B., “Álgebra Lineal con aplicaciones y MATLAB”, Prentice Hall, Pearson
Educación, 6º Edición, México, 1999.

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