Apuntes de ecuaciones diferenciales

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales
Kevin Antonio Huarachi Beltrán
Estudiante de la carrera de Ingeniería de Sistemas en la Universidad de Aquino Bolivia
“UDABOL”
Oruro – Bolivia
2020
Segunda Edición

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales Kevin Antonio Huarachi Beltrán
2
Primera edición 2017 (Manuscrito)
Segunda edición 2020
Kevin Antonio Huarachi Beltrán
Ingeniero de Sistemas – Cineasta
Tienes el derecho de fotocopiarlo, sacarle fotografías, copiar ejercicios siempre y cuando sea para que aprendas
sobre el tema.

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Hola
Este presente manual que tienes en tus manos son mis apuntes, déjame explicarte cómo surgió, pues personalmente en mi clase de Ecuaciones Diferenciales
que es una de las materias más importantes se podría decir en la carrera de ingeniería, independientemente generalizando ingeniería, pues tras ponerle empeño
y dedicación a esta materia aprobé, entonces en ese momento comprendí que la materia tenía su grado de dificultad ya que al ver la cantidad de aprobados
que fuimos el 10% del curso, pero al ver tu nombre en la lista de aprobados a eso se le llama felicidad.
Al siguiente semestre me volví auxiliar de la materia, pero para poder enseñar tome en cuenta los apuntes que tenía y que mis estudiantes pedían una
referencia más clara, en ese momento decidí iniciar el desarrollo de este manual, ya que no tenía la costumbre de faltar a mis clases y de pasar el segundo
turno que a la vez tenía su importancia que personalmente era más importante que la propia materia, pero volviendo al tema, esté manual fue de gran
utilidad para mis estudiantes y aseguro que lo será para ti.
Hay una infinidad de libros de grandes autores a los que admiro, porque ya se lo que se siente al escribir un libro, bueno en pequeña escala, pero las
horas de investigación la dedicación es muy importante y fue lo que use para el desarrollo de este manual, en la bibliografía están los libros que sirven de
apoyo y de los cuales tome algunos ejercicios para resolverlos de una forma más explícita.
También quiero dar el agradecimiento a la persona que sin su apoyo este manual ni hubiera existido, y esa persona es mi docente de la materia de
Ecuaciones Diferenciales el Ing. José Luis Rivera Foronda, aunque reconozco que sufrí en sus clases, pero ya veo que fueron necesarias, ¡muchas
gracias Inge!
Para finalizar agradecer por el apoyo incondicional a mi papá Roberto Huarachi y mamá Zenobia Beltrán gracias (también gracias por
aguantarme) eternamente agradecido.
Kevin Antonio Huarachi Beltrán.

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“Nunca consideres el estudio como una obligación,
sino como la oportunidad para penetrar
en el bello y maravilloso mundo del saber”
- Albert Einstein

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A tomar en cuenta
Este manual no tiene ejercicios propuestos, pero puedes realizarlos de los libros que mencionare en la bibliografía.
Tal vez hay errores, si los notas házmelo saber para mejorarlo y darte el crédito.
Si hay errores en el lenguaje o sintaxis o semántica o cualquier otra cosa que los españoles impongan en la Real Academia Española, también házmelo
saber, para discutir de eso y a la vez mejorarlo y darte el crédito.
Recuerda repasar algebra, aritmética, trigonometría, geometría analítica, calculo diferencial e integral, y caligrafía para que sepas cada vez más y tengas
bonita letra.
Como comentario final, mientras escribí cada letra de este manual lo hice escuchando música clásica, Mozart, Beethoven, Vivaldi, Wagner, Grieg, y
creo que la música clásica y las matemáticas tienen algo en común puede ser lo épico o su escritura con todo tipo de símbolos.
Prepárate que estamos a punto de comenzar… saludos y que todo lo que te propongas salga súper bien…

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Una última recomendación
Si estas en ingeniería de sistemas o informática te recomiendo que veas las siguientes películas:
1. Una odisea en el espacio (1968) Dir. Stanley Kubrick
2. Blade Runner (1982) Dir. Ridley Scott
3. Blade Runner 2049 (2017) Dir. Dennis Villenueve
4. Interestelar (2014) Dir. Christopher Nolan
5. La red social (2010) Dir. David Fincher
6. Matrix (Trilogia) Dir. Hnas. Wachowski
7. Ex-Machina (2014) Dir. Alex Garland
8. Yo robot (2004) Dir. Alex Proyas
9. Ad astra (2019) Dir. James Gray
10. Ready Player One (2018) Dir. Steven Spielberg
Estas películas te ayudaran a tu imaginación como un ingeniero de ciencia informática que está a solo unos pasos de la ciencia ficción.

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Contenido
CAPITULO I ECUACIONES DIFERENCIALES ..................................................................................................................................................................................... 9
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales............................................................................................................................................................................................... 9
Origen de las Ecuaciones Diferenciales .................................................................................................................................................................................................... 10
Problemas Geométricos ....................................................................................................................................................................................................................... 10
Problemas Físicos ................................................................................................................................................................................................................................ 11
Problemas en Otras Ciencias ............................................................................................................................................................................................................... 11
Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales.............................................................................................................................................................................................. 12
Soluciones Generales........................................................................................................................................................................................................................... 12
Soluciones Particulares ........................................................................................................................................................................................................................ 12
CAPITULO II ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO...................................................................................................... 13
Introducción............................................................................................................................................................................................................................................... 13
Método de Variables Separables ............................................................................................................................................................................................................... 13
Método por Homogéneas .......................................................................................................................................................................................................................... 15
Ecuaciones No Homogéneas pero Lineales .............................................................................................................................................................................................. 18
Método por Exactas................................................................................................................................................................................................................................... 21
Método por Factor de Integración ............................................................................................................................................................................................................. 23
Ecuación Lineal de Primer Orden y Primer Grado ................................................................................................................................................................................... 26
Ecuación Diferencial de Bernoulli ............................................................................................................................................................................................................ 28
Método de Variación de Parámetros ......................................................................................................................................................................................................... 29
CAPITULO III APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ................................................................................................................................. 31
Aplicaciones Geométricas......................................................................................................................................................................................................................... 31
Aplicaciones Físicas.................................................................................................................................................................................................................................. 35
CAPITULO IV ECUACIONES DIFERENCIALES DE GRADO SUPERIOR .................................................................................................................................... 38
Introducción............................................................................................................................................................................................................................................... 38

8
Respecto de “p” ......................................................................................................................................................................................................................................... 38
Respecto de “y” ......................................................................................................................................................................................................................................... 39
Respecto de “x” ......................................................................................................................................................................................................................................... 40
Método de LaGrange................................................................................................................................................................................................................................. 41
Método de Claireaut .................................................................................................................................................................................................................................. 42
CAPITULO V ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN “N” CON COEFICIENTES CONSTANTES............................................................................... 43
Ecuaciones Homogéneas........................................................................................................................................................................................................................... 43
Raíces Reales y Distintas Entre Sí ....................................................................................................................................................................................................... 43
Raíces Reales y Múltiples Entre Sí...................................................................................................................................................................................................... 44
Raíces Imaginarias............................................................................................................................................................................................................................... 45
Raíces Complejas................................................................................................................................................................................................................................. 45
Ecuaciones No Homogéneas ..................................................................................................................................................................................................................... 46
Método Continuo ................................................................................................................................................................................................................................. 46
Método por Fracciones Parciales......................................................................................................................................................................................................... 48
Método por Variación de Parámetros .................................................................................................................................................................................................. 50
Método por Coeficientes Indeterminados............................................................................................................................................................................................ 51
Métodos Abreviados ............................................................................................................................................................................................................................ 53
CAPITULO VI ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN “N” CON COEFICIENTES VARIABLES ................................................................................. 55
Ecuación Lineal de Cauchy....................................................................................................................................................................................................................... 55
Ecuación Lineal de Legendre.................................................................................................................................................................................................................... 56
APENDICE I TABLA DE FORMULAS DE DERIVACION .................................................................................................................................................................. 59
APENDICE II FORMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN.............................................................................................................................................. 61
APENDICE III FORMULAS UTILES ...................................................................................................................................................................................................... 63
BIBLIOGRAFIA........................................................................................................................................................................................................................................... 65

9
CAPITULO I ECUACIONES
DIFERENCIALES
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
Para empezar el recorrido por las Ecuaciones Diferenciales es
importante aclarar las definiciones las cuales indican que es una
Ecuación Diferencial, hay que tratarlas y analizarlas con detalle ya
que nos serán de mucha utilidad para entender sus características que
componen a una Ecuación Diferencial.
.Definición 1. Se dice Ecuación Diferencial aquella Ecuación que
entre sus términos posee al menos una derivada.
Ejemplo:
.Definición 2. Las Ecuaciones Diferenciales se clasifican por el tipo
de variables y la cantidad de los mismos.
Ejemplo:
( ) ( )
Derivada Total
Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal
( ) ( ) ( )
Ecuaciones en Derivadas Parciales
Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales Lineales
.Definición 3. La Ecuación Diferencial presenta el Orden (es la
derivada que presenta la Ecuación Diferencial)
Ejemplo:
( )
.Definición 4. El Grado es la potencia del término que contenga la
expresión de mayor orden
Ejemplo:
( ) ( )
( ) ( )

10
Origen de las Ecuaciones Diferenciales
Las Ecuaciones Diferenciales surgieron a partir de las situaciones que
se presentan en algunas ciencias como en sus aplicaciones que
precisan soluciones con funciones exactas.
Problemas Geométricos
Debido al concepto de las derivadas (Por ejemplo una pendiente es
igual a una derivada), entonces con sus diferentes situaciones que
pueden presentarse tanto en el plano como en el espacio.
Pendiente
( )
Hay que tomar en cuenta que “m” es la pendiente, además está
representado en la Ilustración 1
Ejemplo de la derivación de la pendiente:
Derivación de la pendiente
Se halla la parábola cuando “y” equivale a x2
Derivando x2
: Se halla la pendiente cuando “y” equivale a 2x
Derivando 2x: Se halla la recta cuando “y” equivale a 2
Luego de “y” equivale a 0 por que la derivada de una constante es
igual a 0
La pendiente como se lo representa de la siguiente forma:
( )

11
Pero a la vez se tiene su fórmula matemática:
( )
Su representación en el plano de la anterior formula es la siguiente:
Entonces con los puntos definidos se aplica el:
Si:
( )
Problemas Físicos
En el desarrollo de la física al buscar relaciones entre diversos
conceptos que matemáticamente se definen en términos de
Derivadas, se presentan inevitablemente las Ecuaciones
Diferenciales.
Por ejemplo un caso para aplicar las ecuaciones diferenciales o bien
las derivadas es:
Entonces reemplazando los valores tendremos:
( )
Problemas en Otras Ciencias
En el desarrollo de otras ciencias, al relacionar conceptos propios,
que a su vez se definen en Términos de Derivadas, necesariamente se
presentan las Ecuaciones Diferenciales.
Como por ejemplo, debido a las funciones primitivas:
El número de funciones es igual al número de constantes más 1

12
Ejemplo. Obtener la Ecuación Diferencial asociada con la primitiva:
( ) ( )
Donde A y B son constantes, si son dos, la regla indica que se tiene
que encontrar tres ecuaciones.
La primera es la que nos dieron, falta encontrar la segunda ecuación:
( ) ( )
Ya con la segunda ecuación encontraremos la tercera y la última:
( ) ( )
Realizando equivalencias y reemplazando tendremos:
( ( ) ( ))
Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales
Soluciones Generales
Una solución general de una Ecuación Diferencial es cuando la
constante y las variables no tienen un valor en condiciones iniciales,
por lo tanto la función es genérica llegando a ser una familia de
curvas.
Soluciones Particulares
Una solución particular de una Ecuación Diferencial es cuando las
variables tienen un valor en condiciones iniciales llegando a dar un
valor a la constante, la cual es una gráfica en el plano o espacio. En si
es un caso particular de la solución general.
Ejemplo demostrativo:
Separando las variables y agregando el integrado:
∫ ∫ ∫
Resolviendo la integración de :
Entonces la solución primitiva o solución general es:

13
CAPITULO II ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN Y PRIMER GRADO
Introducción
Las Ecuaciones Diferenciales de primer orden y primer grado son
aquellas que pueden ser escritas como:
( ) ( )
Demostración:
Una Ecuación Diferencial es planteada de la siguiente forma con las
siguientes funciones: puede ser escrita de la siguiente
forma: ( ) ( ) , donde ( ) y
( ) .
Donde la función de ( )y ( )son funciones cualquiera en
términos de . Para su resolución se cuenta con los siguientes
métodos.
1°: Variables Separables
2°: Homogéneas
3°: No homogéneas Lineales
4°: Exactas
5°: Factor de Integración
6°: Primer orden y primer grado
7°: Bernoulli
8°: Variación de parámetros
Los métodos anteriores son para resolver una Ecuación Diferencial
de orden es, en realidad, hallar una relación entre las variables
conteniendo constantes arbitrarias independientes, que, junto con
las derivadas obtenidas de ella, satisfaga la Ecuación Diferencial.
Método de Variables Separables
Sea la ecuación:
( ) ( )
Donde:
( ) ( )
Pueden ser escritas como:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Reemplazando en :
( ) ( ) ( ) ( )
Reordenando se puede escribir de la siguiente forma:
( )
( )
( )
( )

14
Ejemplo 01:
( )
( )
Separando los diferenciales:
( )
Reordenando:
( )
Separando respecto a las variables las funciones:
∫
⏟
∫
⏟
Resolviendo
∫
Resolviendo
∫
Cambio de variable y derivar:
∫
Reemplazando las variables iniciales:
( )
Juntando las soluciones de y :
( )
Operando las constantes:
( ) ( )
Las constantes no se afectan con otra constante ni con los signos:
( )
La solución es:
( )
Reemplazando las condiciones iniciales de:
( )
Despejando C:
La solución particular es: ( )

15
Tomando en cuenta que:
Aplicando a la solución general:
( ) ( )
Con las propiedades de logaritmos:
(
( )
)
La solución general es:
( )
Ejemplo 02:
Separando variables con sus respectivas diferenciales:
∫ ∫
Resolviendo los integrales:
Despejando la constante:
Aplicando logaritmo natural a ambos miembros:
Si:
Entonces:
Método por Homogéneas
Sea la ecuación:
( ) ( )
Donde:
( ) ( )
En este caso las funciones y son homogéneas y de mismo grado,
entonces se aplica el siguiente cambio de variable:
Con este cambio de variable la Ecuación se transforma en una de
variables separables, su solución está dada por el método anterior.

16
Pero para iniciar con este método se tiene que verificar si la Ecuación
Diferencial es homogénea, la cual se la realiza de la siguiente forma:
Ejemplo 03:
Se puede escribir de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( )
Para ser homogénea verificar con la siguiente formula:
( ) ( )
Si:
( ) ( ) ( ) ( )
Entonces la función es homogénea de primer grado:
( )
Si:
( ) ( ) ( ) ( )
Entonces la función es homogénea de primer grado:
( )
Ambas funciones son homogéneas de primer grado.
Otra forma más abreviada es la siguiente:
Ejemplo 04:
Aplicando la fórmula para verificar:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Entonces la Ecuación es homogénea de cuarto grado ya que:
( ) ( ) ( ) ( )
Ejemplo 05:
Aplicando la fórmula para verificar:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
La función no es homogénea ya que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ahora que ya se tiene conocimiento de cómo verificar si una
ecuación es homogénea o no se procederá a realizar el procedimiento
de solución del Ejemplo 03.

17
Ejemplo 06 (Ejemplo 03):
Se escribe de la siguiente forma:
( ) ( )
Si:
Entonces aplicando el cambio de variable:
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Entonces ya se volvió una Ecuación que puede ser solucionada por el
método de variables separables ya que:
∫ ∫
∫
⏟
∫
⏟
Resolviendo
∫
Resolviendo
∫
Aplicando cambio de variable, si:
( ) ( )
Entonces:
∫ ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Tomar en cuenta que:

18
(( ) ( ) ) ( )
( )
( )
Entonces la solución está dada por:
√
La solución despejando la raíz cuadrada y el exponente es:
Ejemplo 07:
( )
Entonces aplicando el cambio de variable:
( ) ( )
∫ ∫
Entonces la solución es:
Ecuaciones No Homogéneas pero Lineales
Sea la ecuación:
( ) ( )
La ecuación puede ser escrito como:
( ) ( )
Para la resolución de estas ecuaciones se tiene 2 casos, el primero es
el siguiente:
1°CASO:
* +
La Ecuación Diferencial se transforma en una ecuación homogénea y
que llega a ser una de variables separables.
2°CASO:
* +
De los cuales:
⟩
La Ecuación Diferencial se transforma en una ecuación homogénea y
que llega a ser una de variables separables.

19
1°CASO: Ejemplo 08:
( ) ( )
* +
Si:
Entonces:
( ) ( )( )
( )
Ya se transforma en una ecuación de variables separables:
∫
⏟
∫
⏟
Resolviendo
∫
Resolviendo
∫
Dividimos la expresión:
2
Entonces obtenemos:
∫ ∫
Si: entonces:
( ) ( )
La solución final es:
( )
2°CASO: Ejemplo 09:
( ) ( )
* +
El determinante es diferente de cero, resolver el sistema de
ecuaciones.

20
Entonces derivando obtenemos la siguiente ecuación:
( ) ( )
Ya es una ecuación homogénea de primer grado, entonces aplicamos
el cambio de variable a :
( ) ( )( )
Reduciendo obtenemos:
Agrupando términos:
( ) ( )
Luego finalmente lo convertimos en una ecuación de variables
separables:
∫ ∫ ∫
Integrando:
( ) ( )
Multiplicando a ambos miembros por :
( ) ( )
Operando:
( ) ( )
( ) ( )
Aplicando leyes de logaritmos:
( ) ( ) ( ) ( )
Sustituyendo por se obtiene: ( ) ( )
Pero hay que tomar en cuenta que:
Se obtiene la primitiva:
( ( ) ( )) (( ) ( )
Operando:
( ) ( )

21
En los dos últimos métodos anteriores su resolución es en base a la
reducción de las ecuaciones homogéneas y lineales a una ecuación de
variables separables para poder resolverlo, los siguientes métodos son
más específicos en su forma de resolución.
Método por Exactas
Sea la ecuación:
( ) ( )
Para ser exacta se verifica con la siguiente formula:
Se usa la fórmula para derivar parcial la función respecto a una
variable, como se poder ver en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 10:
( ) ( )
Es exacta ya que aplicando la formula se obtiene:
( ) ( )
Ejemplo 11:
( ) ( )
No es exacta ya que aplicando la formula se obtiene:
( ) ( )
Entonces para una ecuación exacta la solución está dada por:
( )
Donde:
( ) ∫ ∮( )
( )
⏟
( )
( )
⏟
( )
( ) ( )
Luego se realiza la integración:
∫
Concretamente la solución está dada por:
( ) ∫ ∮( )
[∫ ( ) ∮( )] ( )

22
Ejemplo 12:
Es una ecuación exacta, entonces se procede a su resolución:
∫ ( ) ∫
Aplicando la formula β se tiene lo siguiente:
[ ∮( )]
Derivando parcial el primer miembro obtenemos:
∮( )
Anulando en ambos miembros se obtiene:
∮( )
∫ ∮( ) ∫ ∮( )
Ejemplo 13:
( )
∫ ( ) ∫( )
Operando se obtiene:
∫ ∫
Aplicando la formula β se tiene lo siguiente:
[ ∮( )]
Derivando parcial el primer miembro obtenemos:
∮( )
Anulando en ambos miembros se obtiene:
∮( )
∫ ∮( ) ∫
∮( )
Entonces la solución es la siguiente:

23
Factorizando:
( )
Método por Factor de Integración
Son aquellos en donde se cumple lo siguiente:
Para resolver se presentan varios casos, los cuales son:
1°CASO:
( )
Si cumple la formula anterior, entonces su Factor de Integración es:
∫ ( )
De manera que aplicando a la ecuación original se obtiene:
∫ ( )
( )
⏟
∫ ( )
( )
⏟
Entonces:
2°CASO:
( )
Si cumple la formula anterior, entonces su Factor de Integración es:
∫ ( )
3°CASO:
Si:
( ) ( )
Es homogénea y de mismo grado su Factor de Integración se
obtiene con la siguiente formula:
4°CASO:
Si:
( ) ( )
Podemos escribir como:
( ) ( )
Entonces el Factor Integrante se obtiene de la siguiente forma:

24
[ ( ) ( )]
La condición a cumplir es: ( ) ( )
Ejemplo 14:
( )
No es una ecuación exacta, ya que:
Entonces intentamos con el primer caso:
( )
( )
La función tiene un término en , eso no es correcto.
Entonces se intentara con el segundo caso:
( )
Factorizando se obtiene:
( )
( ) ( )
Obtenemos el F.I.:
∫
Entonces multiplicamos el factor integrante a la ecuación dada:
Operando obtenemos:
( )
⏟ ⏟
Verificamos:
Se resuelve siguiendo los pasos de una exacta:
∫ ( ) ∫ ( )
Aplicando la fórmula se obtiene:
* ∮( )+
∮( )
∮( )

25
( )
Ejemplo 15:
( )
No es una ecuación exacta, ya que:
Aplicando el primer caso se obtiene:
( ) ( )
Obtenemos el F.I.:
∫
Multiplicando el factor integrante a la ecuación dada:
( )
Verificamos:
∫ ( ) ∫( )
* ∮( )+
∮( )
∮( )
Ejemplo 16:
( )
La ecuación es homogénea, entonces se aplica el tercer caso donde se
obtiene el F.I. de la siguiente forma:
( ) ( )
El F.I. lo multiplicamos a la ecuación dada:

26
( ) ( ) ( )
Es una ecuación exacta, ya que:
( ) ( )
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫
* ∮( )+
∮( ) ∮( )
Ecuación Lineal de Primer Orden y Primer
Grado
Sea la ecuación:
( ) ( )
Que puede ser escrita como:
( ) ( )
Tomar en cuenta que en el primer miembro la función esta
multiplicada por , y en el segundo miembro solo está en variables .
Para resolver aplicamos la siguiente expresión:
∫ ( )
∫ ( ) ∫ ( )
Ejemplo 17:
( )
Transformando:
Entonces aplicamos la expresión:
[∫ ∫ ] ∫
Resolviendo las integrales en color rojo:
∫ ∫
Se reemplaza en la fórmula:

27
[∫ ]
Resolvemos la única integral:
∫
Entonces se llega a obtener:
∫ ∫
Volviendo a las variables:
[ ]
La solución es:
Ejemplo 17:
Transformando:
( )
Aplicando la fórmula:
[∫ ∫
] ∫
Resueltas las integrales en rojo:
[∫ ]
Aplicando ley de logaritmos a :
[∫ ] [∫ ]
Entonces:
∫ ∫
( )
*
( )
+
( )
Tomando en cuenta que ( ) se obtiene la solución:

28
Ecuación Diferencial de Bernoulli
La Ecuación Diferencial de Bernoulli es aquella que puede
expresarse como:
( ) ( )
Nótese la diferencia con el método anterior, ya que en el segundo
miembro existe la variable que está multiplicando a la función y
que además tiene un exponente que tiene que ser si o si diferente de
1, su solución está dada por un cambio de variable que es de la
siguiente forma:
De manera que la Ecuación Diferencial se transforma en una de
1°orden y 1°grado, resolveremos el Ejemplo 16 para notar la
diferencia:
Si:
Entonces la función será de la siguiente forma: ( ) ( )
( )
Aplicando a ambos miembros: ( )
( )
La ecuación fue transformada en una de primer grado y primer orden.
Entonces para su resolución se usa la formula, pero cambiando a
por de la siguiente forma:
[∫ ∫ ] ∫
Resolviendo las integrales en color rojo:
[∫ ]
∫
Entonces se llega a obtener:
∫ ∫

29
[ ]
En se expresa como:
Por la metodología sale otro resultado que satisface a la Ecuación
Diferencial planteada.
Método de Variación de Parámetros
Este es el último método que sigue la forma de las ecuaciones de
primer grado y primer orden, pero su procedimiento es diferente, se
realizara el ejemplo 16 para verificar el resultado:
Entonces este método plantea que ( ) para obtener la que es
la complemetaria.
Aplicando lo mencionado:
La transformamos en una de variables separables:
∫ ∫
Entonces estamos hallando :
Ahora una vez hallado la complementaria se procede a hallar la
particular donde ( ) .
Entonces de las constantes se cambian por funciones:
( ) ( )
( ) ( )( )
Cambiando en la ecuación dada:
( ( ) ( ) ) ( ( ) )
Anulando ( ) se obtiene:
( )
( )
∫ ( ) ∫
Resolviendo las integrales:
( ) ( )
La solución es:

30
El método indica que para hallar se tiene que sumar con :

31
CAPITULO III APLICACIONES DE
LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Las Ecuaciones Diferenciales se aplican en diversas áreas y ciencias,
algunas de estas son:
 Geometría Analítica
 Física
o Física Newtoniana
o Óptica
o Ondas electromagnéticas
 Otras ciencias
o Termodinámica
o Perforación
o Física
o Química
o Telecomunicaciones
Ya que se mencionó la aplicación en otras ciencias es también
aplicado en casos más específicos, los cuales son: vigas horizontales,
sistemas de masa resorte, circuitos electrónicos, movimiento
oscilatorio, movimiento de un péndulo, movimiento a lo largo de una
línea recta, movimiento de un sistema complejo, cable suspendido, y
otros.
En este manual solamente tocaremos las aplicaciones geométricas y
las aplicaciones físicas.
Aplicaciones Geométricas
Con respecto al gráfico se toma las siguientes consideraciones:
La pendiente es:

32
Sus características son:
Entonces:
La longitud de la Tangente al eje :
√ ( )
La longitud de la Tangente al eje :
√ ( )
El segmento interceptado por la Tangente con el eje :
El segmento interceptado por la Tangente con el eje :
Subtangente:
La subnormal:
Longitud de la recta normal con el eje :
√ ( )
Longitud de la recta normal con el eje :
√ ( )
Segmento interceptado por la normal con el eje :
Segmento interceptado por la normal con el eje :

33
Longitud de curva o segmento de curva:
√( ) ( )
Ejemplo 20: Hallar la curva en el punto de una curva del
segmento que la tangente intercepta con el eje y es igual a
Entonces:
Puede ser escrito también:
Dividiendo a ambos miembros por – tenemos:
( ) ( )
Se obtiene una ecuación que es resuelta mediante el método de
Bernoulli:
Entonces se tiene lo siguiente:
( ) ( )
Realizando las operaciones se tiene:
( )
Ya es una ecuación de primer orden y primer grado:
[∫ ∫
] ∫
Resolviendo las integrales en rojo:
[ ∫ ] [ ∫ ]
Resolviendo la única integral se obtiene:
Operando se obtiene la solución:
Ejemplo 21: Hallar la familia de curvas para los que la longitud de la
parte de la tangente entre el punto de contacto ( ) y el eje es
igual al segmento interceptado en por la tangente:
√ ( ) √ ( )

34
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Suprimiendo ( ) en ambos miembros:
Se obtendra una ecuación homogenea de la siguiente forma:
( ) ( )
Entonces aplicamos el cambio de variable:
Obtenemos:
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
Separamos las variables:
∫ ∫
Integrando:
( )
( ) ( )
Cambiando la variables y aplicando ley de logaritmos:
( ) ( )
Se obtiene la solución:
√
Ejemplo 22: Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto
( ) cuya pendiente es igual a la suma de sus coordenadas.
( )
Operando:
( )
Es una ecuación de primer orden y primer grado, entonces usamos la
f´rmula:
[∫ ∫ ] ∫ [∫ ]
Realizando la única integral: ∫ ∫ ∫

35
Si: ∫
Entonces obtenemos:
∫
Volviendo a la fórmula:
Simplificando la expresión se obtiene:
La solución es:
Ejemplo 23: Por un punto cualquiera ( ) de una curva que pasa por
el origen se trazan dos rectas paralelas a los ejes coordenados. Hallar
la curva de modo que divida al rectángulo formado por las dos rectas
y los ejes coordenados en dos superficies, una de las cuales sea el
triple de la otra:
∫ ∫
Entonces se tiene la siguiente igualdad:
∫ ( ∫ ) ∫ ∫
∫
∫ ∫
Integrando obtenemos:
Aplicaciones Físicas
En física sus aplicaciones se encuentran en las particularidades,
teoremas, axiomas, leyes propias de la física.
Ejemplo 24: Si la población de un país se duplica en 50 años en
cuantos años será el triple suponiendo que la velocidad de aumento
sea proporcional al número de habitantes:
Datos:
En 50 años la se duplica el triple de en .

36
∫ ∫
Integrando se obtiene:
| | ( )
Se despeja k llegando a obtener su valor:
Entonces reemplazamos el valor de k en α:
∫ ∫ | |
( )
( )
Operando los decimales:
Ejemplo 25: Hallar la ecuación de un móvil sabiendo:
( )
∫ ∫
Integrando:
∫
Entonces:
∫ ∫
Integrando:
Sabiendo que se tiene:
( )
Conociendo el valor de :
La solución es:
( )

37
Ejemplo 26: El crecimiento a la población es proporcional al número
presente de la población de una ciudad de 8200 hab., si hace 5 años
era de 6500 hab. Hallar la ecuación de su crecimiento y el número de
habitantes al cabo de 10 años.
∫ ∫ | |
Resolviendo obtendremos el valor de :
( )
( )
Continuar conociendo :
∫ ∫
( )
|
( )
|
( ) ( )

38
CAPITULO IV ECUACIONES
DIFERENCIALES DE GRADO
SUPERIOR
Introducción
Las Ecuaciones Diferenciales de grado superior son aquellas que
tienen la siguiente expresión:
( ) ( ) ( )
Donde son funciones en términos .
Para resolverlos se aplica el cambio de variable:
Luego se obtiene:
Los métodos de resolución son los siguientes:
1°: Respecto de p
2°: Respecto de y
3°: Respecto de x
4°: Método de LaGrange
5°: Método de Claireaut
Respecto de “p”
Ejemplo 27:
( ) ( )
Aplicando el cambio de variable obtenemos:
( )
⏟ ( )
⏟
De I:
∫ ∫
De II:
∫ ∫
La solución es:
( )( )

39
Respecto de “y”
( ) ( ) ( )
Se pueda despejar :
( )
Se aplica la siguiente formula:
Ejemplo 28:
( ) ( )
Cambiando las variables:
Se pudo despejar en función de , procedemos a resolver:
Agrupando respecto a sus variables:
( ) ( )
( )
∫ ∫
Integrando se obtiene:
Reemplazar en :
( ) ( )
( )

40
Respecto de “x”
( ) ( ) ( )
Se pueda despejar :
( )
Se aplica la siguiente formula:
Ejemplo 29:
( ) ( )
Cambiando las variables:
Se pudo despejar en función de , procedemos a resolver:
( )
( )
( )
Factorizamos el signo del primer miembro:
( )
( )
∫ ∫
Después de integrar:
Reemplazar en α:
( ) ( )

41
Método de LaGrange
( ) ( ) ( )
Que puede ser escrita como:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Ordenando obtenemos una Ecuación Diferencial de primer orden y
primer grado:
Ejemplo: 30:
( ) ( )
Cumple con la forma de , se procede a solucionar:
Operando:
( ) ( )
Los diferenciales lo llevamos al primer miembro:
A ambos miembros dividimos por :
Procedemos a solucionar con la fórmula de primer orden y primer
grado:
*∫( )
∫
+
∫
[∫( ) ] [∫( ) ]
* +
Resolviendo los productos:
La solución es:
( )
( )

42
Método de Claireaut
Este método es un caso especial o particular del método de
LaGrange.
( ) ( )
Donde:
Ejemplo 31:
( ) ( )
Que a la vez puede ser escrita como:
( ) ( )
Las constantes son igual a 1, entonces:
Se realiza el cambio de p por C:

43
CAPITULO V ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN “N”
CON COEFICIENTES CONSTANTES
Son aquellos que pueden ser escritos como:
( ) ( ) ( )
Donde son constantes.
Ejemplo 32:
Es una ecuación de 3° orden con constantes.
Ejemplo 33:
( ) ( )
Es una ecuación de 3° orden con funciones.
Ecuaciones Homogéneas
Son ecuaciones homogéneas si en para su resolución se
aplica el operador lineal diferencial: para luego obtener:
Para luego factorizar se obtiene:
( )
Donde ( ) se denomina la ecuación, función, polinomio
característico.
Su solución está dada por:
( ) ( )( ) ( )
Que se escribe como:
( )( ) ( )
La solución depende de sus raíces que son también
conocidas como las raíces características.
Para su resolución existen los siguientes métodos:
1° Raíces reales y distintas entre sí.
2° Raíces reales y múltiples entre sí.
3° Raíces imaginarias.
4° Raíces complejas.
Raíces Reales y Distintas Entre Sí
Son aquellas en que las raíces son:

44
Entonces la solución tiene la siguiente forma:
Ejemplo 34:
Entonces:
( )
Hallando las raíces:
( )( )
La solución es:
Raíces Reales y Múltiples Entre Sí
Son aquellas en que las raíces son:
Entonces la solución tiene la siguiente forma:
Ejemplo 35:
Entonces:
( )
1 -10 33 -36
3 3 -21 36
1 -7 12 0
3 3 -12
1 -4 0
4 4
1 0

45
Las raíces son:
( )( )( )
La solución es:
Raíces Imaginarias
Se considera una ecuación de orden de orden 2.
Si:
( )
Ejemplo 36:
( )
Resolviendo para hallar la raíz:
√ √ ( )
Operando radicales:
√ √ √
Las raíces son:
( √ )( √ ) √ √
La solución es:
√ √
Raíces Complejas
Si: ( ) tiene más:
La solución está dada por:
⏟ ( )
⏟
Ejemplo 37:
( )
Hallamos las raíces por la fórmula:
( ) √( ) ( )( )
( )
√
√ √ √

46
Las raíces son:
( ) ( )
De donde:
La solución es:
( )
Ecuaciones No Homogéneas
Son ecuaciones no homogéneas si en :
( )
( )( ) ( )
Para su solución se aplica el despeje de :
( )( ) ( )
Para su resolución existen los siguientes métodos:
1° Método continúo.
2° Método por fracciones parciales.
3° Método por variación de parámetros.
4° Método por coeficientes indeterminados.
5° Métodos abreviados.
Método Continuo
Este método se lo realiza de forma continua, de ahí el nombre, su
procedimiento es el siguiente:
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
⏟
( )
Se tiene que hallar el valor de para que luego quede de la siguiente
forma:
( ) ( ) ( )
⏟
Luego hallar el valor de hasta llegar a:
⏟

47
Ejemplo 38:
Primero se hallan las raíces:
( ) ( )( )
La solución está dada por:
Entonces para
( )( )
Entonces para
( )( )
( )( ) ⏟
Entonces se tiene lo siguiente:
( )
Aplicamos la fórmula de 1° orden y 1° grado:
[∫ ∫ ] ∫
[∫ ] [∫ ]
Hallado el valor de volvemos a la función característica:
( )
( )
Aplicamos la fórmula de 1° orden y 1° grado:
[∫( ) ∫ ] ∫
[∫( ) ]

48
∫( )
∫ ∫
Solucionando ambas integrales:
Volviendo a la fórmula original:
[ ]
Agrupando las constantes y :
Método por Fracciones Parciales
Sea:
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
[ ]
⏟ ⏟ ⏟
Ejemplo 39:
( ) ( )( )

49
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
Se agrega la expresión en rojo para obtener lo siguiente:
( ) ( )
( )
( )
Hallar el valor de por determinantes:
* +
* +
* +
* +
Sabiendo los valores de reemplazamos en :
( ) ( )
( )
⏟ ( )
⏟
Hallar :
( )
( )
Usando la fórmula de 1° orden y 1° grado:
[∫ ∫ ] ∫
[∫ ]
[∫ ] [ ]
La solución de es:
Hallar :
( )
( )

50
Usando la fórmula de 1° orden y 1° grado:
[∫ ∫ ] ∫
[∫ ]
[∫ ] [ ]
La solución de es:
Una vez hallado y se halla :
Ahora se halla :
Entonces:
Agrupando las constantes y :
Método por Variación de Parámetros
Este método se caracteriza por generar una Ecuación Diferencial de
tantas variables existan.
Si: ( )
Si:
Las constantes se reemplazan por los parámetros
obteniéndose:
( ) ⏟ ( ) ⏟ ( ) ⏟
De manera que podemos obtener:

51
Operando y resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos
los valores para:
Ejemplo 40:
( ) ( )
( ) ( )( )
Si:
Como se puede ver son dos términos, entonces:
|
Hallamos el valor de :
| |
| |
∫ ∫
Hallamos el valor de :
| |
| |
∫ ∫
Entonces ya tenemos el valor de , sacamos en valor de :
( )
Unimos las soluciones de con :
Método por Coeficientes Indeterminados
Es aquel método que está determinado por la función .
Si: ( )

52
Si:
Para hallar
( )
Ejemplo 41:
( ) ( )( )
Entonces sí:
( )( )
Entonces sí:
Reemplazando en la función característica:
( ) ( )
( ) ( )
Agregamos los valores en rojo para generar el sistema de ecuaciones:
( )
8A = 1
- 12A - 8B = 0
2A - 6B + 8C = 0
Hallando los valores de
Entonces

53
Hallando
Métodos Abreviados
Estos métodos abreviados son procedimientos en base a la función
ya que está función indica cómo se hallara la solución.
Ya repetimos en los anteriores métodos que para hallar el valor de
es igual a .
Entonces para hallar
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Ejemplo 42:
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
La solución dada por es:
Ejemplo 43:
( ) ( )( )
( )( )

54
( )( )
( )( )
Sale este error porque en la solución ya existe la constante
multiplicado por: , entonces serian raíces múltiples y para su
solución se aplica la siguiente fórmula:
( ) ( )
Entonces tenemos:
Ejemplo 44:
( ) ( )
( )( )
( ( ))
( )( )
( ( ))
( )( )
( ( )) ( )
( )

55
CAPITULO VI ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN “N”
CON COEFICIENTES VARIABLES
Son aquellos que pueden ser escritos como:
( ) ( ) ( )
Donde son funciones en términos de variables
también la función ( )
Para hallar la solución existen los siguientes métodos:
1° Método de Cauchy
2° Método de Legendre
Ecuación Lineal de Cauchy
Si:
( ) ( ) ( )
Donde: son constantes, se aplica:
( )
( )
( ) ( )
( ) * +
( ) ( )
* + * +
Factorizamos lo de color rojo:
[ ] [ ]
Obtenemos:
( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )

56
( )( ) ( )
Ejemplo 45:
( )
Reemplazando en la función principal:
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
Por métodos abreviados:
( ) ( )( )
( )( )
Para hallar
Ecuación Lineal de Legendre
Si:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Donde:
( )

57
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
Ejemplo 46:
( ) ( )
( ) ( )
También consideremos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Reemplazando:
( ) ( )
Operando los términos:
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
⏟ ⏟ ( )
( )( ) ( )( )
Para hallar

58
( ) ( )
Reemplazando los valores iniciales:
( ) ( ) ( )
( )
( )
La solución es:
( )

59
APENDICE I TABLA DE FORMULAS
DE DERIVACION
Las fórmulas presentes en este apéndice son las más útiles y las que
más se hizo uso en estos apuntes.
En esta tabla las letras son constantes, y las letras son
funciones de . Donde es la variable independiente:
1.
2.
3. ( )
4. ( )
5. ( )
6. ( )
7. ( )
8. ( )
9. ( )
10. ( )
11. ( )
12.
Derivación de funciones trigonométricas:
13. ( )
14. ( )
15. ( )
16. ( )
17. ( )
18. ( )
Derivación de las funciones trigonométricas inversas:
19. ( )
√
20. ( )
√
21. ( )
22. ( )
23. ( )
√
24. ( )
√

60
Derivación de funciones exponenciales y logarítmicas:
25. ( )
26. ( )
27. ( )
28. ( )
29. ( )
Derivación de las funciones hiperbólicas:
30. ( )
31. ( )
32. ( )
33. ( )
34. ( )
35. ( )
Derivación de las funciones hiperbólicas inversas:
36. ( )
√
37. ( )
√
38. ( )
39. ( )
40. ( )
√
41. ( )
| |√

61
APENDICE II FORMULAS
FUNDAMENTALES DE
INTEGRACIÓN
Las fórmulas presentes en este apéndice son las más útiles y las que
más se hizo uso en estos apuntes.
Tomar en cuenta que estas fórmulas se deducen inmediatamente de
las fórmulas de derivación visto en el apéndice anterior:
1. ∫ [ ( )] ( )
2. ∫[ ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( )
3. ∫ ( ) ∫ ( )
4. ∫
5. ∫ | |
6. ∫
7. ∫
8. ∫
9. ∫
10. ∫ | |
11. ∫ | |
12. ∫ | |
13. ∫ | |
14. ∫
15. ∫
16. ∫
17. ∫
18. ∫ √
19. ∫
20. ∫ √
21. ∫ | |
22. ∫ | |
23. ∫ √
( √ )
24. ∫ √
| √ |
25. ∫ √ √
26. ∫ √ √ ( √ )
27. ∫ √ √ | √ |

62
Integración de funciones hiperbólicas:
28. ∫
29. ∫
30. ∫
31. ∫ | |
32. ∫
33. ∫
34. ∫
35. ∫
36. ∫ √
37. ∫ √
38. ∫
39. ∫

63
APENDICE III FORMULAS UTILES
En este apéndice estará compuesto por algunas fórmulas que sobre
todo son las más útiles para diversos tipos de problemas de
Ecuaciones Diferenciales, volviendo a recalcar, solo son algunas ya
que hay varias de diferentes autores.
Consideraciones para ecuaciones de 1° orden y 1° grado.
- Variables separables
1. ( ) ( )
- Homogéneas, para su verificación si es una ecuación
homogénea
2. ( ) ( )
El cambio de variable
3.
- No homogénea, pero lineal
1°CASO: * +
2°CASO: * +
De los cuales:
⟩
- Por exactas
4.
( ) ∫ ∮( )
- Factores de integración
1°CASO:
5. ( )
∫ ( )
2°CASO:
6. ( )
∫ ( )
3°CASO:
7.
4°CASO:
8.
[ ( ) ( )]
Debe cumplir la siguiente condición:
9. ( ) ( )

64
- Primer orden y primer grado
10. ∫ ( )
∫ ( ) ∫ ( )
- Bernoulli
Tomar en cuenta el cambio de variable:
11.
Consideraciones para ecuaciones de grado superior
- Respecto de “p”
- Respecto de “y”
( )
Regla de la cadena para derivar:
- Respecto de “x”
( )
Regla de la cadena para derivar:
- LaGrange
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Consideraciones para ecuaciones de orden superior:
Cuando el valor de ya se encuentra en la solución, usar
la siguiente formula ya que son raíces múltiples entre si.
( ) ( )
Consideraciones para resolver ejercicios:
1. ∫
2. ∫ ( )
3. ∫ ( )
( )
4. ∫ ( )
( )
5. ∫ ( )

65
BIBLIOGRAFIA
Quiero recalcar que este manual son mis apuntes que realice cuando curse la materia, y como referencia para aprender más de lo que el docente nos
indicaba fueron de mucha utilidad los libros que mencionare en adelante:
1. Ecuaciones Diferenciales de la Editorial “Leonardo” del autor Víctor Chungara Castro – Ed. 2012.
2. Ecuaciones Diferenciales de la Editorial McGraw Hill del autor Frank Ayres Jr. – Ed. 1991.
3. La práctica del cálculo integral y diferencial Vol. I y II de la editorial “El Jisunú” del autor P.A. Gutiérrez – L. Moreno S. – Ed. 1991.
4. Calculo Diferencial e Integral de la Editorial McGraw Hill del autor Frank Ayres y Elliot Mendelson – Ed. 1997.
Estos libros tienen una infinidad de ejercicios los cuales son muy recomendables su resolución para comprender mejor la materia.
Algunos ejercicios puede que sean copiados de los textos mencionados, que son los apuntes.
Según las leyes de Derechos de autor, tengo la facultad de publicar este documento bajo el nombre de “Apuntes…” y hacer referencia a los autores
de libros que consulte para desarrollar de forma más explícita la solución de los problemas.

66
POSDATA
No olvides ver las películas, que tengas un lindo día, saludos.
16 de feb. de 2020
Oruro

Apuntes de ecuaciones diferenciales

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