Trazos paileros para realizar trazos, cortes y calculos.pptx
1. GlJJIJALJJAHA, j/L.
F1111c/wla ,.,, J1
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1
1
1
"ESCUELA DOMINICAL DE TRAZO
PARA SOLDADORES PAILEROS"
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TRAZOS
Y APlJ Nrl'l S
f)E
PAILERIA
•
l
(
Manuel Morales
, {
2. Uno de los grupo que forman la
"ESCUELA DOMINICA DETRAZO
PARASOLDADORES P
AILEROS"
Desde 1981 en el parque "Agua Azul" y actualmente
en el parque "González Gallo" nos reunimos Domingo a
Domingo un grupo de soldadores para estudiar lo relacfonado
con el Trazo de Paileria.
Nota: La Escuela Dominical de Trazo para soldadores
paileros funciono de 1981 a 1986 en forma totalmente
gratuita en el Parque Agua Azul de Guadalajara.
-Derechos Reservados-
-Abril 8 de 1986-
Guadalajara Jalisco Febrero 1986
Respetuosamente
a
M ICO
Manuel Morales
3. A TI, COLEGA SOLDADOR
Que deseas iniciarte en el trazo de
desar rollos de superficies, te doy la bienvenida ,
esperando que estas breves notas y apuntes
puedan servirte de ayuda en el
mejor desempeño de tuTrabajo
Dedico estas paginas en una forma muy
especial a mis amigos soldadores que asisten a
la "ESCUELA DOMINICAL DE TRAZO PARA
SOLDADORES PAILEROS" en el parque "Agua
Azul' de la ciudad de Guadalajara Jalisco.
El proposito principal de estas hojas es
ayudar a las personas que quieren enseñarse a
Trazar, a comprender los diferentes libros que
1
que hay en el mercado relacionados con el
trazo , los cuales a través de mi experiencia
como instructor me he dado cuenta que son
como la Biblia muchos la tienen pero pocos la
comprenden.
No pretendo con unas cuantas hojas hacer
expertos en trazo de paileria, simplemente
espero que los soldadores que tengan estas
notas en sus manos se motiven para buscar por
medio del estudio, su superación personal que
es la superación familiar y colectiva.
Este cursos dé trazo esta escrito por un
soldador Mexicano y ·esta dirigido a los
soldadore s mexicano s, por lo
tanto anticipadamente pido disculpas por
todos los errores gramatica les que cometí al
escribirlo ya que no soy escritor profesional y
solamente me mueve el deseo de transmitir mis
conocimientos de trazo adquiridos a través
de los años y desea ndo ser útil a mi patria en
estos momentos difíciles.
Tu instructor y amigo
15 de noviembre - 1983
Manuel Morales
¡Vl_VAMEXICO!
2
4. ,.
MUCHAS GRACIAS
Para imprimir este curso ademas de buena
voluntad se requiere de mucho dinero, por eso
antes de entrar en materia quiero agradecer en
todo lo que vale a todas las personas
que confiaron en mi y me brindaron su
apoyo económico, a las cuales espero no
defraudar.
Los instrumento qu necesitas para
hacer los ejercicios que qui te voy a
recomendar, son los que vienen en un juego de
geometría común y corriente, pero te
recomiendo que compres aparte un buen
campas de precisión porque este es el
instrumento que mas vamos a usar.
"EL COMPAS"
El campas es un instrumento que merece un
capitulo aparte debido a que con el realizamos la
mayoría de los trazos.
Dos son las principales funciones
que realizamos con el campas:
Primera , transportar distancias de un lugar a
otro.
Segunda y las mas importante es mantener
una distancia constante al rededor de un punto.
Para que comprendas mejor este concepto
3
vamos hacer el
siguiente ejercicio.
Traza una linea
recta horizontal
de 60mm. de
longitud.
Pon las letras "A"
y "B" una en
cada extremo de
dicha recta.
Abre el campas a
un radio de
SOmm. de longitud.
1
1
1
A- + - - - - - 1 - - - + - - - '
B
1
1
Fi ura 1
Haciendo centro en "A" mantén esa distancia
de 50mm. al rededor de ese punto, como
lo muestra la figura 1.
Luego haciendo centro en "B" mantén esa
misma distancia de 50mm. alrededor, hasta que
te cruces con el arco anterior.
Los dos puntos donde se cruzan los arcos
están a 50mm. de los puntos "A" y "B" o sea
equidistantes.
Une con una recta los puntos donde
se cruzaron los arcos y así obtendrás una
linea PERPENDICULAR (a escuadra).
4
5. "EL TRIANGULO"
Triangulo es una figura plana de,.'tres ángulos
y tres lados.
En todo triangulo se consideran seis
elementos, tres ángulos ytres lados.
El perímetro del triangulo es la suma de sus
tres lados.
Con relación a sus lados, los triángulos se
dividen en EQUILÁTERO , ISÓSCELES Y
ESCALENO.
Equilátero Isósceles Escaleno
Figura 2
Triangulo EQUILÁTERO es el que tiene los
tres lados iguales; también se le
llama equián_gulo porqu sus tres ángulos son
iguales.
Triangulo ISOSCELES es el que tiene dos
lados iguales.
Triangulo ESCALENO es el que.tiene los tres
lados diferentes.
5
"EL TRIANGULO SEGÚN SUS ÁNGULOS"
Según sus ángulos los triángulos se dividen
en rectángulo, obtusángulo y acutángulo.
Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
Fi ura 3
El triangulo RECTÁNGULO tiene especial
importanc ia para nosotros los trazadores por lo
cual quiero que pongas mucha atención en el.
Triangulo RECTÁNGULO es el que tiene un
ángulo recto. (a escuadra) los lados que forman
el ángulo recto se les llama CATETOS y al lado
mayor se le llama HIPOTENUSA.
Triangulo OBTUSÁNGULO es el que tiene un
ángulo obtuso. (mas de 90º)
Triangulo ACUTÁNGULO es el que tiene los
tres ángulos agudos. (menos de 90º)
El valor total de la suma de los tres ángulos
de CUALQUIER triangulo es exactamente 180°
o dos ángulos rectos.
6
6. "COMO TRAZAR ..
LOS TRIÁNGULOS"
Ya aprendiste a conocer y clasificar los
triángulos, ahora vas a aprender atrazarlos.
Tenemos en la figura 4 un triangulo escaleno
cuyos lados miden 70-50 y 40 milímetros
respectivamente.
Figura 4
e Para copiar o
t r a z a r
e s t e
t r i a n g u l o
y
cualquier otro
B debés. hacer lo
siguiente:
A
70
1ºToma uno de los lados como base, en este
caso toma el lado AB que mide 70mm. y con
esta medida traza una linea recta y ponle las
letras A y B una en cada
extremo respectivamente, como lo muestra la
figura 5.
2º Haciendo centro en A, con el campas
mantenemos una distancia de 50mm. alrededor
de ese punto.
3º Haciendo centro en B, con el campas
mantenemos ahora una distancia de 40mm. al
rededor de ese punto como lo muestra la figura
5.
1
1.
4º El lugar donde se cruzan los dos arcos es el
punto C que unido con los puntos A y B por
medio de · rectas nos da un
triangulo exactamente igual al de lafigura 4.
Figura 5
.'
I
I
,1R=SO ' R=40
''
A 1
...
- -
B
70 - - - - - -
Como has visto, el trazo del triangulo,
ademas de fácil es interesante y djvertido.
Para practicar quiero que hagas un triangulo
isósceles que tenga las siguientes tres medid s
60-60 y 50mm.
Luego traza también un triangulo equilátero
que sus lados midan 70-70 y 70. ¿Cuantos
grados mide un ángulo del triangulo equilátero si
como vimos en la pagina 6 todos los triángulos
tienen sumados sus 3 ángulos un total de 180º?
8
7. "COMO COPIAR CUALQUIER POLÍGONO"
Y
aaprendiste a copiar y trazar triángulos
pero ¿Que pasa cuando lo que tenemos que
copiar noes untriangulo?
..
La geometría nos dice que los polígonos son
figuras planas limitadas por lineas rectas.
Una forma fácil para copiar polígonos, es <
.
DESCONPONERLOS EN TRIÁNGULOS ,
como lo muestra la figura 6 y
triangulo sobre triangulo hasta
polígono deseado.
luego trazar
completar el
o Figura 6
E
' ' ' , 3
'
7 /
/
/ _
A 1 B
A 1 B
9
(
"EL FILTRO"
En los planos como en las fotografías hay
lineas que aparecen mas chicas que su longitud
real, esto debido a que están inclinadas con
respecto al punto desde donde se les esta
viendo.
Para conocer la longitud real de esas lineas
usamos lo que yo llamo "FILTRO".
Para filtrar una línea se dan los·siguientes
pasos.
Paso 1 Paso 2
1 En el lado vertical
altura se marca la altura
.J.--s-
Se traza un ángulo
de 90.º,( )
Paso3 Paso 4
1 En el lado horizontal
1 Esta es la longitud
se marca la linea de la linea ya
filtrada para
altura
l
que se esta filtrando altura usarla en la plantilla
/ !
l+-SF--+I l+-SF--+I
EN LOS PLANOS yo te voy a marcar las
1íneas que se tienen que filtrar con una F por
ejemplo5F. . .
EN LAS PLANTILLAS te voy a marcar las
1
íneas que ya se filtraron con este símbolo L por
ejemplo L5.
10
8. "COMENZAMOS"
Con esta lección vamos a iniciar los ejercicios (
de desarrollo de superficies.
Desarrollar un cuerpo geométrico significa
desenrollar o desenvolver.
En las próximas lecciones vamos a ver el
sistema de triangul ción y como un triangulo se
compone de tres rectas entonces quiere decir
que en su mayoria vamos a tratar con lineas
rectas.
Para distinguir u lín r eta de otra en
cada ejercicio voy a numerarlas.
Lo que te voy a pedir es que cuando yo te diga
que la línea recta numero X tiene que ser filtrada
a una altura determinada para conocer su
longitud real, entonces procede exactamente
como lo explique en la pagina 1O, esta es la
parte mas importante y mas difícil
de comprender de el sistema de triangulación.
Cuando comprendas porque se filtran las
líneas, lodemás sera fácil.
Para hacer los ejercicios que te voy a indicar
en este curso, ayuda mucho usar cuaderno de
cuadricula para facilitar el trazo de las lineas a
escuadra.
11
"DESARROLLO DE UNA PIRÁMIDE
REGULAR"
Una pirámide regular cuadrangular esta
formada por una base cuadrada y cuatro
triángulos iguales que se unen en un punto
' l l a m a d o cúspide.
Para desarrollar una pirámide regular no
importa de cuantos lados sea la base, se
procede siempre de la misma forma.
Como ejemplo vamos a desarrollar una
pirámide regular de las siguientes medidas; la
base sera un cuadrado de 50 x 50mm. y la
cúspide estará a una altura de 40mm.
1ºse traza la base, en este caso un cuadrado
de 50x50 y se le trazan las lineas que van del t
centro a las esquinas como lo muestra la figura
8.
4
(
Quiero que notes que
e s t a f i g u r a e s t a
compuesta por ocho
lineas rectas la cuales
he numerado para
poderlas distinguir.
Ademas nota que a
las lineas 2,3,5 y 7-les he
agregado una F
esto
quiere decir que para . J
trazar la plantilla
Figura 8 (
PLANO
12
9. (
(
estas lineas tienen que ser . . . . . - - - - - - - - - - .
filtradas a una altura de
40mm. siguiendo los pasos f
de la pagina 1O. A
L
2º como esta es una T
pirámide regular y las lineas
que se deben filtrar 2,3,5 y 7
son iguales basta con filtrar
una de ellas.
3º usando como radio esa
lír;¡ea que filtramos con la
altura de 40.mm., trazamos un arco indefinido
como lo muestra la figura 9.
u
R
_
A
l _
Lineas --t
2,3,5 y 7
FILTRO
Figura 9
Este radio es igual
a las lineas 2,3,5 y 7
ya pasadas por el
filtro
/
/ ·
L5 R=50
'
'
R=so'
'
R=50
PLANTILLA
13
10. 4º tomamos con el campas un radio igual a
los lados de la base (50mm.) y con el lo pasamos
cuatro veces sobre el arco que trazamos en el
paso anterior.
5º por ultimo unimos con lineas rectas el
centro del arco con los puntos que marcamos en
el paso anterior y esos mismos puntos los
unimos unos con otros por medio de rectas para
formar las lineas de la base, como lo muestra la
figura 9.
1
'Para trazar plantillas con el sistema de
triangulación, siempre hay que trazar el plano
de lo que se va a desarrollar como lo hicimos en
a figura 8, luego hay que identificar las lineas
que están inclinadas y que por lo tanto no
aparecen en su dimensión real, estas lineas
como te dije anteriormente yo te las voy a marcar
con una F esto quiere decir que tienen que ser
filtradas de acuerdo con el sistema explicado en
la pagina 1O.
La figura 9 es la plantilla del plano de la figura
8 si la recortamos por las lineas 6,8, 1 y 4 la
doblamos un poco en las lineas 7,2 y 3 y ya
doblada la colocamos sobre el plano veremos
que queda exactamente sobre el cuadro y la
cúspide queda exactamente a 40mm. de altura.
PARA COMPRENDER ESTE EJERCICIO
DEBES COMPRENDER LOSANTERIORES .
15
14
o 8
PLANO
6
1
Figura 10
e
T
FILTRO
4
altul
B 2F, 3F
e
e
e
e
(_'
e
11. .i
·. ' .i.:·i; '•!' '
e Figura 11-A
e
e
e
e
e
c.
(
e
e
e
e
e
e
e
e
e
A B
PASO 1
.,. .... .... -...- ... L
S
.
.
LI_.,.
-,,.. .......
....
1
B
PAS02
PARA COMPRENDER ESTE EJERCICIO,
DEBEMOS COMPRENDER PRIMERO
LOS EJERCICIOS ANTERIORES
,..,.
......
( -
-
.....
..,..
o lL L
S
.
.
1(
e
e
e
e 1
A B
PAS03 Figura 11-C
16
12. Ci'(·
e¡ :ttespués de hacer el plano y el filtro vamos
a (J q hacer el trazo de una de las caras, el cual
nos va i(j
Un tronco de pirámide regular cuadrangular () ;::a servir de plantilla ya que las cuatro caras son
esta formado ·por una base cuadrada y cuatrq ,:.(J e i"
guales portratarse de un cuerpo regular.
trapecios que forman las caras. · ;'
Este es uno de los trazos mas frecuentes en
la paileria.
Vamos a desarrollar un tronco de pirámide
regular de las siguientes medidas
base 50x50mm. boca 20x20mm. y una
altura de 40mm.
( ) )·,
' ' La cara que vamos a trazar es la marcada con
los números 1,2,3 y 4 y las letras A, B, G, H, y
ademas tiene las lineas auxiliares 5F y 6F.
Quiero hacerte notar que en esta ocasión las
V Ó únicas line s que se filtran son las xiliares (5F,
.f() ·
(
· ·
.'.()
1
.,:üI ( ;
( i
· 0 .6F....), las lineas 2, 3 y 4 son automat1cas.
Para hacer est trazo vamos a hacer uso de
las LINEASAUXILIARES .
Traza el plano como lo muestra la figura 12
(recuerda que el plano es como si fuera una o· )
fotografía tomada desde arriba).
En el plano de lafigura 12 aparecen las lineas
auxiliares marcadas con los números 5F, 6F, 9F, O e
·
10F, 14F, 15F, 19F,20F..
o ()•< Figura 13
. . (
O '·e PASO 1se toma como
base la linea 1 (AB) y se le
razan las lineas auxiliares
G;
'
L5_
1
1
?
H
1
,
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L
6
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C: F 6F filt d r::;. 1a)d
' ya ra as Y'.JJ. e
1
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t
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stet modo se obtienen los 1
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G
y
H
. A 1 s
o T¡..·.. l-+15-tf+-- 20 .......15 ..¡
o (;"1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1
Figura 13-A
o<=
"TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR"
12 Figura 12
PLANO
ALTURA
40
7 L
5
_l.§_,••
17
PASO 2 para terminar la
!antilla solamente se le
razan las lineas 2, 3 y 4 las
uales son automáticas.
3
2
1
1
1
1
1
18
13. "TRONCO DE PIRÁMIDE IRREGULAR"
··
,·
.Enesta lección vamos a desarrollar un tronco
de pirámide irregular de las siguientes medidas,
base cuadrada de 50x50mm. boca de
20x20mm. , pero en esta ocasión la boca esta
desplasada (exentrica) para un lado como lo
muestra lafigura 14.
En la pagina 20 están trazadas las cuatro
caras que forman el tronco de pirámide hechas
con el plano y elfiltro de lafigura 14.
Después de haberte explicado en la lección
anterior los pasos para trazar las caras creo que
ya no es necesario repetir las mismas palabras ,
ademas creo que las fig. 15,15A y 158 son
bastante claras y hablan por si solas.
NO PRETENDAS
EJERCICIO
SIN
ANTERIORES.
COMPRENDER ESTE
COMPRENDER LOS
PLANO Figura 14
L
1
_
4
L
1
_
5
Aj . - 1 5 + 20 - + 1 s
-
+
1B
19
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A
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B
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1 5 + )
Figura 15
PLANTILLA
1
1
l.1_0:
'1
1
'
'i
D A
2
1
't
1
d L1_0: 11
t--- 20 _ , . . _ 20 -1910+!
_ _ . E
1
1
1
Figura 15-B
1
1lH
1
1
t J
C D
f + 1 s 20 1 5
PLANTILLA
20
14. Los troncos de pirámide
que vimos en las paginas 17.,
18, 19 y 20 son muy usuales en
l a p a i l e r i a , se
u s a n principalmente en las
tolvas cuadradas como lo
ilustra la
Figura 16
GIRADA"
Este trazo posiblemente nunca lo vamos a
usar en nuestro trabajo, pero te sirve
para comprender mejor el sistema de
triangulación.
Vamos a desarrollar un tronco de pirámide
girada (regular) de las siguientes medidas base
50x50mm., boca de 20x20mm. y a una altura de
30mm., la boca estará girada con respecto a la
base,ver plano de la fig. 17.
10 PLANO
Figura 17
FILTRO
T
altura
30mm.
l_.. ....._
6
Lineas l2.,ll
1
5
.,II,1
9
.,1
1
1.
1
13yl15
1-t'Lineas ..¡
2F, 3F, SF, 7F, 9F, 11F,13F y 15F
21
( ¡ e
ft-.' e
·t'
( , : e
(' ( "
,
l
e
e
e
·
( "
e
e·
e
e
e,
e
e
(
e
e
e
Figura 18A y B
A B A B
Figura 18C
Figura 180
PLANTILLA
Plano de pag. 21
(fig. 17)
1
22
15. "ALTO"
Si realmente te interesa aprender a trazar con
el sistema de triangula ción, NO pases de esta
pagina sin haber entendido TODOS
los ejercicios anteriores .
Yo comprendo que es difícil entender por uno
mismo los ejercicios anter iores por lo que te
sugiero que busques otra persona que le
interese el trazo de paileria y entre los dos todo
sera mas fácil.
PREGUNTA, INVESTIGA, O PIDEAYUDA a
quien ya sabe , has lo que quieras pero no trates
de hacer los ejercicios que siguen sin haber
comprendido las22 paginas anteriores.
¿Que opinarías de una persona que quisiera
aprender a leer sin conocer el nombre y el
sonido de cada letra?.
¿Que opinarías de alguien que quiere
enseñarce a contar sin conocer primero el valor
de cada número?.
C
Eso mismo opinaría yo de ti si quisieras
comprender los ej ercicios de triangulación que
vienen, sin haber comprendido TOTALMENTE
los ejercicios anteriores.
•
(
23
( "TRONCO DE PIRÁMIDE GIRADA"
(IRREGULAR)
(
Al trazo de los troncos de pirámide giradas les
tengo especial estimación porque me ha
ayudado a hacer entender a muchos
soldadores, el sistema de desarrollo por
triangulación.
En la pagina 22 esta paso por paso el
desarrollo de el plano de la figura
hacerte notar que por tratarse de
regular, las lineas que se filtraron
iguales.
17, quiero
una figura
son todas
Ahora vamos a desarrollar el plano de la
figura 19, como puedes ver la boca esta cargada
para un lado IRREGULAR por tanto las lineas
que se filtran tienen 4 medidas diferentes como
lo muestra el filtro.
En la pagina 25 esta el desarrollo paso por
paso la plantilla del plano de lafigura 19.
PLANO Figura 19
FILTRO
24
16. :
e
e
e
e
e
e
(
( ·
( '
(1
( 1
(_)
.( )
e
( i '
(
C>
("-
(,..,,
,.
25
Figura 20A y B
A
B
Figura20D ...... ....L
. L
1
A B
PLANTILLA
Plano de pag.
(fig. 19)
24 e
17. "DIVIDIR LA CIRCUNFERENCIA"
EN DOCE PARTES IGUALES
e
e
o
(•,.e_
e e
e e
Haciendo centro en el ( . (
punto "O" se traza la
circunferencia.
( .
e
e· C 1
e, e
<
) e
c. e
, e
Para que comprendas mejor te voy a pedir
que usestu imaginación.
Supongamos que en la figura 22 las lineas
que unen las esquinas con la parte "redonda"
(marcadas con una "F") son unas ligas de hule.
Imagínate que la parte "redonda" es una
rueda de lamina la cual hemos dividido en 12
e partes iguales (ver pag:26).
e
A r - - - - - º - - - - -
1 8
Figura 218
D
Usando EL MISMO
RADIO (R) con que se
trazo la circunferencia, se
hace centro en los puntos
A,B,C y D y se trazan los
arcos, como lo muestra la
figura 21 C.
26
Figura 21C
"REDONDO A CUADRADO"
(CONCENTRICO)
t,' '.
.. Posiblemente la transición de redondo a
cuadrado sea la figura mas popular de
la paileria.
Primero quiero aclarar que la parte redonda
es en realidad un polígono de X numero de
lados, (12en este curso).
Vamos a hacer una transición de las
de
un
siguientes medidas; base
cuadrada 60x60mm., la parte
"redonda " tendra diametro de 40mm. y
una altura de 30mm,
Comprueba que esta figura se compone de
17 triangulas los cuales forman 4 abanicos de
tres triangulas cada uno y cuatro triangulas
mayores uno de ellos partido por mitad. (Fig. 22)
27
18. . . ,
' '·,· '- t·Q.t
tanto a las esquinas de la base cuadrada como a ·e
las doce divisiones de la parte redonda. r1e
C
e
(
serán las ligas.
Para saber la medicla que va tener cada liga a ·
·
:
e·(
!
1
e'e
(ver explicación pag. 1O).
·e
'J'.r1
,
·
e
Para hacer la plantilla se trazan los triángulos
de uno por uno tomando en cuenta que cada
triangulo tiene dos ligas que crecen de acuerdo
con la altura como lo muestra el filtro.
Figura 22
PLANO
FILTRO
19
, l I ...
ll, l j...
28
Figura 23A
Figura 238
e
o
A B
Figura 23C
E E
29
Si levantamos la rueda de I mina
t.
separandola de la base cuadrada, las ligas se
van a estirar y entre mas separemos la parte
(''
··
.
redonda de la base cuadrada mas grandes ( '
19. oc
En la pagina 29 se encuentra el trazo de la ·
plantilla transición de redondo a cuadrado ( l e)
concéntrica del planode lafig. 22. ( J
e)La fig. 23A nos muestra el triangulo que 0 (,
forman las lineas 11 L2 y L3 y mas dos abanicos ( ) (
de tres triángulos.
La fig. 238 nos muestra la asociación de 0 (
nueve triángulos , dos abanicos y los tres o e
triángulos mayores.
En la fig. 23C vemos la plantilla completa con 0 (
los cuatro abanicos y los tres triángulos
mayores, nota que el ultimo triangulo de cada
lado de la plantilla es en realidad la mitad de el
cuarto triangulo mayor.
Quiero hacerte notar lo siguiente; en el plano
de la fig. 22 las lineas 2F, 3F, 9F, 11F, 17F, 21F,
27F,29F,son las 8 iguales.
También las lineas 5F, 7F, 13F, 15F 23F, 25F,
31F, y 33F son iguales, esto es porque la figura
) e1
e
e'
e
C
(
' (
es concéntrica (regular) por esta razón e
e1
(
(
únicamente se filtran dos lineas como lo muestra
el filtro de la misma figura 22 también ahí vemos
la linea 19Fque es la unión o soldadura.
Entre mas grande sea la figura, mayor es el
numero de triángulos que forman los abanicos.
SI NO COMPRENDES ESTE TRAZO ( )
( !
REGRESA ALAPAGINA23.
o
e
)
.
30
20. (excéntrico)
Este trazo es igual al que vimos en la pagina
28, con la diferencia que aquel es concéntrico y
este es excéntrico como lo puedes notar en el
plano de la figura 24 en donde la parte redonda
En la pagina 32 se encuentra la plantilla de
este plano y como en las anteriores, esta hecha
en tres pasos para que la comprendas mas
fácilmente.
Como puedes notar, la diferencia principal es
que en esta figura tien s que filtrar mas lineas
que en la anterior pero todo el procedimiento es
igual.
Dll"le=:::=:- 20:-- Ei'C":".::;c::::::3'91C r
30
1 -
B
31
32
( ! '¡
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e) e
C
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C'1 e
CJ e
C
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C· C
e) e
e) e·
e) e
Figura 25A
A B
Figura 258
A B
Figura 25C
E r - - -
-
E
18
20
1
A B
21. "3-4-5"
Traza un triangulo que tenga la relación 3-4-5
entre sus lados como lo muestra lafig.26.
Este triangulo tiene como medida de la
distancia x igual a 2cm. por lo tanto los lados
miden 6, 8y1Ocm. respectivamente.
Figura 26
Todos lostriángulos que tengan la relación -
4-5 entre sus lados son RECTÁNGULOS.
Esto quiere decir que el ángulo que forman
las lineas 3x y 4x es un ángulo de 90º (a
escuadra).
(La distancia x puede cambiar de valor)
• 33
"3-4-5"
(aplicación)
Son muchos los casos en que podemos usar
la relación 3-4-5 para escuadrar, sobre todo si es
algo grande.
Ejemplo 1
Al trazar un campo de fut-bol se trata de
escuadrar las lineas de banda con las lineas de
meta, para esto vamos a tomar la distancia x
igual a 2 metros por tanto los lados de nuestro
triangulo serán de 6, 8 y 10
mts. respectivamente.
Cortamos tres hilos que midan 6, 8 y 1O
metros y teniendolos estirados los unimos en las
puntas, obtenemos así una excelente escuadra.
Ejemplo 2
Se quiere comprobar .que una estructura
metálica esta a escuadra.
Se toma la distancia X a cualquier medida por
ejemplo 50cm. por tanto los lados serán de 150,
200 y 250cm. respectivamente.
Desde una esquina se mide para un lado 150
y para el otro 200, luego se comprueba s! la
distancia enfre estos dos puntos es de 250, s1es
así entonces la estructura si esta a escuadra.
34
22. "CUADRADO A REDONDO"
(concéntrico)
Ahora vamos a resolver el problema de trazar
una figura en donde la parte redonda es mayor
que la parte cuadrada.
Las medidas son las siguientes :
Redondo de diámetro igual, a 60mm.
Cuadrado de 20x20 y altura de 30mm.
Creo que s1 has trazado los ejercicios
anteriores, podrás comprender este fácilmente
con solo ver el plano de la fig. 27 en donde por
ser concéntrico basta con filtrar dos lineas como
lo muestra el filtro de la misma fig. 27.
La plantilla se encuentra en la pag. 3'6 y como
de costumbre esta hecha en tres pasos para
comprenderla fácilmente.
Figura 27
PLANO
•
FILTRO
2F, 3F, 9F, 111; 17F, 11JF
, 26F, 27F,
SF, 7F, 13F, 15F, 21F, 23F, 29F, 31F
35
36
'
( ' (
e e
e e
e e
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( ' ' : (
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1
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C' C
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( ) 1 (
e)1 e,
e)1e
( e
e
e
(
e
Figura 28A
Figura 28
32 4
Figura 28C 32 4 16
20
23. PLANO
T
20 16 altura ..'
l!.
3[!
3
Figura 30C
'
30
1
Ll5
. l !
F
1
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PLANTILLA
Plano de fig. 29
18
§ t
L
T
R
6
11F
í l.! l.!
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l ! l!7
o
s
altura
30
l
7 1!9
F
F
3F
Figura 29
37
38
"CUADRADO A REDONDO"
(excéntrico)
En esta lección vamos a hacer una figura con
las mismas medidas que la de la pag. 35 solo
que esta vez sera a excéntrica (fuera de centro).
Como puedes ver en el plano de la fig. 29 la
boca cuadrada esta cargada para un lado esto
causa que las lineas que van de
la circunferencia a las esquinas del cuadrado
sean de ocho medidas diferentes.
Por eso use dos filtros para que hubiera mas
claridad en distinguir una linea de otra. Ver
plantilla en la pag.38
( Figura 30A
Figura 308
24. "2.54"
El número 2.54 es un número constante que
nos sirve para convertir centímetros a pulgadas
o al contrario pulgadas a centímetros.
Nuestra tecnología esta altamente
influenciada por los sistemas americano
e
ingles, por lo que es muy frecuente que nos
encontremos con el problema de convertir
pulgadas·
a centímetros por lo que en esos casos
usaremos la constante 2.54.
Una pulgada es igual a 2.54 centímetros (dos
centímetros, cinco milímetros y cuatro dé-cimas
de milímetro).
2" pulgadas es igual a 2.54 x 2 =5.08cm.
3" pulgadas es igual a 2.54 x 3 =7.62cm.
4" pulgadas es igual a 2.54 x4 =10.16cm.
AL CONTRARIO
2.54 centimetros es igual a 1" pulgada
5.08 cm. entre 2.54 es igual a 2" pulg.
7.62 cm. entre 2.54 es igual a 3" pulg.
10.16cm.entre 2.54 es igual a 4" pulg.
Por lo anterior se comprende que cualquier
número de pulgadas multiplicado por 2 54 nos
da centímetros, y cualquier numero
de centímetros divido entre 2.54 nos da
pulgadas.
39
(
'
r
e
)
( ' ( J
(",. ( )
e.CJ
e iv
'
C' (J
e.ú
es una fracción ordinaria de pulgada?
ejemplo
e 0
( ' ú ARRIBA ENTRE EL NUMERO
e v Ejemplo 3/4
e ú 3 entre 4 es= a 0.75 esta es la fracción
decimal
de 3/4.
"FRACCIONES DE PULGADA"
"A CENTÍMETROS"
En la pag.ina anterior vimos como convertir
pulgadas a centímetros pero ¿que hacemos
cuando lo que queremos convertir a centímetros
3/4.
Primero se convierte la fracción ordinaria en
fracción decimal DIVIDIENDO EL NUMERO DE
DE ABAJO.
C (J Mas ejemplos
e.ü 1/4 es= a 1entre 4 = 0.25
e () 318es= a 3 entre 8 =0.375
1/2es=a 1entre2=0.5
e,. 0 9/16 es= a 9entre16 =0.56
( . ú Por ultimo se multiplica la fracción decimal
( ú por 2.54 y nos?ª .como resultado centímetros.
·.
Ú
( ' Ü
( I Ú
· 1/4=0.25 multiplicado x 2.54= 0.635 cm.
3/8 = 0.375 multiplicado x 2.54= 0.952 cm.
1/2 = 0.5 multiplicado X2.54 = 1.27Cm.
9/16 = 0.562 multiplicado X 2.54 = 1.42cm.
e
C (J En·general para convertir fracciones de
(J pulgada en centímetros se divide el número de
arriba entre el numero de abajo y el resultado se
multiplica x 2.54
C 0
e o
'CtL' 39-A
25. "CONO EXCÉNTRICO"
En la pagina 41 se encuentra el plano de un C
cono excéntrico, como puedes ver esta e,
descompuesto en 24 triángulos formados por 48
lineas las cuales he numerado para poder e
identificarlas fácilmente.
Para hacer el plano traza primero las dos (
c i r c u n f e r e n c i a s e x c é n t r i c a (que
no tienen el mismo centro).
e)
1
(_,
Luego une con una linea recta los dos centros C,
y prolonga esta linea hasta cortar las dos e
circunferencias por mitad.
Divide las dos circunferencias en un numero
de partes iguales comenzando de la linea del e
centro (ver pag. 41)
e
Une con una linea recta cada división de la
circunferencia grande con la que le corresponde e!
de la circunferencia chica como lo muestra el e
plano. e
Por ultimo traza las lineas auxiliares (las (
intermitentes) para así terminar
de
descomponer la figura en triángulos. NOTA: Hay (
c u a t r o filtros porque en uno solo quedarían
muy e
_amontonadas las lineas. Para hacer la plantilla
hay que trazar triangulo sobre triangulo como (_
hicimos las anteriores. (plantillas pag.42)
e
e
( ,
e
G
'
40
(_,,
(
26. PLANO
Figura 31
e
o
N
o
E
X
e
E
N
T
R
1
e
o
T
altura
40
41
e
e r Figura 32A
( ic
e
e
e
e
(
e
(
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e e
1 •
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e,
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e
¡:.;,·.,
(
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Figura 328
PLANTILLA
Plano fig. 31
11_5
11_5
T
uz_-- - -
28 .1t
-
- - - [2
_
3
22
2
42
27. "FIN PRIMERA PARTE"
Con esta lección (cono excéntrico) doy por
terminada la primera parte de este curso donde
trate lo relacionado con el sistema
de triangulación.
Las figuras que aquí te enseñe a desarrollar
por el sistema de triangulación son las que
considere las mas importantes y por lo tanto las
que todo pailero debe saber como mínimo.
Como tu sabes hay otras muchas figuras que
se pueden desarrollar por dicho sistema pero las
he dejado fuera de este curso por considerar las
de poco uso y ademas creo haberte dado las
bases para que con un poco de imaginación las
puedas .resolver poi ti mismo en.c
. aso de ser
necesario.
Te recomiendo comprar un buen libro de
trazo , pero recuerda que un buen libro no es lo
mismo que un libro caro.
Hay en las librerías varios libros de trazo
económicos escoge entre ellos el que mas se
aju te a tu presupuesto ya· que por lo general
casi todos tratan lo mismo con muy pequeñas
diferencias.
43
A ti colega soldador que ya hiciste los
ejercicios básicos de triangulación te felicito y te
invito a que continúes por el camino del estudio.
Te recuerdo que yo, solo te estoy mostrando
en donde comienza el camino a donde tu llegues
depende de ti.
Hasta ahora he tratado de expresarme en
una forma fácil y usando lenguaje común, pero
comprendo que hay partes que no quedan tan
claras como yo quisiera por lo que te sugiero que
preguntes a quien sabe mas que tu dejando a un
ladofalsos orgullos.
C··c
e·: C . En esta segunda parte voy a tratar los
( s i g u i e n t e s temas; la
circunferencia el cono, la
e hélice o gusano y el teorema de pitágoras.
"Ahora nuestra patria necesita de·sus
C soldadores mejor capacitados" VIVA MÉXICO
c,,lc
e le
e 1
e
(_, e
e,, e
C
J e
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e c.
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c
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1
1e
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e, e
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e, e
'
TRAZO
DE
PAILERIA
PARTE 1
1
28. eJ
1
·
c
e e,
e e
( ( linea recta que une
C. C
e) e
( ' · (
dos puntos de la
circunferencia
pasando por el centro.
El diámetro divide a
(/. ( la circunferencia en 2
( ) (_, p
a
r
t
e
siguales.
e e
Figura 33 C' e
C
> C
( i
e
e) e
C', e
e· e
..------------.., ( l
( e e
C>. e
e
;
_e
e
, 1 (
! (
_ () e
(<. l...
.
.
.
"CIRCUNFERENCIA"
La circunferencia es una
linea curva plana y cerrada en
donde cada uno de
sus puntos están o una
misma distancia de un punto
interior que se llama centro.
CIRCUNFERENCIA
"CIRCULO"
Es el área que esta
dentro de la circunferencia .
CENTRO
"LA LINEA RECTA SEGÚN SU POSICIÓN
· EN LA CIRCUNFERENCIA"
De acuerdo con su
posición en la circunferencia
la linea RECTA recibe los
siguientes nombres.
DIÁMETRO
RADIO
CUERDA
FLECHAo SAGITA
SECANTE Y
TANGENTE
Figura 34
DIAMETRO
CUERDA
45
"DIÁMETRO"
Diámetro es una
"RADIO"
Radio es una linea
recta que une el centro
con cualquier punto de
lacircunferencia.
El radio es la mitad
del diámetro.
"CUERDA"
Cuerda es cualquier
linea recta que una dos
p u n t o s d e
l a circunferencia.
El diámetro es la
mayor cuerda posible
d e n t r o d e
l a
c i r c u n f e r e n c i a .
DIAMETRO
CUERDA
Figura 35
29. "FLECHA o SAGITA" r - Cil(
e
e e
(
e
La flecha es una
linea recta que une
la mitad de la cuerdaJ
con la mitad del arco.
La flecha es
p e r p e n d i c u l a r (a
escuadra) a la cuerda y
siempre apunta
al centro.
"SECANTE"
Secante es una
linea recta que corta a
la circunferencia en dos
puntos.
La secante es una
cuerda prolongada.
"TANGENTE"
11
Tangente es una
linea recta exterior, que
toca a la circunferencia
en un solo punto, a
dicho punto se le llama
punto de tangencia o
punto de contacto.
FLECHA
e
e
(
e
e
e e
( (
(
e
SECANTE
e) ·e
Fi-=g
_
u
r_
a
_
J_
6 ;_; J( . l
(
e-:. t
47
"3.1416"
Para conocer el desarrollo de una
circunferencia se multiplica el diámetro por la
constante 3.1416.
Al valor de este numero se le representa con
la letra griega " Tí "que se pronuncia "PI".
Ejemplo
Si queremos conocer el desarrollo de una
circunferencia que tiene un diámetro de 50
centímetros, multiplicamos 50 x 3.1416 y el
resultado es el desarrollo de la circunferencia =
157.08cm.
Cuando no se requiere de mÚcha precisión
se usa con solamente dos decimales, 3.14
Ejemplo
Diámetro 50 centímetros por 3.14 es =al
desarrollo, 157centímetros.
Cuando conocemos el desarrollo de la
circunferencia y queremos saber su diámetro,
DIVIDIMOS el desarrollo entre 3.1416 y el
resultado es el diámetro.
Ejemplo: el desarrollo es de 157.08 cms. para
saber su diámetro dividimos 157.08 entre
3.1416 igual a 50 cmts.
48
30. c1 e
_
e) e
e, C
.
Si tomamos el diámetro en PULGADAS y lo
multiplicamos por la constante "8" nos da como
resúltado el desarrollo casi exacto de la ( .. e
circunferencia pero en CENTÍMETROS.
c1 e
.( :
e
"DIÁMETRO X 8"
Este sistema es muy practico porque algunas
veces podemos calcular el desarrollo de una ( )
e
circunferencia con una simple operación mental.
() e
c.) e
e
)e
e e
( . (
( ) (
c1 e
(' C.
( J (
( 1 (
C" e
()e
C
> C
( : c
Ejemplo: calculemos el desarrollo de una
circunferencia que tiene un diámetro de
6 pulgadas.
Se multiplica el diámetro 6 por la constante 8
y nos da como resultado el desarrollo de
la circunferencia pero en centímetros=48.
Por otro lado este sistema tiene sus
problemas, cuando por ejemplo tenemos un
diámetro que tiene una fracción de pulgada
como 6 9/16 én este caso aunque si es posible
resolverlo nos resulta mas cor:nplicado que si
temáramos el diámetro en centímetros y
lo multiplicáramos por la constante 3.1416
Nota: la constante 8 resulta de multiplicar las ( )
(
constantes3.1416x2.54=7.9796
( } e
( 1
( 1
49
. .
"LOS GRADOS"
La circunferencia para su estudio se divide en
360 partes iguales las cuales llamamos grados.
Los grados se representan con un pequeño
cero puesto en la parte superior derecha
del numero, ejemplo 45º
Los grados se dividen en 60 partes iguales
llamadas MINUTOS y se representan con una
coma puesta en la parte superior derecha
del numero, ejemplo 25,.
Los minutos se dividen en 60 partes iguales
llamadas SEGUNDOS y se representan con dos
comas puestas en la parte superior derecha del
numero, ejemplo 1O,,.
La cantidad 45 grados 25 minutos y
1Osegundos se escribe así, 45º25'1o··.
"ELTRANSPORTADOR"
El transportador es un instrumento que nos
sirve para medir los grados.
Tiene forma de media circunferencia y esta
dividido en 180 partes iguales.
Los transportadores están numerados de
izquierda a derecha y de derecha a izquierda, lo
cual confunde a algunos principiantes.
Si lo prefieres no hagas caso a los números
del transportador y cuenta tu mismo las lineas o
grados.
50
31. 'C)l'c
C,' e "EL ÁNGULO"
Un ángulo esta
formado por dos lineas
rectas que se unen en un
p u n t o l l a m a d o
VÉRTICE.
El valor de un ángulo !!:.VERTICE
no se mide por el largo
de sus lados.
EL ANGULO
Figura 38
El valor de un ángulo se mide por la
separación que hay entre sus dos lados.
Si comparamos la circunferencia con la
caratula de un reloj, veremos que entre un
numero y otro se forma un abertura de 30º
grados.
ángulo sea el mismo en
un reloj pequeño que en
un reloj grande.
Cuando el reloj
marque la una,
sus manecillas, forma
un ángulo de 30º, a las
dos serán 60º a las tres
90º etc.
52
11....12
1 . • • _J
10..···· li"·
.
.
.
2
.
: 90º ·..
g;
. . .
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..,"' , .
8
,
•
.../ I
...• "'4
.
7I •
. . . , . . ·• '
5
6 .
o
Figura 39
Por tanto se
comprende
importa el tam
caratula del
que
no año
de la
reloj, el
32. AGUDO
Un ángulo agudo es todo
aquel que tenga una abertura
menor de 90º.
(l'fC
c1 C...1
( ' (,1
)¡e i
C;e
r - - - ' - - - - - - -
e
(
( :
) (
e
e
'
)
"LOS ÁNGULOS"
Los.ángulos según su abertura reciben los
siguientes nombres RECTO, AG UDO,
OBTUSO Y LLANO.
RECTO
El ángulo recto es el mas
común, entre sus lados hay
una abertura de 90º.
OBTUSO
Un ángulo obtuso es todo
aquel que tenga una abertura
mayor de 90º.
+de 90º
90º
- de 90º
)te
1
LLANO '
Elángulo llano mide 180º y
sus lados forman una linea
recta. •
) ( '
e
) C.
e
e
( ;
e
(
(_:
e
, . - . - - - - - -
Figura 40 )
(
.....
J
('í;:i_('
BISECTRIZ
La bisectriz es una recta
que divide al angulo en dos
partes iguales.
53
"TRANSPORTADOR PRACTICO"
Hay ocasiones que tenemos que trazar un
ángulo de cierto numero de grados y no
contamos con untrasportador a la mano.
Una forma practica de hacer nuestro propio
transportador para medir los grados es la
siguiente...
Tomando en el campas un radio de 57.3cm. o
si te parece mas fácil en pulgadas toma un radio
de 22 9/16", con este radio trazamos una
circunferencia que tendrá un desarrollo de 360
cm. por lo tanto a cada centímetro corresponde
un grado y basta con marcar en dicha
circunferencia tantos centímetros como grados
se necesiten.
Ejemplo
Para trazar un ángulo de 25º, se toma un
radio de 57.3 cm. (22 9/16") y se describe un
arco en el cual marcamos 25 cm. como lo
muestra la fig. 41 y este sera nuestro ángulo de
25º compruebalo tu mismo.
Figura 41
57.3 cm. (22 9/16") -...f
54
33. "EXÁGONO REGULAR"
El exágono regular es una de las figuras
geométricas mas usuales por la facilidad con
que se traza, esta facilidad se basa en que...
EN TODA CIRCUN FERENCIA, SU RADIO
CABE EXACTAMENT E SEIS VECES COMO
CUERDA.
Ejercicio
Toma en tu campas cualquier radio y traza
con el una circunferencia luego sin mover el
radio comprueba que este cabe exactam ente
seis veces como lo muestra lafig. 42
NOTA: Como la circunferencia tiene 360º
grados un arco de 1/6 de circunferencia tendrá
360 entré 6 igual a 60º.
Por lo tanto si unimos uno de estos arcos con
el centro obtendremos un ángulo de 60º
Figu(a 42
1
1
( ( ,
( ( circunferencia se
e e
...
e e
e e
c
.
1·e
< e
c
•
. 1
e
•
e !e
e '(
1
(,IC
EJEMPLO: Calcula el desarrollo de un arco de
45º que tiene un radio de 12cm., de acuerdo a
nuestra formula tenemos, radio=12 x numero de
grados=45 x la constante .01745 el multiplicar
estos tres números nos da como resultado EL
C" e DESARROLLO DELARCO.
e, e 1
2
X
4
5
X.01745= 9.42 cm.
Un arco de 45º con radio de 12 cm. tiene un
( 1 ( desarrollo de 9.42 cm.
c¡c eJEMPL02
".01745"
Para conocer el ·desarrollo de una
multiplica diámetro por
3.1416. Pero hay ocasiones en que solamente
queremos medir parte de eso circunferencia .
La constante 0.01745 nos ayuda a calcular el
desa rrollo o longitud de los arcos de
circunferencia mediante la siguiente formula...
RADIO X NUMERO DE GRADOS X 0.01745
( J ( ' Calcular del desarrollo de un arco de 90º
(' e .grados que tiene un radio de 15cm.
C
> e Radio 15X numero de grados 90 X .01745
e) e 15X 90 X .01745 = 23.55 cm.
( ,, ( Un arco de 90º con radio de 15cm. tiene un
desarrollo de 23.55cm.
.('. e
el e
( -··t 56
34. "1.0472" ( '
Cuando se divide una circunferencia en 6 ( '
partes iguales por medio del radio como lo vimos ( )
en la pag. 55, se forman 6 arcos de 60º grados ( :
cada uno.
Para saber la longitud o desarrollo de los ( )
arcos de 60º, se multiplica radio por la constante e:
1.0472 C
>
Esta es una forma practica para medir la
longitud de un arco cualquiera usando arcos de C
60º.
EJEMPLO, calcular el desarrollo que hay
entre los puntos A-D de la fig. 43 por medio de
arcos de 60º.
PRIMERO, se multiplica
().
C".
C>'
( _)
radio por 1.0472
30X1.0472 =31.416
con esto ya sabemc
cuant..o mide cada are
de60º.
SEGUNDO, como se
dos arcos de 60º s
suman 31.416 + 31.41
= a 62.832mm. con es1
ya sabemos el desarrol . _.. ( ·i
que hay entre los puntos
A-C.
Por ultimo se suma al resultado anterior, la c
distancia que hay entre los puntos C-D, 62.832 ( :
+ 9=71.832, TOTAL ABCD
e
( .
Figura 43
1
1
()
( '
( )
( ;
( )
35. "CONO"
A
En esta lección vas a T
aprender a trazar un cono y
para que comprendas
mejor lo
descompuse en varios
pasos.
PAS01
Con el diámetro y la altura, 81+
t r a z a d o s
l i n e a s perpendic ulares
como lo muestra el paso 1
de la figura 44, lo cual nos da
los puntos A,8,C,D.
PAS0 2
Une con rectas los puntos 8
8-A y D-A lo cual nos da el
perfil del cono.
PAS03
Haciendo centro en el
p u n t o e t r a z a u n a
semicircunferencia como lo
muestra el paso 3 de la figura1a1---...a.=..c 1n
44 y dividela en cualquier
numero de partes iguales, por 1
ejemplo 6 sigue en la pag. 59 2
A
L
T
u
R
A
Paso 1
e
DIAMETRO - . ;
A
e
A
3 4
Figura 44
58
('>.'t
e e
e e
(} e Paso 4 para trazar la plantilla toma en el
campas un radio igual a la distancia 8-A la cual
c·!'
c· se llama GENERATRIZ y traza un arco
e e
C
>(
C
.
J e
<; e
e:·.:(
e/ e
('1 e
e
e
c
,
1 e
( e
C') e
( e
e). e
e: e
C) e
e e
('.1C
e
·
·
, e·
C'1
C'
( ';'.(
"CONO"
Paso 4 Figura 45
Paso 5 toma en el conipas una de las partes
en que dividiste la semicircunferencia en el paso
3 y pasala el doble de veces de las que di idiste
la semicircunferencia como lo muestra la f1g. 46,
con esto terminamos la plantilla.
PLANTILLA
Figura 46
Paso 5 1 1
59
36. "CONO TRUNCADO"
El trazo del cono
truncado es casi igual al
del cono normal con la
diferencia que ahora
tenemos dos diámetros.
Paso 1 traza las
lineas de los diametros y
la altura como lo muestra
el paso 1de lafigura 47.
ALTURA Paso 1
et+ E
o
DIAMETRO
MAYOR
;1
A
Paso 2 Une con
rectas los puntos 11
C" 'A '
y 11
Dlll'B" prolonga estas
Paso 3
tif'A
!IJ
Paso 3 haciendo
centro en el punto "E"
t r a z a
u n a
semicircunferencia
como lo muestra el paso
3 de la figura 47 y
<:i
c, - e!:::------,
divídela
numero
iguales.
en cualquier
de partes
E
3
Figura 47
60
(
"CONO TRUNCADO" (continuación)
Paso 4 para trazar la plantilla toma en el
campas las distancias "C""F" (generatriz) y
" B""F"(descuento) y traza dos.
arcos concéntrico como lo muestra el paso 4
f1g.48
Paso4 Figura 48
Paso 5 toma en el campas una de las partes
en que dividiste la semicircunferencia y pasala
por el arco mayor el doble de veces como lo
muestra la figura 49, con esto queda terminada
nuestra plantilla.
ESTA CURVA NO SE MIDE
ES AUTOMATICA
Paso 5 Figura 49
. .
rectas hasta que se e
encuentren en
"F".
el punto
37. "FORMULA PARA CALCULAR
LA GENERATRIZ DE UN CONO
Podemos calcular la
generatriz de un cono
truncado ...
SIN HACER ELTRAZO
por medio de lasiguiente
formula.
LX R = GENERATRIZ
D
Figura 50
Explicación de las letras. "L"= Longitud de la
pared del cono
"R" = Radio mayor
"r"= Radio menor
"D"= Radio mayorJmenos radio menor
"H"=Altura
Para calcular "L" lo hacemos por medio del
"Teorema de pitágoras" usando el cateto "D" y la
altura. (Verpag. 64)
EJEMPLÓ
¿Cual sera la generatriz de un cono truncado de
las siguientes medidas? radio mayor =22, radio
menor=1Oy la altura de 24. ("L"= 122
+ 242
=
26.83) Primero LXR= 26.83 x 22= 590.26 luego
LXR entre D= 590.26 entre 12=49.18 la
generatriz para trazarlo sera de 49.18
62
)
J
"FORMULA PARA CALCULAR
LOS GRADOS DE LA PLANTILLA DE UN
CONO"
Para calcular los
grados que tendrá la
plantilla de un cono o un
cono truncado usamos
lasi.
guiente formula:
RADIO x360
GENERATRIZ ....._ _
l•RADIO . .¡
Radio entre generatriz
por 360, el resultado
sera igual al numero de
grados que tendrá la
plantilla.
Figura 51
EJEMPLO
¿Cuantos grados tendrá la plantiJ.la de un cono
que tiene un radio=22 y una generatriz de 49?
Radio 22 entre generatriz 49=.4489
.4489x
360=
26934
13467
131.6040
PLANTILLA
Figura 52 Tendrá 161.604º
63
38. "ÁREA DE LOS CUADRADOS"
U
q
_cuadrado es un
p o l í g o n o
r e g u l a r formado por
cuatro lados iguales y
cuatro ángulos de 90º
grados.
Para conocer el área
de un cuadrado
se multiplica lado x
lado,
pero como los lados son
iguales entonces se dice
que se multiplica el lado
por si mismo.
Cuando se multiplica
un numero por si mismo
en matemáticas e le
AL
llama ELEVAR
CUADRADO.
a
,rea =t
T
3
1 9
.
0
.
º
r-3-1
1
1 3 =9
2
1
Figura 53
Para anotar cuando un numero se tiene
que elevar al cuadrado se le pone un pequeño
dos en la parte superior derecha al cual se le
llama EXPONENTE , ejemplo 32
En la figura 53 tenemos dos cuadrados de
3 centímetros por lado.
Para conocer su área multiplicamos lado
por lado o sea 3x3=9 en este caso se escribe
así 32
=9 y se lee, tres al cuadrado igual a
nueve.
64
' RAÍZ CUADRADA
En matemáticas hay lo que se le llama
operaciones inversas, por ejemplo; multiplicar
es lo inverso de dividir, 3x5=15 lo inverso es 15
entre 5=3.
Sumar es lo inverso de restar 6+3=9 lo
inverso es 9-3=6.
Para elevar al cuadrado un numero se
multiplica por si mismo como lo vimos en la
pagina anterior.
Lo inverso de elevar al cuadrado es
EXTRAER LA RAÍZ CUADRADA.
Por lo tanto cuando conocemos el área de un
cuadrado para saber la longitud de sus lados le
extraemos la raíz cuadrada.
Ejemplo 6 - 36 lo inverso es 36 = 6
2
Nota: por ser muy difícil enseñar a extraer la
raíz cuadrada por este medio, te sugiero le pidas
a alguien que sepa sacarla te enseñe a hacerlo.
Por lo pronto puedes usar una calculadora
que tenga este signo r que se pronuncia
"raiz cuadrada de....."
esta pagina es para prepararte para la proxima
65
f
3
39. "TEOREMA DE PITÁGORAS"
e
)e,
Pitágoras fue uno de los mas grandes
matemáticos que han existido y nos dejo e
)e
grandes enseñanzas entre las que se cuenta su ( ) (
famoso teorema. (")
( )
CJ 1
C
><
(>
( )
e- (
( ' l
( 1
('1 (
A
A2 + 82 = C2
2 2
A + 8 =C
2 2
C - 8
= A
c2- A
2
= 8
Figura 54
En todo triangulo rectángulo, la suma de las
áreas de los cuadrados construidos sobre los
catetos, (A B) es igual al área del cuadrado
construido sobre de la hipotenusa (c).
Nota: en todo triangulo rectángulo, los lados
que forman el ángulo de 90º se les llama
CATETOS y al lado mayor HIPOTENUSA.
66
w
c t
e e
( )( hipotenusa
( , (
(,t (
e e
(· e
C' e
e·e
(/'''¡,
"CALCULO DE LA HIPOTENUSA"
En la parte superior
de la figura 55 tenemos
un triangulo rectángulo
cuyos catetos miden 4 y
3
u n i d a d e
s respectivamente.
Para encontrar la
l o n g i t u d d e l a
hipotenusa hacemos lo
siguiente.
Primero, elevamos al
cuadrado los 2 catetos
multiplicando a cada uno
por si mismo, 4x4=16
3x3=9 ·
Luego sumamos los
dos resultados, 16+9=25
con esto
obtuvimos según el
teorema, el
área del cuadrado de la
1
'1
1
A
2+ 82
Figura 55
4x4=16
3x3=9
16+9=25 25=5
Por ultimo le extraemos la raíz cuadrada al
ultimo resultado, 25 5 y de esta forma hemos
calculado la longitud de la hipotenusa= 5
unidades.
RAÍZ CUADRADA DE AXA +BXB ES IGUAL
A"C".
67
40. "CALCULO DE'LOS CATETOS"
Para calcular la
longitud de un cateto
conociendo el
otro cateto y la
hipotenusa hacemos lo
siguiente.
Primero, elevamos
al c u a d r a d o
la hipotenusa y el
cateto
c o n o c i d o ,
multiplicandolos por si
m i s m o s 5 x 5 = 2 5
4x4=16.
Luego restamos el
cuadrado de el cateto
c o n o c i d o , de el
c u a d r a d o . de
la
hipotenusa, 25-16=9.
Con esto hemos
obtenido según
el teorema, el
cuadrado de el otro
cateto. Figura 56
Por ultimo le extraemos la raíz cuadrada al
ultimo numero que resulto de la resta, 9 =3
con esto conocemos el cateto buscado.
EN GENERAL
RAIZ CUADRADA DE CXC MENOS AXA=B
RAIZ CUADRADA DE CXC MENOS BXB=A
68
ara c l ular la hipotenusa de un tr4angulo
rectangulo 1sosceles (que tiene sus dos catetos
iguales) podemos hacerlo por medio de el
t orema de ,pitágoras co,
mo cualquier otro
triangulo rectangulo, pero es mas fácil calcular
usando la siguiente formula.
La hipotenusa de un
triangulo rectángulo
isósceles se calcula
multiplicando un cateto
por la constante 1.4142
Ejemplo:
Cuanto mide la
h i pot enu sa de
un triangulo
rectángulo isósceles
cuyos catetos miden 60
cm. según la
f o r m u l a e s
60x1 .4142=84.852 la
hipotenusa medira 84.85
cm.
"1.4142"
T e
l 4 5
s - • (
AX1.4142=C
A=B
Figura 57
El triangulo rectángulo isósceles resulta de
partir por mi.tad un cuadrado, por lo tanto sus
ángulo miden 45º 90º y 45º.
Nota: 1.4142 es la raíz cuadrada de 2
69
41. "ANGULO INSCRITO EN
SEMICIRCUNFERENCIA"
Parte de los
r a z o n a m i e n t o s
g e o m é t r i c o s en
que se funda el
teorema de pitágoras,
es el que nos dice lo
siguiente.
Ejemplo
En la figura 58
t e n e m o s
t r e s
s e m i c i r c u n f e r e n
c i a s en las que he
seleccionado tres
puntos cualquiera y los
marque con las letras
A,ByC .
Figura 58
Uniendo los puntos A, B y C con los extremos
de los diámetros por medio de lineas rectas
obtenemos tres triángulos RECTÁNGULOS.
En general uniendo cualquier punto de la
semicircunferencia con, los extremos del
diámetro resulta untriangulo rectángulo.
NOTA: "Semi" significa mitad.
70
"CALCULAR EL RADIO DE UN ARCO"
Para calcular el radio de un arco conociendo
la longitud de su cuerda y su flecha, usamos lo
que en geometría se llama media proporcional
que consiste en una semicircunferencia que
tiene como diámetro la
suma deA+B (fig. 59).
Multiplicando la
distancia "A" por
la d i s t a n c i a
" B "
obtenemos un numero.
A este numero le
ex t ra e m os 1a r a í
z cuadrada y el
resultado es la
distancia "C" que
.
,., A
,,,,- - - -
e s l a m e .d í a
proporcional.
Encontrar el radio
"R" conociendo C+C y
"B" multiplica CxC y el
resultado divídelo entre
"B" con esto obtienes
'
"A".
Figura 59
A + B = C
Luego suma A+B
que es el diametro.
El radio es la mitad
del diametro
CXC entre B =A
B + A = D
D, entre 2 = R
71
42. "ENCONTRAR EL RADIO DE UN ARCO"
Para encontrar el
radio de un arco.
Primero trazamos 2
cuerdas cualquiera A B y
C Dfig. 60.
Luego les trazamos a
las cuerdas AB Y CD una
pe. rpendicular en
el centro de cada una.
El punto donde se
cruzan las dos
perpendiculares
lineas
que
trazamos,.es el centrode
el arcoj, y nos señala el
!radio. .
: "Todas
las '. p e r p e n d i c u l a
r es trazadas en el
centro de
·una cuerda pasan por el
c e n t r o d e
l a
circunferencia."
Figura 60
o
o
NOTA: ver método para trazar perpendiculares,
pagina4.
72
ee
e e
e
e
e
e
(
.
e
C:..(
c·.r··(
C': 'C
e e
e .e
e e
e e·
( . (
e·.
.e
;.: El punto "D" donde se
Ct
,. C c r u z a n l a s 2
(
.· e perpendiculares esta a A
c
<{i
..c
( e
e e
( "(
"ENCONTRAR UN PUNTO EQUIDISTANTE
A OTROS TRES"
En la figura 61
te nem os 3 punto
s marcados con las
letras AB y C.
Para encontrar un
punto que este a la A.
misma distancia de los
puntos AB y Chacemos
lo siguiente.
Primero, unimos los
puntos por medio de
lineas rectas como lo
A
muestra lafigura 61.
.
Luego trazamos una
perpend icula r en el
centro de cada una de A
las 2 rectas.
una misma distancia de
los puntos AB y C, es el
RADIO de un arc o
común.
73
Figura 61
·C
43. La· hélice es una curva que se considera
engendrada por un punto que gira al rededor de
un cilindro con un ángulo constante.
. · Un ejemplo claro de una hélice es la rosca de
ontornillo.
En la hélice se consideran principalmente
dos dimensiones , diámetro del cilindro en que
gira y el paso.
El paso, es la distancia que recorre la curva
en el cilindro cada que completa una vu,elta.
Ejercicio, dibuja un rectángulo igual al de la (
figura 62, 60x78.5. recortalo y rolalo, formara e
una hélice de dos espiras, de diametro25 y
paso=30. e
e
e
e e
"LA HÉLICE"
Figura 62
74
T
.... p
' - -
....., A
s
;'- - - - jo
_
D I A M . .
e e
e e
e
e
e '
s
c.
( 1
e C'
ee
( . (
( ; (
e e
'.·;·'
>e
( , (
c/:ir,
e
. .
1:1
-
J¡
c
-
t 1
1
1
"CALCULO DE LA HÉLICE"
Con el ejercicio de la pagina anterior queda
demostrado claramente, que la longitud o
desarrollo de una hélice es igual a la hipotenusa
de un triangulo rectángulo que tiene como
catetos, uno el paso y dos el desarrollo del
cilindro en el cual gira.
Para conocer el
desarrollo de la hélice
en forma
gráfica, basta con
trazar un ángulo
de 90º y marcar
en un lado la
longitud de el paso y
Figura 63
en el otro lado el
d e s a r ro ll o de
el
cilindro en que gira (D
X 3.1416) uniendo. ¡
estos dos puntos formamos un triangulo
rectángulo donde I hipotenusa sera la longitud
o desarrollo de la HELICE. ver figura 63.
Para calcular el desarrollo de la hélice
podemos usar también el teorema de pitágoras
(pag. 66)·en donde el desarrollo o longitud de la
hélice es igual a la raíz cuadrada de la suma de
el paso, al cuadrado, mas 3.1416 x diámetro, al
cuadrado.= paso2
+ (3.1416 x 0)2
75
44. Figura 64
Parte importante de la paileria, es la
fabricación de .transportadores helicoidales, (de
hélice) para mover materiales a granel.
La forma clásica de hacer los helicoidales,
(gusanos) es soldando varios discos en forma
de "acordeón" y soldando un extremo
del "acordeón" con un extremo del tubo, se
estira por medio de un tirfor, polipasto, o
cualquier otro medio de potencia, al mismo
tiempo que se le golpea con un marro o martillo
hasta que la parte interior del disco se ajusta con
el tubo.
En un helicoidal normal, el paso y el diámetro
son de la misma medida.
En estas P
.aginas solamente tratare sobre el
calculo de EL DISCO para lo cual te presentare
dos métodos para que tu elijas el que mas te
convenga. ·
PRECAUCIÓN te sugiero que antes de cortar
todos tus discos hagas una prueba.
h-
D t
t
Figura 65
T
3.1416 X D
D
1
s
e
o
r = (H.I.} X H = RADIO MENOR
(H.E.) - (H.1.)
R = (H.E.) X H = RADIO MAYOR
(H.E.) • (H.1.)
RADIO MENOR es igual al desarrollo de la
hélice interior (H.I.), por la altura del alabe (H),
entre la diferencia de los desarrollos de las
dos hélices, (H.E.) menos (H.I.).
RADIO MAYOR es igual al desarrollo de la
hélice exterior (H E), por la altura del alabe·(H)
entre la diferencia de los desarrollos de las
dos hélices, (H.E.) menos (H.I).
77
45. "HEL:ICOIDAL"
Figura 66
Este método te ofrece
mas precisión que el de la
pagina 77 pero tampoco es
exacto por lo cual tienes
que hacer pruebas.
1.- Calcula el desarrollo
de la hélice interior con el
sistema de la pag.75.
2.- Divide el paso entre
el diámetro exterior del
helicoidal(D) y el resultado
multiplicalo por la altura del
alabe (H) a esto le llamare
AUMENTO.
3.- Suma
EL DESARROLLO de la
hélice interior mas EL
AUMENTO
y divídelo entre 3.1416 el
resultado sera el diámetro
interior del disco (D.I).
4.- Suma al diámetro
interior 2 veces la altura
(H).
78
2º
.PASQ x H =AUMENTO
D
3º
AUMENTO + (H.I.)
3.1416
=DIAMETRO INTERIOR
DEL DISCO (D.I.)
4º
CORTE
H ' = 7 H
D
1
s
c
o
"GRUESO DEL MATERIAL"
(en aros)
Cuando doblamos una placa enforma de aro,:
el material reacciona de la siguiente manera
De el eje neutro
para afuera el - - -
Figura 67
m a t e r i a I s e
expande.
De el eje neutro
para adentro el
m a t e r i a l s e
comprime.
El eje neutro, ni se
e x p a n d e ni se
c o m p r i m e
permanece de la
:misma medida.
Por lo tanto para calcular el desarrollo de un
aro de ·
placa, la medida se toma de el diámetro
neutro.
Cuando conocemos el diámetro exterior
descontamos un grueso, para conocer el
diámetro neutro.
Cuando conocemos el diámetro interior
aumentamos un grueso, para conocer
el diámetro neutro.
Ejemplo un tubo en placa de "con
un diámetro exterior de 15" tendrá un
desarrollo=
15"menos " = 1 4 14.5x3.1416=45.55".
79
46. "GRUESO DEL MATERIAL"
(a escuadra)
1
/ r /l Lee?
•I• 6"-+I T r--
4"_,...4"+J.. 4º...f
Al doblar -
<
este material
nos queda así
71';;:>-
- -
¡.--6"
Estas medidas reducen un poco Figura 68
Nota que cuando se dobla una placa a
escuadra, la parte interior nos queda igual, pero
en la parte exterior nos AUMENTA UN
GRUESO.
Creo que en la ilustración de la fig. 68 se
puede apreciar claramente los efectos de un
dobles a 90º no importa el grueso del material el
efecto es igual.
Saber manejar los gruesos del material es
muy importante sobre todo si se cuenta con una
buena dobladora.
Para alta precisión hacer una prueba antes.
80
"EL METRO"
En las oficinas de pesas y medidas de Paris
Francia, se encuentra bien guardada y bajo
condiciones especiales de temperatura, una
regla de platino con dos marcas que señalan la
distancia de un metro, que según los físicos que
la construyeron es la diezmillonesima parte del
cuadrante del meridiano terrestre, (distancia
que hay entre el ecuador y el polo norte.
A dicha regla se le llama METROPATRON
INTERNACIONAL y es la base de todo un
sistema de medidas de longitud, superficie,
volumen, capacidad y peso. (Sistema métrico
decimal) ·
"EL METRO LINEAL"
. El metro lineal es la unidad de longitud del
s1ste a. métrico decimal sus múltiplos y
submult1plos aumentan y dismunuyen de 1Oen
10. .
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO"
Dm. Decámetro -
m. Metro -
10 metros
1 metro
81
kfll!. Kilometro ·= 1000 metros
Hm. Hectómetro = 100 metros
dm. Decímetro - 0.1 metro
cm.
mm.
Centímetro
milímetro
- 0.01 metro
= 0.001 metro
47. "EL LITRO"
El litro es la unidad de capacidad del sistema
métrico decimal en la practica se le considera
como el volumen que ocupa un
decímetro cubico.
T
10cm. 1 d m
1_
r - 1cm. ·tE·
-
-·
1 dm.3
DEAGUA DESTILADA= 1 KILO
Figura 69
Cuando calculamos la capacidad de
un recipiente, en centímetros.
Al final dividimos entre 1000 y el resultado
sera igual a litros.
Ejemplo: calcular cuantos litros caben en una
caja de lamina que mide en su interior 25cm. de
ancho, 40 cm. de largo y 30 cm. de alto.
volumen = 25x40x30 =30 000 cm3
30 000 cm3
. entre 1000 = 30 litros.
82
"EL KILO"
El kilo es la unidad de peso del
sistema métrico decimal y en 1 a practica se le
considera como el peso de un decímetro
cubico de agua destilada. (libre de impurezas).
Figura 70
10cm.
1 t . - 1 0
1 0
,- cm. -¡cm.
AGUA
1
LITRO
"PESO ESPECIFICO DEL FIERRO"
Cada material tiene un peso diferente pero
constante.
El peso especifico del fierro laminado es igual
a7.85
Esto quiere decir que un decímetro cubico de
fierro laminado pesa 7.850 kg.
Para calcular el peso .de una placa primero
cubicamos en centímetros luego dividimos entre
1000 por ultimo multiplicamos por 7.85
83
48. GUADALAJARA, JAL.
Fundada en 1981
"DESARROLLOS POR PARALELAS"
TRAZO
DE
PAILERIA
TERCERA PARTE
"CORTE EN UN TUBO CUADRADO"
El sistema de desarrollos
por paralelas es el que se usa
en la paileria para trazar figuras
de tubería tanto
cuadrada como rectangular y
redonda.
Uno de los desarrollos mas
simples por paralelas es el
de un tubo cuadrado con un
corte
Fi ura 11
Diagonal en un extremo (fig. 71).
PRIMERO: se dibuja el perfil del tubo como lo
muestra la figura 72.
SEGUNDO: se traza el desarrollo del tubo
que consiste en un rectángulo que mide de un
lado, la altura mayor del tubo y del otro lado mide
la suma de los4 lados.
TERCERO , se traza la altura menor del perfil
en el desarrollo.
CUARTO y ultimo, se trazan las diagonales
en los lados primero y tercero de la plant.
PERFIL ,,.. DESARROLLO ...f
- - - - - ¡ - - - - - ,
1
1
1
----- - - - - - - - -
PLANTILLA
-
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
--
-
-
-
-
-
Fi ura
72
85
49. "BISECTRIZ DE UN.ÁNGULO"
En las próximas paginas ocuparemos partir
un ángulo en dos partes iguales, a esto en
geometría se le llama bisectar un ángulo,
veamos como se traza la linea BISECTRIZ.
.- Traza un ángulo
cualquiera.
2.- Con un radio
cualquiera traza un arco
haciendo centro en el
v é r t i c e ( A )
a s í obtenemos los
puntos B y C.
3.- Con un radio
mayor que la distancia
B-A trazamos 2 arcos
haciendo centro en By C
para conocer el punto D.
4.- Uniendo el punto D
c o n e l p u n t o
A obtenemos la
linea BISECTRIZ que
divide al ángulo en dos
partes iguales.
Ver ángulo en pag. 53
A
I
A C
Figura 73
86
1
(
)
l
(
"CODO DE DOS GAJOS"
(en tubo cuadradÓ)
Este trazo es igual al de la
pagina 85 con la diferencia
que este es doble y aquel
sencillo.
Figura 74
Cuando traces el perfil toma en cuenta que
los dos gajos del codo forman un ángulo y que la
bisectriz de este ángulo nos señala el corte que
debemos de hacer en los tubos.
Nota: Este sistema de la bisectriz se usa par
cortes en vigas y otros materiales.
Figura 75
87
50. "CORTE EN UN Cll.:.INDRO"
Para hacer la plantilla de un
cilindro con corte inclinado se
usa el sistema de paralelas.
1.- Se dibuja el perfil del
cilindro,A-B, 7-1. (Fig. 77)
2.- Se traza en la base, la
mitad de una circunferencia y
se divide en cualquier numero
de partes iguales, por ejemplo
6 y se numeran.
A -=.....-:.._
-- - - -- - - -:_- - -=....-=.- -
Figura 76
. _..;;.... ,
Figura 77
- - -
8
3.- Se trazan lineas que partan desde las
divisiones de la semicircunferencia hasta
la linea inclinada (A-B).
4.- Se traza el desarrollo del tubo, diámetro x
3.1416 y se divide en el doble de partes, se
trazan las paralelas y se numeran.
5.- Se da a cada linea de la plantilla ta medida
que le corresponde del perfil.
88
"CORTE EN UN CILINDRO"
(Trazo paso a paso)
T
Altura
mayor
. ..
B
B
7 7 1 1
1
4
diametro x 3.1416
A 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1
PLANTILLA
,
VER EXPLICACION EN PAG. 88
89
51. "TRAZO DE LA ELIPSE"
Figura 79
,
I
T
A
t
I
I
' ..... ,.. ,,,,
l
..
VER PAG. 91
Cuando se hace un corte inclinado en
un CILINDRO o en un CONO resulta una
curva pl.ana llamada ELIPSE.
Hay muchos métodos para trazar Ja ELIPSE,
uno de los mas prácticos es el
continuación te voy a enseñar.
1.- Traza el eje mayor y el
eje perpendiculares como lo muestra fig.
79
que a
menor
2.- En una tira de papel marca el punto "G" y a
partir de este punto marca la mitad del eje mayor
"B", y la mitad del eje menor "A" estas dos
distancias nos dan los puntos 1y 2 de la tira.
3.- Coloca y mueve la tira al rededor de los
ejes de modo que el punto "111
este tocando
siempre el eje menor y el punto "2" este tocando
siempre el eje mayor.
4.- Pon una marca en cada posición
que tenga el punto "G" hasta completar la
ELIPSE.
90
( "TRAZO DE LA ELIPSE"
(detalles)
r----- - ---....
8 ..¡ % eje menor
,,;
I
1 1+1 42 Gt 1
¡ + - - e
f
A ' '.
.
.
*
.....
---
- -
% eje mayor
.......
,, .....
'
'
/
El punto "1"
siempre tocando
el eje menor.
I
'
I
'
.
' ......
--- ---
- - .....
,,, ... ......
......
,,,
/ '
,I '
El punto "2"
siempre tocando
el eje mayor.
I
I
,,,"
-- - - - - - - -'
' '
I
El punto "G"
va generando
LA ELIPSE, poner
una marca en cada
posición.
I
,
; I
.
....
I
,,,"
.......
--- --- ..
Figura 80
91
+1 t 2 G
4
)
lll
f
B 1J1
j
53. "LA SENOIDE"
Cuando desarrollamos la plantilla de un
cilindro con un corte oblicuo (inclinado) como el
de la pag. 88, nos resulta una curva .que en
trigonometría se llama SENOIDE y es
fácilmente calculable.
f
+
A
A
_ L
1 • - - ' - - desarrollo del
cilindro
T I X D
Importen le
A+Aea lgu 1a la allu
e l col1e en et!clllndrp ver ftg. 84
Figura 83
Pasos para calcular y trazar la plantilla de un
cilindro con corte inclinado. (pag. 95)
1.- Se traza el eje de la curva cuya longitud
sera igual al desarrollo del cilindro (Tíx D).
2.- Se divide el eje en cualquier numero de
partes que sea múltiplo de 4, por ejem. 24.
3.- Se trazan perpendiculares en cada una de
las divisiones del eje y se señalan con una letra
en el mismo orden de lafig. 83.
4.- Para conocer la longitud de cada una de
las perpendiculares se multiplica la dimensión
"A" por las constantes que aparecen en la fig. 84
que son los senos de 15º,30º, 45º, 60º y 75º.
(
94
...
w
e
-o
z
w
UJ
1
<
(
...J
'W
o
o
en
:
.:
.
:>
Q)
' U
1
1
c.
co o
-
.::::J (.)
-
c
w
;..e
.. o
o Q)
o.. t::
2 o
ti ()
E e
: o
"'C (.)
e
' U
e
.(.)
: g : g co
cn
.a
.
cir--1
.t1
.
><><><><><
e ( e( e ( e (
e (
11 11 11 11 11
I Q O C W L L
.
.
.
J o
-
u.. ...J
a
e
::
w
IX
c
W
-
Z
Q.
u
-=
95
e
o
(.)
E
(/)
Q)
Q)
::::J
O"
E
54. "USO PRACTICO DE LA SENOIDE"
Para hacer la plantilla de un cilindro con un
corte inclinado, podemos calcular la curva que
se forma en el desarrollo usando el método de
las pag. 94 y 95.
Pero hay ocasiones en que por ser el
diámetro del cilindro pequeño o por que no
importa mucho la exactitud de la curva p d mos
calcular y hacer la plantilla en forma rap1da Y
practica dividiendo el eje de la curva en
solamente 12 partes.
figura 85
t
A
+-·
A
! - - - - - -
Peñil
del
cilindro
PLANILLA
C=AX .866
E=AX .5
"A" es la mitad
de la altura
del corte.
diametro x 3.1416 ..¡
j+- diam. ,....I • -
Como puedes ver en este caso hay
solamente tres dimensiones diferentes.
"A" igual a la mitad de la altura del corte en el
cilindro.
"'C" para conocer esta longitud se multiplica
ladimensión "A" x .866
"E" esta longitud es la mas fácil porque se
multiplica "A11
x .5(es la mitad de "A").
NOTA: que "C" y "E"·se repiten 4 veces.
96
"CODO DE DOS GAJOS"
{en tubo redondo)
. - - - - : - - - - - - - - - - - - ,
Para trazar las plantillas de
un codo de dos gajos en tubo
redondo hacemos lo siguiente.
1.- Se dibuja el perfil del codo y
se le traza la bisectriz para Figura 86
descomponerlo en dos cortes iguales.
, 2.- Para trazar las plantillas de los gajos escoge
el sistema que consideres mas apropiado de los
expuestos en las pags. 88 y 89 o en las pags. 95
y96.
{
1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1
Las dos plantillas
son iguales
trazadas con
sistemas diferentes
Figura 87
PLANTILLA
Sistema pags. 88 y 89
97
.'"
55. "FORMULA PARA CALCULAR"
LAALTURA DEL CORTE EN UN CODO DE
DOS GAJOS {redondo o cuadrado)
Figura 88
_I X I•altura del corte
----¡
A = Tang. ex:
H . T
........--
e , 1:6 o
_j_
---- -l - "- -- -j --
.--;:::L=2 +=H2==c,---,I A X D = X
H
Paso 3
C · L = A
Paso 1 Paso2
Los datos mínimos necesarios para calcular
la altura X del corte son; D= diámetro del tubo, (
H= altura. d I codo y L= distancia que avanza la
parte inclinada.
Paso 1. Se calcula la longitud C usando el
teorema de Pitágoras V
L2
+ H2
= e
Paso 2. Se calcula el valor deArestando a la
longitud C, la longitud L, C·L=A
Paso 3. Se multiplica el valor A por el
diámetro D y se divide entre la altura H
el resultado es la altura del corte X.
98
"FORMULA PARA.CALCULAR
LAALTURA DEL CORTE EN UNA VIGA
QUE FORMA ÁNGULO CON OTRA IGUAL"
(
Paso 1 Paso2 Paso 3
Para calcular la altura del corte de una viga o
cualquier otro material que hace ángulo con otro
Figura 89
-+1X 1--altura del corte
A = Tang.·cx
H
T
p
Jl::::======:¡======:S J_
:
A X P = X
H
material
formula
observa
igual (fig: 89) se puede emplear la
de la pagina anterior, solamente
que ahora las dimensiones están
tomadas de diferente forma, esto es por que el
caso de la pagina anterior es tubería y en tubería
las medidas se toman siempre en el centro o eje,
ademas ahora tenemos P= peralte en lugar de
D= diámetro.
99
11
11
t::::!:!.:
11
11
11
/ / : .
'(/ ; t ,111 H
56. "CALCULO DE LA DIAGONAL"
"EN UN PARALELEPIPEDO RECTÁNGULO"
Teorema; en todo paralelepipedo rectángulo el
cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los
cuadrados de sus tres dimensiones.
Figura 90
L2
+ H2
+A2
=DIAGONAL2
L2
+ H2
+ = DIAGONAL
L
Ver pags. 64 y 65
De acuerdo con este teorema, para calcular la
diagonal en un paralelepipedo
rectángulo hacemos lo siguiente;
1.- Se elevan al cuadrado cada una de las
tres dimensiones (Largo,Ancho yAlto)
2.- Se suman estos tres cuadrados.
3.- Por ultimo se le saca la raíz cuadrada a la
suma de los tres cuadrados y el resultado es la
longitud de la diagonal.
NOTA: Un paralelepípedo rectángulo es un
prisma recto que esta formado por 6
caras rectangulares.
-.
Por ejemplo; un dado, una caja de zapatos,
una cajetilla de cigarros etc.
100
(
"PESO APROXIMADO DE
B A R R A S DE FIERRO
R E D O N D O "
( Para calcular en forma practica y bastante
aproximada el peso de barras de fierro redondo
se puede usar la siguiente formula.
Diámetro. por diámetro en pulgadas
es aproximadamente igual al peso de la barra
en kilos por cada 25 cms.
Ejemplo: cuanto pesara una barra de
2" pulgadas de diámetro por 25 cm. de largo
2x2=4
su peso es 4 kilos.
Resultan también por consecuencia .de la
anterior las siguientes dos formulas.
Diámetro por diámetro en pulgadas por 4 es
aproximadamente igual al ·peso de la barra en
kilos por metro.
Ejemplo: cuanto pesara una barra de 3''
pulgadas ·de diámetro por 1 metro de lago.
3x3x4=36 su peso es · 36 kilos.
Diámetro por diámetro en pulgadas, por 4,
por longitud en metros, es aproximadamente
igual al peso total de la barra en kilos.
Ejemplo: cuanto pesara una barra de 3"
pulgadas de diámetro por 2.25 mts.
3x3x4x2.25=81 su peso e s 81 kilos.
101
57. "BAYONETAS"
Figura 90
Hay ocasiones en que un dueto tiene que
librar un obstáculo o por cualquier otro motivo
tiene que modificar su alineación, a esto en
paileria y tubería se le llama BAYONETA.
Hay dos tipos principales de bayonetas la
'bayoneta NORMAL pag. 103y la GIRADA, 105
Las partes principales a consideras en la
bayoneta son las siguientes:
D= Diámetro del dueto.
<l: Eje o linea central.
H= Excentricidad o distancia entre centros.
L=Avance del "carrete" central
C= Longitud del "carrete" central
X=Altura del corte.
102
(
"BAYONETA"
(normal)
Figura 92
Ver trazo de
la SENOIDE pag. 94
{-1
i t r - - - - - r - - - r -
: : ;
. . . . - .
tf
l.'! PLANTILLA
"carrete" central
·e
l : : - i - - r - 1 {¿
.,-tt
1
'""•r----- 3.1416 X D
Nota: Los dos cortes de ·
1
a plantilla· del
"carrete" central y los dos cortes de los "carretes"
extremos, son los 4 iguales.
03
58. "BAYONETA"
{calculo de corte)
Figura 93
= Tang. Y
yr
+ - r - - - -
/
· - )
1
- . - -
1
D
c
Para calcular la altura X de los 4 cortes de una
bayoneta y el ángulo "Y" nos
basta solamente 3 datos.
D= Diametro exterior del tubo.
conocer
H= Excentricidad o distancia entre centros.
L=Avance del "carrete ,central.
1º Se calcula la longitud "c" usando el teorema
de pitagoras,VL2
+ H2
=C
2º Se calcula el valor de "A" retando a la longitud
"C" la longitud "L", C-L=A
3º S multiplica el valor de "A", por el diametro "D"
y se divide entre la altura "H" el resultado es la
altura "X" de los cortes "A" entre "H" es igual a la
TANGENTE del angulo "Y".
104
"BAYQNETA GIRADA"
Figura 94
1 h 1
- 1 - ........-. _ - : - - - J :-
i 1
J
1
------1,......:l
.....V ;•l 1
. '
L ----...¡ ·¡.--- F -+!
Una forma fácil de resolver el calculo de una
bayoneta girada es convertir sus ·d°i"mensiones
en las de una bayoneta normal, haciendo
lo
siguiente. .
1º Encontrar la distancia entre centros "H",
usando el teorema de pitágoras.
Vh + .F = H
2 2
2º Encontrar la distancia real del "carrete"
central ''C , por medio de la formula que
se
1
encuentra en la pag. 100, VL2
+ h2
+ F2
= e
Después de estos dos pasos se hace todo el
calculo y trazo, como si fuera bayoneta normal.
NOTA: El avance "L" del "central no cambia
105
59. "CODO DE 90º"
¡..- R exterior " 1
Figura 95
R
interior
j_
¿
H ...
A a
En la próxima pagina se encuentra el trazo
paso a paso del codo de 90º.
1º Se trazan en un ángulo de 90º dos arcos
con los radios interior yexterior.
2º Se trazan las lineas de centros, dividiendo
los arcos en el numero de gajos que se quieran
menos uno, ejemplo si se quieren 4 gajos
se divide en 3, o si se quieren 5 gajos se divide
en 4
partes etc.
3º En los puntos donde se cruzan con los
arcos (A,B,C,D ,a ,b,c,d) se les
trazan
perpendiculares a las lineas de centros y a los
lados del ángulo de 90º.
4º Se trazan bisectrices a los ángulos que
resultaron del paso 2º las cuales son el corte o
unión entre gajo y gajo. 106
"CODO DE 90º"
paso a paso
Figura 96
2º D
3º D 4º D
T DX3.1416 ..,
NOTA: La plantilla de los gajos medios es doble
107
60. "CODO DE 90º DE 2 GAJOS"
(por calculo)
Figura 97
T!-r---·
T
x+
tf
o
_J_
H
SENOIDE
Pag.95
PLANTILLA
A=R
1 D X 3 .1416
El calculo de la plantilla de un codo de 90º de
dos gajos, es muy simple porque la altura "x" del
corte es igual al diámetro exterior del tubo.
El ángulo del corte es de 45º.
108
(
(
"CODO DE 90º DE 3 GAJOS"
(por calculo)
Figura 98
T
o
tR
"
interior
j_
X= 0.4142 X D
H=0.4142 XR int.
_ L
X
t
H
PLANTILLA
extremos SENOIDE
Pag.95
H
D X 3.1416
Para calcular la altura "X" del corte en un codo
de 90º de tres gajos se multiplica el diámetro del
tubo X 0.4142.
La altura "H" de la plantilla es igual al radio
interior del codo X O.4142.
La plantilla del gajo de ehmedio es el doble
de la plantilla de los extremos.
0.4142 es la tangente de 22.5º
109
·
61. "CODO DE 90º DE 4 GAJOS"
(por calculo)
Figura 99
tD
+
R
interior
l
-Í-
X= 0.268X D
H = 0.268 X R int.
X
H
_I
X
_ . e
1 1 1., -LA
- f''-A
-H _t_'_:::J;»'" PL-A-NT-IL-LA_- ............... '_=l.....i
_
T .........
extremos
- D X 3.1416
J
..
Para calcular la altura "X ºdel corte en un codo
de 90º de 4 gajos, se multipllca el
diámetro exterior del tubo X 0.268.
La altura "H11
de la plantilla es igual al radio
interior del codo X 0.268.
La curva que forma el desarrollo del corte en
la plantilla es una SENOIDE ver la explicación
en las paginas 94 y 95.
La plantilla de los gajos medios es doble.
110
_l_
X
H ---+--......
T
l_
t PLANTILLA
extremos
T1.. D X 3.1416
(
"CODO DE 90º DE 5 GAJOS"
(por calculo)
Figura 100
X=0.199XD
H = 0.199 X R int. D
-t
1
R
interior
¡
.;;:,.::..._ _ _ . t _J_
La altura 'X del corte en un codo de 90º de 5
1 11
gajos se calcula multiplicando la constante
0.199 por el diámetro exterior del tubo.
La altura "H de la plantilla se calcula
multiplicando 0.199 por el radio interior del codo.
Ver pagina 94, 95 y 96.
11
CONSTANTES PARA CODOS DE 90º DE 6 y 7
GAJOS. .
X=0.1583XD X=0.1316XD
6 GAJOS fi=0.1583XR int. 7 GAJOS H=0.1316XR int
111
62. "CODOS MAYORES DE 90º "
(trazo y calculo)
Figura 101
'
o
j_
X
H A
'-- ....a=..
T 1
-
4
.l_
H
--11-
Para el trazo
ver pags. 106 y 107
X ........-r=::t 1 T:>..
PLANTILLA
extremos
L _ _ J
T 1
4 D X 3.1416 .
Pasos para calcular las alturas "X" y "H" en un
codo menor, mayor o igual a 90º , cuando
se conocen los grados que tiene el codo.
1ºSe multiplica el numero de gajos deseados
por 2 y se le restan 2.
2º Se divide el ángulo total del codo entre el
numero que resulto en el primer paso.
3º El numero que resulto en el segundo paso
es igual al numero de grados que tienen los
112
"CODO MENORES DE 90º "
(trazo y calculo)
Para el trazo
ver pags. 106 y 107
Figura 102
l_
X
H
-
-- "'
a - -.::. Y
R exterior ---t1
A
T
_
J
_
X _......,.---, 1 r--,....._
- 1 PLANTILLA 1
H extremos
T,... D X 3.1416 ..-¡
gajos extremos y se busca en la tabla
trigonométrica que tangente le corresponde a
este numero de grados.
4º Multiplica la tangente por el diámetro del
tubo yel resultado sera la altura "X".
5º Multiplica la misma tangente por el radio
interior del codo el resultado sera la altura "H".
113
63. "LA ESFERA"
Figura 103
El desarrollo exacto de
imposible, pero existen varios
una esfera es
métodos para.
desarrollarla en unaforma aproximada.
Uno -de los métodos mas comunes es el
desarrollo por HUSOS ESFÉRICO o gajos.
Partiendo del razonamiento de que se puede
formar una esfera con una serie de gajos
cilíndricos y de que.....
El desarrollo o plantilla de toda sección
transversal plana de un cilindro , es una senoide
o parte de ella.
Te presento en las próximas hojas un método
simple y matemáticamente exacto
para desarrollar la esfera. Entre mayor sea el
numero de gajos, mayor sera la exactitud.
114
"DESARROLLO DE LA ESFERA"
Figura 104
l
1
j
;
!4!4--·- - DIAMETRO - - -..j
¡
j
tf
X -
i+
-1,· Curva SENOIDAD
1I L
A
+
L
+
Radio X 3.1416
ctJ;:
r
115
64. "CALCUL.:O DE LOS ·G JOS "
DE UNA ESFERA
Figura 105
e A e
Radio x 3.1416
Para calcular el gajo
de una esfera hacer los
siguiente
1º Se traza el eje
multiplicando el radio d
la esfera por 3.1416
.2º Se divide dicho eje
entre un numero par, por
ejemplo 12 o 24 y se
trazan lineas paralelas
perpendiculares al eje
A,B,C,D,E,F,G,H ,l,J,K,L.
(sin medida). ·
A = A
B =A X 0.9914
C = A X 0.9659
O = A X 0.9238
E = A X 0.8660
F = A X 0.7933
G = A X 0.7071
H = A X 0.6087
1= A X 0.5000
J = A X
0.3826
K = A X 0.2588
L = A X 0.1305
A= Mitad del ancho
3º Se calcula la altura "A" (mitad del ancho del
gajo) usando las instrucciones de la pag. 117.
4º Se calcula la longitud de cada una de las
paralelas multiplicando la altura "A" por cada
una de las constantes que nos muestra la tabla
de esta pagina.
DIVIDIR EN 12, O 24 ESPACIOS ES A CRITERIO DEL TRAZADOR.
116
"CALCULO DE LOS GAJOS "
DE UNA ESFERA
Figura 106
Para calcular la altura "A" (mitad del ancho)
de los gajos de una esfera se multiplica el radio
de la esfera por la constante correspondiente al
numero de gajos deseado.
GAJOS ConsTatffe fiAJOS consTQt17i LlAJ OS c..onsTo. nTe
3 / . 7 3 2 0 19
20 o.ISB3
2 1 o.150"1
2 2 o.
/ 4 3 7
2 3 o. / 3 7 4
2 4 O. 13/G
2 5 0.12.G3
o.1''e 0 . 0 9 0 0
4
5 o
'·
. º
7º
2.º
Có
º
5
3 ,
37 o.0 8 5 1
39 0.0828
..39 0.080"1
40 o. o'787
4 1
42
43
44
0.0874
G º·5 7 7 4
'7 0 . 4 8 1 5
8 o.4142.
o.3G.39
0 . 3 2 . 4 9
et o.o?G'7
f 0
ª
' 0./2.1'1 o.0"749
ti o. 2 9 3 ' 2·7
o. 2(j79 2.B
o.'''ª o.0'132
12 o. 112' o.0"':115
o.0 9 9
o.o,84
13 0 . 2 G4 29
.30
31
o.1989 .32
o.18<;'1 3 3
o..1"7 3 3
o. /'08'7
o..1051
4 5
I if o.22a2
'
I S O. 2 12.G O: IO 17 *7
48 o.o'GSs
q.q
5 0
º
·
º
'
'
9
IG o.0'185
17 o.095'1 o.0'1>42
o.0'129
18
o.º"ª'
117
65. "ZONA O CASQUETE ESFÉRICO"
Figura 107
/'
f _ f": ver pag.116
j <EIIE 1 f¡eo-l--l---
C
-
>
- r
t 1: DESARROLLO ...j I
·- Radio x 3.1416 -..¡
Cuando en paileria nos encontramos con el
trazo de una esfera, la mayor de las veces es
solo parte de ella, (zona o casquete) por lo tanto
para trazar la plantilla de los gajos, seguimos las
instrucciones de las paginas 116 y 117 y luego
marcamos el desarrollo sobre el eje de la
plantilla.
En los ejes de los gajos es donde realmente
se encuentra la parte esférica. "P" por numero
de gajos= perímetro del corte.
118
"ALTURA X DE CORTE EN UN CILINDRO"
(conociendo el ángulo)
Podemos calcular la
altura "x" del corte en un
cilindro conociendo el
el
del
ángulo de corte y
exterior
diámetro
cilindro.
La siguiente formula
' es muy útil· tanto en
tubería como en paileria. ---+J Diam. J..-
Figura 108
_J_
X
T
CILINDRO
DIAMETRO
EXTERIOR
ALTURA
X
=
TANGENTE
DELANGULO "a" POR
EJEMPLO cual sera la altura "X" del corte en
un tubo teniendo un diametro exterior= 25 cm. y
el angulo "a" de corte" =15º
1º Se busca en las tablas trigonometricas al
final de este manual la TANGENTE de 15º=
0.2679
2º Se multiplica dicha tangente por el
diametro exterior del tubo, el resultado sera i_gual
a la altura "x" del corte del tubo. 0.2679 x 25=
6.6975
.1 1
66. CO =SEN.
)r:,?>
Opuesto
1
CA=COS.
H
CO=TAN .
CA
V l HIPOTENUSA.
e º El numero que resulto es el SENO y se busc
n la tabla trigonométrica para saber a qu
ngulo corresponde .
r
.--- Cateto
Adyacente
.
"NOCIONES DE TRIGONOMETRIA"
(Triángulos Rectangulos)
Por medio de trigonometría se resuelven
muchos problemas de calculo que no pudríamos
resolver por otros medios ya que solo ocupamos
conocer DOS DATOS para encontrar un tercero,
uno de estos datos debe ser como mínimo un
lado del triangulo.
En un triangulo cualquiera se consideran seis
elementos,tres ángulos y tres lados.
En untriangulo RECTÁNGULO los lados que
forman el ángulo de 90º se les llama CATETOS y
el lado mayores la HIPOTENUSA.
CATETOS y el lado mayor es
la HIPOTENUSA.
CATETO OPUESTO es el lado que esta frente
al ángulo que se esta considerando.
CATETOADYACENTE es el ladojunto al ángulo.
120
( (
e
(
e
(
(
(
" USO DEL SENO"
Conociendo cateto opuesto e hipotenusa
ncontrar el ángulo
Cateto Opuesto = SENO
HIPOTENUSA
FORMULA
1º Se divide el cateto opuesto entre la
e Conociendo cateto opuesto y el ángul
ncontrar la Hipotenusa
(
(
(
FORMULA Cateto Opuesto= HIPOTENUSA
SENO
1º Se busca en la tabla trigonométrica el SEN
ue corresponde al ángulo conocido.
ºSe divide el cateto opuesto entre dicho SENO
1resultado es la HIPOTENUSA.
Conociendo la hipotenusa y el ángul
ncontrar cateto opuesto.
{
FORMULA Hipotenusa x Seno= Cateto Opuesto
(
1º Se busca en la tabla trigonométrica el Sl;N
ue corresponde al ángulo conocido.
º Se multiplica la hipotenusa por dicho SENO
1resultado es la Ion ituddel cateto o uesto.
121
FORMULAS GENERALES
Cateto Opuesto = SENO Cateto Adyacente = COSENO
Hipotenusa Hipotenusa
Cateto Opuesto =TANGENGE
Cateto Adyacente
67. ,_..,
FUNCIONES CIRCULARES
o
=5ENO=
C
i
R
A
MINUTOS C
l
R
MINUTOS
1 15' 1.30' 1 45'
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A
o
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5 .08'7/ .09/S .09S8 ,1002 28 ,4{,9/f .4?33 .4'771 .4810
G .,,/0'15 ./088 · "32. ,//"IS
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29 .4848 .'188' .492.4 .49,2
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8 .1391 ,1
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18 30'10 .3/3/ ..3113 .32/Lf 41 ,,5,0,,S 3 .,62C·''s
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22 .3'!"'.3'18, .3827.38, 45 .7071 •'l/02 .ti32. . ll,3
122
(
FUNCIONES CIRCULARES
e
e
e
(
=SE NO=
G
...
MINUTOS G MINtJTOS
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(
(
(
(
(
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(
123
68. ' uso DEL COSE .O"
Conod endo cateto adyacente e hipotenusa
ncontrar el angulo.
Cateto Adyacente =COSENO
HIPOTENUSA
FORMULA
1º Se divide el cateto adyacente entre 1
HIPOTENUSA.
º El numero que resulto es el COSENO y s
busca en la tabla trigonométrica para saber a qu
.'ngulo corresponde.
Conociendo cateto adyacente y el ángul
ncontrar la Hipotenusa
FORMULA Cateto adyacente= HIPOTENUSA
COSENO
( (
e e
( (
e e
e e
e
FORMULA Hipotenusa x Coseno= Cateto Adyacente
1º Se busca en la tabla trigonométrica el
OSENO que corresponde al ángulo conocido.
ºSe multiplica la hipotenusa por dicho COSEN
el resultado es la Ion ituddel cateto ad acente.
124
( ( , 8
_
1º Se busca en la tabla trigonométrica el (
(
COSENO que corresponde al ángulo conocido.
º Se divide el cateto adyacente entre dich
COSENO yel resultado es la HIPOTENUSA.
Conociendo la hipotenusa y el ángul
ncontrar cateto adyacente.
(
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:-eOSENO=
G
R
A
MINUTOS
151
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125
69. FUNCIONES CIRCULARES
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60 .5000.4962 .'1924 . 88(, &3 •1218 .1175 .113 ./088
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126
(
e
"USO DE LA TANGENTE"
(
Conociendo
ngulo.
FORMULA
los dos catetos encontrar el
Cateto Opuesto= TANGENTE
Cateto Adyacente
1º Se divide el cateto opuesto entre el cate.t
dyacente .
º El numero que resulto es la TANGENTE y s
busca en la tabla trigonométrica para saber a qu
' ngulo corresponde.
e
(
Conociendo cateto opuesto y el ángul
ncontrar cateto adyacente
FORMULA Cateto Opuesto = Cateto Adyacente
TANGENTE
1º Se busca en la tabla trigonométrica la
(
(
(
(
(
e
(
ANGENTE que corresponde al ángulo conocido.
º Se divide e·
I cateto opuesto entre dic
h
Catet
ANGENTE y el resultado es el
dyacente.
Conociendo cateto adyacente y el angul
ncontrar cateto opuesto.
FORMULA Cateto Adyacente X Tangente= Cateto
O uesto
e 1º Se busca en la tabla trigonométrica 1
ANGENTE que corresponde al ángulo conoCido.
º Se multiplica el cateto adyacente por 1
ANGENTE el resultado es el cateto opuesto.
1
127
71. (
INDICE
·
Bienvenida................................................................1
·El Campas.................................................................3
·El Triangulo......................................................... ......5
·El Filtro....................................................................1O
•Desarrollo de una pirámide regular.........................12
•Pirámide Irregular................................................ ....15
•Tronco de pirámide regular.....................................17
·Tronco de pirámide irregular............................... ....19
•Tronco de pirámide girada......................................21
•Tronco de pirámide girada irregular........................24
•Redondo a cuadrado...............................................27
·
Redondo a cuadrado exentrico...............................31
•3-4-5........................................................................33
•Cuadrado a redondo...............................................35
•Cuadrado a redondo exentrico................................37
•2.54.........................................................................39
•Fracciones de pulgada a centímetros ...................39A
•Cono exentrico.............................................. ..........40
•Circunferencia......................................................... 45
•3.1416.......................................................... ...........48
•Diámetro x 8............................................................49
·Los grados............................................... ...............50
) •El transportador..................... ..................................51
•El ángulo.................................................................52
•Transportador practico............................................54
•Exágono regular......................................................55
110.01745..................................... ..............................56
) •1.0472.....................................................................57
) •Desarrollo del cono.................................................58
•Cono truncado.........................................................60
•Calculo de la generatriz..........................................62
1 •Calcular los grados de un cono...............................63
•Área de los cuadrados............................................64
·Raíz cuadrada.............................. ...........................65
r
72. tNDICE
•T
eorema de pitágoras.......................... ...................66
•Calculo de la hipotenusa.........................................67
•Calculo de los catetos.............................................68
•1.4142.....................................................................69
•Calculpr el radio de un arco....................................71
•La heli(:e................................... ...............................74
•Calculo de la helice.................................................75
·Transportadores helicoidales..................................76
·
Grueso del material en aros....................................79
·
Grueso del material a escuadra..............................80
•El metro................................................................... 81
·
El litro............................................................... .......82
•El kilo.............................................. ........................83
•Corte en un tubo cuadrado..................................... 85
•Corte en un cilindro................................................. 88
•Trazo de la Elipse....................................................90
•Ovalo de cuatro centros..........................................92
•La senoide............................................................... 94
•Uso practico de la SENOIDE......................:...........96
•Codo de dos gajos.................................................. 97
•Calcular el corte codo dos gajos.............................98
·
Calcular el corte en una viga...................................99
•Calcular Diagonal de un paralele pip do..............100
•Peso aprox. barras fierro redondo........................ 101
•Bayonetas............................................................. 102
•Codo de 90º..........................................................106
•Codos de diferentes grados..................................108 1
·
La esfera.............................:··································114
·
Nociones de trigonometría............................ ........120
73. El Domingo l / cJc nov1tmbr d l985
en el parque "Gorvalez G,1110" colobrar11ol,
nuestro ''CUARlOANIVf RSARIO"
Con entrega de diplomas d los cJllJlnnos
que terminaron su cursode 11
lra.m do P,iiler1a"
quienes tambien presentaron trnha¡os
de desarrollos de superficies en nldquctas
de cartulina y una exposición de fotogrnf1cJs
de trabajos de patleria.
"ESCUELADOMINICAL DETRAZO
PARASOLDADORES PAILEROS"
