El documento presenta información sobre ecuaciones de rectas y planos en el espacio. Introduce los conceptos de sistema de referencia, vector posición y vector director. Explica que una recta puede definirse por un punto y un vector director, y cómo obtener sus ecuaciones paramétricas, vectoriales, continuas y cartesianas. Luego, define un plano por un punto y dos vectores directores, y explica cómo derivar su ecuación cartesiana a partir de las ecuaciones paramétricas.

1. MATEMATICAS
2º Bachillerato
MaTEX
r=A+lu
Proyecto A
d
B
s=B+mv
Rectas y Planos CIENCIAS
MaTEX
Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a
Rectas y
Planos
Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´
ıculo
c 2004 gonzaleof@unican.es Doc Doc
10 de junio de 2004 Versin 1.00
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2. MATEMATICAS
2º Bachillerato
Tabla de Contenido A
r=A+lu
1. Sistema de referencia d
• Vector de dos puntos • Punto medio de dos puntos B
s=B+mv
CIENCIAS
2. Ecuaciones de la recta
2.1. Tipos de Ecuaciones de la recta
3. Ecuaci´n del plano
o MaTEX
3.1. Tipos de Ecuaciones del plano
4. Posici´n relativa de dos planos
o
Rectas y
4.1. Haz de planos
5. Posici´n relativa de recta y plano
o
Planos
6. Posici´n relativa de tres planos
o
7. Posici´n relativa de dos rectas
o
• Rectas paralelas • Rectas coincidentes • Rectas que se cortan o
se cruzan
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests
Doc Doc
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3. MATEMATICAS
Secci´n 1: Sistema de referencia
o 3 2º Bachillerato
z r=A+lu
1. Sistema de referencia A
Un sistema de referencia en el es- P d
B
pacio consta de un punto O llama- s=B+mv
CIENCIAS
do origen y tres vectores {i, j, k}. k
Cualquier punto P (x0 , y0 , z0 ) tiene z0
−−→
un vector de posici´n OP .
o O y
MaTEX
−
−→ i j
OP = x0 i + y0 j + z0 k x0
y0
Rectas y
x z
Planos
• Vector de dos puntos A
−→
Dados los puntos A(x0 , y0 , z0 ) y AB
B(x1 , y1 , z1 ) se tiene k B
− → − −→ −→ −
OA + AB = OB
O y
luego i j
−
−→ −→ −
− →
AB = OB − OA
x
−→ Doc Doc
AB = (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 )
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4. MATEMATICAS
Secci´n 1: Sistema de referencia
o 4 2º Bachillerato
r=A+lu
• Punto medio de dos puntos A
d
Dados los puntos A(x0 , y0 , z0 ) y A
B
B(x1 , y1 , z1 ) se tiene que el punto s=B+mv
CIENCIAS
medio del segmento AB verifica M
−−→ −→
−
AB = 2 AM
B MaTEX
luego
A+B O
(B−A) = 2 (M −A) =⇒ M =
2
Rectas y
x0 + x1 y0 + y1 z0 + z1
Planos
M= , ,
2 2 2
−
−→
Ejemplo 1.1. Hallar el vector AB y el punto medio de los puntos A(−1, 3, 4)
y B(3, 1, 2).
Soluci´n:
o
−
−→
AB = B − A = (3, 1, 2) − (−1, 3, 4) = (4, −2, 2)
−1 + 3 3 + 1 4 + 2
M= , , = (1, 2, 3)
2 2 2
Doc Doc
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5. MATEMATICAS
Secci´n 2: Ecuaciones de la recta
o 5 2º Bachillerato
r=A+lu
2. Ecuaciones de la recta A
Definici´n 2.1 La ecuaci´n de una recta viene determinada por un punto
o o d
A(x0 , y0 , z0 ) y un vector u. B
s=B+mv
r ≡< A; u > CIENCIAS
En el dibujo se observa que un punto X pertenece a la recta r, si el vector
−→
− −→
−
AX es proporcional al vector u, es decir AX = λ u para alg´n λ ∈ R.
u MaTEX
Siendo
−→ −
− → −→ −
OX = OA + AX
−→ −→ −
− − → A
Rectas y
AX = OX − OA u
−→ −
− →
Planos
OX − OA = λ u
(X − O) − (A − O) = λ u
X
despejando X se obtiene la ecuaci´n
o
r
r ≡ X = A + λu (1) O
en coordenadas se obtiene
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (u1 , u2 , u3 )
Dependiendo de como escribamos la expresi´n anterior obtenemos diferentes
o Doc Doc
ecuaciones de la recta.
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6. MATEMATICAS
Secci´n 2: Ecuaciones de la recta
o 6 2º Bachillerato
r=A+lu
2.1. Tipos de Ecuaciones de la recta A
Ecuaci´n Vectorial. Expresando la ecuaci´n 1 en coordenadas
o o d
B
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (u1 , u2 , u3 ) s=B+mv
CIENCIAS
Ecuaciones Param´tricas. Separando las componentes
e
x = x0 + λ u1 

MaTEX
y = y0 + λ u 2
z = z0 + λ u 3

Ecuaciones Continua. Despejando en la expresi´n anterior el par´metro
o a
Rectas y
λ e igualando
Planos
x − x0 y − y0 z − z0
= =
u1 u2 u3
Ecuaciones Cartesianas. Operando las igualdades, es decir, agrupan-
do t´rminos y ordenando se obtiene las expresiones:
e
Ax + By + Cz + D = 0
Ax+B y+C z+D = 0
Ejemplo 2.1. Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos
A(1, 2, 1) y B(0, 3, 2).
Soluci´n: El vector director u = AB = (−1, 1, 1)
o
Ecuaci´n Vectorial. (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ (−1, 1, 1)
o Doc Doc
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7. MATEMATICAS
Secci´n 2: Ecuaciones de la recta
o 7 2º Bachillerato
 r=A+lu
x = 1−λ  A
Ecuaciones Param´tricas. y = 2 + λ
e
d
z = 1+λ

B
x−1 y−2 z−1 s=B+mv
Ecuaci´n Continua.
o = = CIENCIAS
−1 1 1
Ecuaciones Cartesianas. Operando las igualdades, agrupando t´rmi-
nos y ordenando se obtiene las expresiones:
e
MaTEX
x−1 y−2 

= 
x+y−3 = 0
−1 1 ⇒ r≡
y−2 z−1 
Rectas y
y−z−1 = 0
= 
1 1
Planos
x−1 y+1 z−2
Ejemplo 2.2. Determinar de la recta r ≡ = = , su direc-
2 3 1
ci´n y dos puntos de la misma.
o
Soluci´n: La direcci´n viene dada por u = (2, 3, 1). Un punto es A(1, −1, 2).
o o
Para hallar otro punto usamos la expresi´n vectorial
o
r ≡ X = A + λu
Haciendo λ = 2 obtenemos
X1 = (1, −1, 2) + 2 (2, 3, 1) = (5, 5, 4)
Doc Doc
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8. MATEMATICAS
Secci´n 2: Ecuaciones de la recta
o 8 2º Bachillerato
r=A+lu
Haciendo λ = 3 obtenemos A
X2 = (1, −1, 2) + 3 (2, 3, 1) = (7, 8, 5) d
y as´ sucesivamente para obtener m´s puntos.
ı a B
s=B+mv
 CIENCIAS
x = 1 − 3λ 
Ejemplo 2.3. Dada la recta: y = 2 + λ
z = 1 + 2λ
 MaTEX
Determinar su vector direccional y dos puntos de la misma.
Soluci´n:
o
Su vector direccional es u = (−3, 1, 2). Un punto es A(1, 2, 1). Para hallar otro
Rectas y
punto damos valores al par´metro λ, por ejemplo, haciendo λ = 1 obtenemos
a
Planos

x = 1 − 3(1) = −2 
y = 2 + (1) = 3
z = 1 + 2(1) = 3

Ejercicio 1. Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) est´n
a
alineados.
Ejercicio 2. Dados los puntos A(m, 2, −3), B(2, m, 1) y C(5, 3, −2), determi-
nar el valor de m para que est´n alineados, y hallar la recta que los contiene.
e
x+y−3 = 0
Ejercicio 3. Dada la recta r , escribirla en forma con-
y−z−1 = 0 Doc Doc
tinua.
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9. MATEMATICAS
Secci´n 3: Ecuaci´n del plano
o o 9 2º Bachillerato
r=A+lu
3. Ecuaci´n del plano
o A
Definici´n 3.1 La ecuaci´n de un plano viene determinada por un punto
o o d
A(x0 , y0 , z0 ) y dos vectores u, v linealmente independientes. B
s=B+mv
π ≡< A; u, v > CIENCIAS
−→
−
Un punto X pertenece al plano π, observar el dibujo, si el vector AX es
combinaci´n lineal de u y v, es decir
o
MaTEX
−→
−
AX = λ u + µ v
Rectas y
para alg´n λ, µ ∈ R
u
−→ −→ −
− − →
Planos
AX = OX − OA
−→
− A u
Identificando OX = X y
−→ v X
OA = A se obtiene la
ecuaci´n
o
O
π ≡ X = A + λu + µv (2) Doc Doc
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10. MATEMATICAS
Secci´n 3: Ecuaci´n del plano
o o 10 2º Bachillerato
r=A+lu
3.1. Tipos de Ecuaciones del plano A
Ecuaci´n Vectorial.Expresando la ecuaci´n 2 en coordenadas
o o d
B
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (u1 , u2 , u3 ) + µ (v1 , v2 , v3 ) s=B+mv
CIENCIAS
Ecuaciones Param´tricas. Separando las componentes
e
MaTEX

x = x0 + λ u1 + µ v1 
y = y0 + λ u2 + µ v2
z = z0 + λ u3 + µ v3

Ecuaci´n Cartesiana. Para hallar la ecuaci´n cartesiana del plano
o o
Rectas y
hay que eliminar los par´metros λ y µ en las ecuaciones param´tricas.
a e
−→
−
Planos
Como el vector AX es combinaci´n lineal de los vectores direccionales
o
− y v, el rango de la matriz (−→ u, v) es 2
→
u
−
AX,
 
x − x0 y − y0 z − z0
rg  u1 u2 u3  = 2
v1 v2 v3
y por tanto su determinante es nulo.
x − x0 y − y0 z − z0
π≡ u1 u2 u3 =0
v1 v2 v3
Doc Doc
π ≡ ax + by + cz + d = 0 (3)
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11. MATEMATICAS
Secci´n 3: Ecuaci´n del plano
o o 11 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 3.1. Determinar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A
A(2, 3, 5), B(1, 1, 2) y C(3, 6, 10).
d
Soluci´n: La direcci´n viene dada por los
o o vectores B
s=B+mv
−
−→ −→
AB(−1, −2, −3) AC(1, 3, 5) CIENCIAS
Ecuaci´n Vectorial
o
π ≡ (x, y, z) = (2, 3, 5) + λ (−1, −2, −3) + µ (1, 3, 5)
MaTEX
Ecuaciones Param´tricas
e

x = 2−λ+µ 
Rectas y
y = 3 − 2λ + 3µ
Planos
z = 5 − 3λ + 5µ

Ecuaci´n Cartesiana
o
x−2 y−3 z−5
π≡ 1 2 3 =0
1 3 5
Se desarrolla por adjuntos por la primera fila
π ≡ x − 2y + z − 1 = 0
Doc Doc
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12. MATEMATICAS
Secci´n 3: Ecuaci´n del plano
o o 12 2º Bachillerato
r=A+lu
A
En la ecuaci´n general del plano:
o n(a,b,c)
d
π ≡ ax + by + cz + d = 0 B
s=B+mv
los coeficientes (a, b, c) corresponden a CIENCIAS
las componentes del vector perpen-
dicular al plano y se le denomina el
vector normal del plano π.
MaTEX
a x + by + c z +d = 0
n (a, b, c)
Rectas y
Ejemplo 3.2. Determinar las ecuaciones param´tricas del plano
e
Planos
π ≡ x − 2y + z − 1 = 0
Soluci´n: Elegimos dos variables libres como par´metros, por ejemplo y = λ
o a
y z = µ, quedando 
 x = 1 + 2λ − µ
y = λ
z = µ

La direcci´n viene dada por los vectores
o
u(2, 1, 0) v(−1, 0, 1)
Doc Doc
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13. MATEMATICAS
Secci´n 3: Ecuaci´n del plano
o o 13 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 4. Hallar la ecuaci´n del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y
o A
contiene a la recta de ecuaci´n :
o
d
x−1 y+3 z
r≡ = = B
2 1 −1 s=B+mv
CIENCIAS
Ejercicio 5. Hallar la ecuaci´n de la recta r que pasa por el punto A(1, 0, 0)
o
y es perpendicular al plano x − y − z + 2 = 0. MaTEX
Ejercicio 6. Determinar la ecuaci´n de un plano que contenga a la recta r
o
y sea perpendicular al plano π, siendo:
Rectas y

x−1 y−1 z+1  x =λ−µ
r≡ = = π: y =λ
Planos
2 −3 −1
z =µ

Test. El punto A(0, 1, 2) y los vectores u(1, 2, 3) y v(2, 4, 6) determinan un
plano
(a) Si (b) No
x−2 y+5 z+1
Test. El punto A(7, −4, 2) y la recta = = determinan un
5 1 3
plano
(a) Si (b) No
Doc Doc
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14. MATEMATICAS
Secci´n 4: Posici´n relativa de dos planos
o o 14 2º Bachillerato
r=A+lu
4. Posici´n relativa de dos planos
o A
π1 ≡ A1 x + B1 y + C1 z = D1 d
Teorema 4.1. Sean dos planos B
π2 ≡ A2 x + B2 y + C2 z = D2 s=B+mv
CIENCIAS
Estudiamos el sistema lineal de 2 ecuaciones con 3 inc´gnitas:
o
A
r(A) = 1 r(AM ) = 1 ⇒ π1 ≡ π2 MaTEX
A1 B1 C1 D1 r(A) = 1 r(AM ) = 2 ⇒ π1 π2
A2 B2 C2 D2 r(A) = 2 r(AM ) = 2 ⇒ π1 ∩ π2 = {r}
Rectas y
AM
Planos
r(A)=r(AM)=1 r(A)=1 r(AM)=2 r(A)=2 r(AM)=2
p1 = p2 p1 p2 p1 p2 = {r}
Doc Doc
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15. MATEMATICAS
Secci´n 4: Posici´n relativa de dos planos
o o 15 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.1. Determinar la posici´n relativa de los planos:
o A
π1 ≡ 3x − 2y + 4z = 2 d
π2 ≡ 2 x + 3 y − 5 z = −8 B
s=B+mv
CIENCIAS
Soluci´n:
o
A A
3 −2 4 2
3 f2 −2 f1
≡ 3 −2 4 2
MaTEX
2 3 −5 −8 0 13 −23 −28
AM AM
Rectas y
Como r(A) = r(AM ) = 2 los planos determinan una recta, π1 ∩ π2 = {r}.
Planos
Para hallar r resolvemos el sistema pasando z como variable libre. De la
28 23
segunda ecuaci´n y = −
o + z y sustituyendo en la primera ecuaci´n
o
13 13
10 2
x = − − z, luego la recta es
13 13
 10 2
 x = − −
 λ

 13 13
28 23
 y = − + λ


 13 13
z = λ
Doc Doc
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16. MATEMATICAS
Secci´n 4: Posici´n relativa de dos planos
o o 16 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.2. Determinar la posici´n relativa de los planos:
o A
π1 ≡ 3x − 2y + 4z = 1 d
π2 ≡ −6 x + 4 y − 8 z = −2 B
s=B+mv
CIENCIAS
Soluci´n: Como
o
3 −2 4 1
= = =
−6 4 −8 −2 MaTEX
los planos son coincidentes.
Rectas y
Planos
Ejemplo 4.3. Determinar la posici´n relativa de los planos:
o
π1 ≡ 3x − 2y + 4z = 1
π2 ≡ −6 x + 4 y − 8 z = 0
Soluci´n:
o
3 −2 4 1 f2 +2 f1 3 −2 4 1
≡
−6 4 −8 0 0 0 0 2
Como r(A) = 1 < r(AM ) = 2 los planos son paralelos.
Doc Doc
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17. MATEMATICAS
Secci´n 4: Posici´n relativa de dos planos
o o 17 2º Bachillerato
r=A+lu
4.1. Haz de planos A
Definici´n 4.1 Sea la recta r determinada por los planos π1 y π2 .
o d
π1 ≡ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 B
s=B+mv
r≡
π2 ≡ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 CIENCIAS
llamamos haz de planos a los infinitos planos que pasan por r. Su expresi´n
o
viene dada por: MaTEX
α (A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β (A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
Rectas y
La figura muestra el haz de planos. Se aseme- r
ja a un libro con infinitas hojas (los planos). p3
Planos
Dando valores a los par´metros α y β no nu-
a
los a la vez, se obtienen los infinitos planos del
haz.
α π1 + β π2 = 0
p2
p1
Ejemplo 4.4. Hallar la ecuaci´n del plano que pasa por el punto P (2, −1, 3)
o
y contiene a la recta determinada por los planos:
π1 ≡ x − y + z = 2 Doc Doc
π2 ≡ 2 x + y − z = −1 Volver Cerrar

18. MATEMATICAS
Secci´n 4: Posici´n relativa de dos planos
o o 18 2º Bachillerato
r=A+lu
Soluci´n: El plano buscado est´ en el haz
o a A
α (x − y + z − 2) + β (2 x + y − z + 1) = 0 d
B
exigimos que pase por el punto P (2, −1, 3) s=B+mv
CIENCIAS
α (2 + 1 + 3 − 2) + β (2 (2) − 1 − 3 + 1) = 0
es decir
4 α + β = 0 =⇒ β = −4α
MaTEX
Haciendo α = 1 =⇒ β = −4, y sustituyendo se obtiene
7x + 5y − 5z + 6 = 0
Rectas y
Planos
Ejercicio 7. Dada la recta r formada por π1 y π2 :
π1 ≡ x − y = 2
π2 ≡ y − z = 1
Hallar:
a) La expresi´n de todos los planos que la contienen.
o
b) El plano que contiene a r y pasa por el origen.
c) El plano que contiene a r y es paralelo x − z = 5.
Doc Doc
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19. MATEMATICAS
Secci´n 5: Posici´n relativa de recta y plano
o o 19 2º Bachillerato
r=A+lu
5. Posici´n relativa de recta y plano
o A
d
Teorema 5.1. Sean la recta r y el plano π:
B
x − x0 y − y0 z − z0 s=B+mv
r≡ = = CIENCIAS
u v w
π ≡ ax + by + cz = d
Para estudiar la posici´n relativa
o A3
MaTEX
→
− r2
de la recta y el plano, se compara el r3 A2 u 2
vector de la recta u(u, v, w) con el →
−3
u
Rectas y
vector normal n(a, b, c) del plano. →
−
n
Se pueden presentan tres casos:
Planos
r1
A1 →
−1
u P
1. u1 ⊥ n y A1 ∈ π ⇒ r1 ⊂ π. Contenida.
2. u2 ⊥ n y A2 ∈ π ⇒ r2 π. Paralela.
3. u3 ⊥ n ⇒ r3 ∩ π = {P }. Se cortan.
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20. MATEMATICAS
Secci´n 5: Posici´n relativa de recta y plano
o o 20 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 5.1. Determinar b para que la recta: A
x−1 y−2 z
r≡ = = d
3 b 6 B
s=B+mv
no corte al plano π : 2x − 4y + 5z = 0 CIENCIAS
Soluci´n:
o
Para que r no corte al plano tiene que ser paralela, luego MaTEX
u(3, b, 6) ⊥ n(2, −4, 5)
u(3, b, 6) · n(2, −4, 5) = 0 = 36 − 4 b = 0 =⇒ b = 9
Rectas y
Si b = 9, r π, veamos que no esta contenida comprobando que no tienen un
punto com´n. Tomamos A(1, 2, 0) ∈ r y sustituimos en π.
u
Planos
2(1) − 4(2) + 5(0) = −6 = 0 =⇒ r π
Ejercicio 8. Dados el plano π : x + y + mz = n, y la recta
x y−2 z
r≡ = =
1 −1 2
a) Calcular m y n para que π contenga a r.
b) Calcular m y n para que π y r sean paralelos.
c) Calcular m y n para que π y r sean secantes.
Doc Doc
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21. MATEMATICAS
Secci´n 6: Posici´n relativa de tres planos
o o 21 2º Bachillerato
r=A+lu
6. Posici´n relativa de tres planos
o A
Sean los planos π1 ,π2 , y π3 : d
A B
s=B+mv
π1 ≡ A1 x + B1 y + C1 z = D1   CIENCIAS
π2 ≡ A2 x + B2 y + C2 z = D2 A1 B1 C1 D1
 A2 B2 C2 D2 
π3 ≡ A3 x + B3 y + C3 z = D3
A3 B3 C3 D3 MaTEX
AM
Se analiza el sistema de tres ecuaciones con tres inc´gnitas discutiendo los
o
Rectas y
rangos de las matrices A y la ampliada AM . Se pueden presentar los sigu-
ientes casos:
Planos
r(A) = 1 r(AM ) = 1, planos coincidentes.
r(A) = 1 r(AM ) = 2, planos paralelos.
r(A) = 2 r(AM ) = 2, Haz de planos, pudiendo haber dos de
ellos coincidentes. Tienen una recta en com´n.
u
r(A) = 2 r(AM ) = 3, los 3 planos no tienen puntos comunes,
pueden ser 2 paralelos que intersecan respectivamente al otro,
o bien, se intersecan dos a dos en respectivas rectas.
r(A) = 3 r(AM ) = 3, los planos tienen un punto en com´n.
u Doc Doc
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22. MATEMATICAS
Secci´n 6: Posici´n relativa de tres planos
o o 22 2º Bachillerato
r=A+lu
r(A)=1 r(A)=1 r(A)=2 A
r(AM)=1 r(AM)=2 r(AM)=2 d
p3 B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
p2
p1 p2 p1
p1 = p2 = p3
Rectas y
Planos
r(A)=3 r(A)=2 r(A)=2
r(AM)=3 r(AM)=3 r(AM)=3
p3 p1
p1
p1
p2 p2
p3 p3
p2
Doc Doc
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23. MATEMATICAS
Secci´n 6: Posici´n relativa de tres planos
o o 23 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 6.1. Discutir la posici´n relativa de los planos:
o A

 α : x + y + kz = 1 d
β : kx + y + z = 1 B
s=B+mv
γ : 2x + y + z = k

CIENCIAS
1 1 k
Soluci´n: |A| =
o k 1 1 = k 2 − 3k + 2 = 0 =⇒ k = 1 ∨ k=2 MaTEX
2 1 1
A A
Rectas y
    r(A) = 2
k=1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 ⇒ r(AM ) = 2
Planos
 1 1 1 1   0 0 0 0  Haz de planos
2 1 1 1 0 −1 −1 −1
AM AM
A A r(A) = 2
    r(AM ) = 3
k=2 1 1 2 1 = 1 1 1 1 ⇒ α ∩ β = r1
 2 1 1 1   0 −1 −3 −1  α ∩ γ = r2
2 1 1 2 0 0 0 1 β γ
AM AM
Si k = 1; 2, r(A) = r(AM ) = 3, S.C.D. y los tres planos se cortan en un punto.
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24. MATEMATICAS
Secci´n 6: Posici´n relativa de tres planos
o o 24 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 6.2. Discutir la posici´n relativa de los planos:
o A

x + y − z= 2  d
3x − 2y + z = 1 B
s=B+mv
6x + y − 2z = 7

CIENCIAS
Soluci´n:
o

1 1 −1 2
 
1 1 −1 2
 
1 1 −1 2
 MaTEX
f −3f1 f −f2
 3 −2 1 1  −2− −  0
− −→ −5 4 −5  −3− →  0
−− −5 4 −5 
f3 −6f1
6 1 −2 7 0 −5 4 −5 0 0 0 0
Es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.r(A) = r(AM ) = 2,
Rectas y
S.C.I, los tres planos tienen una recta en com´n.
u
Planos
Ejercicio 9. Dados los planos :

 πα : 2x − ky − 4z =2
πβ : kx − y + z = −3
πγ : x+y+z =1

1. ¿Para qu´ k, determinan πα y πβ una recta, r(k)?.
e
2. Estudiar la posici´n relativa de las rectas r(k), respecto del plano γ.
o
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25. MATEMATICAS
Secci´n 7: Posici´n relativa de dos rectas
o o 25 2º Bachillerato
r=A+lu
7. Posici´n relativa de dos rectas
o A
Sean dos rectas cualesquiera d
B
r : A + λu s : B + µv s=B+mv
CIENCIAS
Las posibles posiciones relativas entre ellas son:
MaTEX
• Rectas paralelas
Dos rectas r y s son paralelas si tienen la misma direcci´n.
o
Rectas y
Ejemplo 7.1. Comprobar que las rectas r y s son paralelas:
x y−1 z+3 x y z
Planos
r≡ = = s≡ = =
1 1 3 2 2 6
Soluci´n: En efecto, los vectores u(1, 1, 3) y v(2, 4, 6) son proporcionales, luego
o
r y s tienen la misma direcci´n.
o
• Rectas coincidentes
Dos rectas r y s son coincidentes, si son paralelas y tienen un punto en
com´n.
u
Ejemplo 7.2. Comprobar que las rectas r y s no son coincidentes:
x y−1 z+3 x y z
r≡ = = s≡ = =
1 1 3 2 2 6 Doc Doc
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26. MATEMATICAS
Secci´n 7: Posici´n relativa de dos rectas
o o 26 2º Bachillerato
r=A+lu
Soluci´n: En efecto, por una parte, los vectores u(1, 1, 3) y v(2, 4, 6) son pro-
o A
porcionales, luego r y s son paralelas. Por otra parte como el punto A(0, 1, −3)
d
de r no satisface la ecuaci´n de s, pues
o B
s=B+mv
0 1 −3 CIENCIAS
= =
2 2 6
las rectas son paralelas pero no coincidentes.
MaTEX
• Rectas que se cortan o se cruzan
Si r y s no son paralelas hay dos posiciones de inter´s: que se corten o se
e
Rectas y
cruzen en el espacio.(Observar el gr´fico inferior)
a
Si las rectas se cortan forman un
Planos
−
−→
plano y los vectores u,v y AB son v
dependientes luego
−
−→ B
det(u, v, AB) = 0
y si se cruzan en el espacio los vec- s
−
−→
tores u,v y AB son independientes
v
luego
−
−→
B´
det(u, v, AB) = 0 r v
A
u
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s´
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27. MATEMATICAS
Secci´n 7: Posici´n relativa de dos rectas
o o 27 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 7.3. Comprobar que las rectas r y s se cruzan en el espacio: A
x y−1 z+3 x y z
r≡ = = s≡ = = d
1 1 3 1 0 1 B
s=B+mv
Soluci´n: En efecto, por una parte, los vectores u(1, 1, 3) y v(1, 0, 1) no son
o CIENCIAS
−−→
proporcionales, luego r y s no son paralelas. Formamos el vector AB(0, −1, 3)
−−→
y calculamos det(u, v, AB). Como MaTEX
1 1 3
1 0 1 = −5 = 0 ⇒ se cruzan
0 −1 3
Rectas y
Planos
Ejemplo 7.4. Comprobar que las rectas r y s se cortan en el espacio:
x−2 y z−2 x y z
r≡ = = s≡ = =
1 1 3 1 0 1
Soluci´n: En efecto, por una parte, los vectores u(1, 1, 3) y v(1, 0, 1) no son
o
−
−→
proporcionales, luego r y s no son paralelas. Formamos el vector AB(−2, 0, −2)
−−
→
y calculamos det(u, v, AB). Como
1 1 3
1 0 1 = 0 ⇒ se cortan
−2 0 −2
tambi´n decimos que las rectas son incidentes, secantes o coplanarias.
e Doc Doc
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28. MATEMATICAS
Secci´n 7: Posici´n relativa de dos rectas
o o 28 2º Bachillerato
r=A+lu
Otra forma equivalente de estudiar la posici´n relativa de dos rectas es
o A
−
−→
estudiar el rango de las matrices determinadas por los vectores (u, v, AB), d
pudi´ndose presentar los siguientes casos:
e B
s=B+mv
CIENCIAS
Posici´n relativa de dos rectas
o MaTEX
r{u, v} = 1
1. ⇒ r y s son coincidentes.
r{u, v, AB} = 1
Rectas y
r{u, v} = 1
2. ⇒ r y s son paralelas.
r{u, v, AB} = 2
Planos
r{u, v} = 2
3. ⇒ r y s se cortan.
r{u, v, AB} = 2
r{u, v} = 2
4. ⇒ r y s se cruzan.
r{u, v, AB} = 3
Ejercicio 10. Estudiar la posici´n relativa de las rectas:
o
x−3 y+1 z x−y+z−4=0
r≡ = = s≡
5 2 −3 3x + 3y + 7z − 6 = 0
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29. MATEMATICAS
Secci´n 7: Posici´n relativa de dos rectas
o o 29 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 11. Determinar a y b para que las rectas sean paralelas A
2x + ay − z = 1 d
r ≡ 4x = 2y + 6 = z s≡
2x + 3y + bz = 3 B
s=B+mv
CIENCIAS
Ejercicio 12. Hallar los valores de m y n para que las rectas r y s sean
paralelas: 
 x = 5 + 5λ x y−1 z+3
MaTEX
r≡ y = 3+λ s≡ = =
m 3 n
z = −λ

Rectas y
Ejercicio 13. Estudiar seg´n los valores del par´metro a, la posici´n relativa
u a o
de las rectas r y s:
Planos

 x = (a + 2)λ
r≡ y= 1
z= a

a−x y−2 z−a
s≡ = =
1 a3 a−1
Ejercicio 14. Estudiar la posici´n relativa de la recta:
o
kx + y + z = k 2
r≡
x + y + kz = k
y el plano α : x + y + 2kz = 2, seg´n los valores del par´metro real k.
u a
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30. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 30 2º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Ejercicios A
Ejercicio 1. Para que est´n alineados es necesario que los vectores
e d
−−
→ −→ B
AB = (3, 1, 2) yAC = (0, −2, 1) s=B+mv
CIENCIAS
sean proporcionales. Como
3 1 2
0
=
−2
=
1 MaTEX
los puntos no est´n alineados.
a Ejercicio 1
Rectas y
Planos
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31. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 31 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 2. Exigimos que los vectores A
−
−→ −→
AB = (2 − m, m − 2, 4) AC = (5 − m, 1, 1) d
B
sean proporcionales, es decir, s=B+mv
CIENCIAS
 5−m = 1

5−m 1 1 2−m
MaTEX

= = =⇒ 4 =⇒ m = 6
2−m m−2 4 1 1
=


m−2 4
La ecuaci´n de la recta AB, ser´:
o a
Rectas y
x−6 y−2 z+3
r≡ = =
−1 1 1
Planos
Ejercicio 2
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32. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 32 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 3. Para pasar r a param´tricas
e A
x+y−3 = 0 d
r
y−z−1 = 0 B
s=B+mv
elegimos una variable como par´metro, por ejemplo y = λ, y tenemos:
a CIENCIAS

 x = 3−λ
r y = λ MaTEX
z = −1 + λ

Luego un punto es (3, 0, −1) y su vector (−1, 1, 1), y de aqu´ en forma continua
ı
Rectas y
queda
x−3 y z+1
r≡ = =
Planos
−1 1 1
Ejercicio 3
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33. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 33 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 4. El plano buscado contiene a A y a r luego tenemos dos puntos A
A(2, 0, 1), B(1, −3, 0) ∈ r del plano y un vector u = (2, 1, −1).
d
B
s=B+mv
A CIENCIAS
r
B
MaTEX
Con A y B formamos el otro vector direccional AB = (−1, −3, −1). La
ecuaci´n del plano ser´:
o a
Rectas y
x−2 y−0 z−1
Planos
π≡ 2 1 −1 =0
−1 −3 −1
π ≡ 4 (x − 2) − 3 y + 5 (z − 1) = 0
Ejercicio 4
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34. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 34 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 5. La recta r buscada pasa por el punto A(1, 0, 0), y tendr´ como
a A
vector u el vector normal del plano n = (1, −1, −1) .
d
n B
A s=B+mv
CIENCIAS
p
MaTEX
r
Rectas y
x−1 y z
r≡ = =
Planos
1 −1 −1
Ejercicio 5
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35. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 35 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 6. Del plano π1 buscado tenemos: A
d
n B
s=B+mv
CIENCIAS
A
r p1
MaTEX
p
Rectas y
el punto A(1, 1, −1) ∈ r
Planos
el vector u(2, −3, −1) de r
x y z
y el vector n de π ≡ 1 1 0 = x − y + z = 0:
−1 0 1
x−1 y−1 z+1
π1 ≡ 2 −3 −1 = −4x − 3y + z + 8 = 0
1 −1 1
Ejercicio 6
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36. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 36 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 7. A
a) La expresi´n de todos los planos que la contienen es el haz de planos
o d
α (x − y − 2) + β (y − z + 1) = 0 α, β ∈ R B
s=B+mv
CIENCIAS
b) El plano del haz pasa por el origen, verifica
α (0 − 0 − 2) + β (0 − 0 + 1) = 0 =⇒ β = 2 α MaTEX
con α = 1, se tiene β = 2 y sustituyendo en la expresi´n del haz,
o
x + y − 2z = 0
Rectas y
c) Hallamos el plano del haz con vector normal proporcional al vector
normal de x − z = 5. Asociando t´rminos en el haz se tiene
e
Planos
α x + (β − α) y − β z − 2α + β = 0
α β−α −β
= = =⇒ α = β
1 0 −1
con α = 1, se tiene β = 1 y sustituyendo en la expresi´n del haz,
o
x−z =1
Ejercicio 7
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37. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 37 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8. A
Sean la recta y el plano:
d
x y−2 z B
r≡ = = π : x + y + mz = n s=B+mv
1 −1 2 CIENCIAS
a) Calcular m y n para que π contenga a r. Es necesario que u(1, −1, 1)
sea ortogonal a n(1, 1, m), luego MaTEX
u · n = 0; (1, −1, 1) · (1, 1, m) = 0 =⇒ m = 0
y que el punto A(0, 2, 0) ∈ r pertenezca al plano. Luego sustituyendo
Rectas y
(0) + (2) + m (0) = n =⇒ n = 2
Planos
b) Calcular m y n para que π y r sean paralelos. Del apartado anterior r
tiene que ser paralela sin puntos en com´n con π, luego m = 0 n = 2 .
u
c) Calcular m y n para que π y r sean secantes. Del apartado anterior r
no tiene que ser paralela, luego m = 0
Ejercicio 8
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38. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 38 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 9. Los planos πα y πβ determinan una recta siempre que no sean A
paralelos. Para que sean paralelos se tienen que cumplir:
d

−k  √
 2 =  k=± 2 B
2 −k −4  k −1
s=B+mv
= = ⇒ Imposible CIENCIAS
k −1 1  −k = −4 
 k = −4
−1 1
luego ∀ k ∈ R πα ∩ πβ = r(k).
MaTEX
Ahora estudiamos la posici´n relativa de πα , πβ y πγ :
o
A
Rectas y
 
2 −k −4 2
Planos
 k −1 1 −3 
1 1 1 1
AM
2 −k −4
Como k −1 1 = k 2 − 5k − 8.
1 1 1
√
5± 68
|A| = 0 ⇒ k = . Por otra parte como un menor de AM ,
2
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39. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 39 2º Bachillerato
r=A+lu
−k −4 2 A
−1 1 −3 = −4k + 4 se anula para k = 1, se tiene
d
1 1 1
√ B
s=B+mv
5± 68 r(A) = 2 CIENCIAS
•k = ⇒ ⇒ r(k)//πβ
2
√ r(AM ) = 3
•k =
5±
2
68
⇒
r(A) = 3
r(AM ) = 3
⇒ πα ∩ πβ ∩ πγ = {P} MaTEX
Ejercicio 9
Rectas y
Planos
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40. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 40 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 10. Obtenemos un punto A ∈ r y su vector u A
x−3 y+1 z A(3, −1, 0) d
r≡ = =
5 2 −3 u = (5, 2, −3) B
s=B+mv
Obtenemos un punto B ∈ s y su vector v CIENCIAS
x−y+z−4=0
s≡
3x + 3y + 7z − 6 = 0
⇒ MaTEX

 y=0⇒ x+z =4 11 3
 B( , 0, − )


 3x + 7z = 6 2 2
Rectas y
⇒ i j k
 v= 1 −1 1 = v = (−10, −4, 6)

Planos


3 3 7

Como v = (−10, −4, 6) ∼ u = (5, 2, −3) son proporcionales las rectas r y s
son paralelas. Por otra parte como A(3, −1, 0) ∈ r satisface las ecuaciones de
s,entonces A ∈ s, y las rectas r y s son paralelas con un punto en com´n u
luego son coincidentes, r ≡ s Ejercicio 10
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41. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 41 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 11. Obtenemos el vector direccional u de r: A
x y+3 z d
r ≡ 4x = 2y + 6 = z } = = u = (1, 2, 4)
˜
1 2 4 B
s=B+mv
CIENCIAS
Obtenemos el vector direccional v de s:
i j k
2 a −1 = v = (ab + 3, −2b − 2, 6 − 2a)
˜ MaTEX
2 3 b
ab + 3 −2b − 2 6 − 2a
r||s =⇒ = =
Rectas y
 1 2 4
ab + 3 6 − 2a
Planos
= b = −1/5


1 4
−2b − 2 6 − 2a a = −5

 =
2 4
Ejercicio 11
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42. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 42 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 12. Para que r y s sean paralelas sus vectores deben ser propor- A
cionales. Como u(5, 3, −1) y v(m, 3, n),
d
 5 =3

B
5 3 −1 
m 3 =⇒ m=5 s=B+mv
= = =⇒ CIENCIAS
m 3 n  3 −1 n = −1
 =
3 n
Ejercicio 12
MaTEX
Rectas y
Planos
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43. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 43 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 13. De r tenemos el punto A(0, 1, a) y el vector u = (a + 2, 0, 0). A
De la recta s tenemos el punto B(a, 2, a) y el vector v = (−1, a3 , a − 1). Para
d
que sean paralelas u ∼ v,luego B
s=B+mv
a+2 0 0
= 3 = ⇒ a = −2 CIENCIAS
−1 a a−1
pero con a = −2, el vector u = (0, 0, 0) lo cual no puede ser. Luego no pueden
ser paralelas. Veamos si pueden ser concurrentes. En este caso el determinante
MaTEX
|u, v, AB| = 0,
a+2 0 0
Rectas y
−1 a3 a − 1 = −(a + 2)(a − 1) = 0 ⇒ a = −2 ∨ a = 1
a 1 0
Planos
Luego si a = 1, r ∩ s = {P }. En resumen

 a = −2 r no est´ definida
a
a=1 r ∩ s = {P } se cortan en un punto
a = −2 ∧ 1 las rectas se cruzan

Ejercicio 13
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44. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 44 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 14. Discutimos el sistema seg´n los valores de k
u A
A
d
k2
 
k 1 1 =⇒ |A| = k(k − 1) = 0 ⇒ k = 0 ∨ k = 1
B
s=B+mv
 1 1 k k  CIENCIAS
1 1 2k 2
AM MaTEX
Discusi´n:
o
k=0
Rectas y
   
0 1 1 0 0 1 1 0
f3 −f2
 1 1 0 0  ≡  1 1 0 0 
Planos
1 1 0 2 0 0 0 2
con r(A) = 2 y r(AM ) = 3. Recta r paralela a π.
k=1    
1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1 1 1  ≡  0 0 0 0 
1 1 2 2 0 0 1 1
con r(A) = 2 y r(AM ) = 2. Recta r contenida en el plano π.
k = 0 ∧ 1, r(A) = 3 y r(AM ) = 3. Sistema Compatible Determinado.
Se cortan en un punto.
Ejercicio 14 Doc Doc
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45. MATEMATICAS
Soluciones a los Tests 45 2º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Tests A
Soluci´n al Test: Como los vectores u(1, 2, 3) y v(2, 4, 6) son proporcionales
o d
no son linealmente independientes. Luego no tenemos direcci´n para un plano
o B
s=B+mv
que necesita dos vectores linealmente independientes. En este caso con estos CIENCIAS
datos tendr´ıamos una recta. Final del Test
MaTEX
Rectas y
Planos
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46. MATEMATICAS
Soluciones a los Tests 46 2º Bachillerato
r=A+lu
Soluci´n al Test: El punto A(7, −4, 2) y la recta
o A
x−2 y+5 z+1 d
= =
5 1 3 B
s=B+mv
no determinan un plano pues el punto no es exterior a la recta ya que satisface CIENCIAS
su ecuaci´n
o
7−2 −4 + 5 2+1
5
=
1
=
3
=1 MaTEX
Final del Test
Rectas y
Planos
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