Este documento presenta los conceptos básicos de vectores en matemáticas, incluyendo la definición de vectores, sus elementos (dirección, sentido y módulo), y operaciones entre vectores como suma, resta, producto escalar y producto de un escalar por un vector. También introduce vectores unitarios en el plano y en el espacio tridimensional, y cómo calcular el módulo y componentes de un vector.

1. Matemáticas III
Tema I.- Vectores
Definición de Vectores
Operaciones entre Vectores

2. Vectores
Definición de Vectores: es un segmento orientado que va del punto A origen al punto B extremo.
Notación a a
A B
Elementos de un Vector: dirección, sentido, módulo
Dirección de un Vector: la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido de un Vector es el que va desde el origen A al extremo B.
Módulo de un Vector: es la longitud del segmento AB, se representa por . a >0 ; es un número siempre positivo o cero.
Módulo de un vector a partir de sus componentes a = <x , y>
| a | = √x2 + y2 Componente x Componente y
Módulo a partir de las coordenadas de los puntos A = (x1 , y1) y B = (x2 , y2)
| a | = √ (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

3. Operaciones entre Vectores
Suma a + b Resta a - b Producto escalar entre vectores a.
b
Producto de un escalar por un vector α . a
Propiedades de Vectores
a
µ
a= aµ
ˆ
-a
Opuesto
Nulo 0 = a + (- a )
a
Vector unitario μ=
a

4. Suma geométrica de Vectores a c
b
Método Paralelogramo
c
a +b b
a
b r=
r
Ley del polígono
a
Los vectores a y b se desplazan paralelamente para encontrar el vector suma
¿Como se explica esta regla?

5. Vectores Unitarios en el plano
Y
ˆ
j
Vector unitario en la
dirección del eje Y
X
ˆ
i
Vector unitario en la dirección del eje X

6. z
Cosenos directores
az
Vectores unitarios en el
espacio
z θ
a ay
ϕ Y
ˆ
ax
k x    
A = Ax i + Ay j + Az k

A = A = Ax + Ay + Az2
2 2
ˆ
i Ax = A cos ϕ sen θ
ˆ
j Y
Ay = Asenϕ sen θ
Az = A cos θ
x

7. 
Ejercicios: Dados los vectores A = 3ˆ + 3ˆ − 5k
i j ˆ

Determine : B = 4ˆ + 5ˆ − 3k
i j ˆ
a) a . b
b) a x b
Ejercicio: Dados los vectores a = 3ˆ + 8ˆ + 5k
i j ˆ
Determínese la suma de los siguientes vectores
b = -5ˆ + 2ˆ − 3k
i j ˆ
c = 4ˆ − 7ˆ − 2k
i j ˆ