Análisis de riesgos

UCEMA – ITBA MEP
Análisis de Riesgo en Evaluación de Proyectos
Simulación MonteCarlo
Alejandro Bustamante

 La Evaluación de Riesgos es la cuantificación
de la probabilidad de ocurrencia y del
impacto potencial de diferentes fuentes de
riesgo.
 El Análisis de Riesgos es el proceso de:
– identificación de fuentes de riesgo,
– evaluación cuantitativa y cualitativa del
riesgo,
– administración del riesgo,
– comunicación a las partes interesadas de la
evaluación hecha y las decisiones tomadas.

 Hay dos componentes que explican nuestra
incapacidad para predecir en forma precisa
un evento futuro:
 Riesgo: es un efecto aleatorio propio del
sistema bajo análisis. Se puede reducir
alterando el sistema.
 Incertidumbre es el nivel de ignorancia del
evaluador acerca de los parámetros que
caracterizan el sistema a modelar. Se puede
reducir a veces con mediciones adicionales o
mayor estudio, o consulta a expertos.
 La Variabilidad Total es la combinación de
riesgo e incertidumbre.

 Tanto el riesgo como la incertidumbre se
describen mediante distribuciones de
probabilidad.
 Por lo tanto, una distribucion de probabilidad
puede reflejar en parte el carácter estocástico
del sistema analizado y en parte la
incertidumbre acerca del comportamiento de
la variable.
 Los resultados que se obtengan de un
modelo de este tipo reflejaran la variabilidad
total: el efecto conjunto de riesgo e
incertidumbre.

Distribución de Probabilidad
 Una distribución de probabilidad describe el
rango de valores que puede tomar una
variable aleatoria y la probabilidad asignada
a cada valor o rango de valores.

Probabilidad: Frecuentista y Subjetiva
 Para eventos repetibles y medibles, la
probabilidad representa la frecuencia relativa
de ocurrencia de un evento.
 Para eventos que no son repetibles o
mensurables, la probabilidad es la expresión
del grado de creencia que tiene un individuo
acerca de la ocurrencia de un evento incierto.
Desde este punto de vista, las probabilidades
son en última instancia subjetivas por
naturaleza, y es posible que dos personas
asignen diferente probabilidad de ocurrencia
a un mismo evento.

 Separar el riesgo de la incertidumbre permite
entender qué pasos podrían tomarse que
sean más efectivos para reducir la
variabilidad total.
 Si una proporción importante de la
variabilidad total se debe a incertidumbre,
entonces nuestra estimación acerca del
futuro podría mejorarse recopilando mejor
información.
 Si una proporción importante de la
variabilidad total se debiera a riesgo, la única
manera de reducir la variabilidad total es
modificando el sistema analizado.

Administración del Riesgo
 Negociar las variables negociables
 Aumentar el compromiso
 Buscar más información
 Tomar precauciones adicionales
 Compartir el riesgo
 Transferir el riesgo
 Formular planes de contingencia
 No tomar medidas, asumir el riesgo
 Cancelar el proyecto
 Administración de portfolio

Presentación de modelos
Un modelo es una herramienta de análisis y de
comunicación. Como tal, debe ser entendido no solo
por quien lo diseñó sino también por terceros.
 1. Presentar claramente la estructura lógica y los
supuestos empleados.
 2. Incluír solamente las estadísticas indispensables.
 3. Usar gráficos para transmitir conceptos.
 4. Los resultados obtenidos deben responder a los
interrogantes planteados.
 5. No incluír en el informe más información que la
necesaria. Derivar los datos de apoyo a los Anexos.

Simulación MonteCarlo
 1. Diseñar el modelo lógico de decisión
 2. Especificar distribuciones de probabilidad para las
variables aleatorias relevantes.
 3. Incluír posibles dependencias entre variables.
 4. Muestrear valores de las variables aleatorias
 5. Calcular el resultado del modelo según los valores
del muestreo (iteración) y registrar el resultado
 6. Repetir el proceso hasta tener una muestra
estadísticamente representativa
 7. Obtener la distribución de frecuencias del resultado
de las iteraciones
 8. Calcular media, desvío y curva de percentiles
acumulados

Ley de los Grandes Números
(desigualdad de Tschebycheff)
 Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra,
mayor será el ajuste entre la distribución
muestral y la distribución teórica sobre la que
se basa la muestra.

Teorema Central del Límite (TCL)
 La media muestral de un conjunto de n
variables muestreadas en forma
independiente a partir de una misma
distribución f(x) se ajusta a una distribución
aprox. Normal con los siguientes parámetros:
x = Normal ( mu, sigma / n1/2 )
 En otras palabras, la distribución del
promedio de un conjunto de variables
aleatorias depende tanto de la cantidad de
variables aleatorias promediadas como de la
incertidumbre aportada por cada variable.

Teorema Central del Límite (cont.)
 La suma de n variables aleatorias
independientes da como resultado una
distribución aproximadamente Normal, sin
importar la forma de la distribución de las
variables sumadas (siempre y cuando no
haya una variable cuya contribución a la
variabilidad total sea dominante).
 El producto de n variables aleatorias
independientes da como resultado una
distribución aproximadamente Lognormal,
independientemente de la forma de la
distribución de las variables intervinientes.

Generación de valores muestrales
 Las computadoras son capaces de generar
números aleatorios entre 0 y 1.
 Los algoritmos para generar números
aleatorios comienzan con cualquier valor
entre 0 y 1. Todos los números aleatorios que
se generen a continuación dependerán de
este valor inicial (semilla).

 La función de Distribución Acumulada F(x) de
una variable aleatoria indica la probabilidad p
que la variable X tome un valor menor o igual
que x.
F(x) = p (X<=x)
A toda Función de Probabilidad Acumulada F(x)
le corresponde una Función Inversa
G (F(x)) = x
La Función Inversa indica los valores de x
asociados a distintos valores de F(x)

 Para generar un valor muestral a partir de
una distribución de probabilidad:
– 1. Se genera un número aleatorio entre 0 y
1 a partir de una distribución Uniforme
– 2. El valor obtenido se usa para alimentar
la ecuación correspondiente a la Función
Inversa de la distribución de probabilidad
muestreada, de modo de generar un valor
x para la variable aleatoria.

Métodos de Muestreo: MonteCarlo
 El muestreo MonteCarlo es totalmente
aleatorio.
 Esto implica que si el número de iteraciones
no es lo suficientemente elevado, es posible
que se sobremuestreen algunos segmentos
de la distribución que se quiere replicar y se
submuestreen otros segmentos.

Métodos de muestreo: Hipercubo Latino
 Es un método de muestreo estratificado sin
reemplazo (muestreo con memoria).
– 1. Se segmenta la distribución de
probabilidad acumulada F(x) en n
intervalos (donde n es el número de
iteraciones a realizar)
– 2. Se genera un número aleatorio que
corresponderá a un determinado segmento
de F(x).
– 3. Se genera un segundo número aleatorio
para determinar el punto preciso del
muestreo dentro de ese intervalo F(x).

Métodos de muestreo: Hipercubo Latino
– 4. Se calcula el valor de x correspondiente
a la Función Inversa G (F(x)).
– 5. Se repite el proceso en la segunda
iteración, pero descartando el segmento ya
muestreado.
– 6. Se repite el proceso hasta completar el
número de iteraciones de la muestra.

Intervalo de confianza para el resultado
esperado
 Para un tamaño de muestra n > 30 el
intervalo del resultado esperado es:
IC 100*(1-alfa) = x +/- t (alfa/2,n-1)*s/(n)1/2
t(alfa,n) es el valor de x tal que P(t>x)=alfa
x - t *s/(n)1/2 < x < x + t *s/(n)1/2

Tamaño de muestra necesario para lograr
estimaciones dentro de tolerancia
 Si la estimación del valor esperado debe
tener una precisión representada por una
tolerancia de desvío D en valor absoluto un
porcentaje 100*(1-alfa) de las veces,
entonces el tamaño de la muestra n
necesario es:
n = (zalfa/2)2 * (sigma)2 / (D) 2
zalfa = P (z>zalfa ) = alfa

Distribuciones de Probabilidad
 Fuentes de información para cuantificar la
incertidumbre en variables aleatorias:
– 1. Series de datos
– 2. Opinión de expertos
 Cuando se procura caracterizar a una
variable aleatoria a partir de los datos
disponibles se parte del supuesto que los
datos observados son una muestra aleatoria
de una distribución de probabilidad que
trataremos de identificar.

Discretas
 Una variable aleatoria representada mediante
una distribución discreta de probabilidad
puede tomar un valor de entre un conjunto de
valores, cada uno de los cuales tiene
asignada una determinada probabilidad de
ocurrencia.
 Ejemplos: Binomial, Geométrica, Poisson,
Discreta.

Continuas
 Una variable aleatoria representada mediante
una distribución continua de probabilidad
puede tomar cualquier valor dentro de un
rango determinado.
 Ejemplos: Normal, Lognormal, Uniforme,
Triangular, Histograma

No Limitadas
 La variable aleatoria puede tomar valores entre +infinito
y -infinito.
 Ejemplos: Normal, Logística
Limitadas
 Los valores de la variable aleatoria quedan confinados
entre dos valores extremos.
 Ejemplos: Binomial, Beta, Uniforme, Triangular,
Histograma
Parcialmente Limitadas
 Los valores de la variable aleatoria quedan limitados en
uno de los extremos de la distribución.
 Ejemplos: Poisson, Exponencial

Paramétricas
 La distribución de probabilidad se ajusta a la
descripción matemática de un proceso
aleatorio que cumple con determinados
supuestos teóricos.
 Los parámetros que definen la distribución en
general no guardan relación intuitiva con la
forma de la distribución.
 Ejemplos: Normal, Lognormal, Exponencial,
Beta.

 Paramétricas (cont.)
 Son de aplicación cuando:
– 1. la teoría sobre la que se fundamenta
una determinada distribución es aplicable
al problema.
– 2. se acepta que esa distribución da un
buen ajuste de la variable aleatoria aunque
no haya una teoría para explicarlo.
– 3. la distribución se ajusta
aproximadamente a la opinión del experto
y no se requiere mucha precisión.

No Paramétricas
 Los parámetros que se usan para definir
estas distribuciones describen la forma de la
distribución.
 No se apoyan en una teoría que describa el
proceso de generación de valores aleatorios.
 Ejemplos: Triangular, Histograma, General,
Uniforme, Acumulada

 No Paramétricas (cont.)
 Estas distribuciones en general son más
útiles cuando se busca recabar la opinión
subjetiva de expertos, con las siguientes
excepciones:
 1. el experto puede estar muy familiarizado
con los parámetros que definen una
distribución paramétrica.
 2. a veces los parámetros de una distribución
paramétrica son intuitivos (p.ej. Binomial)

 Subjetivas
 El uso de estas distribuciones de
probabilidad es la única alternativa para
describir una variable aleatoria cuando:
 1. No hay una base de antecedentes.
 2. Los datos del pasado no son relevantes.
 3. Los datos son escasos y no cubren todo el
rango de posibles valores.
 4. Es demasiado caro generar datos.
 5. Generar valores llevaría demasiado tiempo

Subjetivas (cont.)
 En las estimaciones subjetivas hay dos
fuentes de incertidumbre:
– Variabilidad asociada a la variable
aleatoria en sí .
– Incertidumbre asociada a la falta de
conocimiento sobre el comportamiento de
la variable.
 La distribución subjetiva especificada agrega
ambas fuentes de incertidumbre

Distribuciones de probabilidad a partir
de Opinión de expertos
Una técnica básica para obtener distribuciones
subjetivas consiste en desagregar el
problema en las variables que lo componen:
 pone en evidencia la estructura lógica del
problema de decisión
 las variables del problema son algo más
tangible de estimar que el resultado.
 la desagregación facilita el reconocimiento de
dependencias entre componentes del
problema.

Distribuciones a partir de Opinión de expertos
Desagregación (cont.)
 el análisis de riesgo es menos dependiente
de las estimaciones hechas para cada
componente
 la estimación de la distribución del resultado
del modelo a partir de la agregación de los
componentes será más precisa que lo que
podría haber sido de tratar de estimarla
directamente
 la agregación tendrá en cuenta los efectos
del TCL en forma automática.

Uniforme
 Todos los valores dentro del rango factible
tienen la misma densidad de probabilidad.
 Parámetros : Uniform (min,max)
 Aplicaciones: U(0,1) se usa en la generación
de los valores de todas las demás
distribuciones de probabilidad en el muestreo
aleatorio.
 Es una aproximación muy cruda para usar
como estimación de la incertidumbre
percibida de un parámetro

Triangular
 Aplicaciones: estimar subjetivamente la
distribución de la variable aleatoria cuando
todo lo que puede precisarse de la misma es
el valor mínimo, el valor más probable y el
valor máximo.
 Parámetros: Triang (min, +prob, max)

Triangular (cont.)
 Sus propiedades estadísticas se derivan de
su forma, no de una teoría subyacente.
 Es de definición intuitiva y de gran flexibilidad
en cuanto a geometrías posibles.
 La forma de la distribución usualmente lleva
a sobreestimar la densidad de las colas y a
subestimar la densidad en el “tronco” de la
distribución.
 Se pueden definir el valor mínimo y el valor
máximo como umbrales de ocurrencia
práctica. En vez de tomarlos como valores
absolutos, se los toma como percentiles,
dejando “abiertas las colas”.

Histograma
 Aplicaciones: representar la forma de la
distribución de una serie de datos o la
opinión de un experto acerca de la forma de
la distribución de una variable.
 Parámetros: Histogram (min, max, {pi}
 Todos los intervalos de la distribución tienen
el mismo “ancho”.

General
 Aplicaciones: reflejar la opinión de expertos.
Es la más flexible de las distribuciones
continuas. Es un histograma “estilizado”.
 Parámetros: General (min, max, {xi} , {pi}
 Es posible, aunque no es recomendable,
especificar intervalos de distinto “ancho”.

Acumulada
 Aplicaciones: recabar opinión de expertos.
 Parámetros: Cumulative ({xi},{Pi},min,max)
 Puede ser de utilidad cuando se procura
estimar una variable cuyo rango cubre varios
órdenes de magnitud.
 Desventajas: insensibilidad de la escala de
probabilidades. Es más facil representar la
variabilidad que se quiere reflejar cuando se
trabaja con distribuciones de frecuencia
relativa.

BetaPert
 Es una versión de la distribución Beta que
usa los mismos supuestos acerca de la
media de una variable aleatoria que las redes
PERT.
 Parámetros: BetaPert (a,b,c)

BetaPert (cont.)
 1. La media de una distribución BetaPert es
cuatro veces más sensible al valor medio que
a los valores extremos.
 2. El desvío standard de una distribución
BetaPert es menos sensible a los valores
extremos que la distribución Triangular.
El desvío standard de una distribución
BetaPert es sistemáticamente menor que
el de una Triangular, particularmente
cuando las distribuciones son sesgadas.

Discreta
Aplicaciones:
 1. Describir una variable aleatoria que puede tomar
uno de entre un conjunto de valores discretos.
 2. Describir probabilidades condicionales para
distintos estados de la naturaleza, donde cada
estado de la naturaleza tiene una probabilidad de
ocurrencia p.
 3. Armar distribuciones de probabilidad compuestas
a partir de la opinión de dos o más expertos, donde a
la opinión de cada experto se le otorga una
ponderación p.
 Parámetros: Discrete ({xi},{pi}

Obtención de distribuciones de probabilidad a
partir de opiniones diferentes
 Definir una distribución Discreta donde {xi}
representa la opinión de los expertos y {pi} es
la ponderación asignada a cada opinión.
Enfoques incorrectos:
 Tomar la opinión más conservadora (no se
usa toda la información disponibles, se
genera una distribución sesgada)
 Promediar los valores de las opiniones: se
subestima la variabilidad (recordar TCL)

Series de datos: Selección de Distribuciones
 1. ¿Se trata de una variable discreta o
continua?
 2. ¿Es realmente necesario ajustar los datos
a una distribución de probabilidad teórica?
 3. ¿Hay correspondencia entre el rango
teórico de la variable y la distribución a
ajustar?

Distribuciones empíricas: variables Discretas
 1. Si la cantidad de datos no es muy elevada, la
frecuencia de datos para cada valor de x puede ser
usada directamente para definir una distribución
Discreta.
 2. Si hay muchos datos, es más fácil ordenar los
datos en forma de histograma y definir entonces una
distribución Acumulada con parámetros {xi} , {F(xi)} ,
min , max
 Se puede reintroducir el caracter discreto de la
variable incluyendo la distribución Acumulada dentro
de una función ROUND (redondeo)

Distribuciones empíricas: variables Continuas
 1. Se plotea la frecuencia acumulada de los datos
observados.
 2. Se hace un ranking de los datos en orden
ascendente.
 3. Se estima un mínimo y un máximo en forma
subjetiva.
 4. Se calcula la probabilidad acumulada para cada
valor de x según la fórmula:
F(xi) = i / (n+1)
i = rango del dato observado
n = cantidad de datos observados
 {xi} , {F(xi)} , min , max serán parámetros que se usen
para definir una distribución Acumulada

Procesos estocásticos
 Un proceso estocástico es un sistema de
eventos que se pueden contar,
en el que los eventos ocurren de acuerdo a
un proceso aleatorio bien definido.

Distribuciones de probabilidad para
Procesos Discretos
 Un Proceso Discreto se caracteriza por una
probabilidad p de ocurrencia de un evento discreto en
cada prueba.
Una vez que se tiene una estimación de p, se pueden
estimar:
 1. Distribución de la cantidad s de ocurrencia de un
evento en n pruebas: Binomial (n,p)
 2. Distribución de la cantidad de pruebas hasta que
ocurra un evento por primera vez :1 + Geométrica (p)
 3. Distribución de la cantidad de pruebas hasta que
ocurran s eventos: s + Negbin (s,p)

Procesos Discretos
 Para que las distribuciones de probabilidad
mencionadas sean de aplicación se debe
cumplir el supuesto que el sistema a estudiar
tiene las características de un Proceso
Binomial.
 Proceso Binomial: la probabilidad de
ocurrencia de un evento es constante e
independiente de la cantidad o proximidad en
el tiempo de eventos ya ocurridos.

Beta
 Aplicaciones: estimar la probabilidad de
ocurrencia p de un evento, a partir de la
observación de s eventos en n pruebas.
 Parámetros: Beta (alfa1,alfa2)
alfa 1 : s+1 alfa2: n-s+1
 La distribución Beta puede tomar muchas
formas, según los valores de alfa1 y alfa2.
 A medida que aumenta n, se gana precisión
en la estimación de p (la distribución de p se
comprime)

Dada la gran variedad de formas que puede
asumir según los valores asignados a los
parámetros, la distribución Beta también se
usa para describir datos empíricos.
 Si los valores de ambos parámetros son
iguales, Beta es simétrica.
 Si alfa1 es menor que alfa2, la distribución
está sesgada hacia la derecha.
 Si alfa1 es mayor que alfa2, la distribución
está sesgada hacia la izquierda

Binomial
 Aplicaciones: estimar la distribución de la
cantidad s de ocurrencias de un evento en n
pruebas, cuando hay una probabilidad p de
ocurrencia del evento en cada prueba.
 Parámetros: Binomial (n,p)
 Para n>30 o cuando p es alta, la distribución
Binomial puede ser aproximada por una
distribución Normal ((np),(npq)1/2).

Condiciones subyacentes a una
distribución Binomial
 En cada prueba sólo hay dos resultados
posibles
 Las pruebas son independientes (lo que
ocurre en la primera prueba no afecta a la
segunda, y sucesivamente).
 La probabilidad de ocurrencia del evento se
mantiene constante a través de las pruebas
(no hay un proceso de aprendizaje)

Geométrica
 Aplicaciones: estimar la cantidad n de
pruebas necesarias hasta la ocurrencia del
primer evento, cuando la probabilidad p de
ocurrencia de un evento se mantiene
constante en el tiempo.
 Parámetros: n = 1 + Geometric (p)
 La distribución Geométrica es análoga a la
distribución Exponencial: Geométrica se
aplica a variables discretas, Exponencial se
aplica a variables continuas.

Condiciones subyacentes de una
distribución Geométrica
 La cantidad de eventos no está prefijada.
 Se continúa con las pruebas hasta lograr el
primer éxito.
 La probabilidad de éxito p es constante a
través de las pruebas.

Binomial Negativa
 Aplicaciones: estimar la distribución de la
cantidad n de pruebas hasta que ocurran s
eventos, cuando la probabilidad p de
ocurrencia de un evento es constante en el
tiempo.
 Parámetros: n = s + Negbin (s,p)
s es el parámetro que le da la forma a la
distribución.

distribución Binomial Negativa
 La cantidad de pruebas no está prefijada.
 Se continúa con las pruebas hasta que se
observa la cantidad de eventos (s) buscada.
 La probabilidad de éxito p es constante de
prueba a prueba.

Distribución Hipergeométrica
 Al igual que la distribución Binomial, esta
distribución describe la cantidad de
ocurrencias de un evento en una cantidad de
pruebas.
 La diferencia con la distribución Binomial es
que a medida que se avanza con las pruebas
cambia la probabilidad de ocurrencia del
evento: pruebas sin reemplazo.

distribución Hipergeométrica
 La cantidad total de elementos de una
población es finita.
 La muestra representa una porción de la
población.
 La probabilidad de ocurrencia del evento en
la población es conocida y cambia
ligeramente luego de cada prueba.

Procesos Continuos
 Un Proceso Continuo se caracteriza por un
Intervalo Medio de Tiempo entre Eventos
(beta).
 Una vez que se tiene una estimación de beta,
se puede estimar también:
 1. Distribución de la cantidad de eventos por
unidad de tiempo: Poisson (lambda)
 2.Distribución de Tiempo hasta la ocurrencia
del próximo evento: Exponencial (beta)
 3. Distribución de Tiempo hasta que ocurran
n eventos: Gamma (n, beta)

Procesos Continuos (cont.)
 Para que estas distribuciones sean aplicables
se debe cumplir el supuesto que el sistema
estudiado tiene las características de un
Proceso tipo Poisson.
 Proceso tipo Poisson: la probabilidad de
ocurrencia de un evento por unidad de
exposición es constante e independiente de
la cantidad o proximidad de eventos
ocurridos.
 La unidad de exposición puede ser cualquier
variable continua (tiempo, distancia, etc)

Estimación del Intervalo Medio de
Tiempo entre Eventos (beta)
 beta es el intervalo de exposición promedio
entre n eventos observados.
 El verdadero valor de beta puede ser
estimado a partir de n eventos observados
valiéndose del TCL:
 beta = Normal (t,sigma/(n-1)1/2)
t = promedio de los n-1 intervalos contiguos
sigma = desvío standard de los ti intervalos.
 La precisión de la estimación de beta
aumenta a medida que aumenta n.

Poisson
 Aplicaciones: estimar la cantidad N de
ocurrencias de un evento en un intervalo de
tiempo T cuando el tiempo medio entre
eventos sucesivos (beta) se ajusta a un
proceso tipo Poisson.
 Parámetros: N = Poisson (lambda * t)
lambda = 1 / beta
 Lambda se puede interpretar como la
cantidad promedio de ocurrencias del evento
por unidad de exposición.

Condiciones subyacentes a una
distribución Poisson
 La cantidad de eventos por unidad de
exposición no está limitada a un valor
discreto.
 Los eventos son independientes entre sí (el
número de eventos en un intervalo de
exposición no afecta al número de eventos
en otro intervalo de exposición).
 La cantidad promedio de eventos se
mantiene constante de intervalo a intervalo.

Exponencial
 Aplicaciones: estimar la distribución del
(tiempo) entre ocurrencias sucesivas de un
evento que tiene una probabilidad de
ocurrencia p constante por unidad de
(tiempo).
 Parámetros: Expon (beta)
 Si la probabilidad p de ocurrencia del evento
es constante a través del tiempo, la
estimación del tiempo que medie hasta la
ocurrencia del próximo evento es
independiente del tiempo que haya
transcurrido desde la última ocurrencia.

Gamma
 Aplicaciones: estimar la distribución del
tiempo requerido para la ocurrencia de alfa
eventos, cuando los eventos se ajustan a un
Proceso tipo Poisson con tiempo medio de
ocurrencia entre eventos beta.
 Esta distribución se usa bastante en
meteorología, seguros y teoría de colas.
 Parámetros: Gamma (alfa, beta)

distribución Gamma
 La cantidad de posibles ocurrencias de un
evento en cualquier unidad de medida no
está limitada a valores discretos.
 La ocurrencia de los eventos es
independiente entre sí.
 La cantidad promedio de ocurrencias del
evento se mantiene constante entre
intervalos sucesivos.

Patrones lógicos comunes
a Procesos Discretos y Continuos
 En un Proceso Binomial, el parámetro descriptivo
clave es p, probabilidad de ocurrencia del evento en
cada prueba, que se asume constante para todas las
pruebas
 En un proceso Poisson, el parámetro descriptivo
clave es lambda (cantidad media de eventos que
ocurren por unidad de exposición) que se asume es
constante sobre el período total de exposición.

Weibull
 La distribución Weibull (alfa,beta) asume que la
probabilidad p de ocurrencia del evento cambia
con el transcurso del tiempo.
– alfa = 1 probabilidad constante (Exponencial)
– alfa > 1 probabilidad creciente
– alfa < 1 probabilidad decreciente.
alfa es el parámetro de forma, beta es el parámetro de
ubicación.
El parámetro beta permite representar una distribución
exponencial con valor mínimo distinto de 0.

Normal
 Aplicaciones: una variedad de situaciones,
como se desprende del Teorema Central del
Límite.
 Es útil en finanzas pues la suma o diferencia
de distribuciones Normales resulta también
en una distribución Normal con parámetros
que pueden ser determinados a partir del
TCL.
 Parámetros: Normal (mu,sigma)

Estimación subjetiva de los parámetros
de una Normal
• Media: Valor más probable
• Desvío: el intervalo +/- 2*sigma contiene el
95% de los valores, por lo tanto:
Sigma: (máximo - más probable) / 2
• La distribución Normal se extiende de -inf a
+ inf, aunque si CV<1/3 la probabilidad de
que ocurra un valor negativo es menor que
0.14%.

Lognormal
 Aplicaciones: modelizar variables que son el
producto de una cantidad de otras variables
aleatorias que ocurren naturalmente.
Generalmente brinda una buena
representación de variables que se extienden
de 0 a +inf y que tienen un sesgo positivo.
 Parámetros: Lognormal (mu,sigma)
Se usan como parámetros la media aritmética y
el desvío standard de los datos disponibles.

distribución Lognormal
 La variable aleatoria puede tomar valores
que aumentan sin límites pero no puede
tomar valores negativos.
 La variable aleatoria tiene un sesgo positivo
(modo < media) con la mayor parte de los
valores cerca del límite inferior.
 El logaritmo natural de la variable se ajusta a
una distribución Normal.

Pareto
 Aplicaciones: modelar cualquier variable que
tenga un valor mínimo (que también es el
más probable) para la cual la densidad de
probabilidad decrece geométricamente hacia
cero.
 Parámetros : Pareto (tita, a)
a = valor mínimo y modal

Valor Extremo (Gumbel)
 Se usa para describir valores extremos de
una variable en un período de tiempo
(caudales, precipitaciones, fuerza de rotura
de materiales, etc).
 Parámetros : modo, parámetro de escala.
 Los datos usados para ajustar los parámetros
de la distribución pueden provenir de una
submuestra de tamaño 2 x (n)1/2 que incluya
los valores de un extremo de la muestra.

Ajuste de los datos a una distribución teórica
Los parámetros de la distribución que permitan
lograr el mejor ajuste a los datos se determinan
usualmente mediante alguno de los siguientes
dos métodos:
 1. Estimadores de Máxima Verosimilitud:
maximizan la probabilidad que la distribución
definida con estos parámetros sea capaz de
generar los datos observados.
 2. Minimización de las diferencias absolutas
entre los valores de probabilidad acumulada
observados y los derivados de la distribucón
teórica (usando programas de optimización)

Indicadores de Bondad de Ajuste
Los indicadores estadísticos de Bondad de
Ajuste más usados son 3:
 1. Para distribuciones discretas y continuas,
tanto numéricas como no numéricas: Chi
cuadrado. Es el indicador menos potente.
 2. Para distribuciones continuas:
Kolmogorov-Smirnov (K-S). No es muy
sensible para detectar discrepancias en las
colas de la distribución.
 3. Anderson-Darling (versión sofisticada de
K-S), pone más énfasis en las colas.

Indicadores de Bondad de Ajuste
 Cuanto menor sea el valor de cada indicador,
mayor será el ajuste aparente entre la
distribución teórica y los datos observados.
 Los valores standard de K-S y A-D son de
uso limitado para comparar valores críticos
cuando hay menos de 30 observaciones.
Esto se puede corregir usando K-S y A-D
modificados.
 Hay muchas distribuciones que tienen
formas similares y que pueden ser
capaces de generar los datos observados.

Dependencia y Correlación
 Una relación de Dependencia ocurre cuando
el valor muestreado de una variable
(independiente) tiene una relación estadística
que determina aproximadamente el valor que
va a ser generado para la otra variable
(dependiente).
 La diferencia principal entre Dependencia y
Correlación es que la primera presupone una
relación causal, mientras que la segunda no
(puede haber un factor externo que afecta a
ambas variables).

Correlación Lineal (Pearson)
 El coeficiente r da una medida de la
covarianza entre dos conjuntos de datos.
 r puede tomar valores desde -1 a +1
 Al dividir por los desvíos standard de cada
conjunto de datos se logra un índice de
covarianza que no depende de las unidades
de medida en que están expresados los
datos.
 Supuestos: la relación entre variables es de
tipo lineal.

Correlación por orden de rango
(Spearman)
 Es un método no paramétrico para cuantificar la
relación entre variables.
 r puede tomar valores desde -1 a +1
 Ventajas:
– 1. Las variables se correlacionan de acuerdo al
rango de valores generados en cada distribución.
Esto significa que todas las distribuciones
correlacionadas preservan su forma original.
– 2. Como no depende de supuestos acerca de la
relación matemática de las variables a
correlacionar, puede ser aplicable a cualquier tipo
de relación entre distribuciones (lineal, no lineal).

 El coeficiente de correlación de Pearson
mide la intensidad de la relación lineal entre
variables.
 Si dos variables aleatorias no tienen la
misma distribución de probabilidad, es
improbable que se relacionen en forma lineal,
por lo que el coeficiente de correlación tendrá
poco significado.
 Si se toman los valores según rangos y no
según valores absolutos, el coeficiente de
correlación así calculado tiene sentido
incluso para variables con diferentes
distribuciones.

Desventajas de correlacionar variables
mediante el coeficiente Spearman
 1. Es difícil estimar el coeficiente de
correlación entre dos distribuciones de
formas diferentes.
 2. El mismo coeficiente de correlación puede
resultar en diferentes gráficos de puntos para
diferentes distribuciones correlacionadas.
Esto puede ser aún más marcado si las
distribuciones a correlacionar son diferentes.

Recomendaciones respecto al uso de
coeficientes de correlación de Spearman
 1. Usar estos coeficientes para correlacionar
variables que tengan un impacto menor sobre los
resultados del modelo.
 2. Tratar de restringir su uso a correlacionar
distribuciones de geometría similar.
 3. Si se correlacionan distribuciones de geometría
diferente, antes de aceptar el coeficiente observar el
gráfico de puntos resultante.
 4. Evitar correlacionar distribuciones cuando no haya
una razón lógica que permita suponer una
correlación.

Matrices de Correlación
 Permiten correlacionar varias distribuciones
de probabilidad mediante coeficientes de
Spearman.
 Como la fórmula de los coeficientes de
correlación por orden de rango es simétrica,
los elementos de la matriz son simétricos
alrededor de la diagonal.
 Tiene que haber una cierta lógica en los
coeficientes ingresados (p.ej. condición
transitiva)

Efectos de la correlación sobre los
resultados del modelo
El efecto es función de:
 Relación entre las variables correlacionadas
y el resultado.
 Forma de las distribuciones correlacionadas.

Efecto de la correlación sobre el
resultado de la Suma de dos variables
correlacionadas (modelos aditivos)
 El valor esperado del resultado no se ve
afectado por la presencia de correlación.
 El desvío standard del resultado aumenta a
medida que aumenta r (si las variables
correlacionadas “tiran” el resultado para el mismo
lado).

Efecto de la correlación sobre el resultado
del producto de dos variables
correlacionadas (modelos multiplicativos)
 El valor esperado del resultado aumenta a
medida que aumenta r (toda la distribución se
desplaza hacia la derecha a medida que
aumenta r).
 No se pueden hacer generalizaciones
respecto al desvío standard, aunque en
general aumenta a medida que aumenta r.

Coeficientes de correlación a partir de la
opinión de expertos
 1. Determinar la lógica de la relación entre
las variables a correlacionar
 2. Determinar cuál es la variable
independiente
 3. Definir la distribución de la variable
independiente
 4. Seleccionar varios valores de la variable
independiente (incluyendo mínimo, máximo y
al menos otros dos puntos relevantes)

Coeficientes de correlación a partir de la
opinión de expertos (cont.)
 5. Preguntar al experto por algunos valores de
interés de la variable dependiente (mínimos,
máximos, más probable) que estima se
corresponderían con cada valor de la variable
independiente.
 6. Plotear estos valores y encontrar las
ecuaciones que unan cada conjunto de valores.
 7. Usar estas ecuaciones en una distribución
Triangular o BetaPert para definir la variable
dependiente.

Determinación de la contribución
relativa de cada variable a la variabilidad
del resultado
 Los coeficientes de correlación entre el
resultado y las variables dan una idea de la
influencia de cada variable, pero no
cuantifican esta influencia.

 Si el modelo es aditivo, la contribución
relativa de cada variable a la variabilidad total
puede estimarse de la siguiente manera:
– 1. Calcular el coeficiente de correlación
entre cada variable y el resultado.
– 2. Calcular la suma de estas correlaciones.
– 3. Dividir cada coeficiente por la suma.
Las fracciones resultantes representan
aproximadamente la contribución relativa
de cada variable a la variabilidad total.

 Cuando el modelo no es aditivo y/o las variables
no son independientes:
– 1. Correr una simulación inicial, con todas las
variables especificadas.
– 2. Correr luego varias simulaciones, en cada una de
las cuales se “congela” una variable en su valor
esperado.
– 3. Anotar el desvío standard del resultado de cada
simulación.
– 4. Calcular la reducción en la variabilidad del
resultado para cada simulación en la cual se haya
“congelado” una variable.
– 5. Normalizar dividiendo el valor absoluto de la
reducción por la suma de todas las reducciones. Las
fracciones resultantes darán una estimación de la
contribución porcentual de cada variable a la

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