Unefm Ciencias de la Salud Ingeniería Biomédica

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA CIENCIAS DE LA SALUD
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
PROGRAMA: INGENIERIA BIOMEDICA
UNIDAD CURRICULAR: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I
PROF. RAMÓN A. ORTEGA E.
UNIDAD II: INFERENCIA ESTADÍSTICA
TEMA II: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Las poblaciones, en las últimas décadas, son generalmente muy grandes como para ser
estudiadas en su totalidad; por lo que se debe estar consciente que su tamaño requiere que
se seleccionen muestras, las cuales se pueden utilizar después para hacer inferencias sobre
las poblaciones, es decir, estimar el valor de un parámetro poblacional usando los
estadísticos de una muestra, los estadísticos de una muestra son estimaciones –cálculos
que solo caen cerca del valor del parámetro poblacional verdadero-.
En este tema se desarrollara los conceptos básicos de estimación de parámetros mediante
la especificación de las propiedades deseables de los estimadores (estadísticas) y el
desarrollo técnicas adecuadas para implementar el proceso de estimación. A continuación,
algunos conceptos básicos:
Parámetro: Una parámetro es una medida usada para describir alguna característica de una
población que sea medible, tal como una media aritmética, una mediana o una desviación
estándar de una población.
Estadístico: Un estadístico es una medida usada para describir alguna característica de solo
una muestra, tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar de
una muestra.
Estimación: La estimación consiste en la búsqueda de uno o varios parámetros de una
población entre la que se ha efectuado un muestreo.

2. Intervalos de Confianza: El intervalo de confianza es el rango de valores posibles de un
parámetro expresado con un grado específico de confianza.
Estimador insesgado: se dice que un estadístico 𝛩
̂ es un estimador insesgado del parámetro
θ si 𝝁𝜣
̂ = 𝑬(𝜣
̂) = 𝜽
Estimaciones consistentes: un estimador es consistente cuando tiende a tener una
probabilidad mayor de acercarse al verdadero valor del parámetro poblacional a medida
que crece el tamaño de la muestra.
Estimador eficiente: Si consideramos a estadísticos como estimadores de un mismo
parámetro, aquel cuya distribución muestral tengo un menor error típico, diremos que es
un estimador más eficiente que el otro.
Si las distribuciones muéstrales de dos estadísticos tienen la misma media, el estadístico
que tenga menor varianza, lo llamaremos estimador eficiente de la media, mientras que el
otro será un estimador no eficiente.
Estimador suficiente: decimos que un estimador es suficiente respecto de un parámetro,
cuando todas las observaciones correspondientes a dicho parámetro, son tomadas en
cuenta en la muestra.
Decimos que un estadístico es un estimador suficiente de un parámetro, cuando agota toda
la información pertinente a dicho parámetro, de que se pueda disponer en la muestra.
Así la media muestral 𝑋
̅, es un estimador suficiente de la media poblacional µ, porque toma
en cuenta todos los valores de las observaciones muéstrales.
La teoría de la inferencia estadística consiste en aquellos métodos por los que se realizan
inferencias o generalizaciones acerca de una población. La tendencia actual es la distinción
entre el método clásico de estimación de un parámetro de la población, mediante el cual
las inferencias se basan estrictamente en información obtenida de una muestra aleatoria
seleccionada de la población. Los métodos clásicos se emplearan para estimar los
parámetros de la población desconocidos, como la media, proporción y varianza. Existen
dos formas de llevar a cabo lo anterior: la estimación puntual y la estimación por intervalo.

3. TIPOS DE ESTIMACIÓN:
1.- ESTIMACIÓN LOCAL O PUNTUAL:
Una estimación puntual de algún parámetro de la población θ es un solo valor de 𝜃
̂ de un
estadístico. Por ejemplo, el valor 𝑥̅ del estadístico 𝑋
̅, que se calcula a partir de una muestra
de tamaño n, es una estimación puntual del parámetro poblacional μ. De manera𝛩
̂ similar,
𝑝̂ = 𝑥 𝑛
⁄ es una estimación puntual de la verdadera proporción p para un experimento
binomial.
Supóngase que la VAX tiene una distribución normal con media no conocida μ, la media
muestral 𝑋
̅ es un estimador puntual de la media no conocida μ de la población. Después de
tomar la muestra, el valor numérico 𝑋
̅ es la estimación puntual de μ.
Ejemplo: sea 𝑥1 = 25; 𝑥2 = 30; 𝑥3 = 29; 𝑥4 = 31
𝒙
̅ = ∑
𝒙𝒊
𝒏
=
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝒏
𝒏
𝒊=𝟏
𝑥̅ = ∑
𝑥𝑖
𝑛
=
25 + 30 + 29 + 31
4
4
𝑖=1
=
115
4
= 28.75
X = 28.75, es la estimación puntual de μ. 𝝁 = 𝟐𝟖. 𝟕𝟓
Si la varianza poblacional σ2 es desconocida, un estimador puntual es S2 y la estimación
puntual es S2 cuyo valor numérico será S2 = 6.92
𝑺𝟐
= ∑
(𝒙𝒊 − 𝒙
̅)𝟐
𝒏 − 𝟏
=
(𝒙𝟏 − 𝒙
̅)𝟐
+ (𝒙𝟐 − 𝒙
̅)𝟐
+ ⋯ + (𝒙𝒏 − 𝒙
̅)𝟐
𝒏 − 𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
𝑆2
= ∑
(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2
𝑛 − 1
=
(25 − 28.75)2
+ (30 − 28.75)2
+ (29 − 28.75)2
+ (31 − 28.75)2
4 − 1
4
𝑖=1
= 6.92
2.- ESTIMADOR POR INTERVALO
En muchas situaciones, un estimador puntual no proporciona mucha información suficiente
sobre un parámetro, por ejemplo, se desea estimar el número de desertores de un curso
de matemática, es probable que un solo número no sea tan representativo como un

4. intervalo, dentro del cual se desea encontrar el valor de este parámetro. A este tipo de
intervalo se le denomina Intervalo de Confianza.
Una estimación por intervalo es un parámetro desconocido θ es un intervalo de la
forma 𝜽
̂𝑳 < 𝜽 < 𝜽
̂𝑼, donde 𝜃
̂𝐿 y 𝜃
̂𝑈 dependen del valor del estadístico 𝛩
̂. Las cantidades
𝜃
̂𝐿 y 𝜃
̂𝑈 reciben el nombre de límite de confianza inferior (𝜃
̂𝐿) y superior (𝜃
̂𝑈).
Como muestras distintas, por lo general, darán valores diferentes de 𝛩
̂ y, por lo tanto,
valores diferentes de 𝜃
̂𝐿 y 𝜃
̂𝑈, estos puntos extremos del intervalo son valores de las
variables aleatorias correspondientes 𝛩
̂𝐿 y 𝛩
̂𝑈. De la distribución muestral de 𝛩
̂ seremos
capaces de determinar 𝛩
̂𝐿 y 𝛩
̂𝑈, de manera que 𝑃(𝛩
̂𝐿 < 𝜃 < 𝛩
̂𝑈) sea igual a algún valor
fraccional positivo que queramos especificar. Si, por ejemplo, encontramos 𝛩
̂𝐿 y 𝛩
̂𝑈 tales
que
𝑷(𝜣
̂𝑳 < 𝜽 < 𝜣
̂𝑼) = 𝟏−∝
para 0 < ∝ < 1, tenemos entonces una probabilidad de 1− ∝ de seleccionar una variable
aleatoria que produzca un intervalo que contenga 𝜃, el intervalo 𝜃
̂𝐿 < 𝜃 < 𝜃
̂𝑈, que se
calcula a partir de la muestra seleccionada, se llama entonces intervalo de confianza de
(1− ∝)100%, la fracción 1− ∝ se llama coeficiente de confianza o grado de confianza y
los extremos 𝜃
̂𝐿 y 𝜃
̂𝑈, se denominan límites de confianza inferior y superior.
De tal forma que cuando ∝ = 0.05, se tiene un intervalo de confianza del 95% y cuando ∝
= 0.01 se tiene un intervalo de confianza del 99%. Entre más amplio sea el intervalo de
confianza, se tiene más seguridad de que el mismo contenga el parámetro desconocido. Por
ejemplo:
𝟏− ∝ ∝ ∝ 𝟐
⁄ 𝟏 − ∝ 𝟐
⁄ 𝒁𝟏−∝ 𝟐
⁄
0.99 0.01 0.005 0.995 2.575
0.98 002 0.01 0.99 2.33
0.95 0.05 0.025 0.975 1.96
0.90 0.1 0.05 0.95 1.645

5. Los valores de 𝒁𝟏−∝ 𝟐
⁄ se encuentran en la tabla de distribución normal de Walpole, Myers
(2007) pág. 751. Probabilidad y Estadística.
MÉTODOS PARA ENCONTRAR INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MEDIA, VARIANZAS Y
PROPORCIONES.
Intervalo de confianza para  cuando se muestrea una distribución normal con varianza
conocida.
Si 𝑋
̅ es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con
tamaño conocido σ2, un intervalo de confianza para μ de (1− ∝)100%, está dada por:
𝑿 ~ 𝑵(𝝁, 𝝈𝟐) → 𝑿
̅ ~ 𝑵 (𝝁, 𝝈𝟐
𝒏
⁄ ), 𝒁 =
(𝒙− 𝝁)
𝝈
√𝒏
⁄
→ 𝒁 ~ 𝑵(𝟎, 𝟏)
Intervalo de Confianza:
𝑷 {𝑿
̅ − 𝒁(𝟏−𝜶
𝟐
⁄ ) (
𝝈
√𝒏
) ≤ 𝝁 ≤ 𝑿
̅ + 𝒁(𝟏−𝜶
𝟐
⁄ ) (
𝝈
√𝒏
)} = 𝟏−∝
donde;
𝑿
̅: media muestral;
𝝁: media poblacional;
𝝈: desviación poblacional;
𝒁(𝟏−𝜶
𝟐
⁄ ): distribución normal estándar;
𝒏: tamaño de la muestra.
Si 𝑥̅ se usa como estimación de µ, podemos tener (1− ∝)100% de confianza de que el
error no excederá una cantidad específica 𝜀 cuando el tamaño de la muestra sea
𝑛 = (
𝑍1−∝ 2
⁄ 𝜎
𝜀
)
2

6. Ej. Se calcula que los promedios en las calificaciones de una muestra aleatoria de 36
alumnos universitarios del último año es 15.7. Encuentre el intervalo de confianza del 95%
para la media del total de alumnos del último año. Asuma que la desviación estándar de la
población es 0,3.
Solución:
𝑛 = 36; 𝑋
̅ = 15.7; 𝜎 = 0.3; Intervalo de confianza del 95% para la µ=?
(1− ∝) = 0.95; ∝ = 0.05, ∝ 2
⁄ = 0.025, (1 − ∝ 2
⁄ ) = 0.975 → 𝑍(1−∝ 2
⁄ ) = 1.96
𝑷 {𝑿
̅ − 𝒁(𝟏−𝜶
𝟐
⁄ ) (
𝝈
√𝒏
) ≤ 𝝁 ≤ 𝑿
̅ + 𝒁(𝟏−𝜶
𝟐
⁄ ) (
𝝈
√𝒏
)} = 𝟎. 𝟗𝟓
15.7 − 1.96 (
0.3
√36
) ≤ 𝜇 ≤ 15.7 + 1.96 (
0.3
√36
) → 15.602 ≤ 𝜇 ≤ 15.798
El intervalo de confianza para la media con el 95% de confianza con 𝜎 conocida es
15.602 ≤ 𝜇 ≤ 15.798
Intervalo de confianza para  cuando se muestrea una distribución
normal con varianza desconocida.
Si 𝑋
̅ y S son la media y desviación estándar de una muestra tomada aleatoriamente de una
distribución normal con varianza desconocida, entonces un intervalo de confianza para μ
de (1− ∝)100%, está dada por:
𝑿 ~ 𝑵(𝝁, 𝝈𝟐) → 𝑿
̅ ~ 𝑵 (𝝁, 𝝈𝟐
𝒏
⁄ ), 𝒕 =
(𝒙− 𝝁)
𝑺
√𝒏
⁄
y tiene una distribución t de Student con n-1 grados de libertad.
Intervalo de Confianza:
𝑷 {𝑿
̅ − 𝒕(𝜶
𝟐
⁄ ;𝒏−𝟏) (
𝑺
√𝒏
) ≤ 𝝁 ≤ 𝑿
̅ + 𝒕(𝜶
𝟐
⁄ ;𝒏−𝟏) (
𝑺
√𝒏
)} = 𝟏−∝

7. donde;
𝑿
̅: media muestral;
𝝁: media poblacional;
𝝈: desviación poblacional;
𝒕(𝜶
𝟐
⁄ ;𝒏−𝟏): distribución t-Student con n-1 grados de libertad;
𝒏: tamaño de la muestra.
Ej. A continuación se presentan los C.I. a los cuales se le realizó una prueba 115, 120, 110,
108, 107. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los C.I., se
supone una distribución aproximadamente normal.
Solución:
𝑥1 = 115, 𝑥2 = 120, 𝑥3 = 110, 𝑥4 = 108, 𝑥5 = 107, 𝑛 = 5
Nivel de confianza del 95% para µ=?
𝟏− ∝ ∝ ∝ 𝟐
⁄ n-1 𝒕∝ 𝟐;𝒏−𝟏
⁄
0.95 0.05 0.025 4 2.776
Los valores de 𝒕∝ 𝟐
⁄ ;𝒏−𝟏 se encuentran en la tabla de distribución t-Student de Walpole,
Myers (2007) pág. 753. Probabilidad y Estadística.
La media y la desviación estándar:
𝑥̅ = ∑
𝑥𝑖
𝑛
=
115 + 120 + 110 + 108 + 107
5
𝑛
𝑖=1
→ 𝑥̅ = 112

8. 𝑺 = √∑
(𝒙𝒊 − 𝒙
̅)𝟐
𝒏 − 𝟏
𝟓
𝒏=𝟏
= √
(115 − 112)2 + (120 − 112)2 + (110 − 112)2 + (108 − 112)2 + (107 − 112)2
𝟓 − 𝟏
𝑆 = 5.43
𝑷 {𝑿
̅ − 𝒕(𝜶
𝟐
⁄ ;𝒏−𝟏) (
𝑺
√𝒏
) ≤ 𝝁 ≤ 𝑿
̅ + 𝒕(𝜶
𝟐
⁄ ;𝒏−𝟏) (
𝑺
√𝒏
)} = 𝟎. 𝟗𝟓
𝟏𝟏𝟐 − 𝟐. 𝟕𝟕𝟔 (
𝟓. 𝟒𝟑
√𝟓
) ≤ 𝝁 ≤ 𝟏𝟏𝟐 + 𝟐. 𝟕𝟕𝟔 (
𝟓. 𝟒𝟑
√𝟓
) → 𝟏𝟎𝟓. 𝟐𝟔 ≤ 𝝁 ≤ 𝟏𝟏𝟖. 𝟕𝟒
El intervalo de confianza para la media con el 95% de confianza con 𝜎 desconocida es
105.26 ≤ 𝜇 ≤ 118.74
Intervalo de confianza para 2 cuando se muestrea una distribución normal.
Si se desea encontrar una estimación del intervalo de confianza para la varianza de una
población normal, S2 es un buen estimador para 𝜎2
, el cual se utilizará para estimar dicho
intervalo, la distribución de X es chi-cuadrada con n – 1 grados de libertad.
Si S2 es la varianza muestral de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una
distribución normal con varianza desconocida 𝜎2
, entonces el intervalo de confianza para
𝜎2
del (1− ∝)100% es:
𝑋2
=
(𝑛−1)𝑆2
𝜎2 , Este estadístico tiene distribución chi-cuadrada con n-1 grados de libertad.
Intervalo de Confianza:
𝑃 {(𝑛 − 1)
𝑆2
𝑋1−𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1)
2 ≤ 𝜎2
≤ (𝑛 − 1)
𝑆2
𝑋𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1)
2 } = 1−∝
Ej. Un equipo de educación física administró a un grupo de universitarios pruebas de
resistencia física después de un programa de ejercicios, los puntajes del grupo, que
constaba de 16 sujetos arrojó una desviación estándar muestral de 34,5. Encuentre un
intervalo de confianza del 95% para la varianza.

9. Solución:
𝑛 = 16, 𝑆 = 34.5
Intervalo de confianza del 95% para 𝜎2
𝟏− ∝ ∝ ∝ 𝟐
⁄ 𝟏 − ∝ 𝟐
⁄ n-1 𝑿∝ 𝟐;𝒏−𝟏
⁄
𝑿𝟎.𝟎𝟐𝟓;𝟏𝟓
𝑿𝟏−∝ 𝟐;𝒏−𝟏
⁄
𝑿𝟎.𝟗𝟕𝟓;𝟏𝟓
0.95 0.05 0.025 0.975 15 27.488 6.262
Los valores de 𝑿∝ 𝟐
⁄ ;𝒏−𝟏 y 𝑿𝟏−∝ 𝟐
⁄ ;𝒏−𝟏se encuentran en la tabla de distribución chi-cuadrada
de Walpole, Myers (2007) pág. 755. Probabilidad y Estadística.
𝑃 {(𝑛 − 1)
𝑆2
𝑋𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1)
2 ≤ 𝜎2
≤ (𝑛 − 1)
𝑆2
𝑋1−𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1)
2 } = 0.95
(16 − 1)
34.52
27.488
≤ 𝜎2
≤ (16 − 1)
34.52
6.262
→ 649.51 ≤ 𝜎2
≤ 2851.13
El intervalo de confianza para varianza 𝜎2
con una confianza del 95% está entre
649.51 ≤ 𝜎2
≤ 2851.13
Intervalo de confianza para el parámetro de proporción P cuando se muestrea una
distribución binomial.
Si se desea encontrar una estimación del intervalo de confianza para la proporción
de una población normal, ρ es un buen estimador el cual se utilizará para estimar dicho
intervalo.
𝑝 =
𝑋
𝑛
donde X es binomial con parámetro n y p.
𝐸(𝑝) = 𝑝, 𝑉𝑎𝑟(𝑝) =
𝑝𝑞
𝑛

10. Para n grande la variable (𝑋 − 𝑛𝑝)/√𝑛𝑝𝑞) es aproximadamente normal N(0,1).
Entonces puede demostrarse que la distribución de (𝑝 ̂ − 𝑝)/√(𝑝𝑞 ⁄ 𝑛) también tiende a N(0,1)
Intervalo de Confianza:
𝑃 {𝑝̂ − 𝑍1−∝
2
⁄ (√
𝑝̂𝑞
̂
𝑛
) ≤ 𝑃 ≤ 𝑝̂ + 𝑍1−∝
2
⁄ (√
𝑝̂𝑞
̂
𝑛
)} = 1−∝
𝑝̂: proporción, 𝑝̂ = 𝑥 𝑛
⁄ , donde x representa el número de éxitos en n pruebas;
𝑞
̂ = 1 − 𝑝̂: representa la fracción del fracaso en n pruebas;
𝑍1−∝
2
⁄ : distribución normal estándar.
Si 𝑝̂ se utiliza como estimación de p, podemos tener una confianza de (1−∝)100% de que
el error será menor que una cantidad específica 𝜀 cuando el tamaño de la muestra sea
aproximadamente
𝑛 =
𝑍1−∝
2
⁄
2
𝑝̂𝑞
̂
𝜀
Ejemplo: En una muestra aleatoria de n = 500 familias que tienen televisores en la ciudad
de Coro, edo, Falcón, se encuentra que x = 340 están inscrita a HBO. Encuentre un intervalo
de confianza de 95% para la proporción real de familias en esta ciudad que están inscrita a
HBO.
Solución:
𝑥 = 340, 𝑛 = 500, 𝑝̂ = 𝑥 𝑛
⁄ → 𝑝̂ = 340 500
⁄ = 0.68
𝑞
̂ = 1 − 𝑝̂ → 𝑞
̂ = 1 − 0.68 → 𝑞
̂ = 0.32
Un intervalo de confianza de 95% para la proporción P?
(1− ∝) = 0.95; ∝ = 0.05, ∝ 2
⁄ = 0.025, (1 − ∝ 2
⁄ ) = 0.975 → 𝑍(1−∝ 2
⁄ ) = 1.96
𝑃 {𝑝̂ − 𝑍1−∝
2
⁄ (√
𝑝̂𝑞
̂
𝑛
) ≤ 𝑃 ≤ 𝑝̂ + 𝑍1−∝
2
⁄ (√
𝑝̂𝑞
̂
𝑛
)} = 0.95
𝑃 = 𝑝̂ ± 𝑍1−∝
2
⁄ (√
𝑝̂𝑞
̂
𝑛
) → 𝑃 = 0.68 ± 1.96 (√
(0.68)(0.32)
500
)

11. Resolviendo nos queda 0.64 ≤ 𝑃 ≤ 0.72 para un intervalo de confianza de 95%.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Un fabricante produce anillos para pistones de motor de automóvil. Se sabe que el
diámetro de los anillos tiene una distribución aproximadamente normal y que tiene una
desviación estándar de 0,001 mm. Una muestra aleatoria de 20 anillos tiene un diámetro
medio de 74,036 mm. Construya un intervalo de confianza al 95% para el diámetro medio
de los anillos para pistones.
X = Diámetro de los anillos para pistones de motor de automóvil
X ~ aprox Normal(µ ; 0,0012)
𝐼𝐶𝜇(95%) = (𝑋
̅ ± 𝑍(1−𝛼
2
⁄ ) ∗
𝜎
√𝑛
) = (74,036 ± 𝑍0,975 ∗
0,001
√20
) = (74,036 ± 1.96 ∗
0,001
√20
)
𝐼𝐶𝜇(95%) = (74,0356 ; 74,0364)
2.- De 1000 casos de cáncer pulmonar seleccionados al azar, 800 resultaron fatales.
a) construya un intervalo de confianza de 95% para el índice de casos fatales por cáncer
pulmonar.
X = Número de casos fatales
X ~ Binomial(x; 1000; p)
𝑝̂ =
𝑥
𝑛
=
800
1000
→ 𝑝̂ = 0.8
𝑛 = 1000 > 30 entonces, 𝑝~𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑝 ;
𝑝∗𝑞
𝑛
)
𝐼𝐶𝑃(95%) = (𝑝̂ ± 𝑍(1−𝛼
2
⁄ ) ∗ √
𝑝
̂∗𝑞
̂
𝑛
) = 0,8 ± 𝑍(0,975) ∗ √
(0,8)∗(1−0,8)
1000
= (0,8 ± 1,96 ∗ √
(0,8)∗(0,2)
1000
)
𝐼𝐶𝑃(95%) = (0,7752 ; 0,8248)
b) ¿Cuál sería el tamaño de la muestra necesario para tener una confianza de 95%
de que el error al estimar el índice de casos fatales por cáncer pulmonar sea menor que
0,03?

12. 𝐼𝐶𝑃(95%) = (𝑝̂ ± 𝑍(1−𝛼
2
⁄ ) ∗ √
𝑝
̂∗𝑞
̂
𝑛
) = (𝑝̂ ± 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐸𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟)
→ 𝐸𝐸 = 𝑍(1−𝛼
2
⁄ ) ∗ √
𝑝
̂∗𝑞
̂
𝑛
< 0,03 → 𝑍(0.975) ∗ √
(0,8)∗(1−0,8)
𝑛
< 0,03
→ (𝑍0,975)
2
∗
(0,8)∗(0,2)
𝑛
< (0,03)2
→ 𝑛 > (𝑍0,975)
2
∗
(0,8)∗(0,2)
(0,03)2
→ 𝑛 > (1.96)2
∗
(0,8)∗(0,2)
(0,03)2
→ 𝑛 > 683
4.- Una empresa dispone de 500 cables, de los que una muestra de 40 elegidos al azar revela
una tensión de ruptura media de 2400 libras y una desviación típica de 150 libras.
a) Hallar los límites de confianza al 95 y 99% para la estimación de la tensión media
de ruptura de los cables de la empresa.
X = Tensión a la ruptura de los cables
𝑋
̅ = 2400 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠; 𝑆 = 150 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 ; 𝑛 = 40
𝐼𝐶𝜇(95%) = (𝑋
̅ ± 𝑡(𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1)) ∗
𝑆
√𝑛
) = (2400 ± 𝑡0,025;(40−1) ∗
150
√40
) = (2400 ± 2,0227 ∗
150
√40
)
𝐼𝐶𝜇(95%) = (2352,03 ; 2447,97)
𝐼𝐶𝜇(99%) = (𝑋
̅ ± 𝑡(𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1)) ∗
𝑆
√𝑛
) = (2400 ± 𝑡0,005;(40−1) ∗
150
√40
) = (2400 ± 2,7079 ∗
150
√40
)
𝐼𝐶𝜇(99%) = (2335,7762 ;2464,2238)
b) ¿con que grado de confianza se puede decir que la tensión media de ruptura de los cables
de la empresa es 2400 35 libras?
𝐼𝐶𝜇(95%) = (𝑋
̅ ± 𝑡𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1) ∗
𝑆
√𝑛
) = (2400 ± 35) → 𝑡𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1) ∗
𝑆
√𝑛
= 35
→ 𝑡𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1) = 35 ∗
√𝑛
𝑆
→ 𝑡𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1) = 35 ∗
√40
150
→ 𝑡𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1) = 1,4757
→ 𝛼
2
⁄ ; (𝑛 − 1) = 0,9260 → (1 − 𝛼) = 0,8520 → (1 − 𝛼)100% = 85,20%

13. c) Encuentre un intervalo de confianza al 95 para la estimación de la varianza de la
tensión a de ruptura de los cables de la empresa.
𝐼𝐶𝜎2(95%) = {(𝑛 − 1)
𝑆2
𝑋𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1)
2
≤ 𝜎2 ≤ (𝑛 − 1)
𝑆2
𝑋1−𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1)
2
}
𝐼𝐶𝜎2(95%) = {(40 − 1)
(150)
2
𝑋0,025;(40−1)
2
≤ 𝜎2 ≤ (40 − 1)
(150)
2
𝑋0,975;(40−1)
2
}
𝐼𝐶𝜎2(95%) = {(40 − 1)
(150)
2
59,342
≤ 𝜎2 ≤ (40 − 1)
(150)
2
24,433
}
𝐼𝐶𝜎2(95%) = (14787,1659 ; 35914,5418)
𝐼𝐶𝜎2(99%) = {(𝑛 − 1)
𝑆2
𝑋𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1)
2
≤ 𝜎2 ≤ (𝑛 − 1)
𝑆2
𝑋1−𝛼
2
⁄ ;(𝑛−1)
2
}
𝐼𝐶𝜎2(99%) = {(40 − 1)
(150)
2
𝑋0,005;(40−1)
2
≤ 𝜎2 ≤ (40 − 1)
(150)
2
𝑋0,995;(40−1)
2
}
𝐼𝐶𝜎2(99%) = {(40 − 1)
(150)
2
66,766
≤ 𝜎2 ≤ (40 − 1)
(150)
2
20,707
}
𝐼𝐶𝜎2(99%) = (13142,9170 ; 42376,9740)