2. Problema de estimación: ¿Por qué una encuesta de 1500 personas permite predecir bastante bien el resultado de una elección con 10 millones de votantes? ¿Cómo se consigue? ¿Cómo se mide la precisión del resultado? Problema de test de hipótesis: Las normas de calidad exigen que, en un lote de 5000 bombillas, a lo sumo el 3% pueden durar menos de 1000 horas. En un estudio de control de calidad de una fabrica de bombillas sería muy costoso examinar cada una. Se decide usar una muestra de 500 bombillas. Si obtenemos el 3,2% de bombillas defectuosas, ¿deberíamos declarar el lote completo defectuoso?

3. Estimar la duración promedio de las bombillas del lote de 5000, a partir de una muestra de 500. Problema de estimación Se busca precisar una característica totalmente desconocida de la población a partir de los datos obtenidos sobre una muestra. Estimar el porcentaje de la población (10 millones) que votó a JP a partir de una muestra de 1500 votantes.

4. Problema de test de hipótesis Se busca comprobar alguna información sobre la población a partir de los datos obtenidos de una muestra. JP obtiene más del 65% de los votos. Menos del 3% de las bombillas del lote de 5000 duran menos de 1000 horas. Las bombillas duran más de 1000 horas en promedio.

5. Problema de estimación Sea una característica , un parámetro poblacional cuyo valor se desea conocer a partir de una muestra . Sea un estadístico (función de la muestra) que utilizamos para estimar el valor de . El estadístico: es una función que depende de la muestra y lo llamaremos estimador . El valor concreto de es la estimación .

6. Estimación Puntual : Se estudian los diversos métodos de encontrar estimadores y las propiedades óptimas que deben tener éstos. Estimación de parámetros Estimación puntual por intervalos Estimación por Intervalos de Confianza: se estima un parámetro usando un intervalo centrado en un estimado del parámetro.

7. Estimación puntual Provee un solo valor , un valor concreto para la estimación. Un estimador puntual es simplemente un estadístico (media aritmética, varianza, etc.) que se emplea para estimar parámetros (media poblacional, varianza poblacional, etc.). Por ejemplo , cuando obtenemos una media aritmética a partir de una muestra, tal valor puede ser empleado como una estimación para el valor de la media poblacional.

9. Métodos de estimación puntual Método de máxima verosimilitud Hemos visto que un estimador de la media poblacional es la media muestral y de la varianza poblacional es la varianza muestral. ¿Cómo estimar el parámetro θ? Por ejemplo, supongamos una población con función densidad: ¿cómo determinar un estimador cuando no se trata de la media o la varianza? Método de los momentos Método de mínimos cuadrados

11. Estimador insesgado La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional . La varianza muestral (dividida por n) no es un estimador insesgado de la varianza poblacional , es sesgado . Diremos que es un estimador insesgado de si : se llama sesgo de

12. Sea una población N(  ,  ) y sean los estimadores de varianza: varianza muestral y la varianza muestral (partida por n ). Si la población es normal, entonces el estimador:

13. Propiedades en muestras grandes Muchos estimadores no tienen buenas propiedades para muestras pequeñas, pero cuando el tamaño muestral aumenta, muchas de las propiedades deseables pueden cumplirse. En esta situación se habla de propiedades asintóticas de los estimadores. Como el estimador va a depender del tamaño de la muestra vamos a expresarlo utilizando el símbolo Por ejemplo, el sesgo puede depender del tamaño de la muestra. Si el sesgo tiende a cero cuando el tamaño de la muestra crece hasta infinito decimos que el estimador es asintóticamente insesgado .

14. Asintóticamente insesgado Definición: Un estimador se dice que es asintóticamente insesgado si o equivalentemente:

15. Se dice que un estimador es consistente si se cumple que Tanto la media muestral como la varianza muestral son estimadores consistentes. L a varianza muestral (partida por n) es un estimador consistente de la varianza poblacional, dado que a medida que el tamaño muestral se incrementa, el sesgo disminuye. o Consisten cia Es decir, a medida que se incrementa el tamaño muestral, el estimador se acerca más y más al valor del parámetro . L a “consistencia” es una propiedad asintótica.

16. Ejemplo: supongamos que la población es no normal y de media desconocida. Para cada tamaño muestral n tenemos: La media muestral es un estimador consistente de la media poblacional.

17. Menor varianza implica mayor precisión y entonces el estimador que tenga menor varianza es claramente más deseable porque, en promedio, está mas cerca del verdadero valor de  . Eficiencia La varianza de una variable aleatoria mide la dispersión alrededor de la media. Menor varianza para una variable aleatoria significa que, en promedio, sus valores fluctúan poco alrededor de la media comparados con los valores de otra variable aleatoria con la misma media y mayor varianza. Si , decimos que es un estimador insesgado eficiente o de varianza mínima para  , si cualquier otro estimador insesgado de  , digamos , verifica que:

18. Este método determina dos valores (límites de confianza) entre los que se acepta que puede estar el valor del estimador. Estimación por intervalo Muestra Tenemos entonces una probabilidad de 1-α de seleccionar una variable aleatoria que produzca un intervalo que contenga al parámetro. El intervalo que se calcula a partir de la muestra seleccionada; se llama intervalo de confianza de (1–  ) 100%

23. Los parámetros poblacionales son fijos , no aleatorios. Los estadísticos o los estimadores son variables aleatorias (su valor depende de la muestra seleccionada: los estadísticos calculados para distintas muestras darán, en general, resultados distintos).

25. Intervalo de confianza para la Media Poblacional (varianza desconocida). Supongamos que la población es normal con media y varianza desconocida y que se desea hacer inferencias acerca de  , basada en una muestra pequeña (n < 30) tomada de la población. En este caso la distribución de la media muestral ya no es normal, sino que sigue la distribución t de Student .

26. Si de una población Normal con media  y desviación estándar  desconocida se extrae una muestra de tamaño n , entonces el estadístico: se distribuye como una t de Student con n -1 grados de libertad. Un intervalo de confianza del 100 (1-  ) % para  es de la forma: donde s es la desviación estándar muestral. t (n-1,  /2) es un valor de t con n –1 grados de libertad y tal que el área a la derecha de dicho valor es  /2.