Este documento presenta 9 ejemplos de cálculos de volúmenes y áreas utilizando integrales dobles y coordenadas polares. Los ejemplos involucran regiones delimitadas por paraboloides, planos, esferas, cilindros y funciones de densidad para encontrar centros de masa.

1. Ejemplo # 1
recordatorio Evaluar:

donde R es la región del semi-plano superior limitado por los círculos
y .
Ejemplo # 2
 Determinar el volumen del sólido acotado por el plano y el paraboloide
Resolviendo:

2. Después de Integrar:
Ejemplo # 3
Calcular el volúmen de un sólido que está debajo del paraboloide , encima del plano y dentro del cilindro .

3. complementando al cuadrado:
Ahora procedemos a integrar:
Ejemplo # 4
Encuentre la masa y el centro de masa de un triangulo con vértices en . Densidad

4. Ejemplo # 5
La densidad en cualquier punto en una lamina semicircular es proporcional a la distancia al centro. Encuentre el centro de masa.
Ejemplo # 6
inside the sphere outside the cylinder

5. ahora despejo para " z " ya que es la función que me da la altura de la siguiente forma:
factorizo un signo menos:
y como sabemos que: entonces
ahora aplicamos la integral doble:
ahora multiplicar x 2 ya q esto solo es la mitad de la esfera.
Ejemplo # 7
círculos:
entonces aplicamos los completación al cuadrado a la siguiente ecuación para llegar a la forma del circulo:
entonces obtenemos los limites de integración:

6. aplicamos la integral doble :
Ejemplo # 8
Utilice coordenadas polares para encontrar la integral de la región dentro del paraboloide y dentro del cilindro
Para este problema nuestra región la limita el cilindro
La altura la limita la función del paraboloide
entonces tenemos la integral
Resolovemos la integral y la respuesta es :
Ejemplo # 9
Utilizar una integral doble para encontrar el área encerrada por un petalo de la rosa de 4 hojas