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INTEGRALES MÚLTIPLES Módulo 5
Tópico generativo ¿Cómo puedo aplicar comprensivamente el cálculo en mi carrera?
Hilo conductor Los estudiantes apreciaran como el concepto de superficie es clave para la comprensión del cálculo.
Metas de comprensión  Los alumnos comprenderán: Los vectores en el plano y en el espacio  representándolos geométricamente en diversas situaciones que ocurren en su entorno aplicándolos en los cursos vistos durante el semestre y en la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias. Los conceptos de derivadas parciales y direccionales como una generalización del concepto de derivada, aplicándolos a la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias. Integrales múltiples y de línea, a través de aplicaciones relacionadas con el entorno, aplicándolos a la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias.
Área de una región plana Si R esta definida por                    y                                 donde Y       son continuas en          , entonces el área de R está dada por.
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Ejemplo: Dibujar la región R de integración.
Ejemplo: Dibujar la región R de integración y cambiar el orden de integración.
Ejercicios Dibujar la región R de integración y cambiar el Orden de integración.
Área de una región rectangular
Ejemplo: Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región:
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Ejercicios Utilizar una integral iterada para hallar el  área de la región: 1.                                                    2.
Integrales dobles y volumen de una región solida Si     es integrable  sobre  una región plana  R   y                   para todo       en R, entonces el volumen de la región sólida que se encuentra sobre R  y  bajo la grafica de      se define como:
Interpretación geométrica
Ejemplo: Encontrar el volumen del tetraedro acotado por los planos
El plano                             se puede escribir como así que el volumen requerido se localiza debajo de la grafica de la función                               y arriba de las rectas                   y   Solución: ó
Ejemplo: Hallar el volumen del sólido.
Solución: Haciendo            , se ve que la base de la región, en el plano xy, es la circunferencia
Ejercicios Encuentre el volumen del solido que yace debajo del paraboloide                      , y arriba de la región R  en el planos xy  acotado por la línea                 y la parábola
Integrales dobles en coordenadas polares Hasta el momento se vio como resolver una integral doble por medio de coordenadas  rectangulares. Algunas de estas integrales son mucho mas fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto ocurre especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardiodes y pétalos de una curva rosa y de integrandos que contienen
Cambio de variables a forma polar Si      es continua en una región polar de la forma                                                     , entonces.
Ejemplo: Utilizar las coordenadas polares para describir  la región.
Ejemplo: Utilizar una integral doble para calcular el área de la región sombreada.
Solución
Hallar  el  volumen  del  sólido  que  está  por  debajo del paraboloide                     y encima del disco Ejemplo:
Ejercicios Utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado por las graficas de las ecuaciones.                                   primer octante.
Integrales triples Si      es  continua  sobre  una  región   sólida  acotada    , entonces la integral triple de     sobre     se define como
Evalúe           , donde     es el tetraedro solido acotado por los cuatro planos                               y  Ejemplo:
Solución
Ejemplo: Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera                       el cilindro             .
Como                                  y  tomando  a  R   como  la proyección del solido sobre el plano          los limites de integración son: Solución Proyección  sobre el plano
Por tanto utilizando integrales triples en coordenadas cilíndricas obtenemos:  Corte entre las superficies (región sólida)
Ejercicios Utilizar una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado por las graficas de las ecuaciones. y y
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  • 6. Área de una región plana Si R esta definida por y donde Y son continuas en , entonces el área de R está dada por.
  • 7. Ejemplo: Dibujar la región R de integración.
  • 8. Ejemplo: Dibujar la región R de integración y cambiar el orden de integración.
  • 9. Ejercicios Dibujar la región R de integración y cambiar el Orden de integración.
  • 10. Área de una región rectangular
  • 11. Ejemplo: Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región:
  • 12. Ejemplo: Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región:
  • 13. Ejemplo: Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región:
  • 14. Ejercicios Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región: 1. 2.
  • 15. Integrales dobles y volumen de una región solida Si es integrable sobre una región plana R y para todo en R, entonces el volumen de la región sólida que se encuentra sobre R y bajo la grafica de se define como:
  • 17. Ejemplo: Encontrar el volumen del tetraedro acotado por los planos
  • 18. El plano se puede escribir como así que el volumen requerido se localiza debajo de la grafica de la función y arriba de las rectas y Solución: ó
  • 19. Ejemplo: Hallar el volumen del sólido.
  • 20. Solución: Haciendo , se ve que la base de la región, en el plano xy, es la circunferencia
  • 21. Ejercicios Encuentre el volumen del solido que yace debajo del paraboloide , y arriba de la región R en el planos xy acotado por la línea y la parábola
  • 22. Integrales dobles en coordenadas polares Hasta el momento se vio como resolver una integral doble por medio de coordenadas rectangulares. Algunas de estas integrales son mucho mas fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto ocurre especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardiodes y pétalos de una curva rosa y de integrandos que contienen
  • 23. Cambio de variables a forma polar Si es continua en una región polar de la forma , entonces.
  • 24. Ejemplo: Utilizar las coordenadas polares para describir la región.
  • 25. Ejemplo: Utilizar una integral doble para calcular el área de la región sombreada.
  • 27. Hallar el volumen del sólido que está por debajo del paraboloide y encima del disco Ejemplo:
  • 28. Ejercicios Utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado por las graficas de las ecuaciones. primer octante.
  • 29. Integrales triples Si es continua sobre una región sólida acotada , entonces la integral triple de sobre se define como
  • 30. Evalúe , donde es el tetraedro solido acotado por los cuatro planos y Ejemplo:
  • 32. Ejemplo: Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera el cilindro .
  • 33. Como y tomando a R como la proyección del solido sobre el plano los limites de integración son: Solución Proyección sobre el plano
  • 34. Por tanto utilizando integrales triples en coordenadas cilíndricas obtenemos: Corte entre las superficies (región sólida)
  • 35. Ejercicios Utilizar una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado por las graficas de las ecuaciones. y y
  • 36.
  • 39. Applet Triple integrals.