1. Titulo del Trabajo: Aplicación del método H-J-B en la modelación estocástica de la
volatilidad en series con persistencia: El caso del IPC en México
Autor: Dr. Guillermo Sierra Juárez
Institución: Catedrático del Instituto Tecnológico de Monterrey (Campus Ciudad de
México y Estado de México) Y UNAM (Postgrado de Ingeniería)
Dirección; 1ª Cda Cuitlahuac M1 Lte 111 a La Asunción Tlahuac México DF
e-mail: gsierraj@yahoo.com.mx, guillermo.sierra@itesm.mx
JEL: C61,G10,G12
Palabras Claves: Browniano Fraccional, Proceso Estocástico, Ecuación Black-Scholes,
Volatilidad

2. RESUMEN
La aplicación de la metodología de Rango Reescalado sobre ciertas series de activos
financieros y sobre su volatilidad muestran un comportamiento distinto a supuesto de
independencia. El presente trabajo propone la modelación del activo subyacente y de su
la volatilidad como el proceso estocástico constituido por un movimiento browniano
fraccional. Con la aplicación del método H-J-B se plantea la ecuación Black-Scholes con
volatilidad estocástica para movimiento brownianos fraccionales y se propone un tipo de
solución al problema. También se revisa el comportamiento de la volatilidad implícita de
opciones europeas para series con características de persistencia en particular para el
caso del IPC.
ABSTRACT
The application of the Range Rescalate method in some financial variables and their
volatility’s estimators showed a behavior different from independence. This paper
proposes to model the underlying active and its volatility with the stochastic process
knowing like brownian fractional motion. Using The H-J-B method gets the Black
Scholes equation and to propose a solution for the case with stochastic volatility. Besides
We the behavior of implicit volatility in European options with characteristics long
memory in particular the IPC in Mexico.

3. Aplicación del método H-J-B para la modelación estocástica de la
volatilidad en series con persistencia:
El caso del IPC en México
Dr. Guillermo Sierra Juárez
Profesor del Instituto Tecnológico de Monterrey
Campus Ciudad de México
1. Introducción
El primer tema básico en el presente trabajo esta relacionado con la metodología de
Rango Rescalado (R/S) de la teoría de fractales. La referencia fundamental en son los
libros de Peters [19] y [20] sobre las ideas, técnicas y conceptos de los mercados
fractales. También pueden consultarse los trabajos originales de Hurst (en el área de
hidrologia) [8] para la determinación del coeficiente del mismo nombre y los trabajos de
Mandelbrot [10] y [11].
El siguiente tema de fundamental es el relacionado con .el movimiento browniano
fraccional (MBF). Dai and Hayde [2] y Lin[9] realizaron los primeros intentos de
recuperar algunas propiedades básicas, como la de no arbitraje cuando se trabaja con el
movimiento browniano fraccional. Debido a que los esfuerzos en esta dirección no
pudieron eliminar la presencia de arbitraje, surgió la construcción de una nueva integral a
partir del producto Wick y fueron analizadas entre otros por Desagupta [3][4] y
Shryaveev[22]. Una vez alcanzada esta propiedad para procesos brownianos fraccionales
con el nuevo formalismo, quienes han tal vez publicado la mayor cantidad de material
sobre el movimiento browniano fraccional y su aplicación en las Finanzas son
Oksendal[17] y Hu[6], además de Duncan y Pasik-Duncan[5]. Estos trabajos se inician
desde la definición de la métrica de un espacio de Hilbert y van recuperando varias de las
técnicas matemáticas que el modelo Black-Scholes tradicional utiliza, además mediante
el uso del producto Wick, las derivadas Malliavin y las integrales Skorohod es posible
generalizar entre otros, el teorema de Girsanov, las esperanzas condicionales y lema de
Ito para su posterior aplicación en las finanzas. Los artículos de Necula[14][15] presentan
una perspectiva diferente de los estudios de Oksendal y Hu y en forma practica presentan
una deducción de la ecuación Black-Scholes a partir de movimientos browniano
fraccionales.
En otro trabajo relacionado, Rosek[21] también presenta una de deducción alternativa
del lema de Ito para el caso fraccional. Por ultimo los trabajos de Giovanni Vasconcelos
[25] presentan un resumen importante el paso de los modelos brownianos clásicos a los
brownianos fraccionales y sus implicaciones en los supuestos y resultados.

4. 2. Antecedentes sobre la Volatilidad
Existen diferentes definiciones de la volatilidad aunque típicamente se le reconoce como
una medida de dispersión de la información alrededor de la media. En finanzas se le
relaciona más bien a la incertidumbre de los rendimientos y esta asociado al estimador
de desviación estándar (o varianza) de la serie de algún activo.
La volatilidad, en general, no tiene porque ser una constante y puede ser analizada como
un proceso que varia en el tiempo. De los hechos empíricos se observa que volatilidades
altas tienden a persistir por periodos prolongados antes de alcanzar un equilibrio de largo
plazo (efecto conocido como clustering). También hay que considerar que la volatilidad
aumenta más que proporcionalmente cuando los rendimientos aumentan que cuando los
rendimientos disminuyen, esta propiedad es conocida como apalancamiento. En la
sección siguiente se propone a la volatilidad como un proceso estocástico que además
también posea un comportamiento de persistencia o de memoria larga. Posteriormente se
aplica la metodología de Hurst para comprobar dicha hipótesis.
Existen diferentes formas de modelar la volatilidad como pueden ser: la estimación
parametrica, la histórica con promedio móvil, utilizando series de tiempo
(ARMA,GARCH), con procesos estocásticos y la volatilidad implícita.
En el método parametrico, la volatilidad es un parámetro que no cambia en el tiempo y
mantiene su mismo valor durante toda la muestra de tamaño n y corresponde a la
varianza o desviación estándar muestral. La principal desventaja de este modelo se debe a
que el pronóstico de volatilidad corresponde a la estimación de la volatilidad presente.
La volatilidad histórica de promedio móvil abre una ventana móvil de un cierto tamaño.
A diferencia del caso anterior, la volatilidad no es un parámetro sino un proceso que va
evolucionando en el tiempo. Con el método de promedio móvil para una muestra de
tamaño n, en cada estimación de la varianza se añade una nueva observación al final de
la serie y simultáneamente se elimina la primera de ellas. El inicio y fin del proceso
dependerá del tamaño total de la muestra.
Algunas de las desventajas de este método es su sensibilidad al número de observaciones
del promedio móvil o del tamaño de la ventana y además que la ponderación que cada
observación recibe es la misma independientemente de si la información pueda ser
reciente o lejana. De la misma forma que en los casos anteriores el pronóstico será igual
a la volatilidad vigente.
El modelo ARMA es un modelo autoregresivo (AR Autoregressive) y de promedios
móviles (MA Movil Average)que considera que el promedio de los rendimientos tiene un
valor de cero y modela la varianza de los rendimientos o el cuadrado de los rendimientos
mediante una regresión lineal con el cuadrado de los rendimientos de periodos
anteriores. Este modelo se puede pensar como una generalización del caso anterior donde
los coeficientes o pesos están determinados mediante un proceso de regresión.

5. Esta metodología tiene las ventajas de que es capaz de realizar pronósticos de la
estructura intertemporal de la volatilidad y de disminuir la estimación del efecto
clustering y explotar el efecto de apalancamiento.
El propósito del modelo GARCH (Generalized Autoregressive Condicional
Heteroskedasticity) es estimar la varianza no condicional de los rendimientos de los
activos financieros. En el modelo mas sencillo GARCH(1,1) mediante una regresión
lineal supone que la varianza condicional como función de un termino independiente,
del error del periodo anterior y de la varianza del periodo anterior que corresponde al
termino autoregresivo. Para que en modelo sea estacionario se requiere que los
estimadores o coeficientes de la regresión sean positivos (incluyendo el término
independiente) y que la suma de los dos primeros sea menor o igual a uno. Para la
estimación de la varianza se requiere de la media que a su vez se estima también
mediante una regresión donde el periodo actual se explica por el rendimiento del periodo
anterior más un término aleatorio. Entre las principales ventajas de este modelo se puede
mencionar que se puede hacer un pronóstico de la volatilidad en cualquier periodo futuro
y de esta forma construir la estructura temporal de la volatilidad, además de capturar el
efecto de clustering y no sobresestimar el efecto de apalancamiento.
El modelo de la volatilidad estocástica consiste en estimar mediante un movimiento
geométrico browniano el comportamiento de la varianza de un activo compuesto por un
término de tendencia y una parte estocástica de un movimiento browniano. Uno de los
objetivos del presente trabajo es generalizar estimación de la volatilidad mediante un
geométrico browniano donde el termino estocástico como el movimiento browniano
fraccional.
3. Planteamiento del Problema del Consumidor Estocástico con el Método
Hamilton - Jacobi - Bellman (H-J-B)
La ecuación Hamilton-Jacobi-Bellman es una ecuación asociada a un problema de
control optimo estocástico donde se considera una función a maximizar sujeto a una
restricción con un termino estocástico modelado por un movimiento browniano. Una
referencia importante para revisar el método puede ser Venegas[24]
El método inicia suponiendo la existencia de un agente racional que representa a todos
los inversionistas y cuya utilidad depende del consumo. Este agente desea integrar un
portafolio con la posibilidad de elegir entre tres diferentes tipos de activos: un bono de
tasa fija, una acción y un derivado sobre esa acción. El problema consiste en encontrar el
consumo óptimo y las inversiones que deberán realizarse en cada uno de los títulos de tal
forma que maximicen su utilidad.

6. El problema del consumidor plantea maximizar la siguiente función conocida como de
utilidad indirecta o de consumo utilizando la función de utilidad logarítmica
u(C 0 )  ln( C 0 )
J (W , t )  max E   ln C0 e  t dt | Ft ,
t
(1)
0
 

donde E son las expectativas cuasicondicionales ver articulo de Necula [15], Hu and
Oksendal[6].La restricción presupuestal del flujo a invertir esta dada por el cambio en la
riqueza definida de la siguiente forma:
dA  A(w1dRB  w2 dRS  (1  w1  w2 )dRC )  C0 dt (2)
Con los rendimientos de los tres activos dados por:
dB
dRB   rdt , para el bono, (3 a)
B
dS
dRS   dt  dBH , para la acción y (3 b)
S
dC
dRC    C dt   C dBH , para el derivado. (3 c)
C
Las constantes w1, w2 y 1-w1-w2 son las proporciones del portafolio asignado al bono
libre de riesgo, la acción y el derivado respectivamente. Pero con la diferencia del
análisis H-J-B tradicional que ahora BH es un movimiento browniano fraccional. Y del
lema de Ito fraccional  C y  C están dados por:
1  C C  2C 
C    S   2 S 2 Ht 2 H 1 2 , (4 a)
C  t
 S S  
S  C 
C    , (4 b)
C  S 
Sustituyendo dRB, dRS y dRC en A y organizando términos tenemos que la evolución de
la riqueza esta dada por dA:
dA   A dt   A dBH (5 a)
C0
 A  A( w1  w2  (1  w1  w2 ) C  ) (5 b)
A
 A  A(w2  (1  w1  w2 ) C ) (5 c)

7. El método H-J-M estocástico consiste en encontrar C0,w1 y w2 que maximice la ecuación
~
(1) sujeto a la restricción de la ecuación ( 5 a, 5 b, 5 c), donde E[] es la esperanza cuasi
condicional, para mayor información consultar Hu and Oksendal[6] . La función
J(w1,w2,C0) puede escribirse como:
t  dt t  dt
J ( w1 , w2 , C0 )  max{ C0 , w1 , w2 }E[ ln C0 e  t dt   ln C0 e  t dt | Ft ] (6)
t t
Se toma el valor esperado, luego de desarrollar y reducir algunos términos se llega a:
J J 2J
0  max {C0 , w1 ,w2 } [ln C0 e  t  ( A   A Ht 2 H 1 2 )dt ]
2
(7)
t A A
Para la expresión anterior se propone la solución para J(t,A) como la siguiente:
J (t , A)  V ( A)e  t (8)
Sustituyendo la propuesta de solución con sus derivadas en (7) y después de organizar
términos se llega a:
0  ln C0  V ( A)  V ' ( A)   A Ht 2 H 1V ' ' ( A)
2
(9)
Adicionalmente se propone una solución para V(A) de la siguiente forma:
V ( A)   0  1 ln A (10)
Sustituyendo V(A) y sus derivadas se tiene:
1 1
0  ln C0   (  0  1 ln A)   A   A Ht 2 H 1 2
2
(11)
A A
Derivando parcialmente la ecuación anterior respecto a C0, w1 y w2 se obtiene el siguiente
sistema de ecuaciones:
A
C0  (12 a)
1
 r  C
w1  (1  w2  1  (12 b)
C ) 2 C Ht 2 H 1
2
(   C ) 2   C
w1  w2  1  ( 12 c)
( C   C  ) 2( C   C ) Ht 2 H 1
2 2

8. De lo anterior se aprecia que la solución óptima para el consumo es la misma que en el
caso del movimiento browniano tradicional, es decir, la parte que se consume no se ve
afectado por un cambio en el tipo de proceso estocástico. Mientras que la proporción de
la riqueza en cada titulo, son ahora, además, función del exponente Hurst y de tiempo
inicial t. En el caso una solución de esquina, se toma una solución de este tipo porque
en general es mas sencilla y porque nuestro objetivo es poder realizar una valuación
mas que analizar las propiedades de optimización. Se tome el caso w1 = 0 y w2 = 1 y
sustituyendo en las ecuaciones (), las expresiones de () para  C y  C se llega a:
C (t , S )  2 C (t , S ) C (t , S )
 H 2 t 2 H 1 S 2  (   2 2 Ht 2 H 1 ) S  rC(t , S )  0 (13)
t S 2
S
que corresponde a la ecuación Black-Scholes Fraccional , consultar Sierra [23] para
mayores detalles, cuando r    2 2 Ht 2 H 1 .Por otra parte si la comparamos con la
expresión para el valor de mercado de riesgo   r   , en un mercado de estas
características dicho valor es:   2Ht 2 H 1
4. Análisis de la Volatilidad con Metodología Rango Reescalado (R/S)
En la sección anterior, en la modelación del comportamiento de los activos subyacentes
con procesos estocásticos se ha considerado dentro de los supuestos del movimiento
browniano fraccional que la volatilidad del proceso es una constante en el tiempo. Sin
embargo, un análisis grafico del comportamiento de la volatilidad de la variable de
mercado de México Índice de Precios y Cotizaciones ( IPC) invita a modelar la
volatilidad como un proceso.
Para dicha serie del IPC se toma una ventana móvil de un año 252 días hábiles. La
grafica presenta la volatilidad del IPC con información de 2000 datos que van de enero
de 1999 a enero del 2007. El comportamiento observado de la volatilidad sugiere su
modelación mediante un proceso estocástico.
En los trabajos iniciales de Black-Scholes la parte estocástica de un subyacente se
planteaba modelando con un movimiento browniano. Trabajos posteriores consideraron
modelar simultáneamente el subyacente y la volatilidad como un proceso estocástico,
como es el caso de articulo de 1987 de Hull and White[7]. En dicho trabajo se llega a
una a plantear la ecuación y la solución cerrada para la generalización de la formula
Black-Scholes.
Considerando lo anterior, el siguiente paso es determinar si las serie estocástica de la
volatilidad del índice IPC pueden ser clasificada como series persistentes,
antipersistenes o independientes. En este caso se vuelve a aplicar la metodología (R/S)
para el cálculo del coeficiente Hurst .

9. Hurst desarrollo su propia metodología conocida como Análisis de Rango Reescalado
(R/S), cuyo coeficiente o exponente conocido como Hurst, es una medida de
independencia de las series de tiempo y una manera de distinguir series fractales.
Por medio de una regresión lineal de los puntos de ln(R/S)n contra ln(n) se determina
el exponente de Hurst (H). Si el sistema tuviera la característica de independencia
entonces H = 0.50, si 0.5<H < 1.0 implica series de tiempo persistentes, es decir
caracterizadas por efectos de memoria de largo plazo que suceda hoy impactara en el
futuro por siempre y si 0.0 < H<0.5 significa antipersistencia en la serie de tiempo
En términos generales la metodología de (R/S) consiste en tomar los rendimientos
logarítmicos de una serie de tiempo de tamaño M. Posteriormente se forman A
subperiodos contiguos de longitud n y para cada subperiodo Ia de longitud n se
determina el valor promedio. Se van sumando las diferencias de cada elemento respecto
de la media para obtener una nueva serie acumulada y se determina Rango a la diferencia
entre los valores máximo y mínimo de la serie. Por otro lado, se calcula la desviación
estándar muestral SIa de las series de diferencias de la forma tradicional.
Y para cada periodo el rango RIa se normaliza dividiendo por su desviación estándar
muestral SIa correspondiente. Por lo tanto el rango reescalado para cada subperiodo Ia es
igual a RIa / SIa. Como tenemos A periodos continuos de longitud n, entonces tomamos el
valor promedio R/S para periodos de longitud y que esta definido como:
La longitud n o el tamaño del subperiodo se incrementada al siguiente valor posible de
tal forma que (M-1)/ n sea un valor entero. Iniciamos con el valor mas pequeño de
acuerdo a la condición anterior y se repiten los pasos y se repiten hasta n = (M-1)/2
Posteriormente aplicamos una regresión de mínimos cuadrados de log(R/S)n contra
log(n). La ordenada al origen es el log (c) y la pendiente de la ecuación es la estimación
del exponente Hurst H. Para mayores detalles consultar Hurst[8] o Sierra[23].
Aplicando la metodología del Rango Reescalado, después de seguir los pasos del
algoritmo se hace una regresión de ln(R/S) contra ln (n). Pero además, es necesario
establecer un criterio para plantear una prueba de significancia sobre los resultados de
un análisis (R/S) similar a las pruebas "t" de las regresiones lineales.
Siguiendo Peters [20] encontramos un resumen de los estimadores propuestos para el
valor esperado y la varianza sobre el coeficiente H realizados por Feller y Alanis and
Lloyd. El estadístico que nos dice cuantas desviaciones estándar se encuentra alejado del
valor medio E(H) y el valor obtenido de H en el proceso de Rango-Reescalado. Supone
en la hipótesis nula que H=0.5 tiene un comportamiento de caminata aleatoria o de
browniano tradicional y por tanto de independencia contra las hipótesis alternativas (H
<>0.5 ) que corresponde a comportamiento persistente o antipersistente de los procesos.

10. Aplicando la metodología (R/S) y los estadísticos asociados para determinar su nivel de
significancia sobre la serie del IPC llegamos a la siguiente tabla, para mayores detalles
consultar Sierra [23]
Tabla 1
Serie H E(H) DE(H) (H-E(H))/DE(H) Acepta Ho
IPC 0.5512 0.5726 0.0223 -0.9596 S
Si se considera únicamente el valor del exponente H se podría pensar que la serie IPC
no sigue el comportamiento de una serie persistente. Pero si se toman en cuenta las
pruebas de hipótesis entonces, más bien, se acepta la hipótesis inicial de una serie con
características de independencia.
Aplicando el mismo análisis (R/S) pero ahora sobre la serie de la volatilidad del IPC
generada de la ventada móvil mencionada en anteriormente llegamos a los resultados
que se muestran en la siguiente tabla:
Tabla 2
Serie H E(H) DE(H) (H-E(H))/DE(H) Acepto
H0
IPC 0.7384 0.5726 0.0223 7.4350 N
Las serie de volatilidad del IPC muestra una persistencia ( H > 0.5 ) incluso mayor que
la de los rendimientos de las series originales y sorprendentemente estadísticamente
significativos. Es decir, el comportamiento de la serie de volatilidad rechaza que se
comporte como una serie independiente y presenta mas bien comportamiento de una serie
con memoria.
A continuación aparecen las graficas 1 y 2 un comparativo de ln(R/S) contra ln(n) para el
caso de la serie del IPC y su volatilidad contra los comportamientos con independencia a
partir de la metodología (R/S).
5. Método H-J-B con MBF con Volatilidad Estocástica
El resultado anterior es muy interesante y sugiere que para modelar el comportamiento
de la volatilidad de una manera más general podría hacerse mediante un movimiento
browniano fraccional. Es decir, se pude proponer a un activo subyacente S modelado por
un browniano fraccional con un exponente Hurst H1, cuya volatilidad V a su vez, sea
modelada por otro browniano fraccional exponente Hurst H2 como en el caso siguiente:
dS  Sdt  SdBH 1 (14 a)
dV  Vdt  VdBH 2 (14 b)

11. Con V   2 y además podemos suponer en el caso mas sencillo que los dos brownianos
fraccionales no tienen ninguna correlación, es decir: COV(dBH1,dBH2) =0
Ahora se propone un derivado que sea función de un subyacente y de la volatilidad
estocástica del mismo, entonces C=C(t,S,V) y de la generalización del lema de Ito
considerando los dos procesos se llegaría a lo siguiente:
dC
  C dt   C dBH 1   C dBH 2 (15)
C
con  C ,  C y  C dados por:
1  C C C  2C  2C 
C    S    2 S 2 H 1t 2 H 11 2   2V 2 H 2 t 2 H 21  (15 a)
C  t
 S V S V 2 

1  C 
C  S  (15 b)
C  S 
1 C 
 C   V  (15 c)
C V 
Considerando los mismos supuestos de la sección (3) sobre el agente racional que
construye un portafolio con la posibilidad de elegir tres diferentes tipos de activos, un
bono de tasa fija de tipo, una acción y un derivado sobre esa acción, pero suponiendo que
la volatilidad estocástica se describe con un movimiento browniano fraccional.
Nuevamente el problema consiste en determinar el consumo optimo y las inversiones en
cada uno de sus títulos de tal forma que maximicen su utilidad y para resolverlo
utilizaremos el método H-J-B.
La restricción presupuestal del cambio en la riqueza compuesta por los rendimientos del
bono, la acción y el derivado, donde w1,w2 y 1-w1-w2 son las proporciones del
portafolio asignados a cada uno de los activos respectivamente y donde dBH es un
movimiento browniano fraccional, y de la sección anterior  C y  C entonces tenemos:
dA  Adt   A1dBH 1   A2 dBH 2 (16)
con  A y  A1 y  A2 como
C0
 A  A( w1r  w2   (1  w1  w2 ) C  ) (16 a)
A
 A1  A(w2  (1  w1  w2 ) C ), (16 b)
 A2  AC (1  w1  w2 ) ( 16 c)
Se aplica el método H-J-B estocástico y el problema de elección consiste en encontrar C0,
w1 y w2 que maximice la ecuación (1) sujeta a la restricción (16), donde recordemos que
~
E[] es la esperanza cuasicondicional consultar Hu and Oksendal[6]

12. J ( w1 , w2 , t )  max {C 0, w1 ,w2 } E  ln C0 e  t dt | Ft ,
~ 
(17)
t
 

que también puede escribirse como:
J ( w1 , w2 , t )  max {C 0,w1 , w2 } E  ln C0 e  t dt   ln C0 e  t dt | Ft ,
~ t  dt 
(18)
t
 t  dt 

Después de desarrollar, se sigue:
~

J (w1 , w2 , C0 )  max {C 0,w1 ,w2 } E ln C0 e  t dt  o(dt )  J (t , A)  dJ (t , A)  o(dt ) | Ft , (19) 
Se sustituyen dJ(t,A) del Lema de Ito fraccional y después de ordenar y despreciar
algunos términos
J (w1 , w2 , C0 ) 
~ J J 2J J J 
max {C 0,w1 ,w2 } E ln C0 e  t dt  J  (   A  ( 2 A1 H 1t 2 H 11   2 A2 H 2 t 2 H 2 1 ) 2 )dt   A1 d BH1   A2 d BH 2 
 t A A A1 A2 
(20)
Se toma el valor esperado condicionado y recordando que se supone que la covarianza
entre los dos brownianos fraccionales es cero, se llega a:
~ J J 2J 
0  max {C 0, w1 , w2 } E ln C 0 e  t dt  (   A  ( 2 A1 H 1t 2 H 11   2 A2 H 2 t 2 H 2 1 ) 2 )dt  (21)
 t A A 
Se propone la solución para J(t,A) del siguiente estilo:
J (t , A)  (V ( A)  g (V ))e  t (22)
Sustituyendo la solución y sus derivadas y después de organizar términos se llega a:
0  ln C0   (V ( A)  g (V ))   AV ' ( A)  ( 2 A1 H 1t 2 H 11   2 A2 H 2 t 2 H 2 1 )V ' ' ( A)  Vg ' (V )   2 g ' ' (V )
(23)
Como siguiente paso, ahora se propone una solución para V(A) de la siguiente forma:
V ( A)   0  1 ln A (24)
Y después de sustituir las solución y las derivadas se llegan a
1 1
0  ln C 0   (  0   1 ln A)   A  ( 2 A1 H 1t 2 H 11   2 A2 H 2 t 2 H 2 1 )  g (V )  Vg ' (V )   2V 2 g ' ' (V )
A A2
(25)

13. Se deriva parcialmente y después de ordenar términos la ecuación anterior respecto a C0,
w1 y w2 y se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
A
C0  (26 a)
1
H 1t 2 H 11 C r  C
w1  (1  ) w2  1  (26 b)
H 1t  C  H 2t
2 H 11 2

2 H 2 1 2
C 2( H 1t  C 2  H 2 t 2 H 21 2 C )
2 H 11
 r
H 1t 2 H 11 ( C   ) 2
w1  (1  ) w2  1  (26 c)
H 1t 2 H 11 C ( C   )  H 2 t 2 H 21 2 C H 1t 2 H 11 C ( C   )   2 C H 2 t 2 H 21
Nuevamente se observa que el consumo no es afectado por proceso estocástico que lo
modela, mientras que las posibles inversiones ahora son funciones de los exponentes
Hurst (H1 y H2) y de tiempo inicial t. Si en la ecuación de soluciones se toma solución
de esquina w1 = 0 y w2=1, se sustituyen las expresiones generales de  C y  C se llega
a la ecuación Black-Scholes equivalente para movimientos brownianos fraccionales con
volatilidad estocástica fraccional.
C C C  2C  2C
 rS    2 S 2 H 1t 2 H1 1 2   2V 2 H 2 t 2 H 2 1  rC  0 (27)
t S V S V 2
en donde r    2 2 H1t 2 H 11 y el valor de mercado de riesgo estará dado por:
  2H1t 2 H 11
La ecuación (27) es similar a la ecuación Black-Scholes con volatilidad estocástica
obtenida por Hull and White (1987) pero con la diferencia que los procesos estocástico
considerados son movimientos brownianos fraccionales y no existe correlación entre el
comportamiento del subyacente y su volatilidad. {Con la misma solución de esquina y la
ecuación () se llega también a una ecuación para g(V) :
  1 C
g ' ' (V )  g ' (V )  2 2 g (V )  2 [ ln C0   ( 0  1 ln A)  (  0 )1   2 H 1t 2 H 11 1 ] (28)
V
2
V V A
Como la solución del problema Hull and White de un proceso con volatilidad estocástica
modelada por un browniano tradicional es un resultado conocido, se propone una
solución a la ecuación (27) con una estructura similar, como la siguiente:
C (t , S )  C BSF  g ( K )d1d 2  h( K )d1 d 2
2 2
(29)
donde CBSF, d1 y d2 son las soluciones de la ecuación Black-Scholes fraccional. Las
funciones g(K) y h(K) son funciones a determinar en una solución que se propone y
depende de K  T 2 H 1  t 2 H 1

14.  C   C   C    C    C 
2 2
A partir de la ecuación anterior (29) se calculan las  , , ,  2 ,  2  y
  
 t   S   V   S   V 
posteriormente se sustituyen en la ecuación (29).Después de sustituir, agrupar y
acomodar términos se llega la expresión siguiente:
 C  2C C 
  H 1 2 t 2 H1 1 S 2 2  rS  rC   P1 ( K ) g ' ( K )  P2 ( K ) g ( K )  P3 ( K )  U1 ( K )h' ( K )  U 2 ( K )h( K )  U 3 ( K )  0
 t S S 
(30)
Una solución posible de la ecuación anterior ocurre cuando cada uno de los términos
son cero independientemente uno de otro, es decir:
C  2C C
 H 1 2 t 2 H1 1 S 2 2  rS  rC  0 (31 a)
t S S
P1 ( K ) g ' ( K )  P2 ( K ) g ( K )  P3 ( K )  0 (31 b)
U 1 ( K )h' ( K )  U 2 ( K )h( K )  U 3 ( K )  0 (31 c)
La ecuación (31 a) es conocida como la ecuación Black-Scholes Fraccional y la solución
que satisface también es conocida ( Necula[15] y Sierra[23]). Las ecuaciones
(31 a 31 b y 31 c ) son ecuaciones diferenciales de las funciones g(K) y h(K). Una vez
que se encuentran estas funciones que dependen de
P ( K ), P2, ( K ) P3 ( K ),U1 ( K ),U 2 ( K )U 3 ( K ), se puede determinar la solución completa de
1
(27), sus valores están dados por:
P ( K )  2H1t 2 H1 1d1d 2
1 ( 32 a)
 d d  2 d1 d  2 d1 
P2 ( K )  (d1  d 2 )( 1  rS 1   2 S 2 H 1t 2 H1 1   1   2VH 2 t 2 H 2 1 )  rd1d 2  
 t S S 2
V V 2

d1 V H 1t 2 H1 1 d1 2  K K d1 d
[  2 2 S 2 H 1t 2 H 11 ( )  d1   2VH 2 t 2 H 2 1 ( )  2( 1 ) 2 ]
K S 2 V V V V
(32 b)
d1 d 1 K
P3 ( K )  [ SN ' (d1 )  Ke r (T t ) N ' (d 2 )( 1  )] (32 c)
V V 2 V

15. U1 ( K )  2H1t 2 H1 1d1 d 2
2 2
(32 d)
d1 d  2 d1 d  2 d1
U 2 ( K )  [(d1  d 2 )d1 d 2 (  rS 1   2 S 2 H 1t 2 H 11   1   2VH 2 t 2 H 21 )  rd1 d 2 ] 
t S S 2 V V 2
K d 1 2 K
 [d1 d 2 H 1t 2 H1 1  (d1  4d1 d 2  d 2 )( 1 ) 2  d1 d 2 ]
2 2 2
V V 2 V
 d1 2 1 K d1  d1 1 K  1  d 1 K 
 2VH 2 t 2 H 21  ( ) (d1  d 2 ) 2  (d1  d 2 )d1   d 1 d 2  d 1 2  1  
 V
 2 V V  V 2 V   2  V 2 V  
 
(32 e)
 d1
2
d  d
2
1 K d 1 K
U 3 ( K )  [ SN ' (d1 )  SN ' ' (d1 )( 1 ) 2  Ke r (T t ) N ' (d 2 )( 21  )]  [ Ke r (T t ) N ' ' (d 2 )( 1 
V 2
V V 4 V 3
V 2 V
(32 f)
Debido a las características de la ecuación diferencial las soluciones para g(K) y h(K)
están dadas por:
 
g ( K )  e   P ( K ) dK  e  P ( K ) q ( K ) dK  ce   P ( K ) dK (33 a)
 
h( K )  e   U ( K ) dK  e  U ( K )V ( K ) dK  ce   U ( K ) dK (33 b)
con:
P2 P U U
P( K )  , q( K )  3 , U ( K )  2 ,V ( K )  3 ( 33 c)
P1 P1 U1 U1
La solución de la ecuaciones (33 a 33 b y 33 c) no se presenta como un problema sencillo
de resolver y de forma cerrada. Mas bien se propone como un problema abierto a futuras
investigaciones nuevas formas de resolver el problema, así como la reducción de la
solución a la valuación de un derivado con volatilidad estocástica del método de Hull
and White cuando el coeficiente H=1/2.
6. Volatilidad Implícita de una opción europea modelada con un MBF
El precio de una opción call europea en cualquier 0  t  T , dado un precio de
ejercicio K, una tasa libre de riesgo r, una volatilidad, un vencimiento en T y un
coeficiente Hurst H de la serie financiera subyacente modelada por un su parte
estocástica por un movimiento browniano fraccional de acuerdo al trabajo de Necula[15]
(2002) esta dado por:

16. C(t, S(t))  S(t)N(d1 ) - K e -r(T -t) N(d 2 ) (34)
donde
 S(t)  1 2 2H 2H
ln    r( T - t )   ( T - t )
d1  
K  2
(34 a)
 T 2H - t 2H
y
 S(t)  1 2 2H 2H
ln    r( T - t )   ( T - t )
d2  
K  2
( 34 b)
 T - t 2H
2H
Que satisface la ecuación Black-Scholes Fraccional:
C (t , S )  2 C (t , S ) C (t , S )
 H 2 t 2 H 1 S 2  rS  rC(t , S )  0 (35)
t S 2
S
con condiciones de Frontera:
C(t,S)  Max(S - K,0)
Varios de los modelos anteriores están basados en información histórica y en general en
sus pronósticos no incorporan cambios estructurales o de eventos extremos. Para corregir
esto se debe incluir la información de la volatilidad implícita en el precio de opciones.
El modelo de la volatilidad implícita toma los precios de los contratos de las opciones
que cotizan en el mercado y a partir de estos se infieren las expectativas de mercado por
lo tanto tiene la ventaja de maximizar las oportunidades de inversión, de arbitraje, de
cobertura e incluso de especulación.
Este modelo utiliza la valuación de opciones de Black-Scholes y un método numérico
de aproximaciones (como el de Newton o Newton-Raphson) para estimar la volatilidad
partiendo del conocimiento de los parámetros restantes. De acuerdo con este modelo a
partir del precio de contratos de opciones europeas (call o put), del precio del activo
subyacente, del vencimiento de la opción y la tasa de interés libre de riesgos se estima la
volatilidad correspondiente en cada momento del tiempo.
En el inicio de la sección se presenta la ecuación Black-Scholes, su solución y la
valuación de opciones europeas, considerando que el término estocástico de la
modelación del activo subyacente se hace con un movimiento browniano fraccional.
Utilizando las solución de la ecuación de Black-Scholes Fraccional (34, 34 a y 34 b) y el
método de Newton podemos determinar el valor de la volatilidad implícita con un
algoritmo recurrente de acuerdo a la siguiente expresión para el caso que se conoce el
precio de un contrato call europeo:

17. C  ( S (t ) N (d1 )  Ke  r (T t ) N (d 2 ))
 t 1  t  (36)
d1  r (T t ) d2
S (t ) N ' (d1 )( T  t  )  Ke
2H 2H
N ' (d 2 )( T  t  )
2H 2H
 
De forma análoga para el put europeo podemos encontrar una formula para la estimación
de la volatilidad implícita considerando un movimiento browniano fraccional para el caso
de un PUT europeo:
P  ( Ke  r (T t ) N (d 2 )  S (t ) N (d1 ))
 t 1  t  (37)
d1  r (T t ) d2
S (t ) N ' (d1 )( T  t  )  Ke
2H 2H
N ' (d 2 )( T  t  )
2H 2H
 
Para realizar la estimación de la volatilidad implícita de una opción ecuaciones (36) y
(37)con información del mercado de valores, utilizaremos la publicación del Mexder de
Indicadores del Mercado en el Boletín de Opciones del 30 de Enero de 2007 , ano 4 no
728. Se considera el caso de un call sobre el IPC. En la tabla siguiente aparece la
información necesaria para la estimación de la volatilidad que también proviene del
mismo boletín. La tasa de rendimiento se calibra de la información del boletín y el
modelo utilizado.
Tabla 3
T de Opción Subyacente Precio Fecha Vencimiento Rend
Actual Estimado
Call Europea IPC 27,135 14-12-2006 18-06-07 0.045
Si se considera diferentes niveles de persistencia, es decir, distintos valores de H, de
acuerdo a las ecuaciones (36)y (37) se grafica la volatilidad implícita contra precio de
ejercicio comparándola con la información de la volatilidad del boletín mencionado, para
valores lejanos del precio de ejercicio fuera del dinero se tiene problemas en la
estimación de la volatilidad implícita.
Se observa de la grafica (3) que la volatilidad implícita para determinado precios de
ejercicio del IPC va aumentando conforme la serie tiene mayor persistencia (a medida
que H va aumentando). En otras palabras, la volatilidad implícita de opciones call
europeas con subyacente que posea persistencia, es mayor que la volatilidad de opciones
call con subyacentes de incrementos independientes.
Otra función importante de la volatilidad implícita además de ser un indicador asociado
al riesgo o la incertidumbre es ayudar a la creación de indicadores, de productos
referenciados e índices. Su importancia y su aceptación han crecido en los últimos anos
ya que brinda una idea de la volatilidad que el mercado esta esperando.

18. 7. Aplicación al caso de México, el Índice Vimex
La metodología del índice de volatilidad implícita de México, VIMEX , engloba la
volatilidad esperada del mercado accionario y calcula la volatilidad implícita a través de
las opciones del IPC listadas en el MexDer. El periodo de medición de la volatilidad del
índice es constante en el corto plazo de 66 días hábiles o de 90 días naturales. Este tema
puede ser revisado con mayor detalle en información de mercado de la página electrónica
del MexDer consiste principalmente de tres etapas que a continuación se mencionan:
Para la estimación del índice VIMEX se necesitara del modelo de valuación de opciones
Black-Scholes y de todos los parámetros necesarios mencionados en la sección anterior.
La metodología para la estimación del índice VIMEX consta fundamentalmente de tres
etapas:
En la primera etapa se calcula el promedio de las volatilidades implícitas de las parejas de
opciones europeas (call y put) que quedan por arriba y por abajo del precio strike teórico
y para los vencimientos más cercano y el segundo vencimiento más próximo.
La segunda etapa consiste en encontrar la volatilidad implícita del precio de ejercicio en
el dinero interpolando las volatilidades de la etapa anterior utilizando los precios de
ejercicio inmediatos por arriba y por abajo del cierre de mercado respectivamente en el
momento del cálculo y el nivel de cierre del IPC del mercado de capitales.
En la etapa final se ponderan las volatilidades del vencimiento más cercano y del segundo
más cercano para crear un periodo constante considerando que los vencimientos son
trimestrales.
Utilizando la información de la publicación del Mexder de Indicadores del Mercado en el
Boletín de Opciones de los días hábiles del mes de enero de 2007. A partir de los
precios de los contratos call y put, los precios de ejercicios y las fechas de vencimiento y
a partir de la volatilidad implícita reportada se calibran las tasas de interés libre de riesgo.
Considerando los parámetros mencionados y las ecuaciones (36) y (37) puede estimarse
las volatilidades implícitas para diferentes niveles de persistencia.
Haciendo uso de las volatilidades implícitas reportadas en el boletín correspondientes
para un call y put con subyacente del IPC y con las volatilidades implícitas a partir de
las ecuaciones se realiza en la grafica 4 un comparativo con el índice VIMEX reportado y
para los distintos niveles de persistencia.
Se observa en la Grafica 4 como cambiaria el Índice de volatilidad VIMEX en caso de
que la serie IPC tuviera niveles de persistencia. En el caso que H cambie de subyacentes
con características de independencia a H=0.6 el nivel de volatilidad aumentaría cerca de
por ciento. En el caso extremo de H=1 la serie VIMEX estaría creciendo en casi 100 por
ciento.

19. 8. Conclusiones
Se revisa las propiedades de independencia de la serie de volatilidades del IPC
confirmando la presencia de persistencia llegando a ser significativas. Con base en el
resultado anterior, se propone que tanto el activo subyacente como su volatilidad tengan
un comportamiento modelado por un MBF.
Con la aplicación del método H-J-B sobre un activo y su volatilidad utilizando dos
procesos brownianos fraccionales no correlacionados es posible plantear a una ecuación
de tipo Black-Scholes fraccional generalizada. La aplicación del método H-J-B
fraccional, la propuesta de solución, así como la estimación de persistencia de la
volatilidad a través del método (R/S) también son aportaciones del presente trabajo.
La volatilidad implícita deducida de la ecuación Black-Scholes Fraccional de un call
europeo de las series (TDC y IPC) resulta ser mayor conforme aumenta la persistencia de
la serie dado un precio de ejercicio. Y si además consideramos esta estimación fraccional
de la volatilidad implícita para call y put europeos del mercado mexicano para el calculo
del índice VIMEX, tenemos como resultado que entre mayor sea la memoria de una serie
del IPC, el valor del índice VIMEX también será mayor.
Grafica1

20. Grafica 2
Grafica 3
Grafica 4

21. Bibliografía
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