Estadistica ingenieros

Apuntes de Estadística
para Ingenieros
Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo
Dpto de Estadística e Investigación Operativa
Universidad de Jaén
Versión 1.3, junio de 2012

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Apuntes de
Estadística para Ingenieros
Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo
Departamento de Estadística e Investigación Operativa
Universidad de Jaén
Versión 1.3
Junio de 2012

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén
2 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Índice general
1. Introducción 11
IFIF ¾ué signi(™— ist—dísti™—c F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F II
IFPF v— ist—dísti™— en el ám˜ito de l— gien™i— y l— sngenierí— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IP
IFPFIF ijemplo de l—s ™—p—s de óxido de sili™io F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IP
IFPFPF ijemplo de l— ˜om˜ill— de ˜—jo ™onsumo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IP
IFPFQF ijemplo de los niveles de plomo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IR
IFPFRF ijemplo de los ™ojinetes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IR
IFPFSF ijemplo de l— —˜sor™ión de un ™ompuesto — distint—s dosis y en distintos tiempos de
—˜sor™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IR
IFPFTF ijemplo de los —™™identes l—˜or—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IS
IFPFUF ijemplo de l— ™o˜ertur— de l— —nten— de telefoní— móvil F F F F F F F F F F F F F F F F F IS
IFPFVF ijemplo de l— señ—l —le—tori— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IS
IFQF he(ni™iones ˜ási™—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IS
I Estadística descriptiva 17
2. El tratamiento de los datos. Estadística descriptiva 19
PFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IW
PFPF „ipos de d—tos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IW
PFQF wétodos grá(™os y numéri™os p—r— des™ri˜ir d—tos ™u—lit—tivos F F F F F F F F F F F F F F F F F F PH
PFRF wétodos grá(™os p—r— des™ri˜ir d—tos ™u—ntit—tivos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PI
PFSF wétodos numéri™os p—r— des™ri˜ir d—tos ™u—ntit—tivos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PS
PFSFIF wedid—s de tenden™i— ™entr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PS
PFSFIFIF wedi— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PS
PFSFIFPF wedi—n— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PT
PFSFIFQF wod— o interv—lo mod—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PT
PFSFPF gu—ntiles F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PU
PFSFQF wedid—s de v—ri—™ión o dispersión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PV
Q

PFSFQFIF †—ri—nz— muestr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PV
PFSFQFPF hesvi—™ión típi™— o est—nd—r muestr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW
PFSFQFQF goe(™iente de v—ri—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QH
PFSFRF wedid—s de form—F goe(™iente de —simetrí— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QI
PFSFSF €—rámetros muestr—les y p—rámetros po˜l—™ion—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QP
PFTF wétodos p—r— dete™t—r d—tos ™u—ntit—tivos —típi™os o fuer— de r—ngo F F F F F F F F F F F F F F QQ
PFTFIF wedi—nte l— regl— empíri™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ
PFTFPF wedi—nte los per™entiles F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ
PFUF ƒo˜re el ejemplo de l—s ™—p—s de dióxido de sili™io F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QR
II Cálculo de Probabilidades 37
3. Probabilidad 39
QFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QW
QFPF ixperimentos —le—torios y experimentos determinísti™os F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RH
QFQF he(ni™ión de pro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RH
QFQFIF Álge˜r— de ™onjuntos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RH
QFQFPF isp—™io muestr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RI
QFQFQF pun™ión de pro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RQ
QFRF snterpret—™ión fre™uentist— de l— pro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RS
QFSF snterpret—™ión su˜jetiv— de l— pro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RS
QFTF isp—™io muestr—l ™on result—dos equipro˜—˜lesF pórmul— de v—pl—™e F F F F F F F F F F F F F F RT
QFUF €ro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d—F sndependen™i— de su™esos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT
QFVF „eorem— de l— pro˜—˜ilid—d tot—l y „eorem— de f—yes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SI
QFWF wás so˜re el „eorem— de f—yes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SS
QFWFIF ijemplo del juez F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ST
QFWFPF ijemplo de l— máquin— de dete™™ión de f—llos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SU
4. Variable aleatoria. Modelos de distribuciones de probabilidad 61
RFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TI
RFPF †—ri—˜le —le—tori— dis™ret— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TP
RFPFIF he(ni™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TP
RFPFPF pun™ión m—s— de pro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TP
RFPFQF pun™ión m—s— de pro˜—˜ilid—d empíri™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TQ
RFPFRF wedi— y v—ri—nz— de un— v—ri—˜le —le—tori— dis™ret— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TQ
RFQF wodelos de distri˜u™iones de pro˜—˜ilid—d p—r— v—ri—˜les dis™ret—s F F F F F F F F F F F F F F F TR
RFQFIF histri˜u™ión ˜inomi—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS

Apuntes de Estadística para Ingenieros
RFQFPF histri˜u™ión de €oisson F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TV
RFQFQF histri˜u™ión geométri™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UH
RFQFRF histri˜u™ión ˜inomi—l neg—tiv— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UI
RFRF †—ri—˜le —le—tori— ™ontinu— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UQ
RFRFIF he(ni™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UQ
RFRFPF ristogr—m— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UQ
RFRFQF pun™ión de densid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F US
RFRFRF pun™ión de distri˜u™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UT
RFRFSF pun™ión de distri˜u™ión empíri™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UU
RFRFTF wedi— y v—ri—nz— de un— vF—F ™ontinu— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UV
RFSF wodelos de distri˜u™iones de pro˜—˜ilid—d p—r— v—ri—˜les ™ontinu—s F F F F F F F F F F F F F F F VP
RFSFIF histri˜u™ión uniforme @™ontinu—A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VP
RFSFPF histri˜u™ión exponen™i—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VP
RFSFQF histri˜u™ión q—mm— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VR
RFSFRF histri˜u™ión norm—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VT
RFTF gu—ntiles de un— distri˜u™iónF epli™—™iones F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WP
RFTFIF v— ˜om˜ill— de ˜—jo ™onsumo m—r™— ex„i F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WQ
RFTFPF v—s visit—s —l pedi—tr— de los p—dres preo™up—dos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WR
5. Variables aleatorias con distribución conjunta 97
SFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WU
SFPF histri˜u™iones ™onjunt—D m—rgin—l y ™ondi™ion—d— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WW
SFPFIF histri˜u™ión ™onjunt— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WW
SFPFPF histri˜u™iones m—rgin—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHI
SFPFQF histri˜u™iones ™ondi™ion—d—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHQ
SFQF sndependen™i— est—dísti™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHU
SFRF wedi—sD v—ri—nz—s y ™ov—ri—nz—s —so™i—d—s — un ve™tor —le—torio F F F F F F F F F F F F F F F F F III
SFRFIF gov—ri—nz— y ™oe(™iente de ™orrel—™ión line—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F III
SFRFPF †e™tor de medi—s y m—triz de v—ri—nz—sE™ov—ri—nz—s de un ve™tor F F F F F F F F F F F F IIV
SFSF histri˜u™ión norm—l multiv—ri—nte F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IIW
III Inferencia estadística 125
6. Distribuciones en el muestreo 127
TFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IPU
TFPF wuestreo —le—torio F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IPV
TFQF histri˜u™iones en el muestreo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IPV
TFRF histri˜u™iones en el muestreo rel—™ion—d—s ™on l— distri˜u™ión norm—l F F F F F F F F F F F F F F IPW
Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 5

7. Estimación de parámetros de una distribución 133
UFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQQ
UFPF istim—™ión puntu—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQR
UFPFIF he(ni™ión y propied—des dese—˜les de los estim—dores puntu—les F F F F F F F F F F F F F IQR
UFPFPF istim—™ión de l— medi— de un— vF—F v— medi— muestr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQS
UFPFQF istim—™ión de l— v—ri—nz— de un— vF—F †—ri—nz— muestr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F IQS
UFPFRF istim—™ión de un— propor™ión po˜l—™ion—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQU
UFPFSF y˜ten™ión de estim—dores puntu—lesF wétodos de estim—™ión F F F F F F F F F F F F F F F IQV
UFPFSFIF wétodo de los momentos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQV
UFPFSFPF wétodo de máxim— verosimilitud F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQW
UFPFTF „—˜l— resumen de los estim—dores de los p—rámetros de l—s distri˜u™iones más ™omunes IRP
UFQF istim—™ión por interv—los de ™on(—nz— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRP
UFQFIF snterv—los de ™on(—nz— p—r— l— medi— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRR
UFQFPF snterv—los de ™on(—nz— p—r— un— propor™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRT
UFQFQF snterv—los de ™on(—nz— p—r— l— v—ri—nz— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRT
UFQFRF ytros interv—los de ™on(—nz— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRU
UFRF ‚esolu™ión del ejemplo de los niveles de plomo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRV
8. Contrastes de hipótesis paramétricas 149
VFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRW
VFPF irrores en un ™ontr—ste de hipótesis F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISI
VFQF pEv—lor de un ™ontr—ste de hipótesis F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISQ
VFQFIF he(ni™ión de pEv—lor F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISQ
VFQFPF gál™ulo del pEv—lor F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISS
VFRF gontr—ste p—r— l— medi— de un— po˜l—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IST
VFRFIF gon muestr—s gr—ndes @n ≥ 30A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IST
VFRFPF gon muestr—s pequeñ—s @n < 30A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISV
VFSF gontr—ste p—r— l— diferen™i— de medi—s de po˜l—™iones independientes F F F F F F F F F F F F F F ISW
VFSFIF gon muestr—s gr—ndes @n1, n2 ≥ 30A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISW
VFSFPF gon muestr—s pequeñ—s @n1 < 30 o n2 < 30A y v—ri—nz—s igu—les F F F F F F F F F F F F F ITH
VFSFQF gon muestr—s pequeñ—sD v—ri—nz—s distint—s y mismo t—m—ño muestr—l F F F F F F F F F ITI
VFSFRF gon muestr—s pequeñ—sD v—ri—nz—s distint—s y distinto t—m—ño muestr—l F F F F F F F F ITI
VFTF gontr—ste p—r— l— diferen™i— de medi—s de po˜l—™iones —p—re—d—s F F F F F F F F F F F F F F F F ITP
VFTFIF gon muestr—s gr—ndes @n ≥ 30A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITP
VFTFPF gon muestr—s pequeñ—s @n < 30A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITP
VFUF gontr—ste p—r— l— propor™ión en un— po˜l—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITR
VFVF gontr—ste p—r— l— diferen™i— de propor™iones F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITT

VFWF gontr—ste p—r— l— v—ri—nz— de un— po˜l—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITU
VFIHF gontr—ste p—r— el ™o™iente de v—ri—nz—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITU
VFIIF gontr—ste p—r— l—s medi—s de más de dos po˜l—™iones independientesF exy†e F F F F F F F F F ITV
VFIPF il pro˜lem—s de l—s prue˜—s múltiplesF wétodo de fonferroni F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUI
VFIQF ‚esolu™ión del ejemplo del del diámetro de los ™ojinetes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUP
9. Contrastes de hipótesis no paramétricas 173
WFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUQ
WFPF gontr—stes de õnd—d de —juste F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUQ
WFPFIF „est χ2
de õnd—d de —juste F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUR
WFPFPF „est de uolmogorovEƒmirno' F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUV
WFQF gontr—ste de independen™i— χ2
F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUW
WFRF ‚esolu™ión del ejemplo de los —™™identes l—õr—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IVQ
10.Regresión lineal simple 185
IHFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IVS
IHFPF istim—™ión de los ™oe(™ientes del modelo por mínimos ™u—dr—dos F F F F F F F F F F F F F F F F IVV
IHFQF ƒupuestos —di™ion—les p—r— los estim—dores de mínimos ™u—dr—dos F F F F F F F F F F F F F F F IWP
IHFRF snferen™i—s so˜re el modelo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IWQ
IHFRFIF snferen™i— so˜re l— pendiente F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IWQ
IHFRFPF snferen™i— so˜re l— orden—d— en el origen F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IWU
IHFSF il ™oe(™iente de ™orrel—™ión line—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IWW
IHFTF pi—˜ilid—d de l— re™t— de regresiónF il ™oe(™iente de determin—™ión line—l F F F F F F F F F F F F PHP
IHFUF €redi™™ión y estim—™ión — p—rtir del modelo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PHQ
IHFVF hi—gnosis del modelo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PHT
IHFVFIF xorm—lid—d de los residuos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PHT
IHFVFPF qrá(™— de residuos frente — v—lores —just—dos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PHT
IV Procesos aleatorios 209
11.Procesos aleatorios 211
IIFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PII
IIFIFIF he(ni™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIP
IIFIFPF „ipos de pro™esos —le—torios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIP
IIFPF hes™rip™ión de un pro™eso —le—torio F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIS
IIFPFIF hes™rip™ión est—dísti™— medi—nte distri˜u™iones multidimension—les F F F F F F F F F F F PIS
IIFPFPF pun™ión medi— y fun™iones de —uto™orrel—™ión y —uto™ov—ri—nz— F F F F F F F F F F F F F PIS
IIFQF „ipos más ™omunes de pro™esos —le—torios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIU

IIFQFIF €ro™esos independientes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIU
IIFQFPF €ro™esos ™on in™rementos independientes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIV
IIFQFQF €ro™esos de w—rkov F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIV
IIFQFRF €ro™esos dé˜ilmente est—™ion—rios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIW
IIFQFSF €ro™esos ergódi™os F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPI
IIFRF ijemplos de pro™esos —le—torios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPP
IIFRFIF ‚uidos ˜l—n™os F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPP
IIFRFPF €ro™esos g—ussi—nos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPQ
IIFRFQF €ro™esos de €oisson F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPR

Prólogo
il o˜jeto fund—ment—l de l— edi™ión de este do™umento es f—™ilit—r — los —lumnos de ingenierí— de l— is™uel—
€olité™ni™— ƒuperior de vin—res el des—rrollo de los ™ontenidos teóri™os de l— —sign—tur— EstadísticaF hesde un
punto de vist— menos lo™—lD espero que se— útilD en —lgun— medid—D — todo —quel que ne™esite ™ono™imientos
˜ási™os de l—s té™ni™—s est—dísti™—s más usu—les en el —m˜iente ™ientí(™oEte™nológi™oF
e todos ellosD —lumnos y le™tores en gener—lD quiero f—™ilit—rles el privilegio de —prender de quienes yo he
—prendidoD sugiriéndoles ™u—tro m—nu—les que p—r— mí h—n sido referen™i—s fund—ment—lesF ƒe tr—t—D en primer
lug—rD del m—gní(™o li˜ro de ƒheldon wF ‚ossD Introducción a la EstadísticaF in él puede en™ontr—rse l—
m—yor p—rte de lo que v—mos — estudi—r —quíD expli™—do de form— sen™ill— y ™l—r—D pero t—m˜ién ™oment—rios
históri™osD reseñ—s ˜i˜liográ(™—s so˜re m—temáti™os y est—dísti™os relev—ntes y ejemplos muy —propi—dosF
in segundo lug—rD re™omiendo los tr—˜—jos de ‡illi—m x—vidiD Estadística para ingenieros y cientícosD y
t—y hevoreD Probabilidad y estadística para ingeniería y cienciasD so˜re todo por l— —™tu—lid—d de mu™hos
de sus ejemplos y por ™ómo enf—tiz—n el ™—rá™ter —pli™—doD prá™ti™oD de l— ist—dísti™— en el ám˜ito de l—
gien™i— y l— „e™nologí—F pin—lmenteD de˜o men™ion—r t—m˜ién el li˜ro de wendenh—l 8 ƒin™i™hD Probabilidad
y Estadística para Ingeniería y CienciasD que in™luyeD ™omo los dos —nterioresD unos ejemplos y ejer™i™ios
propuestos m—gní(™osF
in el —™tu—l ™ontexto del isp—™io iuropeo de idu™—™ión ƒuperiorD l— —sign—tur— Estadística tieneD en l— m—yor
p—rte de los gr—dos en ingenierí—D un ™—rá™ter ˜ási™o y un— dot—™ión de T ™réditos ig„ƒF esí o™urreD por
ejemploD en l—s r—m—s de industri—les o tele™omuni™—™iones que se imp—rten en l— …niversid—d de t—énF ytr—s
r—m—sD ™omo l— de ingenierí— ™ivilGminer—D h—n opt—do por in™luirl— ™omo —sign—tur— o˜lig—tori—D ™omp—rtid—
™on un— —sign—tur— de —mpli—™ión de m—temáti™—s en l— que se proponen Q ™réditos ig„ƒ de est—dísti™—F gon
todoD ™reo que estos —puntes pueden —d—pt—rse — esos distintos ™ontextosD —™l—r—ndo qué tem—s pueden ser
más —de™u—dos p—r— ™—d— titul—™iónF in ™on™retoX
IF €—r— l—s distint—s espe™i—lid—des de l— r—m— de industri—les serí—n oportunos los ™—pítulos ID PD QD RD TD
UD VD W y IHF il ™—pítulo WD so˜re ™ontr—stes no p—r—métri™os puede d—rse — modo de semin—rioD si el
des—rrollo de l— do™en™i— —sí lo sugiereF ƒin em˜—rgoD el ™—pítulo IHD so˜re regresión line—l simpleD me
p—re™e impres™indi˜le en l— form—™ión de un futuro ingeniero industri—lF
PF in los gr—dos de l— r—m— de tele™omuni™—™ionesD ™reo que son ne™es—rios los ™—pítulos ID PD QD RD SD TD
UD V y IIF ‚esult— —sí el tem—rio quizá más exigenteD de˜ido — l— ne™esid—d de introdu™ir un ™—pítulo
so˜re ve™tores —le—torios previo — otro so˜re pro™esos esto™ásti™osF ued— — ini™i—tiv— del do™ente l—
posi˜ilid—d de re™ort—r —lgunos —spe™tos en los tem—s tr—t—dos en —r—s — h—™er más liger— l— ™—rg—
do™enteF
QF pin—lmenteD en los gr—dos de l— r—m— ™ivil y miner—D donde l— dot—™ión de ™réditos es menorD ™reo que
W

son —de™u—dos los ™—pítulos ID PD QD RD TD UD V y IHD si ˜ien elimin—ndo —lgunos de sus —p—rt—dosD ™uestión
ést— que dejoD de nuevoD — jui™io del do™enteF „—m˜ién sugiero que se tr—˜—jen los pro˜lem—s so˜re estos
™—pítulos dire™t—mente en el ™ontexto de un—s prá™ti™—s ™on orden—dorF
ƒólo me qued— pedir dis™ulp—s de —ntem—no por l—s err—t—s queD pro˜—˜lementeD ™ontienen est—s págin—sF ys
ruego que me l—s h—gáis lleg—r p—r— ™orregirl—s en posteriores edi™ionesF
vin—resD junio de PHIPF

Capítulo 1
Introducción
vleg—rá un dí— en el que el r—zon—miento est—dísti™o será t—n ne™es—rio p—r— el ™iud—d—no ™omo
—hor— lo es l— h—˜ilid—d de leer y es™ri˜ir
rFqF ‡ells @IVTTEIWRTA
Resumen. il ™—pítulo in™luye un— introdu™™ión del término Estadística y present— los ™on™eptos más ˜ási™os
rel—tivos — po˜l—™iones y muestr—sF
Palabras clave: est—dísti™—D po˜l—™iónD po˜l—™ión t—ngi˜leD po˜l—™ión ™on™eptu—lD v—ri—˜leD muestr—D muestr—
—le—tori— simpleF
1.1. ¾Qué signica Estadística?
ƒi ˜us™—mos en el hi™™ion—rio de l— ‚e—l e™—demi— isp—ñol— de l— vengu— @h‚eiA el vo™—˜lo Estadística
—p—re™en tres —™ep™iones de di™h— p—l—˜r—1X
IF Estudio de los datos cuantitativos de la población, de los recursos naturales e industriales, del tráco o
de cualquier otra manifestación de las sociedades humanas.
PF Conjunto de estos datos.
QF Rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias
basadas en el cálculo de probabilidades.
€ro˜—˜lemente el más ™omún de los signi(™—dos ™ono™idos de l— p—l—˜r— se— el segundoD y por ello solemos
ver en los medios de ™omuni™—™ión que ™u—lquier re™opil—™ión de ™ifr—s referentes — —lgún —sunto es ll—m—do
@de form— muy redu™™ionist—A estadística o estadísticasF
ƒin em˜—rgoD el v—lor re—l de l— Estadística ™omo ™ien™i— tiene que ver mu™ho más ™on l— primer— y l— ter™er—
—™ep™ión del h‚eiF gon™ret—menteD el primero de los signi(™—dos se ™orresponde ™on lo que v—mos — estudi—r
™omo Estadística DescriptivaD donde l— ist—dísti™— se utiliz— p—r— resumirD des™ri˜ir y explor—r d—tosD y el
ter™ero ™on lo que denomin—remos Inferencia EstadísticaD donde lo que se pretende medi—nte l— ist—dísti™—
1http://buscon.rae.es/draeI/SrvltGUIBusUsual?LEMA=estad%C3%ADstica
II

es utiliz—r d—tos de un ™onjunto redu™ido de ™—sos p—r— inferir ™—r—™terísti™—s de éstos —l ™onjunto de todos
ellosF
1.2. La Estadística en el ámbito de la Ciencia y la Ingeniería
il p—pel de l— ist—dísti™— en l— gien™i— y l— sngenierí— hoy en dí— es ™ru™i—lD fund—ment—lmente porque
—l —n—liz—r d—tos re™opil—dos en experimentos de ™u—lquier tipoD se o˜serv— en l— m—yorí— de l—s o™—siones
que di™hos d—tos están sujetos — —lgún tipo de in™ertidum˜reF il investig—dor o el profesion—l de˜e tom—r
de™isiones respe™to de su o˜jeto de —nálisis ˜—sándose en esos d—tosD p—r— lo ™u—l de˜e dot—rse de herr—mient—s
—de™u—d—sF
e ™ontinu—™ión v—mos — des™ri˜ir un— serie de pro˜lem—s prá™ti™os en los que se pl—nte—n situ—™iones de este
tipoF †—mos — ponerle un nom˜re espe™í(™o porque iremos men™ionándolos — lo l—rgo del ™ursoD ™onforme
se—mos ™—p—™es de responder — l—s ™uestiones que ™—d— uno de ellos dej—n —˜iert—sF
1.2.1. Ejemplo de las capas de óxido de silicio
il —rtí™ulo †irgin †ersus ‚e™y™led ‡—fers for purn—™e u—li(™—tionX ss the ixpense tusti(edc @†F gzitrom y
tF ‚ee™eD en Statistical Case Studies for Industrial Process ImprovementD eƒe y ƒsewD IWWUXVUEIHRA des™ri˜e
un pro™eso p—r— el ™re™imiento de un— ™—p— delg—d— de dióxido de sili™io so˜re pl—™—s de sili™io que se us—n en
l— f—˜ri™—™ión de semi™ondu™toresF in él —p—re™en d—tos rel—tivos — l—s medi™iones del espesorD en —ngstroms
@
◦
AAD de l— ™—p— de óxido p—r— prue˜—s re—liz—d—s en PR pl—™—sX en ™on™retoD se re—liz—ron W medi™iones en ™—d—
un— de l—s PR pl—™—sF v—s pl—™—s se f—˜ri™—ron en dos series distint—sD IP pl—™—s en ™—d— serieF ist—s pl—™—s
er—n de distintos tipos y se pro™es—ron en distint—s posi™iones en el hornoD y— que entre otros —spe™tosD el
propósito de l— re™opil—™ión de los d—tos er— determin—r si el espesor de l— ™—p— de óxido est—˜— —fe™t—do por
el tipo de pl—™— y por l— posi™ión en el hornoF €or el ™ontr—rioD el experimento se diseñó de t—l m—ner— que
no se esper—˜— ningun— diferen™i— sistemáti™— entre l—s dos seriesF vos d—tos se muestr—n en l— „—˜l— IFIF
vo primero que s—lt— — l— vist— —l mir—r esos d—tos es que es muy ™ompli™—do h—™erse un— ide— glo˜—l de los
result—dosF €—re™en est—r en torno — WH
◦
AD pero ™on v—ri—™iones import—ntes respe™to de ese v—lorF elgun—s de
es—s v—ri—™iones son espe™i—lmente ll—m—tiv—s @UUFSD IHTFUD FFFAX ¾qué p—só en es—s pl—™—sc in sum—D es evidente
que se h—™e ne™es—ri— un— m—ner— sistemáti™— de —n—liz—r los d—tosD tr—t—ndo de des™ri˜irlos de form— pre™is—
y o˜jetiv—D respondiendo — l—s pregunt—s que su˜y—™en en el diseño del experimentoX ¾son l—s dos series de
experimentos homogéne—sc ¾—fe™t— el tipo de pl—™—c ¾—fe™t— l— posi™ión en el hornoc FFF
1.2.2. Ejemplo de la bombilla de bajo consumo
in el envoltorio de l— ˜om˜ill— m—r™— ex„i de IR‡ se —(rm— liter—lmente Lámpara ahorradora de energía.
Duración 8 añosF
he˜o re™ono™er de que tengo mis dud—sF €—r— empez—rD ¾es que — los V —ñosD de repenteD l— lámp—r— se
rompec €or otr— p—rteD ™reo que todos nosotros hemos experiment—do el he™ho de que ést—s lámp—r—s que
supuest—mente tienen un— dur—™ión m—yor que l—s tr—di™ion—les lámp—r—s in™—ndes™entes @según el envoltorioD
V ve™es m—yorAD sin em˜—rgoD se rompen ™on f—™ilid—dF vuegoD ¾qué quiere de™ir ex—™t—mente el envoltorio —l
—(rm—r que su dur—™ión es de V —ñosc

ƒerie €l—™—
◦
A
I I WHFHH WPFPH WRFWH WPFUH WIFT VVFPH WPFHH WVFPH WTFHH
I P WIFVH WRFSH WQFWH UUFQH WPFH VWFWH VUFWH WPFVH WQFQH
I Q WHFQH WIFIH WQFQH WQFSH VUFP VVFIH WHFIH WIFWH WRFSH
I R WPFTH WHFQH WPFVH WIFTH WPFU WIFUH VWFQH WSFSH WQFTH
I S WIFIH VWFVH WIFSH WIFSH WHFT WQFIH VVFWH WPFSH WPFRH
I T UTFIH WHFPH WTFVH VRFTH WQFQ WSFUH WHFWH IHHFQH WSFPH
I U WPFRH WIFUH WIFTH WIFIH VVFH WPFRH VVFUH WPFWH WPFTH
I V WIFQH WHFIH WSFRH VWFTH WHFU WSFVH WIFUH WUFWH WSFUH
I W WTFUH WQFUH WQFWH VUFWH WHFR WPFHH WHFSH WSFPH WRFQH
I IH WPFHH WRFTH WQFUH WRFHH VWFQ WHFIH WIFQH WPFUH WRFSH
I II WRFIH WIFSH WSFQH WPFVH WQFR WPFPH VWFRH WRFSH WSFRH
I IP WIFUH WUFRH WSFIH WTFUH UUFS WIFRH WHFSH WSFPH WQFIH
P I WQFHH VWFWH WQFTH VWFHH WQFT WHFWH VWFVH WPFRH WQFHH
P P WIFRH WHFTH WPFPH WIFWH WPFR VUFTH VVFWH WHFWH WPFVH
P Q WIFWH WIFVH WPFVH WTFRH WQFV VTFSH WPFUH WHFWH WPFVH
P R WHFTH WIFQH WRFWH VVFQH VUFW WPFPH WHFUH WIFQH WQFTH
P S WQFIH WIFVH WRFTH VVFWH WHFH WUFWH WPFIH WIFTH WVFRH
P T WHFVH WIFSH WIFSH WIFSH WRFH WIFHH WPFIH WIFVH WRFHH
P U VVFHH WIFVH WHFSH WHFRH WHFQ WIFSH VWFRH WQFPH WQFWH
P V VVFQH WTFHH WPFVH WQFUH VWFT VWFTH WHFPH WSFQH WQFHH
P W WRFPH WPFPH WSFVH WPFSH WIFH WIFRH WPFVH WQFTH WIFHH
P IH IHIFSH IHQFIH IHQFPH IHQFSH £WTFI IHPFSH IHPFHH IHTFUH IHSFRH
P II WPFVH WHFVH WPFPH WIFUH VWFH VVFSH VUFSH WQFVH WIFRH
P IP WPFIH WQFRH WRFHH WRFUH WHFV WPFIH WIFPH WPFQH WIFIH
gu—dro IFIX h—tos del espesor de l—s ™—p—s de óxido de sili™io

in re—lid—dD nosotros de˜eremos —prender — —n—liz—r este pro˜lem—D —sumiendo que l— dur—™ión de est—
õm˜ill— no es un v—lor (jo y ™ono™idoD sino que está sujeto — in™ertidum˜reF vo que h—remos será dot—rnos
de un modelo m—temáti™o que nos permit— v—lor—r si es pro˜—˜le o no que un— lámp—r— ex„i se romp—
—ntes de un —ñoD después de tres —ñosD et™F
1.2.3. Ejemplo de los niveles de plomo
…n —rtí™ulo pu˜li™—do en Journal of Environmental Engineering en PHHPD titul—do ve—™h—te from v—nd hisE
posed ‚esidenti—l gonstru™tion ‡—steD present— un estudio de l— ™ont—min—™ión en ˜—sureros que ™ontienen
dese™hos de ™onstru™™ión y desperdi™ios de demoli™ionesF he un sitio de prue˜— se tom—ron RP muestr—s de
lixi—doD de l—s ™u—les PT ™ontienen niveles dete™t—˜les de plomoF ƒe pone —sí de m—ni(esto que sólo un— p—rte
de los ˜—sureros está ™ont—min—d— por plomoF v— ™uestión es ¾qué propor™ión supone est— p—rte ™ont—min—d—
de l— super(™ie tot—l de los ˜—surerosc
ƒi un— ingenier— dese— o˜tener — p—rtir de esos d—tos un— estim—™ión de l— propor™ión de los ˜—sureros que
™ontiene niveles dete™t—˜les de plomo de˜e ser ™ons™iente de dos ™uestionesX
IF is imposi˜le —n—liz—r todos los rin™ones de todos los ˜—surerosF
PF ƒi se ˜—s— sólo en los d—tos del —rtí™uloD es— estim—™ión será sólo esoD un— estim—™ión ˜—s—d— en es—
muestr—D que es de sólo RP d—tosF he˜erí—D por t—nto o˜tener t—m˜ién un— estim—™ión del error que está
™ometiendo —l h—™er l— estim—™iónF gon —mõs result—dosD l— estim—™ión en sí y un— ™u—nti(™—™ión del
error que podrí— ™ometer ™on ell—D in™luso podrá o˜tener un r—ngo donde l— verd—der— propor™ión se
en™uentr—D ™on un —lto nivel de ™on(—nz—F
1.2.4. Ejemplo de los cojinetes
…n ingeniero industri—l es respons—˜le de l— produ™™ión de ™ojinetes de õl—s y tiene dos máquin—s distint—s
p—r— elloF ve interes— que los ™ojinetes produ™idos teng—n diámetros simil—resD independientemente de l—
máquin— que los produ™eD pero tiene sospe™h—s de que está produ™iendo —lgún pro˜lem— de f—lt— de ™—li˜r—™ión
entre ell—sF €—r— —n—liz—r est— ™uestiónD extr—e un— muestr— de IPH ™ojinetes que se f—˜ri™—ron en l— máquin—
eD y en™uentr— que l— medi— del diámetro es de SFHTV mm y que su desvi—™ión estánd—r es de HFHII mmF ‚e—liz—
el mismo experimento ™on l— máquin— f so˜re TS ™ojinetes y en™uentr— que l— medi— y l— desvi—™ión estánd—r
sonD respe™tiv—menteD SFHUP mm y HFHHU mmF ¾€uede el ingeniero ™on™luir que los ™ojinetes produ™idos por
l—s máquin—s tienen diámetros medios signi(™—tiv—mente diferentesc
1.2.5. Ejemplo de la absorción de un compuesto a distintas dosis y en distintos
tiempos de absorción
…n equipo de investig—dores que tr—˜—j—n en segurid—d en el tr—˜—jo está tr—t—ndo de —n—liz—r ™ómo l—
piel —˜sor˜e un ™ierto ™omponente quími™o peligrosoF €—r— elloD ™olo™— diferentes volúmenes del ™ompuesto
quími™o so˜re diferentes segmentos de piel dur—nte distintos interv—los de tiempoD midiendo —l ™—õ de ese
tiempo el por™ent—je de volumen —˜sor˜ido del ™ompuestoF il diseño del experimento se h— re—liz—do p—r— que
l— inter—™™ión esper—˜le entre el tiempo y el volumen no in)uy— so˜re los result—dosF vos d—tos se mostr—rán
en el último tem—F

vo que los investig—dores se ™uestion—n es si l— ™—ntid—d de ™ompuesto por un l—do y el tiempo de exposi™ión
—l que se somete por otroD in)uyen en el por™ent—je que se —˜sor˜eF he ser —síD serí— interes—nte estim—r
el por™ent—je de —˜sor™ión de person—s que se somet—n — un— exposi™ión de un— determin—d— ™—ntid—dD por
ejemploD dur—nte V hor—sF
1.2.6. Ejemplo de los accidentes laborales
in un— empres— se sospe™h— que h—y fr—nj—s hor—ri—s donde los —™™identes l—˜or—les son más fre™uentesF
€—r— estudi—r este fenómenoD ™ont—˜iliz—n los —™™identes l—˜or—les que sufren los tr—˜—j—dores según fr—nj—s
hor—ri—sD dur—nte un —ñoF vos result—dos —p—re™en en l— t—˜l—F
ror—s del dí— xúmero de —™™identes
VEIH hF RU
IHEIP hF SP
IQEIS hF SU
ISEIU hF TQ
gon es— inform—™iónD los respons—˜les de segurid—d de l— empres— de˜en de™idir si h—y fr—nj—s hor—ri—s donde
los —™™identes son más pro˜—˜les o siD por el ™ontr—rioD éstos o™urren —˜solut—mente —l —z—rF
1.2.7. Ejemplo de la cobertura de la antena de telefonía móvil
‚edu™iendo mu™ho el pro˜lem—D supong—mos que un— —nten— de telefoní— móvil tiene un— ™o˜ertur— que
—˜—r™— — ™u—lquier móvil dentro de un ™ír™ulo de r—dio rF …n ingeniero puede suponer que un teléfono
™on™reto puede est—r situ—do en cualquier punto al azar de ese ™ír™uloD pero ¾™ómo pl—sm—r esoc €or ejemploD
si nos ™entr—mos en l— dist—n™i— — l— —nten—D ¾™u—lquier dist—n™i— es igualmente probablec ¾‰ qué podemos
de™ir de l—s ™oorden—d—s en un momento ™on™reto del móvilc
1.2.8. Ejemplo de la señal aleatoria
in el ™ontexto de l—s tele™omuni™—™ionesD ™u—lquier señ—l de˜e ™onsider—rse —le—tori—D es de™irD de˜e tenerse en
™uent— que ™u—ndo l— o˜serv—mosD p—rte de ell— es de˜id— — l— in™ertidum˜re inherente — ™u—lquier pro™eso de
™omuni™—™iónF ‰ es queD por multitud de r—zonesD n—die tiene g—r—ntí—s que l— señ—l envi—d— se— ex—™t—mente
igu—l — l— señ—l re™i˜id—F
…n ingeniero de˜e tener en ™uent— eso yD — pes—r de todoD ser ™—p—z de —n—liz—r l—s propied—des más relev—ntes
de ™u—lquier señ—l y de estudi—r su ™omport—miento en ™u—lquier momento del pro™eso de ™omuni™—™iónF
€or ejemploD hoy en dí— un— señ—l sufre multitud de tr—nsform—™iones en el pro™eso de ™omuni™—™iónF g—d—
un— de es—s tr—nsform—™iones se ™onsider— el result—do del p—so de l— señ—l por un sistem—F il ingeniero de˜e
ser ™—p—z de ™ono™er l—s ™—r—™terísti™—s más relev—ntes de l— señ—l — lo l—rgo de tod—s es—s tr—nsform—™ionesF
1.3. Deniciones básicas
€—r— (n—liz—r este primer tem— de introdu™™iónD v—mos — ir (j—ndo l—s de(ni™iones más element—les que
utiliz—remos — lo l—rgo del ™urso y que y— h—n sido motiv—d—s en l— introdu™™ión de los ejemplos —nterioresF

ƒe denomin— población — un ™onjunto de individuos o ™—sosD o˜jetivo de nuestro interésF
€odemos distinguir entre po˜l—™iones t—ngi˜les y po˜l—™iones ™on™eptu—lesF
…n— po˜l—™ión es tangible si ™onst— de elementos físi™os re—les que form—n un ™onjunto (nitoF
€or ejemploD si est—mos ™onsider—ndo el estudio de l— —ltur— de los —lumnos de l— is™uel—D el ™onjunto de
estos —lumnos es un— po˜l—™ión t—ngi˜leF
…n— po˜l—™ión conceptual no tiene elementos re—lesD sino que sus ™—sos se o˜tienen por l— repeti™ión de un
experimentoF
€or ejemploD ™u—ndo pl—nteá˜—mos l—s prue˜—s so˜re pl—™—s de sili™ioD vemos que h—y t—ntos ™—sos ™omo prueE
˜—s pued—n h—™erseD lo que supone un ™onjunto in(nito de ™—sosF in po˜l—™iones ™on™eptu—les es imposi˜leD
por t—ntoD ™ono™er todos los ™—sosD y tenemos que ™onform—rnos ™on muestr—s de los mismosF
…n— variable o dato es un— ™—r—™terísti™— ™on™ret— de un— po˜l—™iónF
€or ejemploX
ƒi ™onsider—mos l— po˜l—™ión de todos los —lumnos de l— is™uel—D podemos (j—rnos en l— v—ri—˜le alturaF
ƒi ™onsider—mos el supuesto de l—s prue˜—s so˜re pl—™—s de sili™ioD podemos ™onsider—r l— v—ri—˜le espesor
de la capa de óxido de silicio generadaF
ƒe denomin— muestra — ™u—lquier su˜™onjunto de d—tos sele™™ion—dos de un— po˜l—™iónF
il o˜jetivo de un— muestr—D y— se— en un— po˜l—™ión t—ngi˜le o en un— po˜l—™ión ™on™eptu—l es que los
elementos de l— muestr— representen —l ™onjunto de todos los elementos de l— po˜l—™iónF ist— ™uestiónD l—
™onstru™™ión de muestr—s —de™u—d—sD represent—tiv—sD es uno de los —spe™tos más deli™—dos de l— ist—dísti™—F
xosotros v—mos — ™onsider—r en est— —sign—tur— sólo un tipo de muestr—sD denomin—d—s muestras aleatorias
simplesF in un— muestr— —le—tori— simpleD todos los elementos de l— po˜l—™ión de˜en tener l—s mism—s
posi˜ilid—des de s—lir en l— muestr— yD —demásD los elementos de l— muestr— de˜en ser independientesX el que
s—lg— un result—do en l— muestr— no de˜e —fe™t—r — que ningún otro result—do s—lg— en l— muestr—F
€or ejemploD podrí—mos est—r interes—dos en l— po˜l—™ión de todos los esp—ñoles ™on dere™ho — voto @po˜l—™ión
t—ngi˜leD pero enormeAD de los que querrí—mos ™ono™er un d—to o v—ri—˜leD su inten™ión de voto en l—s próxim—s
ele™™iones gener—lesF h—do que est—mos h—˜l—ndo de millones de person—sD pro˜—˜lemente de˜eremos es™oger
un— muestr—D es de™irD un su˜™onjunto de esp—ñoles — los que se les re—liz—rí— un— en™uest—F ƒi queremos que
es— muestr— se— —le—tori— simpleD de˜eremos tener ™uid—do de que todos los esp—ñoles ™on dere™ho — voto
teng—n l—s mism—s posi˜ilid—des de ™—er en l— muestr— y de que l— respuest— de un entrevist—do no —fe™te — l—
de ningún otroF gomo not— ™urios—D s—˜ed que l— m—yorí— de l—s en™uest—s n—™ion—les se h—™en ví— telefóni™—D
lo ™u—l es un— pequeñ— viol—™ión de l—s hipótesis de muestr— —le—tori— simpleD y— que h—y esp—ñoles ™on
dere™ho — voto que no tienen teléfonoD luego es imposi˜le que s—lg—n en l— muestr—F

Parte I
Estadística descriptiva
IU

Capítulo 2
El tratamiento de los datos. Estadística
descriptiva
is un error ™—pit—l el teoriz—r —ntes de poseer d—tosF snsensi˜lemente uno ™omienz— — —lter—r
los he™hos p—r— en™—j—rlos en l—s teorí—sD en lug—r en™—j—r l—s teorí—s en los he™hos
ƒherlo™k rolmes @eF gF hoyleAD en Un escándalo en Bohemia
Resumen. in este ™—pítulo —prenderemos métodos p—r— resumir y des™ri˜ir ™onjuntos de d—tos — tr—vés de
distintos tipos de t—˜l—sD grá(™os y medid—s est—dísti™—sF
Palabras clave: d—tos ™u—ntit—tivosD d—tos ™u—lit—tivosD d—tos dis™retosD d—tos ™ontinuosD distri˜u™ión de
fre™uen™i—sD di—gr—m— de ˜—rr—sD di—gr—m— de se™toresD histogr—m—D medi—D medi—n—D mod—D ™u—ntilesD v—ri—nz—D
desvi—™ión típi™—D —simetrí—D d—tos —típi™osF
2.1. Introducción
y˜tenidos — tr—vés de en™uest—sD experimentos o ™u—lquier otro ™onjunto de medid—sD los d—tos est—dísti™os
suelen ser t—n numerosos que result—n prá™ti™—mente inútiles si no son resumidos de form— —de™u—d—F €—r—
ello l— ist—dísti™— utiliz— t—nto té™ni™—s grá(™—s ™omo numéri™—sD —lgun—s de l—s ™u—les des™ri˜imos en este
™—pítuloF
€odemos de™ir que existe un— ™l—si(™—™iónD un t—nto —rti(™i—lD de los d—tosD según se re(er—n — un— po˜l—™ión
t—ngi˜leD en ™uyo ™—so se ™ono™erán todos los ™—sosD o — un— po˜l—™ión ™on™eptu—lD en ™uyo ™—so sólo se
™ono™erá un— muestr— @—le—tori— simpleAF ƒin em˜—rgoD est— ™l—si(™—™ión no tiene ningún efe™to en lo rel—tivo
— lo que v—mos — estudi—r en este ™—pítuloF
2.2. Tipos de datos
vos d—tos @o v—ri—˜lesA pueden ser de dos tiposX cuantitativos y cualitativos.
IW

vos d—tos cuantitativos son los que represent—n un— ™—ntid—d re)ej—d— en un— es™—l— numéri™—F e su vezD
pueden ™l—si(™—rse ™omo d—tos cuantitativos discretos si se re(eren —l ™onteo de —lgun— ™—r—™terísti™—D o
d—tos cuantitativos continuos si se re(eren — un— medid—F
vos d—tos cualitativos o categóricos se re(eren — ™—r—™terísti™—s de l— po˜l—™ión que no pueden —so™i—rse
— ™—ntid—des ™on signi(™—do numéri™oD sino — ™—r—™terísti™—s que sólo pueden ™l—si(™—rseF
Ejemplo. †e—mos —lgunos ejemplos de ™—d— uno de estos tipos de v—ri—˜lesX
in el ejemplo del óxido de sili™ioD l— v—ri—˜le espesor es ™u—ntit—tiv— ™ontinu—F
in el ejemplo de los ™ojinetesD el diámetro de los cojinetes es un— v—ri—˜le ™u—ntit—tiv— ™ontinu—F
in el ejemplo de los niveles de plomoD se está —n—liz—ndo si un— muestr— ™ontiene niveles dete™t—E
˜les o noF ƒe tr—t—D por t—ntoD de un— v—ri—˜le ™u—lit—tiv— ™on dos ™—tegorí—sX sí contiene niveles
detectables o no contiene niveles detectablesF
in el ejemplo de los —™™identes l—˜or—lesD l— v—ri—˜le número de accidentes laborales es ™u—ntit—tiv—
dis™ret—D mientr—s que l—s fr—nj—s hor—ri—s ™onstituyen un— v—ri—˜le ™u—lit—tiv—F
2.3. Métodos grácos y numéricos para describir datos cualitativos
v— form— más sen™ill— de des™ri˜ir de form— numéri™— un— v—ri—˜le ™u—lit—tiv— es determin—r su distri˜u™ión
de fre™uen™i—sF €or su p—rteD est— distri˜u™ión de fre™uen™i—s determin— — su vez l—s represent—™iones grá(™—s
más usu—lesF
ƒupong—mos que tenemos un— v—ri—˜le ™u—lit—tiv—D que tom— un— serie de posi˜les v—lores @™—tegorí—sAF il
número de ve™es que se d— ™—d— v—lor es l— distribución de frecuencias de l— v—ri—˜leF ƒi en vez de d—r el
número de ve™es nos (j—mos en l— propor™ión de ve™esD tenemos l— distribución de frecuencias relativasF
v—s represent—™iones grá(™—s más usu—les son los di—gr—m—s de ˜—rr—s y los di—gr—m—s de se™toresF
vos diagramas de barras son un— represent—™ión de ™—d— un— de l—s ™—tegorí—s de l— v—ri—˜le medi—nte un—
˜—rr— ™olo™—d— so˜re el eje ˆ y ™uy— —ltur— se— l— fre™uen™i— o l— fre™uen™i— rel—tiv— de di™h—s ™—tegorí—sF
vos diagramas de sectores son ™ír™ulos divididos en t—ntos se™tores ™omo ™—tegorí—sD se™tores ™uyo ángulo
de˜e ser propor™ion—l — l— fre™uen™i— de ™—d— ™—tegorí—F

g—tegorí— pre™uen™i— pre™uen™i— rel—tiv—
€—ís xúmero de re—™tores nu™le—res €ropor™ión
félgi™— R HFHRI
pr—n™i— PP HFPPS
pinl—ndi— P HFHPH
elem—ni— U HFHUI
rol—nd— I HFHIH
t—pón II HFIIP
ƒue™i— Q HFHQI
ƒuiz— I HFHIH
ist—dos …nidos RU HFRVH
„y„ev WV IFHHH
gu—dro PFIX „—˜l— de fre™uen™i—sF
Ejemplo. „om—mos ™omo po˜l—™ión los WV re—™tores nu™le—res más gr—ndes en todo el mundoF xos
(j—mos en l— v—ri—˜le o d—to referente —l p—ís donde están lo™—liz—dosF
vos d—tos serí—n
Bélgica, Bélgica, Bélgica, Bélgica, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia,
Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Finlandia, Finlandia, Alemania, Alemania, Alemania, Alemania,
Alemania, Alemania, Alemania, Holanda, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Suecia, Suecia, Suecia,
Suiza, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados
Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados
Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos.
v—s distri˜u™iones de fre™uen™i—s y de fre™uen™i—s rel—tiv—s podemos resumirl—s en un— tabla de fre-
cuencias ™omo l— que —p—re™e en el gu—dro PFIF
€or su p—rteD l—s represent—™iones medi—nte di—gr—m—s de ˜—rr—s y se™tores de estos d—tos —p—re™en en l—
pigur— PFI y l— pigur— PFP respe™tiv—menteF
2.4. Métodos grácos para describir datos cuantitativos
ƒi tenemos un— v—ri—˜le ™u—ntit—tiv— dis™ret— y ést— tom— po™os v—loresD podemos tr—t—rl— ™omo si fuer— un—
v—ri—˜le ™u—lit—tiv—D ™—l™ul—r su distri˜u™ión de fre™uen™i—s y di˜uj—r un di—gr—m— de ˜—rr—sF
Ejemplo. in un— empres— ™on ™—den— de mont—je donde se emp—quet—n piez—s en ™—j—s se re—liz—
un estudio so˜re l— ™—lid—d de produ™™iónF vos d—tos siguientes inform—n so˜re el número de piez—s
defe™tuos—s en™ontr—d—s en un— muestr— de ™—j—s ex—min—d—sX
H H H H H H I I I I I I I I I P P P P P P P P P P Q Q Q Q Q Q Q R R R R R R R S S S S T T T T T U U U V V W

Alemania Bélgica EEUU Finlandia Francia Holanda Japón Suecia Suiza
Reactores nucleares. País de origen
010203040
pigur— PFIX hi—gr—m— de ˜—rr—sF
Alemania
Bélgica
EEUU
Finlandia
Francia
Holanda
Japón
Suecia
Suiza
Reactores nucleares. País de origen
pigur— PFPX hi—gr—m— de se™toresF
il di—gr—m— de ˜—rr—s —so™i—do —p—re™en en l— pigur— PFQF
ƒin em˜—rgoD l— m—yorí— de v—ri—˜les ™u—ntit—tiv—s son de tipo ™ontinuoD de m—ner— que tom—n dem—si—dos
v—lores ™omo p—r— que l— represent—™ión de su distri˜u™ión de fre™uen™i—s se— útil1F €or ello el método grá(™o
más ™omún y tr—di™ion—l p—r— d—tos ™u—ntit—tivos es el histogr—m—F
il histograma es un— v—ri—nte del di—gr—m— de ˜—rr—s donde se —grup—n los v—lores de l— v—ri—˜le en interv—los
p—r— que estos interv—los teng—n fre™uen™i—s m—yores que unoF
€—r— o˜tener un histogr—m— de form— m—nu—l de˜en seguirse los siguientes p—sosX
IF g—l™ul—mos el númeroD ND de interv—los que v—mos — utiliz—rF ƒe re™omiend— que se— —proxim—d—mente
igu—l — l— r—íz ™u—dr—d— del número de d—tosF ƒin em˜—rgoD los progr—m—s est—dísti™os suelen utiliz—r
otro métodoD ll—m—do Método de SturgesD en el que N = log2 n + 1 D donde n es el número de d—tos y
[] es l— fun™ión p—rte enter—F
1Si toma muchos valores, muy probablemente la mayor parte de ellos sólo aparezca una vez, por lo que la distribución de
frecuencias será casi siempre constante e igual a 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de piezas defectuosas
0246810
pigur— PFQX hi—gr—m— de ˜—rr—sF
PF g—l™ul—mos el r—ngoD RD del histogr—m—D que será liger—mente más —mplio que el r—ngo de los d—tosF
il histogr—m— de˜e ™omenz—r en un número @xmA liger—mente por de˜—jo del mínimo de los d—tos y
termin—r en un número @xM A liger—mente por en™im— del máximoF il r—ngo del histogr—m— seráD por
t—ntoD R = xM − xmF
QF g—l™ul—mos l— longitudD LD de los interv—losD ™omo el ™o™iente entre el r—ngo del histogr—m— y el número
de interv—losD es de™irD L = R
N F
RF ƒe ™onstruyen los N interv—losX
I1 = [xm, xm + L)
I2 = [xm + L, xm + 2L)
I3 = [xm + 2L, xm + 3L)
...
IN = [xm + N × L, xM ).
SF €—r— ™—d— interv—loD ™ont—mos el número de d—tos que h—y en élD es de™irD l— fre™uen™i— del interv—loF
TF il histogr—m— es un di—gr—m— de ˜—rr—s donde en el eje ˆ se ™olo™—n los interv—los y so˜re ellos se
™onstruyen ˜—rr—s ™uy— —ltur— se— l— fre™uen™i— o l— fre™uen™i— rel—tiv— del interv—loF in este ™—soD l—s
˜—rr—s de˜en di˜uj—rse sin esp—™io entre ell—sF in o™—sionesD en vez de tom—r l— fre™uen™i— rel—tiv— ™omo
—ltur— de l—s ˜—rr—sD se tom— di™h— fre™uen™i— rel—tiv— ™omo áre— de l—s ˜—rr—sX en ese ™—soD se h—˜l— de
un histogr—m— en es™—l— de densid—dF
Nota. €or ™uestiones que det—ll—remos más —del—nte es import—nte dest—™—r que el por™ent—je de d—tos
que ™—e dentro de un interv—lo es propor™ion—l —l áre— de l— ˜—rr— que se ™onstruye so˜re ese interv—loF
€or ejemploD si el áre— de un— ˜—rr— es el QH 7 del áre— tot—l del interv—loD enton™es el QH 7 de los d—tos
están en di™ho interv—loF

Tiempos de procesado
Frecuencia
0.00 0.96 1.92 2.88 3.84 4.80
123456789
pigur— PFRX ristogr—m—F
€or otr— p—rteD ¾qué p—s—rí— si tom—mos un número muy gr—nde de d—tosc il número de interv—los
del histogr—m— serí— t—m˜ién muy gr—ndeD y l—s ˜—rr—s serí—n muy estre™h—sD de m—ner— que en vez de
p—re™er un di—gr—m— de ˜—rr—sD p—re™erí— l— grá(™— de un— fun™ión re—l de v—ri—˜le re—lF r—˜l—remos de
est— fun™ión y del áre— de˜—jo de ell— en ˜reveF €or ™iertoD ¾™ómo se ™—l™ul— el áre— ˜—jo est— fun™iónc
Ejemplo. vos d—tos siguientes ™orresponden —l tiempo ne™es—rio p—r— pro™es—r PS tr—˜—jos en un— g€…F
IFIU IFTI IFIT IFQV QFSQ IFPQ QFUT IFWR HFWT RFUS
HFIS PFRI HFUI HFHP IFSW HFIW HFVP HFRU PFIT PFHI
HFWP HFUS PFSW QFHU IFR
†—mos — ™—l™ul—r un histogr—m— p—r— esos d—tosF
IF h—do que
√
25 = 5D utiliz—remos S interv—losF
PF il mínimo de los d—tos es HFHP y el máximo RFUSD de m—ner— que podemos ™onsider—r ™omo r—ngo
del histogr—m— el interv—lo [0, 4.8]D ™uy— longitud @r—ngo del histogr—m—A es RFV.
QF v— longitud de los interv—los esD en ese ™—soD 4.8
5 = 0.96F
RF gonstruimos los interv—losX
I1 = [0, 0.96)
I2 = [0.96, 1.92)
I3 = [1.92, 2.88)
I4 = [2.88, 3.84)
I5 = [3.84, 4.8)

SF g—l™ul—mos l— distri˜u™ión de fre™uen™i— —so™i—d— — esos interv—losX
„iempo de pro™es—do pre™uen™i—
[0, 0.96) V
[0.96, 1.92) V
[1.92, 2.88) S
[2.88, 3.84) Q
[3.84, 4.8) I
TF pin—lmenteD represent—mos el di—gr—m— de ˜—rr—s @pigur— PFRAF
2.5. Métodos numéricos para describir datos cuantitativos
is ™ierto que un di—gr—m— de ˜—rr—s o un histogr—m— nos —yud—n — tener un— im—gen de ™ómo son los d—tosD
pero norm—lmente es ne™es—rio ™omplement—r es— im—gen medi—nte medid—s queD de form— o˜jetiv—D des™ri˜—n
l—s ™—r—™terísti™—s gener—les del ™onjunto de d—tosF
†—mos — ver en este —p—rt—do tres tipos de medid—sD que ˜ási™—mente responden — tres pregunt—sX por dónde
están los datos @medid—s de posi™iónAD cómo de agrupados están los datos @medid—s de dispersiónA y qué
forma tienen los datos @medid—s de form—AF
2.5.1. Medidas de tendencia central
v—s medidas de tendencia central son medid—s de posi™ión que tr—t—n de est—˜le™er un v—lor que pued—
™onsider—rse el centro de los d—tos en —lgún sentidoF
2.5.1.1. Media
ƒe— un ™onjunto de d—tos de un— v—ri—˜le ™u—ntit—tiv—D x1, ..., xnF v— media de los d—tos es
¯x =
n
i=1 xi
n
.
ist— medid— es l— más ™omún dentro de l—s de tenden™i— ™entr—l y ™orresponde —l centro de gravedad de los
d—tosF
is inmedi—to ™ompro˜—r que si se re—liz— un ™—m˜io de origen y es™—l— so˜re los d—tosD del tipo y = ax + bD
l— medi— sufre el mismo ™—m˜ioD es de™irD ¯y = a¯x + bF
he igu—l form—D si tenemos d—tos de l— sum— de dos o más v—ri—˜lesD l— medi— de l— sum— es l— sum— de l—s
medi—s de ™—d— v—ri—˜leF

2.5.1.2. Mediana
ƒe— un ™onjunto de d—tos de un— v—ri—˜le ™u—ntit—tiv—D x1, ..., xnF yrdenemos l— muestr— de menor — m—yorD
x(1), ..., x(n)F
v— mediana es el v—lor de l— v—ri—˜le que dej— el mismo número de d—tos —ntes y después que élD un— vez
orden—dos estosF
il ™ál™ulo de l— medi—n— dependerá de si el número de d—tosD nD es p—r o imp—rX
ƒi n es imp—rD l— medi—n— es el v—lor que o™up— l— posi™ión n+1
2 un— vez que los d—tos h—n sido orden—dos
@en orden ™re™iente o de™re™ienteAD porque éste es el v—lor ™entr—lF is de™irX Me = x(n+1
2 )F
ƒi n es p—rD l— medi—n— es l— medi— —ritméti™— de l—s dos o˜serv—™iones ™entr—lesF gu—ndo n es p—rD los dos
d—tos que están en el ™entro de l— muestr— o™up—n l—s posi™iones n
2 y n
2 +1F is de™irX Me =
x
(n
2 )
+x
(n
2
+1)
2 F
v— medi—n— ™orresponde ex—™t—mente ™on l— ide— de v—lor ™entr—l de los d—tosF he he™hoD puede ser un v—lor
más represent—tivo de éstos que l— medi—D y— que es más robusta que l— medi—F †eámos qué signi(™— esto en
un ejemploF
Ejemplo. gonsideremos los d—tos siguientesX
0 0 1 2 3 4 5
ƒu medi— es 0+0+1+2+3+4+5
7 = 2.1429D y su medi—n— PF
€ero im—ginemos que por error o por ™—su—lid—d o˜tenemos un nuevo d—to enormemente gr—nde en
rel—™ión —l resto de d—tosD VHF in ese ™—soD l— medi— serí—
0 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 80
8
= 11.875
y l— medi—n— PFSF is de™irD un solo d—to puede despl—z—r enormemente l— medi—D h—st— ™onvertirl— en un—
medid— po™o represent—tiv—D pero sólo despl—z—rá liger—mente l— medi—n—F ise es el motivo por el que se
di™e que l— medi—n— es un— medid— robustaF
2.5.1.3. Moda o intervalo modal
in prin™ipio l— moda se de(ne ™omo el v—lor más fre™uente de los d—tosF vo que o™urre es que si éstos son
d—tos de un— v—ri—˜le ™ontinu— o dis™ret— ™on mu™hos v—loresD puede que los d—tos —pen—s se repit—nF in ese
™—soD en el queD ™omo vimos en l—s represent—™iones grá(™—sD se de˜e —grup—r por interv—losD no de˜e d—rse
un v—lor ™omo mod—D sino un intervalo modalD —quél ™on m—yor fre™uen™i— —so™i—d—F

2.5.2. Cuantiles
vos cuantiles son medid—s de posi™ión pero no ne™es—ri—mente lig—dos —l centro de los d—tosF v— ide— — l—
que responden es muy sen™ill— y muy prá™ti™—F ƒe tr—t— de v—lor—r de form— rel—tiv— ™ómo es un d—to respe™to
del ™onjunto glo˜—l de todos los d—tosF
ƒiD por ejemploD un niño de R —ños pes— IQ kilosD ¾está desnutridoc ¾está s—noc v— respuest— de˜e ser que
dependeF ¾hónde vive el niñoc is import—nte porqueD por ejemploD en ist—dos …nidos los niños son en gener—l
más gr—ndes queD por ejemploD en t—pónF uizá más que el peso nos interese s—˜er qué posi™ión rel—tiv— tiene
el peso del niño dentro de l— po˜l—™ión de l— que form— p—rteF €or ejemploD si nos di™en que el niño está entre
el I 7 de los niños que menos pes—nD pro˜—˜lemente tiene un pro˜lem— de ™re™imientoF
il cuantil p @QpA de unos d—tos (0 ≤ p ≤ 1)D serí— un v—lor de l— v—ri—˜le situ—do de modo que el 100p % de
los v—lores se—n menores o igu—les que él y el resto @100(1 − p) %A m—yoresF
xo o˜st—nteD en l— prá™ti™— v—mos — en™ontr—r un pro˜lem— p—r— en™ontr—r ™u—ntilesD so˜re todo ™on po™os
d—tosX lo más h—˜itu—l es que no exist— el v—lor ex—™to que deje — l— izquierd— el 100p % de los v—lores y el
resto — l— dere™h—F €or ese motivoD los progr—m—s est—dísti™os utiliz—n un—s fórmul—s de interpol—™ión p—r—
o˜tener el v—lor del ™u—ntil entre los dos v—lores de los d—tos que lo ™ontienenF in nuestro ™—soD — l— hor—
de o˜tener ™u—ntilesD l— —pli™—™ión de es—s fórmul—s de interpol—™ión a mano h—rí—n muy lentos y pes—dos
los ™ál™ulosD por lo que v—mos — —pli™—r un ™onvenio mu™ho más sen™illoX —proxim—remos el v—lor del ™u—ntil
™orrespondiente de l— siguiente form—X
IF ƒi el 100p % de nD donde n es el número de d—tosD es un enteroD kD enton™es Qp =
x(k)+x(k+1)
2 .
PF ƒi el 100p % de n no es un enteroD lo redonde—mos —l entero siguienteD kD y enton™es Qp = x(k)F
xo olvidemosD sin em˜—rgoD que los progr—m—s est—dísti™os v—n — utiliz—r l—s fórmul—s de interpol—™ión p—r—
™—l™ul—r el v—lor de los ™u—ntilesD de m—ner— que no de˜e extr—ñ—r si se o˜serv—n pequeñ—s diferen™i—s —l
™omp—r—r nuestros result—dos a mano ™on los de estos progr—m—sF
ixisten diversos nom˜res p—r— referirse — —lgunos tipos de ™u—ntilesF intre ellosX
vos percentiles son los ™u—ntiles que dividen l— muestr— en IHH p—rtesD es de™irD son los ™u—ntiles
HFHI @per™entil IAD HFHP @per™entil PAD FFFD HFWW @per™entil WWAF ƒi not—mos por Pα —l per™entil αD ™on
α = 1, 2, 3, ..., 99D se tiene que Pα = Qα/100F in ist—dísti™— hes™riptiv— es más fre™uente h—˜l—r de
per™entiles que de ™u—ntiles porque se re(eren — ™—ntid—des entre H y IHHD en t—nto por ™ientoD que son
más h—˜itu—les de v—lor—r por todo el mundoF
vos cuartiles dividen — l— po˜l—™ión en ™u—tro p—rtes igu—lesD es de™irD ™orresponden — los ™u—ntiles
HFPSD HFS @medi—n—A y HFUSF
Ejemplo. gonsideremos de nuevo los d—tos ™orrespondientes —l tiempo de pro™es—do de PS t—re—s en un—
g€…F ehor— los hemos orden—do de menor — m—yor @en S (l—sAX

HFHP HFUS IFIU IFTI PFSW
HFIS HFVP IFPQ IFWR QFHU
HFIW HFWP IFQV PFHI QFSQ
HFRU HFWT IFRH PFIT QFUT
HFUI IFIT IFSW PFRI RFUS
†—mos — ™—l™ul—r distint—s medid—s de posi™ión y — ™oment—rl—sF
in primer lug—rD l— medi— es IFTQF v— medi—n— o™up— el lug—r IQ en l— muestr— orden—d—D y su v—lor es
IFQVF y˜sérvese que l— medi— es —lgo m—yor que l— medi—n—X esto es de˜ido — l— presen™i— de —lgunos
v—lores signi(™—tiv—mente más —ltos que el restoD ™omo pudimos ver en el histogr—m—F
€or su p—rteD el P25 o ™u—ntil HFPS o™up— l— posi™ión UD y— que el PS 7 de PS es TFPSF €or t—ntoD P25 = 0.82F
he igu—l form—D P75 = Q0.75 = 2.16D el v—lor que o™up— l— posi™ión IWF €odemos verD por t—ntoD que los
v—lores más ˜—jos están muy —grup—dos —l prin™ipioD y se v—n dispers—ndo más ™onforme se h—™en más
—ltosF
2.5.3. Medidas de variación o dispersión
v—s medidas de variación o dispersión están rel—™ion—d—s ™on l—s medid—s de tenden™i— ™entr—lD y— que
lo que pretenden es ™u—nti(™—r ™ómo de ™on™entr—dos o dispersos están los d—tos respe™to — est—s medid—sF
xosotros nos v—mos — limit—r — d—r medid—s de dispersión —so™i—d—s — l— medi—F
v— ide— de est—s medid—s es v—lor—r en qué medid— los d—tos están —grup—dos en torno — l— medi—F ist— ™uestión
t—n simple es uno de los motivos más —˜surdos de l— m—l— prens— que tiene l— ist—dísti™— en l— so™ied—d en
gener—lF v— gente no se fí— de lo que ellos ll—m—n la Estadística entre otros motivosD porque p—re™e que todo
el mundo ™ree que un— medi— tiene que ser un v—lor válido p—r— todosD y eso es m—teri—lmente imposi˜leF
Ejemplo. €ensemos en l— medi— del s—l—rio de los esp—ñolesF in PHHS fue de IVFUSH euros —l —ñoF ehor— ˜ienD
es— medi— in™luye t—nto — l—s regiones más des—rroll—d—s ™omo — l—s más desf—vore™id—s yD evidentementeD l—
™ifr— gener—rá mu™ho m—lest—r en gr—n p—rte de l— po˜l—™ión @™on tod— segurid—dD más del SH 7AD ™uyo s—l—rio
está por de˜—joF
Ejemplo. ixiste un— fr—se muy ™ono™id— que di™e que la Estadística es el arte por el cuál si un español se
come un pollo y otro no se come ninguno, se ha comido medio pollo cada unoF is— fr—se se us— en mu™h—s
o™—siones p—r— ridi™uliz—r — l— ist—dísti™—D ™u—ndo en re—lid—d de˜erí— servir p—r— des—™redit—r — quien l— di™eD
por su ignor—n™i—F
r—y que de™ir que l— ist—dísti™— no tiene l— ™ulp— de que l— gente espere de un— medi— más de lo que es ™—p—z
de d—rD ni de que muy po™— gente ™onoz™— medid—s de dispersión —so™i—d—s — l— medi—F
2.5.3.1. Varianza muestral
h—dos unos d—tos de un— v—ri—˜le ™u—ntit—tiv—D x1, ..., xnD l— varianza muestral2 de esos d—tos es
s2
n−1 =
n
i=1 (xi − ¯x)
2
n − 1
.

Nota. €—r— ™—l™ul—r a mano l— v—ri—nz— result— más ™ómodo des—rroll—r un po™o su fórmul—D ™omo v—mos
— verX
s2
n−1 =
n
i=1(xi − ¯x)2
n − 1
=
n
i=1 x2
i − 2¯x
n
i=1 xi + n¯x2
n − 1
=
n
i=1 x2
i − 2¯xn¯x + n¯x2
n − 1
=
n
i=1 x2
i − n¯x2
n − 1
.
gu—nto m—yor se— l— v—ri—nz— de unos d—tosD más dispersosD heterogéneos o v—ri—˜les son esos d—tosF gu—nto
más pequeñ— se— un— v—ri—nz— de unos d—tosD más —grup—dos u homogéneos son di™hos d—tosF
Ejemplo. …n— muestr— —le—tori— simple de l— —ltur— de S person—s —rroj— los siguientes result—dosX
1.76 1.72 1.80 1.73 1.79
g—l™ulemos su medi— y su v—ri—nz— muestr—lF
vo úni™o que ne™esit—mos es
5
i=1 xi = 8.8 y
5
i=1 x2
i = 15.493F e p—rtir de estos d—tosD
¯x =
8.8
5
= 1.76
y
s2
n−1 =
15.493 − 5 × 1.762
4
= 0.00125
in lo que respe™t— —l ™omport—miento de l— v—ri—nz— muestr—l frente — ™—m˜ios de origen y es™—l—D sólo le
—fe™t—n los segundosF is de™irD si tenemos que y = ax + bD se veri(™— que s2
y;n−1 = a2
s2
x;n−1F
pin—lmenteD si ˜ien h—˜í—mos ™oment—do que en el ™—so de l— medi—D si tenemos l— sum— de v—ri—s v—ri—˜lesD
l— medi— tot—l es l— sum— de l—s medi—s de ™—d— v—ri—˜leD no o™urre —sí ™on l— v—ri—nz— en gener—lF
2.5.3.2. Desviación típica o estandar muestral
il prin™ip—l pro˜lem— de l— v—ri—nz— es su unid—d de medid—F €or ™ómo se de(ne siD por ejemploD l— v—ri—˜le
se expres— en kilosD l— medi— t—m˜ién se expres— en kilosD pero l— v—ri—nz— se expres— en kilos2
D lo que h—™e
que se— difí™il v—lor—r si un— v—ri—nz— es muy elev—d— o muy pequeñ—F
is por ello que se de(ne l— desviación típica o estandar muestral de los d—tos ™omo sn−1 = s2
n−1D
™uy— unid—d de medid— es l— mism— que l— de l— medi—F

Nota. v— ‚egl— impíri™—
ƒi el histogr—m— —so™i—do — unos d—tos tiene l— form— de un— ™—mp—n— o de un— joro˜—D el ™onjunto de
d—tos tendrá l—s siguientes ™—r—™terísti™—sD lo que en —lgunos li˜ros se ™ono™e ™omo Regla EmpíricaX
IF eproxim—d—mente el TV 7 de los d—tos est—rá en el interv—lo (¯x − sn−1, ¯x + sn−1) .
PF eproxim—d—mente el WS 7 de los d—tos est—rá en el interv—lo (¯x − 2sn−1, ¯x + 2sn−1) .
QF g—si todos los d—tos est—rán en el interv—lo (¯x − 3sn−1, ¯x + 3sn−1) .
pigur— PFSX ‚epresent—™ión grá(™— de l— regl— empíri™—F
2.5.3.3. Coeciente de variación
gomo —™—˜—mos de de™irD de˜emos propor™ion—r ™—d— medi— junto ™on —lgun— medid— de dispersiónD prefeE
rentemente l— desvi—™ión típi™—F …n— form— de v—lor—r en términos rel—tivos ™ómo es de dispers— un— v—ri—˜le
es pre™is—mente propor™ion—r el ™o™iente entre l— desvi—™ión típi™— y l— medi— @en v—lor —˜solutoAD lo que se
™ono™e ™omo coeciente de variación.
h—do un ™onjunto de d—tos de medi— ¯x y desvi—™ión típi™— sn−1D se de(ne su coeciente de variación ™omo
CV =
sn−1
|¯x|
.
v— prin™ip—l vent—j— del ™oe(™iente de v—ri—™ión es que no tiene unid—des de medid—D lo que h—™e más fá™il
su interpret—™iónF

Ejemplo. €—r— los d—tos de tiempo de pro™es—do en un— g€… de PS t—re—sD l— v—ri—nz— es IFRPD luego su
desvi—™ión est—nd—r es IFIWD y el ™oe(™iente de v—ri—™ión 1.19
1.63 = 0.73F €or t—ntoD l— desvi—™ión estánd—r es
—lgo más del UH 7 de l— medi—F isto indi™— que los d—tos no están muy ™on™entr—dos en torno — l— medi—D
pro˜—˜lemente de˜ido — l— presen™i— de los v—lores —ltos que hemos ™oment—do —ntesF
Nota. il ™oe(™iente de v—ri—™iónD t—l y ™omo está de(nidoD sólo tiene sentido p—r— ™onjuntos de d—tos
™on el mismo signoD es de™irD todos positivos o todos neg—tivosF ƒi hu˜ier— d—tos de distinto signoD l—
medi— podrí— est—r próxim— — ™ero o ser ™eroD imposi˜ilit—ndo que —p—rez™— en el denomin—dorF
NotaF ƒuele ser fre™uente el error de pens—r que el ™oe(™iente de v—ri—™ión no puede ser m—yor que ID lo
™u—l es riguros—mente f—lsoF ƒi lo expres—mos en por™ent—jeD el ™oe(™iente de v—ri—™ión puede ser superior
—l IHH 7 sin más que l— desvi—™ión típi™— se— m—yor que l— medi—D ™os— ˜—st—nte fre™uenteD por ™iertoF
NotaF e l— hor— de interpret—r el ™oe(™iente de v—ri—™ión inmedi—t—mente surge l— pregunt— de ¾cuándo
podemos decir que es alto y cuándo que es bajo? ‚e—lmenteD no existe un— respuest— pre™is—D sino que
depende del ™ontexto de los d—tos que estemos —n—liz—ndoF ƒiD por ejemploD est—mos —n—liz—ndo unos d—tos
que por su n—tur—lez— de˜en ser muy homogéneosD un ™oe(™iente de v—ri—™ión del IH 7 serí— enormeD pero
si por el ™ontr—rio est—mos —n—liz—ndo d—tos que por su n—tur—lez— son muy v—ri—˜lesD un ™oe(™iente de
v—ri—™ión del IH 7 serí— muy pequeñoF
€or todo elloD lo re™omend—˜le es —n—liz—r el ™oe(™iente de v—ri—™ión entendiendo su signi(™—do numéri™oD
es de™irD entendiendo que se re(ere — l— ™omp—r—™ión de l— desvi—™ión típi™— ™on l— medi—D e interpret—ndo
su v—lor en rel—™ión —l ™ontexto en el que estemos tr—˜—j—ndoF
2.5.4. Medidas de forma. Coeciente de asimetría
v—s medidas de forma ™omp—r—n l— form— que tiene l— represent—™ión grá(™—D ˜ien se— el histogr—m— o el
di—gr—m— de ˜—rr—s de l— distri˜u™iónD ™on un— situ—™ión ideal en l— que los d—tos se rep—rten en igu—l medid—
— l— dere™h— y — l— izquierd— de l— medi—F
is— situ—™ión en l— que los d—tos están rep—rtidos de igu—l form— — uno y otro l—do de l— medi— se ™ono™e
™omo simetríaD y se di™e en ese ™—so que l— distri˜u™ión de los d—tos es simétri™—F in ese ™—soD —demásD su
medi—n—D su mod— y su medi— ™oin™idenF
€or ™ontr—D se di™e que un— distri˜u™ión es asimétrica a la derecha si l—s fre™uen™i—s @—˜solut—s o rel—tiv—sA
des™ienden más lent—mente por l— dere™h— que por l— izquierd—F ƒi l—s fre™uen™i—s des™ienden más lent—mente
por l— izquierd— que por l— dere™h— diremos que l— distri˜u™ión es asimétrica a la izquierdaF
€—r— v—lor—r l— simetrí— de unos d—tos se suele utiliz—r el coeciente de asimetría de FisherX
As =
n
i=1(xi−¯x)3
n−1
s3
n−1
.

y˜sérvese que p—r— evit—r el pro˜lem— de l— unid—d y h—™er que l— medid— se— es™—l—r y por lo t—nto rel—tiv—D
dividimos por el ™u˜o de su desvi—™ión típi™—F he est— form— podemos v—lor—r si unos d—tos son más o menos
simétri™os que otrosD —unque no estén medidos en l— mism— unid—d de medid—F v— interpret—™ión de este
™oe(™iente de —simetrí— es l— siguienteX
„—nto m—yor se— el ™oe(™iente en v—lor —˜solutoD más —simétri™os serán los d—tosF
il signo del ™oe(™iente nos indi™— el sentido de l— —simetrí—X
ˆ ƒi es positivo indi™— que l— —simetrí— es — l— dere™h—F
ˆ ƒi es neg—tivoD indi™— que l— —simetrí— es — l— izquierd—F
pigur— PFTX porm—s típi™—s de distri˜u™iones de d—tosF
Ejemplo. €—r— los d—tos de tiempo de pro™es—do en un— g€… de PS t—re—sD el ™oe(™iente de —simetrí—
de pisher es HFWID lo queD ™omo h—˜í—mos visto y ™oment—do ™on —nteriorid—dD pone de m—ni(esto que l—
distri˜u™ión es —simétri™— — l— dere™h—D de˜ido — l— presen™i— de tiempos de pro™es—do ˜—st—nte —ltos en
rel—™ión —l restoF
2.5.5. Parámetros muestrales y parámetros poblacionales
gu—ndo se tr—˜—j— ™on un— muestr— de un— po˜l—™iónD y— se— ést— t—ngi˜le o ™on™eptu—lD l—s distint—s medid—s
de posi™iónD dispersión y form—D se denomin—n parámetros muestralesF r—y que tener en ™uent— que
prá™ti™—mente siempre se tr—˜—j— ™on muestr—sD y— que o ˜ien tr—˜—j—mos ™on po˜l—™iones ™on™eptu—les o
™on po˜l—™iones t—ngi˜les @(nit—sD por t—ntoAD pero ™on mu™hísimos elementosF
prente — estos p—rámetros muestr—les se en™uentr—n los p—rámetros —nálogos referidos — tod— l— po˜l—™iónF
istos p—rámetrosD ll—m—dos parámetros poblacionalesD sonD en gener—lD imposi˜les de ™ono™er3F €or ejemE
ploD l— medi— po˜l—™ion—l se ™—l™ul—rí— igu—l que l— medi— muestr—l de unos d—tosD pero —pli™—d— l— fórmul— —
todos los elementos de l— po˜l—™iónF gomo eso es prá™ti™—mente imposi˜le de poner en l— prá™ti™—D veremos
3Salvo en el caso de poblaciones nitas con pocos elementos.

en ™—pítulos posteriores que los p—rámetros muestr—les se utiliz—n en l— prá™ti™— p—r— —proxim—r o estim—r los
p—rámetros po˜l—™ion—lesF
2.6. Métodos para detectar datos cuantitativos atípicos o fuera de
rango
r—y o™—siones en que un ™onjunto de d—tos ™ontiene un— o más o˜serv—™iones inconsistentes en —lgún sentidoF
€or ejemploD en los d—tos de tiempo de pro™es—do en un— g€… de PS t—re—sD supong—mos que tenemos
un— o˜serv—™ión másD igu—l — VSD de˜ido — que l— g€… se ˜loqueó y hu˜o que reini™i—rl—F iste d—toD que
pro˜—˜lemente no deseemos in™luirD es un ejemplo de ™—so de d—to —típi™o o v—lor fuer— de r—ngoF
in gener—lD un— o˜serv—™ión que es inusu—lmente gr—nde o pequeñ— en rel—™ión ™on los demás v—lores de un
™onjunto de d—tos se denomin— dato atípico o fuera de rangoF
istos v—lores son —tri˜ui˜lesD por lo gener—lD — un— de l—s siguientes ™—us—sX
IF il v—lor h— sido introdu™ido en l— ˜—se de d—tos in™orre™t—menteF
PF il v—lor proviene de un— po˜l—™ión distint— — l— que est—mos estudi—ndoF
QF il v—lor es ™orre™to pero represent— un su™eso muy po™o ™omúnF
e ™ontinu—™ión v—mos — proponer dos m—ner—s de determin—r si un d—to es un v—lor fuer— de r—ngoF
2.6.1. Mediante la regla empírica
iste método es —de™u—do si el histogr—m— de los d—tos tiene form— de ™—mp—n—D en ™uyo ™—so podemos —pli™—r
l— regl— empíri™— p—r— dete™t—r qué d—tos están fuer— de los r—ngos lógicos según est— regl—F
ƒegún ell—D el WWFS 7 de los d—tos están en el interv—lo [¯x − 3sn−1, ¯x + 3sn−1]D luego se considerarán datos
atípicos los xi que no pertenezcan al intervalo [¯x − 3sn−1, ¯x + 3sn−1] .
2.6.2. Mediante los percentiles
ƒupong—mos que tenemos un ™onjunto de d—tos x1, ..., xnF il pro™edimiento es el siguienteX
IF ƒe ™—l™ul—n los ™u—rtiles primero y ter™eroD es de™irD los per™entiles PS y USD P25 y P75F ƒe ™—l™ul— el
ll—m—do rango intercuartílico @IR o RI AD IR = P75 − P25F
PF ƒe ™onsider—n datos atípicos —quellos inferiores — P25 − 1.5IR o superiores — P75 + 1.5IRF

wedi—s hesvF „ípi™— g† goefF esimetrí—
ƒerie I WPFHI QFTP PSFRH EIFUW
ƒerie P WPFUR QFUQ PRFVT IFUI
gu—dro PFPX ‚esumen des™riptivo de los d—tos de l—s pl—™—s de sili™io
Ejemplo. †—mos — ver si h—y —lgún d—to —típi™o entre los d—tos de tiempo de pro™es—do en un— g€… de
PS t—re—sF
h—do que el histogr—m— no tení— form— de ™—mp—n—D el método de l— regl— empíri™— no es el método más
—de™u—do p—r— l— dete™™ión de v—lores —típi™osF
€or su p—rteD P50 = 1.38D P25 = 0.82 y P75 = 2.16F €or t—ntoD IR = 2.16−0.82 = 1.34D y el interv—lo fuer—
del ™ú—l ™onsider—mos v—lores fuer— de r—ngo es [0.82 − 1.5 × 1.34, 2.16 + 1.5 × 1.34] = [−1.19, 4.17]F he
est— form—D el v—lor RFUS es un v—lor fuer— de r—ngoF
r—y un— versión grá(™— de este método p—r— dete™t—r v—lores —típi™os medi—nte los per™entilesX se ll—m—
diagrama de caja o diagrama de cajas y bigotes o @en inglésA boxplotF iste di—gr—m— in™luye en un
grá(™oX
IF il v—lor de l— medi—n— @o segundo ™u—rtilD Q2AX ese es el ™entro de l— ™—j—F
PF il v—lor de los per™entiles PS y USD ™u—rtiles primero y ter™ero respe™tiv—mente @Q1 y Q3AX son los l—dos
inferior y superior de l— ™—j—F
QF il di—gr—m— no represent— los límites P25 − 1.5 × IR y P75 + 1.5 × IRF in su lug—rD señ—l— los últimos
puntos no —típi™os por de˜—jo @LiA y por en™im— @LsAD es de™irD señ—l— el último d—to por en™im— de
P25 − 1.5 × IR y el último d—to por de˜—jo de P75 + 1.5 × IRD y los represent— ™omo bigotes que s—len
de l— ™—j—F
RF xorm—lmente represent— ™on ™ír™ulos los d—tos —típi™osF
2.7. Sobre el ejemplo de las capas de dióxido de silicio
‰— est—mos en ™ondi™iones de responder en p—rte — l—s ™uestiones que qued—ron l—tentes en el tem— de
introdu™™ión so˜re el ejemplo de l—s pl—™—s de sili™ioF
†—mos — ™omenz—r re—liz—ndo un resumen des™riptivo de los d—tosD sep—r—ndo por seriesD propor™ion—ndo
medi—D desvi—™ión típi™—D ™oe(™iente de v—ri—™ión y ™oe(™iente de —simetrí—F „odos estos result—dos —p—re™en
en l— „—˜l— PFPF
in primer lug—rD es ™ierto queD ™omo —puntá˜—mos en el tem— de introdu™™iónD los v—lores están en torno — WH
@l— medi— es WP más o menosAF edemásD vemos que sí que h—y un— v—ri—˜ilid—d moder—d— de los d—tosD ™on un
g† en torno —l PS 7D lo que indi™— queD —l p—re™erD l—s distint—s ™ondi™iones en que ™—d— medi™ión se re—lizóD
—fe™t—ron en —lgun— medid— el result—doX todo esto es muy prelimin—r porque no tenemos l— inform—™ión
™omplet— de en qué ™ondi™iones se re—liz—ron ™—d— un— de l—s medi™ionesF €or el ™ontr—rioD podemos o˜serv—r
—lgo muy ll—m—tivoF vos d—tos de l— primer— serie son ™l—r—mente —simétri™os — l— izquierd— @™oe(™iente de

pigur— PFUX hes™rip™ión de un di—gr—m— de ™—j—F puenteX httpXGGesFwikipedi—ForgGwikiGhi—gr—m—•de•™—j—
—simetri— de EIFUWAD mientr—s que los de l— segund— serie son ™l—r—mente —simétri™os — l— dere™h— @™oe(™iente
de —simetrí— de IFUIAF h—do que no er— esper—˜le que surgier—n diferen™i—s entre l—s dos seriesD de˜emos
pregunt—rnos qué p—sóF
€—r— tr—t—r de —n—liz—r más profund—mente los d—tosD v—mos — propor™ion—r t—m˜ién los dos di—gr—m—s de
™—j— de —m˜—s seriesF ep—re™en en l— pigur— PFVF gon ell—sD v—mos — resumir —hor— l—s de™isiones que los
—utores tom—ron en vist— de los result—dos y l—s ™on™lusiones — l—s que lleg—ronF
y˜sérvese que l—s diferen™i—s entre l—s series no —fe™t—n sorprendentemente —l ™onjunto de l—s muestr—sD sino
sólo — los v—lores —típi™os que se ven en —m˜os di—gr—m—s de ™—j—F iso probaría queD en efe™toD no h—y ningun—
diferen™i— sistemáti™— entre l—s seriesF
v— siguiente t—re— es l— de inspe™™ion—r los d—tos —típi™osF ƒi mir—mos ™on —ten™ión los d—tosD vemos que l—s
V medi™iones más gr—ndes de l— segund— serie o™urrieron en l— pl—™— IHF el ver este he™hoD los —utores del
tr—˜—jo inspe™™ion—ron est— pl—™— y des™u˜rieron que se h—˜í— ™ont—min—do ™on un residuo de l— pelí™ul—D lo
que o™—sionó es—s medi™iones t—n gr—ndes del espesorF he he™hoD los ingenieros elimin—ron es— pl—™— y tod—
l— serie enter— por r—zones té™ni™—sF in l— primer— serieD en™ontr—ron t—m˜ién que l—s tres medi™iones más
˜—j—s se h—˜í—n de˜ido — un ™—li˜r—dor m—l ™on(gur—doD por lo que l—s elimin—ronF xo se pudo determin—r
™—us— —lgun— — l— existen™i— de los dos d—tos —típi™os rest—ntesD por lo que perm—ne™ieron en el —nálisisF €or
últimoD nótese que después de este pro™eso de depur—™ión de los d—tos que el —nálisis medi—nte ist—dísti™—
hes™riptiv— h— motiv—doD l— distri˜u™ión de los d—tos tiene un— evidente form— de ™—mp—n—F

pigur— PFVX hi—gr—m—s de ™—j— de los d—tos del espesor de l—s ™—p—s de dióxido de sili™io

Parte II
Cálculo de Probabilidades
QU

Capítulo 3
Probabilidad
†emos que l— teorí— de l— pro˜—˜ilid—d en el fondo sólo es sentido ™omún redu™ido — ™ál™uloY nos
h—™e —pre™i—r ™on ex—™titud lo que l—s mentes r—zon—˜les tom—n por un tipo de instintoD in™luso
sin ser ™—p—™es de d—rse ™uent—‘FFF“ is sorprendente que est— ™ien™i—D que surgió del —nálisis de los
juegos de —z—rD lleg—r— — ser el o˜jeto más import—nte del ™ono™imiento hum—no‘FFF“ v—s prin™ip—les
™uestiones de l— vid— sonD en gr—n medid—D meros pro˜lem—s de pro˜—˜ilid—dF
€ierre ƒimonD w—rqués de v—pl—™e
Resumen. il ™—pítulo propor™ion— un tr—t—miento de los experimentos ™uyos result—dos no se pueden prede™ir
™on ™ertez— — tr—vés del ™on™epto de pro˜—˜ilid—dF ƒe —n—liz—n l—s propied—des de l— pro˜—˜ilid—d y se introdu™e
t—m˜ién el ™on™epto de pro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d—D que surge ™u—ndo un su™eso modi(™— l— —sign—™ión de
pro˜—˜ilid—des previ—F
Palabras clave: experimento —le—torioD experimento determinísti™oD esp—™io muestr—lD su™esoD pro˜—˜ilid—dD
pro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d—D independen™i— de su™esosF
3.1. Introducción
in nuestr— vid— ™otidi—n— —so™i—mos usu—lmente el ™on™epto de Probabilidad — su ™—li(™—tivo probable,
™onsider—ndo probables —quellos eventos en los que tenemos un —lto gr—do de ™reen™i— en su o™urren™i—F
in est— líne—D Probabilidad es un ™on™epto —so™i—do — l— medid— del azarF „—m˜ién pens—mos en el —z—r
vin™ul—doD fund—ment—lmenteD ™on los juegos de —z—rD pero desde es— ópti™— t—n redu™id— se nos es™—p—n otros
mu™hísimos ejemplos de fenómenos de l— vid— ™otidi—n— o —so™i—dos — dis™iplin—s de distint—s ™ien™i—s donde
el —z—r jueg— un p—pel fund—ment—lF €or ™it—r —lgunosX
¾ué número de unid—des de produ™™ión s—len ™—d— dí— de un— ™—den— de mont—jec xo existe un número
(jo que pued— ser ™ono™ido — prioriD sino un ™onjunto de posi˜les v—lores que podrí—n d—rseD ™—d— uno
de ellos ™on un ™ierto gr—do de ™ertez—F
¾guál es el t—m—ño de un p—quete de inform—™ión que se tr—nsmite — tr—vés de r„„€c xo existe en
re—lid—d un número (joD sino que éste es des™ono™ido — prioriF
QW

¾guál es l— posi™ión de un o˜jeto dete™t—do medi—nte q€ƒc hi™ho sistem— o˜tieneD re—lmenteD un—
estim—™ión de di™h— posi™iónD pero existen márgenes de error que determin—n un— región del pl—no
donde el o˜jeto se en™uentr— ™on —lt— pro˜—˜ilid—dF
¾ué ruido se —dhiere — un— señ—l que se enví— desde un emisor — un re™eptorc hependiendo de l—s
™—r—™terísti™—s del ™—n—lD di™ho ruido será más o menos relev—nteD pero su presen™i— no podrá ser ™ono™id—
— prioriD y de˜erá ser diferen™i—d— de l— señ—l primitiv—D sin que se ™onoz™— ést—D teniendo en ™uent— que
se tr—t— de un ruido aleatorioF
in todos estos ejemplos el —z—r es un f—™tor insosl—y—˜le p—r— ™ono™er el ™omport—miento del fenómeno en
estudioF
3.2. Experimentos aleatorios y experimentos determinísticos
in gener—lD un experimento del que se ™ono™en todos sus posi˜les result—dos y queD repetido en l—s mism—s
™ondi™ionesD no siempre propor™ion— los mismos result—dos se ™ono™e ™omo experimento aleatorioF
in ™ontr—posi™iónD un experimento determinístico es —quel donde l—s mism—s ™ondi™iones —segur—n que
se o˜teng—n los mismos result—dosF
vo que el gál™ulo de €ro˜—˜ilid—des ˜us™— es en™ontr—r un— medid— de l— in™ertidum˜re o de l— ™ertidum˜re
que se tiene de todos los posi˜les result—dosD y— que j—más @o muy difí™ilmenteA se podrá ™ono™er — priori
el result—do de ™u—lquier experimento donde el —z—r esté presenteX — est— medid— de l— in™ertidum˜re l—
denomin—remos probabilidad
1F
3.3. Denición de probabilidad
„enemosD por t—ntoD que pro˜—˜ilid—d es l— —sign—™ión que h—™emos del gr—do de ™reen™i— que tenemos so˜re
l— o™urren™i— de —lgoF ist— —sign—™iónD sin em˜—rgoD de˜e ser coherenteF ist— ne™esid—d de que —signemos
pro˜—˜ilid—des —de™u—d—mente se v— — pl—sm—r en est— se™™ión en tres regl—sD ™ono™id—s ™omo axiomasD que
de˜e ™umplir ™u—lquier rep—rto de pro˜—˜ilid—desF
3.3.1. Álgebra de conjuntos
ƒi ™onsider—mos un experimento —le—torioD podemos ™—r—™teriz—r los posi˜les result—dos de di™ho experimento
™omo ™onjuntosF is de interésD por t—ntoD rep—s—r los ™on™eptos y propied—des ˜ási™—s del álge˜r— de ™onjuntosF
in todo este —p—rt—do no de˜emos olvid—r que los ™onjuntos represent—n en nuestro ™—so los posi˜les result—dos
de un experimento —le—torioF
…n conjunto es un— ™ole™™ión de elementosF
ƒe di™e que B es un subconjunto de A si todos sus elementos lo son t—m˜ién de AD y se not—rá B ⊂ AF
1Es mejor que aceptemos desde el principio que la Estadística no es la ciencia de la adivinación: tan sólo se ocupa de
cuanticar cómo de incierto es un evento y, ocasionalmente, de proponer estrategias de predicción basadas en dicha medida de
la incertidumbre.

€—r— ™—d— A se veri(™— ∅ ⊂ A ⊂ A ⊂ Ω.
ƒi C ⊂ B y B ⊂ AD enton™esD C ⊂ A. isto se ™ono™e ™omo propied—d tr—nsitiv—F
v— unión de B y A es un ™onjunto ™uyos elementos son los elementos de A y BD y se not— A ∪ BF ist—
oper—™ión veri(™— l— propied—d ™onmut—tiv— y —so™i—tiv—F
ƒi A ⊂ BD enton™es A ∪ B = B.
v— intersección de A y B es el ™onjunto form—do por los elementos ™omunes de A y BD y se not— AB o
A ∩ B. ist— oper—™ión veri(™— l— propied—d ™onmut—tiv—D —so™i—tiv— y distri˜utiv— respe™to de l— uniónF
hos ™onjuntosD A y BD se di™en mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles si su interse™™ión
es v—™í—D es de™irD A ∩ B = ∅.
ƒi dos ™onjuntos A y B son disjuntosD su unión suele not—rse A + BF
vos ™onjuntos A1, ..., AN se di™en mutuamente excluyentes si Ai ∩ Aj = ∅ p—r— todo i = j.
…n— partición es un— ™ole™™ión de ™onjuntosD A1, ..., AN t—l queX
—A A1 ∪ ... ∪ AN = Ω
˜A Ai ∩ Aj = ∅ p—r— todo i = j.
il conjunto complementario de un ™onjunto AD ¯A ó Ac
D está form—do por todos los elementos de Ω que
no pertene™en — AF
ƒe sigue por t—ntoD
A ∪ ¯A = Ω
A ∩ ¯A = ∅
(Ac
)
c
= A
¯Ω = ∅
Si B ⊂ A → ¯A ⊂ ¯B
Si A = B → ¯A = ¯B.
pin—lmenteD men™ionemos l—s ll—m—d—s veyes de worg—nX
A ∪ B = ¯A ∩ ¯B
A ∩ B = ¯A ∪ ¯B.
3.3.2. Espacio muestral
gonsideremos un experimento —le—torioF

il ™onjunto form—do por todos los posi˜les result—dos del experimento —le—torio re™i˜e el nom˜re de espacio
muestralD y lo not—remos h—˜itu—lmente ™omo Ω.
gu—lquier su˜™onjunto de un esp—™io muestr—l re™i˜e el nom˜re de suceso o eventoF
r—˜l—remos de ensayo o realización de un experimento —le—torio re(riéndonos — un— eje™u™ión de di™ho
experimentoF esíD diremos que en un ens—yo ocurre un suceso A si se o˜serv— en di™ho ens—yo ™u—lquier
result—do in™luido en el su™eso AF
…n— o˜serv—™ión import—nte es que el esp—™io muestr—l no tiene por qué ser úni™oD sino que dependerá de lo
que deseemos o˜serv—r del experimento —le—torioF †—mos — poner este he™ho de m—ni(esto en los siguientes
ejemplosF
Ejemplo. ƒi ™onsider—mos el l—nz—miento de un d—doD un esp—™io muestr—l serí— Ωa{IDPDQDRDSDT}F
vos su™esos más element—les posi˜les son {I}D {P}D {Q}D {R}D {S} y {T}F ytros su™esos no element—les
pueden ser {IDP}D {m—yor que P}D {p—r}D FFF
ƒin em˜—rgoD supong—mos que est—mos l—nz—ndo un d—do porque no tenemos ningun— moned— — m—noD y
sólo dese—mos ver si el result—do es p—r o imp—rF in ese ™—soD el esp—™io muestr—l serí— Ω = {par, impar}F
Ejemplo. …n experimento h—˜itu—l en fiologí— ™onsiste en extr—erD por ejemploD pe™es de un ríoD h—st—
d—r ™on un pez de un— espe™ie que se dese— estudi—rF il número de pe™es que h—˜rí— que extr—er h—st—
™onseguir el ejempl—r dese—do de l— espe™ie en estudio form—rí— el esp—™io muestr—lD Ω = {1, 2, 3, ...}D si es
que el investig—dor dese— o˜serv—r ex—™t—mente el número de pe™es h—st— extr—er ese ejempl—r dese—doF
y˜sérvese que se tr—t— de un ™onjunto no —™ot—doD pero numer—˜leF
gomo ejemplos de posi˜les su™esos de interés podrí—mos poner los eventos {IDPDQDRDS}D {m—yor o igu—l —
S}DFFF
ƒupong—mos —hor— que el investig—dor sólo está interes—do en ™ompro˜—r si h—™en f—lt— más de S exE
tr—™™iones p—r— o˜tener un ejempl—r de l— espe™ie en estudioF in ese ™—soD el esp—™io muestr—l serí—
Ω = { 5, ≤ 5}F
Ejemplo. ƒi ™onsider—mos el experimento —le—torio ™onsistente en elegir un número —˜solut—mente —l
—z—r entre H y ID un esp—™io muestr—l serí— Ω = [0, 1]F e diferen™i— de los —nteriores ejemplosD este esp—™io
muestr—l no es (nitoD ni siquier— numer—˜leF
gomo ejemplo de su™esos posi˜les en este esp—™io muestr—l podemos dest—™—rD entre otrosD {menor que
HFS} D {m—yor que HFPS}D {menor que HFUS} DFFF
ytro esp—™io muestr—l podrí— ser o˜serv—r el v—lor de™im—l m—yor más ™er™—noF €or ejemploD si s—le HFPSD
me interes— HFQF in ese ™—so el esp—™io muestr—l serí— Ω = 0.1, 0.2, ...1F iste esp—™io muestr—l servirí—D
por ejemploD p—r— sorte—r números entre I y 10D sin más que multipli™—r el result—do o˜tenido por IHF

in estos últimos ejemplos podemos ver que h—y dos gr—ndes tipos de esp—™ios muestr—les según el número de
su™esos element—lesF
…n esp—™io muestr—l se di™e discreto si está form—do por un ™onjunto (nito o in(nito numer—˜le de su™esos
element—lesF
€or el ™ontr—rioD un esp—™io muestr—l se di™e continuo si está form—do por un ™onjunto no numer—˜le de
su™esos element—lesF
3.3.3. Función de probabilidad
h—do un esp—™io muestr—l Ω ™orrespondiente — un experimento —le—torioD un— función de probabilidad
p—r— ese esp—™io muestr—l es ™u—lquier fun™ión que —signe — ™—d— su™eso un número en el interv—lo [0, 1] y que
veri(que
P [A] ≥ 0, p—r— ™u—lquier evento A.
P [Ω] = 1.
h—d— un— ™ole™™ión de su™esos A1, A2, ..., An mutu—mente ex™luyentesD es de™irD t—les que Ai ∩ Aj = ∅ p—r—
todo i = j,
P [∪n
i=1Ai] =
n
i=1
P [Ai] .
Nota. r—y que not—r que se puede d—r más de un— fun™ión de pro˜—˜ilid—d —so™i—d— —l mismo esp—™io
muestr—lF €or ejemploD —so™i—do —l esp—™io muestr—l Ω = {cara, cruz}, del l—nz—miento de un— moned—D
pueden d—rse un número in(nito no numer—˜le de medid—s de l— pro˜—˜ilid—dY ™on™ret—menteD —so™i—d—s
— ™—d— ele™™ión
P [cara] = p
P [cruz] = 1 − p,
p—r— ™—d— p ∈ [0, 1] . eunque si l— moned— no está ™—rg—d—D ™omo su™ede h—˜itu—lmenteD se ™onsider— el
™—so en que p = 1
2 .
Ejemplo. †olviendo so˜re el l—nz—miento del d—doD si éste no está ™—rg—doD podemos de(nir l— siguiente
fun™ión de pro˜—˜ilid—dX
P [{i}] =
1
6
, i = 1, 2, ..., 6.

pigur— QFIX gir™uito
in ese ™—soD podemosD — su vezD ™—l™ul—r —lgun—s pro˜—˜ilid—desF €or ejemploD
P ({par}) = P [{2, 4, 6}]
= P [{2}] + P [{4}] + P [{6}]
=
1
6
+
1
6
+
1
6
= 0.5.
in este ™ál™ulo se h— tenido en ™uent— l— ter™er— ™ondi™ión de l— de(ni™ión —xiomáti™—F
gomo ™onse™uen™i— de l— de(ni™ión se veri(™—nD entre otr—sD l—s siguientes propied—desD que —demás f—™ilit—n
˜—st—nte los ™ál™ulosX
P [∅] = 0.
ƒe— A un su™eso ™u—lquier—F inton™esD P ¯A = 1 − P [A] .
ƒe—n A y B dos su™esos ™u—lesquier—F inton™esD P A ∩ ¯B = P [A] − P [A ∩ B] .
ƒe—n A y B dos su™esos ™u—lesquier—F inton™esD P [A ∪ B] = P [A] + P [B] − P [A ∩ B] .
Ejemplo. il ™ir™uito que —p—re™e en l— pigur— QFI está ™onstituido por dos interruptores @switchesA en
p—r—leloF v— pro˜—˜ilid—d de que ™u—lquier— de ellos esté ™err—do es de 1
2 F
€—r— que p—se ™orriente — tr—vés del ™ir™uito ˜—st— ™on que p—se ™orriente por —lguno de los dos interrupE
toresD esto esD que —l menos uno de ellos esté ™err—doF €or t—ntoD si not—mos por E —l su™eso que pase
corriente a través del circuito y Ei —l su™eso que el interruptor i esté cerrado, enton™esD
P [E] = P [E1 ∪ E2] = P [E1] + P [E2] − P [E1 ∩ E2]
=
1
2
+
1
2
− P [E1 ∩ E2] ≤ 1.
€—r— ™ono™er est— pro˜—˜ilid—d de form— ex—™t— ne™esit—mos s—˜er ™ómo —™tú—n de form— ™onjunt— —m˜os
™ir™uitosF

Nº de lanzamientos IH IHH PSH SHH USH IHHH
Nº de caras R RT IPR PRR QUW SHI
N. de caras
N. de lanzamientos HFR HFRT HFRWT HFRVV HFSHSQ HFSHI
gu—dro QFIX eproxim—™ión fre™uentist— — l— pro˜—˜ilid—d de ™—r— en el l—nz—miento de un— moned—F
3.4. Interpretación frecuentista de la probabilidad
v— interpret—™ión más ™omún —l ™on™epto de pro˜—˜ilid—d tiene que ver ™on los promedios de o™urren™i— de
los su™esos del experimento en ™uestiónF
€ensemos en el l—nz—miento de un— moned—X si de™imos que l— pro˜—˜ilid—d de ™—r— es HFSD entendemos que
si l—nz—mos l— moned— un gr—n número de ve™es y —not—mos el número de ™—r—sD ést—s serán más o menos l—
mit—dF
qener—liz—ndo este pro™esoD podrí—mos de™ir que l— pro˜—˜ilid—d de un evento AD P [A] , es
P [A] = l´ım
n→∞
nA
n
,
donde nA es el número de o™urren™i—s de A en n ens—yos del experimentoF
ist— interpret—™ión se ™ono™e ™omo denición frecuentista de la probabilidad. ƒe tr—t— de un— interpret—™ión
de ™—rá™ter eminentemente prá™ti™o porque permite un— —proxim—™ión físi™— —l ™on™epto de pro˜—˜ilid—dD
pero se ve limit—d— por l—s ™ompli™—™iones que supone l— de(ni™ión en términos de un límite queD ™omo t—lD
sólo se —l™—nz— en el innitoF edemásD desde un punto de vist— re—list—D ¾en qué o™—siones podremos repetir
el experimento un gr—n número de ve™esc
Ejemplo. ƒe h—n re—liz—do IHHH l—nz—mientos de un— moned—F in el gu—dro QFI —p—re™e un resumen de ese
pro™esoF €uede o˜serv—rse ™omo ™u—nto m—yor es el número de l—nz—mientosD más se —proxim— l— fre™uen™i—
rel—tiv— —l v—lor 1
2 D de m—ner— que podrí—mos pens—r que l— pro˜—˜ilid—d de ™—r— es igu—l que l— pro˜—˜ilid—d
de ™ruz e igu—les —m˜—s — 1
2 D —unque esto sólo es un— suposi™iónD o un— —proxim—™iónD y— que p—r— —pli™—r
estri™t—mente l— de(ni™ión fre™uentist— de˜erí—mos ™ontinu—r h—st— el in(nitoD lo que result— imposi˜leF
ist— interpret—™ión fre™uentist— de l— pro˜—˜ilid—d permite inferir lo que podemos ll—m—r frecuencias espe-
radas. ƒi un evento A tiene —sign—d— un— pro˜—˜ilid—d P [A]D enton™esD si repetimos el experimento —le—torio
n ve™esD lo más esperable es que el número de ve™es que se de el evento A será n × P [A] . wás —del—nte
podremos m—tiz—r ™on más rigor — qué nos referimos ™on lo más esperable.
Ejemplo. ƒiguiendo ™on el ejemplo de l— moned—D si l— l—nz—mos QRV ve™esD lo esper—˜le es que s—lg—n
—lrededor de 348 × 0.5 = 174 ™—r—sF
3.5. Interpretación subjetiva de la probabilidad
ƒi nos di™en que l— pro˜—˜ilid—d de que lluev— m—ñ—n— es del QS 7D ¾™ómo podemos interpret—r eso en términos
fre™uentist—sc xo tiene sentido pens—r en que podemos repetir el experimento día de mañana mu™h—s ve™es y
™ont—r ™uánt—s ve™es llueveF ¾€odrí—mos pens—r si hubiera muchos días como el de mañana, aproximadamente
llovería en el 35 % de ellosc €ero eso no tiene sentido porque el dí— de m—ñ—n— es úni™oF

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