Matemática V - Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Universidad Nacional de Ingeniería

MATEMÁTICA V
Ing. Arévalo Villanueva, Manuel
LIMA - PERÚ
2016

…niversid—d x—™ion—l de sngenierí— €erú
Índice general
1 Introducción 5
IFI fi˜liogr—fí— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S
IFP gontenido F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S
IFPFI ‚ep—so F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S
2 Función Compleja 8
PFI vímite de un— pun™ión gomplej— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W
PFP gontinuid—d de un— pun™ión gomplej— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W
PFQ heriv—d— de un— pun™ión gomplej— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W
PFQFI i™u—™iones de g—u™hy E ‚iem—nn F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F II
3 Integración Compleja 12
QFI „eorem— de g—u™hy E ƒimple F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQ
QFP „eorem— de g—u™hy E wultiple F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IS
QFQ „eorem— de l— sntegr—l de g—u™hy F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IS
QFQFI „eorem— de qreen F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IV
QFR „eorem— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PH
QFRFI snform—™ión edi™ion—l I F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PI
QFRFP snform—™ión edi™ion—l P F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PT
QFS „eorem— de €oisson p—r— un— ™ir™unferen™i— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PV
QFSFI snform—™ión —di™ion—lX „eorem— de €oisson F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ
QFT ƒerie de „—ylor F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QR
QFU ƒerie de w—™l—urin F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QR
QFV ƒerie de v—urent F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QT
QFW sntegr—™ión por el método de residuos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU
QFWFI geros F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU
QFWFP ƒingul—rid—des F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV
QFWFQ €olos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV
QFWFR ‚esiduos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QV
QFWFS wetodo ƒt—nd—rt F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QW
QFIH epli™—™iones de los ‚esiduos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RI
QFIHFI iv—lu—™ion de sntegr—les de pun™iones de †—ri—˜le ‚e—l F F F F F F F F F F F RI
QFIHFP snform—™ion edi™ion—l I E ‚esiduos y €olos F F F F F F F F F F F F F F F F F F RR
4 Serie de Fourier 50
RFI xo™iones F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SH
RFIFI pun™ión €eriódi™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SH
RFIFP pun™ión €—r F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SH
RFIFQ pun™ión smp—r F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SH
RFP „eorem— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SH
RFQ ƒerie „rigonométri™— de pourier F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SI
RFQFI g—sos €—rti™ul—res F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SQ
RFR sdentid—d de €—rsev—l p—r— l— ƒerie de
pourier F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ST
RFS ƒerie ™omplej— de pourier F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SU
vim— E €erú I sngF erév—lo †ill—nuev—D w—nuel

ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL
RFT ixp—nsiones de wedio ‚—ngo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TH
RFTFI epli™—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TI
RFU „r—nsform—d— de pourier @pp„D„hpA F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TR
RFV „eorem—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS
RFVFI „r—nsi™ión en el dominio del tiempo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS
RFVFP „r—nsform—d— de l— deriv—d— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS
RFVFQ „r—nsform—d— del smpulso (δ(t)) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TT
RFVFR p—™tor de es™—l— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TU
RFW gonvolu™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TU
RFWFI wetodo qrá(™o @ƒolu™ión de l— ™onvolu™iónA F F F F F F F F F F F F F F F F F TV
RFWFP wetodo de l—s heriv—d—s @ƒolu™ión de l— ™onvolu™iónA F F F F F F F F F F F F UI
RFIH „r—nsform—d— Z F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UI
RFIHFI he(ni™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UI
RFIHFP „eorem—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UQ
RFIHFQ „eorem— de „r—sl—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UQ
RFII epli™—™ión de l— gonvolu™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UR
RFIIFI gir™uitos higit—les @i™u—™iones en hiferen™i—s
pinit—sA F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UR
RFIIFP €ro˜lem—s €ropuestos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F US
P

Índice de guras
IFI €l—no ™omplejo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S
PFI pun™ión ™omplej— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F V
PFP „r—nsform—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F V
PFQ €l—nos Z y W F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W
PFR heriv—d— de un— pun™ión gomplej— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IH
QFI sntegr—™ión ™omplej— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IP
QFP hominio ƒimplemente gonexo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQ
QFQ hominio gonexo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IR
QFR hominio no ƒimplemente gonexo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IS
QFS „eorem— de €oisson F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW
QFT ƒerie de „—ylor F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QR
QFU hominio de v—urent F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QT
vim— E €erú Q sngF erév—lo †ill—nuev—D w—nuel

ÍNDICE DE FIGURAS ÍNDICE DE FIGURAS
Dedicado con mucho respeto a nuestro maestro, Manuel Arévalo de parte:
Sarango Veliz, Andy Juan
Carbajal, Ximena
Diaz Tunjar, Lita
R

Capítulo 1
Introducción
1.1 Bibliografía
1) ‡uns™h → †—ri—˜le gomplej—F
2) ghur™hill → †—ri—˜le gomplej—F
3) herri™k → †—ri—˜le gomplej—F
4) w—temáti™— epli™—d— p—r— sngenierí—F



Óneil
ill
urey
5) wuir—y ƒpiegel → †—ri—˜le gomplej—F
6) w—temáti™— ev—nz—d—s p—r— sngenierí—
1.2 Contenido
1.2.1 Repaso
pigur— IFIX €l—no ™omplejo
Complejos
Z = x + i · y @porm— re™t—ngul—rA
@xX €—rte re—lA C @yX €—rte im—gin—ri—A } xúmeros ‚e—les
vim— E €erú S sngF erév—lo †ill—nuev—D w—nuel

IFPFgontenido Ing. Arévalo V. Manuel
Z = r cos θ + i · r sin θ @porm— pol—rA
Z = r (cos θ + i sin θ)
Z = r · eiθ
@porm— exponen™i—lA
Argumento de Z
Arg(Z) = θ
honde por ™onven™iónX −π θ π
tan θ =
y
x
⇒ −π 0 π
θ(x;y) = arctan(
y
x
) → pun™ión ermóni™—
∗ 2
φ = 0 @i™u—™ión de v—p—™eA → φX pun™ión ermóni™—
Partes real-imaginaria
Re(Z) = x Im(Z) = y
x = Re(Z) ≤ |Z| y = Im(Z) ≤ |Z|
∗ x ≤ x2 + y2
∗ y ≤ x2 + y2
Conjugado del número complejo Z
Z = x + i · y → ¯Z = x + i · y = x − i · y Y |Z| = | ¯Z|
• Z1 ± Z2 = ¯Z1 ± ¯Z2
• Z1 · Z2 = ¯Z1 · ¯Z2
•
Z1
Z2
=
¯Z1
¯Z2
Y ¯Z2 = 0
• Z · ¯Z = (x + iy) · (x − iy) = x2
+ y2
= |Z|2
⇒ Z. ¯Z = |Z|2
Z + ¯Z = 2x
Z − ¯Z = 2iy



x =
Z + ¯Z
2
y =
Z − ¯Z
2i
∗ Re(Z) = Z+ ¯Z
2
∗ Im(Z) = Z− ¯Z
2i
T

IFPFgontenido Ing. Arévalo V. Manuel
Ejemplo 1 hemuestre queX |Z1 + Z2| ≤ |Z1| + |Z2|
Solución
|Z1 + Z2|2
= (Z1 + Z2) · (Z1 + Z2)
= (Z1 + Z2) · ( ¯Z1 + ¯Z2)
= Z1 · ¯Z1 + Z2 · ¯Z1 + Z1 · ¯Z2 + Z2 · ¯Z2
= Z1 · ¯Z1 + 2Re(Z1 · ¯Z2) + Z2 · ¯Z2
|Z1 + Z2|2
= |Z1|2
+ 2Re(Z1 · ¯Z2) + |Z2|2
|Z1 + Z2|2
= |Z1|2
+ 2Re(Z1 · ¯Z2) + |Z2|2
+
2Re(Z1 · ¯Z2) ≤ 2|Z1 · ¯Z2|
@@@@@@
2Re(Z1 · ¯Z2) + |Z1 + Z2|2
≤ |Z1|2
+@@@@@@
2Re(Z1 · ¯Z2) + |Z2|2
+ 2|Z1 · ¯Z2|
|Z1 + Z2|2
≤ |Z1|2
+ 2|Z1 · ¯Z2| + |Z2|2
≤ |Z1|2
+ 2|Z1| · |Z2| + |Z2|2
≤ (|Z1| + |Z2|)2
⇒ |Z1 + Z2| ≤ |Z1| + |Z2|
Desigualdad triangular
|Z1 + Z2 + · · · + Zn| ≤ |Z1| + |Z2| + · · · + |Zn|
Ejemplo 2 r—lle
√
i
Solución
a = b ⇒ 2a2
= 1 ⇒ a = ± 1√
2
a = −b ⇒ ∅
√
i = a + bi a, b ∈ R
0 + i = a2
− b2
+ 2abi
a2
− b2
= 0
2ab = 1
a2
= b2
a = ±b
⇒
√
i =
1
√
2
+ i
1
√
2
⇒
√
i = −
1
√
2
− i
1
√
2
Ejemplo 3 i™u—™ión de l— re™t—X y = mx + bY y = Z− ¯Z
2i Y x = Z+ ¯Z
2
(
Z − ¯Z
2i
) = m(
Z + ¯Z
2
) + b
⇒ ¯Z − iZ = m(Z − ¯Z) + ζ
U

Capítulo 2
Función Compleja
pigur— PFIX pun™ión ™omplej—
Ejemplo 1 ƒe—X f : C → C/ W
u+i·v=(x+y·i)2
= f(Z) = Z2
Solución
u + i · v = (x + i · y)2
= x2
+ 2xy · i + i2
· y2
= (x2
− y2
) + (2xy) · i
⇒ u + i · v = (x2
− y2
) + (2xy) · i
T =
u(x,y) = x2
− y2
v(x,y) = 2xy
pigur— PFPX „r—nsform—™ión
Ejemplo 2 ƒe—X f : C → C/W = f(Z) = 1
Z ; Z = 0
Solución
W = f(Z) =
¯Z
Z · ¯Z
=
x − i · y
x2 + y2
=
x
x2 + y2
− i ·
y
x2 + y2
vim— E €erú V sngF erév—lo †ill—nuev—D w—nuel

PFQFheriv—d— de un— pun™ión gomplej— Ing. Arévalo V. Manuel
„r—nsform—™ión ⇒ T =
u = x
x2+y2
v = −y
x2+y2
Tarea1
hemuestre que l— tr—nsform—™ión TD tr—nsform— re™t—s — ™ir™uferen™i—sF @v—„eˆ invi—rX —ry˜—E
loQRSdhotm—ilF™omA
2.1 Límite de una Función Compleja
ƒe—X f : C → C/W = f(Z)
pigur— PFQX €l—nos Z y W
inton™es el límite de f ™u—ndo Z se —proxim— — Z0D se denot— porX
lim
Z→Z0
⇔ ∀ε 0, ∃δ 0/|f(Z) − L| ε, siempre que , |Z − Z0| δ ; ε = f(δ)
Z0X €unto de —™umul—™ión del dominio de f
LX xúmero ™omplejoF
2.2 Continuidad de una Función Compleja
ƒe— f : C → C/W = f(Z)D f es ™ontínu— en Z = Z0 (Z0 ∈ Domf)F ƒiX
I) f(Z0) existe o está de(nid—F
II) limZ→Z0 f(Z) existeF
III) limZ→Z0
f(Z0)F
2.3 Derivada de una Función Compleja
ƒe— f : C → C/W = f(Z)D f es ™ontinu— en Z = Z0 (Z0 ∈ Domf)F ƒiX
f (Z) = lim
∆Z→0
[
f(Z + ∆Z) − f(Z)
∆Z
], si el límite existe
W

pigur— PFRX heriv—d— de un— pun™ión gomplej—
edemásX f (Z) = ˙f(Z) = df(Z)
dZ
€—r— un punto Z = Z0
f es deriv—˜le o tiene deriv—d— en Z = Z0 ∈ Df .ƒi ∃ lim
∆Z→0
f(Z0 + ∆Z) − f(Z0)
∆Z
⇒ f (Z0) = ˙f(Z) =
f(Z0)
dZ
= lim
∆Z→0
f(Z0 + ∆Z) − f(Z0)
∆Z
Ejemplo 1 ƒe— f : C → C/W = f(Z) = ¯ZD ¾in qué puntos del pl—no Z es f deriv—˜lec
f (Z) = lim
∆Z→0
f(Z + ∆Z) − f(Z)
∆Z
= lim
∆Z→0
Z + ∆Z − ¯Z
∆x + i · ∆y
= lim
∆Z→0
¯Z + ∆Z − ¯Z
∆x + i · ∆y
= lim
∆Z→0
∆x − i · ∆y
∆x + i · ∆y
Z = x + i · y → ¯Z = x − i · y → ∆Z = ∆x + i · ∆y
IH

L1 = L2



∆x = 0 → lim∆y→0
−i·∆y
i·∆y = −1
L1
∆y = 0 → lim∆x→0
∆x
∆x = 1
L2
f no es deriv—˜le en ningún punto del pl—no ZF
2.3.1 Ecuaciones de Cauchy - Riemann
@gondi™iones ne™es—ri—sA
ƒe—X f : C → C/ W
u+i·v=f(Z)
= f(Z)
u(x;y) + i · v(x;y) = f(Z)
⇒ f (Z) = lim
∆x→0 ∆y→0
[
u(x0+∆x;y0+∆y) + i · v(x0+∆x;y0+∆y) − u(x0;y0) − i · v(x0;y0)
∆x + i · ∆y
]
‚e—™omod—mos p—rte re—l y p—rte im—gin—ri—F
f (Z) = lim
∆x→0 ∆y→0
[
u(x0+∆x;y0+∆y) − u(x0;y0)
∆x + i · ∆y
]
+ lim
∆x→0 ∆y→0
[
v(x0+∆x;y0+∆y) − v(x0;y0)
∆x + i · ∆y
]
→ vuego ∆y = 0
C : z(t) = x(t) + i.y(t)
Tarea1
is™ri˜ir l—s ™ondi™iones de g—u™hyE‚iem—nnD en ™oorden—d—s pol—resD siX
x = r cos θ
y = r sin θ
Tarea2
ƒe— f : C → C/w = f(z) = z2 ¯ZD demuestre que f (Z) no existe en ningún punto del pl—no ZF
II

Capítulo 3
Integración Compleja
@sntegr—l de líne—A
pigur— QFIX sntegr—™ión ™omplej—
Z(t) = x(t) + i · y(t)
P
n→∞
zi − zi−1 = ∆zi
h—d— un— p—rti™ión se form— l— siguiente sum—X Sn = f(ε1)(z1 − z0) + f(ε2)(z2 − z1) + . . . +
f(εi)(zi − zi−1) + . . . + f(εn)(zn − zn−1)
Sn =
n
i=1
f(εi)∆zi, ∀i = 0, 1, 2, . . . , n −→ limn→∞
P →0
Sn
vim— E €erú IP sngF erév—lo †ill—nuev—D w—nuel

QFIF„eorem— de g—u™hy E ƒimple Ing. Arévalo V. Manuel
limn→∞
P →0
n
i=1
f(εi)∆zi =
C
f(z)dz =
C
(u + iv)(dx + idy) =
C
(udx − vdy) + i
C
(vdx + udy)
@QFIA
3.1 Teorema de Cauchy - Simple
@hominio ƒimplemente gonexoA
ƒe— f : C → C/ω = f(z) es Analítica dentro de un— región @hominio simplemente ™onexoA y
en l— fronter— @un— ™urv— su—ve simple ™err—d—AD enton™esX
C
f(z)dz = 0
pigur— QFPX hominio ƒimplemente gonexo
Es decirX ζ de˜e est—r ™ontenid— en D @e˜iertoAD siendo el interior de ζ(R)D es un dominio
simplemente ™onexoF
DemostraciónX → ‚e™uerde el „F de qreenX
C
Pdx + Qdy =
C
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dA
he (3.1)X C
f(z)dz = C
(udx + (−vdy)) + i (vdx + udy)F
€or el teorem— de qreen en el pl—no @w—te sssAX
C
f(z)dz =
D
−
∂v
∂x
−
∂u
∂y
dA + i
D
∂u
∂x
−
∂v
∂y
dA = 0
€or ™ondi™ión g—u™hyE‚iem—nnD de˜ido — que son —n—líti™—sX
∂u
∂x
=
∂v
∂y
;
∂u
∂y
= −
∂v
∂x
@‰— que son —n—líti™—sA
=⇒
C
f(z)dz = 0
⇒ RecuerdeX @xo™ión p—r— ™—l™ul—r en un dominio multiplemente ™onexoA
IQ

QFPF„eorem— de g—u™hy E wultiple Ing. Arévalo V. Manuel
pigur— QFQX hominio gonexo
Dominio Conexo ¾ué su™ede si el dominio no es ™onexoc
z − z0
z
= ε
z = ε.eiθ
+ z0
dz = ε.i.eiθ
+ z0
C
f(z)
z − z0
dz =
2π
0
f(ε.eiθ
+ z0)ε.i.eiθ
ε.eiθ
dθ = i
2π
0
f(ε.eiθ
+ z0)dθ
⇒ lim
C
f(z)
z − z0
dz = lim
ε→0
i
2π
0
f(ε.eiθ
+ z0)dθ
C
f(z)
z − z0
dz = i
2π
0
lim
ε→0
f(ε.eiθ
+ z0)dθ = i
2π
0
f(z0)dθ = f(z0).i.
2π
0
dθ
→
C
f(z)
z − z0
dz = (2π.i)f(z0)
isto solo fun™ion— p—r— este ™—soD l— expresión del primer miem˜ro puede ™—m˜i—rF
IR

QFQF„eorem— de l— sntegr—l de g—u™hy Ing. Arévalo V. Manuel
3.2 Teorema de Cauchy - Multiple
@hominio wultiplemente gonexoA
ƒe— R un dominio que no es simplemente ™onexoD lo ™onvertimos en un ‚B que se— simplemente
™onexoF
pigur— QFRX hominio no ƒimplemente gonexo
inton™esX
C ∪C
f(z)dz =
AB
f(z)dz +
BMNB
f(z)dz +
BA
f(z)dz +
AEF A
f(z)dz = 0
= −
C
f(z)dz +
C
f(z)dz = 0
=⇒
C
f(z)dz =
C
f(z)dz
3.3 Teorema de la Integral de Cauchy
ƒe— f : C → C/ω = f(z)D —n—líti™— dentro de l— ™urv— su—ve @CA y en l— ™urv— ex™epto en —lgunos
puntos ™omo z = z0@snterior — l— ™urv— ζAF
⇒ f(z0) = 1
2πi ζ
f(z)
z−z0
dz ⇒ ζ
f(z)
z−z0
dz = 2π.i.f(z0)
DemostraciónX
z − z0
z
= ε
z = ε.eiθ
+ z0
dz = ε.i.eiθ
+ z0
IS

0 ≤ θ ≤ 2π
⇒
C
f(z)
z − z0
dz =
2π
0
f(ε.eiθ
+ z0)ε.i.eiθ
ε.eiθ
dθ = i
2π
0
f(ε.eiθ
+ z0)dθ
⇒ lim
C
f(z)
z − z0
dz = lim
ε→0
i
2π
0
f(ε.eiθ
+ z0)dθ
C
f(z)
z − z0
dz = i
2π
0
lim
ε→0
f(ε.eiθ
+ z0)dθ = i
2π
0
f(z0)dθ = f(z0).i.
2π
0
dθ
→
C
f(z)
z − z0
dz = (2π.i)f(z0)
Ejemplo 1 r—lle el v—lor de l— integr—l de g(z) — lo l—rgo de l— ™ir™unferen™i— |z −i| = 2 en sentido
positivoF
a) ƒi g(z) = 1
z2+4
b) ƒi g(z) = 1
(z2+4)2
SoluciónX
a)
|z − i| = 2 −→ |x + yi − i| = 2 −→ x2
+ (y − 1)2
= 4
=⇒ a)
C
dz
z2 + 4
=
C
dz
(z + 2i)(z − 2i)
=
C
1
z+2i
z − 2i
dz =
C
f(z)
z − z0
dz
=⇒
C
1
z+2i
z − 2i
dz = 2π.i.
1
(2i) + 2i
=
π
2
b) sde—X
C
f(z)
z − z0
dz = 2π.i.f(z0)
IT

ƒe—X
f(z0) =
1
2π.i C
f(z)
z − z0
dz; g(z) no es —n—l¡ti™— en z0.
heriv—ndo n ve™es respe™to — z0X
f (z0) =
1
2π.i C
(z − z0)0 − f(z)(−1)
z − z0
dz
=
1
2π.i C
f(z)
(z − z0)2
dz
f (z0) =
1
2π.i C
(z − z0)2
0 − f(z)2(z − z0)(−1)
(z − z0)4
dz
=
1.2
2π.i C
f(z)
(z − z0)3
dz
f (z0) =
1.2.3
2π.i C
f(z)
(z − z0)4
dz
FFF =
FFF
f(n)
(z0) =
n!
2π.i C
f(z)
(z − z0)n+1
dz =⇒
C
f(z)
(z − z0)n+1
dz =
2π.i.f(n)
(z0)
n!
Ejemplo 2 ƒe— f : C → C/ω = f(z) = Re(z2
)D ™—l™ule
C
f(z)dzD siendo C l— ™urv— mostr—d— en
l— (gur—F
ω = f(z) = Re(z2
) = x2
− y2
C
f(z)dz =
C1
(x2
− y2
)dz +
C2
(x2
− y2
)dz +
C3
(x2
− y2
)(dz) dz = dx + idy
in C1 se d— queX
x=x→dx=dx
y=0→dy=0
C1
(x2
− y2
)(dx + idy) =
C1
x2
dx =
x3
3
1
0
=
1
3
IU

in C2 se d— queX
x=cosθ→dx=−senθdθ
y=senθ→dy=cosθdθ
C2
(x2
− y2
)(dx + idy) =
C2
(cos2
θ − sen2
θ)(−senθdθ + icosθdθ)
=
π
4
0
(cos2
θ − sen2
θ)(−senθdθ) + i
π
4
0
(cos2
θ − sen2
θ)(cosθdθ) =
1
3
−
√
2
3
+ i
√
2
3
in C3 se d— queX
x=y
dx=dy
C3
(x2
− y2
)(dx + idy) = (0)(dz) = 0
=⇒
C
f(z)dz =
2 −
√
2
3
+ i
√
2
3
3.3.1 Teorema de Green
B(z, z) @†—ri—˜le gomplej—A
B(z, z)dz = 2i
R
∂B
∂z
dA
AnalogíaX
F(x).dx = F(r(t)).r (t)dt
f(z)dz = f(z(t)).z (t)dt
…s—ndo el „eorem— de qreenX @€—r— el Ejemplo 2 A
x =
z + z
2
y =
z + z
2i
f(z) = (x2
− y2
) ⇒ B(z, z) =
z + z
2
2
−
z + z
2i
2
B(z, z) =
1
2
[z2
+ z2
]
∂B(z, z)
∂z
= z ← z=reiθ
z=re−iθ
B(z, z)dz = 2i
π
4
0
1
0
reiθ
(rdrdθ)
I =
2 −
√
2
3
+ i
√
2
3
IV

QFRF„eorem— Ing. Arévalo V. Manuel
Ejemplo 1 iv—lúe l— siguiente integr—l f(z)dzD siendo f : C → C/ω = f(z)
f(z) =
10
n=1
enz
cos(nt)
(z+1)n + z.z(z+1)n
(z+1)n D siendo C X
NOTAX enz
cos(nt)
(z+1)n es —n—líti™—D → f(z) = 10z.z
Ejemplo 2 g—l™ule 1
2π
2π
0
R2
−r2
R2−2Rrcosθ+r2 dθ
Solución
R + z
R − z
=
R + reiθ
R − reiθ
R − re−iθ
R − re−iθ
=
R2
+ Rreiθ
− Rre−iθ
− r2
R2 − Rreiθ − Rre−iθ + r2
=
R2
− r2
+ Rr(eiθ
− e−iθ
)
R2 + r2 − Rr(cosθ + isenθ + cosθ − isenθ)
=⇒
R + z
R − z
=
R2
− r2
R2 + r2 − 2Rrcosθ
+
Rr(eiθ
− e−iθ
)
⇒ I =
1
2π
2π
0
R2
− r2
R2 − 2Rrcosθ + r2
dθ =
1
2π
2π
0
R + z
R − z
dθ −
1
2π
2π
0
2iRrsenθ
dθ
=
1
2π
2π
0
(1 +
2z
R − z
)dθ =
1
2π
2π
0
dθ +
1
2π
2π
0
2z
R − z
dθ =
1
2π
2π
0
dθ =
1
2π
(2π) = 1
I = 1
IW

3.4 Teorema
ƒe— F : [a, b] → C un— ™urv— su—ve y se— f ™ontinu— en rD enton™esX
C
f(z)dz ≤
a
b
|f(z(t))| . |z(t)| dt
ƒi —demás existe un número positivo M/|f(z)| ≤ M, ∀z en rD enton™esX
C
f(z)dz ≤ ML
Demostración
ƒe—
C
f(z)dz = reiθ
→ r = e−iθ
C
f(z)dz = e−iθ
b
a
f(z(t)).z(t)dtF
gomo r es un re—lD enton™esX
⇒ r = Re(r) = Re

e−iθ
b
a
f(z(t)).z(t)dt


r =
b
a
Re e−iθ
f(z(t)).z(t) dt
vuegoD s—˜emos que ∀ ™omplejo ωD Re(ω) ≤ |ω|F
⇒ Re e−iθ
f(z(t)).z(t) e−iθ
f(z(t)).z(t) = |f(z(t)).z(t)| = |f(z(t))|.|z(t)|
⇒ r = e−iθ
f(z(t)).z(t) =
C
f(z)dz
r =
b
a
f(z(t)).z(t)dt ≤
b
a
|f(z(t)).z(t)|dt ≤
b
a
|f(z(t))|.|z(t)|dt →
C
f(z)dz ≤
b
a
|f(z(t))|.|z(t)|dt
→
b
a
|f(z(t))|.|z(t)|dt ≤ M
b
a
|z(t)|dt ≤ ML =⇒
C
f(z)dz ≤ ML
Ejemplo 1 e™ot—r l— siguiente integr—l
C
z3
z6+1 dz ≤ MLD siendo C : |z| = 2
Solución
C
z3
z6 + 1
dz ≤ ML
PH

L = 2πR = 2π(2) = 4π
M =?
‚e™ord—ndoX
||z1| − |z2|| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
|z3|
|z1| + |z2|
≤
|z3|
||z1| − |z2||
‚eempl—z—ndo ™—d— uno de los términos de l— fun™ión — integr—rX
z3
z6 + 1
≤
23
26 − 1
=
8
63
= M
esíX
C
z3
z6 + 1
dz ≤
8
63
(4π) =
32π
63
3.4.1 Información Adicional 1
sntegr—™ión gomplej— @ghur™hillA
Integración Compleja
@sntegr—™ión de un número C en tA
ƒe—n u(t), v(t) ™ontinu—s — trozos en el un interv—lo a ≤ t ≤ bX
ω(t) = u(t) + iv(t)
=⇒
b
a
ω(t)dt =
b
a
u(t)dt + i
b
a
v(t)dt
∗ Re


b
a
ω(t)dt

 =
b
a
Re[ω(t)]dt
∗ Im


b
a
ω(t)dt

 =
b
a
Im[ω(t)]dt
∗
b
a
z0ω(t)dt = z0
b
a
ω(t)dt; z0 = x0 + iy0
PI

€odemos es™ri˜irX ƒi r0 y θ0 son los módulos y —rgumentos de IF
r0 = |r0| =
b
a
ω(t)dt = e−iθ
b
a
ω(t)dt =
b
a
e−iθ
ω(t)dt
r0 =
b
a
e−iθ
ω(t)dt −→ Re(r0) = Re


b
a
e−iθ
ω(t)dt


r0 =
b
a
Re e−iθ
ω(t) dt
⇒ Re e−iθ
ω(t)dt ≤ e−iθ
ω(t)dt = e−iθ
. |ω(t)| = |ω(t)|
b
a
Re e−iθ
ω(t)dt ≤
b
a
|ω(t)| dt =⇒
b
a
ω(t) ≤
b
a
|ω(t)| dt ƒirve p—r—X
ab
a=b
b→∞
Curvas en Complejos: Z = Z(t) = x(t) + i · y(t)
z(t) =



t + i · t; 0 ≤ t ≤ 1
t + i; 1 ≤ t ≤ 2
z = eiθ
; 0 ≤ θ ≤ π
z = cosθ + isenθ
=⇒ z (t) = x (t) + iy (t)
=⇒ |z (t)| = [x (t)] + [y (t)]
PP

=⇒ L =
b
a
|z (t)|dt =
b
a
[x (t)] + [y (t)]dt
z(t) = z(φ(τ));
t=φ(τ)
dt=φ (τ)dτ
→ z (t) = z (φ(τ))φ (τ)
=⇒ L =
b
a
|z (φ(τ))|φ (τ)dτ; r =
z (t)
|z (t)|
Integrales en una curva ζ
xot—™iónX
C
f(z)dz o
z2
z1
f(z)dz
vuegoX
z = z(t) = x(t) + iy(t); a ≤ t ≤ b
=⇒ z = z (t) = x (t) + iy (t)
„—m˜iénX
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
=⇒ f [z(t)] = u [x(t), y(t)] + iv [x(t), y(t)]
edemásX
dz = dx + idy
dz = x (t).dt + iy (t).dt
=⇒ dz = z (t).dt
=⇒
C
f(z)dz =
C
f [z(t)] z (t)dt
PQ

ue es lo mismo queX
C
f(z)dz =
C
(u + iv)(dx + idy)
=⇒
C
f(z)dz =
C
udx − vdy + i
C
vdx + udy
=⇒
C
f(z)dz = −
C
f(z)dz =
−a
−b
f [z(−t)] [−z (−t)] dt
Teorema de Cauchy-Goursat
TeoremaX
ƒi un— fun™ión es —n—líti™— en todos los puntos de un ™ontorno ™err—do C y en su interiorD
enton™esX
C
f(z)dz = 0
ue es equiv—lente —X
ƒi un— fun™ión f es —n—líti™— en todo un dominio simplemente ™onexo DD enton™esX
C
f(z)dz = 0
p—r— todo ™ontorno simple ™err—do C ™ontenido en DF
Primitivas e independencia del camino
ƒe— f un— fun™ión ™ontinu— en todo un dominio D y ∃ un— fun™ión —n—líti™— F t—l queX
F (z) = f(z) =⇒
C
f(z)dz =
b
a
f [z(t)] .z (t).dt = F(z(t))
b
a
= F(z(b)) − F(z(a))
vuegoD se di™e que F es un— primitiv— de f en el dominio DF
∗ ƒi z(a) = z(b) =⇒
C
f(z)dz = 0
∗ ƒi f(z) es —n—líti™— en D y C enton™es es independiente de l— tr—ye™tori—F
=⇒
C1
f(z)dz =
C2
f(z)dz = F(z)
z2
z1
PR

∗ f(z) → F (z)→P rimitiva(1)
G(z)→P rimitiva(2)
H=F (z)−G(z)
H =F (z)−G (z)
⇒ H = 0 → F(z) − G(z) = cte
ƒi l—s integr—les ™urvilíne—s de un— fun™ión ™ontinu— f son independientes del ™—mino en un
dominio DD enton™es f tiene un— primitiv— en todos los puntos de D
∗ ƒi f no es ™ontinu— en D =⇒ xo es independiente de l— tr—ye™tori— en todo punto de DF
∗ ƒi f es —n—líti™— en D@ƒimplemente ™onexoAD enton™es f es independiente de l— tr—ye™tori—
C F @is de™irD tiene un— primitiv— FA
∗ ƒi f es inter— ⇒ ued— —segur—d— l— existen™i— de un— primitiv—F
∗
z2
z1
1
z2 dz = −1
z
z2
z1
= 1
z1
− 1
z2
; (z1 = 0; z2 = 0) −→ ƒe —pli™— sólo si |z| 0 @ƒi C no ™ort— o
no p—s— por el origenD enton™es es independiente de l— tr—ye™tori—AF
Fórmula Integral de Cauchy
TeoremaX
ƒi un— fun™ión es —n—líti™— en un punto enton™es sus deriv—d—s de todos los órdenes son
t—m˜ién fun™iones —n—líti™—s en ese puntoF
ƒe dedu™e queX
f(n)
(z0) = n!
2πi
C
f(z)
(z−z0)n+1 dz @naHDIDPDF F F A
€—r— ™—l™ul—r ™iert—s integr—lesX
C
f(z)
(z−z0)n+1 dz = 2πi
n! f(n)
(z0) @naHDIDPDF F F A
in p—rti™ul—rX
C
dz
z−z0
= 2πi Y
C
dz
(z−z0)n+1 = 0 @naIDPDF F F A
Teorema de la Morera
ƒi un— fun™ión es ™ontinu— en un dominio D y si
C
f(z)dz = 0 p—r— todo ™ontorno ™err—do
C en DD enton™es f es —n—líti™— en DF
⇒ NOTAX
∗ „eorem— de q—u™hyEqours—t di™e @sd—AX
ƒi f es —n—líti™— en C y dentro de C ⇒ f(z) es —n—líti™—
∗ „eorem— de worer— di™e @†uelt—AX
ƒi f es ™ontinu— en un— región D y
C
f(z)dz = 0 donde C es el ™ontorno de D ⇒ f(z) es —n—líti™—
Principio del Módulo Máximo
ƒupong— que f(z) es —n—líti™— en el interior y so˜re un— ™urv— simple ™err—d— C y que no es
identi™—mente igu—l — un— ™onst—nteD enton™es el v—lor máximo de |f(z)| se en™uentr— so˜re
C F
PS

Teorema del Módulo Mínimo
Teorema de Liouville y el Teorema Fundamental del Álgebra
Teorema de Louville ƒi f es enter— y —™ot—d— p—r— todos los v—lores de z en el pl—no
™omplejoD enton™es f(z) es ™onst—nte en todo el pl—noF
Teorema Fundamental del Álgebra gu—lquier polinomio
P(z) = a0 + a1z + a2z2
+ . . . + anzn
D (an = 0) de gr—do n(n ≥ 1) tiene —l menos un
™eroF isto esD existe —l menos un punto z0 t—l que P(z0) = 0
3.4.2 Información Adicional 2
sntegr—™ión gomplej—
Forma compleja del Teorema de Green
ƒupong— que B(z, z) es ™ontinu— y tiene deriv—d—s p—r™i—les ™ontinu—s en un— region R y en
su fronter— C D dondeX z = x + iyD y z = x − iyD enton™esX
C
B(z, z)dz = 2i
R
∂B
∂z dxdy
DemostraciónX
ƒe—X
B(z, z) = P(x, y) + iQ(x, y)
inton™esX
C
B(z, z)dz =
C
(P + iQ)(dx + idy) =
C
(Pdx − Qdy) + i
C
(Qdx + Pdy)
=
R
(−
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)dxdy +
R
(
∂P
∂x
−
∂Q
∂y
)dxdy
= −
R
(
∂Q
∂x
+
∂P
∂y
)dxdy +
R
(
∂P
∂x
−
∂Q
∂y
)dxdy
C
B(z, z)dz = i
R
(
∂P
∂x
−
∂Q
∂y
) + i(
∂Q
∂x
+
∂P
∂y
) dxdy
x =
z + z
2
y =
z − z
2
gon lo —nterior podemos des—rroll—rX
∂B
∂z
=
∂B
∂x
·
∂x
∂z
+
∂B
∂y
·
∂y
∂z
;
∂x
∂z
=
1
2
∂y
∂z
=
i
2
∂B
∂z
=
∂P
∂x
+ i
∂Q
∂x
·
1
2
+
∂P
∂y
+ i
∂Q
∂y
·
i
2
∂B
∂z
=
1
2
∂P
∂x
−
∂Q
∂y
+
i
2
∂Q
∂x
+
∂P
∂y
PT

2 ·
∂B
∂z
=
∂P
∂x
−
∂Q
∂y
+
∂Q
∂x
+
∂P
∂y
‚eempl—z—ndoX
=⇒
C
B(z, z)dz = 2i
R
∂B
∂z
dxdy
→ Consecuencias
ƒe— P(z, z) y Q(z, z) ™on deriv—d—s ™ontinu—s en un— región R y so˜re su fronter— C D enton™esX
C
P(z, z)dz + Q(z, z)dz = 2i
R
∂P
∂z − ∂Q
∂z dxdy
DemostraciónX
€or el „eorem— de qreenX
C
P(z, z)dz = 2i
R
∂P
∂z
dxdy
r—™emos lo mismo que en el „eorem— de qreenX
ƒe—
Q(z, z) = u + iv
C
Q(z, z)dz =
C
(u + iv)(dx − idy) =
C
(udx + vdy) + i
C
(vdx − udy)
€or el teorem— de qreen en ™—d— integr—l ™err—d—X
C
Q(z, z)dz =
R
∂v
∂x
−
∂u
∂y
dxdy + i
R
−
∂u
∂x
−
∂v
∂y
dxdy
C
Q(z, z)dz = −i
R
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+ i
∂v
∂x
−
∂u
∂y
dxdy
∂Q
∂z
=
∂Q
∂x
·
∂x
∂z
+
∂Q
∂y
·
∂y
∂z
;
∂x
∂z
=
1
2
∂y
∂z
= −
i
2
∂Q
∂z
=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
·
1
2
+
∂u
∂y
+ i
∂v
∂y
·
−i
2
∂Q
∂z
=
1
2
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
i
2
∂v
∂x
−
∂u
∂y
2 ·
∂Q
∂z
=
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+ i
∂v
∂x
−
∂u
∂y
‚eempl—z—ndoX
PU

QFSF„eorem— de €oisson p—r— un— ™ir™unferen™i— Ing. Arévalo V. Manuel
C
Q(z, z)dz = −2i
R
∂Q
∂z
dxdy
vuegoD sum—ndoX
C
P(z, z)dz +
C
Q(z, z)dz = 2i
R
∂P
∂z
dxdy − 2i
R
∂Q
∂z
dxdy
C
P(z, z)dz + Q(z, z)dz = 2i
R
∂P
∂z
−
∂Q
∂z
dxdy @QFPA
Desigualdad de Cauchy
ƒupong— que f(z) es —n—líti™— en el interior y so˜re un— ™ir™unferen™i— C D tiene r—dio r
y™entro en z = aD enton™esX
f(n)
(a) ≤
M.n!
rn
; n = 1, 2, 3, . . .
donde M es un— ™onst—nte t—l que |f(a)| M en C Y es de™irD M es un— ™ot— superior de
|f(z)| en C
Teorema del Valor Medio de Gauss
ƒupong— que f(z) es —n—líti™— en el interior y so˜re l— ™ir™unferen™i— C D ™on ™entro en a y
de r—dio rD enton™es f(a) es l— medi— de los v—lores de f(z) en C D es de™irD
f(a) =
1
2π
2π
0
f(a + reiθ
)dθ
3.5 Teorema de Poisson para una circunferencia
ƒe— f : C → C —n—líti™— en el interior y so˜re l— ™ir™unferen™i— C : |z| = RD enton™esX
ƒe— z = reiθ
un punto ™u—lquier— en el interior de C D enton™esX
f(z) = f reiθ
= 1
2π
2π
0
(R2
−r2
)f(Reiφ
)
R2−2Rrcos(θ−φ)+r2 dφ
DemostraciónX
R2
= |ˆz|.|z| ; ˆz = |ˆz|.
z
|z|
‚eempl—z—ndo l— segund— e™u—™ión en l— primer—X
R2
= (ˆz
|z|
z
).|z|
PV

pigur— QFSX „eorem— de €oisson
ˆz =
R2
.z
|z|2
=
R2
.z
z.z
=
R2
z
‚e™ord—ndo queD siendo z0 un punto en el interiorX
f(z0) =
1
2πi
f(z)
z − z0
dz
gonsider—ndo un ™—m˜io de v—ri—˜le de l— form— z0 = z y z = ωX
f(z) =
1
2πi
f(ω)
ω − z
dω
epli™—ndo el teorem— de l— sntegr—l de g—u™hyX
f(reiθ
) = f(z) =
1
2πi
2π
0
f(ω)
ω − z
dω
0 =
1
2πi
2π
0
f(ω)
ω − R2
z
dω
gonsider—ndo queX
ω = Reiφ
PW

z = reiθ
‚est—ndoX
f(z) =
1
2πi
2π
0
1
ω − z
−
1
ω − R2
z
f(ω)dω
f(reiθ
) =
1
2πi
2π
0
1
Reiφ − reiθ
−
re−iθ
rReiφe−iθ − R2
f(Reiφ
)Reiφ
dφ
f(reiθ
) =
1
2πi
2π
0
(−R2
+ Rrei(φ−θ)
− Rrei(φ−θ)
+ r2
)f(Reiφ
)Reiφ
(Reiφ − reiθ)(Rrei(φ−θ) − R2)
dφ
f(reiθ
) =
1
2πi
2π
0
(R2
− r2
)f(Reiφ
)
(R − rei(θ−φ))(R − rei(φ−θ))
dφ
f(reiθ
) =
1
2πi
2π
0
(R2
− r2
)f(Reiφ
)
R2 + r2 − Rrei(φ−θ) − Rrei(θ−φ)
dφ
f reiθ
=
1
2π
2π
0
R2
− r2
f Reiφ
R2 − 2Rrcos(θ − φ) + r2
dφ
Ejemplo 1 iv—lueX
a)
1
2πi
ezt
(z − i)2(z + i)2
1
2πi
ezt
/(z − i)2
(z + i)2
+
1
2πi
ezt
/(z + i)2
(z − i)2
f1(z) =
ezt
(z − i)2
;
f2(z) =
ezt
(z + i)2
QH

f1(z) =
tezt
(z − i)2
− ezt
(2(z − i))
(z − i)4
=
te−it
(−2i)2
− e−it
(−4i))
(−2i)4
f2(z) =
tezt
(z + i)2
− ezt
(2(z + i))
(z + i)4
=
teit
(2i)2
− eit
(4i))
(2i)4
I =
1
2πi
(2πi
−4te−it
+ 4ie−it
−16
) + 2πi
−4teit
− 4ieit
−16
) =
1
2
(cost − sent)
b)
2π
0
cos(θ)dθ
(25 + 24cosθ)
2
2π
0
dθ
a + bcos(θ)
=
2π
√
a2 − b2
→ deriv—mos respe™tro a → b
−
2π
0
cosθdθ
a + bcos(θ)
=
2πb
(a2 − b2)
3/2
2π
0
cos(θ)dθ
(25 + 24cosθ)
2 =
2π
0
dθ
a + bcos(θ)
= −
2πb
(a2 − b2)
3/2
€—r— a = 25Y b = 24X
2π
0
cos(θ)dθ
(25 + 24cosθ)
2 =
−48π
343
Ejemplo 2 ƒe— un— ™ir™unferen™i— |z| = 1D en™uentre el v—lor deX
a) sin z6
dz
z−π/6
= 2πi(sin(π/6))6
=
π
32
i
b) sin z6
dz
(z−π/6)3
⇒ f(z) = (sin z)6
⇒ f (z) = 30(sin z)4
.(cos z)2
− 6(sin z)6
→
2πif(2)
(π/6)
2!
=
2πi
2
. 30(sin π/6)4
.(cos π/6)2
− 6(sin π/6)6
=
21π
16
i
Ejemplo 3
a)
C
z2
+ r0 dz
z2(z2 + 1)(z2 + 4)
in l— ™urv—X
C : |z| =
√
2
QI

r0
12(z2 + 4)
−
r0
3(z2 + 1)
+
r0
4z2
−
1
4(z2 + 1)
dz
=
r0
12(z + 2i)(z − 2i)
dz −
r0
3(z − i)(z − i)
dz
+
r0
4z2
dz −
1
3(z − 2i)(z + 2i)
dz +
1
3(z − i)(z − i)
dz
1
3
1−r0
z+i
z − i
dz +
1−r0
z−i
z + i
dz = 0
b)
2π
0
1
a + b cos θ
dθ =
2π
√
a2 − b2
; a |b|
a = R2
+ r2
→ R + r =
√
a − b
b = 2Rr → R − r =
√
a + b
R2
− r2
= a2 − b2
f(r.eiφ
) = 1; f(R.eiφ
) = 1
⇒ gomoX
f(z) = f(r.eiφ
) = 1 =
1
2π
2π
0
(R2
− r2
).f(R.eiφ
)
R2 + r2 − 2Rrcos(θ − φ)
dφ
2π
√
a2 − b2
=
2π
0
1
a + b cos θ
dθ
Ejemplo 4 hemuestre que I = 1
2π
2π
0
(R2
−r2
)
R2+r2−2Rrcos(θ−φ) dφ = 2πF
a) gon l— fórmul— de €oissonF
f(R.eiφ
) = f(r.eiφ
) = 1 ⇒ 1 =
1
2π
2π
0
(R2
− r2
)(1)
R2 + r2 − 2Rrcos(θ − φ)
dθ ⇒ I = 2π
b) ƒin l— fórmul— de €oisson @demostr—do —nteriormenteAF
Ejemplo 5
2π
0
1
a + b sin θ
dθ; a |b|
a = R2
+ r2
→ R + r =
√
a − b
b = −2Rr → R − r =
√
a + b
R2
− r2
= a2 − b2
f(r.eiφ
) =
1
2π
2π
0
(R2
− r2
).f(R.eiφ
)
R2 + r2 − 2Rrcos(θ − φ)
dφ
f(r.eiφ
) = 1; f(R.eiφ
) = 1
2π
√
a2 − b2
=
2π
0
dθ
a + bsenφ
QP

QFTFƒerie de „—ylor Ing. Arévalo V. Manuel
Ejemplo 6
2π
0
dθ
(5 − 3senθ)2
2π
0
dθ
(a − bsenθ)2
; a |b|
⇒
2π
0
dθ
a − bsenθ
=
2π
√
a2 − b2
→ deriv—mos respe™to a → a
d
da
2π
0
dθ
a − bsenθ
=
d
da
2π
√
a2 − b2
−
2π
0
dθ
(a − bsenθ)2
= −
2πa
√
a2 − b2
3
2π
0
dθ
(a − bsenθ)2
=
2πa
√
a2 − b2
3
€—r— a = 5Y b = 3X
2π(5)
52 − (−3)2
=
10π
43
=
5π
32
NotaX
2π
0
dθ
a + bcosθ
=
2π
√
a2 − b2
heriv—mos respe™to a → a
−
2π
0
dθ
(a + bcosθ)2
=
d
da
(
2π
√
a2 − b2
)
2π
0
dθ
(a − bcosθ)2
=
2πa
√
a2 − b2
3
3.5.1 Información adicional: Teorema de Poisson
f(z) = frac
1
π
∞
−∞
−β.f(x, 0)
(x − α)2 + β2
dx = u(α, β) + iv(α, β)
u(α, β) =
1
π
∞
−∞
−β.u(x, 0)
(x − α)2 + β2
v(α, β) =
1
π
∞
−∞
−β.v(x, 0)
(x − α)2 + β2
QQ

QFUFƒerie de „—ylor Ing. Arévalo V. Manuel
pigur— QFTX ƒerie de „—ylor
3.6 Serie de Taylor
TeoremaX
ƒe— f —n—liti™— en el interior de un— ™ir™unferen™i— ζ ™entr—do en z0 y de r—dio ‚D enton™es en
™—d— punto z dentro de ζ
f(z) = f(z0 + f (z0)(z−z0
1! + f (z0)(z−z0)2
2! + ... + f(n)
(z0)(z−z0)n
n! + ...
es de™irD l— serie de poten™i—s
∞
n=0
fn
(z0)
n! (z − (z0)n
...(|z| R) ™onverge — p@zA ™u—ndo
|z − z0| R
f(z) =
∞
n=0
fn
(z0)
n! (z − (z0)n
...(|z| R)
3.7 Serie de Maclaurin
ƒi z0 = 0D enton™es l— serie de w—™l—urin se es™ri˜eX
f(z) = f(0) + f (0)z
1! + f (0)z2
2! + ... + f(n)
(0)zn
n! + ...
ƒi —sumimos H3aI y f(0)
(z) = f(z)
⇒ f(z) =
∞
n=0
fn
(0)
n!
zn
...(|z| R)
f(z) = ez
Y f(n)
(z) = 0 Y f(n)
(0) = 1
→ ez
=
∞
n=0
ez
n!
t—l que (|z| ∞)
vuego siX z = x + 0i → ex
=
∞
n=0
ex
n! (−∞ x ∞)
QR

QFUFƒerie de „—ylor Ing. Arévalo V. Manuel
a) f(z) = senz; f(2n)
(0) = 0; f(2n+1)
(0) = (−1)n
→ senz =
∞
n=0
(−1)n z2n+1
(2n + 1)!
; (|z| ∞)
b) f(z) = cosz; f(2n)
(0) = 0; f(2n)
(0) = (−1)n
→ cosz =
∞
n=0
(−1)n z2n
(2n)!
; (|z| ∞)
f(z) = senhz
→ senhz =
∞
n=0
(−1)n z2n+1
(2n + 1)!
; (|z| ∞)
f(z) = coshz
→ coshz =
∞
n=0
(−1)n z2n
(2n)!
; (|z| ∞)
1
1 − z
=
∞
n=0
zn
; (|z| 1)
→ 1 + z + z2
+ ... + zn
+ ... =
1
1 − z
; |z| 1
ƒi X
z = −z →
1
1 + z
=
∞
n=0
(−1)n
zn
; |z| 1
1
1 − z2
=
∞
n=0
z2n
; |z| 1
z = 0 y f(n)
(z) = (−1)n
n!
zn+1 → f(n)
(1) = (−1)n
n!
1
z
=
∞
n=0
(−1)n
(z − 1)
n
; |z − 1| 1
f(z) =
1 + 2z
z2 + z3
=
1
z2
1 + 2z
1 + z
=
1
z2
2 −
1
1 + z
xo podemos us—r l— serie de w—™l—urin z = 0 pero si p—r— 1
(1+z) → 0 |z − 1| 1 FFF @BA
→
1
z2
2 −
1
1 + z
=
1
z2
2 − 1 − z + z2
− z3
+ z4
− z5
+ ...
=
1
z2
2 − 1 + z − z2
+ z3
− z4
+ z5
− ...
=
1
z2
+
1
z
− 1 + z − z2
+ z3
− z4
+ z5
QS

QFVFƒerie de v—urent Ing. Arévalo V. Manuel
=
1
z2
2 −
∞
n=0
(−1)n
zn
z−2
+ z−1
−
∞
n=0
(−1)n
zn
3.8 Serie de Laurent
Serie de LaurentX
ƒi un— fun™ón f no es —n—liti™— en un punto z0 @z0 punto singul—rA
TeoremaX
henotemos por C0 y C1 dos ™ir™ulos positiv—mente orient—doD ™entr—dos en un punto z0Ddonde
c0 es menos que C1 —si ™omo en l— ™oron— entre ellosD enton™es en ™—d— punto z de ese dominio f@zA
se represent— por el des—rrolloX
f(z) =
∞
n=0
an(z − z0)n
+
∞
n=1
bn
(z − z0)n
hondeX
an =
1
2πi ζ1
f(z)dz
(z − z0)n+1
(n = 0, 1, 2...)
bn =
1
2πi ζ0
f(z)dz
(z − z0)−n+1
(n = 0, 1, 2...)
pigur— QFUX hominio de v—urent
„—m˜ien podemos es™ri˜ir l— ƒerie de v—urentX
f(z) =
∞
n=0
cn(z − z0)n
(R0 |z − z0| R1)
hondeX
Cn =
1
2πi ζ
f(z)dz
(z − z0)n+1
(n = 0, ±1, ±2, ±3, ...)
ez
z2
=
1
z2
+
1
2!
+
z
3!
+ ...(0 |z| ∞)
QT

QFWFsntegr—™ión por el método de residuos Ing. Arévalo V. Manuel
→ ez
=
∞
n=0
zn
n!
= 1 +
z
1!
+
z2
2!
+
z3
3!
+
z4
4!
e
1
z = 1 +
∞
n=1
1
n!zn
(0 |z| ∞)
ƒi f :→ C/w = f(z)D si f es —n—liti™— so˜re P ™ir™unferen™i—s ™on™entri™—s C1 y C2 ™on ™entro
en z0 y en l— ™oron— ™ir™ul—r@—nilloADenton™es f se puede represent—r medi—nte l— ƒerie de v—urentF
f(z) =
∞
n=0
bn(z − z0)n
Parte Analitica
+
∞
n=1
Cn
(z − z0)n
Parte Principal
hondeX
bn =
1
2πi ζ1
f(z)dz
(z − z0)n+1
(n = 0, 1, 2...)
Cn =
1
2πi ζ0
(z − z0)−n+1
dz (n = 0, 1, 2...)
3.9 Integración por el método de residuos
3.9.1 Ceros
ƒi un— fun™ión —n—liti™— en un dominio h es igu—l — ™ero en un punto Z = z0 en h enton™es se di™e
que tiene ™ero en Z = z0
f (z0) = f (z0) = ... = fz0
n−1 = 0 Λ fn
z0
= 0
→ il ™ero es de orden nX
Ejemplo 1 ƒe— fXg → C/f(z) = 3i(z + i)2
es —n—liti™— en todo el pl—no zD se h—™e ™ero en zaEi
→ f (z) = 9i(z + i)2
−→ f (−i) = 0
f (z) = 18i(z + i) −→ f (−i) = 0
f (z) = 18i = 0 −→ inton™es se di™e que f es de orden QF
QU

3.9.2 Singularidades
…n punto donde un— fun™ion dej— de ser —n—liti™— se denomi™— punto singul—r o singul—rid—dF
Clases de singularidades €olos
ƒingul—rid—d esen™i—l
3.9.3 Polos
ƒi f tiene un— singul—rid—d —isl—d— en z = z0 D enton™es podemos represent—r medi—nte l— serie de
v—urentX
f(z) =
∞
n=0
bn(z − z0)n
+
∞
n=0
cn
(z − z0)n
f(z) =
∞
n=0
bn(z − z0)n
+
c1
(z − z0)
+
c2
(z − z0)2
+
c3
(z − z0)3
+ ... +
cm
(z − z0)m
Numeros nitos de terminos
+0 + 0 + 0 + ...
ƒi Cm = 0ΛCm+1 = Cm+2 = ... = 0
v— singul—rid—d se denomin— polo y m es el orden del polo de lo ™ontr—rio@xúmero de terminos
in(nitoAFƒingul—rid—d esen™i—lF
→ f@zA tiene polos de orden m
→ƒi naI → il polo es simpleF
3.9.4 Residuos
ƒ—˜emos que si f es —n—liti™— en un— ve™ind—d de z = z0 → ζ
f(t)dt = 0 en un dominio simpleE
mente ™onexo@no existen hoyosAF
ƒin em˜—rgo f@zA tiene un— singul—rid—d —isl—d—D en este ™—so el result—do de l— integr—l diferente
de ™eroFsntegr—mos l— serie de v—urentX
→
ζ
f(z)dz =
ζ
b0dz +
ζ
b1(z − z0)1
dz +
ζ
b2(z − z0)2
dz + ...
Analitica→Se anula
+
ζ
C1dz
(z − z0)1
+
ζ
C2dz
(z − z0)2
+ ...
P or la integral de Cauchy
+2πi(C1) + 0 + 0 + ...
QV

→ ζ
f(z)dz = 2πi · C1, p—r— tod— ™urv— su—ve ™err—d— simple en hF
→ C1 =
1
2πi ζ
f(z)dz = Resz=z0
[f(z)]
Ejemplo 1
ζ
z−5
cos zdz en |z| = 1
→
ζ
z−5
cos zdz = 2πiC1
→ f(z) =
cos z
z5
=
1
z5
1 −
z2
2!
+
z4
4!
−
z6
6!
+
z8
8!
−
z1
0
10!
+ ...
=
1
z5
−
1
2!z3
+
1
4!z
−
z
6!
+
z3
8!
−
z5
10!
+ ...
−
z
6!
+
z3
8!
−
z5
10!
+ ...
P arte analitica
+
1
4!(z − 0)1
+
1
2!(z − 0)3
−
1
(z − 0)5
P arte P rincipal
= 0 +
ζ
1
4!(z − 0)1
+
ζ
1
2!(z − 0)3
−
1
(z − 0)5
ζ
z5
cos zdz = 2πi
1
4!
ζ
z5
cos zdz =
πi
12
; |z| = 1
3.9.5 Metodo Standart
Polo Simple
ƒi f es —n—liti™— en h D tiene un polo simple en Z = Z0 D enton™es por el des—rrollo de l— serie de
v—urentX
f(z) = [b0 + b1(z − z0)1
+ b2(z − z0)2
+ ...] +
C1
(z − z0)
...(×(z − z0))
→ f(z)(z − z0) = (z − z0)[b0 + b1(z − z0)1
+ b2(z − z0)2
+ ...] + C1
lim
z−→z0
f(z)(z − z0) = lim
z−→z0
(z − z0)[b0 + b1(z − z0)1
+ b2(z − z0)2
+ ...] + lim
z−→z0
C1
∴ Resz=z0 f(z) = C1 = lim
z−→z0
f(z)(z − z0)...(1)
Otro MetodoX
ƒi f tiene un polo simple en z = z0F €odemos h—™er los siguiente f(z) = P (z)
ϕ(z) donde €@zA y ϕ(z)
son —n—liti™—s en zaz0 y P(z0) = 0Λϕ(z0) = 0Λϕ (z0) = 0
→ €or el teorem— de t—ylorX
QW

ϕ(z) = ϕ(z0) + ϕ (z0)(z − z0) +
ϕ (z0)(z − z0)2
2!
+
ϕ (z0)(z − z0)3
3!
+ ...
vuego en @IAX
C1 = Resz=z0 = lim
z→z0
(z − z0)f(z) = lim
z→z0
(z − z0)
P(z)
ϕ(z0) + ϕ (z0)(z − z0) + ϕ (z0)
2! (z − z0)2 + ...
C1 = lim
z→z0
(z − z0)
P(z)
ϕ(z0) + ϕ (z0)(z − z0) + ϕ (z0)
2! (z − z0)2 + ...
→ C1 =
P(z0)
ϕ (z0)
Polo de Orden m
ƒi f tiene un polo de orden m en z = z0 F
in este ™—so se demuestr— lo siguienteX
C1 = Resz=z0
=
1
(m − 1!)
lim
z→z0
dm−1
dzm−1
[(z − z0)m
f(z)]
DemostracionX
f(z) = [b0 + b1(z − z0) + b2(z − z0)2
+ ...] +
C1
(z − z0)
+
C2
(z − z0)2
+
C3
(z − z0)3
+ ... +
Cm
(z − z0)m
= (z − z0)m
f(z) =
∞
n=0
bn(z − z0)n
](z − z0)m
+ [C1(z − z0)m−1
+ C2(z − z0)m−2
+C3(z − z0)m−3
+ ... + Cm]
d
dz
((z − z0)m
f(z)) =
∞
n=0
(n + m)bn(z − z0)n+m−1
+ C1(m − 1)(z − z0)m−1
+C2(m − 2)(z − z0)m−2
+ C3(m − 3)(z − z0)m−3
+ ... + 0
d2
dz2
((z − z0)m
f(z)) =
∞
n=0
(n + m)(m + n − 1)bn(z − z0)n+m−1
+ C1(m − 1)(m − 2)(z − z0)m−3
+C2(m − 2)(m − 3)(z − z0)m−4
+ C3(m − 3)(m − 4)(z − z0)m−5
+ ... + 0
dm−1
dzm−1
((z − z0)m
f(z)) =
∞
n=0
(n + m)(m + n − 1)(n + m − 2)...(n + m − (m − 2))(z − z0)n
+C1(m − 1)(m − 2)...(1)(z − z0)0
+ C2(m − 2)(m − 3)...(2)(z − z0)1
+ ...
„om—mos limitesX
lim
z→z0
dm−1
dzm−1
((z −z0)m
f(z)) = lim
z→z0
(
∞
n=0
(n+m)(m+n−1)(n+m−2)...(n+m−(m−2))(z −z0)n
)
RH

QFIHFsntegr—™ión por el método de residuos Ing. Arévalo V. Manuel
+ lim
z→z0
C1(m − 1)! + lim
z→z0
(...)(z − z0)1
+ ...
C1 = Resz=z0
=
1
(m − 1)!
lim
z→z0
dm−1
dzm−1
[(z − z0)m
f(z)]
3.10 Aplicaciones de los Residuos
3.10.1 Evaluacion de Integrales de Funciones de Variable Real
∗ sntegr—les de pun™iones ‚—™ion—les de ƒeno y gosenoX
2π
0
R(cos θ, sin θ)dθ −→ pun™ión ‚—™ion—l de ƒeno y gosenoF
r—™iendoXz = eiθ
−→ dz = ieiθ
dθ ⇒ dθ = dz
ieiθ = dz
iz



cos θ = eiθ
+e−iθ
2 → cos θ =
z + z−1
2
=
z2
+ 1
2z
sin θ = eiθ
−e−iθ
2i → sinθ =
z − z−1
2
=
z2
− 1
2zi
in gener—lX
cos nθ = z2n
+1
2zn
sin nθ = z2n
−1
2izn
⇒
2π
0
R(cos θ, sin θ)dθ =
ζ:|z|=1
R
z2n
+ 1
2zn
,
z2n
− 1
2izn
dz
iz
RI

Ejemplo 1 iv—lu—rX
π
0
dθ
a+b cos θ ; a b 0
SolucionX
π
0
dθ
a + b cos θ
=
1
2
π
−π
dθ
a + b cos θ
=
1
2
2π
0
dθ
a + b cos θ
...(1)
he @IAX
π
0
dθ
a + b cos θ
=
1
2 ζ:|z|=1
dz
iz
a + b(z2+1
2z )
π
0
dθ
a + b cos θ
I
=
1
i ζ
dz
bz2 + 2az + b
I =
1
i
2πi Resf(z) = 2πResf(z)
f(z) =
1
bz2 + 2az + b
⇒ z1 =
−a +
√
a2 − b2
b
−→ z1 1
⇒ z2 =
−a −
√
a2 − b2
b
−→ Fuera de ζ : |z| = 1
Resf(z) =
1
2bz + 2a
|z=z1
=
1
2 b( −b√
a2−b2
+ a)
=
1
2
√
a2 − b2
I = 2π
1
2
√
a2 − b2
I =
π
√
a2 − b2
Ejemplo 2 sntegr—rX
a) 2π
0
sin 3θ
5−3 cos θ
b) 2π
0
cos 3θ
5+4 cos θ
c) 2π
0
cos2
3θdθ
5−4 cos 2θ
d) ƒiX a2
b2
+ c2
hemostr—rX
2π
0
dθ
a+b cos θ+c sin θ = 2π√
a2−b2−c2
e) 2π
0
cos 3θ
(5−3 cos θ)2+2 = 135π
16384
RP

∗ pun™iones ‚—™ion—lesX
ƒe— l— form—X
∞
−∞
f(x)dx
⇒
∞
−∞
P(x)
ϕ(x)
dx = lim
R→∞
R
−R
f(x)dx +
ζ
f(x)dx
il gr—do ϕ(x) de˜e ser m—yor en por lo menos P unid—des —l gr—do de €@xAF
Ejemplo 1 ∞
−∞
dx
(x2 + 1)(x2 + 9)
g—m˜i—mos x por zX
f(z) =
1
(z2 + 1)(z2 + 9)
=
1
(z + i)(z − i)(z + 3i)(z − 3i)
−→
ζ
dz
(z2 + 1)(z2 + 9)
=
R
−R
dx
(x2 + 1)(x2 + 9)
+
ζ2
dz
(z2 + 1)(z2 + 9)
€—r— los polos simplesX z = i D z = 3i
Res(f(z), i) =
1
16i
Res(f(z), 3i) =
−1
48i
I = 2πi[ Resf(z)]
I = 2πi
1
16i
−
1
48i
=
π
12
„om—mos limitesX
lim
R→∞
I = lim
R→∞
R
−R
dx
(x2 + 1)(x2 + 9)
+ lim
R→∞ ζ
dz
(z2 + 1)(z2 + 9)
RQ

|(z2
+ 1)(z2
+ 9)| = |(z2
+ 1)||(z2
+ 9)| ≥ ||z2
| − 1|||z2
| − 9|
|z2
+ 1||z2
+ 9| ≥ |R2
− 1||R2
− 9|
1
|z2 + 1||z2 + 9|
≤
1
|R2 − 1||R2 − 9|
vuegoX
ζR
1
|z2 + 1||z2 + 9|
dz ≤ ML −→ | f(z)dz| ≤ ML
ζR
1
|z2 + 1||z2 + 9|
dz ≤
πR
|R2 − 1||R2 − 9|
lim
R→0 ζR
1
|z2 + 1||z2 + 9|
dz ≤ lim
R→∞
πR
|R2 − 1||R2 − 9|
0
=
∞
−∞
dx
(x2 + 1)(x2 + 9)
dx
3.10.2 Informacion Adicional 1 - Residuos y Polos
Residuos
Punto Singular
RR

…n punto z0 se ll—m— un punto singul—r de l— fun™ion si f no es —n—líti™— en z0 pero es —n—líti™—
en —lgun ™ontorno de z0F
…n punto singul—r se di™e que es —isl—do siD —demás D existe un entorno punte—do z |z−z0|
de z0 en el que f es —n—líti™—
−→ il origen@yA es un punto singul—r de ln@zADpero no es un punto —isl—doF
Bƒi z0 es un punto singul—r —isl—do de un— fun™ion fD existe un numero positivo R2 t—l que f@zA
es —n—líti™— en todo z que ™umpl— 0 |z − z0| R2Fin ™onse™uen™i— l— fun™ion viene represent—d—
por un— serie de v—urentF
f(z) =
∞
n=0
(z − z0)n
+
b1
(z − z0)
+
b2
(z − z0)
+ ... +
bn
(z − z0)n
+ ...
an =
1
2πi ζ
f(z)
(z − z0)n+1
; bn =
1
2πi ζ
f(z)
(z − z0)−n+1
ƒi naIX
⇒ b1 =
1
2πi ζ
f(z)
(z − z0)0
−→
ζ
f(z)dz = 2πib1
⇒ b1 que es el ™oe(™iente de 1
z−z0
en el des—rrollo de lorentD se ll—m— el residuo de f en el
punto singul—r —isl—do z0
⇒ Resz=z0 f(z) = b1
edem—sX
ez
=
∞
n0
zn
n!
; |z| ∞
El Teorema de los Residuos
TeoremaX ƒe— ζ un —r™o ™err—do orient—do positiv—mente y f un— fun™ion —n—liti™— so˜re ζ en su
interior s—lvo en un numero (nito de singul—rid—desD enton™esX
ζ
f(z)dz = 2πi(B1 + B2 + ... + Bn)
RS

Parte Principal de una Función
f(z) =
∞
n=0
an(z − z0)n
P arte Analitica
+
b1
z − z0
+
b2
(z − z0)2
+ ... +
bn
(z − z0)n
+ ...
P arte P rincipal
1er
Tipo ƒi l— p—rte prin™ip—l tiene —l menos un termino no nulo pero el numero de t—les terminos
es (nitosD∃ un entorno positivo m t—l queXbm = 0 y bm+1 = bm+2 = ... = 0 D es de™irX
f(z) =
∞
n=0
an(z − z0)n
+
b1
(z − z0)
+
b2
(z − z0)2
+ ... +
bm
(z − z0)m
en@0 |z − 2| ∞A
→ gu—ndo su™ede estoDl— singul—rid—d —isl—d— z0D se denomin— polo de orden 4m4F
ƒi m = 1 se denomin— polo simpleF
2do
Tipo ƒi l— p—rte prin™ip—l tiene un numero in(nito de terminos no nulos D el punto se denomin—
singul—rid—d esen™i—lF
e
1
z = 1 +
∞
n=1
1
n!
1
zn
3er
Tipo „odos ™oe(™ientes de bm de l— p—rte prin™ip—l de f en z0 son ™eros b1 = b2 = ... = bn = 0
→ il punto z0 se denomin— singul—rid—d evit—˜le de fF in t—l ™—so l— serie l—uren se redu™e
— un— serie de €oten™i—sF
⇒ Resz=z0
= 0
he(niendo f@zA en z0 ™omo a0D l— fun™ion se h—™e —n—liti™— en z0FesiD un— fun™ion f ™on un—
singul—rid—d evit—˜le puede h—™erse —n—liti™— en t—l punto de(niendo ™onvenientemente l— fun™ion
en ese puntoF
Residuos y Polos
il metodo ˜—si™o p—r— h—ll—r el residuo de un— fun™ion en un— singul—rid—d z0 es tom—r l— ƒerie
v—urent —propi—d— y extr—er el ™oe(™iente de 1
z−z0
F
→ g—so de ƒingul—rid—d isen™i—l @v— serie v—urent uni™o wetodoFA
RT

→€—r— polos h—y otros metodosX
BƒiX
f(z) =
φ(z)
z − z0
⇒ Resz=z0 f(z) = φ(z0)
→ ƒiempre queXφ(z) es —n—liti™— en z0 y φ(z0) = 0F
∗2 ƒiX
f(z) =
φ(z)
(z − z0)m
⇒ Resz=z0
f(z) =
φm−1
(z0)
(m − 1)!
m = 2, 3, ...
Cocientes de Funciones AnaliticasX
gonsideremos un— fun™ion de l— form—Xf(z) = P (z)
q(z)
ƒiX€@zA y ϕ(z) son —n—liti™—s n z0
€@z0) = 0 y q@zA tiene un ™ero de orden m en z0 es de™irX
q(z) = (z − z0)m
r(z)...(2)
⇒ (2) en @IA f(z) = P (z)
(z−z0)mr(z) = P (z)/r(z)
(z−z0)m
→ f(z) =
φ(z)
(z − z0)m
; donde : φ(z) =
P(z)
r(z)
b1 = Resz=z0
f(z) =
φ(m−1)
(z0)
(m − 1)!
m = 1 :€olo ƒimpleX
vuego D siX
f(z) = P (z)
q(z) , dondeX
Calculo de Integrales reales impropias
he(nimos l— integr—l impropi— en el interv—lo x ≤ 0 :
I1 =
∞
0
f(x)dx = lim
R→∞
R
0
f(x)dx...(1)
ƒi ∃ el limite se di™e que s ™onverge —l v—lor del límiteF
ƒi f@xA es ™ontinu— p—r— todo xDl— integr—k impropi—X
I1 =
∞
−∞
f(x)dx = lim
R1→∞
0
−R1
f(x)dx + lim
R2→∞
0
R2
f(x)dx...(2)
ƒi ∃ el limite de I21 e I22 enton™es s ™onverge —l v—lor de l— sum— de los límitesF@ƒi uno de ellos
no existe → diverge sAF
·3 †—lor €rin™ip—l de g—u™hy @€F†FA de
∞
−∞
f(x)dx
ue es el numeroX
RU

P.V.
∞
−∞
f(x)dx = lim
R→∞
R
−R
f(x)dx = I3...(3)
ƒiempre y ™u—ndo exist— @∃A el limiteF ⇒ Nota 1 ƒi @PA ™onverge → @PAa@QAY I2 = I3
⇒ Nota 2 ƒupong—mos que f@xA es un— fun™ión p—rX
f(x) = f(−x); ∀x R
ƒi †F€F
∞
−∞
existe D l— integr—l
∞
−∞
™onvergeF
„—m˜ienX
∞
0
=
1
2
∞
−∞
vuegoX supong—mos queX
f(x) =
P(x)
q(x)
honde €@xA y q@xA son polinomios re—les sin f—™tores en ™omun ™u—ndo l— integr—l
∞
−∞
™onverge
D su v—lor se puede ™—l™ul—r f—™ilmente h—ll—ndo su †F€F
∞
−∞
@†—lor €rin™ip—l de g—u™hyA ™on l—
—yud— del teorem— de los residuosF
Integrales Impropias con senos y cosenos en el integrando
∞
−∞
P(x)
q(x)
sin xdx
∞
−∞
P(x)
q(x)
cos xdx
he eiθ
= cos θ + i sin θ Ddedu™imosX
R
−R
P(x)
q(x)
cos xdx + i
R
−R
P(x)
q(x)
sin xdx =
R
−R
P(x)
q(x)
eiθ
dx
‰ —dem—s —™ot—mos el modulo de ey
de eiz
en el semipl—no superiorF@†eri(™—r siempre que el
integr—ndo se— p—rA
⇒ hesigu—ld—d de tord—nX
π
2
0
e−R sin θ
dθ
π
2R
, (R 0)
·
∞
−∞
cos x
(x2 + 1)2
dx =
π
2
f(z) =
eiz
(z2 + 1)2
·
∞
−∞
x sin x
(x2 + 2x + 1)
dx =
π
8
(sin + cos) f(z) =
zeiz
(z2 + 2z + 2)
RV

Integrales Denidas con senos y cosenos en el integral
2π
0
F(sin θ, cos θ)dθ...(1)
inton™es r—™emosXz = eiθ
⇒ sin θ =
z − z−1
2i
; cos θ =
z + z−1
2
; dθ =
dz
iz
(1)se re™ude — l— integr—l ™urviline—X
ζ
F
z − z−1
2i
;
z + z−1
2
dz
iz
=
π
0
F(sin θ, cos θ)dθ
P(z) y ϕ(z) son —n—liti™—s
P(z0) = 0
q(z0) = 0 q (z0) = 0
b1 = Resz=z0
f(z0) =
P(z0)
q (z0)
DemostracionX
ƒi maI ⇒ b1 = φ(z0)
gomoXφ(z) = P (z)
r(z)
q(z) = (z − z0)r(z)
q (z) = r(z)
q (z0) = r(z0)
φ(z) =
P(z0)
r(z0)
⇒ b1 =
P(z0)
q (z0)
RW

Capítulo 4
Serie de Fourier
4.1 Nociones
4.1.1 Función Periódica
f(T + t) = f(t) ; T 0
4.1.2 Función Par
f : [−a; a] → R / f(−t) = f(t) , ∀ t [−a; a]
→
a
−a
f(t)dt = 2
a
0
f(t)dt
4.1.3 Función Impar
f : [−a; a] → R / f(−t) = −f(t) , ∀ t [−a; a]
→
a
−a
f(t)dt = 0
4.2 Teorema
„od— fun™ión f es l— sum— de un— fun™ión p—r y un— fun™ión imp—r
→ hemostr—™ión : f(t) =
1
2
f(t) +
1
2
f(t)
f(t) =
1
2
f(t) +
1
2
f(−t) +
1
2
f(t) − f(−t)
⇒ f(t) =
f(t) + f(−t)
2
+
f(t) − f(−t)
2
vim— E €erú SH sngF erév—lo †ill—nuev—D w—nuel

RFQFxo™iones Ing. Arévalo V. Manuel
→ f(t) = fpar(t) + fimpar(t)
4.3 Serie Trigonométrica de Fourier
ƒiX
Periodo






sin t → 2π
sin 2t → 2π
sin 3t → 2π
FFF
FFF
sin nt → 2π
⇒ ƒi f es periódi™— de periodo TX
→ f(t) =
a0
2
+
∞
n=1
an · cos (nw0t) + bn · sin (nw0t) · · · (1)
Componente Continua
an · cos (nw0t) + bn · sin (nw0t)
Componente Alterna
→ gál™ulo de los ™oe(™ientesX
∗1 sntegr—ndo desdeX −T
2 a T
2
⇒
T/2
−T/2
f(t)dt =
T/2
−T/2
a0
2
+
∞
n=1
an ·

b
0
T/2
−T/2
cos (nw0t)dt + bn ·

b
0
T/2
−T/2
sin (nw0t)dt
→ ‚e™uerdeX
T/2
−T/2
cos (nw0t)dt = sin (nw0t)
nw0
T/2
−T/2
; w0 =
2π
T
= sin n ·
2π
T
·
T
2
− sin n ·
2π
T
· −
T
2
nw0
= sin nπ + sin nπ
nw0
T/2
−T/2
cos (nw0t)dt = 0 · · · (2)
⇒
T/2
−T/2
f(t)dt =
a0
2
T/2
−T/2
dt =
a0
2
·
T
2
+
T
2
=
a0 · T
2
a0 =
2
T
T/2
−T/2
f(t)dt
SI

∗2 wultipli™—mos @IA por cos (mw0t) e integr—ndo en un periodo X
T/2
−T/2
f(t) cos (mw0t)dt =
a0
2
¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B0
T/2
−T/2
cos (mw0t)dt +
∞
n=1
an ·
T/2
−T/2
cos (mw0t) · cos (nw0t)dt
+ bn ·
T/2
−T/2
cos (mw0t)
par ¨
¨¨¨
¨¨B0
· sin (nw0t)
impar
impar
dt
→ ‚e™uerdeX cos (mw0t) · cos (nw0t) =
1
2
cos[(m + n)
entero
w0t] +
1
2
cos [(m − n)
m=n
(entero)
w0t]
T/2
−T/2
cos (mw0t) · cos (nw0t)dt =
$$$$$$$$$$$$X0
1
2
T/2
−T/2
cos[(m + n)w0t]dt +
1
2
T/2
−T/2
cos[(m − n)w0t]dt
en—liz—mos X
cos[(m − n)w0t] =
0 ; m = n
no se —nul— ; m = n
m = n
T/2
−T/2
f(t) cos (nw0t)dt = an ·
1
2
T/2
−T/2
(1)dt =
anT
2
→ an =
2
T
T/2
−T/2
f(t) · cos (nw0t)dt
∗3 wultipli™—mos @IA por sin (mw0t) e integr—ndo en un periodo X
T/2
−T/2
f(t) sin (mw0t)dt =
a0
2
T/2
−T/2
sin (mw0t)dt +
∞
n=1
an ·
T/2
−T/2
¨¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨B0
sin (mw0t)
impar
· cos (nw0t)
par
impar
dt
+ bn ·
T/2
−T/2
sin (mw0t) · sin (nw0t)dt
→ ‚e™uerdeX
T/2
−T/2
sin (mw0t)·sin (nw0t)dt =
1
2
T/2
−T/2
cos

b
0
((m − n)
m = n
w0t) −
¨¨¨
¨¨¨B0
cos((m + n)
entero
w0t) dt
m = n
T/2
−T/2
f(t) sin (nw0t)dt = bn ·
1
2
T/2
−T/2
(1)dt =
bnT
2
SP

→ bn =
2
T
T/2
−T/2
f(t) · sin (nw0t)dt
4.3.1 Casos Particulares
∗1 ƒi f(t) es un— pun™ión €eriódi™— €—rX
f(t) =
a0
2
+
∞
n=1
an · cos nw0t + bn · sin nw0t
⇒ a0 =
2
T
T/2
−T/2
f(t)dt a0 =
4
T
T/2
0
f(t)dt
⇒ an =
2
T
T/2
−T/2
f(t)
par
· cos (nw0t)
par
par
dt an =
4
T
T/2
0
f(t) · cos (nw0t)dt
⇒ bn =
2
T
T/2
−T/2
f(t)
par
· sin (nw0t)
impar
impar
dt ⇒ b0 = 0
f(t) =
a0
2
+
∞
n=1
an · cos nw0t
→ gosenoid—l w0 =
2π
T
∗2 ƒi f(t) es un— pun™ión €eriódi™— smp—rX
f(t) =
a0
2
+
∞
n=1
an · cos nw0t + bn · sin nw0t
⇒ a0 =
2
T
T/2
−T/2
f(t)
impar
dt = 0 a0 = 0
⇒ an =
2
T
T/2
−T/2
¨
¨¨¨
¨¨¨
¨¨B0
f(t)
impar
· cos (nw0t)
par
impar
dt an = 0
SQ

⇒ bn =
2
T
T/2
−T/2
f(t)
impar
· sin (nw0t)
impar
par
dt ⇒ bn =
4
T
T/2
0
f(t) · sin (nw0t)dt
f(t) =
∞
n=1
bn · sin nw0t
→ ƒenoid—l w0 =
2π
T
xot—X
f(t) = π +
∞
n=1
bn sin
2πnt
T
nw0t
⇒ f(t) − π
expandir
esto
=
∞
n=1
bn sin nw0t
2πnt
T
→ ijmX r—lle l— serie de pourier trigonométri™— por l— fun™ión X
f : R → R / f(t) = |t| ; t −π, π
ƒiX
t
f(t)
f(t) es p—r
→ ™osenoid—l
0−π π
π
T = 2π w =
2π
T
= 1
⇒ f(t) =
a0
2
+
∞
n=1
an · cos

1
2π
T
t
f(t) =
a0
2
+
∞
n=1
an · cos (nt) · · · (1)
gál™ulo de a0 X
a0 =
4
2π
π
0
tdt =
2
π
t2
2
π
0
an =
4
2π
π
0
t · cos ntdt =
2
π



¨¨¨
¨¨B0
t · sin (nt)
n
π
0
−
1
n
π
0
sin (nt)dt



hondeX
SR

RFRFsdentid—d de €—rsev—l p—r— l— ƒerie de
pourier Ing. Arévalo V. Manuel
u = t ; dv = cos (nt)dt
du = dt ; v =
sin (nt)
n
an = −
2
nπ
π
0
sin (nt)dt = −
2
n2π
− cos (nt)
π
0
=
2
n2π
(cos nπ − 1) =
2(cos nπ − 1)
n2π
an =
2[cos (nπ) − 1]
n2π
=
−4
πn2
; n : impar
0 ; n : par
an = a2k−1 =
−4
π(2k − 1)2
k = 1, 2, 3, · · ·
‚espuest—X
f(t) =
π
2
−
4
π
∞
n=1
1
(2k − 1)2
· cos [(2k − 1)t]
f(t) =
π
2
−
4
π
1
12
cos t +
1
32
cos 3t +
1
52
cos 5t + · · ·
ƒi X t = 0
⇒ f(0) = 0 =
π
2
−
4
π
∞
n=1
1
(2k − 1)2
·$$$$X1
cos (0) =
π
2
−
4
π
1
12
+
1
32
+
1
52
+ · · ·
∞
n=1
1
(2k − 1)2
π2
8
=
∞
n=1
1
(2k − 1)2
ƒirve p—r— ™—l™ul—r series
→
π2
8
=
1
1
+
1
32
+
1
52
+
1
72
+ · · ·
ank
A
0 |an1| |an2| |an3| |ani|
ispe™tro de emplitud
→ ‚esolverX ¨y + ˙y = f(t) , siendo f(t) = |t| , −π ≤ t ≤ π y f(t + 2π) = f(t)
SS

RFRFsdentid—d de €—rsev—l p—r— l— ƒerie de
pourier Ing. Arévalo V. Manuel
4.4 Identidad de Parseval para la Serie de
Fourier
ƒe—X f(t) un— fun™ión periódi™— de periodo T (T = 2l)
→ f(t) =
a0
2
+
∞
n=1
an · cos
2nπ
T
+ bn · sin
2nπ
T
· · · (1)
wultipli™—mos — (1) por f(t) e integr—mos en un periodo X
T/2
−T/2
[f(t)]2
dt =
T/2
−T/2
a0
2
f(t)dt +
∞
n=1
an·
T/2
−T/2
f(t)·cos
2nπ
T
dt + bn·
T/2
−T/2
f(t)·sin
2nπ
T
dt
T/2
−T/2
[f(t)]2
dt =
a0
2
·
a0 · T
2
+
∞
n=1
an ·
an · T
2
+ bn ·
bn · T
2
T/2
−T/2
[f(t)]2
dt =
a2
0 · T
4
+
∞
n=1
a2
n
2
+
b2
n
2
· T
2
T
T/2
−T/2
[f(t)]2
dt =
a2
0
2
+
∞
n=1
a2
n + b2
n · · · (2)
→ epli™—™iónX
t
f(t)
f(t)
h—tosX
→ T = 2π ; f(t) = π − t
0−π π
π
a) g—l™ule l— serie de pourier trigonométri™— @ƒp„A
b)
∞
k=1
1
2k−1
4
= 1
14 + 1
34 + 1
54 + · · ·
ƒolu™iónX
→ a0 =
4
T
T/2
0
f(t)dt =
4
2π
π
0
(π − t)dt =
2
π
πt −
t2
2
π
0
a0 = π · · · (1)
→ an =
4
T
T/2
0
f(t) cos
2π · n
T
· t dt =
4
2π
π
0
(π − t) cos (nt)dt
ST

RFSFƒerie ™omplej— de pourier Ing. Arévalo V. Manuel
an =
2 − 2 cos (nπ)
n2 · π
n = 2k → an = 0
n = 2k − 1 → an =
4
(2k − 1)2π
an = a2k−1 =
4
(2k − 1)2π
· · · (2) ; k = 1, 2, 3, · · · ; bn = 0 · · · (3)
pin—lmenteD reempl—z—ndo los ™oe(™ientes en l— fun™iónX
∴ f(t) =
π
2
+
4
π
∞
k=1
1
(2k − 1)2
· cos [(2k − 1)t]
f(t) =
π
2
+
4
π
cos t
12
+
cos 3t
32
+
cos 5t
52
+ · · ·
π =
π
2
+
4
π
∞
k=1
1
(2k − 1)2
→
∞
k=1
1
(2k − 1)2
=
π2
8
…s—ndo identid—d de €—rsev—lX
2
T
π
−π
(π − t)2
dt
2
T
T/2
−T/2
( f(t)
→P ar
)2
dt Asi no
2
T
T/2
0
(f(t))2
dt Asi si
=
π
2
2
+
∞
k=1
16
π2(2k − 1)4
+ 02
; T = 2π
2π2
3
=
π2
2
+
16
π2
∞
k=1
1
(2k − 1)4
∴ π4
96 =
∞
k=1
1
(2k−1)4
4.5 Serie compleja de Fourier
ƒ—˜emosX ƒi f es periódi™— de periodo T
f(t) =
a0
2
+
∞
n=1
an · cos (
2πn.t
T
) + bn · sin (
2πn.t
T
) · · · (1)
edemásX
eiθ
= cos θ + i sin θ
e−iθ
= cos θ − i sin θ
cos θ =
eiθ
+ e−iθ
2
; sin θ =
eiθ
− e−iθ
2
· · · (2)
inton™es @PA en @IA X
f(t) =
a0
2
+
∞
k=1
an ·
eiθ
+ e−iθ
2
+ bn ·
eiθ
− e−iθ
2
SU

RFSFƒerie ™omplej— de pourier Ing. Arévalo V. Manuel
f(t) = C0 +
∞
k=1
an ·
eiθ
+ e−iθ
2
− bn ·
eiθ
− e−iθ
2
—grup—mosX θ =
2πnt
T
f(t) = C0 +
∞
k=1
an − bni
2
· ei(2πnt
T ) +
an + bni
2
· e−i(2πnt
T ) · · · (∗)
r—™iendoX
Cn =
an − bni
2
; Kn =
an + bni
2
; —dem—s s—˜emos los v—lores deX an y bn
Cn =
1
T
T/2
−T/2
f(t)
ei(2πnt
T ) + e−i(2πnt
T )
2
dt − i ·
1
T
T/2
−T/2
f(t)
ei(2πnt
T ) − e−i(2πnt
T )
2i
dt
Cn =
1
T
T/2
−T/2
f(t) · e−i(2πnt
T )dt · · · (3)
Kn =
1
T
T/2
−T/2
f(t)
ei(2πnt
T ) + e−i(2πnt
T )
2
dt +
1
T
T/2
−T/2
f(t)
ei(2πnt
T ) − e−i(2πnt
T )
2i
dt
Kn =
1
T
T/2
−T/2
f(t) · ei(2πnt
T )dt · · · (4)
Kn = C−n
inton™es X f(t) = C0 +
∞
k=1
Cn · ei(2πnt
T ) + C−n · e−i(2πnt
T )
f(t) = C0 + · · · + C2e−i(4πt
T ) + C1e−i(2πt
T ) + C0 + C1ei(2πt
T ) + C2ei(4πt
T ) + · · ·
f(t) =
∞
n=−∞
Cn · ei(2πnt
T ) ; donde : Cn = 1
T
T/2
−T/2
f(t) · ei(2πnt
T )dt
Ademas : Cn
complejo
=
an − bni
2
Re(Cn) + Im(Cn) =
an
2
−
bn
2
i
an = 2 · Re[Cn] ; bn = −2 · Im[Cn]
→ EjmX ƒe— f(x) = e−x
; −π x π y —demásX f(x + 2π) = f(x)
a) r—lle l— serie ™omplej— de pourierF
b) imple—ndo @—A h—lle l— serie trigonométri™— de pourierF
SV

RFTFixp—nsiones de wedio ‚—ngo Ing. Arévalo V. Manuel
x
f(x)
f(x) = e−x
−3π −π π 3π
ƒolu™iónX ƒe—X T = 2π
SCDF : f(x) =
∞
n=−∞
Cn · e
i 2πnt
2π ; Cn =
1
2π
π
−π
e−x
· e
−i 2πnt
2π dt
f(x) =
∞
n=−∞
Cn · einx
· · · (1) ; Cn =
1
2π
π
−π
e−x
· e−inx
dx
Cn =
1
2π
π
−π
e−(1+ni)x
dx =
1
2π
e−(1+ni)x
−(1 + ni)
π
−π
=
−(1 − ni)
2π(1 + n2)
e−(1+ni)π
− e(1+ni)π
Cn =
(1 − ni)(−1)n
π(1 + n2)
eπ
− e−π
2
Cn = sinh π
(1 − ni)(−1)n
π(1 + n2)
· · · (1)
C0 = sinh π
(1 − 0 · i)(−1)0
π(1 + 02)
=
sinh (π)
π
=
a0
2
. . . (2)
Cn =
(−1)n
· sinh (π)
π(1 + n2)
Re
+ − i
(−1)n
· n · sinh (π)
π(1 + n2)
Im
an = 2 · Re[Cn] =
(−1)n
· 2 sinh (π)
π(1 + n2)
; bn = −2Im[Cn] =
(−1)n
2 · n · sinh (π)
π(1 + n2)
⇒ Si : f(x) =
a0
2
+
∞
n=1
an · cos
¨¨2πn.x
¨¨2π
+ bn · sin
¨¨2πn.x
¨¨2π
f(x) =
sinh (π)
π
+
2 sinh (π)
π
·
∞
n=1
(−1)n
(1 + n2)
· cos nx +
n(−1)n
(1 + n2)
· sin nx
f(x) =
∞
n=∞
sinh (π) · (−1)n
(1 − ni)
π(1 + n2)
· einx
⇒ f(x) =
sinh (π)
π
∞
n=∞
(−1)n
(1 − ni)
(1 + n2)
· einx
SW

4.6 Expansiones de Medio Rango
ƒe— f(t) un— fun™ión de(nid— úni™—mente en un interv—lo (nitoDpor ejemploX 0 z l D quiero
represent—r medi—nte un— serie de pourierD p—r— esto existen dos exp—nsionesX
a) Expansión Par : Cosenos
x
f(x)
f(x)
−l
T = 2l
l
Para la función par
f(x) =
a0
2
+
∞
n=1
an · cos
2π · n
T
x
a0 =
4
2l
·
l
0
f(x)dx ; a0 = 2
l ·
l
0
f(x)dx
an =
4
2l
·
l
0
f(x) · cos ¡2πnx
¡2l
dx ; an = 2
l ·
l
0
f(x) · cos πnx
l dx
f(x) = a0
2 +
∞
n=1
an · cos πnx
l ; 0 x l
b) Expansión Impar : Senos
x
f(x)
f(x)
−l
T = 2l
l
Para la función impar
TH

f(x) =
∞
n=1
bn · sin
2πnx
T
bn =
4
2l
l
0
f(x) · sin ¡2πnx
¡2l
dx ; bn = 2
l
l
0
f(x) · sin πnx
l dx
f(x) =
∞
n=1
bn · sin πnx
l ; 0 x l
4.6.1 Aplicación
xot—X i™u—™ión hiferen™i—l €—r™i—l @ih€A
A∂2
µ
∂x2 + B ∂2
µ
∂y2 + C ∂2
µ
∂z2 + D ∂2
µ
∂y∂x + E ∂2
µ
∂x∂z + F ∂2
µ
∂y∂z +
G∂µ
∂x + H ∂µ
∂y + I ∂µ
∂z + J = 0
EDP



ihF€F€—r—˜óli™o
ihF€Friper˜óli™o
ihF€Filípti™o
ƒe— l— ™uerd—X
µ(x1,t1)
µ(x2,t2)
µ(x3,t3)
DondeX
µ(x,t) deform—™ión de l— ™uerd—
l
∂2
µ
∂t2
= c2 ∂2
µ
∂x2
· · · (1) ; c2
=
T
ρ
gondi™iones de pronter— X
µ(0,t) = 0
µ(l,t) = 0 ∀ ≥ 0
· · · (2)
µ(0,t) = F(0) · G(t) = 0
µ(l,t) = F(l) · G(t) = 0
gondi™iones sni™i—les X
µ(x,0) = f(x) ; heform—™ión sni™i—l · · · (3)
∂µ
∂t t=0
= g(x) ; †elo™id—d sni™i—l · · · (4)
il pro˜lem— ™onsiste en h—ll—r un— solu™ión de l— i™FhifF€—r™i—l @ih€A·(1) y que s—tisf—g— l—s
™ondi™iones de fronter— (2) y l—s ™ondi™iones ini™i—les (3) y (4) F il método que emple—remos será
el MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES O MÉTODO DEL PRODUCTOF
TI

ƒe —sume l— solu™ión de @IA en l— form— de un produ™to X µ(x,t) = F(x)G(t)
∂µ
∂x
= F (x) · G(t)
∂2
µ
∂x2
= F (x) · G(t)
∂µ
∂t
= F(x) · G (t)
∂2
µ
∂t2
= F(x) · G (t)
‚eempl—z—mos en @IA X
F(x) · G (t) = c2
F (x) · G(t) ⇒
G (t)
c2 · G(t)
=
F (x)
F(x)
= k ; k : cte
F (x) − k · F(x) = 0
G (t) − k2
· G(t) = 0
E.D.O
ƒe—X k = −ρ2
F (x) − ρ2
· F(x) = 0
F(x) = C1 · cos (ρx) + C2 · sin (ρx)
0 = F(0) = C1 + C2 ⇒ C1 = 0
0 = F(l) = 0 + C2 · sin (ρl) = 0
€—r— o˜tener solu™iones no trivi—les C2 = 0
⇒ sin (ρl) = 0 ρ · l = nπ ; n Z
ρ = nπ
l ; n Z
Fn(x) = C2 · sin nπ
l · x , n = 1, 2, 3, · · ·
enálog—mente X k = −ρ2
= − nπ
l
2
G (t)+
c · nπ
l
2
λn = c·n·π
l
·G(t) = 0 ⇒ Gn(t) = an · cos (λn · t) + bn · sin (λn · t) , n = 1, 2, 3, · · ·
inton™esX
µn(x, t) = Fn(x) · Gn(t) = C2 sin
nπ
l
· x · [an · cos (λn · t) + bn · sin (λn · t)] · · · (6)
µn(x, t) = [Bn cos (λn · t) + B∗
n cos (λn · t)] · sin
nπx
l
r—y in(nit—s solu™iones X {µ1, µ2, µ3, · · · , µn}
Un espectro de soluciones
€l—nte—mos l— solu™ión de @TA en l— form— de un— serie in(nit— X
µ(x,t) =
∞
n=1
[Bn cos (λn · t) + B∗
n cos (λn · t)] · sin nπx
l · · · (7)
TP

RFUF„r—nsform—d— de pourier @pp„D„hpA Ing. Arévalo V. Manuel
epli™—ndo l— ™ondi™ión ini™i—l X µ(x,0) = f(x) (1era
condicin) → heform—™ión ini™i—l F
⇒ µ(x,0) =
∞
n=1
[Bn cos (λn · t)] = f(x)
Expansión de Senos de f(x)
Bn =
2
l
l
0
f(x) · sin
nπx
l
dx
epli™—ndo l— ™ondi™ión ini™i—l X ∂µ
∂t
t=0
= g(x) 2da
condicin → †elo™id—d ini™i—l F
∂µ
∂t
=
∞
n=1
[−Bn · λn sin (λn · t) + λn · B∗
n · cos (λn · t)] · sin
nπx
l
∂µ
∂t t=0
= g(x) =
∞
n=1
λn · B∗
n · sin nπx
l
Expansión de senos de g(x)
λn · B∗
n =
2
l
l
0
f(x) · sin
nπx
l
dx
λn ya se conoce λn= c·nπ
l
C—so €—rti™ul—r X ƒi g(x) = 0 @†elo™id—d ini™i—l a HA ⇒ B∗
n = 0
⇒ µ(x,t) =
∞
n=1
Bn · cos (λn · t) · sin nπx
l
ijmX
x
f(x)
f(t) = 2kx
L
f(t) = 2kx
L (x − L)
0
k
L
2 L
ƒ—˜emos queX µ(x,t) =
∞
n=1
Bn · cos (λn · t) · sin nπx
l
⇒ Bn =
2
l



L/2
0
2kx
L
· sin
nπx
L
dx −
L
L/2
2k
L
(x − L) · sin
nπx
L
dx



Bn =
8k
n2 · π2
· sin
nπ
2
u(x,t) =
8k
π2
∞
n=1
sin nπ
2
n2
· cos (λn · t) · sin
nπ
l
x
→ Donde : λn =
c · nπ
l
l = L
TQ

RFUF„r—nsform—d— de pourier @pp„D„hpA Ing. Arévalo V. Manuel
4.7 Transformada de Fourier (FFT,TDF)
t
f(t)
f(t)
F
F(ω)
ω
F(ω)
F[f(t)] =
∞
−∞
f(t) · e−jωt
dt = F(ω) = F(jω)
→ ijemploX
t
G(t) = G t
τ = Gτ (t)
A
τ
→ ƒim˜ologí— @xot—™iónA
τ
2−τ
2
F[f(t)] = F(ω) =
τ
2
− τ
2
A · e−jωt
dt → F(ω) =
A · e−jωt
−jω
τ
2
− τ
2
F(ω) =
A
−jω
e−jω τ
2 − ejω τ
2
→ ‚e™uerdeX Sa = sin x
x Función Sampling (Muestreo)
⇒ F(ω) =
2A
ω
e−jω τ
2 − ejω τ
2
2j
F(ω) = A · τ ·
sin ω τ
2
ω τ
2
F(ω) = A · τ · Sa ω τ
2
ω
F(ω)
Aτ
TR

RFVF„eorem—s Ing. Arévalo V. Manuel
ω
|F(ω)|
→ |F(ω)|
Espectro de
frecuencias
vs ω
sin (ω τ
2 )=0
ω τ
2 =nπ
⇒ ω = 2nπ
τ
Aτ
4.8 Teoremas
4.8.1 Transición en el dominio del tiempo
ƒiX F[f(t)] ↔ F(ω) ⇒ F[f(t − t0)] ↔ ?
⇒ F{f(t − t0)} =
∞
−∞
f(t − t0) · e−jωt
dt
r—™iendoX t − t0 = λ
F{f(t − t0)} =
∞
−∞
f(λ) · e−jω(λ+t0)
dλ = e−jωt0
·
∞
−∞
f(λ) · e−jωλ
dλ
F(ω)
⇒ F{f(t − t0)} = e−jωt0
· F(ω)
4.8.2 Transformada de la derivada
ƒiX
F{f(t)} ↔ F(ω)
F{f (t)} ↔ ?
F{f (t)} ↔ ?
FFF
FFF
F{f(n)
(t)} ↔ ?



⇒
F{f (t0)} =
∞
−∞
f (t) · e−jωt
dt µ = e−jωt
; dν = f (t)dt
dµ = −jω · e−jωt
dt ; v = f(t)
F{f (t)} = e−jωt
· f(t)
∞
−∞
−
∞
−∞
f(t) · −jω · e−jωt
dt
⇒ F{f (t)} = jω · F(ω)
→ ijmX
TS

RFVF„eorem—s Ing. Arévalo V. Manuel
t
t
G(t)
G (t)
A
A · δ t + τ
2
A · δ t − τ
2
−τ
2
τ
2
τ
2−τ
2
Gτ (t) = A · µ−1 t +
τ
2
− A · µ−1 t −
τ
2
Gτ (t) = A · δ t +
τ
2
− A · δ t −
τ
2
→ F{Gτ (t)} = jω · F(ω) = A · F{δ t + τ
2 } − A · F{δ t − τ
2 }
‚e™uerdeX
∞
−∞
δ(t) · φ(t)dt = φ(t)|t0
= φ(0)
t
δ(t)
ω
F(ω)
0
1
F{δ(t)} =
∞
−∞
δ(t) · e−jωt
dt = e−jωt
t=0
F{δ(t)} = 1 ⇒ F{δ(t − t0)} = e−jωt0
· 1
4.8.3 Transformada del Impulso (δ(t))
he lo y— demostr—do en el ejemplo —nteriorX
F{δ(t)} = 1 ⇒ „r—sl—™ión
en el tiempo F{δ(t − t0)} = e−jωt0
· 1
TT

RFWFgonvolu™ión Ing. Arévalo V. Manuel
4.8.4 Factor de escala
ƒe—X F{f(at)} =
∞
−∞
f(at) · e−jωt
dt
F{f(t)} ↔ F(ω)
F{f(at)} ↔ ?
F{f(−t)} ↔ ?
F{f(2t)} ↔ ?
F{f(t/3)} ↔ ?



a0: ƒe— at=λ → dt= dλ
a
F{f(at)}=
∞
−∞
f(λ)·e
−jω(λ
a )d λ
a = 1
a
∞
−∞
f(λ)e
−j(ω
a )λ
dλ= 1
a ·F(ω
a )
a0: ƒe— at=λ → dt= dλ
a
F{f(at)}=
∞
−∞
f(λ)·e
−jω(λ
a )d λ
a =− 1
a
∞
−∞
f(λ)e
−j(ω
a )λ
dλ=− 1
a ·F(ω
a )
inton™esX
F{f(at)} = 1
|a| · F ω
a
F{f(t)} ↔ F(ω)
F{f(at)} ↔
1
|a|
· F
ω
a
F{f(2t)}= 1
2 ·F(ω
2 )
F{f(t/3)}=3·F(3ω)
F{f(−t)} ↔
1
| − 1|
· F
ω
−1
= F(−ω)
4.9 Convolución
xot—X ƒirve p—r— el tr—t—miento de señ—lesD ˜usqued— de petroleoD ˜usqued—
de miner—lesD et™F
ƒe—n l—s fun™iones f(t) y g(t) @señ—lesAD enton™es l— ™onvolu™ión de f(t) y g(t)D denot—d— por
f ∗ g se de(ne ™omoX
h(t) = (f ∗ g)t = (g ∗ f)t =
∞
−∞
f(τ) · g(t − τ)dτ
a) (f ∗ g)(t) = (g ∗ f)(t) ; b) g(t) ∗ δ(t) = δ(t) ∗ g(t) = g(t)
TU

4.9.1 Metodo Gráco (Solución de la convolución)
t
f(t)
0 f
e
t
g(t)
g(t) = e−t
0
I
τ
f(τ)
0 f
e
τ
g(τ)
g(τ) = e−τ
0
I
τ
f(τ)
0 f
e
τ
g(−τ)
0
I
0
1
−t
f(t)g(t − τ)
f
e
t
h(t)
™onvolu™ión
0
ijemploX g—l™ule l— —uto™onvolu™ión de l— ond— ™u—dr—d—X
TV

t
f(t)
1−1 t
g(t)
1−1
τ
f(τ)
1−1 τ
g(−τ)
1−1
τ
g(−τ)
tt − 2 t
g(t − τ)
t − 2 t − 2 t1−1
−1 t 1 :
t
−1
f(τ) · g(t − τ)dτ =
t
−1
(1)(1)dt
h1(t) = t + 1
1 t 3 :
1
t−2
f(τ) · g(t − τ)dτ = 3 − t
h2(t) = 3 − t
t
h(t)
−1
h2(t) = 3 − t
h1(t) = t + 1
1 3
2
TW

vuego de @IA X
(f ∗ g)(t) = h(t) =
∞
−∞
f(τ) · g(t − τ)dτ
→ g(t − τ) se mueve hasta terminar de cruzarse con f(τ)
(g ∗ f)(t) = h(t) =
∞
−∞
g(τ) · f(t − τ)dτ
→ f(t − τ) se mueve hasta terminar de cruzarse con g(τ)
→ ijemplo PX
t
f(t)
1−1 t
g(t)
30
t
f(t)
1−1 τ
g(τ)
3
g(−τ)
0
ttt − 3
g(t − τ)
0
ttt − 3 t t
t − 3
1 2 t 4t − 3 0
−1 t 1 →
t
−1
f(τ) · g(t − τ)dτ =
1
2
(t + 1)2
1 t 2 →
1
−1
f(τ) · g(t − τ)dτ = 2t
2 t 4 →
1
t−3
f(τ) · g(t − τ)dτ = −
1
2
(t + 1)2
+
9
2
UH

RFIHF„r—nsform—d— Z Ing. Arévalo V. Manuel
t
h(t)
4321
2t
1
2 (t + 1)2
−1
2 (t − 1)2
+ 9
2
−1
1
2
2
4
4.9.2 Metodo de las Derivadas (Solución de la convolución)
ƒe—X f(t) y g(t)D enton™es l— ™onvolu™ión se puede ™—l™ul—r ™omoX
ƒ—˜emosX h(t) = f(t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f(t)
⇒ h (t) = f(t) ∗ g (t) = g(t) ∗ f (t)
ƒe—X
t
f(t)
4
1
5 t
g(t)
2
1
g(t) = µ−1 − µ−1(t − 2)
g (t) = δ(t) − δ(t − 2)
f(t) =



1
4 t ; 0 t 4
−t + 5 ; 4 t 5
; ‚e™uerde :
f(t) ∗ δ(t) = f(t)
f(t) ∗ δ(t−t0)
h (t) = f(t) ∗ (δ(t) − δ(t − t2))
h (t) = f(t) ∗ δ(t)
f(t)
− f(t) ∗ δ(t − 2)
f(t−2)
f(t) =



1
4 t − 1
2 ; 2 t 6
7 − t ; 6 t 7
4.10 Transformada Z
4.10.1 Denición
v— tr—nsform—d— Z de l— fun™ión f(t)D denot—d— por Z{f(t)} = F(z) Y se de(ne ™omo X
Z{f(t)} = F(z) =
∞
n=0
f(nT) · Z−n
= f(0) + f(T) · Z−1
+ f(2T) · Z−2
+ · · ·
UI

RFIHF„r—nsform—d— Z Ing. Arévalo V. Manuel
t
h(t)
T 2T nT
· · ·
Muestrear @„om—r muestr—sA
→ idea: ƒerie de v—urent
3T
f(0)
f(3T)
f(2T)
→ ijemploX g—l™ule l— tr—nsform—d— Z del es™—lónF
t
µ−1(t)
1
0
ƒolu™iónX
t
f(t)
1
T 2T · · ·
· · ·
3T nT
F(Z) = 1 + Z−1
+ Z−2
+ Z−3
+ · · ·
‚e™uerdeX 1
1−x = 1 + x + x2
+ x3
+ · · · ; |x| 1
x =
1
Z
→
1
1 − 1
Z
F (Z)
= 1 +
1
Z
+
1
Z2
+ · · · ;
1
z
1 1 |Z|
⇒ F(Z) =
1
1 − 1
Z
; F(Z) =
Z
Z − 1
Z{µ−1(t)} = Z{1} = Z
Z−1
t
δ(t)
1
0
Z{δ(t)} = F(Z) =
∞
n=0
f(nT) · Z−n
F(Z) = f(0) +$$$$$
f(T) · Z−1
+$$$$$$
f(2T) · Z−2
+ · · ·
F(Z) = 1
UP

RFIIFepli™—™ión de l— gonvolu™ión Ing. Arévalo V. Manuel
Z{δ(t)} = 1
→ ijmX g—l™ule l— tr—nsform—d— de l— fun™ión r—mp— µ−2(t) = t · µ−1(t)
t
µ−2(t)
T 2T 4T3T
Z{ t · µ−1(t) } =
∞
n=0
f(nT) · Z−n
= $$$$
f(0) · Z0
+ f(T) · Z−1
+ f(2T) · Z−2
+ f(3T) · Z−3
+ · · ·
Z{t · µ−1(t)} = T · Z−1
+ 2T · Z−2
+ 3T · Z−3
+ · · ·
F(Z) = T
1
Z
+
2
Z2
+
3
Z3
+
4
Z4
+ · · ·
F(Z) · Z = T 1 +
2
Z
+
3
Z2
+
4
Z3
+
5
Z4
+ · · ·
f(Z)(Z − 1) = T 1 +
1
Z
+
1
Z2
+
1
Z3
+
1
Z4
+ · · ·
F(Z)(Z − 1) = T ·
Z
Z − 1
1
Z
1 → F(Z) = T·Z
(Z−1)2 ; |z| 1
4.10.2 Teoremas
hemuestre que siX Z{f(t)} = F(t) ⇒
§
¦
¤
¥
Z{t · f(t)} = −Z · T · dF
dZ
4.10.3 Teorema de Traslación
ƒe— Z{f(t)} = F(Z) =
∞
n=0
f(nT) · Z−n
⇒ Z{f(t − K · T)} = −Z · F(Z) ; K ≥ 0 y f(t) = 0 ; t 0
⇒ Z{f(t + K · T)} = Zk
· F(Z) − Zk
· f(0) − Zk−1
· f(T) − zK−1
· f(2T) − Z · f((k − 1)T)
Z{f(t − K · T)} =
∞
n=0
f(nT − kT) · Z−n
; r—™iendoX n − k = m
Z{f(t − nk)} =
∞
m=0
f(mT) · Z−(k+m)
; Z{f(t + 1)} = Zk
· F(Z) − Zk
f(0)
Z{f(t − nk)} = Z−k
·
∞
m=0
f(mT) · Z−m
Z{f(t − kT)} = Z−k
· F(Z)
UQ

4.11 Aplicación de la Convolución
4.11.1 Circuitos Digitales (Ecuaciones en Diferencias
Finitas)
+
aX1[n] aX1[n] + bX2[n]
bX2[n] hondeX H(Z) =
Y(Z)
X(Z)
H(Z)
X(Z) Y(Z)
→ xúmero
X(n) aX(n)
a Z−1
q(n) q(n−1)
ijemploX
IA
+
+
X(n)
q(n)
X(n) − a1 · q(n−1)
b2 · q(n)
b1 · q(n−1)
−a1 · q(n−1)
q(n−1)
−a1
b1 b2
¯Z
Y(n)
→ X(n) − a1 · q(n−1) = q(n) · · · (1)
→ b2 · q(n) + b1 · q(n−1) = y(n) · · · (2)
he (1) : Q(Z) = X(Z) − a1 · Z− 1
T · Q(Z)
Q(Z) 1 + a1 · Z− 1
T = X(Z)
he (2) : Y(Z) = b2 · Q(Z) + b1 · Z− 1
T · Q(Z)
Q(Z) b2 + b1 · Z− 1
T = Y(Z)
H(Z) =
Y(Z)
X(Z)
=
b2 + b1 · Z− 1
T
1 + a1 · Z− 1
T
; T = 1
PA
UR

+
+
+
X(n) Y(n)
Y(n)
Y(n−1)
Y(n−1)
Y(n)
6Y(n)
2Y(n)
2Y(n−1)
X(n)+3Y(n−1)+6Y(n)
3Y(n−1)+6Y(n)
¯Z
¯Z
¯Z
3
2
Y(n)
→ Y(n) = X(n−1) + 3Y(n−2) + 6Y(n−1)
Y(Z) = Z− 1
T · X(Z) + 3 · Z− 2
T · Y(Z) + 6 · Z− 1
T · Y(Z)
Y(Z) 1 − 3 · Z− 2
T − 6 · Z− 1
T = Z− 1
T · X(Z)
H(Z) =
Y(Z)
X(Z)
=
Z− 1
T
1 − 3 · Z− 2
T − 6 · Z− 1
T
; T = 1
4.11.2 Problemas Propuestos
a) r—ll—r l— invers—X F(Z) =
Z−5
Z + 2
; r—lleX Z−1
{F(Z)}
b) hetermine l— respuest— impulsion—l de un ƒvs„ esX Y(n) = 2X(n) + 4Y(n−1) + 2Y(n−2)
edem—s diseñe un ™ir™uito p—r— este ™—soF
US

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