Midiendo el Contenido de Información en Imágenes PolSAR

Introducción PolSAR TI y PolSAR Investigación Referencias

Midiendo la Cantidad de Información en
Imágenes PolSAR

Alejandro C. Frery
acfrery@gmail.com

LaCCAN
Laboratório de Computação Cientíﬁca
e Análise Numérica

Universidade Federal de Alagoas

Congreso Argentino de Teledetección
Setiembre de 2012 1 / 49

Contacto
Alejandro C. Frery
acfrery@gmail.com
http://sites.google.com/site/acfrery


Objetivo de la reunión

Revisar:
1 Los principales modelos para imágenes PolSAR
2 Elementos de Teoría de la Información
3 Ver resultados de aplicar TI a los modelos
4 Ver aplicaciones: detección de bordes, ﬁltrado y clasiﬁcación
5 Vislumbrar líneas de investigación

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Estructura

1 Introducción

2 Modelos para Datos PolSAR

La distribución H Pol en detección de bordes

La distribución G0 Pol en clasiﬁcación

3 Teoria de la Información para modelos PolSAR

Atributo de discriminación

Filtrado con distancias estocásticas

Complejidad estadística

4 Líneas de Investigación

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SAR Polarimétrico

Los sensores SAR Polarimétricos (PolSAR) son una importante
fuente de información en teledetección.
En su forma más completa, en cada frecuencia de operación a
cada pixel está asociado no un vector de datos (como en las
imágenes multiespectrales), sino una matriz de números
complejos.
Es una tecnología cara, y por lo tanto es importante ser capaz
de medir la información que provee.

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¿Cómo medir la información?

Es un problema difícil desde su formulación hasta su
ejecución.
Adoptaremos una estrategia mixta: por un lado formal,
matemática, y por otro del punto de vista del usuario, de las
aplicaciones.

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Estructura

1 Introducción









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Modelado I

Los sensores SAR polarimétricos registran la intensidad y la fase de
varias polarizaciones.

En cada pixel se registra una matriz de dispersión de cuatro
elementos complejos SHH , SHV , SVH , SVV , en que H y V denotan las
polarizaciones horizontal y vertical, respectivamente.

La información polarimétrica está en el vector Y = [SVV SVH SHH ]t ,
en que t denota transposición. Se admite que Y sigue una ley
gaussiana compleja de media nula (Goodman, 1963a,b) y densidad

1
f (y; Σ) = exp −y ∗ Σ−1 y ,
π3 |Σ|

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Modelado II
en que | · | es el determinante, ∗ es el transpuesto del conjugado, Σ
es la matriz de covarianza de Y :
∗ ∗ ∗
E{SVV SVV } E{SVV SVH } E{SVV SHH }
 

Σ = E Y Y ∗ =  E{SVH SVV } E{SVH SVH } E{SVH SHH } ,
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
E{SHH SVV } E{SHH SVH } E{SHH SHH }

y E{·} es la esperanza matemática.

La matriz de covarianza Σ es hermitiana, positiva deﬁnida, y
contiente toda la información para analizar los
datos (López-Martínez et al., 2005).

Se promedian n muestras para aumentar la relación señal/ruido,
formando la matriz de covarianza de n looks (Anﬁnsen et al., 2009):

1 n
Z= Y iY ∗,
i (1)
n i=1
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Modelado III

que sigue una distribución Wishart complexa con densidad

n3n |z|n−3
fZ (z; Σ, n) = exp −n tr(Σ−1 z) , (2)
|Σ|n Γ3 (n)

en que Γ3 (n) = π3 2 Γ(n − i), Γ(·) es la función gama de Euler, y
i=0
tr(·) es el trazo. Denotamos esta distribución Z ∼ W (Σ, n), y se
veriﬁca que E(Z) = Σ (Anﬁnsen et al., 2009).

Blancos diferentes en la misma imagen tiene matrices de
covarianza diferentes.

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Modelos polarimétricos con rugosidad I

El modelo Wishart no incluye un descriptor de la rugosidad de los
blancos. Podemos generalizarlo haciendo

1 n
Z =X Y iY ∗,
i (3)
n i=1

R
en que X : Ω → + es una variable aleatoria positiva de media
unitaria independiente del resto. Diferentes modelos para X
producen diferentes modelos para el retorno Z, entre ellos la
constante igual a 1 (que lleva al modelo Wishart), la ley gama, la ley
gaussiana inversa y la ley recíproca de gama. Esas distribuciones
para la rugosidad llevan a los siguientes modelos para el retorno:
α+mn
2 |z|n−m nα 2 α−mn
fZ (z; Σ, α, n) = tr Σ−1 z 2
Kα−mn 2 nαtr Σ−1 z ,
h(n, m) |Σ|n Γ(α)
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Modelos polarimétricos con rugosidad II

2 3n ω 3n+1 ω(2nTr(Σ−1 z) + ω)
nn e ω
|z|n−3 K3n+1/2
fZ (z; Σ, ω, n) = ,
|Σ|n
h(n, m) (ω(2nTr(Σ−1 z) + ω)) 2 n+ 4
3 1

nmn |z|n−m Γ(mn − α) α−mn
fZ (z; Σ, α, n) = ntr Σ−1 z + (−α − 1) .
h(n, m) |Σ|n Γ(−α)(−α − 1)α

En estos tres modelos α y ω modelan la rugosidad del terreno
(Freitas et al., 2005; Frery et al., 2010).

Veremos ahora la aplicación de estos modelos a dos problemas.

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Detección local de bordes

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Probabilidad de detección correcta

Mean Roughness (a) HH (b) HV (c) VV (d)
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

IX ~ Σf, ω=10 vs. Σp, ω=20 X ~ Σf, ω=10 vs. Σp, ω=25 XI ~ Σf, ω=15 vs. Σp, ω=20 XII ~ Σf, ω=15 vs. Σp, ω=25
1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0
V ~ Σu, ω=1 vs. Σp, ω=20 VI ~ Σu, ω=5 vs. Σp, ω=20 VII ~ Σu, ω=1 vs. Σp, ω=25 VIII ~ Σu, ω=5 vs. Σp, ω=25
1.0

0.8
Probabilities

0.6

0.4

0.2

0.0
I ~ Σu, ω=1 vs. Σf, ω=10 II ~ Σu, ω=5 vs. Σf, ω=10 III ~ Σu, ω=1 vs. Σf, ω=15 IV ~ Σu, ω=5 vs. Σf, ω=15
1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 14 / 49



(a) Modelo Wishart (b) Modelo G0 Pol

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Estructura

1 Introducción









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Elementos

! La Teoría de la Información es una rama de la Probabilidad y la
Estadística fuertemente inﬂuenciada por la Ingeniería.
! También se la conoce como “Teoría Estadística de las
Comunicaciones” y “Teoría de la Comunicación”
! La Información puede ser entendida como el tiempo o el
esfuerzo que demanda realizar una tarea.
! Fisher cuantiﬁcó la información que una muestra da sobre la
población (Wassermann, 2005).

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Información de Kullback-Leibler

Es una medida relativa de la información entre dos distribuciones,
también conocida como entropía relativa y entropía cruzada:

fX
K (X : Y ) = − log fY
S fY

Si fY es uniforme, K (X : Y ) = H(Y ) − H(X ) que sólo es ﬁnita si S es un
conjunto limitado.

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Divergencias (h, φ)

Una divergencia es una medida de lo diferentes que son dos
distribuciones. La divergencia (h, φ) es una familia propuesta por
Salicrú et al. (1994) y por Csiszár (1967).

Deﬁnition
Sean las variables aleatorias X y Y con igual soporte S y densidades
fX (x | θ1 ) y fY (x | θ2 ), respectivamente. Sean φ : (0, ∞) → + y h R
funciones, la primera convexa y la segunda creciente tal que
h(0) = 0, ambas derivables. La divergencia entre las distribuciones
es dada por

h fX (x | θ1 )
dφ (X Y ) = h φ fY (x | θ2 )dx . (4)
x∈S(x) fY (x | θ2 )

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Podemos construir distancias a partir de divergencias

h 1 h h
dφ (X , Y ) = d (X Y ) + dφ (Y X ) .
2 φ

Propiedades:
Las distancias estocásticas satisfacen:
h
1 dφ (X , Y ) ≥ 0 (no negatividad);
h h
2 dφ (X , Y ) = dφ (Y , X ) (simetría);
h
3 dφ (X , Y ) = 0 ⇔ X = Y (identidad de indiscernibles).

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Distancia h, φ y funciones h y φ

Distancia (h, φ) h(y) φ(x)

Kullback-Leibler y/2 (x − 1) log x
1 f
dKL (X , Y ) = 2 (fX − fY ) log fX
Y

Bhattacharyya − log(−y + 1), − x + x+1
2
dB (X , Y ) = − log fX fY 0≤y<1

Hellinger y/2, ( x − 1)2
dH (X , Y ) = 1 − fX fY 0≤y<2

1 x1−β +xβ −β(x−1)−2
Rényi (order β) β−1
log((β − 1)y + 1), 2(β−1)
,
β 1−β 1−β β
β 1 f f + fX fY 1
dR (X , Y ) = β−1 log X Y 2 0 ≤ y < 1−β 0<β<1

χ2 y/4 (x − 1)2 (x + 1)/x
(fX −fY )2 (fX −fY )2
dχ2 (X , Y ) = 1
4 fX
+ fY

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Otras distancias

1 2fX 2fY
Jensen-Shannon: dJS (X , Y ) = 2 fX log fY +fX + fY log fY +fX

1 fY +fX
Aritmética-geométrica: dAG (X , Y ) = 2 (fX + fY ) log
2 fY fX
(fX −fY )2
Triangular: dT (X , Y ) = fX +fY
2fX fY
Media armónica: dHM (X , Y ) = − log fX +fY = − log 1 − dT (X ,Y )
2

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De distancias a tests de hipótesis
h
Al calcular distancias estocásticas dφ (X , Y ) entre distribuciones del
mismo tipo (que diﬁeren sólo en los parámetros), podemos escribir
h
dφ (θ1 , θ2 ).

h
Para poder usar dφ (θ1 , θ2 ) necesitaríamos los parámetros
verdaderos θ1 y θ2 .

Pero si no están disponibles, podemos usar estimadores, por
ejemplo de máxima verosimilitud:
h
dφ (θ1 , θ2 ) . . .

y estas cantidades tienen buenas propiedades estadísticas. Pueden
ser transformadas en estadísticas de test.
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Distancias entre leyes Wishart con igual número de looks

1 |Σ1 | n
dχ2 (θ1 , θ2 ) = abs(|(2Σ−1 − Σ−1 )−1 |)
2 1
4 |Σ2 |2
|Σ2 | n
+ 2
abs(|(2Σ−1 − Σ−1 )−1 |) − 2
1 2
|Σ1 |
tr(Σ−1 Σ2 + Σ−1 Σ1 )
1 2
dKL (θ1 , θ2 ) = n −p
2
β log 2 1 n
dR (θ1 , θ2 ) = + log |Σ1 |−β |Σ2 |(β−1) |(βΣ−1 + (1 − β)Σ−1 )−1 |
1 2
1−β β−1
n
+ |Σ1 |(β−1) |Σ2 |−β |(βΣ−1 + (1 − β)Σ−1 )−1 |
2 1 .

log |Σ1 | + log |Σ2 | Σ−1 + Σ−1
1 2
−1
dB (θ1 , θ2 ) = n − log .
2 2
Σ−1 +Σ−1 −1 n
1 2
| 2
|
dH (θ1 , θ2 ) = 1 − .
|Σ1 ||Σ2 |
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Test de hipótesis basados en distancias

Sean los estimadores de máxima verosimilitud θ1 = (θ11 , . . . , θ1M ) y
θ2 = (θ21 , . . . , θ2M ) de los parámetros θ1 y θ2 basados en muestras
independientes de tamaños N1 y N2 , respectivamente. El siguiente
lema vale satisfechas ciertas condiciones de regularidad (Salicrú et
al., 1994, p. 380):

Lemma
N1
Si N1 +N2 − − − − λ ∈ (0, 1) y θ1
− − −→
N1 ,N2 →∞
= θ2 , entonces

h
2N1 N2 dφ (θ1 , θ2 ) D
h
Sφ (θ1 , θ2 ) = − − − − χ2 ,
− − −→
N1 + N2 h (0)φ (1) N1 ,N2 →∞ M

D
en que “− denota convergencia en distribución.
→”

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¿Estos resultados son aplicables?

(c) Fotografía de San Francisco (d) Polarización HH

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x

Z ∼ Γ(L, L/λ) Operador
x x x x
Local

x x x x
Phantom Corrompida

0.9481
EMV
0.0127 h
Sim Ajuste de Sφ ( θ 1 , θ i )
h .
x x if Sφ (θ1 , θi ) < η . θ1 , . . . , θ9
(Sele¸õ)
ca Bonferroni .
0.0554

Nõ
a
Jun¸õ
ca
x = λ1
Algoritmos
de avalia¸õ da
ca
x x = λj qualidade de imagem

Filtrada

Extra¸õ das caracter´
ca ısticas para avalia¸õ
ca

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Datos simulados
Ventana 5 × 5, 1 iteración y α = 99 %

(e) 4-looks (f) Zoom

(g) Filtro Lee (h) Zoom (i) Filtro Hellinger (j) Zoom
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Datos PolSAR
Ventana 5 × 5, 1 iteración y α = 80 %

(k) Datos originales (l) Filtro de Media (m) Filtro Hellinger

Figura : Datos PolSAR en descomposición de Pauli.

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Estructura

1 Introducción









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Algunas líneas de investigación

Trabajar con otros modelos
Resolver los muchos problemas de estimación
Proponer nuevas técnicas de ﬁltrado
Proponer nuevos clasiﬁcadores (en ensemble, por ejemplo)
Proponer nuevas técnicas de segmentación
Proponer descomposiciones con propiedades estadísticas y
visuales interesantes

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Referencias I

Anﬁnsen, S. N., Doulgeris, A. P Eltoft, T. (2009), ‘Estimation of the
.
equivalent number of looks in polarimetric synthetic aperture radar
imagery’, IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing
47(11), 3795–3809.
Cintra, R. J., Frery, A. C. Nascimento, A. D. C. (in press), ‘Parametric and
nonparametric tests for speckled imagery’, Pattern Analysis and
Applications.
Csiszár, I. (1967), ‘Information type measures of difference of probability
distributions and indirect observations’, Studia Scientiarum
Mathematicarum Hungarica 2, 299–318.
Freitas, C. C., Frery, A. C. Correia, A. H. (2005), ‘The polarimetric G
distribution for SAR data analysis’, Environmetrics 16(1), 13–31.
Frery, A. C., Jacobo-Berlles, J., Gambini, J. Mejail, M. (2010), ‘Polarimetric
SAR image segmentation with B-Splines and a new statistical model’,
Multidimensional Systems and Signal Processing 21, 319–342.
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Referencias II
Frery, A. C., Nascimento, A. D. C. Cintra, R. J. (2011), ‘Information theory
and image understanding: An application to polarimetric SAR imagery’,
Chilean Journal of Statistics 2(2), 81–100. URL
http://chjs.soche.cl/index.php?option=com_contentview=
articleid=170Itemid=58.
Giron, E., Frery, A. C. Cribari-Neto, F. (2012), ‘Nonparametric edge
detection in speckled imagery’, Mathematics and Computers in
Simulation 82, 2182–2198. URL http://www.sciencedirect.com/
science/article/pii/S037847541200136X.
Goodman, N. R. (1963a), ‘The distribution of the determinant of a
complex Wishart distributed matrix’, Annals of Mathematical Statistics
34, 178–180.
Goodman, N. R. (1963b), ‘Statistical analysis based on a certain complex
Gaussian distribution (an introduction)’, Annals of Mathematical
Statistics 34, 152–177.

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Referencias III

López-Martínez, C., Fábregas, X. Pottier, E. (2005), ‘Multidimensional
speckle noise model’, EURASIP Journal on Applied Signal Processing
2005(20), 3259–3271.
Salicrú, M., Morales, D. Menéndez, M. L. (1994), ‘On the application of
divergence type measures in testing statistical hypothesis’, Journal of
Multivariate Analysis 51, 372–391.
Wassermann, L. (2005), All of Statistics: A Concise Course in Statistical
Inference, Springer.

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Comentarios, sugerencias y amenazas a:
Alejandro C. Frery
acfrery@gmail.com
http://sites.google.com/site/acfrery

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