Matlab en cinco lecciones para aprender Numérico

Matlab en cinco lecciones de Num´rico
e

V´
ıctor Dom´
ınguez B´guena
a Ma Luisa Rap´n Banzo
u

Febrero de 2006

Disponible en
http://www.unavarra.es/personal/victor dominguez/

Prefacio
Bo
El origen de este libro es una asignatura de libre elecciń que uno de los autores im-
o
parti´ durante los cursos 2004–2005 y 2005–2006 en la Universidad P´blica de Navarra.
o u
Nuestra intenciń original era tratar temas algo avanzados de C´lculo Cient´
o a ıfico y utilizar
Matlab como v´ para su aprendizaje. Los alumnos, obviamente, estaban m´s interesados
ıa a
en aprender Matlab y ve´ el Num´rico como forma de probar y ensayar las diferentes
ıan e
herramientas de Matlab que se iban exponiendo en clase. Desafortunadamente, la forma-
ciń en Num´rico de nuestros alumnos nos oblig´ a relajar considerablemente el contenido
o e o
matem´tico del curso y a ser m´s modestos, desde el punto de vista te´rico, en nuestros
a a o
rra
objetivos. El resultado final en su vertiente matem´tica se podr´ enmarcar sin problemas
a ıa
en un curso introductorio de C´lculo Num´rico. En cuanto a Matlab, creemos que hemos
a e
tratado todos sus aspectos fundamentales aunque en ocasiones sea de forma superficial.
Nuestro objetivo era conseguir no tanto un conocimiento muy profundo de Matlab como
el de colocar al alumno en una buena posiciń de arranque para un autoaprendizaje.
o
El enfoque y los temas tratados son consecuencia de diversos factores entre los que
conviene citar nuestro propio bagaje matem´tico1 , el uso que hemos tenido que hacer de
a
Matlab en nuestra carrera investigadora y, como ya hemos mencionado, los conocimientos
de partida que ten´ nuestros propios alumnos. Hemos insistido bastante en la manip-
ıan
o o ´
ulaciń de vectores y matrices y a la programaciń en forma vectorizada. Esta es una
de las diferencias m´s acusadas con los lenguajes de programaciń tradicionales y una
a o
implementaciń eficiente en Matlab pasa necesariamente por la vectorizaciń.
o o
Los apuntes estń organizados en torno a temas o lecciones, cada cual dividido en dos
a
do
partes, la primera de Matlab y la segunda con un tema espec´ ıfico de C´lculo Num´rico.
a e
En la primera parte se presentan los aspectos instrumentales de Matlab que utilizaremos
en la implementaciń de los algoritmos de la parte de Num´rico. La longitud de cada
o e
parte es variable, y dependiente de la dificultad tratada ya sea en la parte instrumental
(Matlab) o en la parte matem´tica. De tanto en tanto nos hemos permitido hacer algo de
a
Matem´ticas tratando de presentarlas en la forma m´s simple posible.
a a
A lo largo de estas p´ginas el lector podr´ encontrar ejercicios, algunos de ellos resuel-
a a
tos, que tratan de ahondar en puntos espec´ ıficos, matem´ticos e inform´ticos. Finalmente
a a
se han introducido algunas notas hist´ricas que describen brevemente la evoluciń que han
o o
r
tenido las ideas a lo largo del tiempo. Con ello tratamos de combatir la idea gaussiana,
demasiado extendida, de las Matem´ticas como un mundo est´tico, monol´
a a ıtico y perfecto
donde la teor´ se presenta cerrada y completa. Las Matem´ticas en general y el C´lculo
ıa a a
Cient´ıfico en particular recorren un largo trecho antes de llegar a este estado, durante
el cual brotan ideas constantemente, siempre prometedoras en un primer momento, que
1
modelado por nuestra formaciń cient´
o ıfica, comń en muchos aspectos.
u

i

evolucionan con los aõs, con muchas de ellas desechadas finalmente e incluso algunas
n
rescatadas aõs despu´s de considerarse como v´ muertas.
n e ıas
Hemos adjuntado al final una bibliograf´ utilizada en este texto. Nos gustar´ resaltar
ıa ıa
tres textos sobre los dem´s. En primer lugar, Numerical Computing with Matlab, de Cleve
a
Moler, que descubrimos cuando and´bamos en la redacciń de la Lecciń II. Su sencillez
a o o
y la buena elecciń de ejemplos ha ejercido una influencia considerable en estas notas.
o
Bo
El segundo libro es ya un cl´sico entre los que aprendimos Matlab hace algunos aõs.
a n
And´bamos entonces en la b´squeda de recursos en la web cuando nos encontramos con
a u
unos apuntes muy completos de libre divulgaciń. Nos referimos al libro de Garc´ de
o ıa
Jalń y sus colaboradores, Aprenda Matlab ?.? como si estuviera en primero. Diferentes
o
versiones de estos apuntes llevan cubriendo de forma incansable la evoluciń de Matlab
o
desde la versiń 4.0.
o
Por ultimo, aunque no es un texto propiamente, la enciclopedia libre on line Wikipedia2
´
ha sido utilizada profusamente para obtener datos y fuentes utilizadas en la redacciń de
o
este texto. Debemos seãlar que estas informaciones han sido debidamente contrastadas.
n
A pesar de algunos problemas iniciales, es seguro que la influencia de esta enciclopedia
libre crecer´ exponencialmente en el futuro.
a
Finalmente, queremos dejar patente nuestro agradecimiento al Profesor Javier Sayas
rra
que se ofreci´ muy generosamente a revisar este libro. Sus numerosas y acertadas indica-
o
ciones y sugerencias han contribuido, y mucho, en la redacciń final de este texto.
o
do
Pamplona, Febrero de 2006 V´
ıctor Dom´
ınguez B´guena
a
a
M Luisa Rapń Banzo
u
r
2
http://www.wikipedia.org

ii

Bo
A Javier
Amigo y maestro.
rra
do
r

Cap´
ıtulo 1
Bo
Introducciń
o
... and the first lesson of all was the basic trust that he
could learn. It is shocking to find how many people do
not believe they can learn, and how many more believe
learning to be difficult.
rra
Dune
Frank Herbert

1.1. ¿Qu´ es?
e
Matlab es un entorno de trabajo para el c´lculo cient´
a ıfico. Programado originalmente
por Cleve Moler a finales de los aõs 70, su finalidad original era proporcionar una forma
n
sencilla de acceder a las librer´ LINPACK y EISPACK donde estń implementadas de una
ıas a
forma altamente eficiente los algoritmos clave del an´lisis matricial1 . De hecho, Matlab es
a
una abreviatura de Matrix Laboratory
Su primera implementaciń se hizo en Fortran que era, y en buena medida ań sigue
o u
sińdolo, el lenguaje estńdar en la implementaciń de m´todos num´ricos2 . Posterior-
e a o e e
do
mente se reimplement´ en C, que es como se encuentra en la actualidad.
o
Las aplicaciones de Matlab se fueron extendiendo a otras ramas del c´lculo cient´
a ıfico
y de las ciencias aplicadas en general, dotńdole de una gran popularidad en ambientes
a
cient´
ıficos (especialmente en Ingenier´ Dichas extensiones se consiguieron en gran parte
ıa).
mediante la implementaciń de toolboxes, librer´ escritas en el lenguaje de programaciń
o ıas o
propio de Matlab y que ampliaban el rango de problemas que pod´ resolverse.
ıan
Sin miedo a equivocarse, se pueden enunciar las siguientes ´reas donde Matlab muestra
a
un gran potencial:

a
´lgebra lineal num´rica;
e
r
procesamiento de seãles (an´lisis, compresiń de datos,..);
n a o
1
por ejemplo, el m´todo de Gauss, el c´lculo de las descomposiciones m´s habituales del ´lgebra
e a a a
matricial num´rica (LU , LL , QR), m´todos iterativos,...
e e
2
Fortran significa Formula translation. Desarrollado por IBM en 1954, es considerado como el primer
lenguaje de alto nivel. Las ultimas actualizaciones (Fortran 95 y Fortran 2003) han dado nuevo vigor a
´
este veterano lenguaje de programaciń.
o

1

diseõ de sistemas de control;
n

salidas gr´ficas;
a

estad´
ıstica;
Bo
simulaciń de sistemas din´micos.
o a

La extensa gama de problemas que cubre hace de Matlab un lenguaje dif´ de entender
ıcil
y manejar en su completitud. Esto no quiere decir que sea inarbodable: el conocimiento
base que permite empezar a trabajar es muy sencillo. No obstante el elevado n´mero de
u
3
comandos que se encuentra a disposiciń del usuario provoca que en ocasiones existan
o
problemas no s´lo para encontrar los comandos adecuados sino tambiń para tener una
o e
idea de qu´ posibilidades exactamente ofrece Matlab en un problema o tarea en particular.
e

1.2. ¿C´mo trabaja?
o
rra
El lenguaje de programaciń de Matlab es bastante m´s flexible que el de los lenguajes
o a
tradicionales. No es preciso la declaraciń inicial de variables, ´stas se pueden introducir
o e
en el momento que se necesiten, y por ejemplo, vectores y matrices pueden declararse
sin especificar sus dimensiones e incluso cambiar sus tamaõs sobre la marcha. Ello per-
n
mite una programaciń algo m´s desordenada, aunque debe tenerse bien claro que una
o a
programaciń cl´sica, m´s al uso, suele generar c´digo m´s eficiente.
o a a o a
Por otro lado, una gran cantidad de m´todos num´ricos se encuentran implementados
e e
de una forma muy eficiente y son accesibles como simples comandos. De esta forma, Mat-
lab se puede utilizar como una caja negra: el usuario pregunta y el ordenador responde sin
que ´ste tenga que preocuparse de qu´ tipo de operaciones se han efectuado por el camino.
e e
De todas formas es conveniente tener una idea de qu´ m´todos se estń utilizando para
e e a
as´ ser conscientes de en qu´ condiciones van a funcionar, cu´l es en cada caso el m´to-
ı e a e
do
do adecuado, y especialmente el significado de los, posiblemente, numerosos argumentos
opcionales que controlan el funcionamiento del algoritmo.
A priori se pueden distinguir dos tipos de funciones en Matlab: funciones compiladas
(Built in functions) y funciones no compiladas. Las primeras estń optimizadas, son pro-
a
gramas ya compilados y con el c´digo no accesible para el usuario. Como ejemplos se
o
pueden citar

operaciones fundamentales +, *,. . . .

las funciones matem´ticas b´sicas (sin, cos, exp, log,. . . )
a a
r
´
algoritmos b´sicos del Algebra Lineal (inv, det, lu, chol, qr,...)
a

s´lidas gr´ficas (plot, surf,...)
a a
3
A modo de ejemplo, estos comandos cubren salidas gr´ficas: plot, line, ezplot, ezsurf, surf,
a
surfc, line, patch, plot3, contour, contourf, ezcontour, pcolor, trimesh, trisurf,...

2

Las funciones no compiladas estń escritas siguiendo el lenguaje de programaciń
a o
propio de Matlab. Estos comandos se guardan en ficheros *.m que es la extensiń estńdar
o a
de los ficheros de Matlab4 .
Originalmente, Matlab funcionaba como un interprete. Es decir, cada l´ınea de c´digo
o
era traducido antes de su ejecuciń. Ello hac´ que una programaciń similar a lenguajes
o ıa o
cl´sicos de programaciń diera lugar a c´digo poco eficiente.
a o o
Bo
Este problema se puede subsanar en gran medida recurriendo a la programaciń vec-
o
torizada. El siguiente ejemplo muestra las diferencias con una programaciń estńdar
o a

No vectorizada Vectorizada

y=zeros(1,1000); y=sin(linspace(0,2*pi,1000));
h=2*pi/999;
for i=0:999
y(i+1)=sin(h*i);
rra
end

En la primera parte del c´digo, encontramos una estructura t´
o ıpica en los lenguajes de
programaciń: el comando for. Su significado es claro: las l´
o ıneas comprendidas entre el for
y end se repiten 1000 veces con la variable i tomando valores de 0 a 999. El resultado final
es el vector fila y que recoge el valor del seno en 1000 puntos uniformemente espaciados
en [0, 2π].
Por otro lado, el comando linspace devuelve un array que contiene 1000 puntos
equidistantes entre 0 y 2π. La funciń seno es aplicada sobre todo el array devolviendo
o
un vector con estos valores que se guarda en y. La diferencia entre ambas formas de
programar es ahora patente. Mientras que en la primera realizamos 1000 llamadas a la
do
funciń seno con un argumento por llamada, en la segunda hay una unica llamada donde
o ´
se requiere el c´lculo del seno en 1000 puntos, y el resultado se devuelve en un vector con
a
estos valores (y por tanto tambiń de longitud 1000).
e
Desde el punto de vista de Matlab el segundo c´digo es m´s eficiente. Habitualmente,
o a
la vectorizaciń lleva consigo una reducciń del c´digo a la vez que se incrementan las
o o o
necesidades de memoria.
Con Matlab 6.5 se inici´ un proyecto a m´s largo plazo consistente en la aceleraciń
o a o
(Performance Acceleration) de las versiones no vectorizadas dirigida a estrechar las difer-
encias con los lenguajes cl´sicos de alto nivel como Fortran, C o Pascal5 . En cualquier caso,
a
r
la posibilidad de ejecutar instrucciones en bloque sobre vectores o matrices, en contraste
con operaciones elemento a elemento como en los lenguajes tradicionales, es algo que
conviene explotar por las importantes ventajas que proporciona.

4
Tambiń est´ la extensiń *.mat, propia de ficheros de datos.
e a o
5
De hecho en la version 6.5 apenas hay diferencias en tiempo de ejecuciń entre los dos c´digos
o o
expuestos.

3

1.3. ¿C´mo aprenderemos?
o
Como ya hemos seãlado anteriormente, aprender a manejar Matlab en su totalidad
n
est´ fuera de los contenidos de un curso introductorio como ´ste. No as´ aprender los
a e ı
fundamentos y preparar el terreno para un autoaprendizaje de las partes en las que cada
uno est´ interesado. Encontramos en este punto dos dificultades que salvar: saber de la
e
Bo
existencia del comando adecuado y aprender a utilizarlo. En no pocas ocasiones, la primera
es la mayor dificultad. No obstante los comandos llevan siempre nombres nemotćnicos e
para facilitar su memorizaciń. Las funciones de ayuda tambiń echan una mano.
o e
Como a programar se aprende programando, comenzaremos escribiendo c´digo desde
o
los primeros pasos. Los esquemas num´ricos que implementaremos se encuentran prćti-
e a
camente en cualquier curso introductorio de An´lisis Num´rico. En cada lecciń imple-
a e o
mentaremos dichos algoritmos, introduciendo ´rdenes, estructuras de decisiń, datos,...
o o
segń sea necesario.
u
En los apuntes se incluyen m´ltiples ejercicios cuya realizaciń ayudar´ al aprendizaje
u o a
de la asignatura. Estos apuntes no deben tomarse como un manual en el estilo usual, sino
como una forma de aprender Matlab y repasar o aprender el An´lisis Num´rico b´sico.
a e a
Ya existen manuales extensos y concienzudos, en la bibliograf´ citamos algunos de ellos,
ıa
rra
que pueden servir para ese fin.
do
r
4

Bo
Lecci´n I
o

Primeros pasos en Matlab.
rra
M´todos directos para sistemas de ecuaciones
e
lineales
do
r
5

Introducciń
o
Bo
When asked whether a programming language supports
matrices, many people will think of two-dimensional
arrays and respond, “Yes.” Yet matrices are more than
two-dimensional arrays -they are arrays with operations.
It is the operations that cause matrices to feature so
prominently in science and engineering

G.W. Stewart, Matrix Algorithms
rra
Comenzaremos en la primera parte de esta lecciń tratando nociones b´sicas de Matlab,
o a
introduciendo el entorno de trabajo y las estructuras b´sicas de programaciń. En segundo
a o
lugar entraremos en uno de los detalles fuertes de Matlab, la manipulaciń de vectores y
o
matrices.
En la parte matem´tica estudiaremos m´todos directos para la resoluciń de sis-
a e o
temas de ecuaciones lineales. En la implementaciń de estos algoritmos repasaremos los
o
conocimientos de Matlab expuestos en la primera parte.
do
r
7

Cap´
ıtulo 2
Bo
Matlab: Primeros pasos

2.1. Entorno de trabajo
En las primeras secciones comenzaremos explorando Matlab de la forma m´s simple, en
a
modo comando: el usuario pregunta y Matlab responde. El interfaz de Matlab es bastante
pobre, con un aspecto est´tico que en modo alguno es comparable al de programas como
e
rra
Maple o Mathematica. El modo interactivo de trabajar es sencillo aunque algo inc´modo. A
o
modo de ejemplo, requiere algo de esfuerzo editar instrucciones ejecutadas con anterioridad
´
y manejarse con bloques de comandos es muy engorroso. Este y otros problemas del modo
interactivo se subsanan en gran medida empaquetando instrucciones con ficheros script
y/o programando en funciones (subrutinas) que es la forma natural de trabajar en Matlab.
En un segundo paso, se puede implementar un interfaz gr´fica, las guides de Matlab, que
a
hacen m´s amigable la comunicaciń con el usuario.
a o
En la Figura 2.1 podemos ver el aspecto inicial de Matlab. Distinguimos las siguientes
ventanas

Command window: ventana donde podemos ejecutar los comandos;
do
Ventanas auxiliares: command history, workspace, current directory que informan
sobre (y permiten editar) los comandos insertados, las variables declaradas y el
directorio en el que estamos trabajando.

Ventana de ayuda: en una ventana independiente proporciona un acceso completo
a las funciones de ayuda de Matlab, incluyendo b´squedas, demostraciones, etc.
u
´
Estas son las caracter´
ısticas b´sicas que debemos considerar:
a

El prompt de Matlab es >>. El usuario escribe a continuaciń.
o
r
Para ejecutar se pulsa la tecla Enter.

Se pueden recuperar comandos anteriores navegando con las flechas ↑ y ↓.

Cuando se trabaje en Matlab, debemos tener muy en cuenta que:

Se distinguen may´sculas y min´sculas.
u u

9

2.1 Entorno de trabajo ´
LECCION I
Bo
rra
Figura 2.1: Pantalla Principal.

Todos los comandos de Matlab se escriben en min´sculas y los argumentos se env´
u ıan
entre parńtesis separados por comas.
e
do
El carćter % se utiliza para insertar comentarios. Todo lo que sigue (en la misma
a
l´
ınea) es ignorado por Matlab.

Si se teclea al final de una instrucciń ’;’ ´sta se ejecuta pero el resultado no se
o e
visualiza por pantalla.

Dos comandos se pueden insertar en la misma l´ ınea separados por “,” o por “;”. La
diferencia entre los dos es que con “,” se muestran los resultados de las operaciones
mientras que con “;” la operaciń se ejecuta pero no se visualiza.
o
r
Ejercicio 2.1 Ejecuta las instrucciones

>> 4+4 % mi primera operacion
>> 3^4, 4/9
>> 3^4; 4/9
>> 3^4, 4/9;
>> 3^4; 4/9;

10

´
LECCION I ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
Cap´

y observa la salida.

Haremos algunos comentarios sobre el ejercicio anterior. El circunflejo ^ es la poten-
ciaciń:
o

>> 3^5
Bo
ans=

243

El t´rmino ans es la primera variable que vemos de Matlab. Concretamente, guarda la
e
ultima salida dada por Matlab (answer):
´

>> 4+6

ans =

10
rra
>> ans*2

ans =

20

>> ans*2

ans =

40
do
La ra´ cuadrada se puede calcular bien elevando a 1/2 (^(1/2)) o bien utilizando sqrt.
ız

Ejercicio 2.2 Comprueba la diferencia entre

4/4+6 4/(4+6) 3^5*2 3^(5*2)

Nota. La prioridad de ejecuciń entre operaciones matem´ticas es la habitual: primero
o a
se calcula la potenciaciń ^, posteriormente los productos y divisiones *, / y en ultimo
o ´
lugar, las sumas y restas + y -. Este orden se puede cambiar utilizando los parńtesis.
e
La regla es sencilla: dada una expresiń, lo primero que se calcula es lo que est´ dentro
o a
r
de cada parńtesis. Esta regla es recursiva, es decir, si dentro de un parńtesis hay otros
e e
parńtesis, para evaluar el primero se empezar´ con los parńtesis interiores.
e a e
Los n´meros reales se pueden insertar tambiń en notaciń cient´
u e o ıfica, muy adecuada si
se trata de n´meros grandes o muy pequeõs (en valor absoluto). As´ se tiene la siguiente
u n ı,
regla de construcciń:
o
m · 10r m er

11

2.1 Entorno de trabajo ´
LECCION I

Por ejemplo

0.005 5e − 3 115 · 1012 115e12
−1201200000 −1.2012e009 0.00031415 3.1415e − 004

Existen adem´s dos n´meros especiales: inf y NaN. El primer signo representa la can-
a u
Bo
tidad infinita (∞). El segundo es una abreviatura de “no es un n´mero” (Not a Number)
u
y es el resultado que se devuelve ante una operaciń indefinida como 0/0. Este s´
o ımbolo
se puede utilizar en ´mbitos, en principio tan extraõs, como en el dibujo de superficies
a n
(v´r la Lecciń V).
e o
En general los resultados num´ricos se presentan con cuatro cifras decimales correctas,
e
aunque todas las operaciones se ejecutan en doble precisiń1 . Si se desean las salidas con
o
toda la precisiń disponible se debe insertar la instrucciń
o o

>> format long

A partir de este punto, el resultado de cualquier operaciń se mostrar´ con 16 cifras
o a
significativas. La instrucciń
o
rra
>> format short

devuelve a la forma estńdar con cuatro cifras decimales. Existen m´s opciones con format.
a a
Las siguiente l´
ıneas muestran algunas de ellas:

>> pi % el numero pi

ans =

3.1416

>> format long % mayor precision
>> pi
do
ans =

3.14159265358979

>> format compact % compacto
>> pi
ans =
3.14159265358979
>> format bank %No fijo de cifras decimales
r
>> pi
ans =
3.14
1
Aproximadamente 16 cifras decimales correctas. En el momento de redactar estas l´ ıneas, los proce-
sadores de 32 bits dominan todav´ el parqu´ de ordenadores. Las nuevas generaciones, con procesadores
ıa e
con 64 bits, duplican la precisiń de trabajo.
o

12

´
Cap´

>> format rat %salidas en forma fraccionaria
>> pi
ans =
355/113
>> format loose % mas espaciada
>> pi
Bo
ans =

355/113
Observa la diferencia de espaciamiento que se obtiene con las opciones compact y loose.

N´ meros complejos
u
La √aritm´tica compleja se encuentra tambiń integrada en Matlab. La unidad imagi-
e e
naria ( −1) se representa en Matlab con i ´ j:
o
>> clear i j % borramos posibles valores de i y j
rra
>> i^2

ans=

-1

>> j^2

ans=

-1
do
El signo i suele ser habitual en Matem´ticas mientras que en diversas ramas de la F´
a ısica
y en Ingenier´ de Telecomunicaciones o Elćtrica se prefiere el s´
ıa e ımbolo j (en este caso
para no confundir con la intensidad de corriente elćtrica). De ah´ que Matlab permita
e ı
ambas representaciones.
Todas las operaciones matem´ticas incluyen la aritm´tica compleja en el sentido usual
a e

>> 1+i +5-6i % suma de dos numeros complejos

ans =
r
6.0000 - 5.0000i

>> (5+3i)*(5-3i), (1+2i)/(3-4i)

ans =

13

2.2 Comandos de ayuda ´
LECCION I

34.00

ans =

-0.20
Bo
+
>> conj(3e-3+2e-4i) % conjugado

ans =

0.0030 - 0.0002i

>> abs(3+4i), angle(2i) % modulo y argumento

ans =

5
rra
ans =

1.5708

2.2. Comandos de ayuda
La ayuda de Matlab es ciertamente muy clara y completa. Los comandos siempre
dispuestos a echarnos una mano son:

help: muestra una ayuda por pantalla, en la ventana de comandos, con la informa-
do
ciń esencial sobre un comando concreto.
o

helpwin: similar a help pero despliega la ayuda en una ventana auxiliar, permitien-
do as´ una navegaciń, estilo web, muy c´moda.
ı o o

lookfor: permite buscar una cadena en la primera l´
ınea de todos los ficheros de
ayuda.

Por ejemplo, si deseamos ayuda sobre la funciń sin, podemos ejecutar
o

>> help sin
r
SIN Sine.
SIN(X) is the sine of the elements of X.

Overloaded methods
help sym/sin.m

14

´
Cap´
Bo
rra
Figura 2.2: Pantalla de ayuda.

o bien
>> helpwin sin
do
y obtener la pantalla que se muestra en la Figura 2.3. Adem´s, si aparece el enlace “Go to
a
online doc for ...”, ´ste nos permite navegar entre una ayuda mucho m´s completa
e a
donde se muestran ejemplos y detalles sobre la implementaciń del comando (ver la Figura
o
2
2.4 ).

Ejercicio 2.3 Utilizando las funciones de ayuda, obtener informaciń de alguna de estas
o
funciones elementales de Matem´ticas
a
sin cos tan asin acos atan
sec csc cot asec acsc acot
r
sinh cosh tanh asinh acosh atanh
exp log log10 log2 sign
Mediante la instrucciń
o
2
Para que esta opciń est´ disponible es necesario que se haya instalado la ayuda completa de Matlab.
o e
A partir de la versiń 6.0 la instalaciń consta de (al menos) dos CDs, el primero con el programa y las
o o
librer´ habituales y el segundo con la documentaciń de la ayuda.
ıas o

15

2.3 Variables ´
LECCION I
Bo
rra
Figura 2.3: Ayuda con helpwin. Comprueba si aparece la opciń Go to online doc...
o

>> help +

se pueden adem´s visualizar las operaciones “elementales” segń Matlab.
a u
do
2.3. Variables
Matlab no necesita la declaraciń de variables como en un lenguaje tradicional. En prin-
o
cipio todas las variables son reales, y basta hacer uso de ellas para que queden declaradas:

>> a=1; b=2; c=3;
>> a-b

ans =
r
-1

>> a*b*c

ans =

16

´
Cap´
Bo
rra
Figura 2.4: Ayuda on line.

6
do
El comando who sirve para conocer los nombres de las variables declaradas, mientras
que con whos obtenemos una informaci´n m´s precisa:
o a

>> who

Your variables are:

a b c

>> whos a
r
Name Size Bytes Class

a 1x1 8 double array

Grand total is 1 element using 8 bytes

Para borrar una variable se utiliza la instrucci´n clear, por ejemplo,
o

17

2.3 Variables ´
LECCION I

>> a=4;
>> whos a


a 1x1 8 double array
Bo

>> clear a
>> whos a
>>
borra la variable (es decir, whos no devuelve nada). Con la orden
>> clear all
se borran todas las variables declaradas hasta el momento.
rra
Nota. En Matlab es correcto declaraciones de este tipo
>> sin=1;
>> sin+1

ans=

2
De esta forma sin pasa a ser una variable que sobrescribe el valor original que ten´ como
ıa
funciń seno. Para recuperar el valor original basta ejecutar
o
>> clear sin
do
Almacenamiento de variables en ficheros
Matlab ofrece la posibilidad de grabar las variables que deseemos en un fichero. De esta
forma, podemos recuperarlas m´s adelante, ya sea en la misma sesiń o en otra diferente3 .
a o
Por ejemplo
>> a=4+i;% numero complejo
>> b1=cos(2);
>> b2=sin(2);
>> save datos a b1 b2
r
graba dentro del directorio de trabajo, en un fichero de nombre datos.mat, las variables
indicadas. Para recuperar, basta ejecutar
>> load datos
3
Se entiende por sesiń el tiempo que transcurre entre que se abre y se cierra Matlab. Al cerrar el
o
programa, todas las variables locales se pierden.

18

´
Cap´

2.4. Ficheros script y funciones
La forma m´s eficiente de empaquetar series de instrucciones simples y mecńicas es
a a
utilizando ficheros script. Tareas m´s elaboradas, con, por ejemplo, variables de entrada
a
y salida, requieren del uso de funciones.
Bo
2.4.1. Ficheros script
Un fichero script es un simple documento de texto que contiene una sucesiń de co-
o
mandos de Matlab. Esencialmente es equivalente a teclear estas instrucciones directamente
en la ventana de comandos.
Describiremos el manejo de este tipo de ficheros mediante un sencillo ejemplo. Comen-
zamos creando un fichero tecleando en modo comando la orden4
>> edit prueba
Se despliega as´ en una ventana aparte el editor de Matlab con el fichero prueba.m (“.m”es
ı
la extensiń estńdar de Matlab). Es importante saber cu´l es el directorio de trabajo5 ,
o a a
pues es donde se guardar´ por defecto el fichero.
a
rra
Tecleamos ahora en el editor
a=1+i; b=1-i;
disp(’a*b=’)
disp(a*b)
disp(’a/b=’)
disp(a/b)
disp(’sqrt(a)=’)
disp(sqrt(a))
El comando disp (de display) muestra vectores por pantalla de forma compacta. Dado que
para Matlab un cadena de caracteres es simplemente un vector de carćteres, se consigue
a
con ello mostrar por pantalla mensajes de forma concisa.
Una vez que el documento est´ grabado, para ejecutar las ´rdenes que contiene basta
a o
do
teclear el nombre del fichero en la ventana de comandos:
>> prueba
Se puede modificar las veces que se precise las variables a y b en el fichero script sin tener
que teclear de nuevo todas las instrucciones.

2.4.2. Funciones
En principio existen dos tipos de funciones: las funciones inline, que se insertan en
la l´
ınea de comandos y las que se escriben en un documento de texto externo. Esta ultima
´
r
forma, que es la evoluciń natural de los ficheros script, es m´s flexible y es en la que nos
o a
centraremos a continuaciń. Dejaremos pendiente para la Lecciń III la descripciń de las
o o o
funciones inline.
Como antes, para crear un fichero que contenga a una funciń se puede teclear:
o
4
Tambiń es posible crear este fichero a golpe de ratń.
e o
5
Por defecto es C:MATLAB6p5work.

19

2.4 Ficheros script y funciones ´
LECCION I

>> edit mifuncion

En el editor puedes insertar este simple ejemplo:

01 % MIFUNCION
02 %
Bo
03 % Y=MIFUNCION(X) devuelve
04 %
05 % Y=X^2-COS(X)
06 %
07 function y=mifuncion(x)
08
09 y=x^2-cos(x);
10
11 return

La funciń se declara con function, la variable de entrada es x y se declara como variable
o
de salida y. Se termina la ejecuciń de la funciń cuando se ejecuta un return o bien se
o o
llega al final de la funciń6 .
o
rra
Ahora, para calcular el valor de π 2 − cos(π) podemos ejecutar la orden:

>> mifuncion(pi)

ans =

10.8696

Nota. Los n´meros correlativos situados a la izquierda no forman parte del c´digo
u o
de la funciń. Han sido insertados con el fin de numerar las l´
o ıneas y as´ facilitar los
ı
comentarios que podamos hacer sobre el programa.
Una funciń puede no tener salidas, por ejemplo,
o
do
01 % INFORMACION
02 %
03 % INFORMACION devuelve informacion sobre
04 % la precision de la maquina
05 %
06 function informacion
07
08 disp(’precision de la maquina’)
09 disp(eps)
r
10 disp (’mayor numero real’)
11 disp(realmax)
12 disp (’menor numero real’)
13 disp(realmin)
14 return
6
En este sentido, el return del ejemplo anterior es superfluo.

20

´
Cap´

o bien devolver m´ltiples salidas:
u
01 % MIFUNCION2
02 %
03 % [Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve
04 %
Bo
05 % Y1=X1+X2+X3;
06 % Y2=X1-X2+X3;
07 %
08 function [y1,y2]= mifuncion2(x1,x2,x3)
09
10 y1=x1+x2+x3;
11 y2=x1-x2+x3;
12
13 return
Observa c´mo se recogen los resultados
o
>> [z1,z2]=mifuncion2(1,2,3);
rra
>> z1

ans=

6

>> z2

ans=

2

>> z=mifuncion2(1,2,3); % Ahora solo devuelve el primero
do
ans=

6
La cabecera que hemos introducido en el pre´mbulo de las funciones, es decir las l´
a ıneas
anteriores a la declaraciń de la funciń y precedidas con “%”, constituyen la ayuda de la
o o
funciń:
o
>> help mifuncion2
r
MIFUNCION2

[Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve

Y1=X1+X2+X3;
Y2=X1-X2+X3;

21

2.5 Vectores y matrices ´
LECCION I

Aunque muy recomendables7 , su inclusiń en una funciń es opcional. La ayuda puede
o o
estar antes o despu´s de la declaraciń de la funciń. En cualquiera de los dos casos,
e o o
Matlab despliega como ayuda todas las l´ıneas que esten precedidas con % hasta que se
encuentra con la primera l´
ınea no comentada.
Bo
Nota. Para ser consecuentes, lo correcto es denominar de igual modo a la funciń y o
al archivo que la contiene. Sin embargo esto no es obligatorio, es decir, se pueden dar
nombres distintos, pero en este caso Matlab da preferencia al nombre del archivo.
Aunque Matlab distingue entre may´sculas y min´sculas en sus comandos, esto no es
u u
extensible para funciones programadas en m-files, al menos en Windows. Es decir, para
ejecutar una funciń en un archivo, digamos, operaciones, se puede utilizar OPERACIONES,
o
Operaciones y cualquier combinaciń con may´sculas y min´sculas. Esto es debido a que
o u u
el sistema de archivos de Windows tampoco hace esa distinciń8 . Versiones m´s avanzadas
o a
de Matlab, 7.0 en adelante, muestran sin embargo un aviso si no existe una concordancia
exacta min´sculas-may´sculas entre el nombre del fichero y el comando utilizado para
u u
llamarlo.
rra
Todas las variables se env´ por valor, no por referencia. Es decir, si una funciń
ıan o
modifica una variable de entrada, esta modificaciń se pierde cuando finalice su ejecuciń,
o o
recuperando el valor original.
Por ultimo, en un fichero se pueden incluir varias funciones. En este caso s´lo la primera
´ o
funciń es accesible desde el exterior (l´
o ınea de comandos, otras funciones,...) mientras que
el resto de funciones presentes en ese fichero son internas, es decir, utilizables unicamente
´
por las funciones presentes en el archivo. Esto es importante a la hora de realizar una
programaciń modular. Si un conjunto de funciones son s´lo utilizadas por una funciń
o o o
principal, se pueden insertar en el mismo fichero que ´sta. Evitamos as´ llenar la carpeta
e ı
de trabajo, o de nuestro proyecto, con ficheros y m´s ficheros.
a

2.5. Vectores y matrices
do
Dado que principalmente trabajaremos s´lo con arrays de una y dos dimensiones
o
hablaremos en lo que sigue de los objetos matem´ticos correspondientes: vectores y ma-
a
trices. Todo lo que sigue se puede adaptar a arrays con m´s dimensiones, aunque por
a
simplificar, nos centraremos ahora en el manejo de vectores y matrices y dejaremos pen-
diente para la Lecciń IV el uso de arrays multidimensionales (tensores).
o

2.5.1. Definiciń de matrices y vectores
o
Un vector o una matriz se puede definir dando sus elementos entre corchetes y sepa-
r
rando filas mediante “;”. Por ejemplo, las instrucciones
7
No hay que subestimar nunca la capacidad de olvido de uno mismo: el c´digo claro y legible de hoy
o
es ilegible semanas despu´s. Las ayudas facilitan la ediciń de los programas no s´lo para un usuario
e o o
externo sino para el propio programador.
8
Es decir, si existe un fichero llamado operaciones.m no es posible crear otro con nombre
Operaciones.m

22

´
Cap´

>> a=[1 3 -1; 2 3 4; 4 5 1];
>> a2=[1 2 4; -1 0 1; 2 1 5];
>> b=[1; 3; 1]; b2=[-1 1 -2 2];
definen las matrices y vectores
     
1 3 −1 1 2 4 1
Bo
a=  2 3 4  , a2 =  −1 0 1  , b =  3 , b2 = −1 1 −2 2 .
4 5 1 2 1 5 1
Matlab distingue entre vectores fila y columna por lo que habr´ que tenerlo en cuenta por
a
ejemplo cuando se desee hacer operaciones como sumas o productos.
Desde una vertiente prćtica, si se va a trabajar con una matriz grande, por ejemplo
a
de tamaõ 20 × 10, y sus valores se van a introducir m´s adelante, se puede empezar con
n a
>> a=zeros(20,10);
A partir de este instante se pueden insertar los elementos, accediendo a cada posiciń
o
mediante parńtesis
e
>> a(4,5)=9; a(2,1)=6; a(1,1)=-3.4;
rra
>> a(4,5)

ans=

9
En cualquier caso, si tratamos de introducir un valor en una posiciń no definida de la
o
matriz, Matlab ir´ adaptando el tamaõ segń juzgue apropiado9 , y no dar´ ning´ n
a n u a u
error. El siguiente ejemplo ilustra esta caracter´
ıstica
>> clear c % c esta borrado
>> c(1,2)=4 % c es ahora 1 x 2

c =
do
0 4

>> c(3,3)=2 % c pasa a ser 3 x 3

c =

0 4 0
0 0 0
0 0 2
r
Esta habilidad, aunque permite una programaciń muy flexible y descuidada, debe uti-
o
lizarse con mesura dado que puede provocar errores de ejecuciń muy dif´
o ıciles de detectar.
9
Ello obliga a que haya que redimensionar constantemente la memoria otorgada a la variable a. Esto
supone un costo adicional, inapreciable con ejemplos pequeõs, pero importante para grandes cantidades
n
de memoria. Por tanto es mejor declarar primero las dimensiones de la matriz e informar as´ a Matlab de
ı
cuńta memoria tiene que reservar.
a

23

LECCION I

2.5.2. Operaciones
Todas las operaciones habituales entre matrices, tales como la suma, producto, poten-
ciaciń, c´lculo de determinantes, inversas..., estń ya implementadas en Matlab. No hay
o a a
por tanto necesidad de programarse estas tareas. Por ejemplo, si a y a2 son matrices de
tamaõs compatibles, las instrucciones
n
Bo
a*a2 a^2 a+a2
devuelven el producto matricial de a y a2, el cuadrado de a (es decir, a*a) y la suma de
a y a2.
Es importante observar la diferencia con estas l´ıneas
a.*a2 a.^2
En el primer caso, se devuelve la matriz resultado de multiplicar elemento a elemento
a y a2 (por tanto deben tener el mismo tamaõ) y en el segundo, una matriz cuyas
n
entradas son el cuadrado de las de a. Esto es una constante en Matlab: el signo “.”
indica que la operaciń (un producto, una potencia o una divisiń) se hace elemento a
o o
elemento, mientras que en caso contrario se calcula la operaciń matem´tica, en este
o a
caso el producto matricial.
rra
Ejercicio 2.4 Introduce en a y a2 dos matrices de igual tamaõ. Observa el resultado de
n
ejecutar
a+a2 a*a2 a.*a2
Define un vector b fila o columna y ejecuta
b.^3 b’
Comprueba si estas operaciones estń bien definidas
a
a*2 a+1
¿Qu´ hacen exactamente? ¿Por qu´ crees que no es necesario “.” en la primera instrucciń?.
e e o
do
Otros comandos importantes son
det inv / /. .
Los dos primeros son el determinante y la inversa de una matriz cuadrada. Los operadores
“/” y “” (slash y backslash) son ciertamente especiales:
a/a2 es equivalente a a*inv(a2), aa2 es equivalente a inv(a)*a2
En cuanto a su relaciń con ./ y . es la misma que ha surgido antes, esto es, aplicado
o
sobre matrices procede a realizar los cocientes elemento a elemento. Requiere por tanto
que ambas matrices tengan el mismo tamaõ. n
r
Ejercicio 2.5 Ejecuta las instrucciones
>> 3/5
>> 35
y observa el resultado. ¿Tiene sentido desde el punto de vista anterior?.
Ejercicio 2.6 Dado b una matriz, ¿qu´ hace 1/b?.
e

24

´
Cap´

Nota. El operador backslash “” se utiliza profusamente para resolver sistemas de ecua-
ciones lineales, bajo la idea de que

Ax = b ⇔ x = A−1 b.

As´ si b es n × 1 y a es n × n,
ı,
Bo
>> x=ab;

devuelve en x la soluciń del sistema correspondiente.
o
El funcionamiento real de dista mucho de ser tan simple. Esto es, no calcula la
inversa de a para multiplicarla por b, sino que resuelve el sistema de ecuaciones por
alguna variante del m´todo de Gauss. Se puede utilizar helpwin mldivide (o helpwin
e
mrdivide para /) para leer en detalle c´mo procede este comando.
o
Las funciones propias de Matlab trabajan de forma natural sobre vectores y matrices.
El resultado final es equivalente a aplicar el comando elemento a elemento. Por ejemplo,

>> a=[0 pi/3; -pi/3 0];
>> cos(a)
rra
ans =

1.0000 0.5000
0.5000 1.0000

es equivalente a

>> [cos(0) cos(pi/3); cos(-pi/3) cos(0)]

ans =

1.0000 0.5000
do
0.5000 1.0000

2.5.3. Detalles adicionales
C´mo obtener las dimensiones de vectores y matrices
o
Los comandos de Matlab size y length nos proporcionan esta informaciń:
o

>> a3=[1 2; 3 6; 5 -1];
>> size(a3)
r
ans =

3 2

>> length(a3)

25

LECCION I

ans =

3

>> a3=a3’; % cambiamos la forma de a3
>> size(a3)
Bo
ans =

2 3

>> [m,n]=size(a3); % m son las filas y n las columnas
>> m

ans =

2
rra
>> n

ans =

3

>> length(a3)

ans =

3
do
El comando size devuelve un vector de tamaõ 2×1 con el n´mero de filas y columnas
n u
del vector/matriz. El resultado es diferente segń se aplique a vectores fila o columna. La
u
orden length devuelve la longitud de una matriz o vector. Su significado en el caso de un
vector est´ clara mientras que para matrices devuelve el m´ximo entre el n´mero de filas
a a u
y el n´mero de columnas.
u

Matrices especiales
Matlab dispone de una serie de comandos que permiten construir matrices con una
estructura particular. Cabe seãlar las siguientes ´rdenes:
n o
r
eye(n) es la matriz identidad de orden n;

ones(m,n) es una matriz m x n de 1s;

zeros(m,n) es una matriz m x n de 0s, esto es, igual que ones pero con ceros;

y algunas m´s ex´ticas como hilb, invhilb, pascal, magic.
a o

26

´
Cap´

Existen dos formas de introducir vectores cuyos valores siguen una distribuciń regular
o

a:b:c construye el vector de valores [a a+b a+2*b .... a+k*b] donde a+k*b es
el mayor n´mero natural que cumple a+k*b≤ c. La instrucciń a:c toma b = 1.
u o

linspace(a,b,n) devuelve una particiń uniforme de [a, b] en n puntos.
o
Bo
Por ejemplo,

>> 0:10

ans=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>> 10:-1:0

ans=
rra
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

>> 0.1:0.3:1.5

ans =

0.1000 0.4000 0.7000 1.0000 1.3000

>> linspace(0,2,4)

ans =
do
0 0.6667 1.3333 2.0000

>> linspace(2,0,4)

ans =

2.0000 1.3333 0.6667 0

Nota. Cuando Matlab tiene que devolver un vector y no se le especifica el formato,
devuelve una fila.
r
2.5.4. Acceso a partes de matrices
El manejo de partes de vectores y matrices, as´ como la eliminaciń de filas o columnas,
ı o
cambios de tamaõ, etc, se hace v´ instrucciones muy simples en Matlab. Aunque pueda
n ıa
resultar algo extraõ al principio, un poco de prćtica es suficiente para que el usuario se
n a

27

LECCION I

adapte a la nueva sintaxis, tan diferentes a la de un lenguaje tradicional, y pueda utilizarlo
en sus c´digos.
o
Comencemos viendo un ejemplo:

>> a=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12];
>> a(2,3) % elemento (2,3) de a
Bo
ans =

6

>>a(2,:) % fila 2 de a

ans =

4 5 6

>>a(:,1) % columna 1
rra
ans =

1
4
7
10

>>a(:,2)=0 % columna 2 es ahora 0

a =
do
1 0 3
4 0 6
7 0 9
10 0 12

Podemos acceder a partes de una ﬁla o columna:

>> a(1,2:3) % vector [a(1,2) a(1,3)]

ans =
r
0 3

>> a(2:4,3) % vector columna [a(2,3); a(3,3); a(4,3)]

ans =

28

´
Cap´

6
9
12

>> a(1:2,2:3) % matriz [a(1,2) a(1,3); a(2,2) a(2,3)]
Bo
ans =

0 3
0 6

En general, si p es un vector de n´meros enteros, v(p) devuelve [v(p(1)), v(p(2)),
u
..., v(p(n))]. Por ejemplo,

>> v=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6];
>> v(4:-1:2)

ans=
rra
0.4000 0.300 0.2000

>> p=[5 1 2 3 3 3]; % no importa que esten repetidos
>> v(p)

ans=

0.5000 0.1000 0.2000 0.3000 0.3000 0.3000

Ejercicio 2.7 Ejecuta las siguientes l´
ıneas

>> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12];
do
>> p=[1 3 2]; q=[1 2 1];
>> a(p,q)

¿Qu´ hacen exactamente?.
e

Igualmente es fćil aãdir filas y columnas a una matriz:
a n

>> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8]

a =
r
1 2 3 4
5 6 7 8

>> a=[a; [1 -1 2 4]] % adosamos una fila nueva

a =

29

2.6 Bucles y estructuras de decisiń
o ´
LECCION I

1 2 3 4
5 6 7 8
1 -1 2 4

>> a=[a [0; 2; 4] ] % una nueva columna
Bo
a =

1 2 3 4 0
5 6 7 8 2
1 -1 2 4 4

Si se desea eliminar una fila o columna se puede utilizar el s´
ımbolo vac´ []. Por
ıo
ejemplo,

>> a(:,2)=[] % suprime la segunda columna
rra
a =

1 3 4 0
5 7 8 2
1 2 4 4

Ejercicio 2.8 Programa una funciń cuyas entradas sean una matriz cuadrada y un t´rmino
o e
independiente compatible y que devuelva la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales.
Esto es, una matriz con la matriz original y una ultima columna con el t´rmino independiente.
´ e

2.6. Bucles y estructuras de decisiń
o
do
Claves en cualquier lenguaje de programaciń, Matlab dispone de varias de ellas entre
o
las que sobresalen for e if, un estńdar en el mundo de la inform´tica.
a a

2.6.1. Bucles: el comando for
En Matlab, la estructura

for j=inicio:paso:final
.....
end
r
implementa un bucle donde las l´
ıneas de c´digo entre for y end son ejecutadas repetida-
o
mente con j tomando los valores del vector inicio:paso:final (váse la Secciń 2.5.3)
e o
Por ejemplo,

>> for j=1:3; disp(j); end
1

30

´
Cap´

2

3

>> for j=6:-2:2; disp(j-2); end
Bo
4

2

0

En general, si v es un vector,
for j=v
.....
end
rra
procede a ejecutar las l´
ıneas internas con j tomando los valores del vector v. Por ejemplo,
>> v=[2 5 3 1];for j=v; disp(j); end
2

5

3

1
Asociados a for, y en general a cualquier bucle, encontramos los comandos break y
continue. El primero fuerza la salida inmediata del bucle mientras que el segundo reini-
do
cializa la iteraciń con el siguiente valor del ´
o ındice.

Ejercicio 2.9 La matriz de Hilbert de orden n es
1 1 ··· ··· 1
 
2 n
 1 1 ··· ··· 1 
 2 3 n+1 
A= . .
 . .. ... ... . 
 . .
.


1 1 1
n 2n−2 2n−1

Construye la matriz anterior mediante un fichero script y el uso de dos “for” anidados.
r
2.6.2. Operadores l´gicos y estructuras de decisiń
o o
Los operadores l´gicos m´s b´sicos en Matlab son
o a a
== igualdad, ~= desigualdad, > mayor, < menor,
>= mayor o igual, <= menor o igual, & “y” l´gico,
o | “o” l´gico
o

31

o ´
LECCION I

El resultado de una comparaci´n es 1 si es verdadero, 0 si es falso:
o
>> a=1; b=2; c=3;
>> a>0

ans =
Bo
1

>> a>0 & b<3

ans =

1

>> a<0 | b<1

ans =
rra
0

>> test= (a~=0)

ans =

1

>> whos test

do
test 1x1 1 logical array

Estos “0” y “1” no son valores num´ricos sino l´gicos como se comprueba con la ultima
e o ´
instrucci´n10 . Cuando se aplica a un vector, devuelve un vector de verdadero/falso de la
o
misma longitud que el vector original:
>> b=[1 2 -3 -1 2 -4]; p=(b>=1) % entradas de b>=1

p=
r
1 1 0 0 1 0
En el ejemplo anterior, p(i)==1 si b(i)≥1 y cero en caso contrario. Ahora, podemos
aislar los elementos mayores o iguales que 1 simplemente con
10
Ocupan un unico byte mientras que un n´mero real utiliza ocho bytes.
´ u

32

´
Cap´

>> b(p)

1 2 2

Desde este punto de vista es correcta y recomendable utilizar la instrucciń
o

>> b(b>=1) % elementos de b mayores o iguales que 1
Bo
1 2 2

que adem´s resulta muy natural (y fćil de entender).
a a

Nota. El comando logical puede utilizarse para construir vectores y estructuras l´gicas
o
a partir de vectores de n´meros enteros:
u

>> b=[2 4 6 8 10]; p=[1 0 0 1 1];
>> b(p) % Dara error
rra
??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals.

>> p=logical(p);
>> b(p)

ans =

2 8 10

La estructura de decisiń, como en muchos otros lenguajes, es if. Su sintaxis es la
o
siguiente:
do
if simple: si la operaciń l´gica efectuada es verdadera, se ejecutan las l´
o o ıneas de
c´digo comprendidas entre if y end
o

if (x<-1 | x>1)
disp(’valor absoluto de x mayor que 1’)
end

if compuesto: como el anterior, pero un nuevo conjunto de l´ ıneas, comprendidas
entre else y end son ejecutadas en caso de que la operaciń l´gica efectuada en el
o o
if sea falsa:
r
if (x<0 & x>-10)
f=x^2; % x entre -10 y 0
else
f=sin(x^2); % x menor que -10 o mayor que 0
end

33

o ´
LECCION I

if de decisiń m´ltiple:
o u

if (x<0)
f=x.^2;
disp(’x menor que cero’)
elseif (x<sqrt(pi))
Bo
f=sin(x^2);
disp(’x en [0,sqrt(pi))’)
elseif (x<2*sqrt(pi))
f=(x-sqrt(pi))^2;
disp(’x en [sqrt(pi),2*sqrt(pi))’)
else
f=pi*cos(x^2);
disp(’x en [2*pi,infinito)’)
end

Esta ultima instrucciń es equivalente a anidar diferentes estructuras if, de la sigu-
´ o
iente forma
rra
if (x<0)
f=x.^2;
disp(’x menor que cero’)
else
if (x<sqrt(pi))
f=sin(x^2);
disp(’x en [0,sqrt(pi))’)
else
if (x<2*sqrt(pi))
f=(x-sqrt(pi))^2;
disp(’x en [sqrt(pi),2*sqrt(pi))’)
do
else
f=pi*cos(x.^2);
disp(’x en [2*pi,infinito)’)
end
end
end

Obviamente, la primera forma es m´s clara y concisa.
a

Nota. Con la instrucciń switch se puede implementar una estructura de decisiń que
o o
r
es esencialmente equivalente a un if anidado.
Est´ disponible tambiń el bucle while que procede a ejecutar un bucle (que se cierra
a e
tambiń con un end) mientras una condiciń sea verdadera. Por tanto, es algo m´s flexible
e o a
que un for.
En general todos los bucles y estructuras que requieran cerrarse, lo hacen con end. El
uso de break y continue es exactamente el mismo.

34

´
Cap´

Por ultimo, y volviendo a end, este comando tiene una curiosa funcionalidad extra:
´
sirve para referenciar el ultimo elemento de una fila o columna de una matriz. Por ejemplo
´
b(4:end) selecciona todos los elementos de b desde la posiciń cuarta en adelante.
o

Ejercicio 2.10 ¿Qu´ hace el siguiente fragmento de c´digo?
e o
Bo
01 r=[]; aux=0;
02 while aux<0.8
03 aux=rand(1);
04 r=[r aux];
05 end
06 r(end)=[];

Ejercicio 2.11 Con la ayuda de Matlab, programa un par de ejemplos donde utilices switch
y while.

Ejercicio 2.12 (Un poco de todo) Implementa una funciń de nombre findnonzeros
o
que dado un vector de entrada devuelva el n´mero de elementos no nulos y un vector que
u
contenga dichos elementos.
rra
Soluciń. Una implementaciń posible es la siguiente
o o
01 % FINDNONZEROS
02 %
03 % [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve
04 %
05 % N el numero de elementos no nulos en el vector X
06 % P un vector con los elementos no nulos de X
07 %
08 function [n,p]=findnonzeros(x)
09
do
10 p=[]; % p es vacio
11 for i=1:length(x)
12 if (x(i)~=0) % si x(i) no es cero
13 p=[p x(i)]; % apuntamos i al vector p
14 end
15 end
16 n=length(p);
17 return
Observa como se recogen los resultados de la funciń, n y p,
o
r
>> a=[0.1 0. 0.3 0.1 0.6 0 0.1 0.2 0.4]; % vector!!
>> [n,p]=findnonzeros(a)

n =

7

35

o ´
LECCION I

p =

Columns 1 through 5

0.1000 0.3000 0.1000 0.6000 0.1000
Bo
Columns 6 through 7

0.2000 0.4000

Otra posible implementaciń (mucho m´s elaborada y m´s propia de Matlab) es la sigu-
o a a
iente

01 % FINDNONZEROS
02 %
03 % [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve
04 %
rra
05 % N el numero de elementos no nulos en el vector X
06 % P un vector con los elementos no nulos de X
07 %
08 function [n,p]=findnonzeros(x)
09
10 p=x(x~=0);
11 n=length(p);
12 return

Haz un esfuerzo en entender bien los comandos anteriores. Tras la suficiente prćtica,
a
esta versiń se ve m´s clara y natural que la anterior. Observa c´mo se toman los elementos
o a o
no nulos del vector x (l´ınea 10).
do
r
36

Cap´
ıtulo 3
Bo
M´todos directos para sistemas de
e
ecuaciones lineales

3.1. M´todo de Gauss
e
El m´todo de Gauss, tambiń conocido como eliminaciń gaussiana, es el algoritmo
e e o
rra
m´s sencillo para la resoluciń de sistemas de ecuaciones lineales. Consta de dos partes
a o
bien diferenciadas:

i) Transformaciń del sistema lineal en otro equivalente, es decir, con la misma solu-
o
ciń, donde la matriz es triangular superior.
o

ii) Resoluciń del sistema triangular por sustituciń regresiva.
o o

El paso i) se acomete v´ dos operaciones elementales:
ıa

(a) Sumar a una ecuaciń otra multiplicada por un n´mero.
o u

(b) Intercambiar dos ecuaciones.
do
Si s´lo utilizamos la operaciń (a) hablaremos del m´todo de Gauss sin pivotaje, y
o o e
con pivotaje parcial si tambiń realizamos las operaciones (b)1 cuando la elecciń de
e o
las filas que se conmutan sea una muy particular.
Representando el sistema de ecuaciones en la forma matricial, todo lo anterior se
reescribe en t´rminos de operaciones matriciales (sumar a una fila otra fila e intercambiar
e
2
filas ). En lo que sigue expresaremos el sistema en la forma

Ax = b, A ∈ Rn×n , x, b ∈ Rn ,

donde A es la matriz de coeficientes, b el t´rmino independiente y x el vector de soluciones.
e
r
Los elementos de A se denotarń por aij , y con bi los de b.
a
1
Existe una tercera operaciń (c), que consiste simplemente en multiplicar filas por constantes no
o
nulas. Esta operaciń recibe el nombre de reescalado (de filas) y en problemas prćticos se suele utilizar
o a
con el fin de mejorar la estabilidad del sistema frente a errores de redondeo.
2
Otra posibilidad es intercambiar columnas, que se corresponde con reordenar las inc´gnitas). En este
o
caso se habla de pivotaje total.

37

3.1 M´todo de Gauss
e ´
LECCION I

3.1.1. M´todo de Gauss sin pivotaje
e
El pseudoc´digo se expone a continuaciń
o o

M´todo de Gauss
e
Bo
01 for i = 1 : n − 1
02 for k = i + 1 : n
03 ki = aki /aii
04 for j = i + 1 : n
05 akj = akj − ki aij
06 end
07 bk = bk − ki bi
08 end
09 end
10
11 xn = bn /ann
12 for i = n − 1 : −1 : 1
rra
n
13 x i = bi − aij xj /aii
j=i+1
15 end

Las l´
ıneas 01--09 se corresponden con la reducciń a la forma triangular de la matriz
o
y las l´
ıneas 11--15 con la resoluciń del sistema triangular resultante. El elemento aii se
o
denomina pivote y debe ser distinto de cero para que el algoritmo funcione, dado que en
caso contrario la operaciń en 03 est´ mal definida.
o a
El algoritmo efectá O(n /3) productos3 y otras tantas sumas para la reducciń a la
u 3
o
forma triangular y O(n2 /2) sumas y productos para la resoluciń del sistema triangular.
o
do
Por tanto el costo se concentra en la primera fase del algoritmo y duplicar la dimensińo
del sistema exige multiplicar por ocho el tiempo de c´lculo (y por cuatro el costo en
a
memoria).

Ejercicio 3.1 Implementa una funciń cuyas entradas sean la matriz de coeficientes y el
o
t´rmino independiente y devuelva la soluciń del sistema por el m´todo de Gauss.
e o e

Soluciń. El siguiente programa es una soluciń del ejercicio
o o

01 % GAUSS
r
02 %
03 %
04 % X=GAUSS(A,B) Solucion del sistema Ax=b con el metodo
05 % de Gauss sin pivotaje
3
es decir, el n´mero de multiplicaciones es n3 /3 + αn2 + βn + γ, donde α, β y γ son constantes
u
adecuadas. Con n creciente, el primer t´rmino es el dominante.
e

38

´
LECCION I ıtulo 3. M´todos directos para sistemas de ecuaciones lineales
Cap´ e

06
07 function x = gauss(a,b)
08 n=length(a);
09
10 % transformacion del sistema en uno triangular
11 for i=1:n-1
Bo
12 for k=i+1:n
13 l=a(k,i)/a(i,i);
14 for j=i+1:n
15 a(k,j)=a(k,j)-l*a(i,j);
16 end
17 b(k)=b(k)-l*b(i);
18 end
19 end
20
21 % resolucion del sistema triangular
22 x=zeros(n,1); % tambien vale x=b*0;
23 x(n)=b(n)/a(n,n);
rra
24 for i=n-1:-1:1
25 s=0;
26 for j=i+1:n
27 s=s+a(i,j)*x(j); % sumatorio
28 end
29 x(i)=(b(i)-s)/a(i,i);
30 end
31 return

El c´digo anterior es correcto y ciertamente recuerda a la sintaxis que usar´
o ıamos en una
do
programaciń en un lenguaje tradicional como C o Pascal. Sin embargo desde el punto de
o
vista de Matlab es claramente redundante y muy mejorable. Los siguientes ejercicios
ahondan en estos aspectos por lo que resolverlos es muy recomendable.

Ejercicio 3.2 Reescribe el programa utilizando instrucciones y sintaxis propia de Matlab.

Soluciń. Las filas 14-16 del programa (04--06 del algoritmo) se pueden implementar
o
como una diferencia de dos vectores, a(k,i+1:n) y a(i,i+1:n), con cualquiera de estas
dos instrucciones
r
a(k,i+1:n) =a(k,i+1:n) - l*a(i,i+1:n)
a(k,:) =a(k,:) - m*a(i,:)

La segunda es m´s c´moda de utilizar pero multiplica por dos el n´mero de operaciones
a o u
4
en la ejecuciń del m´todo .
o e
4
¿Por qu´?.
e

39

3.1 M´todo de Gauss
e ´
LECCION I

De forma an´loga, el sumatorio de las l´
a ıneas 25-29 del c´digo (13 del algoritmo del
o
m´todo de Gauss) es simplemente el producto escalar, y de hecho tambiń matricial, de
e e
dos vectores, el vector fila a(i,i+1:n) y el vector columna x(i+1:n). Esto es el c´digo
o
de las l´
ıneas 25--29 se puede sustituir por
x(i)=(b(i)- a(i,i+1:n)*x(i+1:n))/a(i,i);
Bo
Ejercicio 3.3 (Avanzado) Podemos avanzar ań m´s hacia la consecuciń de algoritmos
u a o
matriciales. Consideremos la particiń de A
o
a11 c1 b1
A= , b=
d1 A11 b1
donde c1 , d1 son vectores (n − 1) × 1 y A11 una matriz (n − 1) × (n − 1). Entonces, el primer
paso del m´todo de Gauss se puede escribir
e
a11 c1 b1
, b=
0 A11 − (a11 )−1 c1 d1 b1 − a−1 b1 d1 .
11
rra
A(1) b(1)
El segundo paso del m´todo de Gauss se aplica ahora sobre la matriz A(1) (de tamaõ (n−1)×
e n
(n − 1)) y el vector b(1) (de tamaõ (n − 1) × 1) y as´ se procede sucesivamente. Implementa
n ı
esta resoluciń alternativa del m´todo de Gauss.
o e
(Ayuda. Observa estas tres instrucciones
l=a(i+1:n,i)/a(i,i) a(i+1:n,i+1:n)-l*a(i,i+1:n) b(i+1:n)-l*b(i)
¿Qu´ hacen?)
e

Nota sobre la vectorizaciń
o
La nociń de vectorizaciń, trabajar con vectores y matrices en lugar de elemento a ele-
o o
do
mento, no es nueva ni en el An´lisis Num´rico ni en la computaciń a alto nivel. El objetivo
a e o
que se persigue es que las todas las operaciones se reduzcan a operaciones matem´ticasa
sencillas, como productos escalares, productos matriciales, b´squeda de m´ximos y m´
u a ıni-
mos en un vector/matriz, suma de vectores y matrices... cuya implementaciń se opti-
o
miza tomando en consideraciń el entorno en el que se trabaja, tanto en software como
o
en hardware. Este conjunto de instrucciones se conocen como BLAS (basic linear algebra
subprograms). Se distinguen tres niveles. El nivel uno est´ formada por operaciones entre
a
vectores, tales como la suma o el producto escalar de dos vectores, de O(n) operaciones, el
nivel dos se ocupa de operaciones matriz-vector con O(n2 ) operaciones y el nivel tres son
operaciones entre matrices, O(n3 ) operaciones. En m´quinas con m´ltiples procesadores
a u
r
estos subprogramas deben adaptarse a dividir la tarea entre los procesadores disponibles
de forma ´ptima y a buscar algoritmos que soporten este tipo de trabajo5 .
o
5
Se deben buscar en primer lugar algoritmos que permitan dividir la tarea principal en subtareas
equiparables, y de forma que finalicen en tiempos similares puesto que basta con que una de las subtareas
se retrase respecto a las dem´s para que el conjunto de procesadores deba parar a esperar al rezagado
a
con la consiguiente p´rdida de tiempo (y dinero).
e

40

´
LECCION I ıtulo 3. M´todos directos para sistemas de ecuaciones lineales
Cap´ e

Uno de los detalles m´s sencillos que hay que plantear es la estrategia de almace-
a
namiento de las matrices en memoria. Se puede optar por un almacenamiento por filas,
como hace C,

a11 a12 a13
A= ⇒ a11 → a12 → a13 → a21 → a22 → a23
a21 a22 a23
Bo
donde con la notaciń anterior queremos decir que aij y aij+1 ocupan posiciones consec-
o
utivas en memoria.
Sin embargo Fortran o Matlab proceden por columnas

a11 a12 a13
A= ⇒ a11 → a21 → a12 → a22 → a13 → a23 .
a21 a22 a23

Segń sea el caso se trata de primar algoritmos que accedan a la matriz por filas o por
u
columnas para que el procesador trabaje con posiciones consecutivas de memoria6 . En esta
rra
din´mica, la resoluciń del sistema triangular segń el algoritmo expuesto en el Ejercicio
a o u
3.3 est´ mejor adaptado a la arquitectura de Matlab puesto que todas las operaciones se
a
hacen sobre columnas de la matriz a.

3.1.2. M´todo de Gauss con pivotaje parcial
e

Para evitar que el m´todo de Gauss se colapse, es decir, que encuentre en un paso i
e
que el elemento aii es nulo (l´
ınea 03 del algoritmo), se introduce la nociń de pivotaje. La
o
idea es muy sencilla: en el caso de que en el i–´simo paso el pivote sea nulo, se procede a
e
intercambiar la fila i por una fila k tal que aki = 0 para cierto k > i. Si esto no es posible,
do
el sistema no es compatible determinado, es decir, o no tiene soluciń o tiene infinitas
o
soluciones.
Desde un punto de vista prćtico, el m´todo de Gauss con pivotaje procede a inter-
a e
cambiar siempre filas de forma que en cada paso

|aki | = m´x |a i |,
a
=i,...,n

esto es, el pivote es el mayor posible. Ello dota al sistema de una mayor estabilidad frente
a los errores de redondeo. El algoritmo resultante es el siguiente (denotamos por a ↔ b el
r
intercambio de valores de a y b).

6
Cuando un procesador moderno lee algo en memoria, suele cargar a su memoria internar, la memoria
cach´, posiciones adicionales y consecutivas de memoria bajo la convicciń de que es probable que las
e o
requiera en el siguiente paso.

41

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