Libro matlabweb

Matlab en cinco lecciones de Numérico
V´ıctor Dom´ınguez Báguena Ma Luisa Rapún Banzo
Febrero de 2006
Disponible en
http://www.unavarra.es/personal/victor dominguez/

Borrador
Prefacio
El origen de este libro es una asignatura de libre elección que uno de los autores im-
partió durante los cursos 2004–2005 y 2005–2006 en la Universidad Pública de Navarra.
Nuestra intención original era tratar temas algo avanzados de Cálculo Cient´ıfico y utilizar
Matlab como v´ıa para su aprendizaje. Los alumnos, obviamente, estaban más interesados
en aprender Matlab y ve´ıan el Numérico como forma de probar y ensayar las diferentes
herramientas de Matlab que se iban exponiendo en clase. Desafortunadamente, la forma-
ción en Numérico de nuestros alumnos nos obligó a relajar considerablemente el contenido
matemático del curso y a ser más modestos, desde el punto de vista teórico, en nuestros
objetivos. El resultado final en su vertiente matemática se podr´ıa enmarcar sin problemas
en un curso introductorio de Cálculo Numérico. En cuanto a Matlab, creemos que hemos
tratado todos sus aspectos fundamentales aunque en ocasiones sea de forma superficial.
Nuestro objetivo era conseguir no tanto un conocimiento muy profundo de Matlab como
el de colocar al alumno en una buena posición de arranque para un autoaprendizaje.
El enfoque y los temas tratados son consecuencia de diversos factores entre los que
conviene citar nuestro propio bagaje matemático1
, el uso que hemos tenido que hacer de
Matlab en nuestra carrera investigadora y, como ya hemos mencionado, los conocimientos
de partida que ten´ıan nuestros propios alumnos. Hemos insistido bastante en la manip-
ulación de vectores y matrices y a la programación en forma vectorizada. Ésta es una
de las diferencias más acusadas con los lenguajes de programación tradicionales y una
implementación eficiente en Matlab pasa necesariamente por la vectorización.
Los apuntes están organizados en torno a temas o lecciones, cada cual dividido en dos
partes, la primera de Matlab y la segunda con un tema espec´ıfico de Cálculo Numérico.
En la primera parte se presentan los aspectos instrumentales de Matlab que utilizaremos
en la implementación de los algoritmos de la parte de Numérico. La longitud de cada
parte es variable, y dependiente de la dificultad tratada ya sea en la parte instrumental
(Matlab) o en la parte matemática. De tanto en tanto nos hemos permitido hacer algo de
Matemáticas tratando de presentarlas en la forma más simple posible.
A lo largo de estas páginas el lector podrá encontrar ejercicios, algunos de ellos resuel-
tos, que tratan de ahondar en puntos espec´ıficos, matemáticos e informáticos. Finalmente
se han introducido algunas notas históricas que describen brevemente la evolución que han
tenido las ideas a lo largo del tiempo. Con ello tratamos de combatir la idea gaussiana,
demasiado extendida, de las Matemáticas como un mundo estático, monol´ıtico y perfecto
donde la teor´ıa se presenta cerrada y completa. Las Matemáticas en general y el Cálculo
Cient´ıfico en particular recorren un largo trecho antes de llegar a este estado, durante
el cual brotan ideas constantemente, siempre prometedoras en un primer momento, que
1
modelado por nuestra formación cient´ıfica, común en muchos aspectos.
i

Borrador
evolucionan con los años, con muchas de ellas desechadas finalmente e incluso algunas
rescatadas años después de considerarse como v´ıas muertas.
Hemos adjuntado al final una bibliograf´ıa utilizada en este texto. Nos gustar´ıa resaltar
tres textos sobre los demás. En primer lugar, Numerical Computing with Matlab, de Cleve
Moler, que descubrimos cuando andábamos en la redacción de la Lección II. Su sencillez
y la buena elección de ejemplos ha ejercido una influencia considerable en estas notas.
El segundo libro es ya un clásico entre los que aprendimos Matlab hace algunos años.
Andábamos entonces en la búsqueda de recursos en la web cuando nos encontramos con
unos apuntes muy completos de libre divulgación. Nos referimos al libro de Garc´ıa de
Jalón y sus colaboradores, Aprenda Matlab ?.? como si estuviera en primero. Diferentes
versiones de estos apuntes llevan cubriendo de forma incansable la evolución de Matlab
desde la versión 4.0.
Por último, aunque no es un texto propiamente, la enciclopedia libre on line Wikipedia2
ha sido utilizada profusamente para obtener datos y fuentes utilizadas en la redacción de
este texto. Debemos señalar que estas informaciones han sido debidamente contrastadas.
A pesar de algunos problemas iniciales, es seguro que la influencia de esta enciclopedia
libre crecerá exponencialmente en el futuro.
Finalmente, queremos dejar patente nuestro agradecimiento al Profesor Javier Sayas
que se ofreció muy generosamente a revisar este libro. Sus numerosas y acertadas indica-
ciones y sugerencias han contribuido, y mucho, en la redacción final de este texto.
Pamplona, Febrero de 2006 V´ıctor Dom´ınguez Báguena
Ma
Luisa Rapún Banzo
2
http://www.wikipedia.org
ii

Borrador
A Javier
Amigo y maestro.

Borrador
Cap´ıtulo 1
Introducción
... and the first lesson of all was the basic trust that he
could learn. It is shocking to find how many people do
not believe they can learn, and how many more believe
learning to be difficult.
Dune
Frank Herbert
1.1. ¿Qué es?
Matlab es un entorno de trabajo para el cálculo cient´ıfico. Programado originalmente
por Cleve Moler a finales de los años 70, su finalidad original era proporcionar una forma
sencilla de acceder a las librer´ıas LINPACK y EISPACK donde están implementadas de una
forma altamente eficiente los algoritmos clave del análisis matricial1
. De hecho, Matlab es
una abreviatura de Matrix Laboratory
Su primera implementación se hizo en Fortran que era, y en buena medida aún sigue
siéndolo, el lenguaje estándar en la implementación de métodos numéricos2
. Posterior-
mente se reimplementó en C, que es como se encuentra en la actualidad.
Las aplicaciones de Matlab se fueron extendiendo a otras ramas del cálculo cient´ıfico
y de las ciencias aplicadas en general, dotándole de una gran popularidad en ambientes
cient´ıficos (especialmente en Ingenier´ıa). Dichas extensiones se consiguieron en gran parte
mediante la implementación de toolboxes, librer´ıas escritas en el lenguaje de programación
propio de Matlab y que ampliaban el rango de problemas que pod´ıan resolverse.
Sin miedo a equivocarse, se pueden enunciar las siguientes áreas donde Matlab muestra
un gran potencial:
álgebra lineal numérica;
procesamiento de señales (análisis, compresión de datos,..);
1
por ejemplo, el método de Gauss, el cálculo de las descomposiciones más habituales del álgebra
matricial numérica (LU, LL , QR), métodos iterativos,...
2
Fortran significa Formula translation. Desarrollado por IBM en 1954, es considerado como el primer
lenguaje de alto nivel. Las últimas actualizaciones (Fortran 95 y Fortran 2003) han dado nuevo vigor a
este veterano lenguaje de programación.
1

Borrador
diseño de sistemas de control;
salidas gráficas;
estad´ıstica;
simulación de sistemas dinámicos.
La extensa gama de problemas que cubre hace de Matlab un lenguaje dif´ıcil de entender
y manejar en su completitud. Esto no quiere decir que sea inarbodable: el conocimiento
base que permite empezar a trabajar es muy sencillo. No obstante el elevado número de
comandos que se encuentra a disposición del usuario3
provoca que en ocasiones existan
problemas no sólo para encontrar los comandos adecuados sino también para tener una
idea de qué posibilidades exactamente ofrece Matlab en un problema o tarea en particular.
1.2. ¿Cómo trabaja?
El lenguaje de programación de Matlab es bastante más flexible que el de los lenguajes
tradicionales. No es preciso la declaración inicial de variables, éstas se pueden introducir
en el momento que se necesiten, y por ejemplo, vectores y matrices pueden declararse
sin especificar sus dimensiones e incluso cambiar sus tamaños sobre la marcha. Ello per-
mite una programación algo más desordenada, aunque debe tenerse bien claro que una
programación clásica, más al uso, suele generar código más eficiente.
Por otro lado, una gran cantidad de métodos numéricos se encuentran implementados
de una forma muy eficiente y son accesibles como simples comandos. De esta forma, Mat-
lab se puede utilizar como una caja negra: el usuario pregunta y el ordenador responde sin
que éste tenga que preocuparse de qué tipo de operaciones se han efectuado por el camino.
De todas formas es conveniente tener una idea de qué métodos se están utilizando para
as´ı ser conscientes de en qué condiciones van a funcionar, cuál es en cada caso el méto-
do adecuado, y especialmente el significado de los, posiblemente, numerosos argumentos
opcionales que controlan el funcionamiento del algoritmo.
A priori se pueden distinguir dos tipos de funciones en Matlab: funciones compiladas
(Built in functions) y funciones no compiladas. Las primeras están optimizadas, son pro-
gramas ya compilados y con el código no accesible para el usuario. Como ejemplos se
pueden citar
operaciones fundamentales +, *,. . . .
las funciones matemáticas básicas (sin, cos, exp, log,. . . )
algoritmos básicos del Álgebra Lineal (inv, det, lu, chol, qr,...)
sálidas gráficas (plot, surf,...)
3
A modo de ejemplo, estos comandos cubren salidas gráficas: plot, line, ezplot, ezsurf, surf,
surfc, line, patch, plot3, contour, contourf, ezcontour, pcolor, trimesh, trisurf,...
2

Borrador
Las funciones no compiladas están escritas siguiendo el lenguaje de programación
propio de Matlab. Estos comandos se guardan en ficheros *.m que es la extensión estándar
de los ficheros de Matlab4
.
Originalmente, Matlab funcionaba como un interprete. Es decir, cada l´ınea de código
era traducido antes de su ejecución. Ello hac´ıa que una programación similar a lenguajes
clásicos de programación diera lugar a código poco eficiente.
Este problema se puede subsanar en gran medida recurriendo a la programación vec-
torizada. El siguiente ejemplo muestra las diferencias con una programación estándar
No vectorizada
y=zeros(1,1000);
h=2*pi/999;
for i=0:999
y(i+1)=sin(h*i);
end
Vectorizada
y=sin(linspace(0,2*pi,1000));
En la primera parte del código, encontramos una estructura t´ıpica en los lenguajes de
programación: el comando for. Su significado es claro: las l´ıneas comprendidas entre el for
y end se repiten 1000 veces con la variable i tomando valores de 0 a 999. El resultado final
es el vector fila y que recoge el valor del seno en 1000 puntos uniformemente espaciados
en [0, 2π].
Por otro lado, el comando linspace devuelve un array que contiene 1000 puntos
equidistantes entre 0 y 2π. La función seno es aplicada sobre todo el array devolviendo
un vector con estos valores que se guarda en y. La diferencia entre ambas formas de
programar es ahora patente. Mientras que en la primera realizamos 1000 llamadas a la
función seno con un argumento por llamada, en la segunda hay una única llamada donde
se requiere el cálculo del seno en 1000 puntos, y el resultado se devuelve en un vector con
estos valores (y por tanto también de longitud 1000).
Desde el punto de vista de Matlab el segundo código es más eficiente. Habitualmente,
la vectorización lleva consigo una reducción del código a la vez que se incrementan las
necesidades de memoria.
Con Matlab 6.5 se inició un proyecto a más largo plazo consistente en la aceleración
(Performance Acceleration) de las versiones no vectorizadas dirigida a estrechar las difer-
encias con los lenguajes clásicos de alto nivel como Fortran, C o Pascal5
. En cualquier caso,
la posibilidad de ejecutar instrucciones en bloque sobre vectores o matrices, en contraste
con operaciones elemento a elemento como en los lenguajes tradicionales, es algo que
conviene explotar por las importantes ventajas que proporciona.
4
También está la extensión *.mat, propia de ficheros de datos.
5
De hecho en la version 6.5 apenas hay diferencias en tiempo de ejecución entre los dos códigos
expuestos.
3

Borrador
1.3. ¿Cómo aprenderemos?
Como ya hemos señalado anteriormente, aprender a manejar Matlab en su totalidad
está fuera de los contenidos de un curso introductorio como éste. No as´ı aprender los
fundamentos y preparar el terreno para un autoaprendizaje de las partes en las que cada
uno esté interesado. Encontramos en este punto dos dificultades que salvar: saber de la
existencia del comando adecuado y aprender a utilizarlo. En no pocas ocasiones, la primera
es la mayor dificultad. No obstante los comandos llevan siempre nombres nemotécnicos
para facilitar su memorización. Las funciones de ayuda también echan una mano.
Como a programar se aprende programando, comenzaremos escribiendo código desde
los primeros pasos. Los esquemas numéricos que implementaremos se encuentran prácti-
camente en cualquier curso introductorio de Análisis Numérico. En cada lección imple-
mentaremos dichos algoritmos, introduciendo órdenes, estructuras de decisión, datos,...
según sea necesario.
En los apuntes se incluyen múltiples ejercicios cuya realización ayudará al aprendizaje
de la asignatura. Estos apuntes no deben tomarse como un manual en el estilo usual, sino
como una forma de aprender Matlab y repasar o aprender el Análisis Numérico básico.
Ya existen manuales extensos y concienzudos, en la bibliograf´ıa citamos algunos de ellos,
que pueden servir para ese fin.
4

Borrador
Lecci´on I
Primeros pasos en Matlab.
M´etodos directos para sistemas de ecuaciones
lineales
5

Borrador
Introducción
When asked whether a programming language supports
matrices, many people will think of two-dimensional
arrays and respond, “Yes.” Yet matrices are more than
two-dimensional arrays -they are arrays with operations.
It is the operations that cause matrices to feature so
prominently in science and engineering
G.W. Stewart, Matrix Algorithms
Comenzaremos en la primera parte de esta lección tratando nociones básicas de Matlab,
introduciendo el entorno de trabajo y las estructuras básicas de programación. En segundo
lugar entraremos en uno de los detalles fuertes de Matlab, la manipulación de vectores y
matrices.
En la parte matemática estudiaremos métodos directos para la resolución de sis-
temas de ecuaciones lineales. En la implementación de estos algoritmos repasaremos los
conocimientos de Matlab expuestos en la primera parte.
7

Borrador
Cap´ıtulo 2
Matlab: Primeros pasos
2.1. Entorno de trabajo
En las primeras secciones comenzaremos explorando Matlab de la forma más simple, en
modo comando: el usuario pregunta y Matlab responde. El interfaz de Matlab es bastante
pobre, con un aspecto estético que en modo alguno es comparable al de programas como
Maple o Mathematica. El modo interactivo de trabajar es sencillo aunque algo incómodo. A
modo de ejemplo, requiere algo de esfuerzo editar instrucciones ejecutadas con anterioridad
y manejarse con bloques de comandos es muy engorroso. Éste y otros problemas del modo
interactivo se subsanan en gran medida empaquetando instrucciones con ficheros script
y/o programando en funciones (subrutinas) que es la forma natural de trabajar en Matlab.
En un segundo paso, se puede implementar un interfaz gráfica, las guides de Matlab, que
hacen más amigable la comunicación con el usuario.
En la Figura 2.1 podemos ver el aspecto inicial de Matlab. Distinguimos las siguientes
ventanas
Command window: ventana donde podemos ejecutar los comandos;
Ventanas auxiliares: command history, workspace, current directory que informan
sobre (y permiten editar) los comandos insertados, las variables declaradas y el
directorio en el que estamos trabajando.
Ventana de ayuda: en una ventana independiente proporciona un acceso completo
a las funciones de ayuda de Matlab, incluyendo búsquedas, demostraciones, etc.
Éstas son las caracter´ısticas básicas que debemos considerar:
El prompt de Matlab es >>. El usuario escribe a continuación.
Para ejecutar se pulsa la tecla Enter.
Se pueden recuperar comandos anteriores navegando con las flechas ↑ y ↓.
Cuando se trabaje en Matlab, debemos tener muy en cuenta que:
Se distinguen mayúsculas y minúsculas.
9

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2.1 Entorno de trabajo LECCIÓN I
Figura 2.1: Pantalla Principal.
Todos los comandos de Matlab se escriben en minúsculas y los argumentos se env´ıan
entre paréntesis separados por comas.
El carácter % se utiliza para insertar comentarios. Todo lo que sigue (en la misma
l´ınea) es ignorado por Matlab.
Si se teclea al final de una instrucción ’;’ ésta se ejecuta pero el resultado no se
visualiza por pantalla.
Dos comandos se pueden insertar en la misma l´ınea separados por “,” o por “;”. La
diferencia entre los dos es que con “,” se muestran los resultados de las operaciones
mientras que con “;” la operación se ejecuta pero no se visualiza.
Ejercicio 2.1 Ejecuta las instrucciones
>> 4+4 % mi primera operacion
>> 3^4, 4/9
>> 3^4; 4/9
>> 3^4, 4/9;
>> 3^4; 4/9;
10

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LECCIÓN I Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
y observa la salida.
Haremos algunos comentarios sobre el ejercicio anterior. El circunflejo ^ es la poten-
ciación:
>> 3^5
ans=
243
El término ans es la primera variable que vemos de Matlab. Concretamente, guarda la
última salida dada por Matlab (answer):
>> 4+6
ans =
10
>> ans*2
ans =
20
>> ans*2
ans =
40
La ra´ız cuadrada se puede calcular bien elevando a 1/2 (^(1/2)) o bien utilizando sqrt.
Ejercicio 2.2 Comprueba la diferencia entre
4/4+6 4/(4+6) 3^5*2 3^(5*2)
Nota. La prioridad de ejecución entre operaciones matemáticas es la habitual: primero
se calcula la potenciación ^, posteriormente los productos y divisiones *, / y en último
lugar, las sumas y restas + y -. Este orden se puede cambiar utilizando los paréntesis.
La regla es sencilla: dada una expresión, lo primero que se calcula es lo que está dentro
de cada paréntesis. Esta regla es recursiva, es decir, si dentro de un paréntesis hay otros
paréntesis, para evaluar el primero se empezará con los paréntesis interiores.
Los números reales se pueden insertar también en notación cient´ıfica, muy adecuada si
se trata de números grandes o muy pequeños (en valor absoluto). As´ı, se tiene la siguiente
regla de construcción:
m · 10r
m er
11

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2.1 Entorno de trabajo LECCIÓN I
Por ejemplo
0.005 5e − 3 115 · 1012
115e12
−1201200000 −1.2012e009 0.00031415 3.1415e − 004
Existen además dos números especiales: inf y NaN. El primer signo representa la can-
tidad infinita (∞). El segundo es una abreviatura de “no es un número” (Not a Number)
y es el resultado que se devuelve ante una operación indefinida como 0/0. Este s´ımbolo
se puede utilizar en ámbitos, en principio tan extraños, como en el dibujo de superficies
(vér la Lección V).
En general los resultados numéricos se presentan con cuatro cifras decimales correctas,
aunque todas las operaciones se ejecutan en doble precisión1
. Si se desean las salidas con
toda la precisión disponible se debe insertar la instrucción
>> format long
A partir de este punto, el resultado de cualquier operación se mostrará con 16 cifras
significativas. La instrucción
>> format short
devuelve a la forma estándar con cuatro cifras decimales. Existen más opciones con format.
Las siguiente l´ıneas muestran algunas de ellas:
>> pi % el numero pi
ans =
3.1416
>> format long % mayor precision
>> pi
ans =
3.14159265358979
>> format compact % compacto
>> pi
ans =
3.14159265358979
>> format bank %No fijo de cifras decimales
>> pi
ans =
3.14
1
Aproximadamente 16 cifras decimales correctas. En el momento de redactar estas l´ıneas, los proce-
sadores de 32 bits dominan todav´ıa el parqué de ordenadores. Las nuevas generaciones, con procesadores
con 64 bits, duplican la precisión de trabajo.
12

Borrador
>> format rat %salidas en forma fraccionaria
>> pi
ans =
355/113
>> format loose % mas espaciada
>> pi
ans =
355/113
Observa la diferencia de espaciamiento que se obtiene con las opciones compact y loose.
Números complejos
La aritmética compleja se encuentra también integrada en Matlab. La unidad imagi-
naria (
√
−1) se representa en Matlab con i ó j:
>> clear i j % borramos posibles valores de i y j
>> i^2
ans=
-1
>> j^2
ans=
-1
El signo i suele ser habitual en Matemáticas mientras que en diversas ramas de la F´ısica
y en Ingenier´ıa de Telecomunicaciones o Eléctrica se prefiere el s´ımbolo j (en este caso
para no confundir con la intensidad de corriente eléctrica). De ah´ı que Matlab permita
ambas representaciones.
Todas las operaciones matemáticas incluyen la aritmética compleja en el sentido usual
>> 1+i +5-6i % suma de dos numeros complejos
ans =
6.0000 - 5.0000i
>> (5+3i)*(5-3i), (1+2i)/(3-4i)
ans =
13

Borrador
2.2 Comandos de ayuda LECCIÓN I
34.00
ans =
-0.20
+
>> conj(3e-3+2e-4i) % conjugado
ans =
0.0030 - 0.0002i
>> abs(3+4i), angle(2i) % modulo y argumento
ans =
5
ans =
1.5708
2.2. Comandos de ayuda
La ayuda de Matlab es ciertamente muy clara y completa. Los comandos siempre
dispuestos a echarnos una mano son:
help: muestra una ayuda por pantalla, en la ventana de comandos, con la informa-
ción esencial sobre un comando concreto.
helpwin: similar a help pero despliega la ayuda en una ventana auxiliar, permitien-
do as´ı una navegación, estilo web, muy cómoda.
lookfor: permite buscar una cadena en la primera l´ınea de todos los ficheros de
ayuda.
Por ejemplo, si deseamos ayuda sobre la función sin, podemos ejecutar
>> help sin
SIN Sine.
SIN(X) is the sine of the elements of X.
Overloaded methods
help sym/sin.m
14

Borrador
Figura 2.2: Pantalla de ayuda.
o bien
>> helpwin sin
y obtener la pantalla que se muestra en la Figura 2.3. Además, si aparece el enlace “Go to
online doc for ...”, éste nos permite navegar entre una ayuda mucho más completa
donde se muestran ejemplos y detalles sobre la implementación del comando (ver la Figura
2.42
).
Ejercicio 2.3 Utilizando las funciones de ayuda, obtener información de alguna de estas
funciones elementales de Matemáticas
sin cos tan asin acos atan
sec csc cot asec acsc acot
sinh cosh tanh asinh acosh atanh
exp log log10 log2 sign
Mediante la instrucción
2
Para que esta opción esté disponible es necesario que se haya instalado la ayuda completa de Matlab.
A partir de la versión 6.0 la instalación consta de (al menos) dos CDs, el primero con el programa y las
librer´ıas habituales y el segundo con la documentación de la ayuda.
15

Borrador
2.3 Variables LECCIÓN I
Figura 2.3: Ayuda con helpwin. Comprueba si aparece la opción Go to online doc...
>> help +
se pueden además visualizar las operaciones “elementales” según Matlab.
2.3. Variables
Matlab no necesita la declaración de variables como en un lenguaje tradicional. En prin-
cipio todas las variables son reales, y basta hacer uso de ellas para que queden declaradas:
>> a=1; b=2; c=3;
>> a-b
ans =
-1
>> a*b*c
ans =
16

Borrador
Figura 2.4: Ayuda on line.
6
El comando who sirve para conocer los nombres de las variables declaradas, mientras
que con whos obtenemos una información más precisa:
>> who
Your variables are:
a b c
>> whos a
Name Size Bytes Class
a 1x1 8 double array
Grand total is 1 element using 8 bytes
Para borrar una variable se utiliza la instrucción clear, por ejemplo,
17

Borrador
2.3 Variables LECCIÓN I
>> a=4;
>> whos a
a 1x1 8 double array
>> clear a
>> whos a
>>
borra la variable (es decir, whos no devuelve nada). Con la orden
>> clear all
se borran todas las variables declaradas hasta el momento.
Nota. En Matlab es correcto declaraciones de este tipo
>> sin=1;
>> sin+1
ans=
2
De esta forma sin pasa a ser una variable que sobrescribe el valor original que ten´ıa como
función seno. Para recuperar el valor original basta ejecutar
>> clear sin
Almacenamiento de variables en ficheros
Matlab ofrece la posibilidad de grabar las variables que deseemos en un fichero. De esta
forma, podemos recuperarlas más adelante, ya sea en la misma sesión o en otra diferente3
.
Por ejemplo
>> a=4+i;% numero complejo
>> b1=cos(2);
>> b2=sin(2);
>> save datos a b1 b2
graba dentro del directorio de trabajo, en un fichero de nombre datos.mat, las variables
indicadas. Para recuperar, basta ejecutar
>> load datos
3
Se entiende por sesión el tiempo que transcurre entre que se abre y se cierra Matlab. Al cerrar el
programa, todas las variables locales se pierden.
18

Borrador
2.4. Ficheros script y funciones
La forma más eficiente de empaquetar series de instrucciones simples y mecánicas es
utilizando ficheros script. Tareas más elaboradas, con, por ejemplo, variables de entrada
y salida, requieren del uso de funciones.
2.4.1. Ficheros script
Un fichero script es un simple documento de texto que contiene una sucesión de co-
mandos de Matlab. Esencialmente es equivalente a teclear estas instrucciones directamente
en la ventana de comandos.
Describiremos el manejo de este tipo de ficheros mediante un sencillo ejemplo. Comen-
zamos creando un fichero tecleando en modo comando la orden4
>> edit prueba
Se despliega as´ı en una ventana aparte el editor de Matlab con el fichero prueba.m (“.m”es
la extensión estándar de Matlab). Es importante saber cuál es el directorio de trabajo5
,
pues es donde se guardará por defecto el fichero.
Tecleamos ahora en el editor
a=1+i; b=1-i;
disp(’a*b=’)
disp(a*b)
disp(’a/b=’)
disp(a/b)
disp(’sqrt(a)=’)
disp(sqrt(a))
El comando disp (de display) muestra vectores por pantalla de forma compacta. Dado que
para Matlab un cadena de caracteres es simplemente un vector de carácteres, se consigue
con ello mostrar por pantalla mensajes de forma concisa.
Una vez que el documento está grabado, para ejecutar las órdenes que contiene basta
teclear el nombre del fichero en la ventana de comandos:
>> prueba
Se puede modificar las veces que se precise las variables a y b en el fichero script sin tener
que teclear de nuevo todas las instrucciones.
2.4.2. Funciones
En principio existen dos tipos de funciones: las funciones inline, que se insertan en
la l´ınea de comandos y las que se escriben en un documento de texto externo. Esta última
forma, que es la evolución natural de los ficheros script, es más flexible y es en la que nos
centraremos a continuación. Dejaremos pendiente para la Lección III la descripción de las
funciones inline.
Como antes, para crear un fichero que contenga a una función se puede teclear:
4
También es posible crear este fichero a golpe de ratón.
5
Por defecto es C:MATLAB6p5work.
19

Borrador
2.4 Ficheros script y funciones LECCIÓN I
>> edit mifuncion
En el editor puedes insertar este simple ejemplo:
01 % MIFUNCION
02 %
03 % Y=MIFUNCION(X) devuelve
04 %
05 % Y=X^2-COS(X)
06 %
07 function y=mifuncion(x)
08
09 y=x^2-cos(x);
10
11 return
La función se declara con function, la variable de entrada es x y se declara como variable
de salida y. Se termina la ejecución de la función cuando se ejecuta un return o bien se
llega al final de la función6
.
Ahora, para calcular el valor de π2
− cos(π) podemos ejecutar la orden:
>> mifuncion(pi)
ans =
10.8696
Nota. Los números correlativos situados a la izquierda no forman parte del código
de la función. Han sido insertados con el fin de numerar las l´ıneas y as´ı facilitar los
comentarios que podamos hacer sobre el programa.
Una función puede no tener salidas, por ejemplo,
01 % INFORMACION
02 %
03 % INFORMACION devuelve informacion sobre
04 % la precision de la maquina
05 %
06 function informacion
07
08 disp(’precision de la maquina’)
09 disp(eps)
10 disp (’mayor numero real’)
11 disp(realmax)
12 disp (’menor numero real’)
13 disp(realmin)
14 return
6
En este sentido, el return del ejemplo anterior es superfluo.
20

Borrador
o bien devolver múltiples salidas:
01 % MIFUNCION2
02 %
03 % [Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve
04 %
05 % Y1=X1+X2+X3;
06 % Y2=X1-X2+X3;
07 %
08 function [y1,y2]= mifuncion2(x1,x2,x3)
09
10 y1=x1+x2+x3;
11 y2=x1-x2+x3;
12
13 return
Observa cómo se recogen los resultados
>> [z1,z2]=mifuncion2(1,2,3);
>> z1
ans=
6
>> z2
ans=
2
>> z=mifuncion2(1,2,3); % Ahora solo devuelve el primero
ans=
6
La cabecera que hemos introducido en el preámbulo de las funciones, es decir las l´ıneas
anteriores a la declaración de la función y precedidas con “%”, constituyen la ayuda de la
función:
>> help mifuncion2
MIFUNCION2
[Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve
Y1=X1+X2+X3;
Y2=X1-X2+X3;
21

Borrador
2.5 Vectores y matrices LECCIÓN I
Aunque muy recomendables7
, su inclusión en una función es opcional. La ayuda puede
estar antes o después de la declaración de la función. En cualquiera de los dos casos,
Matlab despliega como ayuda todas las l´ıneas que esten precedidas con % hasta que se
encuentra con la primera l´ınea no comentada.
Nota. Para ser consecuentes, lo correcto es denominar de igual modo a la función y
al archivo que la contiene. Sin embargo esto no es obligatorio, es decir, se pueden dar
nombres distintos, pero en este caso Matlab da preferencia al nombre del archivo.
Aunque Matlab distingue entre mayúsculas y minúsculas en sus comandos, esto no es
extensible para funciones programadas en m-files, al menos en Windows. Es decir, para
ejecutar una función en un archivo, digamos, operaciones, se puede utilizar OPERACIONES,
Operaciones y cualquier combinación con mayúsculas y minúsculas. Esto es debido a que
el sistema de archivos de Windows tampoco hace esa distinción8
. Versiones más avanzadas
de Matlab, 7.0 en adelante, muestran sin embargo un aviso si no existe una concordancia
exacta minúsculas-mayúsculas entre el nombre del fichero y el comando utilizado para
llamarlo.
Todas las variables se env´ıan por valor, no por referencia. Es decir, si una función
modifica una variable de entrada, esta modificación se pierde cuando finalice su ejecución,
recuperando el valor original.
Por último, en un fichero se pueden incluir varias funciones. En este caso sólo la primera
función es accesible desde el exterior (l´ınea de comandos, otras funciones,...) mientras que
el resto de funciones presentes en ese fichero son internas, es decir, utilizables únicamente
por las funciones presentes en el archivo. Esto es importante a la hora de realizar una
programación modular. Si un conjunto de funciones son sólo utilizadas por una función
principal, se pueden insertar en el mismo fichero que ésta. Evitamos as´ı llenar la carpeta
de trabajo, o de nuestro proyecto, con ficheros y más ficheros.
2.5. Vectores y matrices
Dado que principalmente trabajaremos sólo con arrays de una y dos dimensiones
hablaremos en lo que sigue de los objetos matemáticos correspondientes: vectores y ma-
trices. Todo lo que sigue se puede adaptar a arrays con más dimensiones, aunque por
simplificar, nos centraremos ahora en el manejo de vectores y matrices y dejaremos pen-
diente para la Lección IV el uso de arrays multidimensionales (tensores).
2.5.1. Definición de matrices y vectores
Un vector o una matriz se puede definir dando sus elementos entre corchetes y sepa-
rando filas mediante “;”. Por ejemplo, las instrucciones
7
No hay que subestimar nunca la capacidad de olvido de uno mismo: el código claro y legible de hoy
es ilegible semanas después. Las ayudas facilitan la edición de los programas no sólo para un usuario
externo sino para el propio programador.
8
Es decir, si existe un fichero llamado operaciones.m no es posible crear otro con nombre
Operaciones.m
22

Borrador
>> a=[1 3 -1; 2 3 4; 4 5 1];
>> a2=[1 2 4; -1 0 1; 2 1 5];
>> b=[1; 3; 1]; b2=[-1 1 -2 2];
definen las matrices y vectores
a =


1 3 −1
2 3 4
4 5 1

 , a2 =


1 2 4
−1 0 1
2 1 5

 , b =


1
3
1

 , b2 = −1 1 −2 2 .
Matlab distingue entre vectores fila y columna por lo que habrá que tenerlo en cuenta por
ejemplo cuando se desee hacer operaciones como sumas o productos.
Desde una vertiente práctica, si se va a trabajar con una matriz grande, por ejemplo
de tamaño 20 × 10, y sus valores se van a introducir más adelante, se puede empezar con
>> a=zeros(20,10);
A partir de este instante se pueden insertar los elementos, accediendo a cada posición
mediante paréntesis
>> a(4,5)=9; a(2,1)=6; a(1,1)=-3.4;
>> a(4,5)
ans=
9
En cualquier caso, si tratamos de introducir un valor en una posición no definida de la
matriz, Matlab irá adaptando el tamaño según juzgue apropiado9
, y no dará ningún
error. El siguiente ejemplo ilustra esta caracter´ıstica
>> clear c % c esta borrado
>> c(1,2)=4 % c es ahora 1 x 2
c =
0 4
>> c(3,3)=2 % c pasa a ser 3 x 3
c =
0 4 0
0 0 0
0 0 2
Esta habilidad, aunque permite una programación muy flexible y descuidada, debe uti-
lizarse con mesura dado que puede provocar errores de ejecución muy dif´ıciles de detectar.
9
Ello obliga a que haya que redimensionar constantemente la memoria otorgada a la variable a. Esto
supone un costo adicional, inapreciable con ejemplos pequeños, pero importante para grandes cantidades
de memoria. Por tanto es mejor declarar primero las dimensiones de la matriz e informar as´ı a Matlab de
cuánta memoria tiene que reservar.
23

Borrador
2.5.2. Operaciones
Todas las operaciones habituales entre matrices, tales como la suma, producto, poten-
ciación, cálculo de determinantes, inversas..., están ya implementadas en Matlab. No hay
por tanto necesidad de programarse estas tareas. Por ejemplo, si a y a2 son matrices de
tamaños compatibles, las instrucciones
a*a2 a^2 a+a2
devuelven el producto matricial de a y a2, el cuadrado de a (es decir, a*a) y la suma de
a y a2.
Es importante observar la diferencia con estas l´ıneas
a.*a2 a.^2
En el primer caso, se devuelve la matriz resultado de multiplicar elemento a elemento
a y a2 (por tanto deben tener el mismo tamaño) y en el segundo, una matriz cuyas
entradas son el cuadrado de las de a. Esto es una constante en Matlab: el signo “.”
indica que la operación (un producto, una potencia o una división) se hace elemento a
elemento, mientras que en caso contrario se calcula la operación matemática, en este
caso el producto matricial.
Ejercicio 2.4 Introduce en a y a2 dos matrices de igual tamaño. Observa el resultado de
ejecutar
a+a2 a*a2 a.*a2
Define un vector b fila o columna y ejecuta
b.^3 b’
Comprueba si estas operaciones están bien definidas
a*2 a+1
¿Qué hacen exactamente? ¿Por qué crees que no es necesario “.” en la primera instrucción?.
Otros comandos importantes son
det inv / /. .
Los dos primeros son el determinante y la inversa de una matriz cuadrada. Los operadores
“/” y “” (slash y backslash) son ciertamente especiales:
a/a2 es equivalente a a*inv(a2), aa2 es equivalente a inv(a)*a2
En cuanto a su relación con ./ y . es la misma que ha surgido antes, esto es, aplicado
sobre matrices procede a realizar los cocientes elemento a elemento. Requiere por tanto
que ambas matrices tengan el mismo tamaño.
Ejercicio 2.5 Ejecuta las instrucciones
>> 3/5
>> 35
y observa el resultado. ¿Tiene sentido desde el punto de vista anterior?.
Ejercicio 2.6 Dado b una matriz, ¿qué hace 1/b?.
24

Borrador
Nota. El operador backslash “” se utiliza profusamente para resolver sistemas de ecua-
ciones lineales, bajo la idea de que
Ax = b ⇔ x = A−1
b.
As´ı, si b es n × 1 y a es n × n,
>> x=ab;
devuelve en x la solución del sistema correspondiente.
El funcionamiento real de dista mucho de ser tan simple. Esto es, no calcula la
inversa de a para multiplicarla por b, sino que resuelve el sistema de ecuaciones por
alguna variante del método de Gauss. Se puede utilizar helpwin mldivide (o helpwin
mrdivide para /) para leer en detalle cómo procede este comando.
Las funciones propias de Matlab trabajan de forma natural sobre vectores y matrices.
El resultado final es equivalente a aplicar el comando elemento a elemento. Por ejemplo,
>> a=[0 pi/3; -pi/3 0];
>> cos(a)
ans =
1.0000 0.5000
0.5000 1.0000
es equivalente a
>> [cos(0) cos(pi/3); cos(-pi/3) cos(0)]
ans =
1.0000 0.5000
0.5000 1.0000
2.5.3. Detalles adicionales
Cómo obtener las dimensiones de vectores y matrices
Los comandos de Matlab size y length nos proporcionan esta información:
>> a3=[1 2; 3 6; 5 -1];
>> size(a3)
ans =
3 2
>> length(a3)
25

Borrador
ans =
3
>> a3=a3’; % cambiamos la forma de a3
>> size(a3)
ans =
2 3
>> [m,n]=size(a3); % m son las filas y n las columnas
>> m
ans =
2
>> n
ans =
3
>> length(a3)
ans =
3
El comando size devuelve un vector de tamaño 2×1 con el número de filas y columnas
del vector/matriz. El resultado es diferente según se aplique a vectores fila o columna. La
orden length devuelve la longitud de una matriz o vector. Su significado en el caso de un
vector está clara mientras que para matrices devuelve el máximo entre el número de filas
y el número de columnas.
Matrices especiales
Matlab dispone de una serie de comandos que permiten construir matrices con una
estructura particular. Cabe señalar las siguientes órdenes:
eye(n) es la matriz identidad de orden n;
ones(m,n) es una matriz m x n de 1s;
zeros(m,n) es una matriz m x n de 0s, esto es, igual que ones pero con ceros;
y algunas más exóticas como hilb, invhilb, pascal, magic.
26

Borrador
Existen dos formas de introducir vectores cuyos valores siguen una distribución regular
a:b:c construye el vector de valores [a a+b a+2*b .... a+k*b] donde a+k*b es
el mayor número natural que cumple a+k*b≤ c. La instrucción a:c toma b = 1.
linspace(a,b,n) devuelve una partición uniforme de [a, b] en n puntos.
Por ejemplo,
>> 0:10
ans=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> 10:-1:0
ans=
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
>> 0.1:0.3:1.5
ans =
0.1000 0.4000 0.7000 1.0000 1.3000
>> linspace(0,2,4)
ans =
0 0.6667 1.3333 2.0000
>> linspace(2,0,4)
ans =
2.0000 1.3333 0.6667 0
Nota. Cuando Matlab tiene que devolver un vector y no se le especifica el formato,
devuelve una fila.
2.5.4. Acceso a partes de matrices
El manejo de partes de vectores y matrices, as´ı como la eliminación de filas o columnas,
cambios de tamaño, etc, se hace v´ıa instrucciones muy simples en Matlab. Aunque pueda
resultar algo extraño al principio, un poco de práctica es suficiente para que el usuario se
27

Borrador
adapte a la nueva sintaxis, tan diferentes a la de un lenguaje tradicional, y pueda utilizarlo
en sus c´odigos.
Comencemos viendo un ejemplo:
>> a=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12];
>> a(2,3) % elemento (2,3) de a
ans =
6
>>a(2,:) % fila 2 de a
ans =
4 5 6
>>a(:,1) % columna 1
ans =
1
4
7
10
>>a(:,2)=0 % columna 2 es ahora 0
a =
1 0 3
4 0 6
7 0 9
10 0 12
Podemos acceder a partes de una ﬁla o columna:
>> a(1,2:3) % vector [a(1,2) a(1,3)]
ans =
0 3
>> a(2:4,3) % vector columna [a(2,3); a(3,3); a(4,3)]
ans =
28

Borrador
6
9
12
>> a(1:2,2:3) % matriz [a(1,2) a(1,3); a(2,2) a(2,3)]
ans =
0 3
0 6
En general, si p es un vector de números enteros, v(p) devuelve [v(p(1)), v(p(2)),
..., v(p(n))]. Por ejemplo,
>> v=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6];
>> v(4:-1:2)
ans=
0.4000 0.300 0.2000
>> p=[5 1 2 3 3 3]; % no importa que esten repetidos
>> v(p)
ans=
0.5000 0.1000 0.2000 0.3000 0.3000 0.3000
Ejercicio 2.7 Ejecuta las siguientes l´ıneas
>> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12];
>> p=[1 3 2]; q=[1 2 1];
>> a(p,q)
¿Qué hacen exactamente?.
Igualmente es fácil añadir filas y columnas a una matriz:
>> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8]
a =
1 2 3 4
5 6 7 8
>> a=[a; [1 -1 2 4]] % adosamos una fila nueva
a =
29

Borrador
2.6 Bucles y estructuras de decisión LECCIÓN I
1 2 3 4
5 6 7 8
1 -1 2 4
>> a=[a [0; 2; 4] ] % una nueva columna
a =
1 2 3 4 0
5 6 7 8 2
1 -1 2 4 4
Si se desea eliminar una fila o columna se puede utilizar el s´ımbolo vac´ıo []. Por
ejemplo,
>> a(:,2)=[] % suprime la segunda columna
a =
1 3 4 0
5 7 8 2
1 2 4 4
Ejercicio 2.8 Programa una función cuyas entradas sean una matriz cuadrada y un término
independiente compatible y que devuelva la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales.
Esto es, una matriz con la matriz original y una última columna con el término independiente.
2.6. Bucles y estructuras de decisión
Claves en cualquier lenguaje de programación, Matlab dispone de varias de ellas entre
las que sobresalen for e if, un estándar en el mundo de la informática.
2.6.1. Bucles: el comando for
En Matlab, la estructura
for j=inicio:paso:final
.....
end
implementa un bucle donde las l´ıneas de código entre for y end son ejecutadas repetida-
mente con j tomando los valores del vector inicio:paso:final (véase la Sección 2.5.3)
Por ejemplo,
>> for j=1:3; disp(j); end
1
30

Borrador
2
3
>> for j=6:-2:2; disp(j-2); end
4
2
0
En general, si v es un vector,
for j=v
.....
end
procede a ejecutar las l´ıneas internas con j tomando los valores del vector v. Por ejemplo,
>> v=[2 5 3 1];for j=v; disp(j); end
2
5
3
1
Asociados a for, y en general a cualquier bucle, encontramos los comandos break y
continue. El primero fuerza la salida inmediata del bucle mientras que el segundo reini-
cializa la iteración con el siguiente valor del ´ındice.
Ejercicio 2.9 La matriz de Hilbert de orden n es
A =






1 1
2
· · · · · · 1
n
1
2
1
3
· · · · · · 1
n+1
...
...
...
...
...
1
n
1
2n−2
1
2n−1






Construye la matriz anterior mediante un fichero script y el uso de dos “for” anidados.
2.6.2. Operadores lógicos y estructuras de decisión
Los operadores lógicos más básicos en Matlab son
== igualdad, ~= desigualdad, > mayor, < menor,
>= mayor o igual, <= menor o igual, & “y” lógico, | “o” lógico
31

Borrador
El resultado de una comparación es 1 si es verdadero, 0 si es falso:
>> a=1; b=2; c=3;
>> a>0
ans =
1
>> a>0 & b<3
ans =
1
>> a<0 | b<1
ans =
0
>> test= (a~=0)
ans =
1
>> whos test
test 1x1 1 logical array
Estos “0” y “1” no son valores numéricos sino lógicos como se comprueba con la última
instrucción10
. Cuando se aplica a un vector, devuelve un vector de verdadero/falso de la
misma longitud que el vector original:
>> b=[1 2 -3 -1 2 -4]; p=(b>=1) % entradas de b>=1
p=
1 1 0 0 1 0
En el ejemplo anterior, p(i)==1 si b(i)≥1 y cero en caso contrario. Ahora, podemos
aislar los elementos mayores o iguales que 1 simplemente con
10
Ocupan un único byte mientras que un número real utiliza ocho bytes.
32

Borrador
>> b(p)
1 2 2
Desde este punto de vista es correcta y recomendable utilizar la instrucción
>> b(b>=1) % elementos de b mayores o iguales que 1
1 2 2
que además resulta muy natural (y fácil de entender).
Nota. El comando logical puede utilizarse para construir vectores y estructuras lógicas
a partir de vectores de números enteros:
>> b=[2 4 6 8 10]; p=[1 0 0 1 1];
>> b(p) % Dara error
??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals.
>> p=logical(p);
>> b(p)
ans =
2 8 10
La estructura de decisión, como en muchos otros lenguajes, es if. Su sintaxis es la
siguiente:
if simple: si la operación lógica efectuada es verdadera, se ejecutan las l´ıneas de
código comprendidas entre if y end
if (x<-1 | x>1)
disp(’valor absoluto de x mayor que 1’)
end
if compuesto: como el anterior, pero un nuevo conjunto de l´ıneas, comprendidas
entre else y end son ejecutadas en caso de que la operación lógica efectuada en el
if sea falsa:
if (x<0 & x>-10)
f=x^2; % x entre -10 y 0
else
f=sin(x^2); % x menor que -10 o mayor que 0
end
33

Borrador
if de decisión múltiple:
if (x<0)
f=x.^2;
disp(’x menor que cero’)
elseif (x<sqrt(pi))
f=sin(x^2);
disp(’x en [0,sqrt(pi))’)
elseif (x<2*sqrt(pi))
f=(x-sqrt(pi))^2;
disp(’x en [sqrt(pi),2*sqrt(pi))’)
else
f=pi*cos(x^2);
disp(’x en [2*pi,infinito)’)
end
Esta última instrucción es equivalente a anidar diferentes estructuras if, de la sigu-
iente forma
if (x<0)
f=x.^2;
disp(’x menor que cero’)
else
if (x<sqrt(pi))
f=sin(x^2);
disp(’x en [0,sqrt(pi))’)
else
if (x<2*sqrt(pi))
f=(x-sqrt(pi))^2;
disp(’x en [sqrt(pi),2*sqrt(pi))’)
else
f=pi*cos(x.^2);
disp(’x en [2*pi,infinito)’)
end
end
end
Obviamente, la primera forma es más clara y concisa.
Nota. Con la instrucción switch se puede implementar una estructura de decisión que
es esencialmente equivalente a un if anidado.
Está disponible también el bucle while que procede a ejecutar un bucle (que se cierra
también con un end) mientras una condición sea verdadera. Por tanto, es algo más flexible
que un for.
En general todos los bucles y estructuras que requieran cerrarse, lo hacen con end. El
uso de break y continue es exactamente el mismo.
34

Borrador
Por último, y volviendo a end, este comando tiene una curiosa funcionalidad extra:
sirve para referenciar el último elemento de una fila o columna de una matriz. Por ejemplo
b(4:end) selecciona todos los elementos de b desde la posición cuarta en adelante.
Ejercicio 2.10 ¿Qué hace el siguiente fragmento de código?
01 r=[]; aux=0;
02 while aux<0.8
03 aux=rand(1);
04 r=[r aux];
05 end
06 r(end)=[];
Ejercicio 2.11 Con la ayuda de Matlab, programa un par de ejemplos donde utilices switch
y while.
Ejercicio 2.12 (Un poco de todo) Implementa una función de nombre findnonzeros
que dado un vector de entrada devuelva el número de elementos no nulos y un vector que
contenga dichos elementos.
Solución. Una implementación posible es la siguiente
01 % FINDNONZEROS
02 %
03 % [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve
04 %
05 % N el numero de elementos no nulos en el vector X
06 % P un vector con los elementos no nulos de X
07 %
08 function [n,p]=findnonzeros(x)
09
10 p=[]; % p es vacio
11 for i=1:length(x)
12 if (x(i)~=0) % si x(i) no es cero
13 p=[p x(i)]; % apuntamos i al vector p
14 end
15 end
16 n=length(p);
17 return
Observa como se recogen los resultados de la función, n y p,
>> a=[0.1 0. 0.3 0.1 0.6 0 0.1 0.2 0.4]; % vector!!
>> [n,p]=findnonzeros(a)
n =
7
35

Borrador
p =
Columns 1 through 5
0.1000 0.3000 0.1000 0.6000 0.1000
Columns 6 through 7
0.2000 0.4000
Otra posible implementación (mucho más elaborada y más propia de Matlab) es la sigu-
iente
01 % FINDNONZEROS
02 %
03 % [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve
04 %
05 % N el numero de elementos no nulos en el vector X
06 % P un vector con los elementos no nulos de X
07 %
08 function [n,p]=findnonzeros(x)
09
10 p=x(x~=0);
11 n=length(p);
12 return
Haz un esfuerzo en entender bien los comandos anteriores. Tras la suficiente práctica,
esta versión se ve más clara y natural que la anterior. Observa cómo se toman los elementos
no nulos del vector x (l´ınea 10).
36

Borrador
Cap´ıtulo 3
Métodos directos para sistemas de
ecuaciones lineales
3.1. Método de Gauss
El método de Gauss, también conocido como eliminación gaussiana, es el algoritmo
más sencillo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Consta de dos partes
bien diferenciadas:
i) Transformación del sistema lineal en otro equivalente, es decir, con la misma solu-
ción, donde la matriz es triangular superior.
ii) Resolución del sistema triangular por sustitución regresiva.
El paso i) se acomete v´ıa dos operaciones elementales:
(a) Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número.
(b) Intercambiar dos ecuaciones.
Si sólo utilizamos la operación (a) hablaremos del método de Gauss sin pivotaje, y
con pivotaje parcial si también realizamos las operaciones (b)1
cuando la elección de
las filas que se conmutan sea una muy particular.
Representando el sistema de ecuaciones en la forma matricial, todo lo anterior se
reescribe en términos de operaciones matriciales (sumar a una fila otra fila e intercambiar
filas2
). En lo que sigue expresaremos el sistema en la forma
Ax = b, A ∈ Rn×n
, x, b ∈ Rn
,
donde A es la matriz de coeficientes, b el término independiente y x el vector de soluciones.
Los elementos de A se denotarán por aij, y con bi los de b.
1
Existe una tercera operación (c), que consiste simplemente en multiplicar filas por constantes no
nulas. Esta operación recibe el nombre de reescalado (de filas) y en problemas prácticos se suele utilizar
con el fin de mejorar la estabilidad del sistema frente a errores de redondeo.
2
Otra posibilidad es intercambiar columnas, que se corresponde con reordenar las incógnitas). En este
caso se habla de pivotaje total.
37

Borrador
3.1 Método de Gauss LECCIÓN I
3.1.1. Método de Gauss sin pivotaje
El pseudocódigo se expone a continuación
Método de Gauss
01 for i = 1 : n − 1
02 for k = i + 1 : n
03 ki = aki/aii
04 for j = i + 1 : n
05 akj = akj − kiaij
06 end
07 bk = bk − kibi
08 end
09 end
10
11 xn = bn/ann
12 for i = n − 1 : −1 : 1
13 xi = bi −
n
j=i+1
aijxj /aii
15 end
Las l´ıneas 01--09 se corresponden con la reducción a la forma triangular de la matriz
y las l´ıneas 11--15 con la resolución del sistema triangular resultante. El elemento aii se
denomina pivote y debe ser distinto de cero para que el algoritmo funcione, dado que en
caso contrario la operación en 03 está mal definida.
El algoritmo efectúa O(n3
/3) productos3
y otras tantas sumas para la reducción a la
forma triangular y O(n2
/2) sumas y productos para la resolución del sistema triangular.
Por tanto el costo se concentra en la primera fase del algoritmo y duplicar la dimensión
del sistema exige multiplicar por ocho el tiempo de cálculo (y por cuatro el costo en
memoria).
Ejercicio 3.1 Implementa una función cuyas entradas sean la matriz de coeficientes y el
término independiente y devuelva la solución del sistema por el método de Gauss.
Solución. El siguiente programa es una solución del ejercicio
01 % GAUSS
02 %
03 %
04 % X=GAUSS(A,B) Solucion del sistema Ax=b con el metodo
05 % de Gauss sin pivotaje
3
es decir, el número de multiplicaciones es n3
/3 + αn2
+ βn + γ, donde α, β y γ son constantes
adecuadas. Con n creciente, el primer término es el dominante.
38

Borrador
LECCIÓN I Cap´ıtulo 3. Métodos directos para sistemas de ecuaciones lineales
06
07 function x = gauss(a,b)
08 n=length(a);
09
10 % transformacion del sistema en uno triangular
11 for i=1:n-1
12 for k=i+1:n
13 l=a(k,i)/a(i,i);
14 for j=i+1:n
15 a(k,j)=a(k,j)-l*a(i,j);
16 end
17 b(k)=b(k)-l*b(i);
18 end
19 end
20
21 % resolucion del sistema triangular
22 x=zeros(n,1); % tambien vale x=b*0;
23 x(n)=b(n)/a(n,n);
24 for i=n-1:-1:1
25 s=0;
26 for j=i+1:n
27 s=s+a(i,j)*x(j); % sumatorio
28 end
29 x(i)=(b(i)-s)/a(i,i);
30 end
31 return
El código anterior es correcto y ciertamente recuerda a la sintaxis que usar´ıamos en una
programación en un lenguaje tradicional como C o Pascal. Sin embargo desde el punto de
vista de Matlab es claramente redundante y muy mejorable. Los siguientes ejercicios
ahondan en estos aspectos por lo que resolverlos es muy recomendable.
Ejercicio 3.2 Reescribe el programa utilizando instrucciones y sintaxis propia de Matlab.
Solución. Las filas 14-16 del programa (04--06 del algoritmo) se pueden implementar
como una diferencia de dos vectores, a(k,i+1:n) y a(i,i+1:n), con cualquiera de estas
dos instrucciones
a(k,i+1:n) =a(k,i+1:n) - l*a(i,i+1:n)
a(k,:) =a(k,:) - m*a(i,:)
La segunda es más cómoda de utilizar pero multiplica por dos el número de operaciones
en la ejecución del método4
.
4
¿Por qué?.
39

Borrador
De forma análoga, el sumatorio de las l´ıneas 25-29 del código (13 del algoritmo del
método de Gauss) es simplemente el producto escalar, y de hecho también matricial, de
dos vectores, el vector fila a(i,i+1:n) y el vector columna x(i+1:n). Esto es el código
de las l´ıneas 25--29 se puede sustituir por
x(i)=(b(i)- a(i,i+1:n)*x(i+1:n))/a(i,i);
Ejercicio 3.3 (Avanzado) Podemos avanzar aún más hacia la consecución de algoritmos
matriciales. Consideremos la partición de A
A =
a11 c1
d1 A11
, b =
b1
b1
donde c1, d1 son vectores (n − 1)×1 y A11 una matriz (n − 1)×(n − 1). Entonces, el primer
paso del método de Gauss se puede escribir
a11 c1
0 A11 − (a11)−1
c1 d1
, b =
b1
b1 − a−1
11 b1d1.
A(1)
b(1)
El segundo paso del método de Gauss se aplica ahora sobre la matriz A(1)
(de tamaño (n−1)×
(n − 1)) y el vector b(1)
(de tamaño (n − 1) × 1) y as´ı se procede sucesivamente. Implementa
esta resolución alternativa del método de Gauss.
(Ayuda. Observa estas tres instrucciones
l=a(i+1:n,i)/a(i,i) a(i+1:n,i+1:n)-l*a(i,i+1:n) b(i+1:n)-l*b(i)
¿Qué hacen?)
Nota sobre la vectorización
La noción de vectorización, trabajar con vectores y matrices en lugar de elemento a ele-
mento, no es nueva ni en el Análisis Numérico ni en la computación a alto nivel. El objetivo
que se persigue es que las todas las operaciones se reduzcan a operaciones matemáticas
sencillas, como productos escalares, productos matriciales, búsqueda de máximos y m´ıni-
mos en un vector/matriz, suma de vectores y matrices... cuya implementación se opti-
miza tomando en consideración el entorno en el que se trabaja, tanto en software como
en hardware. Este conjunto de instrucciones se conocen como BLAS (basic linear algebra
subprograms). Se distinguen tres niveles. El nivel uno está formada por operaciones entre
vectores, tales como la suma o el producto escalar de dos vectores, de O(n) operaciones, el
nivel dos se ocupa de operaciones matriz-vector con O(n2
) operaciones y el nivel tres son
operaciones entre matrices, O(n3
) operaciones. En máquinas con múltiples procesadores
estos subprogramas deben adaptarse a dividir la tarea entre los procesadores disponibles
de forma óptima y a buscar algoritmos que soporten este tipo de trabajo5
.
5
Se deben buscar en primer lugar algoritmos que permitan dividir la tarea principal en subtareas
equiparables, y de forma que finalicen en tiempos similares puesto que basta con que una de las subtareas
se retrase respecto a las demás para que el conjunto de procesadores deba parar a esperar al rezagado
con la consiguiente pérdida de tiempo (y dinero).
40

Borrador
Uno de los detalles más sencillos que hay que plantear es la estrategia de almace-
namiento de las matrices en memoria. Se puede optar por un almacenamiento por filas,
como hace C,
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
⇒ a11 → a12 → a13 → a21 → a22 → a23
donde con la notación anterior queremos decir que aij y aij+1 ocupan posiciones consec-
utivas en memoria.
Sin embargo Fortran o Matlab proceden por columnas
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
⇒ a11 → a21 → a12 → a22 → a13 → a23.
Según sea el caso se trata de primar algoritmos que accedan a la matriz por filas o por
columnas para que el procesador trabaje con posiciones consecutivas de memoria6
. En esta
dinámica, la resolución del sistema triangular según el algoritmo expuesto en el Ejercicio
3.3 está mejor adaptado a la arquitectura de Matlab puesto que todas las operaciones se
hacen sobre columnas de la matriz a.
3.1.2. Método de Gauss con pivotaje parcial
Para evitar que el método de Gauss se colapse, es decir, que encuentre en un paso i
que el elemento aii es nulo (l´ınea 03 del algoritmo), se introduce la noción de pivotaje. La
idea es muy sencilla: en el caso de que en el i–ésimo paso el pivote sea nulo, se procede a
intercambiar la fila i por una fila k tal que aki = 0 para cierto k > i. Si esto no es posible,
el sistema no es compatible determinado, es decir, o no tiene solución o tiene infinitas
soluciones.
Desde un punto de vista práctico, el método de Gauss con pivotaje procede a inter-
cambiar siempre filas de forma que en cada paso
|aki| = máx
=i,...,n
|a i|,
esto es, el pivote es el mayor posible. Ello dota al sistema de una mayor estabilidad frente
a los errores de redondeo. El algoritmo resultante es el siguiente (denotamos por a ↔ b el
intercambio de valores de a y b).
6
Cuando un procesador moderno lee algo en memoria, suele cargar a su memoria internar, la memoria
caché, posiciones adicionales y consecutivas de memoria bajo la convicción de que es probable que las
requiera en el siguiente paso.
41

Borrador
Método de Gauss con pivotaje parcial
01 for i = 1 : n − 1
02
03 Encontrar k ∈ {i, . . . , n} tal que |aki| = máx
j= ,...,n
|a i|
04 for j = i : n
05 aij ↔ akj %intercambio filas y termino independiente
08 end
07 bi ↔ bk
08
09 for k = i + 1 : n
10 ki = aki/aii
11 for j = i + 1 : n
12 akj = akj − kiaij
13 end
14 bk = bk − kibi
15 end
16 end
Ejercicio 3.4 Implementa una función con el método de Gauss con pivotaje a partir de la
función definida en el Ejercicio 3.2.
Para este fin la instrucción max te puede resultar útil. Espec´ıficamente,
>> [m,i]=max(v)
devuelve en m el mayor valor del vector v y en i su posición, esto es, m = v(i). Añade también
un control sobre el tamaño de a(i, i) de forma que si éste es próximo a cero7
se termine la
ejecución y se devuelva un mensaje de error.
(Ayuda. La instrucción [m,r]=max(abs(a(i:n,i))) te devolverá en r la posición del máximo
en el vector columna abs(a(i:n,i)). Por tanto, la fila en la matriz a con el mayor valor en la
columna i es i+r-1.)
El intercambio de filas de las l´ıneas 04--08 se puede implementar de varias formas.
La primera es simplemente con un bucle que recorra las filas y proceda a intercambiar los
valores elemento a elemento. En la segunda forma se hace de forma global mediante
aux=a(i,i:n); a(i,i:n)=a(k,i:n); a(k,i:n)=aux;
La tercera forma probablemente será la que resulte más extraña pero vuelve a ser natural
en Matlab. Basta hacer
a([i,k],i:n)=a([k,i],i:n)
F´ıjate que tiene perfecto sentido sintáctico de acuerdo a las reglas de manipulación de
vectores y matrices expuestas en la primera parte de esta lección.
7
¿Cuándo se decide que un número es cero? En la práctica depende de los tamaños del resto de
elementos de la matriz.
42

Borrador
3.1.3. Método de Gauss con pivotaje parcial ficticio
Desde un punto de vista práctico no hace falta intercambiar f´ısicamente las filas de la
matriz. En lugar de ello se puede utilizar un vector de ´ındices p de forma que p(i) sea la
posición f´ısica en memoria de la fila i.
Inicialmente, las filas están sin reordenar, es decir, se empieza declarando
p=1:n;
Intercambiar las filas i y k es equivalente a intercambiar los valores de p en las posiciones
i y k
p([i k])=p([k i])
y se procede a hacer ceros en las filas p(i+1),. . . , p(n). El acceso la fila i se consigue con
a(p(i),:)
y la búsqueda del máximo valor para el intercambio de filas con
[m,r]=max(abs(a(p(i:n),i)));r=r+i-1;
La fila con el máximo elemento en valor absoluto es la p(r).
Para la resolución del sistema triangular despejamos igual que en el método de Gauss,
desde la n-ésima incógnita a la primera, con
22 x(p(n))=b(p(n))/a(p(n),n);
23 for i=n-1:-1:1
24 x(p(i))=(b(p(i))-a(p(i),i+1:n)*x(i+1:n))/a(p(i),i);
25 end
Desde un punto de vista estrictamente matemático se trata de llevar la matriz a una
forma que, si bien no es triangular, una reordenación adecuada de las filas la transforma
en triangular. El vector p recoge en qué orden se deben despejar las incógnitas a la hora
de resolver el sistema reducido. En concreto el orden viene dado por p(n), p(n-1),. . . ,
p(1). En cualquier caso, a(p,:) es una matriz triangular8
.
Ejercicio 3.5 Implementa el método de Gauss con pivotaje parcial ficticio.
Ejercicio 3.6 Las l´ıneas 22–25 proceden a resolver el sistema triangular accediendo a los
elementos por filas. Adapta el algoritmo para la resolución de este sistema por columnas, tal
como se hizo en el Ejercicio 3.3.
Ejercicio 3.7 Sea A una matriz inversible de tamaño n × n y A−1
su inversa. Si ai es la
columna i−ésima de A−1
, esto es,
A−1
= [a1|a2| · · · |an],
8
La importancia de estas técnicas ha decrecido con las últimas generaciones de ordenadores, donde la
manipulación de enormes cantidades de memoria está muy optimizada.
43

Borrador
3.2 Descomposiciones matriciales LECCIÓN I
entonces
Aai = ei =







0
...
1
...
0







→ i.
Utilizando alguna de las diferentes versiones del método de Gauss, implementa el cálculo de la
inversa mediante la resolución de los n sistemas de ecuaciones. Observa que los n comparten
la misma matriz de coeficientes.
3.2. Descomposiciones matriciales
Uno de los aspectos que mejores resultados dio a lo largo del siglo XX, en los albores del
Análisis Numérica, fue la constatación de que numerosos algoritmos del Álgebra Lineal,
pod´ıan reescribirse como factorizaciones de matrices en producto de otras matrices con
caracter´ısticas muy particulares. Éste es el caso del algoritmo de Gram-Schmidt, la matriz
original escrita como el producto de una ortogonal por una triangular, o el caso que nos
ocupa, el método de Gauss, visto como la búsqueda de la factorización de A como el
producto de una matriz triangular inferior por una superior.
La utilidad que se concedió a este tipo de factorizaciones fue en un primer momen-
to más bien teórica pero rápidamente se encontró aplicaciones prácticas y su uso en la
actualidad es profuso.
Estudiaremos en lo que sigue la factorización LU y variantes y dejaremos para más
adelante (Lección IV) otro tipo de factorizaciones.
3.2.1. Descomposición LU
Supongamos que se dispone de una descomposición
A = LU
donde L y U son matrices triangulares inferior y superior respectivamente. En este caso, la
resolución del sistema lineal Ax = b es equivalente a resolver dos sistemas de ecuaciones
triangulares
Ly = b, Ux = y.
el primero triangular superior y el segundo triangular inferior. Puesto que el costo de
resolución de cada sistema es O(n2
) operaciones (total de sumas y productos) obtenemos
una ventaja decisiva en la resolución del sistema.
Ejercicio 3.8 Implementa la resolución de un sistema de ecuaciones Lx = b donde L es
triangular inferior con 1s en la diagonal.
Si abordamos directamente la resolución de la ecuación A = LU, nos encontramos
con un sistema no lineal con n2
+ n incógnitas (las entradas de L y U) y n2
ecuaciones
(una por cada elemento de a). Por tanto, el sistema resultante no deber´ıa admitir solución
44

Borrador
única. Si exigimos que L tenga 1s sobre la diagonal, el número de incógnitas pasa a ser
de n2
y por tanto tenemos ya un sistema cuadrado (aunque no lineal). Se trata entonces
de estudiar el siguiente problema: dada una matriz A de tamaño n × n, encontrar L y U
de la forma
L =





1
21 1
...
...
...
n1 n2 · · · 1





, U =





u11 u12 · · · u1n
u22 · · · u2n
...
...
unn





,
y tales que A = LU.
El cálculo de esta descomposición se puede llevar a cabo sin más que exigir que el
producto LU sea igual al de A. As´ı empezamos despejando la primera fila de U (que es
igual que la de A por ser 11 = 1). Una vez conocida esa fila, se puede despejar la primera
columna de L, utilizando que el producto de L por la primera columna de U (que consta
de un único elemento no nulo y ya es conocido del paso anterior) da la primera columna de
A. Procedemos sucesivamente de esta forma, construyendo U por filas y L por columnas.
Descomposición LU (Método de Doolittle)
01 for k = 1 : n
02 for j = k : n
03 ukj = akj −
k−1
p=1
kpupj
04 end
05 kk = 1
06 for i = k + 1:n
07 ik = aik −
k−1
p=1
ipupk /ukk
08 end
09 end
El número de operaciones del algoritmo resulta ser igual al del método de Gauss,
con lo cual no hemos conseguido una ventaja significativa. Sin embargo, disponer de esta
descomposición es especialmente útil si se requiere resolver varios sistemas de ecuaciones
lineales con la misma matriz pero con términos independientes diferentes. Las operaciones
que conllevan un mayor coste son las correspondientes al cálculo de las matrices L y
U, pero únicamente hay que realizar esta descomposición una vez para posteriormente
resolver en cada caso dos sistemas triangulares.
Ejercicio 3.9 Implementar la descomposición LU en Matlab mediante una función cuya
entrada sea una matriz cuadrada y su salida sean las matrices L y U correspondientes.
(Ayuda: la función por tanto devuelve dos valores.)
45

Borrador
Al observar el algoritmo del método, las operaciones recuerdan a las efectuadas por el
método de Gauss. Esto no es tan sorprendente cuando se analizan con detenimiento los
calculados realizados. Se puede ver entonces que en el cálculo de la descomposición LU se
están haciendo exactamente las mismas operaciones que al aplicar el método de Gauss.
En efecto, definamos
a
(1)
ij = aij i, j = 1, . . . , n
a
(k+1)
ij = a
(k)
ij − ika
(k)
kj , k ≥ 1, 1 ≤ i, j ≤ n − k
donde ki viene dada por el algoritmo de Doolitle (l´ınea 07).
Entonces, de acuerdo con el algoritmo de la factorización LU, los elementos de la
primera fila de U y de la primera columna de L vienen dados por
u1j = a
(1)
1j , i1 =
a
(1)
i1
a
(1)
11
.
En el siguiente paso, se observa que
u2j = a2j − 21u1j = a
(1)
2j − 21a
(1)
1j = a
(2)
2j
i2 =
ai2 − i1u12
u22
=
a
(1)
i2 − i1a
(1)
12
a
(2)
22
=
a
(2)
i2
a
(2)
22
.
Reiterando el mismo razonamiento concluimos que
uij = a
(i)
ij , i ≤ j, ij =
a
(j)
ij
a
(j)
jj
, i > j.
Por tanto U es de hecho la matriz triangular que queda al aplicar el método de Gauss
mientras que L está formada por los elementos que se han utilizado para hacer ceros en
el proceso. Esto es, el elemento i, j de L, denotado por ij, coincide con la constante ij
calculado en la l´ınea 03 del método de Gauss y por tanto no hay una contradicción de
notaciones.
En particular, la propiedad anterior propone una forma alternativa de calcular la de-
scomposición LU de una matriz es la siguiente modificación del programa del Ejercicio 3.1:
11 for i=1:n-1}
12 a(i,i+1:n)=0; %hacemos cero la columna i
13 for k=i+1:n}
14 l(k,i)=a(k,i)/a(i,i);
15 a(k,i+1:n)=a(k,i+1:n)-l(k,i)*a(i,i+1:n);
16 end
17 end
La matriz U estar´ıa entonces almacenada en a.
Ejercicio 3.10 Una forma compacta de devolver la descomposición LU es insertar L en la
parte triangular inferior de a. De esta forma, tras aplicar el método, a tiene en la parte superior
la matriz U, mientras que por debajo de la diagonal encontramos L (exceptuando su diagonal
de 1s). Implementa esta modificación.
46

Borrador
3.2.2. Casos particulares
Método de Cholesky
En una gran variedad de problemas prácticos aparecen matrices simétricas definidas
positivas. Este tipo de matrices puede descomponerse en la forma
A = LL
donde
L =





11
21 22
...
...
...
n1 n2 · · · nn





.
Gracias a la simetr´ıa de la matriz, tanto el número de operaciones como de posiciones
de memoria requeridos pueden reducirse a la mitad. El algoritmo resultante es conocido
como el método de Cholesky.
Método de Cholesky
01 for k = 1:n
02 kk = akk −
k−1
r=1
2
kr
03 for j = k + 1:n
04 jk = ajk −
k−1
r=1
jr kr / kk
05 end
06 end
Ejercicio 3.11 Implementa una función que tenga como entrada una matriz A y devuelva
la matriz L correspondiente. Debe avisar si la descomposición no ha podido llevarse a cabo.
Implementa también una segunda función que tenga como entradas la matriz L triangular
y un término independiente b y que devuelva la solución del sistema
(LL )x = b.
Para ello se requiere la resolución de los sistemas triangulares
Ly = b, L x = y.
LU con permutación
El método de Gauss con pivotaje parcial es equivalente a la decomposición
PA = LU
47

Borrador
donde P es el resultado de permutar las filas (o columnas) de la identidad. Alternativa-
mente, equivale a una descomposición de la forma
A = LU
donde L = P−1
L, de forma que L es una permutación de la matriz triangular inferior9
.
La siguiente subrutina devuelve esa descomposición.
01 % LUPERMUTACION
02 %
03 % [L,U]=LUPERMUTACION(A)
04 %
05 % devuelve U triangular superior, L permutacion
06 % por filas de una matriz triangular inferior con
07 % 1s en la diagonal de forma que A=L*U
08
09 function [l,u]= LUPermutacion(a)
10 n=length(a);
11 p=1:n;
12
13 for i=1:n-1
14 [maximo,r]=max(abs(a(p(i:n),i)));r=r+i-1;
15 p([i r])=p([r i]);
16 for k=i+1:n
17 l(p(k),i)=a(p(k),i)/a(p(i),i);
18 a(p(k),i:n)=a(p(k),i:n)-l(p(k),i)*a(p(i),i:n);
19 end
20 end
21 for i=1:n
22 l(p(i),i)=1;
23 end
24 u=a(p,:);
25 return
3.2.3. Comandos correspondientes en Matlab
Todas las factorizaciones vistas con anterioridad están, por supuesto, implementadas
en Matlab. Algunos de los comandos relacionados son
9
Esto es, es el resultado de reordenar las filas de L.
48

Borrador
[l,u]=lu(a) devuelve u triangular superior, l permutación de una triangular inferior
con 1s en la diagonal de forma que a=l*u.
[l,u,p]=lu(a) devuelve u triangular superior, l triangular inferior con 1s en la diagonal
y p matriz de permutación de forma que p*a=l*u.
r=chol(a) devuelve r triangular superior de forma que a=r’*r. Observa que con
las notaciones introducidas r es precisamente la traspuesta de la matriz
L, expuesta en nuestro algoritmo. El comando asume que la matriz es
simétrica por lo que sólo trabaja con la parte superior de la matriz.
Otra descomposición habitual10
es la denominada QR que devuelve Q ortogonal (es decir,
Q Q = In) y R triangular superior de forma que A = QR. El comando encargado de esta
tarea es qr.
Con estas instrucciones la solución de un sistema utilizando la descomposición LU se
ejecuta con las siguientes l´ıneas
[l,u]=lu(a); x=u(lb);
La colocación de los paréntesis es esencial. Con ulb se calcula (u−1
l)−1
b que obvia-
mente no tiene nada que ver con la solución del sistema. No hay que preocuparse por el
hecho de que las matrices sean triangulares (o permutación de una triangular). Matlab, y
en concreto la instrucción detecta esto y resolverá el sistema por sustitución progresiva
(o regresiva), sin intentar realizar la eliminación gaussiana.
Nota histórica11
Ideas similares a la eliminación gaussiana pueden encontrarse muchos siglos atrás, con
referencias que se remontan a las matemáticas babilónicas y chinas. Carl Friedreich Gauss
introdujo el método que lleva su nombre entorno a 1800 cuando trataba de resolver un
problema de ajuste por m´ınimos cuadrados relacionado con el cálculo de la órbita del
asteroide Palas. Parece ser que Joseph Louis Lagrange hab´ıa utilizado ideas similares 50
años antes para dilucidar si una forma cuadrática (hoy dir´ıamos matriz) era definida pos-
itiva. El matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi extendió la idea de la eliminación
gaussiana a matrices arbitrarias.
Es reseñable que la noción de matriz tal como la conocemos ahora era desconocida
para Gauss y Lagrange. El concepto de matriz, y el álgebra asociada (esto es, las opera-
ciones) habr´ıan de esperar a los trabajos de James J. Sylvester (que en 1848 introdujo el
término matriz) y de Arthur Cayley (que siete años después definió el producto matricial
identificándolo con el cálculo de la composición de aplicaciones lineales y definió la in-
versa de una matriz). Importantes fueron también las contribuciones del f´ısico Hermann
10
Veremos dos algoritmos para obtener esta descomposición en la Lección IV. Aunque para la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales la descomposición QR es más estable numéricamente que la LU, se
suele optar por esta última por tener un menor coste computacional (aproximadamente la mitad).
11
Las principales referencias utilizadas para esta nota han sido “Very Early Days of Matrix Compu-
tations”, Beresford Parlett en SIAM News, 3, no 9; “Matrix Algorithms”, G.W. Stewart; “Computer
solutions of large system of equations”, G. Merant y “An introduction to Numerical Analysis”, E. Süli y
D. Mayers. Estas referencias están completamente detalladas en la bibliograf´ıa.
49

Borrador
Grassmann (introdujo la primera álgebra vectorial no conmutativa, basada en el producto
vectorial de dos vectores; consideró también el producto de un vector fila por un vector
columna que daba lugar a una matriz de rango uno), Willard Gibbs y Paul A. Dirac.
La equivalencia entre la descomposición LU y la eliminación gaussiana parece que fue
probada por primera vez por Paul S. Dwyer en 1944. Curiosamente, la descomposición
de Cholesky es anterior. Publicado póstumamente en 1924 en una revista de Geodesia
(André-Louis Cholesky murió en 1918). El trabajo original trataba sobre la resolución
de un problema de ajuste por m´ınimos cuadrados y pasó desapercibido hasta que fue
rescatado por John Todd a finales de los años 1940.
Los primeros análisis sobre la estabilidad numérica de la eliminación gaussiana, es
decir la viabilidad de su programación, se remontan a los trabajos de Harold Hotelling,
Alan Turing12
, John von Neumann y Herman Heine Goldstine. Los resultados iniciales
eran descorazonadores. Harold Hotelling probó en torno a 1940 que el error de redondeo
podr´ıa crecer como 4n
donde n era el orden de la matriz. Este resultado colocaba al método
de Gauss como un método inviable para la resolución de grandes sistemas lineales. Turing
llegó a resultados similares de manera informal. El análisis de Neumann y Goldstine ya
probaba que el método era estable para matrices definidas positivas13
. James H. Wilkinson,
reconocido universalmente como el padre del análisis moderno de estabilidad (frente a los
errores de redondeo), extendió el análisis a matrices generales y mostró que el pivotaje
mejoraba enormemente la estabilidad del método. Lo más curioso es que el análisis inicial
estaba enfocado más hacia el cálculo de la inversa de la matriz que al método de Gauss.
Como curiosidad final, Cleve Moler, programador original de Matlab, cita14
a Wilkinson
y Todd entre las personas que tuvieron una gran influencia en su formación y por ende
en los or´ıgenes de Matlab.
12
La vida de Alan Turing es una de las más trágicas en historia de las matemáticas. Dotado de una in-
teligencia precoz, realizó contribuciones importantes en lógica y computación. Trabajó durante la segunda
guerra mundial en Bletchley Park en el descifrado de los códigos alemanes encriptados con la máquina
Enigma mediante la utilización del primer ordenador electrónico en el mundo (Colossus). El papel que
este trabajo anónimo tuvo en la victoria aliada, los alemanes siempre estuvieron seguros de que su código
era indescifrable, sólo ha empezado a reconocerse en fechas recientes. La presión y aislamiento a la que
Turing fue sometido por su homosexualidad, llegando incluso a ser detenido por ello, le llevó al suicidio
en 1954 después de haberse sometido a un tratamiento con bromuro para curarle de su enfermedad.
13
En los primeros años se sugirió incluso resolución de un sistema Ax = b mediante las ecuaciones
normales A Ax = A b (A A es simétrica y definida positiva).
14
http://www.mathworks.com/company/newsletters/news notes/clevescorner/dec04.html
50

Borrador
Lección II
Programación avanzada en Matlab.
Métodos iterativos para sistemas de
ecuaciones lineales
51

Borrador
Introducción
Homer: Marge? Since I’m not talking to Lisa, would you
please ask her to pass me the syrup?
Marge: Dear, please pass your father the syrup, Lisa.
Lisa: Bart, tell Dad I will only pass the syrup if it won’t be
used on any meat product.
Bart: You dunkin’ your sausages in that syrup homeboy?
Homer: Marge, tell Bart I just want to drink a nice glass of
syrup like I do every morning.
Marge: Tell him yourself, you’re ignoring Lisa, not Bart.
Homer: Bart, thank your mother for pointing that out.
Marge: Homer, you’re not not-talking to me and secondly I
heard what you said.
Homer: Lisa, tell your mother to get off my case.
Bart: Uhhh, dad, Lisa’s the one you’re not talking to.
Homer: Bart, go to your room.
The Simpsons, Episodio 5, temporada 5, Lisa the Vegetarian
En el primer apartado entraremos en aspectos más avanzados en el tratamiento de
vectores y matrices en Matlab, haciendo hincapié especial en la manipulación de matrices
sparse. Veremos también cómo se pueden implementar funciones donde el número de
argumentos de entrada y salida son variables.
En la parte matemática, tocaremos la teor´ıa básica de métodos iterativos para sistemas
de ecuaciones lineales. Empezaremos con los métodos clásicos: Jacobi, Gauss–Seidel y
relajación de Young, para pasar luego a métodos más modernos y elaborados: el método
del Gradiente y especialmente, el método del Gradiente Conjugado.
En esta lección nos permitiremos hacer algo de Matemáticas. Animamos a que el lector
no se asuste por ello y a que trate de entender los enunciados y las demostraciones que se
ofrecen. Para ello se asumen unos conocimientos m´ınimos en Álgebra Lineal.
53

Borrador
Cap´ıtulo 4
Matlab: programación avanzada
4.1. Retorno a las matrices
A estas alturas el lector ya deber´ıa estar convencido sobre las capacidades de Matlab
en lo que se refiere al manejo de enormes cantidades de memoria. En esta sección expon-
dremos algunos comandos adicionales y entraremos con cierto detalle en la manipulación
de matrices sparse1
.
4.1.1. Acceso a partes estructuradas de una matriz
En ocasiones es importante tomar partes precisas de una matriz que no son necesaria-
mente partes de filas, columnas o simplemente submatrices (estas acciones ya se trataron
en la primera lección). Para este fin nos pueden servir las siguientes instrucciones
diag triu tril
La primera toma la diagonal de una matriz mientras que la segunda y tercera toman
la parte triangular superior (upper) e inferior (lower) respectivamente. Además estos co-
mandos son algo más flexibles de lo que pueda parecer a simple vista como veremos a
continuación.
Empecemos introduciendo una matriz
>> a=[11 12 13; 21 22 23; 31 32 33];
El resultado de los siguientes comandos es, a la luz de lo anterior, esperable
>> diag(a)
ans =
11
22
33
1
Aceptaremos este anglicismo en lo que sigue. En ocasiones este vocablo se traduce por matrices huecas
o matrices dispersas.
55

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4.1 Retorno a las matrices LECCIÓN II
>> triu(a)
ans =
11 12 13
0 22 23
0 0 33
>> tril(a)
ans =
11 0 0
21 22 0
31 32 33
El usuario puede especificar qué diagonal se escoge, o a partir de qué diagonal se toma
la matriz triangular. La diagonal principal es la cero y las subdiagonales inferiores (respec-
tivamente superiores) están numeradas consecutivamente con números enteros negativos
(respectivamente positivos). El siguiente ejemplo ilustra estas caracter´ısticas.
>> diag(a,-1)
ans =
21
32
>> tril(a,-1)
ans =
0 0 0
21 0 0
31 32 0
>> triu(a,0)
ans =
11 12 13
0 22 23
0 0 33
Ejercicio 4.1 Programa una función que dada una matriz a devuelva un vector d con los
elementos de la diagonal, una matriz triangular superior u con todos los elementos de a situados
56

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LECCIÓN II Cap´ıtulo 4. Matlab: programación avanzada
encima de la diagonal superior y l una matriz triangular inferior con todas las entradas de
debajo de la diagonal principal.
Ejercicio 4.2 ¿Qué sucede si aplicamos los comandos anteriores a matrices rectangulares?.
Con diag podemos también construir a partir de un vector una matriz diagonal
>> diag([1 2]) % es lo mismo que diag([1 2],0)
ans =
1 0
0 2
>> diag([1 2],1)
ans =
0 1 0
0 0 2
0 0 0
Ejercicio 4.3 ¿Cómo utilizar´ıas el comando diag para generar una matriz con la diagonal
de una dada?.
Nota. El comando blkdiag permite construir matrices diagonales por bloques:
>> blkdiag(1,[1 2; 3 4], 5)
ans=
1 0 0 0
0 1 2 0
0 3 4 0
0 0 0 5
Trasposición de matrices
Dada una matriz A, la matriz traspuesta A es la matriz resultante de intercambiar
las filas con las columnas de A. Esto es, las filas de A pasan a ser las columnas de A .
Esta operación se denota en Matlab con “ ’ ” :
>> a=[1 2 3; 0 2 4];
>> a’
ans =
57

Borrador
1 0
2 2
3 4
Obviamente, también se aplica sobre vectores:
>> b=[1;2;3]; % vector COLUMNA con tres elementos
>> b’ % vemos ahora un vector FILA
ans =
1 2 3
De nuevo nos encontramos con esta propiedad sobre la que ya hemos incidido: Matlab
distingue entre vectores filas y columnas, y esta diferencia se hace especialmente palpable
(y en ocasiones molesta) a la hora de realizar operaciones como productos matriz-vector.
Nota. En Matlab existe también el operador “.’”. Sobre matrices reales funciona exac-
tamente igual que el comando anterior, pero no as´ı sobre números complejos. Además de
trasponer, “’”, conjuga todas las entradas. Es decir, cambia el signo a la parte imaginaria
de cada elemento. Matemáticamente hablando, éste es el operador de trasposición o con-
jugación, denotado habitualmente en matemáticas con “A∗
”. Por contra, “.’” se limita a
intercambiar filas por columnas en la matriz:
>> clear i % i es ahora la unidad imaginaria
>> a=[i 1-2i; 1 0.3+4i];
>> a.’
ans =
0 + 1.0000i 1.0000
1.0000 - 2.0000i 0.3000 + 4.0000i
>> a’
ans =
0 - 1.0000i 1.0000
1.0000 + 2.0000i 0.3000 - 4.0000i
Dada una matriz a, si ejecutamos a(:), obtenemos el vector columna que se con-
struye concatenando las columnas de a. Técnicamente hablando, nos está mostrando la
matriz tal como se guarda en memoria. Por ejemplo,
58

Borrador
>> a=[1 2 3; 0 2 4];
>> a(:)
ans =
1
0
2
2
3
4
>> a=a’; %trasponemos a
>> a(:)
ans =
1
2
3
0
2
4
Esto puede utilizarse para hacer un par de trucos:
En ocasiones la entrada de una función es un vector, sin importar si éste es fila o
columna.
La instrucción
>> b=b(:);
hará de b un vector columna, sea cual sea su formato inicial. Si lo que se desea es
un vector fila, basta con trasponer
>> b=b(:)’; % b=b(:).’ mejor por si b es complejo
Se puede utilizar para introducir las entradas de una matriz por columnas. A modo
de ejemplo,
>> a=zeros(4,3);
>> a(:)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12]
a =
59

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1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
>> a2=zeros(2,6);
>> a2(:)=a(:)
a2=
1 3 5 7 9 11
2 4 6 8 10 12
Nota. El comando reshape permite modificar las dimensiones de una matriz (o array
en general). Es más flexible que el comando “:”.
4.1.2. Más operaciones sobre matrices
Hasta ahora las operaciones matriciales que han centrado nuestra atención son las fun-
damentales: suma y producto. En Matlab están también implementadas otras operaciones
comunes en el Álgebra Lineal. Entre todas ellas destacamos
dot: Calcula el producto escalar de dos vectores:
>> dot([1 2 3],[4 5 6])
ans =
32
Devuelve el produto 1·4+2·5+3·6 = 32. Este comando no distingue entre vectores
filas y columnas, y es aplicable siempre que tengan la misma longitud.
La función se puede aplicar a matrices bien por columnas, ésta es la forma estándar2
,
o por filas.
>> a=[1 2 3; 4 5 6]; a2=[1 1 1; 1 1 1];
>> dot(a,a2) % producto por columnas
ans =
5 7 9
2
Recuerda la predilección de Matlab por las columnas.
60

Borrador
>> dot(a,a2,2) % producto por filas
ans =
6
15
sum: calcula la suma de las entradas un vector. Es aplicable también a matrices, en el
sentido del comando anterior
>> v=[1 2 3]; a=[1 2 3; 4 5 6];
>> sum(v)
ans =
6
>> sum(a) % suma por columnas
ans =
5 7 9
>> sum(a,2) % suma por filas
ans =
6
15
prod: Como sum pero con el producto.
max: Calcula el máximo en un vector. Puede devolver su posición en el vector. Aplicado
sobre matrices funciona de la misma forma que dot o sum. Esto es, devuelve el
máximo de cada columna por defecto, o de cada fila si as´ı se le indica
>> v=[-2 -5 -3]; a=[2 3 8; -4 2 9];
>> max(v)
ans=
-2
>> [p,m]=max(abs(v)); [p,m]
61

Borrador
ans =
5 2
>> max(a)
ans =
2 3 9
>> max(a,[],2) % busqueda por filas
ans =
8
9
>> [m,p]=max(a,[],2); p % posicion del maximo
ans=
1
1
La razón por la que se utiliza [] en la l´ınea anterior es que esta instrucción también
se puede utilizar para comparar dos arrays del mismo tamaño
>> a1=[3 1 2; 5 3 2]; a2=[4 2 1; 1 2 3];
>> max(a1,a2)
ans =
4 2 2
5 3 3
Al insertar el vac´ıo indicamos a Matlab que no existe un segundo vector y que debe
proceder a buscar el máximo de a en su segunda dimensión, esto es, el máximo por
filas.
min: Calcula el m´ınimo procediendo exactamente igual que max.
norm: norma de una matriz o vector. Se puede escoger entre varias normas.
>> v=[1 2 3];a=[1 2; 3 4];
>> [norm(v) norm(v,1) norm(v,inf)] % norma 2, 1 e infinito de v
ans =
62

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3.7417 6.0000 3.0000
>> [norm(a) norm(a,1) norm(a,inf)] % normas matriciales
ans =
5.4650 6.0000 7.0000
En la Sección 5.2.3 comentaremos brevemente la definición de estas normas.
rank: rango numérico de una matriz. Esto es, el número máximo de filas o columnas
linealmente independientes3
.
cond: Calcula norm(a)*norm(inv(a)), el condicionamiento de una matriz4
. El condi-
cionamiento da una medida de la sensibilidad del sistema a perturbaciones en el
término independiente.
rcond: estimador del inverso del condicionamiento de una matriz. Es sensiblemente más
económico de calcular que cond.
Nota. Cuando el comando dot se aplica a dos vectores complejos, procede siempre a
conjugar el primer vector. Es decir, matemáticamente
dot(u, v)
n
i=1
uivi.
As´ı,
>> u=[1+i 2+2i]; v=[2 1];
>> dot(u,v)
ans =
4.0000 - 4.0000i
>> dot(v,u)
ans =
4.0000 + 4.0000i
Ejercicio 4.4 ¿Cómo sumar´ıas los elementos de una matriz?. ¿Cómo encontrar´ıas el m´ınimo
y el máximo?. ¿Y su posición?
3
Una matriz tiene, en general, rango máximo por los errores de precisión de la máquina. Este comando
hace una estimación del rango, eliminando este factor.
4
En realidad no construye la inversa de la matriz por ser costoso.
63

Borrador
4.1.3. Matrices sparse
Las matrices sparse son una importante clase de matrices que surge en diferentes
ámbitos del Análisis Numérico y de las Matemáticas y ciencias en general (elementos
finitos, teor´ıa de grafos,...).
En la Figura 4.1 se puede ver un ejemplo de una matriz sparse simétrica donde los
puntos indican las entradas diferentes de cero. Desde una óptica puramente computacional
hace falta desarrollar sistemas de almacenamiento especiales dado que la inmensa mayor´ıa
de las entradas no deben ser almacenadas porque son nulas.
Figura 4.1: Diagrama de un matriz sparse 400 × 400 con 2690 elementos no nulos.
Matlab provee de forma muy sencilla ese almacenamiento. Con
>>a=sparse(100,100); b=sparse(100,1);
declaramos a como una matriz sparse 100×100 y un vector columna b de 100 elemen-
tos. Todas las entradas son inicialmente ceros, pero se guarda la estructura básica para
introducir los elementos no nulos
>> a=sparse(100,100)
a =
All zero sparse: 100-by-100
>> a(4,4)=1; a(8,9)=-4; a(80,45)=-1; a(99,100)=4;
>> a
a =
64

Borrador
(4,4) 1
(8,9) -4
(80,45) -1
(99,100) 4
Para transformar una matriz llena (convencional) en una matriz sparse podemos utilizar
también este comando
>> a=diag([1 2 3 4 5]);
>> a=sparse(a)
a =
(1,1) 1
(2,2) 2
(3,3) 3
(4,4) 4
(5,5) 5
Con full realizamos la operación inversa: transforma una matriz sparse en una matriz
llena,
>> a=full(a)
a =
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
La instrucción spalloc tiene un funcionamiento muy similar a sparse. Es útil si se sabe
el número de elementos no nulos que tendrá dicha matriz. Concretamente
>> a=spalloc(8,7,12)
declara una matriz 8 × 7 con a lo sumo 12 elementos no nulos. Al informar de cuántos
elementos no nulos se esperan Matlab hace una gestión más eficiente de la memoria.
El comando nnz (Non zeros) nos informa del número de elementos no nulos de una
matriz, mientras que su esquema (pattern), como el que aparece en la Figura 4.1, se obtiene
con spy:
>> a=sparse(10,10);
>> a(1,4)=1; a(2,8)=-4; a(3,9)=1; a(7,8)=5;
>> nnz(a)
ans=
65

Borrador
4.2 Argumentos de funciones LECCIÓN II
4
>> spy(a)
La gráfica se despliega en una ventana separada.
Todas las operaciones que hemos visto están adaptadas al nuevo entorno. As´ı, los
operadores
: triu tril diag
devuelven vectores/matrices sparse. Las operaciones
* + .* dot ’
están asimismo optimizadas. El problema de generar código eficiente no es tan simple
como pudiera parecer. Por ejemplo, si se aplica la función dot a dos vectores sparse es
preciso saber antes qué entradas hay que multiplicar. De otra forma podr´ıamos estar
dedicando un alto porcentaje de nuestro esfuerzo en simplemente calcular productos por
cero. Afortunadamente, Matlab hace ese trabajo por nosotros.
Por otro lado, aparecen una nueva serie de comandos, que devuelven matrices sparse,
entre los que merece la pena destacar
spdiags maneja las diagonales de una matriz de forma análoga a diag;
speye devuelve una matriz diagonal con unos, o similar (análoga a eye);
spones matriz de 1s, similar a ones;
sprand, sprandn construyen una matriz sparse con entradas aleatorias (similar a
rand);
Ejercicio 4.5 Con la ayuda de Matlab averigua la sintaxis concreta de los comandos ante-
riores y comprueba con algún ejemplo cómo funcionan.
4.2. Argumentos de funciones
Veremos a continuación cómo se pueden programar funciones en las que tanto el
número de argumentos de entrada como de salida sean variables. Esta caracter´ıstica dota
de una mayor flexibilidad a la programación en Matlab.
Los comandos esenciales que precisamos son
varargin nargin varargout nargout
La instrucciones nargin y nargout informan respectivamente sobre el número de variables
de entrada y el número de variables de salida (number of input arguments y number of
output arguments).
Una función puede aceptar una serie de argumentos fijos, al estilo de las funciones que
programamos en la lección anterior, y un conjunto de argumentos opcionales, que pueden
66

Borrador
ser o no especificados por el usuario. Para su acceso se utilizan respectivamente varargin
(variable input argument) y varargout (variable output argument) mediante llaves ({})5
.
Mostramos a continuación un ejemplo de utilización conjunta de estas nuevas instruc-
ciones. En la cabecera se informa de qué hace la función, dependiendo de los argumentos
de entrada y salida.
01 % DESCOMPOSICIONLU
02 %
03 % [L,U] = DESCOMPOSICIONLU(A)
04 % Devuelve U triang superior, L permutacion de una
05 % triang inferior con 1s en la diagonal tal que A=LU
06 %
07 % [L,U,X] = DESCOMPOSICIONLU(A,B)
08 % Devuelve U triang superior, L permutacion de una
09 % triang. inferior con 1s en la diagonal tal
10 % que A=LU y la solucion del sistema AX=B
11
12 function varargout=DescomposicionLU(a,varargin)
13
14 [l,u]=lu(a); % descomposicion LU
15
16 if nargin==1 & nargout==2
17 varargout{1}=l;
18 varargout{2}=u;
19 elseif nargin==2 & nargout==3
20 b=varargin{1}; % leemos el primer argumento opcional...
21 varargout{1}=l; varargout{2}=u;
22 varargout{3}=u(lb); % solucion del sistema
23 end
Como puede comprobarse, la función precisa de un argumento obligatorio, la matriz
a, uno opcional, el término independiente, y devuelve dos o tres argumentos según se
requiera. Observa los resultados que se han obtenido para varios ejemplos:
>> a=[1 3; 2 4];
>> [l,u]=DescomposicionLU(a)
l =
0.5000 1.0000
1.0000 0
u =
5
Las variables varargin y varargout son de un tipo especial denominado cell array. En la Lección
IV estudiaremos su funcionamiento con más detalle.
67

Borrador
2 4
0 1
>> [l,u,x]=DescomposicionLU(a,[1 2].’)
l =
0.5000 1.0000
1.0000 0
u =
2 4
0 1
x =
1
0
>> [l,u]=DescomposicionLU(a,[1 2]) %falta un arg. de salida
??? Error using ==> DescomposicionLU
Too many output arguments.
>> [l,u,x]=DescomposicionLU(a) %faltan arg. de entrada
??? Error using ==> DescomposicionLU
Too many output arguments.
Ejercicio 4.6 A partir de la función anterior implementa una función que opere según la
“siguiente cabecera”
% DESCOMPOSICIONLU2
%
% R = DESCOMPOSICIONLU2(A)
% Si A es simetrica definida positiva devuelve
% R triang superior tal que A=R’R
% [R,X] = DESCOMPOSICIONLU2(A,B)
% Si A es simetrica definida positiva devuelve
% R triang superior tal que A=R’R y la solucion
% del sistema AX=B
% [L,U] = DESCOMPOSICIONLU2(A)
% Devuelve U triang superior, L permutacion de
% una triang. inferior con 1s en la diagonal
% tal que A=LU
% [L,U,X]= DESCOMPOSICIONLU2(A,B)
% Devuelve U triang superior, L permutacion de
68

Borrador
% una triang. inferior con 1s en la diagonal
% tal que A=LU y la solucion del sistema AX=B
Nota: Realizar la comparación A’==A para testar si la matriz es simétrica. ¿Qué devuelve esta
comparación? ¿Cómo se puede utilizar para comprobar si efectivamente la matriz es simétrica?
¿Y para ver que es definida positiva?.
69

Borrador
70

Borrador
Cap´ıtulo 5
Matrices sparse en Matemáticas.
Métodos iterativos para sistemas de
ecuaciones lineales
5.1. Método de Gauss para matrices sparse
Esta sección se centra en el estudio del método de Gauss para matrices sparse. Mostraremos
los problemas que presenta la aplicación de este algoritmo a este tipo de matrices, espe-
cialmente el efecto relleno y algunas estrategias de reordenamiento que mitigan estos
efectos adversos. Sirve asimismo para ahondar en la problemática de los métodos directos
y allanar y fundamentar los métodos iterativos que se tratan en las siguientes secciones.
Recordemos que en Matlab la resolución de sistemas de ecuaciones utilizando
>> x=ab;
se basa en el método de Gauss (o alguna de sus variantes). Puede plantearse la cuestión de
si es adecuado utilizar “” para matrices con formas especiales como por ejemplo matrices
triangulares o permutaciones de éstas, para las que la eliminación gaussiana no es nece-
saria puesto que las variables se pueden despejar de forma progresiva. Afortunadamente
Matlab detecta estas estructuras básicas y resuelve de una manera óptima el sistema. Si
se consulta la ayuda para este comando se puede leer que se reconoce si una matriz es,
por ejemplo, sparse o llena, simétrica o no simétrica, triangular o permutación de ésta,
bandeada (los elementos concentrados en torno a la diagonal), de Hessenberg1
(con todos
los elementos por debajo de la subdiagonal principal nulos), etc., y aplica el método di-
recto más conveniente en cada caso. Testar si una matriz pertenece a uno de estos tipos
se puede realizar en un número de operaciones despreciable respecto a las del método de
Gauss.
Hemos visto al final de la Lección I que el método de Gauss es matemáticamente
equivalente a calcular dos matrices L y U triangular inferior y superior respectivamente
con 1s en la diagonal de L de forma que
A = LU.
1
Ver Lección IV
71

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