Este documento describe un proyecto de investigación sobre la aplicación de métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la matriz inversa utilizando MATLAB. El proyecto tuvo como objetivo desarrollar un programa en MATLAB que pueda encontrar las raíces de un sistema de ecuaciones lineales a través del método de la matriz inversa de manera rápida y efectiva en cualquier versión de MATLAB. El proyecto analizó los diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y diseñó un programa de bajo perfil en MATLAB que puede ser

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
INFORME DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
DE MÉTODOS NUMÉRICOS
TEMA:
“Aplicación de los métodos numéricos a la solución de sistema de ecuaciones lineales
por el método de la matriz inversa mediante la programación de software matemático
que corran en todas las versiones del MATLAB en la asignatura de Método Numérico
durante el período Mayo - Septiembre 2016”.
EQUIPO RESPONSABLE:
 Castro Intriago Hugo
 Delgado Alvarado Alberto
 Muñoz Anchundia Jorge
 Pico Muentes Carolina
 Zambrano Molina Jose
PROFESOR GUÍA:
Ing. Felipe Rumbaut
CUARTO SEMESTRE PARALELO "C"
PERÍODO ACADÉMICO:
MAYO - SEPTIEMBRE 2016
PORTOVIEJO – MANABÍ – ECUADOR
2016

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
VISIÓN: Ser institución universitaria, líder y referente de la educación superior en el
Ecuador, promoviendo la creación, desarrollo, transmisión y difusión de la ciencia, la
técnica y la cultura, con reconocimiento social y proyección regional y mundial.
MISIÓN: Formar académicos, científicos y profesionales responsables, humanistas,
éticos y solidarios, comprometidos con los objetivos del desarrollo nacional, que
contribuyan a la solución de los problemas del país como universidad de docencia con
investigación, capaces de generar y aplicar nuevos conocimientos, fomentando la
promoción y difusión de los saberes y las culturas, previstos en la Constitución de la
República del Ecuador.
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS FÍSICAS Y QUÍMICAS
VISIÓN: Formar ingenieros reconocidos a nivel nacional por su liderazgo, sólidos
conocimientos científicos y tecnológicos y valores humanísticos, en base a currículo
actualizado según las demandas del ámbito laboral y las oportunidades de
emprendimiento, desarrollando líneas de investigación científico y tecnológica
vinculadas con el progreso del país.
MISIÓN: Ser líderes a nivel nacional, y reconocidos internacionalmente por la
formación de ingenieros, sólidamente vinculados con el medio técnico, social, político
y económico
CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
VISIÓN: Formar recursos humanos capaces de desarrollar áreas de investigación,
vincularse positivamente con su entorno, divulgar los servicios en la disciplina de la
ingeniería y difundir la cultura de acuerdo con las necesidades de crecimiento y
desarrollo de la sociedad, actuando siempre con ética y espíritu competitivo e
innovador.
MISIÓN: Ser una carrera con sólida formación académica y planes de estudio
acreditados que brindan el reconocimiento social e institucional que dé respuesta al
entorno regional, nacional e internacional.

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1. DATOS INFORMATIVOS
1.1. Tema
“Aplicación de los métodos numéricos a la solución de sistema de ecuaciones lineales
por el método de la matriz inversa mediante la programación de software matemático
que corran en todas las versiones del MATLAB en la asignatura de Método Numérico
durante el período Mayo - Septiembre 2016”.
1.2 Título de los Subtemas de la asignatura que abarcó el trabajo
Obtener las raíces de funciones trascendentes por el método de bisección.
Obtener las raíces de funciones trascendentes por el método el método de la secante
modificado.
Obtener las raíces de funciones trascendentes por el método de Newton Raphson.
Obtener las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales por el método de
eliminación de Gauss.
Obtener las raíces de un sistema de ecuaciones lineales por el método de pivoteo
parcial de Gauss.
Obtener las raíces de un sistema de ecuaciones lineales por el método iterativo de
Jacobi.
Obtener las raíces de un sistema de ecuaciones lineales por el método de iteración de
Gauss Siedel.
1.3 Propósito
El objeto de este bloque es el desarrollo y estudio de un tema básico de álgebra lineal
como es el cálculo de la matriz inversa y algunas aplicaciones de ésta a modelos
matemáticos.El cálculo de la matriz inversa no es un proceso sencillo. Primeramente
se aborda desde el punto de vista del método de Gauss y, después por determinantes y
adjuntos; posteriormente, se hace uso del software MATLAB para su cálculo y, por
último, se muestran diversas aplicaciones de ésta

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1.4 Beneficiarios
Directo:
 Integrantes del proyecto de investigación.
 Estudiantes de la asignatura de Método Numérico.
Indirectos:
 Profesores del Departamento de Matemáticas y Estadística.
 Instituto de Ciencias Básicas.
 Escuela de Ingeniería Industrial
 Facultad de Ciencias Matemáticas, Físicas y Químicas.
 Universidad Técnica de Manabí.
1.5. Duración del proyecto
La investigación durará aproximadamente 10 semanas las cuales se dividirán en dos
partes: En la mitad del ciclo se presentará una parte del proyecto correspondiente a un
avance en el cual se entregará la parte teórica del proyecto. En el segundo ciclo se
presentará la investigación realizada, la sustentación de la investigación y se
demostrará los resultados obtenidos.
1.6. Requisitos
Conocimientos: Se necesitara de estudios previos para la realización de este proyecto,
bases en informática, matemática, álgebra y análisis, así como las clases impartidas
por el profesor de la asignatura de método numerico.
Temas específicos: Solución de las raíces de un sistema de ecuaciones lineales por el
método de la matriz inversa
Manejo de herramientas informáticas: Manejo de herramientas informáticas
mediante tutoriales en la Web. Conocimientos de informática básica y aplicada en el
desarrollo de la presente investigación y el uso del software Matlab y sus diferentes
comandos.

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1.7. Equipo responsable del proyecto y participantes
1. Castro Intriago Hugo
2. Delgado Alvarado Alberto
3. Muñoz Anchundia Jorge
4. Pico Muentes Carolina
5. Zambrano Molina Jose
1.8. Área de conocimiento
 Matemática e Informática

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2. DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO
Es de todos sabido que nuestra vida diaria contemporánea requiere de una cantidad de
conocimientos matemáticos cada vez más importantes, sin los cuales carece,
virtualmente, de significado.
En éste se intenta, sin perder rigurosidad matemática, clarificar algunos conceptos para
hacerlos accesibles a un público no matemático. Sin embargo, y dada la amplia
magnitud del tema a abarcar, con este bloque no se pretende acabar con el tema sino
sentar las bases y fundamentos del mismo e incentivar su estudio, profundización y
aplicación posterior
La carencia de programas que corran en todas las versiones de MATLAB para calcular
de forma rápida y efectiva las raíces de un sistema de ecuaciones lineales por el método
de la matriz inversa que complementen el curso de métodos numéricos que se imparte
actualmente en la Universidad Técnica de Manabí.

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3. ANÁLISIS CONTEXTUAL
Resolución de un sistema por la matrizinversa
Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales
mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste
en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del
sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). De
este modo
Cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene solución
(es incompatible).
1. Si B y C son, ambas, inversas de la matriz A, entonces B=C.
Como consecuencia de este importante resultado, podemos afirmar que la
inversa de una matriz,si existe, es única. Toda matriz inversible tiene
exactamente una única matriz inversa.
2. Si A y B son matrices inversibles del mismo tamaño, entonces:
a) A·B es inversible
b) (A·B)-1 = B-1·A-1

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4. OBJETIVOS
4.1. Objetivo general:
Elaborar un programa utilizando el paquete MATLAB que corra en todas las versiones
del mismo, que permita encontrar las raíces de un sistema de ecuaciones lineales por
el método de la matriz inversa utilizando los diferentes algoritmos de solución
empleados en los Métodos Numéricos.
4.2. Objetivos específicos:
 Sistematizar los diferentes métodos de solución para encontrar las raíces de un
sistema de ecuaciones lineales por el método de la matriz inversa utilizadas en
matemática numérica, profundizando en los algoritmos de solución de cada
método.
 Analizar las diferentes herramientas de programación que permite utilizar la
aplicación del paquete de MATLAB
 Diseñar un programa en MATLAB de bajo perfil que corra en todas las
versiones del paquete, que permita obtener las raíces de un sistema de
ecuaciones lineales por el método de la matriz inversa, que sea confiable, de
fácil manipulación y aplicable en cualquier IP donde quiera que se encuentre.
 Establecer el programa como una opción más para encontrar la solución de
raíces de un sistema de ecuaciones lineales por el método de la matriz inversa
que pueda ser utilizado por estudiantes y profesionales que necesiten resolver
este tipo de problema.

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5. JUSTIFICACIÓN
En el siglo en que vivimos, nos exige que cambiemos contantemente y de manera
drástica a los cambios emergentes que este produce y así poder sobrellevar los
problemas y urgencias que demanda esta nueva era. Frente a esto, nos vemos en la
obligación de ser profesionales con los más altos estándares de calidad y de
conocimientos, capaces de resolver cualquier inconveniente sin ningún problema.
Para ello es necesario formar buenas bases en el ámbito investigativo para poder
analizar a fondo la gravedad de un problema expuesto y con qué métodos podemos
solucionarlo o cual sería el más factible. Por ello saber investigar es una parte vital de
su formación profesional, siendo responsabilidad de los docentes los que potencien
esta actividad desde las diferentes asignaturas que imparten.
El sistema de ecuaciones lineales por el método de la matriz inversa para hallar el valor
de la matrices es una de estas soluciones, este método prácticamente le simplifica el
trabajo a cualquier persona, pero en manos de un ingeniero, puede ser un arma
maravillosamente potencial, es por eso que en este proyecto exponemos los grandes
beneficios que se obtiene al usar este método y cuan fácil resultaría aplicarlo en la vida
profesional.

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6. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA Y CONCEPTUAL
Definición
La definición de matriz aparece por primera vez en el año 1850, introducida por J.J.
Sylvester. Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían
descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y, por lo
tanto, empleaban tablas con números.
El desarrollo inicial de la teoría de matrices se debe al matemático W. R. Hamilton, en
1853. En 1858, Arthur Cayley introduce la notación matricial como una forma
abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, la misma
que fue descrita en su publicación "Memorias sobre la teoría de matrices".
Cayley daba la definición de matriz y las operaciones de suma entre matrices, de la
multiplicación de un número real por una matriz, de la multiplicación entre matrices y
de la inversa de una matriz. Cayley afirmaba que obtuvo la idea de matriz a través de
la idea del determinante, considerándola como una forma conveniente para expresar
transformaciones geométricas.
Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen
de forma natural en informática, geometría, estadística, economía, física, logística,
etc. Como ejemplo tenemos en la informática como son tablas organizadas en filas y
columnas: hojas de cálculo, bases de datos, entre otros.
El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados
mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se
registra en la literatura china hacia el 650 a. C.2
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un
importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve
capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo
conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones
simultáneas.3 En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante
apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático
japonés Seki Kowa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.
Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz)
ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas
horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.

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Igualdad entre matrices
Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la
primera es igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es decir:
 Clases de matrices
Matriz Fila
Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila, de dimensión 1 x n.
Matriz Columna
Caso especial de matriz vertical que posee una sola columna, de dimensión mx1.
Ejemplo:
Matriz Rectangular
Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de
la cantidad de columnas.Puede ser de dos formas; vertical u horizontal.
Matriz cuadrada
Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de
columnas. Ejemplos de matriz cuadrada:

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Matriz Triangular superior
Se dice que una matriz es triangular superior si todos los elementos que están por
debajo de la diagonal principal son nulos.

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Matriz Triangular inferior
Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por
encima de la diagonal principal son nulos.
Ejemplo:
 Matriz Nula o Matriz Cero
Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, antisimétrica, nilpotente y
singular.

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 Matriz Diagonal
Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos
aii.
Matriz diagonal, matriz cuadrada donde sus elementos
La matriz identidad es una matriz diagonal. Una matriz diagonal es una matriz
cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal,
y éstos incluso pueden ser nulos o no. Otra forma de decirlo es que es diagonal si
todos sus elementos son nulos salvo algunos de la diagonal principal.
Ejemplos de matrices Diagonales:
 Matriz Escalonada
Es toda matriz en la que el número de ceros que precede al primer elemento no nulo,
de cada fila o de cada columna, es mayor que el de la precedente. Puede ser
escalonada por filas o escalonada por columnas.

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 Matriz Identidad
Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n
en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada.

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7. RECURSOS UTILIZADOS
• Humanos
Presencia y participación de todos los integrantes del grupo
• Tecnológicos
Computadora
Impresora
Smartphone
• Materiales
Cuaderno
Bolígrafo
8. RECURSOS UTILIZADOS
TIPO DE ESTUDIO
El tipo de estudio que se utilizó fue bibliográfico porque se realizó
especialmente en base a textos prescritos.
PROCEDIMIENTOS
Para la investigación se utilizaron los siguientes elementos:
• Aprobación. - Se solicitó la debida aprobación al del profesor para que este
trabajo de investigación se realizara de forma ágil y verídica.
• Capacitación. - Se recibió la total coordinación, por parte del profesor, quien
nos guío en este trabajo de investigación.
• Recursos. - Se utilizaron los recursos humanos, técnicos, materiales,
económicos e institucionales mencionados en el punto 7.
• Supervisión y Coordinación. - En esta etapa se aseguró del cumplimiento
del plan de recolección de datos.

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9. ACTIVIDADES A DESARROLLARSE
PERIODO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE
ACTIVIDADES
1er.Semana
2da.Semana
3er.Semana
4ta.Semana
5ta.Semana
1er.Semana
2da.Semana
3er.Semana
4ta.Semana
1er.Semana
2da.Semana
3er.Semana
4ta.Semana
5ta.Semana
1er.Semana
2da.Semana
3er.Semana
4ta.Semana
1. Identificar los requerimientos del tema elegido en la asignatura y lo comandos del software MATLAB.
Análisis del tema dado en la asignatura.
Revisión de la información acerca de los
comandos a utilizar
Prácticas para la familiarización del entorno
Matlab.
2. elaborar el script que permita resolver el tema elegido, mediante la ejecución en Matlab.
Desarrollo de aplicación individual con
respecto al tema.
Entrega del programa para la realización
de la prueba de funcionamiento
3. Realizar pruebas del sistema informático en MATLAB para verificar su funcionamiento.
Realización de pruebas de
funcionamientos individuales y corrección
de errores
Prueba de funcionamiento final

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10. RESULTADOS ESPERADOS
 Se desarrollarán por completo los softwares necesarios.
 Se entregará un informe del proyecto ejecutado, con todas las especificaciones
sobre este.
11. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
11.1 CONCLUSIONES
 Al diseñar el script matemático se logrará resolver el tema elegido para
desarrollar la usabilidad del programa en Matlab.
 Al diseñar el programa script para los comandos se debe ejecutar el símbolo
% y emplear el nombre del archivo.
11.2 RECOMENDACIONES
 A los estudiantes que cursan la asignatura de Métodos Numéricos en el
Instituto de Ciencias Básicas que tomen en cuenta el programa MATLAB
para el desarrollo de cualquier software matemático
 MATLAB posee un lenguaje propio de programación que son habituales a
los del cálculo numérico y permite a los estudiantes escribir sus propios
script. Conjuntos de comandos escritos en fichero que se pueden ejecutar
con una única orden para resolver un problema.