Fisica cuantica

FISICA CUANTICA
Dr. Mario Piris Silvera
Instittuto Superior de Ciencias y Tecnología Nucleares
Editorial ISCTN, 1999.
La Habana, Cuba

Índice general
1. Cuantos de luz. 9
1.1. Cuerpo Negro. Hipótesis de Plank. . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1. Radiación térmica en equilibrio. . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2. Absorbancia y emisividad. Ley de Kircho¤. . . . . . . . 12
1.1.3. Cuerpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.4. Fórmula de Rayleigh-Jeans. . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5. Fórmula de Plank. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Efecto Fotoeléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1. Experimentos de Hertz y Thomson. . . . . . . . . . . . 20
1.2.2. Explicación clásica del fotoefecto. De…ciencias. . . . . . 21
1.2.3. Explicación cuántica del fotoefecto. Fórmula de Einstein. 23
1.2.4. Propiedades ondulatorias en el fotoefecto . . . . . . . . 26
1.3. Efecto Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1. Teoría de Compton y Debay. . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2. Cuantos de luz y el fenómeno de la interferencia . . . . 33
2. La estructura del átomo 35
2.1. Modelo nuclear del átomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1. Modelo atómico de Thomson . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2. Experimento de Geiger y Marsden . . . . . . . . . . . . 36
2.1.3. Modelo planetario de Rutherford . . . . . . . . . . . . 37
2.1.4. Fórmula de la dispersión de Rutherford . . . . . . . . . 38
2.1.5. Fórmula de Rutherford para la sección diferencial e…caz 41
2.1.6. Comprobación experimental de la fórmula de Ru- ther-
ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.7. Di…cultades del modelo planetario . . . . . . . . . . . . 44
2.2. Teoría de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1. Espectros atómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2. Postulados de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3. Teoría de Bohr para el átomo de un electrón . . . . . . 50
2.2.4. Experimento de Franck y Hertz . . . . . . . . . . . . . 54
3

4 ÍNDICE GENERAL
2.2.5. Condiciones de cuantización de Wilson y Sommerfeld . 57
2.2.6. De…ciencias de la teoría de Bohr . . . . . . . . . . . . . 58
3. Propiedades ondulatorias de la materia 61
3.1. La hipótesis de Louis de Broglie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1. Relación entre las características corpusculares y on-
dulatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2. Velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.3. Velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.4. Los paquetes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.5. Comprobación experimental . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.6. Interpretación estadística de las ondas de Broglie . . . 69
3.1.7. La función de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2. Relaciones de indeterminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.1. Relación de indeterminación de Heisenberg para la co-
ordenada y el momentum . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.2. Interpretación física del principio de indeterminación
de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.3. Las relaciones de indeterminación como relaciones uni-
versales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.4. Relación entre la medición y el principio de indetermi-
nación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.5. Relación de indeterminación para la energía y el tiempo 85
3.2.6. Complementariedad y Causalidad . . . . . . . . . . . . 86
4. Mecánica Cuántica Ondulatoria 89
4.1. Ecuación de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.1. La conservación del número de partículas materiales. . 90
4.1.2. Condiciones generales que se imponen a la ecuación de
Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.3. Ecuación de onda para la partícula libre . . . . . . . . 92
4.1.4. Ecuación de onda para la partícula en un campo escalar 93
4.1.5. Ecuación de Schrödinger estacionaria . . . . . . . . . . 94
4.1.6. Ecuación de Schrödinger y cuantización de la
energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.7. Movimiento unidimensional de una partícula de masa
m en un campo potencial simétrico U(x) . . . . . . . . 96
4.1.8. Movimiento unidimensional de una partícula de masa
m en un campo potencial con simetría esférica . . . . . 102
4.2. El método operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.1. El espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

ÍNDICE GENERAL 5
4.2.2. Valor medio de la coordenada . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.3. Valor medio del momentum . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.4. Funciones propias y valores propios de un
operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.5. El operador de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.6. Conjunto completo de observables . . . . . . . . . . . . 111
4.3. El Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.1. Momento de la cantidad de movimiento lineal de una
partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.2. Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.3. Cuantización de lz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3.4. Cuadrado del operador del Momentum Angular . . . . 119
4.3.5. Regla vectorial para la suma de los momentum angulares122
5. Átomos Monoelectrónicos 127
5.1. El átomo de Hidrógeno y sus similares . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.1. Conjunto completo de observables en el hidrógeno . . . 129
5.1.2. Ecuación radial de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . 129
5.1.3. Cuantización de la energía en el átomo de hidrógeno . 132
5.2. Átomos alcalinos. El espín del electrón. . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.1. Espectros atómicos de los metales alcalinos . . . . . . . 135
5.2.2. Reglas de selección y leyes de conservación. . . . . . . . 138
5.2.3. Estructura de dobletes y el espín del electrón . . . . . . 140
5.2.4. Momentum angular total del átomo monoelectrónico . 141
5.2.5. Notación simbólica de los estados atómicos . . . . . . . 142
5.3. Propiedades magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3.1. Momento magnético orbital del electrón . . . . . . . . 144
5.3.2. Momento magnético propio del electrón . . . . . . . . . 146
5.3.3. Interacción “ls” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3.4. Momento magnético total del átomo
monoelectrónico. Modelo vectorial. . . . . . . . . . . . 148
5.3.5. Experimento de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3.6. Estructura …na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.3.7. Estructura super…na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6. Átomos Multielectrónicos 155
6.1. Descripción de partículas idénticas . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.1.1. Principio de Indistinguibilidad . . . . . . . . . . . . . . 156
6.1.2. Funciones de onda simétricas y antisimétricas. Bosones
y Fermiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.1.3. Partículas no interactuantes . . . . . . . . . . . . . . . 158

6 ÍNDICE GENERAL
6.1.4. Principio de exclusión de Pauli . . . . . . . . . . . . . 161
6.1.5. Momentum angular de sistemas con capas
cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2. Propiedades Magnéticas. Efecto Zeeman. . . . . . . . . . . . . 163
6.2.1. Modelo vectorial del átomo multielectrónico . . . . . . 164
6.2.2. Notación simbólica en la espectroscopia . . . . . . . . . 165
6.2.3. Reglas de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2.4. Efecto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.5. Efecto Pashen-Back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3. El átomo de Helio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.3.1. Series espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.3.2. Método perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.3.3. Aproximación de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.3.4. Correcciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 180
6.4. Aproximación de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.4.1. Unidades atómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4.2. Método variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4.3. Aproximación de Hartree y Fock . . . . . . . . . . . . 185
6.4.4. Energía de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.4.5. Ecuaciones de Hartree-Fock. Operador de Fock . . . . 189
6.4.6. Método de solución de las ecuaciones de Hartree y Fock 192

ÍNDICE GENERAL 7
Introducción
El entendimiento de la física del micromundo resulta imposible sin el
conocimiento de las representaciones cuánticas. El objetivo fundamental de
este curso es introducir los conceptos y principios fundamentales de la física
cuántica.
El contenido se desarrolla a partir de los hechos experimentales que
obligaron la introducción de estos nuevos conceptos, siguiendo hasta cier-
to punto el desarrollo histórico. No constituye por lo tanto una exposición
teórica que parte de los postulados desde el inicio.
El libro consta de 6 capítulos. Los primeros 3 temas están dedicados al
estudio de los hechos que motivaron la introducción de los cuantos de luz y
de energía, hasta llegar a la vieja teoría cuántica. El capítulo 4 expone los
conceptos básicos de la mecánica ondulatoria, y los capítulos 5 y 6 están de-
dicados a las aplicaciones fundamentales de la teoría cuántica en los sistemas
atómicos.
En general, el curso está concebido para ser impartido en 32 horas de
clases teóricas, y para su elaboración el autor se basó en sus años de experien-
cia en la impartición de esta asignatura en el Instituto Superior de Ciencias
y Tecnología Nucleares.

Capítulo 1
Cuantos de luz.
Desde que Newton formuló sus leyes de la mecánica hasta los …nales del
siglo XIX, la física se desarrolló de manera exitosa. La aparición de nuevos
hechos experimentales se lograba explicar ya sea por la introducción de nuevas
variables dinámicas o bien de nuevas ecuaciones. En este periodo, ningún
hecho experimental puso en duda la doctrina clásica y la descripción de un
sistema se realizaba con la ayuda de determinadas variables dinámicas, las
cuales en cada momento de tiempo tenían bien determinados sus valores que
de…nían al sistema. La evolución de un sistema estaba totalmente dada si era
conocido el estado del sistema en un momento inicial.
Por otra parte, se había establecido que en el mundo existían dos for-
mas de existencia de la materia: la sustancia y la radiación. La sustancia
se consideraba compuesta de corpúsculos localizados que se subordinaban a
las leyes de Newton, y cuyos estados se determinaban en cada momento por
su posición y velocidad. La radiación por su parte consitía de ondas elec-
tromagnéticas subordinadas a la teoría de Maxwell, con in…nitas variables
dinámicas que conforman en cada punto del espacio a los campos E y H. A
diferencia de la sustancia, las ondas electromagnéticas no se podían dividir en
corpúsculos localizados en el espacio, ellas constituían procesos ondulatorios
con fenómenos bien conocidos como la difracción y la interferencia. En un
inicio, la teoría corpuscular se aplicó a los cuerpos macroscópicos, y cuando
se propuso la hipótesis atómica de la estructura de la sustancia se extendió
al micromundo, dando origen a la mecánica estadística. Según la mecánica
estadística, las magnitudes macroscópicas constituyen los valores medios de
las variables dinámicas del sistema que posee un número muy elevado de
grados de libertad. La investigación de los gases (teoría cinética de los gases)
y la termodinámica permitieron corroborar cualitativamente las principales
posiciones de la teoría corpuscular de la sustancia.
Sin embargo, surgieron nuevos fenómenos que no encontraban explicación
9

10 CAPÍTULO 1. CUANTOS DE LUZ.
en la teoría clásica y que no se podían justi…car con di…cultades matemáticas.
Uno de ellos resultó ser el problema de la radiación del cuerpo negro.
1.1. Cuerpo Negro. Hipótesis de Plank.
Radiación térmica en equilibrio.
Absorbancia y emisividad. Ley de Kircho¤.
Cuerpo Negro. Leyes fenomenológicas: ley de Stefan-Boltzmann, ley de
desplazamiento de Wien, ley de Wien para la densidad espectral de
energía.
Formula de Rayleigh-Jeans.
Hipótesis de Plank. Formula de Plank. Análisis de los casos extremos.
1.1.1. Radiación térmica en equilibrio.
La radiación de la luz ocurre como resultado de las transformaciones de
los átomos, moléculas y otros sistemas atómicos, al pasar de estados de mayor
energía a los de menor energía. En el caso de la radiación térmica, la energía
que se transforma es la energía cinética de las partículas, es decir, la energía
térmica asociada a los átomos y moléculas. Una característica importante
de la radiación térmica es su espectro de emisión, el cual contiene todas las
longitudes de onda a diferencia de otros tipos de radiaciones. No vamos a
estudiar todos los tipos de radiaciones térmicas, sólo uno en particular: la
radiación térmica en equilibrio.
Supongamos se tiene una cavidad inmóvil y no transparente con tempe-
ratura constante en sus paredes. Producto de sus excitaciones térmicas, los
átomos y moléculas van a emitir sus radiaciones al interior de la cavidad.
Parte de la energía de estas radiaciones es absorbida y la otra se re‡eja.
Durante este proceso cambian la dirección, la composición espectral, la polari-
zación y la intensidad de las radiaciones. Al pasar un tiempo su…cientemente
grande, se establece un estado macroscópico (nos estamos re…riendo a toda
la cavidad), en el cual, por cada intervalo de tiempo, la cantidad promedio de
energía irradiada de determinado color, dirección y polarización, se iguala a
la cantidad de energía absorbida con iguales características. Se establece un
equilibrio que explica correctamente la mecánica estadística. Al alcanzarse el
equilibrio, la radiación presenta las siguientes características:

1.1. CUERPO NEGRO. HIPÓTESIS DE PLANK. 11
1. La densidad de energía, la distribución espectral y otras magnitudes
que la caracterizan, no dependen de la forma ni del material de las
paredes de la cavidad.
2. Es homogénea, su densidad no depende del punto dentro de la cavidad.
3. Es isotrópica y no polarizada.
Analicemos a continuación las magnitudes que caracterizan a la radiación
en el espacio.
Densidad de energía de la radiación ( ): Cantidad de energía de la ra-
diación por unidad de volumen en el espacio. En términos diferenciales:
=
dE
dV
(1.1)
Se acostumbra a utilizar su desarrollo espectral:
=
Z 1
0
( ) d (1.2)
En el equilibrio, ( ) sólo depende de y T, ya que no hay dependencia
ni del material ni de la forma de la cavidad. Además, consideraremos en lo
adelante que en la cavidad existe vacío, en caso contrario, sí existe depen-
dencia del medio contenido en la cavidad. La tarea principal en la teoría de
la radiación térmica consiste en encontrar la función universal T ( ) .
Intensidad de la radiación (I): Cantidad de energía que atraviesa en la
unidad de tiempo el área unitaria perpendicular a la dirección de propagación.
En términos diferenciales:
I =
d2
E
dtdS
(1.3)
Desarrollo espectral:
I =
Z 1
0
I ( ) d (1.4)
Relación entre la densidad y la intensidad de la radiación.
Denotemos por c a la velocidad de propagación de la luz en el vacío,
entonces:
dl = cdt ! dV = cdtdS ! I = c
dE
dV
! I = c (1.5)

1.1.2. Absorbancia y emisividad. Ley de Kircho¤.
En el experimento se observa que tanto la energía que absorbe como la
que emite un cuerpo son directamente proporcionales a la intensidad de la
radiación que incide y que se emite respectivamente, siendo la proporción
dependiente del material que compone al cuerpo y del estado en que este se
encuentra. Subsisten las siguientes relaciones:
Ea = aIi ; Ee = eIe (1.6)
donde Ea representa a la energía absorbida por unidad de área y de tiempo,
Ii es la intensidad de la radiación que incide sobre el cuerpo y a es el coe-
…ciente adimensional denominado absorbancia. Este último depende de la
naturaleza de la super…cie absorbente y toma valores en el intervalo 0 a 1
De forma similar, Ee representa a la energía que pierde el cuerpo por
unidad de área y de tiempo, Ie es la intensidad de la radiación que irradia el
cuerpo y e es otro coe…ciente adimensional que recibe el nombre de emisivi-
dad. Este también depende de la naturaleza de la super…cie emisora y toma
valores entre 0 y 1.
Ley de Kircho¤ : Si un cuerpo se encuentra en equilibrio térmico su ab-
sorbancia es igual a su emisividad (a = e).
Esta ley puede ser demostrada utilizando razonamientos puramente ter-
modinámicos, su validez ha sido veri…cada en el experimento.
1.1.3. Cuerpo Negro
Se denomina cuerpo negro al cuerpo para el cual a = e = 1 en equilibrio
térmico.
Evidentemente, de todos los cuerpos, para una temperatura dada, el cuer-
po negro es el de mayor capacidad de absorción y de emisión.
El cuerpo negro es una idealización. Su mejor aproximación es una cavidad
cerrada en cuyas paredes se tiene un ori…cio muy pequeño. En efecto, si un
rayo luz entra a tal cavidad, sufrirá continuas re‡exiones en las paredes de la
cavidad. En cada re‡exión parte de la energía es absorbida por las paredes
y la otra es re‡ejada. Después de muchas re‡exiones una insigni…cante parte
logra salir por el ori…cio, siendo prácticamente toda la energía absorbida. Se
establece un estado que poco se diferencia del equilibrio en la cavidad y el
ori…cio se comporta irradiando como un cuerpo negro de sus dimensiones y
forma.

Leyes fenomenológicas de la radiación del cuerpo negro
1. Ley de Stefan-Boltzmann.
En 1879, Stefan encontró de forma empírica que la intensidad integral por
todo el espectro de la radiación emitida por un cuerpo negro es proporcional
a la cuarta potencia de su temperatura absoluta:
I = T4
(1.7)
Cinco años más tarde, Boltzmann demostró este resultado teóricamente
utilizando el método de los ciclos termodinámicos. La constante se denomi-
na constante de Stefan-Boltzmann y su valor es 5; 669 10 8
W=m2
K4
:
2. Ley de desplazamiento de Wien.
Entre la temperatura absoluta T y la longitud de onda m; para la cual se
alcanza el máximo en la densidad espectral de energía IT ( ); de la radiación
emitida por el cuerpo negro, existe la relación:
T m = b (1.8)
donde b = 2; 898 106
nm K recibe el nombre de constante de Wien.
3. Ley de Wien para la densidad espectral de energía del cuerpo negro.
La densidad espectral de energía del cuerpo negro T ( ) posee la depen-
dencia funcional:
T ( ) =
f( T)
5 (1.9)
donde f( T) es una función universal. Esta ecuación fue obtenida por
Wien a partir de principios muy generales de la termodinámica. En el marco
de una teoría tan fenomenológica como la termodinámica no fue posible en-
contrar a la función universal f( T). Fue necesario considerar los métodos de
la mecánica estadística y la introducción de los nuevos conceptos cuánticos
de la sustancia y la radiación para hallar a esta función.

1.1.4. Fórmula de Rayleigh-Jeans.
Rayleigh y Jeans fueron los primeros en tratar de resolver la tarea prin-
cipal en la teoría de la radiación térmica, es decir, en tratar de encontrar la
función T ( ).
Estos cientí…cos tomaron en cuenta el teorema estadístico sobre la dis-
tribución uniforme de la energía cinética por los grados de libertad. Según
este teorema, en el estado de equilibrio, a cada grado de libertad corresponde
en promedio una energía cinética igual a 1=2kT, donde k = 1; 38 10 23
J=K
y se denomina constante de Boltzmann.
Si las partículas en cuestión se encuentran ligadas y realizando oscila-
ciones (como vamos a considerar) hay que tener en cuenta además a la energía
potencial asociada a sus interacciones. En el caso de oscilaciones armónicas,
el valor medio de la energía potencial también resulta igual a 1=2kT. Toman-
do esto en cuenta, a cada oscilador armónico se le asocia un valor medio de
energía igual a kT.
Un análisis similar se realiza para las ondas electromagnéticas que se
establecen en el interior de la cavidad. En el interior de la cavidad se van
a establecer ondas estacionarias y al grado de libertad asociado con la onda
eléctrica se le asigna una energía promedio igual a 1=2kT: De forma análoga
a la componente magnética corresponderá otro 1=2kT, y de esta forma, a
cada onda estacionaria corresponderá en promedio una energía " = kT.
Si se determina el número de ondas estacionarias que se establecen en una
cavidad para cada frecuencia o longitud de onda a una temperatura dada,
podemos obtener la función T ( ) o T (v). Se puede demostrar que el número
de frecuencias permitido en el intervalo ( ; + d ) es:
N( )d =
8 V
c3
2
d (1.10)
donde V es el volumen de la cavidad. De esta ecuación obtenemos que:
T ( ) =
8 2
c3
" =
8 2
c3
kT =
8 k
c3
2
T (1.11)
En términos de la longitud de onda tendremos:
N( )d =
8 V
4 d (1.12)
donde se tuvo en cuenta que:
c = ! 0 = d + d ! d =
c
2 d (1.13)

Notemos que la última relación es modular por tratarse de diferenciales.
La fórmula de Rayleigh-Jeans es por tanto:
T ( ) =
8 kT
4 (1.14)
Comparando este resultado con la ley de Wien para la densidad espectral
de energía, se obtiene que la función universal
f( T) = 8 k ( T) (1.15)
Experimentalmente se comprueba que la fórmula de Rayleigh-Jeans es
sólo válida para longitudes de onda altas (frecuencias bajas). Además, la
radiación tiene in…nitos grados de libertad, mientras que la sustancia en la
cavidad tiene un número …nito de estos. Si se supone que la fórmula trabaja en
las frecuencias altas, y se integra en todo el rango de frecuencias obtenemos:
T =
Z 1
0
T ( ) d =
8 kT
c3
Z 1
0
2
d = 1 (1.16)
No sería posible el equilibrio térmico entre la sustancia y la radiación.
Este resultado se conoce como catástrofe ultravioleta, y fue deducido por
Erenfest.
Se podría pensar en rechazar el teorema de la distribución uniforme por
grados de libertad en el caso de que estos sean in…nitos, pero no estaría
justi…cado.
1.1.5. Fórmula de Plank.
La fórmula que satisface los resultados experimentales en todo el espectro
fue encontrada por Plank primero de forma empírica, y más tarde la demostró
teóricamente.
Expuso su teoría el 14 de diciembre de 1900, en la reunión de …nal de año
de la Sociedad Alemana de Física, día que se considera como el del nacimiento
de la Física Cuántica.
Para arribar a sus resultados Plank lanzó la siguiente hipótesis, que no
tiene sentido alguno en los marcos de la física clásica:
La emisión y absorción de la luz por la sustancias no ocurre de forma con-
tinua, sino por porciones …nitas denominadas cuantos de energía o cuantos
de luz.
Concretamente, supongamos se tiene un oscilador armónico unidimen-
sional. Tomando en consideración la hipótesis de Plank este oscilador sólo
puede tomar valores seleccionados de energías que forman la serie discreta:

0; "0; 2"0; 3"0; :::, donde "0 determina la porción más pequeña de energía que
puede adquirir el oscilador, y dependerá solamente de las características de
éste, es decir, de la frecuencia propia del oscilador.
A partir de que la radiación en equilibrio no depende de la sustancia que
conforma la pared de la cavidad, Plank consideró toda la cavidad como un
conjunto de osciladores. Posteriormente, supuso que no sólo la cavidad, sino
también las ondas estacionarias que en ella se establecen con determinada
frecuencia, se comportan como los osciladores armónicos.
En la cavidad se establece el equilibrio, y son excitados todos los estados
con diferentes probabilidades. La distribución de probabilidades que Plank
consideró obedecía a la ley de Boltzmann. Esto implica que el número de
osciladores con energía E a la temperatura dada T en la cavidad, va a ser
proporcional a e
E
kT . Con estas consideraciones podemos determinar a T ( ).
Calculemos primeramente el valor medio de la energía ":
" =
P1
n=1 n"0e
nE
kT
P1
n=0 e
nE
kT
= "0
P1
n=1 ne nx
P1
n=0 e nx
(1.17)
donde x = "0
kT
. Efectuando la suma
1X
n=0
e nx
=
1
1 e x
(1.18)
y derivando esta igualdad se tiene que
1X
n=1
ne nx
=
e x
(1 e x)2 (1.19)
Sustituyendo los dos últimos resultados en la ecuación 1.17 se obtiene:
" =
"0
e
"0
kT 1
(1.20)
Finalmente, sustituyendo " en la ecuación 1.11, utilizada anteriormente
para obtener la fórmula de Rayleigh-Jeans, obtenemos la fórmula de Plank:
T ( ) =
8 2
c3
"0
e
"0
kT 1
(1.21)
En el límite cuando "0 ! 0 debemos obtener la fórmula clásica de Rayleigh-
Jeans, que supone la variación de energía en forma continua. En efecto,
e
"0
kT 1 + "0
kT
, y de la ecuación 1.21 se obtiene

T ( ) =
8 2
c3
kT (1.22)
Procediendo de forma similar a como se hizo anteriormente (ver 1.13),
podemos obtener la formula de Plank en términos de la longitud de onda:
T ( ) =
8
4
"0
e
"0
kT 1
(1.23)
Esto nos conduce a que la función f( T) de la ley de Wien es igual a:
f( T) =
8 "0
e
"0
kT 1
(1.24)
"0 es una característica de los osciladores, por lo tanto no depende de la
temperatura (característica macroscópica) y depende solamente de las fre-
cuencias propias de estos "0 = h = hc= .
h = 6; 625 10 34
J s recibe la denominación de constante de Plank.
Sustituyendo el valor de "0 en la ecuación 1.24, la función f( T) se trans-
forma en:
f( T) =
8 hc
e
hc
k T 1
(1.25)
Analicemos ahora los casos extremos para la densidad espectral de energía
del cuerpo negro .
El límite para pequeñas (frecuencias altas) es:
T ( ) =
8 h
c3
3
e
h
kT 1
!
8 h
c3
3
e
h
kT (1.26)
T ( ) =
8
5
hc
e
hc
k T 1
! 8 hc 5
e
hc
k T (1.27)
Esta fórmula fue propuesta por Wien en 1896 y fue obtenida de forma
empírica. La misma describe sólo los valores experimentales para frecuencias
altas y trabaja mal en la región infrarroja donde trabaja bien la de Rayleigh-
Jeans que se obtiene en el limite cuando "0 ! 0, es decir, para frecuencias
bajas.
En un grá…co (x; y); tomando
x =
h
kT
; y =
x3
ex 1
(1.28)
de forma tal que
T (x) =
8
h2c3
(kT)3 x3
ex 1
= Constante y (1.29)

0 2 4 6 8 10
0.0
0.5
1.0
1.5
x
y
Plank
Wien
Rayleigh-Jeans
Figura 1.1: Densidad espectral de energía. x = h =kT; y = C T (x)
se obtiene el grá…co 1.1.
Utilizando la fórmula de Plank 1.21 se pueden obtener facilmente las
leyes fenomenológicas de Stefan-Boltzmann y la ley de Wien para el des-
plazamiento.

1.2. EFECTO FOTOELÉCTRICO. 19
Resumen
La radiación térmica en equilibrio no depende de la forma ni del mate-
rial de las paredes de la cavidad. Es una radiación homogénea, isotrópi-
ca y no polarizada.
Las energías que absorbe o emite un cuerpo son directamente propor-
cionales a las intensidades de la radiación que incide o emite respecti-
vamente: Ea = aIi; Ee = eIe:
Se denomina cuerpo negro al cuerpo para el cual a = e = 1 en el
equilibrio térmico.
Leyes fenomenológicas de la radiación del cuerpo negro:
I = T4
; T m = b ; T ( ) =
f( T)
5
Hipótesis de Plank: La emisión y absorción de la luz por la sustancia
no ocurre de forma continua, sino por porciones …nitas denominadas
cuantos de energía o cuantos de luz.
Fórmula de Plank:
T ( ) =
8 h
c3
3
e
h
kT 1
; T ( ) =
8
5
hc
e
hc
k T 1
1.2. Efecto Fotoeléctrico.
Experimentos de Hertz y Thomson.
Explicación clásica del fotoefecto. De…ciencias.
Explicación cuántica del fotoefecto. Hipótesis de Einstein. Trabajo de
extracción. Fórmula de Einstein. Frecuencia de corte.
Propiedades ondulatorias en el fotoefecto. Carácter dual de la luz.
Como analizamos en el epígrafe anterior, la teoría ondulatoria de la luz no
es capaz de explicar el comportamiento de la radiación térmica en equilibrio
de un cuerpo negro.
Fue Max Plank, quien introduciendo una nueva hipótesis acerca de la
emisión y absorción de la luz por la sustancia no de forma continua, sino en

porciones o cuantos ("0 = h ), logró dar una explicación adecuada a este
fenómeno.
Sin embargo, el propio Plank sólo consideraba las propiedades cuánticas
de la luz en los actos de emisión y absorción, es decir, en la interacción de la
luz con la sustancia. La propagación en el espacio la seguía considerando en
su forma continua, descrita por las ecuaciones de Maxwell.
En 1905, Einstein de una forma radical proporcionó una teoría cuánti-
ca más acabada de la luz. Él, a partir de los resultados experimentales y
de representaciones teóricas, llegó a la conclusión de que también en su
propagación la luz se comporta como un conjunto de determinadas partícu-
las, cuyas energías se determinan según las energías de los cuantos de Plank.
Más tarde, estas partículas recibieron el nombre de fotones.
1.2.1. Experimentos de Hertz y Thomson.
Uno de los fenómenos importantes que condujo a la hipótesis de los fo-
tones fue el efecto fotoeléctrico, también conocido como fotoefecto.
En 1887, Henry Hertz descubrió que iluminando con luz ultravioleta un
electrodo negativo sometido a una tensión, se produce un arco eléctrico entre
los electrodos. Hertz no le dió importancia al fenómeno debido a lo ocupado
que estaba en la investigación de las ondas electromagnéticas.
La esencia del fenómeno consiste en que al iluminar con luz ultravioleta
un cuerpo metálico cargado negativamente este pierde parte de su carga. Si
se ilumina un cuerpo cargado de forma positiva no se observa esta pérdida de
carga y más aún, si se ilumina un cuerpo neutro, éste se carga positivamente.
Las propiedades fotoeléctricas aparecen no sólo en los metales, estas están
presentes también en los dieléctricos y semiconductores. La única condición
necesaria, aunque no su…ciente, es que exista su…ciente absorción de luz. Por
otro lado, no sólo ocurre bajo luz ultravioleta, en metales alcalinos (sodio,
litio, etc) aparece en luz visible. En super…cies muy trabajadas se puede
obtener fotoefecto hasta con rayos infrarrojos.
En 1897, Thomson descubre el electrón en el estudio de los rayos catódi-
cos, y conjuntamente con Lenard mide la relación carga-masa (e=m) de las
partículas que se emiten en el fotoefecto, quedando demostrado que estas son
electrones.
Debemos diferenciar el fotoefecto externo del interno. En el externo, los
electrones son liberados por la luz de la capa super…cial de la sustancia,
pasando al vacío o a otro medio. En el interno, los electrones se quedan
dentro del cuerpo, a pesar de ser excitados. Analicemos con más detalles el
primero por ahora.

Figura 1.2: Esquema de una instalación donde se obtiene el efecto fotoeléc-
trico.
La …gura 1.2 muestra un esquema de una instalación donde se obtiene el
efecto fotoeléctrico.
Los electrones que se desprenden del cátodo, se ven sometidos al potencial
del ánodo, cerrando el circuito. Por medio de la velocidad con que se carga
el electrómetro se puede determinar la corriente del circuito y la cantidad de
fotoelectrones que alcanzan el ánodo en la unidad de tiempo.
El fotoefecto depende del estado de la super…cie del cátodo y del gas,
si existe este en el espacio comprendido entre el ánodo y el cátodo, pues
complica el fenómeno debido a las ionizaciones que pudieran aparecer. Se
trata de llevar a cabo el experimento en un buen vacío y en super…cies muy
limpias.
Se estudia el fotoefecto para una intensidad y frecuencia de la luz de
incidencia, variando la tensión V entre el cátodo y el ánodo. Se construye
la dependencia de la corriente I en función de V , que recibe el nombre de
característica del fotoelemento.
En el experimento se observa que al aumentar V se llega a una corriente
máxima que recibe el nombre de corriente de saturación. Esta corriente se
alcanza cuando todos los electrones liberados del cátodo por la luz alcanzan
el ánodo. Un aumento posterior de V no aumenta la corriente I, ya que
la cantidad de electrones arrancados en la unidad de tiempo no varía. La
corriente de saturación depende proporcionalmente de la intensidad de la luz
incidente para una frecuencia dada.
1.2.2. Explicación clásica del fotoefecto. De…ciencias.
Se podría intentar dar una explicación clásica del fenómeno desde el punto
de vista ondulatorio. Consideremos primero a los electrones libres, es decir, a
aquellos electrones que están en el metal sometidos a la acción de un campo

-5 0 5
0
2
4
6
-----------------------------
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Vs
0Vi
is
V
I
Figura 1.3: Característica del fotoelemento.
que los retiene, existente en la frontera del metal.
Para extraer uno de estos electrones es necesario realizar un trabajo de
unos pocos electrón-voltios. Bajo el efecto del campo eléctrico de la onda
electromagnética de la luz incidente, estos electrones comienzan a oscilar, y
cuando la energía es su…cientemente grande el electrón puede vencer el campo
que lo retiene y salir del metal.
Para los electrones enlazados la explicación es similar, sólo que la de-
pendencia de las oscilaciones tendrá un carácter mas complejo debido a la
resonancia.
Según esta explicación la energía del electrón que sale deberá ser mayor si
la intensidad de la luz aumenta. En efecto, la intensidad lumínica es propor-
cional a la amplitud de las oscilaciones electromagnéticas, y esto aumentaría
el campo eléctrico que actua sobre el electrón por parte de la onda. Sin em-
bargo, en el experimento queda demostrado que la máxima velocidad, y por
ende la energía cinética máxima, que poseen los electrones no depende de la
intensidad de la luz, sino de su frecuencia.
Otro punto importante donde falla esta explicación concierne al tiempo
necesario de aparición del fotoefecto.
Supongamos se tiene una fuente de luz puntual, isotrópica y continua de
potencia P = 100W, que ilumina un cátodo plano perpendicular de zinc, a
una distancia r = 1m. La energía luminosa que se trasmite al fotocátodo en
la unidad de tiempo y de super…cie será:
P
4 r2
(1.30)
Conociendo el trabajo A de extracción (' 3; 74 eV para el zinc), y con-

siderando que la energía máxima que alcanzan los electrones en las oscila-
ciones debe ser
Emax =
P
4 r2
t (1.31)
donde representa la sección e…caz para un átomo y t al tiempo de exposi-
ción, podemos obtener una valoración del tiempo que requiere la aparición
del fotoefecto:
Emax =
P
4 r2
t > A ) t >
4 r2
A
P
1; 25seg (1.32)
De acuerdo con la física clásica, el fotoefecto siempre debe ocurrir con
retraso.
El experimento muestra que el fotoefecto ocurre instantáneamente con la
iluminación.
1.2.3. Explicación cuántica del fotoefecto. Fórmula de
Einstein.
Veamos al fotoefecto desde el punto de vista corpuscular.
Supongamos la luz está compuesta por partículas denominadas fotones,
que poseen determinada energía e impulso y que viajan a la velocidad c.
Según la hipótesis de Einstein la energía de los fotones viene dada por la
fórmula de Plank:
E = h (1.33)
¿Cuál será la cantidad de movimiento lineal de estas partículas?.
De la teoría relativista sabemos que se cumple la siguiente relación entre
la energía E y la cantidad de movimiento lineal p:
E
c
2
p2
= (m0 c)2
(1.34)
Estamos considerando que durante el movimiento el estado interno de la
partícula, y por tanto su masa m0; no varía.
Por otro lado, la energía de una partícula satisface la ecuación relativista:
E =
m0 c2
q
1 v
c
2
(1.35)
De acuerdo con la ecuación anterior, si el fotón posee masa m0 6= 0, su
energía se torna in…nita al viajar este con la velocidad de la luz c. La masa del

fotón debe ser por lo tanto nula. De la ecuación 1.34 obtenemos la siguiente
relación modular entre p y E:
E = pc (1.36)
Debemos observar que el signo negativo de la raíz desaparece si se con-
sidera que el vector p está dirigido en la dirección de propagación de la luz,
tomada como positiva.
Introduzcamos el vector de ondas k, dirigido en la dirección de propa-
gación y de magnitud:
jkj =
2
(1.37)
Se cumple entonces
h = pc ) p =
h
; p = hk (1.38)
Retornemos al fotoefecto. El proceso de interacción de la luz con el cátodo
se puede considerar ahora como choques entre partículas, es decir, el fotoefec-
to surge en los choques inelásticos de los fotones con los electrones. En estos
choques, el fotón es absorbido y su energía se trasmite a los electrones. De
esta forma, los electrones adquirien la energía cinética de forma instantánea,
y esta depende de la frecuencia de radiación incidente.
La energía del fotón incidente puede consumirse al liberar un electrón
enlazado a un átomo. Además, un electrón liberado puede interactuar con
los átomos dentro del metal, cediendo energía en forma de calor. La máxi-
ma energía de los fotoelectrones se obtiene cuando el electrón es libre (no
enlazado a un átomo en especí…co), y cuando no cede energía en forma de
calor al salir del metal. En tal caso, se produce sólo perdida de energía al
vencer las fuerzas que lo mantienen en el metal y que actúan en la super…cie,
energía conocida como trabajo de extracción (A).
Supongamos se ha producido el choque del electrón con un solo fotón,
entonces la energía cinética máxima se determina por la fórmula de Ein-
stein:
Tmax =
1
2
mev2
max = h A (1.39)
El término de electrón “libre”en el metal no es del todo correcto, pues
el electrón se encuentra como en una caja dentro de la cual existe un campo
que lo retiene. El fotón interactua con el electrón y con el metal como un
todo. Por supuesto, como el cátodo tiene una masa que podemos considerar
in…nita, la energía del fotón es prácticamente absorbida por el electrón.
Para un electrón realmente libre sólo puede ocurrir la dispersión, y éste
no puede absorber o emitir un fotón. En efecto, tomemos un sistema de

referencia donde el electrón se encuentra inicialmente en reposo. Supongamos
que el electrón emite un fotón con las magnitudes pf y Ef , y sus energía y
cantidad de movimiento después de la emisión son Ee y pe respectivamente.
De las leyes de conservación tenemos:
pe + pf = 0 ; Ee + Ef = me c2
(1.40)
donde me representa a la masa del electrón en reposo.Tomando en cuenta
la relación 1.36 entre la energía y la cantidad de movimiento del fotón, la
ecuación 1.34 para estas magnitudes en el caso del electrón, y combinando
las ecuaciones anteriores es fácil obtener la siguente relación
Ef me c2
= 0
que posee como única solución Ef = 0; indicando la imposibilidad de la
emisión de un fotón para un electrón totalmente libre. De forma similar se
demuestra la imposibilidad de la absorción.
De la fórmula de Einstein 1.39 se desprenden 2 conclusiones importantes:
1. La energía cinética máxima depende linealmente de la frecuencia y
no depende de la intensidad de la luz. La intensidad sólo in‡uye en la
cantidad de electrones que se producen en el fotoefecto. Notemos que la
tangente del ángulo del grá…co: energía cinética vs frecuencia, coincide
con la constante de Plank h; y constituye su construcción un método
para determinar a h:
2. Existe una frontera en las frecuencias bajas 0, denominada frecuencia
de corte, por debajo de la cual no se observa el fotoefecto. Si tomamos
el trabajo de extracción A = h 0, la fórmula de Einstein 1.39 adopta
la forma:
Tmax = h( 0) (1.41)
Sólo ocurre el fotoefecto para > 0, de lo contrario el miembro derecho
de la ecuación 1.41 se torna negativo, lo cual es imposible para la energía
cinética. La existencia de esta frontera es incomprensible desde el punto de
vista ondulatorio.
Para comprobar experimentalmente la validez de la fórmula de Einstein,
es necesario determinar la energía cinética máxima de los electrones. Re-
tornemos al grá…co 1.3, que nos da la característica del fotoelemento. Como
se puede apreciar, el estudio se realiza para tensiones negativas entre el cáto-
do y el ánodo, potencial retardador, y para tensiones positivas, potencial
acelerador. El hecho de que el campo eléctrico acelera los electrones en el

sentido del aumento de la tensión V , conduce al aumento de la corriente I.
Para un potencial negativo Vi, denominado potencial de interrupción,
la corriente desaparece. Cuando el voltímetro muestra tensiones ligeramente
superiorers a Vi; los electrones comienzan a llegar al ánodo, fenómeno que
sólo pueden realizar aquellos electrones que poseen la velocidad máxima.
Por consiguiente, podemos escribir:
Tmax = eVi (1.42)
donde e denota al valor modular de la carga del electrón.
Las comprobaciones experimentales exactas del fotoefecto fueron efectua-
das por primera vez por Richard y Compton en 1912, aun más exactas fueron
las de Milliken en 1916.
La posición de Vi varía según el valor de la frecuencia de la luz incidente,
ya que Tmax depende de esta.
La posición de Vs no depende de : Para esta tensión incluso los electrones
con velocidad cero llegan al ánodo, es decir, Vs depende sólo de la estación
experimental.
1.2.4. Propiedades ondulatorias en el fotoefecto
Hasta ahora habíamos acentuado las propiedades corpusculares de la luz
en el fotoefecto, sin embargo, las propiedades ondulatorias también se man-
i…estan en este fenómeno. Estas últimas propiedades se mani…estan en el
llamado fotoefecto selectivo.
Representemos con is a la corriente de saturación que se alcanza por
intervalo de longitud de onda . Si el vector del campo eléctrico E de la
onda incidente no es perpendicular al plano de incidencia, en los metales,
fundamentalmente en los alcalinos, se observa un máximo alrededor de los
400 nm.
Este fenómeno se puede explicar si consideramos que los electrones poseen
frecuencias propias de oscilación, en la vecindad de las cuales se produce una
especie de resonancia.
Otra particularidad de este fenómeno radica en que la intensidad de la
corriente depende de la polarización y del ángulo de incidencia. La selectivi-
dad del fotoefecto ocurre en mayor grado cuando la luz cae tangencialmente
a la super…cie y está polarizada, encontrándose E en el plano de incidencia.
Todo indica que la introducción de las propiedades corpusculares no es
tan simple como regresar a la mecánica Newtoniana. No se puede ver a los
fotones como simples partículas que se mueven por determinadas trayectorias
en el espacio, como predice la física clásica. A los fotones le son inherentes

0
0
I
nm700400
-----------------------------------
Figura 1.4: Fotoefecto selectivo.
propiedades ondulatorias como son la difracción, la interferencia, la polari-
zación, etc.
La manifestación de propiedades corpusculares y de onda por los fotones
es conocida en la física como dualidad partícula-onda. No tiene sentido
tratar de interpretar esta dualidad desde las representaciones de la física
clásica. El pensamiento humano no es capaz de crear un ente material que
tenga a la vez propiedades de corpúsculo y de onda, pero la naturaleza es más
rica que nuestro pensamiento o imaginación, como demuestra la práctica.
Resumen
El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones por una sus-
tancia al encontrarse expuesta a la luz. Ocurre normalmente bajo luz
ultravioleta y en super…cies muy trabajadas se puede obtener fotoefecto
hasta con rayos infrarrojos.
La energía cinética máxima que poseen los fotoelectrones no depende
de la intensidad de la luz incidente, sino de su frecuencia. El fotoefecto
ocurre instantáneamente con la iluminación.

La hipótesis de Einstein consistió en considerar a la luz compuesta por
corpúsculos de masa nula denominados fotones. La energía y cantidad
de movimiento de estas partículas viene dada por la fórmulas: E = h
y p = hk:
El fotoefecto puede ser interpretado como el resultado de choques ine-
lásticos entre los fotones y los electrones. La energía cinética máxima
de los electrones que se liberan se determina por la fórmula de Einstein
Tmax = h A:
La frontera 0 por debajo de la cual no se observa el fotoefecto se
denomina frecuencia de corte.
Existe un potencial negativo Vi de interrupción para el cual la corriente
desaparece en el efecto fotoeléctrico. Este depende de la energía cinética
máxima de los electrones: Tmax = eVi:
La selectividad por determinada longitud de onda, polarización y ángu-
lo de incidencia en el fotoefecto re‡ejan las características ondulatorias
de la luz.
La luz presenta propiedades corpusculares y ondulatorias que se mani…-
estan en diferentes observaciones, incluso de un mismo fenómeno. Esta
propiedad se conoce como dualidad partícula-onda.
1.3. Efecto Compton.
Corrimiento de Compton.
Explicación de Compton y Debay.
Cuantos de luz y el fenómeno de la interferencia.
En 1922, Arthur Compton descubrió otro fenómeno que también habla a
favor de la hipótesis de los fotones. Este cientí…co se encontraba estudiando
la radiación Röentgen en cuerpos compuestos por átomos ligeros: gra…to,
para…na, etc. Un esquema de su instalación aparece en la …gura 1.5, donde
C es el cuerpo que dispersa el haz de luz incidente, K es un espectrógrafo, y
P constituye una fotocelda o cámara de ionización.
En el experimento, él observó que en la luz dispersada, además de encon-
trarse la longitud de onda original, aparecía un corrimiento en una longitud
de onda 0
> . Este fenómeno se denomino efecto Compton y a la diferen-
cia = 0
se le llamó corrimiento de Compton.

1.3. EFECTO COMPTON. 29
Figura 1.5: Esquema de una instalación donde se observa el efecto Compton.
En la …gura 1.6 aparecen representados los resultados de un experimento
en el gra…to utilizando la línea K del Moligdeno ( = 0;07nm), para distintos
ángulos de dispersión .
Aquí podemos apreciar la línea original de la radiación, es decir, la dis-
tribución angular de la intensidad de la línea. Más abajo, se observa que la
línea original única se divide en dos líneas como resultado de la dispersión.
El ensanchamiento de ambas componentes se debe a los movimientos de los
electrones y los átomos, en los cuales se produce la dispersión como se verá
más adelante.
El experimento demuestra que el corrimiento no depende de la com-
posición del cuerpo que dispersa la luz, ni de la longitud de onda incidente.
Este depende en forma proporcional del sen2
=2:
El corrimiento descubierto por Compton resulta imposible de explicar
desde posiciones clásicas, si suponemos que el cambio en la longitud de onda
es el resultado de la interacción de una onda electromagnética con un elec-
trón. En los átomos ligeros, la energía de enlace del electrón con el átomo se
puede considerar pequeña respecto a la energía de interacción con la onda.
Podemos entonces tomar a los electrones como libres. De acuerdo con la teoría
clásica, si un electrón está libre, este no posee ninguna frecuencia propia de
oscilación, y por lo tanto se pondría a oscilar con la misma frecuencia de la
onda electromagnética incidente. En consecuencia, la onda dispersada ten-
dría la misma frecuencia que la onda incidente y no se observaría ningún
corrimiento.

Figura 1.6: Efecto Compton
1.3.1. Teoría de Compton y Debay.
El comportamiento experimental fue entendido sólo después de la teoría
cuántica propuesta independientemente por Compton y Debay.
En la nueva teoría la dispersión del cuanto de rayos X, con el correspon-
diente cambio en la longitud de onda, es resultado del choque único de un
fotón con un electrón.
La energía de enlace del electrón con el átomo se puede considerar pe-
queña nuevamente respecto a la energía que le cede el cuanto en el choque,
siendo esta energía mayor cuando mayor es el ángulo de dispersión. Podemos
considerar a los electrones como libres, lo cual explica también porque es
el mismo para las sustancias con que se experimentaba. Para los electrones
internos de átomos pesados esta consideración ya no es válida, y si aparece
dependencia del material como lo demuestra el experimento.
Consideremos ahora el choque de un fotón con un electrón libre. Pueden
surgir altas velocidades, por lo tanto debemos considerar las ecuaciones rela-
tivistas.
Tomemos un sistema de referencia donde el electrón se encuentra inicial-
mente en reposo.
Introduzcamos las siguientes notaciones,
pf , Ef : Momentum y energía del fotón antes de la dispersión
p0
f , E0
f : Momentum y energía del fotón después de la dispersión
0 , Ee = mec2
: Momentum y energía del electrón antes de la dispersión
p0
e , E0
e: Momentum y energía del electrón después de la dispersión

De acuerdo con las leyes de conservación de la energía y la cantidad de
movimiento tenemos:
Ee + Ef = E0
e + E0
f ; pf = p0
f + p0
e (1.43)
Despejando de las ecuaciones anteriores las energía y momentum …nales
del electrón, elevando al cuadrado, dividiendo la primera de las ecuaciones
obtenidas por c2
; y restando ambas expresiones, se llega a la siguiente ecuación:
E0
e
c
2
p02
e =
Ee + Ef E0
f
2
c2
pf p0
f
2
(1.44)
Tomemos en cuenta ahora las relaciones relativistas 1.34 y 1.36 entre E
y p para el electrón y el fotón, entonces:
E0
e
c
2
p02
e =
(mec2
)
2
c2
=
Ee
c
2
Ef
c
2
= p2
f ;
E0
f
c
2
= p02
f (1.45)
Desarrollando los paréntesis de la ecuacion 1.44, sustituyendo los resul-
tados de 1.45, y después de algunas operaciones algebraicas sencillas es fácil
llegar al siguiente resultado:
= 0
=
h
mec
(1 cos ) =
2h
mec
sen2
(1.46)
donde se tuvo en cuenta la ecuación 1.38 y la de…nición del producto
escalar de los vectores pf y p0
f :
pf p0
f = pf p0
f cos (1.47)
La magnitud h
mec
= C = 2; 4263096 10 10
cm recibe el nombre de lon-
gitud de Compton para el electrón.
Como se observa de la fórmula 1.46, el corrimiento no depende de
la longitud de onda de incidencia. Esta ecuación demuestra que la disper-
sión de los fotones en los electrones libres inmóviles siempre trae consigo un
aumento de la longitud de onda.
¿Cuál es la causa del surgimiento de la línea sin corrimiento?.
La línea sin corrimiento aparece debido a los choques con los electrones
enlazados, es decir, la dispersión ocurre realmente con los átomos. La masa de
estos últimos se puede considerar in…nitamente grande en comparación con

la del fotón, por ende su longitud de Compton C v 1=m es muy pequeña,
y también entonces el corrimiento que estos choques producen. El átomo
adquiere momentum, pero su energía se puede despreciar.
Con el aumento del número atómico, aumentan también el número de
electrones enlazados, ocurre así un aumento de la intensidad de la línea no
desplazada con relación a la que si tiene corrimiento.
Un dato interesante lo constituye que la dispersión en los electrones libres
es no coherente. Los electrones libres efectúan sus movimientos independien-
tes y por tanto serán independientes las dispersiones en los mismos. En el
caso de los electrones enlazados la dispersión si resulta coherente. Las os-
cilaciones que efectúan los electrones enlazados producto de la onda que cae
están en concordancia con esta. Por tal razón las ondas dispersadas en los
electrones enlazados pueden tener interferencia con las ondas que llegan. Esta
interferencia fue observada por Laue y Bulf-Breg al lanzar rayos X a cristales.
Notemos que estas son características ondulatorias del fenómeno.
En nuestra deducción se tomo al electrón inicialmente en reposo. Si el
electrón se mueve, este puede en el choque ceder su energía cinética al fotón
y después detenerse. Este proceso se denomina efecto Compton inverso y
trae consigo una disminución de la longitud de onda del fotón dispersado.
El efecto Compton puede ser observado en otras partículas como neu-
trones, protones, etc. La fórmula 1.46 continua siendo válida con la sustitu-
ción de me por las masas respectivas de estas partículas.
Es importante señalar además, que para considerar al electrón libre es
necesario experimentar con rayos X de altas energías. De hecho, en la región
visible del espectro luminoso, la energía de enlace de los electrones es mayor
que la del cuanto, y el efecto Compton no se observa.
Para energías muy altas, mayores que 2mec2
; el efecto también deja de
aparecer. En tales circunstancias predomina la formación de pares de elec-
trones y positrones.
El ángulo de salida ' del electrón después del choque viene dado por la
ecuación
tan ' =
sen
0
cos
(1.48)
Esta relación proponemos la obtenga el lector a partir del paralelogramo
que forman los vectores p0
e y p0
f , cuya diagonal es el vector pf . Este paralelo-
gramo puede ser observado en una cámara de Wilson. Por supuesto, se ve la
traza del electrón por ser una partícula cargada, mientras que la traza del
fotón dispersado se conoce cuando este se dispersa nuevamente en un nuevo
electrón.

1.3.2. Cuantos de luz y el fenómeno de la interferencia
Como se ha visto hasta aquí, los fenómenos de absorción (fotoefecto) y
de dispersión de la luz (efecto Compton) a nivel microscópico sólo pueden
ser explicados en la teoría corpuscular. No obstante, incluso en estos mis-
mos fenómenos, aparecen manifestaciones macroscópicas, como por ejemplo
la interferencia, que sólo pueden ser explicadas desde un punto de vista on-
dulatorio.
¿Existirá alguna forma de explicar la existencia de los fotones en los
fenómenos ondulatorios de interferencia y difracción de la luz?
Lo primero que debemos destacar es que los fotones se mueven en el
espacio independientes uno del otro y sus interacciones se pueden despreciar.
Esto permite explicar que un cuadro de interferencia obtenido con luz de
determinada intensidad, puede ser obtenido al disminuir la intensidad del
haz pero irradiando durante un tiempo mayor, de forma tal que sea igual el
número de fotones.
Sin embargo, es bien conocido que el poder de una red de difracción
depende del número de líneas de la misma. Si se elimina la mitad de la
red, el cuadro de la difracción cambia radicalmente. En este punto, la teoría
corpuscular se encuentra en contradicción con el experimento, ya que inde-
pendientemente de la ecuación que describe la interacción entre un fotón y
las partículas que componen la red, la distribución de las trayectorias de
los fotones que se dispersan en la mitad izquierda no puede depender de la
existencia de la otra mitad de la red, a no ser que se le atribuyan al fotón di-
mensiones del orden de la red. De esta forma, nos vemos obligados a admitir
que en la difracción de la luz toma parte toda la red como un todo.
Así tenemos que con ayuda de un detector siempre se puede conocer de
forma efectiva la aparición de un fotón tras otro, pero nunca se puede, sin
entrar en contradicciones, explicar los fenómenos de interferencia o difracción
de la luz asociando a cada fotón determinada trayectoria. De esta forma,
la clásica doctrina de que cada corpúsculo se mueve en el espacio con el
transcurso del tiempo en forma continua es insostenible. Hacia el instrumento
detector siempre se propaga una onda, el aspecto corpuscular del fotón solo
aparece en el momento de la detección.
Resumen
El efecto Compton consiste en la observación de luz dispersada con
longitud de onda 0
mayor que la longitud de onda incidente . La
diferencia = 0
se denomina corrimiento de Compton.
La teoría de Compton y Debay explica el cambio en la longitud de onda
como resultado del choque único de un fotón con un electrón libre. Las

leyes de conservación relativistas de la energía y el momentum conducen
a que la magnitud del corrimiento es = h
mec
(1 cos ) :
Los efectos fotoeléctrico y Compton constituyen dos fenómenos que sólo
pueden ser explicados desde un punto de vista cuántico. Los mismos
corroboran la teoría corpuscular de la luz no sólo en la emisión y la
absorción, sino también en su propagación.
la nueva teoría no constituye un simple regreso a la mecánica Newto-
niana, sino que re‡eja el carácter dual de la luz. Propiedad que com-
probaremos más adelante es inherente a toda la materia, no solo a los
fotones, sino también a electrones, protones, neutrones, etc.

Capítulo 2
La estructura del átomo
2.1. Modelo nuclear del átomo
Modelo atómico de Thomson.
Experimentos de Geiger y Marsden.
Modelo planetario de Rutherford.
Fórmula de la dispersión de Rutherford (relación entre el parámetro de
impacto y el ángulo de dispersión).
Fórmula de Rutherford para la sección e…caz diferencial de dispersión.
Comprobación experimental de la fórmula de Rutherford.
Di…cultades del modelo planetario.
En el primer capítulo, se evidenció la necesidad de cuantizar los procesos
de emisión y absorción de la luz en el estudio de la radiación térmica del
cuerpo negro. Los efectos fotoeléctrico y de Compton apuntaron hacia la
existencia de los cuantos de luz o fotones en la propagación de la luz.
El estudio de la estructura atómica también con…rma la imposibilidad
de describir el micromundo en los marcos de la física clásica (mecánica y
electrodinámica clásicas). Solamente desde postulados mecánico-cuánticos es
posible una correcta descripción del mismo.
2.1.1. Modelo atómico de Thomson
En 1897 Sir J. J. Thomson descubrió el electrón, partícula subatómica que
posee carga negativa e. Es bien conocido que las sustancias son neutras y
35

36 CAPÍTULO 2. LA ESTRUCTURA DEL ÁTOMO
Figura 2.1: Esquema de la instalación en el experimento de Geiger y Marsden
por tanto sus constituyentes, los átomos, también lo son. A partir de este
hecho, en 1898 el propio Thomson lanzó el primer modelo sobre el átomo,
conocido como el “pudín de pasas”. Su modelo suponía:
1. Los constituyentes positivos del átomo son los portadores de casi toda
la masa del mismo (Thomson tenía un estimado aceptable de la masa
del electrón).
2. La carga positiva se distribuye uniformemente en el espacio en forma
de una esfera, cuyo radio es del orden del radio atómico (10 8
cm).
3. Los electrones se insertan dentro de la distribución espacial de carga
positiva (como las pasas en un pudín) en la cantidad necesaria para
garantizar la neutralidad eléctrica del átomo.
2.1.2. Experimento de Geiger y Marsden
Siguiendo las sugerencias de Rutherford, en 1911, Geiger y Marsden in-
vestigaron la dispersión de las partículas alfa, emitidas por sustancias ra-
dioactivas.
En sus experimentos, un haz de partículas alfa se lanzaba contra una …na
lámina de oro que dispersaba el haz. Se utilizaba después un método visual,
con la ayuda de un microscopio o lupa, para registrar las partículas en una
pantalla ‡uorescente de ZnS en la oscuridad . Los experimentadores conta-
ban los destellos de las partículas en la pantalla. La instalación se situaba al
vacío, ya que las partículas alfa penetran en el aire, a presión normal, sólo
unos 2 centímetros.
Resultó que la mayoría las partículas se dispersaban para ángulos muy
pequeños entre 1-3 grados, siendo estas bien descritas por una distribución

2.1. MODELO NUCLEAR DEL ÁTOMO 37
de Gauss. Sin embargo, se vieron casos de partículas alfa que se desviaban en
grandes ángulos de hasta 150 . El número de estas últimas era muy bajo, de
8000 partículas como promedio sólo 1 se desviaba un ángulo mayor de 90 .
2.1.3. Modelo planetario de Rutherford
La partícula alfa puede ser obtenida como resultado de una doble ion-
ización del átomo de helio, como ya había sido establecido por el propio
Rutherford utilizando la cámara de Wilson y otros medios. Esto y los resul-
tados de los experimentos lo llevó a la siguiente conclusión: cada dispersión
de grandes ángulos ocurre como resultado de una única interacción con un
centro de fuerzas cercano a la partícula alfa que se dispersa. Este centro de
fuerzas constituye el núcleo del átomo cargado.
La partícula alfa en si misma es también un núcleo, el del átomo de helio.
Una carga distribuida uniformemente es incapaz de suministrar la energía
potencial electrostática para desviar e incluso detener a las partículas alfa,
lo cual contradice al modelo de Thomson. Además, el modelo del “pudín
de pasas” es incapaz de describir los espectros atómicos, que veremos más
adelante.
Rutherford propuso entonces una teoría cuantitativa para la dispersión de
las partículas alfa. Analicemos primeramente la velocidad de las partículas
alfa, y demostremos que es posible una descripción clásica no relativista. En
efecto, los núcleos radiactivos naturales (Z 84) emiten partículas alfa con
energías entre 6 y 9 MeV .
1eV = 1; 6 10 19
C 1V = 1; 6 10 19
J =) 9MeV = 1; 44 10 12
J
Tomando en cuenta que la masa de la partícula alpha es m = 6; 63932
10 27
kg; y suponiendo que esta posee la energía cinética máxima posible
obtenemos:
Tmax = m c2
0
@ 1
q
1 v
c
2
1
1
A =) vr = 2; 07898 107 m
s
(2.1)
Por otra parte, la velocidad clásica no relativista es:
vc =
r
2Tmax
m
= 2; 08274 107 m
s
(2.2)
La velocidad relativista se diferencia (vc vr
vc
100 %) tan sólo un 0; 18 % de
la velocidad clásica .

Se puede usar una descripción no relativista del fenómeno.
La carga positiva del átomo, como su masa, deben estar bien concentradas
en una pequeña región del espacio para poder explicar que una partícula con
una velocidad de v 107
m=s pueda ser desviada incluso en dirección contraria.
Rutherford tomó como interacción entre la partícula alfa y el núcleo a la
repulsión coulombiana. Esto por supuesto constituyó una hipótesis, pues las
partículas pueden acercarse al núcleo a una distancia de 10 14
m, distancia a
la cual la ley de Coulomb no estaba comprobada.
Supongamos que la partícula es dispersada 180 , es decir, regresa en
sentido contrario al de su aproximación. En su punto más cercano al núcleo,
esta es totalmente frenada y su energía cinética T se transforma completa-
mente en energía potencial coulombiana:
T =
1
2
m v2
=
2Ze2
r0
=) r0 =
2Ze2
T
(2.3)
Para los valores de energía cinética media v 7; 5 MeV , en el caso del oro
(Z = 79), el valor de r0 = 3; 03 10 14
m. Este valor constituye además un
estimado del radio del núcleo, el mismo resulta 4 órdenes menor que el radio
del átomo ( v 10 10
m).
Rutherford supuso que la masa del núcleo era muy grande respecto a la
de la partícula alfa, por lo cual el primero puede considerarse inmóvil.
Las láminas de metal utilizadas eran de un grosor del orden v 10 7
10 6
m. En tal caso, las dispersiones en grandes ángulos pueden considerarse
como actos únicos, y no de varias dispersiones.
La probabilidad de dispersión de la partícula alfa por los electrones es
también muy baja para grandes ángulos, debido a su poca masa. La disper-
sión en los electrones es importante para pequeños ángulos, al igual que las
dispersiones múltiples en los núcleos. La teoría de Rutherford es sólo válida
para grandes desviaciones, donde se toma en cuenta el campo eléctrico de un
solo núcleo.
Rutherford consideró a las partículas cargadas como puntuales. El teore-
ma de Irnchou (consecuencia del teorema de Gauss) plantea que un sistema en
equilibrio electrostático formado por cargas puntuales, es siempre inestable.
De aquí se deduce que las partículas deben necesariamente encontrarse en
movimiento.
2.1.4. Fórmula de la dispersión de Rutherford
El problema a resolver es similar al problema de Kepler sobre el movimien-
to de los planetas. Ambas fuerzas de interacción son inversamente propor-
cional al cuadrado de la distancia y son fuerzas centrales. La diferencia prin-

Figura 2.2: Trayectoria de la partícula :
cipal radica en que para los planetas, las fuerzas son de atracción y por
tanto las trayectorias pueden ser elípticas o hiperbólicas. En nuestro caso,
las fuerzas son repulsivas y sólo son posibles trayectorias hipérbolicas.
En la …gura 2.2, b representa al parámetro de impacto, que se de…ne
como la distancia mínima a la se aproximaría la partícula sino existiera el
campo de fuerzas del núcleo.
corresponde al ángulo de dispersión, es decir, el ángulo entre las direc-
ciones asintóticas de la partícula antes y después de la dispersión.
De la mecánica clásica conocemos que la variación de la cantidad de
movimiento de la partícula debe ser igual al impulso de la fuerza:
p = pf pi =
Z 1
0
Fdt (2.4)
donde
pi: Momentum inicial de la partícula
pf : Momentum …nal de la partícula
No vamos a considerar pérdidas en la excitación de los átomos y menos
aún de los núcleos. La dispersión es por tanto elástica, es decir, la partícula
alfa no cambia su energía cinética. Tenemos:
m v2
i
2
=
m v2
f
2
=) vi = vf = v =) pi = pf = p (2.5)
Esta condición implica que se forme un triángulo isósceles entre los vec-
tores pf ; pi y p; con ángulos en la base iguales a 1
2
( ).
Se cumplen entonces las siguientes igualdades:
p
sen
=
p
sen 1
2
( )
=
mv
cos 2
=) p = 2 mv sen
2
(2.6)
Si proyectamos a F en cada instante de tiempo sobre la dirección de p,
y tomamos en cuenta que sólo esta componente determina la variación de

Figura 2.3: Triángulo isósceles entre los vectores pf ; pi y p: F en los ins-
tantes inicial y …nal de la trayectoria.
p, ya que la componente perpendicular (F sen ') se compensa al sumar
por toda la trayectoria, obtenemos:
p =
Z 1
0
F(t) cos ' (t) dt (2.7)
donde ' (t) corresponde al ángulo entre los vectores F y p.
Pasemos de la variable temporal a la variable angular ':
t = 0 =) ' =
1
2
( ) ; t = 1 =) ' = +
1
2
( )
d' =
d'
dt
dt = ! dt (2.8)
donde ! representa a la velocidad angular de la partícula alpha respecto
al núcleo atómico.
La fuerza de Coulomb constituye una fuerza central, por ende la cantidad
de movimiento angular se conserva:
L = [p r] = mr2
! = constante (2.9)
Para t = 0 conocemos el valor de esta constante,
L = mvb = m!r2
=) ! =
vb
r2
=) d' =
vb
r2
dt (2.10)
Sustituyendo el resultado 2.10 en la ecuación 2.7 y recordando que la
fuerza de Coulomb es F = 2Ze2
r2 , se obtiene:
p =
2Ze2
vb
Z 1
2
( )
1
2
( )
cos ' d' =
4Ze2
vb
cos
2
(2.11)

Figura 2.4: cot ( =2) vs
Igualando las relaciones 2.6 y 2.11 obtenemos …nalmente:
cot
2
=
mv2
b
2Ze2
=
2T
U
(2.12)
donde T = mv2
2
y U = 2Ze2
b
:
De la …gura 2.4 podemos apreciar que para ángulos pequeños, la cot2
crece hacia el 1, mientras que se torna cero en . Por consiguiente, de
acuerdo con la ecuación 2.12, aumentos del parámetro de impacto b implican
disminuciones del ángulo de dispersión , y sólo para parámetros de impacto
muy pequeños se logran valores de apreciables (dispersiones hacia atrás).
Si en lugar de una partícula alpha, se utiliza otro núcleo de carga Zn, la
fórmula 2.12 adopta la forma:
cot
2
=
2T
U
; U =
ZnZe2
b
(2.13)
2.1.5. Fórmula de Rutherford para la sección diferen-
cial e…caz
El área efectiva de interacción , asociada a un núcleo en el fenómeno
de la dispersión, es evidentemente b2
, que vamos a de…nir como la sección
e…caz de dispersión. Toda partícula con parámetro de choque entre 0 y b
será dispersada con un ángulo igual o mayor que .

Figura 2.5: Diferencial de ángulo sólido
Despejando el parámetro de impacto b de la ecuación 2.12 se tiene:
( ) = b2
= 4
Z
m
2
e
v
4
cot2
2
(2.14)
o en el caso general de una partícula con carga Zn:
( ) =
ZnZe2
2T
2
cot2
2
(2.15)
Vamos a interesarnos ahora no por la sección e…caz sino por la sección
elemental, es decir, por el diferencial de la sección e…caz. Diferenciando 2.15
tenemos:
d =
ZnZe2
2T
2
cot2
sen2
2
d =
ZnZe2
2T
2
sen
2sen4
2
d (2.16)
Notemos que en la relación anterior es sólo importante su valor modular.
A través de cada sección diferencial d se dispersan las partículas por el
diferencial de ángulo d , con el cual está asociado el diferencial de ángulo
sólido d , como muestra la …gura 2.5:
d =
dS
r2
=
2 rsen rd
r2
= 2 sen d (2.17)
Sustituyendo 2.17 en la ecuación 2.16 podemos obtener la relación entre
la sección diferencial e…caz d y el diferencial de ángulo sólido d :
d =
ZnZe2
4T
2
d
sen4
2
(2.18)

En el caso de las partículas alpha:
d =
Ze2
2T
2
d
sen4
2
(2.19)
La ecuación 2.19 es la conocida fórmula de Rutheford para la sección
diferencial e…caz de dispersión.
2.1.6. Comprobación experimental de la fórmula de
Ru- therford
La comprobación experimental de las ecuaciones 2.12 o 2.19 en los fenó-
menos atómicos resulta imposible directamente, sólo se pueden comprobar
consecuencias estadísticas de las mismas.
Supongamos que el haz de partículas se lanza sobre una lámina de espesor
l y área A, que contiene n átomos por unidad de volumen. El número total
de átomos que existe en la lámina será N = nlA. La probabilidad de que una
partícula sea dispersada con un ángulo mayor que viene dada por:
f =
area efectiva
area total
=
N ( )
A
= nl ( ) (2.20)
Evidentemente, la probabilidad de dispersión f debe ser también igual
a la relación entre el número N( ) de partículas dispersadas con ángulo mayor
que y el número total de partículas incidentes N0:
f =
N( )
N0
=) N( ) = f N0 = nl ( ) N0 (2.21)
El diferencial de partículas dispersadas en un ángulo sólido d es entonces:
dN = nl N0 d = nl N0
ZnZe2
4T
2
d
sen4
2
(2.22)
La ecuación 2.22 fue comprobada experimentalmente. Se observó que para
una sección elemental d , la magnitud dN sen4
2
se mantenía constante, sin
aparecer dependencia del ángulo de dispersión :
La demostración experimental de la ecuación 2.22 constituye una demostración
indirecta de la validez de la ley de Coulomb a cortas distancias. Experimentos
de dispersión elástica, con núcleos ligeros acelerados, demuestran que exis-
ten variaciones de la ley de Coulomb para distancias menores que 10 14
m.
A estas distancias deben ser consideradas las interacciones fuertes entre los
nucleones.

2.1.7. Di…cultades del modelo planetario
Las fórmulas obtenidas han sido el resultado de la aplicación de la mecáni-
ca newtoniana y la repulsión de Coulomb, pilares de la física clásica.
Sin embargo, de acuerdo con la electrodinámica clásica, toda carga en
movimiento no uniforme genera un campo electromagnético variable, el cual a
su vez comienza a emitir ondas electromagnéticas descritas por las ecuaciones
de Maxwell. Nos referimos por supuesto a un movimiento acelerado, como
es el caso de un electrón que gira alrededor del núcleo. Por ende, el electrón
en el modelo planetario debe emitir continuamente ondas electromagnéticas
hasta perder toda su energia y caer inevitablemente en el núcleo. Es decir, el
modelo planetario resulta inestable.
Como sabemos en la naturaleza existen los átomos de forma estable y por
tanto algo falla en el modelo de Rutherford.
Podría suponerse que la ley de Coulomb y otras leyes que de…nen al
campo electromagnético no se cumplen para las partículas elementales a pe-
queñas distancias, es decir, en el micromundo. Podemos incluso considerar a
las fuerzas nucleares y comenzar a introducir otras fuerzas hipotéticas. Sin
embargo, cualesquiera que sean las fuerzas, de acuerdo a los principios gen-
erales de la mecánica clásica, el espectro de emisión del átomo debe estar
formado por determinadas frecuencias fundamentales y sus correspondientes
armónicos. El experimento demuestra que nada de esto sucede, por el con-
trario, aparecen nuevas reglas expresadas en el principio combinatorio de
Ritz.
De esto se deduce que la mecánica y la electrodinámica clásicas no pueden
explicar la existencia de los átomos como sistemas estables de núcleos y
electrones, ni tampoco sus espectros de emisión. Esto sólo puede ser resuelto
en los marcos de una nueva mecánica cuántica.
Resumen
La dispersión de las partículas alfa en grandes ángulos ocurre como
resultado de una única interacción con un centro de fuerzas: el núcleo
atómico.
La teoría de Rutheford veri…ca la validez de la interacción Coulombiana
hasta distancias de v 10 14
m, valor estimado del radio nuclear.
El modelo propuesto por Rutherford es completamente análogo al que
describe las órbitas de los planetas alrededor del Sol, de ahí que reciba
el nombre de modelo planetario. Las trayectorias de las partículas alpha
son siempre hiperbólicas.

2.2. TEORÍA DE BOHR 45
Los grandes ángulos de dispersión satisfacen la relación cot 2
= mv2b
2Ze2 ;
conocida como la fórmula de la dispersión de Rutherford (relación entre
el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión).
Relación entre la sección diferencial e…caz y el diferencial de ángulo
sólido: d = Ze2
2T
2
d
sen4
2
En el experimento se comprueba que para una sección elemental diferen-
cial d la magnitud dN sen4
2
se mantiene constante.
De acuerdo con la mecánica clásica el modelo planetario es inestable.
El electrón en su movimiento acelerado debe emitir ondas electromag-
néticas que lo harían caer inevitablemente en el núcleo. La mecánica
y la electrodinámica clásicas no pueden explicar la existencia de los
átomos como sistemas estables de núcleos y electrones, ni tampoco sus
espectros de emisión.
2.2. Teoría de Bohr
Espectro del átomo de Hidrógeno. Principio de combinación de Ritz.
Término espectral. Serie espectral. Reglas de selección. Series espec-
trales del átomo de Hidrógeno.
Postulados de Bohr.
Teoría de Bohr para el átomo de un electrón. Principio de correspon-
dencia. Radio de Bohr.
Experimento de Franck y Hertz.
Condiciones de cuantización de Wilson y Sommerfeld.
De…ciencias de la Teoría de Bohr.
El estudio de la estructura de los átomos condujo a Rutherford a proponer
su modelo planetario e introducir el concepto del núcleo atómico. Rutherford
desarrolló una teoría cuantitativa que lograba explicar la dispersión de las
partículas alfa, encontrando la relación entre el ángulo de dispersión y el
parámetro de impacto; así como la fórmula que relaciona la sección e…caz
diferencial d con el ángulo de dispersión, relaciones que fueron comprobadas
indirectamente en la práctica.

Figura 2.6: Serie de Balmer en el espectro visible del hidrógeno.
Sin embargo, el modelo planetario entra en contradicción con la electrodi-
námica clásica que predice una caída inevitable del electrón en el núcleo,
producto de la emisión de ondas electromagnéticas.
En los marcos de la física clásica tampoco se logra la descripción de los
espectros atómicos. Analicemos a continuación las líneas espectrales emitidas
por los átomos, centrando nuestra atención en el caso del átomo de hidrógeno.
2.2.1. Espectros atómicos
Cuando se calienta un sólido, este comienza a emitir en un espectro con-
tinuo. Sin embargo, en el caso de los gases, además de aparecer un espectro
continuo, se observan espectros formados por líneas y bandas.
Los espectros de líneas se encuentran formados por líneas más o menos
…nas, que siempre se distribuyen siguiendo alguna ley. En el caso de las
bandas, cuando se utilizan instrumentos de alta precisión, se descubre que
están formados por líneas muy cercanas unas de otras.
A principios del siglo XX, se determinó que los espectros formados por
líneas son emitidos por los átomos o iones que conforman un gas, de ahí que
reciban el nombre de espectros atómicos. En el caso de las bandas, estas son
emitidas por moléculas y por esto se denominan espectros moleculares.
El hidrógeno por constituir el sistema atómico más simple ha sido el
más estudiado desde los inicios. Su espectro se puede observar al pasar una
descarga eléctrica en un tubo al vacío, en el cual las moléculas de hidrógeno
(H2) están disociadas en sus átomos.
La posición de las líneas espectrales se caracteriza por la longitud de onda
o por su frecuencia = c= . La frecuencia es lo más conveniente para
expresar las leyes espectrales, pero para esto es necesario conocer con gran
exactitud la velocidad de la luz c. A inicios de siglo, c no se conocía con gran
exactitud, y no es hasta 1983 que se determina la velocidad c, incluso con
más exactitud que la propia , gracias al desarrollo de la óptica no lineal . Por

esta razón, los espectroscopistas (Rydberg 1890) introdujeron el concepto de
número de ondas e = 1= . En espectroscopía incluso se denota al número
de ondas con la misma letra griega .
La principal ley de la espectroscopia fue establecida de forma empírica
en 1908 por Ritz y se denomina principio de combinación de Ritz. Este
principio establece que el conjunto de líneas espectrales de un átomo, puede
ser obtenido por medio de combinaciones de un número menor de magnitudes,
denominadas términos espectrales. Se cumple:
e = Tn1 Tn2 (2.23)
Los términos son magnitudes positivas y se numeran de forma tal que,
con el aumento de n la magnitud Tn disminuye. Si se …ja el valor de n1, los
valores de n2 comienzan a partir de n1 + 1. Se obtiene así, un conjunto de
líneas denominado serie espectral. El conjunto de todas las series conforma
el espectro de un átomo.
Supongamos se tienen dos números de onda e12 y e13 (e12 > e13) pertenecientes
a una misma serie espectral:
e12 = Tn1 Tn2 ; e13 = Tn1 Tn3 (2.24)
De acuerdo con el principio de combinación de Ritz, si combinamos las dos
ecuaciones anteriores podemos obtener el número de onda e32 = e12 e13 =
Tn3 Tn2 perteneciente a otra serie espectral del mismo átomo.
Sin embargo, la nueva línea correspondiente a e32 puede no aparecer en el
espectro. Existen por lo tanto determinadas limitaciones en la combinación de
los términos espectrales que constituyen las llamadas reglas de selección.
Uno de los principales objetivos de la espectroscopia es establecer las
expresiones analíticas para los términos espectrales. Para la mayoría de los
elementos estas son desconocidas. No obstante, para el hidrógeno y los meta-
les alcalinos estas fórmulas fueron bien establecidas.
En 1885, Balmer formuló la siguiente expresión analítica para los términos
del hidrógeno:
Tn =
R
n2
; n = 1; 2; 3; ::: (2.25)
donde R = 109 677; 576 cm 1
es la constante de Rydberg. La expresión
2.25 es válida para todos los isótopos del hidrógeno y para todos los iones
monoelectrónicos, por supuesto, con otro valor de la constante R.
Utilizando el principio combinatorio 2.23 se obtienen las siguientes series
que llevan el nombre de los cientí…cos que las descubrieron:

Serie Número de onda Espectro año
Lyman e = R 1 1
n2 n = 2; ::: ultravioleta 1916
Balmer e = R 1
22
1
n2 n = 3; :::
visible y
ultravioleta cercano
1885
Paschen e = R 1
32
1
n2 n = 4; ::: infrarrojo 1908
Brackett e = R 1
42
1
Pfund e = R 1
52
1
Es interesante señalar que la serie de Paschen fue predicha por Ritz unos
meses antes de ser descubierta en el mismo 1908. Las últimas series se pueden
obtener combinando las primeras, por ejemplo, la serie de Bracketl se puede
obtener combinando los números de onda de la serie de Paschen.
La longitud de onda máxima de la serie de Lyman corresponde a n = 2;
y es igual a = 4
3
R 1
= 121; 56845 nm. Se denomina línea de resonancia
del hidrógeno.
Las fronteras de cada serie se obtienen para n = 1. El número de onda
límite para la serie de Balmer es por ejemplo e = R=4 = 27 419; 394 cm 1
. A
este le corresponde la longitud de onda 1 = 364; 70536 nm. En este límite
las líneas se pegan, y la separación como la intensidad tienden a cero.
2.2.2. Postulados de Bohr
Las leyes de la mecánica clásica en general describen los procesos con-
tinuos. Como acabamos de observar, a los espectros atómicos les es propia
la discontinuidad, que debe estar re‡ejada por las leyes físicas que los de-
scriban.
La discontinuidad de los espectros átomicos fue esclarecida por Niels Bohr
en 1913, quien introdujo la discretización en el átomo, similar a como Planck
y Einstein la propusieron en los fenómenos luminosos.
El formuló los dos postulados siguientes:
I) El átomo, u otro sistema atómico, puede encontrarse no en todos los es-
tados que admite la mecánica clásica, sino solamente en aquellos carac-
terizados por determinados valores de energía "1; "2; "3; .... En estos
estados cuánticos o discretos, a pesar de la electrodinámica clásica, el
átomo no irradia energía, es decir, constituyen estados estacionarios.
Este postulado se conoce como el postulado de los estados esta-
cionarios con valores discretos de energía.
Bohr asumió el modelo planetario propuesto por Rutherford a partir de
la mecánica clásica, pero restringió los valores posibles de energía. El no

niega la existencia de niveles de energía continuos, sólo que en tal caso, los
electrones y el núcleo no forman un estado enlazado; y los electrones pueden
tener movimientos in…nitos. En el caso de átomos o moléculas, que tienen sus
partículas enlazadas y por tanto con movimiento …nito, el postulado 1 exige
la discretización o cuantización de la energía.
Bohr consideraba el movimiento de los electrones con las mismas carac-
terísticas de la mecánica clásica: trayectorias con determinadas coordenadas
y cantidades de movimiento para cada instante t, cuestión que él mismo
negara después en la mecánica cuántica.
II) En el tránsito de un estado estacionario de mayor energía "n2 a uno de
menor energía "n1 , la energía del átomo varía en la magnitud "n2 "n1 .
Si este cambio corresponde a la emisión de un fotón su energía viene
dada por la expresión h = "n2 "n1 . Esta última relación se conoce
como regla de frecuencias de Bohr.
Esta relación es también válida para la absorción, por supuesto el átomo
pasaría del estado con menor energía "n1 a otro de mayor energía "n2 .
De acuerdo con el segundo postulado, el sistema atómico pasa de un
estado estacionario a otro por medio de saltos o cuantos. ¿Qué ocurre en
el tiempo del salto? A esta pregunta la teoría de Bohr no responde, lo que
habla de sus insu…ciencias, de ser una teoría incompleta.
Pueden ocurrir procesos sin la emisión de cuantos de luz, es decir, el
sistema puede pasar de un estado a otro producto, por ejemplo, del choque
con otra partícula. En este caso la energía se gana o se pierde en forma de
calor.
El postulado II explica el principio de combinación de Ritz. En efecto,
h = "n2 "n1 ) e =
1
=
"n2
ch
"n1
ch
) Tn =
"n
ch
(2.26)
Los términos espectrales se determinan por los niveles energéticos del átomo.
El postulado II explica también porque se observan en la emisión todas
las series espectrales antes vistas, y sin embargo, en la absorción sólo se puede
ver la serie de Lyman.
Al excitarse un átomo, este alcanza uno de los niveles superiores. Más
tarde, el átomo emite energía pasando a los niveles inferiores, hasta llegar al
de mínima energía. Lógicamente, un átomo no emite energía si se encuentra
en su estado fundamental, es decir, el de menor energía. Por lo tanto, en
la absorción la serie de Lyman se ve claramente, y las otras series corres-
pondientes a niveles superiores de partida se ven mezcladas con las series
espectrales de emisión.

2.2.3. Teoría de Bohr para el átomo de un electrón
La discretización de los valores de energía en un átomo "1; "2; "3; .... se
acostumbra a llamar cuantización de la energía. Bohr propuso la regla
para cuantizar al átomo de hidrógeno o a un átomo del tipo hidrogenoideo,
es decir, con un sólo electrón.
El consideró el modelo planetario de Rutherford y supuso que el electrón
se movía por órbitas circulares.
Teniendo en cuenta la forma propuesta por Balmer para los términos
espectrales 2.25, y la relación de estos con las energías estacionarias 2.26, se
tiene:
"n =
chR
n2
(2.27)
El número entero n se denomina número cuántico principal.
Con el aumento de n, como se dijo anteriormente, la distancia entre las
líneas y por tanto entre los niveles de energía desaparece, cumpliéndose que
tiende a cero cuando n ! 1. El espectro se torna por ende continuo. Se
espera entonces que en el límite, el sistema cuántico se comporte como el
sistema clásico. Esta posición fue enunciada por Bohr y se conoce como
principio de correspondencia:
Las predicciones de la teoría cuántica sobre el comportamiento de un sis-
tema físico corresponden a las predicciones de la teoría clásica en el límite,
en el cual, los números cuánticos toman valores muy grandes.
El principio de correspondencia es fácil de veri…car en la teoría de Plank
sobre la emisión del cuerpo negro. Según obtuvo Plank, la energía media de
los osciladores viene dada por la ecuación:
" =
"0
e
"0
kT 1
=
h
e
h
kT 1
(2.28)
Para una temperatura dada T; si pasamos al límite cuando ! 0, el
valor del exponente en el denominador de la expresión anterior puede ser
sustituido por 1+ h
kT
; y el valor medio de la energía se transforma en " = kT,
resultado clásico que se obtiene del teorema estadístico sobre la distribución
uniforme de la energía cinética por los grados de libertad en el oscilador.
Por otro lado, la frecuencia tiende a cero cuando el valor medio del número
cuántico del oscilador tiende a in…nito:
"n = n h ) " = n h ) ! 0 si n ! 1
Veri…cándose así el principio de correspondencia en el límite de las fre-
cuencias bajas.

Retornemos al problema de la cuantización de la energía en el átomo mo-
noelectrónico, y apliquemos el principio de correspondencia a las frecuencias
que emite este sistema.
De acuerdo con la electrodinámica clásica, la luz que irradia el átomo
tiene una frecuencia igual a la frecuencia de rotación del electrón en su órbi-
ta circular. Este resultado se comprueba en el experimento para frecuencias
bajas también, correspondientes a las ondas radiales. Por lo tanto, los re-
sultados de la teoría cuántica y clásica deben coincidir según el principio de
correspondencia cuando ! 0.
Consideremos inicialmente que el núcleo es in…nitamente pesado en com-
paración con la masa de los electrones. Tomemos un sistema de referencia,
en el cual, el núcleo permanecerá inmóvil en su centro.
Cuando el electrón rota con una frecuencia angular ! en un radio r; se
cumple que la fuerza coulombiana constituye la fuerza centrípeta, entonces:
me!2
r =
Ze2
r2
) ! =
Ze2
me!r2 r
=
Ze2
Lr
(2.29)
donde L es el momentum angular orbital del electrón .
La energía total del sistema, en este caso del electrón, es la suma de su
energía cinética más su energía potencial:
" =
1
2
mer2
!2 Ze2
r
=
Ze2
2r
Ze2
r
=
Ze2
2r
(2.30)
Notemos que el valor de referencia, U = 0, en la energía potencial se
ha tomado en r = 1: Sólo son posibles los valores negativos de la energía
potencial.
Combinando las ecuaciones 2.29 y 2.30 se obtiene de la teoría clásica que:
! =
2"
L
(2.31)
Por otro lado, los niveles de energía del átomo deben satisfacer la ecuación
cuántica 2.27, que conlleva a la expresión:
"n n2
= constante (2.32)
Para grandes valores de n, las variaciones n son pequeñas, y se cumple
la relación:
"n n2
+ 2n n "n = 0 (2.33)

De acuerdo con el segundo postulado de Bohr, la variación de energía
"n en el proceso de emisión es igual a h!n: De 2.33 obtenemos:
!n =
2"n
nhh
n (2.34)
La electrodinámica clásica establece que la frecuencia más pequeña !n =
2"n=nh que se emite corresponde a n = 1; denominada frecuencia princi-
pal. Los valores n = 2; 3; :: corresponden a los llamados armónicos, que son
siempre múltiplos de la frecuencia principal. Por tal razón nos limitaremos
en lo adelante a n = 1:
Tomando en cuenta que en esta zona el espectro se torna continuo (!n
!; "n "), y de acuerdo con el principio de correspondencia, debemos hacer
coincidir las ecuaciones 2.31 y 2.34, de donde se obtiene la conocida regla
de cuantización de Bohr:
Ln = nh (2.35)
La teoría de Bohr conduce a que el momentum angular orbital del electrón
esta cuantizado, al menos para valores grandes de n.
Tomando en consideración la ecuación 2.29 se tiene:
L2
= me!r2 2
= meZe2
r ) r =
L2
meZe2
(2.36)
lo cual implica la cuantización también de los radios de las órbitas, de
acuerdo con 2.35:
rn =
n2
hh2
meZe2
(2.37)
El radio del electrón en la órbita correspondiente al estado fundamental
del átomo de hidrógeno (n = 1; Z = 1) se denomina radio de Bohr, y su
valor correspondiente es
rB =
hh2
mee2
= 0; 52917 10 10
m (2.38)
En el orden de magnitud rB coincide con las dimensiones del átomo,
obtenidas en la teoría cinética.
Utilizando ahora la ecuación 2.30 y sustituyendo a r, se obtiene la regla
para la cuantización de la energía:
"n =
me (Ze2
)
2
2n2hh2
(2.39)
A partir de 2.39 se puede hacer una valoración de la constante de Rydberg
R. De la ecuación 2.27, tomando Z = 1, se obtiene:
R1 =
"nn2
ch
=
2 2
mee4
ch3
= 109 737; 309 cm 1
(2.40)

El subíndice 1 se ha agregado a la constante de Rydberg para destacar
que es el resultado teórico obtenido con un núcleo de masa in…nita.
El valor experimental es R = 109 677; 576 cm 1
en el hidrógeno. Desde
el punto de vista espectroscópico la diferencia es grande. Para mejorar este
resultado es necesario considerar la masa del núcleo M. En tal caso, situando
el sistema de coordenadas en el centro de masa del átomo tenemos para el
momentum angular del sistema núcleo-electrón:
L = r2
! =
meM
me + M
r2
! (2.41)
se denomina masa reducida del sistema.
Tomando en cuenta la regla de cuantización de Bohr 2.35, y realizando
un desarrollo análogo al efectuado para valorar la constante de Rydberg en
el caso anterior del núcleo inmóvil con masa in…nita, obtenemos:
R =
R1
1 + me
M
=
R1
me
=
2 2
e4
ch3
= 109 677; 6 cm 1
(2.42)
en correspondencia con el valor experimental.
El resultado 2.39 fue obtenido para n grandes, sin embargo, este debe ser
válido para cualquier valor de n. En su deducción fue utilizada la fórmula
de Balmer 2.25 para los términos espectrales del átomo de hidrógeno, donde
no existe condición alguna para el valor del número cuántico principal. El
principio de correspondencia fue solamente utilizado para calcular el valor de
la constante de Rydberg, la cual lógicamente no depende de n.
En la espectroscopia se acostumbra a representar a los niveles de energía
con líneas, y las transiciones por ‡echas: "= absorción, #= emisión. En la
…gura 2.7 aparecen las transiciones correspondientes a las series espectrales
principales del átomo de hidrógeno.
El cero de energía se encuentra en n = 1 y se muestra con una línea de
puntos. Todos los niveles energéticos por debajo de este son discretos, y le
corresponden energías totales negativas del átomo. Por encima de n = 1;
la energía no esta cuantizada y el espectro correspondiente es continuo.
Es bien conocido de la mecánica clásica que para " < 0; el movimiento es
…nito, y para " > 0 el movimiento es in…nito. Esto será válido para n grandes
según el principio de correspondencia. Un teorema similar será demostrado
más adelante en la mecánica cuántica. De esta forma, el electrón y el núcleo
forman un sistema enlazado solamente en el caso del espectro discreto. En el
espectro continuo, el electrón puede alejarse in…nitamente del núcleo. Si con-
sideramos al átomo solamente como el sistema enlazado, este tendrá siempre
niveles de energía discretos.

Figura 2.7: Transiciones principales del átomo de hidrógeno. L: Lyman, B:
Balmer, P: Paschen, Br: Brackett y Pf: Pfund.
No obstante, la existencia de estados no enlazados permite que existan
transiciones entre el espectro continuo y el discreto. Como consecuencia, la
aparición de una parte continua en el espectro se observa en el experimento
a continuación del espectro de líneas. La transición de un nivel discreto a la
región continua del espectro corresponde a la ionización del átomo.
2.2.4. Experimento de Franck y Hertz
La descripción de los espectros atómicos constituye de por si una con…r-
mación de los postulados de Bohr, sin embargo, existen otras. Unos meses
después de Bohr formular sus postulados, en el año 1914, Franck y Hertz
realizaron el siguiente experimento que constituye otra prueba experimental
de la teoría de Bohr.
El objetivo inicial consistía en medir los potenciales de ionización de los
átomos. A través de un gas monoatómico se hacían pasar electrones acele-
rados. Al chocar con los átomos, los últimos podían pasar a sus estados exci-
tados con determinadas energías. Franck y Hertz utilizaron en su experimento
vapores densos de mercurio para lograr una buena cantidad de colisiones.
V representa en el esquema (…gura 2.8) al potencial acelerador entre el
cátodo C y la rejilla R. V1 es un potencial retardador de v 0; 5V y P el
colector de los electrones. G representa al galvanómetro que mide la corriente
I en el colector. A controla que la corriente de calentamiento permanezca
constante.

Figura 2.8: Esquema de la instalación en el experimento de Franck y Hertz.
Figura 2.9: Dependencia de la corriente I del potencial acelerador V en el
vacío.
Si las energías son discretas, según el primer postuldo de Bohr, la energía
cinética de los electrones tiene que ser no menor que determinado valor a
partir del cual comenzaría la excitación del gas. Para alcanzar el colector P;
los electrones deben tener su…ciente energía cinética. En caso de vacío, la
corriente se comporta según el grá…co 2.9.
Si existe un gas, el resultado experimental muestra la aparición de máxi-
mos y mínimos en la corriente que registra el galvanómetro (…gura 2.10).
La distancia entre los picos en el caso del mercurio es de 4; 9V . La mínima
energía necesaria, y por tanto el primer nivel excitado del mercurio posee una
energía de 4; 9 eV .
Los choques pueden ser elásticos y no elásticos. En los primeros, la energía
sólo puede cederse en forma de energía cinética al átomo como un todo. La
magnitud de esta energía es muy baja teniendo en cuenta la masa superior
de los átomos en comparación con la de los electrones, y tales choques sólo

Figura 2.10: Dependencia de la corriente I del potencial acelerador V en
presencia de vapores de mercurio..
cambiarán la dirección de las velocidades en los electrones. Después de varios
choques, aumenta el valor de la corriente como consecuencia de la llegada de
los electrones al colector.
Cuando la energía alcanza el valor de 4; 9 eV o más, el electrón gasta su
energía o parte de esta en la excitación de los átomos. Si la energía que le
resta al electrón después de estos choques inelásticos, no es su…ciente para
vencer a V1; el electrón no llega al colector y por esta razón la corriente
disminuye.
El decrecimiento no ocurre en forma de salto debido a que los electrones
no poseen todos la misma velocidad. Además, la velocidad importante para
llegar al colector es la que le queda al electrón en la componente perpendicular
a este, la cual varía también con los choques.
Cuando continua aumentando la tensión V; un mismo electrón puede
adquirir energía su…ciente para provocar dos excitaciones o más. Esto explica
la aparición de los máximos en las energías que duplican, triplican, etc, el
valor de 4; 9 eV:
Por supuesto, se pueden medir también los potenciales de ionización. Para
esto es necesario acelerar los electrones hasta una energía no menor que la
necesaria para que ocurra una transición al continuo.
El experimento también con…rma el segundo postulado de Bohr. Los va-
pores de mercurio sólo comienzan a emitir después de alcanzarse un poten-
cial superior a los 4; 9 eV , observándose la línea ultravioleta correspondiente
= 253; 7 nm:

2.2.5. Condiciones de cuantización de Wilson y Som-
merfeld
Entre 1915 y 1916, Wilson en Inglaterra y Sommerfeld en Alemania, de
forma independiente generalizaron la condición de cuantización propuesta
por Bohr para los orbitales circulares 2.35.
Estos cientí…cos propusieron que para todo sistema, en el cual las coorde-
nadas generalizadas son funciones periódicas del tiempo, existe una condi-
ción de cuantización para cada coordenada en la forma:
I
pqdq = nqh (2.43)
donde q representa a la coordenada periódica del sistema y pq es el momentum
generalizado asociado a dicha coordenada. nq constituye el número cuántico
que cuantiza al momentum y toma valores enteros.
Para las órbitas circulares, el ángulo polar constituye la coordenada
periódica, y el momentum angular L = mvr = constante es el momentum
generalizado asociado a esta coordenada, que se cuantiza de acuerdo con la
ecuación:
I
Ld = n h ) L
I
d = L 2 = n h ) L = n h (2.44)
En el caso general de fuerzas inversamente proporcional a r2
; las órbitas
pueden ser elípticas, en cuyo caso las coordenadas generalizadas son las coor-
denadas polares y r. Se obtienen así dos condiciones de cuantización:
I
Ld = n h ;
I
prdr = nrh (2.45)
Como resultado de estas nuevas reglas de cuantización, se puede demostrar
que la energía del sistema y los semiejes mayor y menor de las órbitas se
cuantizan de acuerdo con las ecuaciones :
"n =
Z2
e4
2hh2n2
(2.46)
an =
n2
hh2
Ze2
; bn = an
n
n
(2.47)
n = n + nr ; n = 1; 2; 3; ::: ; nr = 0; 1; 2; 3; ::: (2.48)
Cuando el número cuántico nr = 0, n = n y se obtienen las órbitas
circulares.
Para un mismo valor del número cuántico principal n; se tiene un valor
de la energía asociado a diferentes trayectorias elípticas correspondientes a
distintos valores de n y nr: Estos valores corresponden a su vez a diferentes
estados electrónicos. Se dice entonces que existe degeneración.

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