5. Luis de la Peña realizó sus estudios de ingeniero en comunicaciones
y electrónica en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctri-
ca (esime) del Instituto Politécnico Nacional, y el doctorado en cien-
cias físico-matemáticas en la Universidad Estatal Lomonosov de
Moscú. Desde 1958 labora en el Instituto de Física de la Universidad
Nacional Autónoma de México (unam), del cual es investigador
emérito. En 1984 se le otorgó la Medalla Académica de la Sociedad
Mexicana de Física, en 1989 el Premio Universidad Nacional (en In-
vestigación en Ciencias Exactas) y en 2002 el Premio Nacional de
Ciencias y Artes en el área de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales.
Mirna Villavicencio realizó sus estudios de licenciatura y maestría
en la Facultad de Ciencias de la unam. Desde 1993 es profesora
asociada del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias de la
unam.
6. LUIS DE LA PEÑA • MIRNA VILLAVICENCIO
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
DE MECÁNICA CUÁNTICA
Universidad Nacional Autónoma de México
Fondo de Cultura Económica
méxico
30. ´Indice de figuras
I.1. Energ´ıa media de los osciladores de Planck como funci´on
de la frecuencia, a una temperatura dada. . . . . . . . . 6
I.2. Dispersi´on Compton de un fot´on por un electr´on. . . . . 10
I.3. Forma general del potencial V(r); se ilustra el caso k=10. 16
II.1. Comparaci´on entre varias distribuciones normales para
diferentes valores de la variancia. . . . . . . . . . . . . . 31
III.1. Distribuci´on inicial de electrones para el problema III.4. 44
III.2. Obtenci´on de una base ortonormal a partir de un con-
junto de vectores arbitrarios por el m´etodo de Gram-
Schmidt para el caso n=3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
VI.1. Localizaci´on de los valores propios de la energ´ıa para el
pozo cuadrado infinito. En (a) se muestran las soluciones
pares y en (b) las impares. . . . . . . . . . . . . . . . . 96
VI.2. Pozo de potencial sim´etrico que produce un espectro dis-
creto para E < 0 y un espectro continuo para E > 0. . . 97
VI.3. Pozo rectangular unidimensional finito. . . . . . . . . . 99
VI.4. Barrera rectangular unidimensional. . . . . . . . . . . . 101
VI.5. Pozo doble sim´etrico rectangular. . . . . . . . . . . . . . 103
VI.6. Funciones de onda para n = 1 para el pozo rectangular
doble. En (a) se muestran las soluciones deslocalizadas
sim´etrica y antisim´etrica, mientras que en (b) se mues-
tran las soluciones que corresponden a part´ıculas locali-
zadas en un pozo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
VI.7. Funciones de onda entrante y saliente. . . . . . . . . . . 110
VI.8. Pozo rectangular finito con barrera infinita. . . . . . . . 112
VI.9. Pozo para el ejercicio VI.22. . . . . . . . . . . . . . . . . 126
IX.1. Diagrama esquem´atico del efecto Aharonov-Bohm. . . . 199
XIV.1. Efecto Stark lineal para la l´ınea H alfa, debido al desdo-
blamiento de los niveles n = 2 y n = 3. . . . . . . . . . . 396
XV.1. M´etodo de Rabi para la medici´on del momento magn´etico. 459
XIX.1. Absorci´on de radiaci´on electromagn´etica por HCl. . . . 587
XX.1. Coordenadas de laboratorio y CM; en (a) se muestran
los vectores de posici´on y en (b) las velocidades. . . . . 597
XX.2. Dispersi´on de part´ıculas por un potencial central. . . . . 625
XX.3. Dispersi´on el´astica por una esfera r´ıgida. . . . . . . . . . 627
xxix
31.
32. Prefacio
E
n este volumen se discute con detalle la soluci´on de cada uno de los
problemas sugeridos al lector en el texto Introducci´on a la mec´anica
cu´antica, de Luis de la Pe˜na, a los que se han agregado otros para
redondear su contenido. Durante la elaboraci´on del volumen se ha
tenido presente en todo momento que mucho m´as importante que la
mera soluci´on de un ejercicio es el valor did´actico que el proceso de su soluci´on
puede tener para fijar y mejorar la comprensi´on del tema en estudio. Por esta
raz´on, las discusiones son normalmente detalladas y, con mucha frecuencia, se les
extiende bastante m´as all´a de las fronteras que podr´ıan considerarse naturales si
el libro fuera un simple problemario. Por lo mismo, en muchos casos se presentan
soluciones alternativas o discusiones complementarias, que tienen que ver m´as
con la f´ısica involucrada que con el m´etodo a seguir, o bien, se agrega material
para mostrar posibles aplicaciones del tema o del m´etodo empleado. Todo esto
hace del volumen un auxiliar did´actico a ser usado de preferencia lado a lado
con el correspondiente texto, preparado con la intenci´on de ayudar al estudiante
de mec´anica cu´antica a adquirir conocimientos m´as s´olidos del tema, a la vez
que experiencia y pr´actica suficientes en la soluci´on de problemas, aspecto que
constituye un apremiante escollo para la mayor´ıa de los estudiantes del tema. Con
el objeto de enriquecer el volumen y hacerlo de inter´es para un c´ırculo m´as amplio
de usuarios, se han agregado a los 340 problemas propuestos en el texto original,
otros 171 agrupados en cada cap´ıtulo bajo el rubro de problemas adicionales,
seleccionados para complementar apropiadamente los anteriores, lo que hace un
total de 511 problemas resueltos en la obra. Finalmente, como colof´on de cada
cap´ıtulo se proponen nuevos ejercicios a resolver, hasta formar un total de 332.
Este libro, tal como sucede con el texto que le sirve de base, est´a destinado
en primer lugar a los estudiantes de nivel de licenciatura que desean adquirir un
s´olido conocimiento de los principios de la mec´anica cu´antica, particularmente
estudiantes de las carreras de f´ısica y afines, como algunas de las ingenier´ıas
modernas o la qu´ımica te´orica. Sin embargo, el nivel se extiende de manera natural
hasta cubrir varios temas m´as propios de los estudios de posgrado o de cursos
especializados, los que aparecen marcados en el texto de base con frecuencia con
un asterisco. De manera an´aloga, los problemas que requieren de conocimientos o
procedimientos de soluci´on claramente m´as avanzados que los que corresponden al
nivel introductorio han sido marcados con un asterisco o, de manera excepcional,
con un doble asterisco. Las frecuentes discusiones complementarias a lo que ser´ıa
la soluci´on escueta de los problemas no han sido marcadas en forma alguna, de
tal manera que es el propio contexto lo que debe orientar al alumno a distinguir
una parte de otra, aunque con la intenci´on de facilitar esta tarea, en ocasiones se
abre tal discusi´on con alguna frase introductoria apropiada. En todo caso, es el
inter´es del propio alumno el que debe decidir hasta donde avanza en cada ocasi´on.
La organizaci´on del volumen es directa; en la primera secci´on de cada cap´ıtu-
lo se resuelven todos y cada uno de los problemas propuestos en Introducci´on a
la mec´anica cu´antica, libro al cual se hace referencia simplemente como el tex-
xxxi
33. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
to. Sigue en cada caso una segunda secci´on en que se resuelven y discuten de
manera an´aloga los problemas adicionales, los que pueden cubrir cualquiera de
los t´opicos propios al cap´ıtulo y han sido ordenados por contenido siguiendo de
manera aproximada al texto base. Finalmente, aparece la secci´on de ejercicios a
resolver, en el mismo o cercano orden; el nivel de estos ejercicios es normalmente
introductorio. La redacci´on de los problemas de la primera secci´on es la original
del texto, aunque se dan de vez en cuando peque˜nos cambios de estilo. S´olo en
un caso espec´ıfico se encontr´o conveniente modificar el enunciado del problema
para aumentar su inter´es did´actico.
A la preparaci´on del presente volumen han ayudado muchas personas, directa
o indirectamente, a todos los cuales los autores desean expresar su agradecimiento.
En primer lugar, deben contarse los muchos estudiantes (aunque menos de lo
que hubiera sido deseable) que a lo largo de los a˜nos aportaron sus comentarios
y observaciones sobre los problemas del texto (o a´un sobre el propio texto).
Colaboraciones particularmente ´utiles y directas fueron las proporcionadas por
el maestro en ciencias Maximino Aldana y el f´ısico Alfonso Cortina, quienes
revisaron los cap´ıtulos xvi y xvii, respectivamente, y la de la doctora Ana Mar´ıa
Cetto, quien, de manera voluntaria y pese a sus m´ultiples tareas, se ech´o encima
la de revisar con cuidado el texto del volumen completo. A su vez, el maestro en
ciencias Eduardo Roa colabor´o con sus comentarios a lo largo de la preparaci´on del
material. Todas las figuras fueron preparadas con el programa de dibujo t´ecnico
Metagr´afica, gentilmente proporcionado por su autor, el f´ısico Alejandro Aguilar.
Los autores han puesto el m´aximo cuidado para reducir al m´ınimo el n´umero
de errores, incluyendo los tipogr´aficos. Sin embargo, les es claro que en obras
como la presente de lo ´unico que se puede estar seguro, es de que se han colado
muchos m´as de lo que merece su esfuerzo y dicta su deseo. De antemano piden
las debidas disculpas por ello, y solicitan de los lectores su comprensi´on y, sobre
todo, su colaboraci´on, haci´endoles llegar los comentarios u observaciones que
crean pertinentes para mejorar la obra.
Luis de la Pe˜na
Mirna Villavicencio
xxxii
34. I. La mec´anica cu´antica primitiva
I.1. Problemas del texto
I.1 Obtenga las expresiones l´ımite de la distribuci´on de Planck para peque˜nas y
grandes frecuencias, a temperatura fija. ¿Cu´al es la forma de la funci´on f(ω/T) que
aparece en la ley de Wien (ecuaci´on (T1.10)1) para altas frecuencias y por qu´e no
puede determinarse cl´asicamente? Discuta sus resultados.
La expresi´on de Planck para la densidad espectral del campo est´a dada por
(T1.12)2
ρ (ω) =
ω3
π2c3
1
e ω/kBT − 1
, (I.1)
donde ω = 2πν representa la frecuencia angular. Con ayuda del desarrollo en
serie de la funci´on exponencial,
ex
=
∞
n=0
1
n!
xn
, (I.2)
puede escribirse
e ω/kBT
− 1 =
∞
n=1
1
n!
ω
kBT
n
. (I.3)
Consideremos una temperatura T fija, finita y diferente de cero. En el caso
ω/T → 0 s´olo el t´ermino de orden m´as bajo contribuye efectivamente, por lo que
puede aproximarse
e ω/kBT
− 1
ω
kBT
. (I.4)
De aqu´ı sigue
ρ (ω) ≈
ω3
π2c3
kBT
ω
=
ω2
π2c3
kBT, (I.5)
1
El prefijo T de las ecuaciones se refiere al libro de texto Introducci´on a la mec´anica cu´antica,
de Luis de la Pe˜na, unam/fce, M´exico, 1991.
2
Esta expresi´on no contiene el t´ermino contribuido por la energ´ıa del punto cero y correspon-
de a la ley obtenida por Planck en su llamada primera teor´ıa (termodin´amica, con elementos
heur´ısticos).
1
35. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
que es precisamente la expresi´on obtenida por Rayleigh y Jeans. N´otese que
ω/T → 0 puede interpretarse como ω → 0 con T fija, o bien T → ∞ con ω fija,
caso que corresponde al l´ımite cl´asico.
Si se compara la ´ultima expresi´on con la ley de Wien, ecuaci´on (T1.10)3
ρ (ω) = ω3
f
ω
T
, (I.6)
resulta que para frecuencias bajas (o altas temperaturas)
f
ω
T
=
kBT
π2c3ω
. (I.7)
Por otro lado, a frecuencias altas (o bajas temperaturas), e ω/kBT 1, por
lo que la distribuci´on de Planck se puede aproximar por la llamada distribuci´on
de Wien,
ρ (ω)
ω3
π2c3
e− ω/kBT
. (I.8)
Comparando de nuevo con la ecuaci´on (T1.10) vemos que ahora
f
ω
T
=
π2c3
e− ω/kBT
. (I.9)
Como este resultado depende de manera esencial de la constante de Planck,
no es posible derivarlo de consideraciones cl´asicas, a diferencia del caso corres-
pondiente a bajas frecuencias. De hecho, el f´ısico alem´an Wilhelm Wien propuso
su distribuci´on en 1896 sobre bases heur´ısticas.
Los resultados anteriores muestran que para cualquier temperatura se tiene
f
ω
T
=
π2c3
1
e ω/kBT − 1
. (I.10)
Es claro que las dos expresiones obtenidas anteriormente no son sino el valor
l´ımite de esta funci´on cuando ω/T → 0 ´o ∞. Aqu´ı tambi´en notamos que la
dependencia en la constante de Planck explica la imposibilidad de determinar
esta funci´on con m´etodos puramente cl´asicos. De hecho, hemos seguido aqu´ı el
camino inverso al tomado por Planck: de su distribuci´on obtuvimos los dos valores
asint´oticos, para T → ∞ (l´ımite cl´asico de altas temperaturas, aplicable s´olo a
bajas frecuencias para evitar la cat´astrofe ultravioleta y dado por la distribuci´on
de Rayleigh-Jeans) y para altas frecuencias (libre de tal cat´astrofe, pero aplicable
s´olo a bajas temperaturas y dado por la distribuci´on de Wien), mientras que
Planck interpol´o heur´ısticamente entre estas dos distribuciones para construir
una nueva, con la esperanza de que correspondiera (como sucedi´o) a la realidad.
I.2 Obtenga la ley de Stefan-Boltzmann u = cte ×T4 a partir de la distribuci´on de
Planck.
La densidad de energ´ıa de un campo electromagn´etico en equilibrio contenida
dentro del intervalo de frecuencias dν = dω/2π es
ρT (ν) dν =
8πν3h
c3
1
ehν/kBT − 1
dν. (I.11)
3
A este resultado fundamental se le llama tambi´en en ocasiones ley de desplazamiento de
Wien, aunque con este nombre se distingue con frecuencia una consecuencia espec´ıfica y muy
importante de ella, que mencionaremos m´as adelante en el problema I.3.
2
36. La mec´anica cu´antica primitiva
Al integrar esta cantidad sobre todas las frecuencias obtenemos la densidad
de energ´ıa de un cuerpo negro a temperatura T. Con el cambio de variable
q = hν/kBT, queda
u(T) ≡
∞
0
ρT (ν) dν =
8πk4
BT4
c3h3
∞
0
q3
eq − 1
dq =
8πk4
BT4
c3h3
·
π4
15
, (I.12)
donde se tom´o en cuenta que (Gradshteyn y Ryzhik (1980), 3.411)
∞
0
x3
ex − 1
dx = Γ(4)ζ(4) = 6ζ(4), (I.13)
con ζ una funci´on Zeta de Riemann,
ζ(4) =
∞
n=1
1
n4
=
π4
90
. (I.14)
Es costumbre escribir este resultado, conocido como ley de Stefan-Boltzmann, en
la forma
u =
4σ
c
T4
, (I.15)
con la constante de Stefan-Boltzmann σ dada por
σ =
2π5k4
B
15c2h3
. (I.16)
As´ı, la ley de Planck explica la ley de Stefan-Boltzmann y permite determinar el
valor de la constante que aparece en ella.4
I.3 Muestre que la ley de Planck predice que la densidad espectral de la radiaci´on
de cuerpo negro tiene un m´aximo para cada temperatura, que ocurre a la longitud
de onda
λm =
2πc
4.965
1
kBT
.
Calcule νm y explique por qu´e νm = c/λm. Este resultado —conocido como ley de
desplazamiento de Wien— muestra que al elevarse la temperatura del cuerpo negro,
el m´aximo de intensidad de la radiaci´on se desplaza hacia las longitudes de onda
cortas.
Reescribimos la densidad espectral de radiaci´on de cuerpo negro en la forma
(I.11), donde el sub´ındice T indica que consideramos una temperatura constante.
Conviene primero expresar esta densidad en t´erminos de la longitud de onda, para
lo cual debemos determinar ρT (λ). De la teor´ıa general de cambio de variable se
tiene f (x) dx = f(x(y)) |J| dy, con J = (∂xy) el jacobiano de la transformaci´on.
De ν = c/λ sigue
dν = −
c
λ2
dλ
4
La ley de Stefan-Boltzmann fue establecida como una relaci´on emp´ırica por J. Stefan en
1879 y derivada te´oricamente por L. Boltzmann en 1884. Una discusi´on detallada puede verse,
por ejemplo, en L. Garc´ıa-Col´ın, La Naturaleza Estad´ıstica de la Teor´ıa de los Cuantos (UAM-
I, M´exico, 1987) y la bibliograf´ıa que ah´ı se menciona. V´ease tambi´en E. Braun, Una faceta
desconocida de Einstein, Colecci´on La Ciencia desde M´exico, No. 19 (FCE, M´exico, 1986).
3
37. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
(el signo menos indica que a un aumento en la frecuencia corresponde una dismi-
nuci´on en la longitud de onda, al ser estas variables inversamente proporcionales),
lo que conduce a
ρT (λ) =
c
λ2
ρT (c/λ) =
8πhc
λ5
1
ehc/λkBT − 1
(I.17)
como la expresi´on para la densidad espectral de la radiaci´on de cuerpo negro en
t´erminos de la longitud de onda.
Para encontrar el m´aximo de esta funci´on se debe determinar el valor λm que
satisface la condici´on
dρT (λ)
dλ λm
= 0, (I.18)
o sea
−5λmkBT ehc/λmkBT − 1 + hcehc/λmkBT
λ2
mkBT ehc/λmkBT − 1
2 = 0.
El denominador de esta expresi´on es siempre diferente de cero para λm y T finitas.
Por lo tanto, s´olo nos interesa la condici´on
−5λmkBT ehc/λmkBT
− 1 + hcehc/λmkBT
= 0,
es decir
e−x
+ 1
5 x − 1 = 0, (I.19)
en donde hemos sustituido x = hc/λmkBT. Esta ecuaci´on trascendente puede
resolverse por aproximaciones sucesivas, obteni´endose
x 5(1 − e−5
) = 4.965 . . .
Por lo tanto,
λm =
2π c
4.965
1
kBT
. (I.20)
En t´erminos de la constante
b ≡
hc
4.965kB
= 2.8978 × 10−3
m · K, (I.21)
la ley de desplazamiento de Wien (I.20) toma la forma
λmT = b. (I.22)
Esta ley establece que a medida que la temperatura de un cuerpo negro aumenta,
el m´aximo de su distribuci´on de energ´ıa se desplaza hacia longitudes de onda
m´as cortas, lo que se observa como un cambio en el color del cuerpo (y explica
el nombre dado a este resultado). La teor´ıa permite as´ı fijar h en t´erminos del
valor experimental de la constante de Wien b, que fue el m´etodo empleado por
Planck para la determinaci´on experimental de su constante. Es claro que b no es
determinable por m´etodos cl´asicos.
El factor jacobiano diferente de la unidad en la transici´on de ρ(ω) a ρ(λ) hace
que la ecuaci´on que determina la frecuencia a la que ocurre el m´aximo difiera de
(I.19), por lo que en efecto no se cumple la relaci´on νm =c/λm. Esto se comprueba
4
38. La mec´anica cu´antica primitiva
calculando la frecuencia νm para la cual la derivada de ρ(ν) dada por (I.11) se
anula, lo que conduce a la ecuaci´on
e−x
+ 1
3 x − 1 = 0, x = hνm/kBT. (I.23)
La ley de desplazamiento de Wien se utiliza ampliamente para investigar la
temperatura de cuerpos calientes (con espectro similar al de cuerpo negro),5 pues
para ello basta conocer la longitud de onda a la cual la intensidad de radiaci´on
es m´axima. Por ejemplo, aceptando que el espectro solar corresponda al de un
cuerpo negro, del hecho de que la energ´ıa radiada por el Sol presenta un m´aximo
a λm 5 × 103˚A sigue que la temperatura de la superficie solar es
T = 2.9 × 10−3
×
1
5
× 10−3
× 1010
≈ 5800 K.
Otra aplicaci´on interesante ocurre al considerar la radiaci´on de fondo del universo,
cuyo espectro corresponde a una planckiana de temperatura T = 2.7 K. A
esta temperatura el m´aximo de la densidad de energ´ıa radiada corresponde a
la longitud de onda λm = 0.107 cm, es decir, en la banda de microondas, hecho
que facilit´o la detecci´on de esta radiaci´on empleando precisamente detectores de
microondas (v´ease el problema I.5).
I.4 Construya una gr´afica de la energ´ıa media de los osciladores de Planck versus
la frecuencia y ´usela para mostrar que el postulado En = n ω introduce un corte
en el espacio de las frecuencias. Determine esta frecuencia de corte. Este resultado
muestra que el postulado mencionado impide que se exciten modos de frecuencia
arbitrariamente alta a una temperatura dada.
Es conveniente partir de la siguiente observaci´on. Sea x una variable alea-
toria que puede tomar valores x1, x2, . . . , xn con probabilidades p1, p2, . . . , pn y
n
i=1 pi = 1, de tal manera que x1 < x2 < . . . < xn. El valor medio ¯x de x cumple
entonces con
x1 < ¯x < xn. (I.24)
En palabras: el valor medio de x est´a comprendido entre el menor y el mayor de
los valores que esta variable puede alcanzar.
Consideremos ahora la energ´ıa de los osciladores de Planck como una varia-
ble aleatoria que puede tomar los valores En(ω) = n ω, con n = 1, 2, 3, . . ., con
probabilidades
pn =
1
Z
e−En/kBT
. (I.25)
La funci´on de partici´on Z(T) es el factor de normalizaci´on que garantiza que
∞
n=1 pn = 1. Como E1 < E2 < . . ., si ¯E denota la energ´ıa promedio de los
osciladores, de (I.24) sabemos que debe cumplirse que
¯E(ω) =
ω
e ω/kBT − 1
> E1. (I.26)
Para escribir la forma expl´ıcita de ¯E(ω) como funci´on de la frecuencia se utiliz´o la
ecuaci´on (T1.35). En la figura I.1 se ilustran las cantidades E1(ω), E2(ω), . . ., y
5
La densidad de energ´ıa radiada por un cuerpo no negro es (4σ/c)a(T)T4
, con a(T) el poder
absorbente del cuerpo a la temperatura T. La relaci´on a(T) = 1 se toma normalmente como la
definici´on de cuerpo negro.
5
39. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
E3 E2
E1
c
E
Figura I.1 Energ´ıa media de los osciladores de Planck como funci´on de la
frecuencia, a una temperatura dada.
¯E(ω) como funci´on de la frecuencia, as´ı como la frecuencia ωc, definida por la
intersecci´on de las trayectorias de E1(ω) y ¯E(ω). En esta figura vemos claramente
que para cualquier frecuencia ω > ωc, resulta que ¯E < E1, lo que contradice (I.26).
Luego a la temperatura dada T los osciladores de frecuencia ω > ωc no pueden
excitarse. Asimismo, esto queda claro por el hecho de que E1 = ω representa la
m´ınima energ´ıa posible de los osciladores de Planck; como ´esta no puede exceder
la energ´ıa media, la frecuencia de los osciladores que se pueden excitar no excede
a su vez el valor ωc = ¯E(ω)/ . En breve, ωc es una frecuencia de corte para los
osciladores.
La frecuencia de corte ωc se determina de la condici´on ¯E(ωc) = E1(ωc); usando
(I.26), esto se escribe como
ωc
e ωc/kBT − 1
= ωc, (I.27)
de donde sigue que
ωc =
kBT
ln 2. (I.28)
Este resultado muestra que la frecuencia de corte ωc crece linealmente con la
temperatura absoluta del cuerpo.
I.5 Hay evidencia de que el universo emite radiaci´on de cuerpo negro correspon-
diente a una temperatura de equilibrio cercana a 3 K. Calcule la energ´ıa de un
cuanto de luz de longitud de onda λm (problema I.3) a esta temperatura, y a 300 K
(temperatura ambiente).
Como se vio en el problema I.3, la longitud de onda a la cual la curva espectral
de la radiaci´on de fondo del universo tiene su m´aximo es de aproximadamente
6
40. La mec´anica cu´antica primitiva
1 mm.6 La energ´ıa de un cuanto de esta longitud de onda es
E = hc/λm = 2.057 × 10−22
J = 1.284 × 10−9
MeV. (I.29)
En cambio, con T = 300 K en la ecuaci´on (I.22) se obtiene
λm = 9.66 × 10−6
m = 9660 nm, (I.30)
que se encuentra en la zona del infrarrojo lejano. Un cuanto de esta longitud de
onda tiene una energ´ıa 100 veces mayor que el anterior:
E = 2.057 × 10−20
J = 1.284 × 10−7
MeV.
I.6 Calcule la energ´ıa de un cuanto de luz visible de longitud de onda de 6000 ˚A.
Calcule el n´umero de cuantos de esta longitud de onda que emite por segundo una
fuente de 100 watts.
La energ´ıa de un cuanto de luz est´a dada por
E = hν = hc/λ. (I.31)
Sustituyendo los valores hc = 1.988 × 10−25 J·m y λ = 6 × 10−7 m, se obtiene
E = 3.313 × 10−19
J = 2.07 eV.
Como la potencia de la l´ampara es de 100 watts, radia 100 J por segundo
(suponiendo que toda la energ´ıa se transforma en radiaci´on de la misma longitud
de onda, que juega aqu´ı el papel de una longitud de onda promedio) y el n´umero
de cuantos por segundo es
N =
potencia
energ´ıa de un cuanto
=
100 J · s−1
3.313 × 10−19 J
,
o sea
N = 3.018 × 1020
s−1
. (I.32)
Para la luz en esta regi´on del espectro, el umbral de detecci´on del ojo humano es
del orden de cien cuantos por segundo, lo que seg´un el c´alculo anterior corresponde
a una potencia como de 3.3 × 10−17 W.
I.7 Luz ultravioleta de longitud de onda λ = 3500 ˚A incide sobre una superficie
de potasio; se observa que la energ´ıa m´axima de los fotoelectrones emitidos es de
1.6 eV. Calcule la funci´on de trabajo del potasio, despreciando correcciones t´ermicas.
En una versi´on simplificada del efecto fotoel´ectrico un fot´on es absorbido
completamente por un electr´on de la superficie met´alica, de tal manera que
cuando se emite un electr´on desde la superficie del metal, su energ´ıa cin´etica
es (ecuaci´on (T1.17))
K = hν − W, (I.33)
donde W es el trabajo necesario para sacar al electr´on del metal, o sea el trabajo
necesario para superar tanto los campos atractivos de los ´atomos en la superficie,
6
Sobre esta radiaci´on c´osmica de fondo puede encontrarse una amplia literatura. Por ejemplo,
una discusi´on muy amena del tema se presenta en S. Weinberg, The First Three Minutes (Basic
Books, Nueva York, 1988).
7
41. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
como las p´erdidas de energ´ıa cin´etica del electr´on debidas a sus colisiones con los
´atomos de la placa en su trayecto a la superficie.
En el caso en que el electr´on reciba toda la energ´ıa absorbida por el ´atomo
y las p´erdidas por colisi´on sean despreciables, el fotoelectr´on emerger´a con la
energ´ıa cin´etica m´axima Km´ax = hν − W0, donde W0 es la funci´on trabajo del
metal, que representa la energ´ıa m´ınima necesaria para que un fotoelectr´on llegue
a la superficie del metal y escape de las fuerzas que normalmente lo ten´ıan sujeto
a ´este. Vemos que la funci´on de trabajo puede determinarse como
W0 = hν − Km´ax. (I.34)
Para la luz de longitud de onda λ = 3500 ˚A= 3.5 × 10−7 m, la frecuencia es
ν = c/λ = 8.571 × 1014 s−1. De aqu´ı resulta para la funci´on de trabajo del
potasio
W0 = 6.626 × 10−34
× 8.571 × 1014
− 1.6 × 1.602 × 10−19
J
= 3.116 × 10−19
J = 1.945 eV. (I.35)
De este resultado sigue que la longitud de onda umbral (o de corte) del potasio
es
λ0 =
hc
W0
= 6.379 × 10−7
m = 637.9 nm = 6379 ˚A. (I.36)
I.8 Un fot´on de 100 MeV choca con un prot´on en reposo. Calcule la p´erdida m´axima
de energ´ıa del fot´on.
Cuando se produce efecto Compton, el cambio en la longitud de onda del
fot´on dispersado est´a dado por la ecuaci´on (T1.36),
∆λ = λ − λ0 =
h
m0c
(1 − cos θ) . (I.37)
Dado que para un fot´on
λ =
hc
E
, (I.38)
la expresi´on (I.37) puede ser reescrita en la forma
E0 − E
EE0
=
1
m0c2
(1 − cos θ) . (I.39)
Si definimos la energ´ıa perdida por el fot´on como ∆E = E0 − E, tenemos
∆E =
(1 − cos θ) E2
0
m0c2 + (1 − cos θ) E0
, (I.40)
que es una expresi´on para la energ´ıa perdida por el fot´on por efecto Compton,
en t´erminos de su energ´ıa inicial y del ´angulo con que es dispersado.
La f´ormula anterior permite determinar la p´erdida m´axima de energ´ıa del
fot´on como funci´on de θ. Para esto basta encontrar los valores de θ para los
cuales
d∆E
dθ
=
E2
0m0c2 sen θ
[m0c2 + (1 − cos θ) E0]2 = 0. (I.41)
Esta expresi´on se anula en θ = 0 y θ = π. Para θ = 0 se tiene ∆E = 0, con lo
cual es claro que no se trata de un m´aximo de energ´ıa perdida. Por otro lado,
8
42. La mec´anica cu´antica primitiva
es simple mostrar que la segunda derivada de ∆E con respecto a θ evaluada en
θ = π toma un valor negativo, lo que corresponde efectivamente a un m´aximo de
energ´ıa perdida. As´ı pues, la p´erdida m´axima de energ´ıa del fot´on es
∆Em´ax =
2E2
0
m0c2 + 2E0
. (I.42)
Esta expresi´on se puede escribir en la forma alterna adimensional
∆Em´ax
E0
=
1
1 + (m0c2/2E0)
, (I.43)
que muestra que la m´axima p´erdida de energ´ıa por parte del fot´on ocurre cuando
su energ´ıa inicial es muy superior a la energ´ıa asociada a la masa en reposo de la
part´ıcula involucrada.
Para un fot´on con energ´ıa inicial E0 = 100 MeV que choca con un prot´on de
masa en reposo m0 = 1.67×10−27 kg (que corresponde a 938 MeV), (I.42) arroja
el resultado
∆Em´ax =
2 × 104
938 + 200
MeV = 17.6 MeV. (I.44)
Si el choque fuera con un electr´on libre (cuya masa en reposo es aproximadamente
igual a 0.51 MeV), el fot´on podr´ıa llegar a perder pr´acticamente toda su energ´ıa
(v´ease el siguiente problema):
∆Em´ax
2 × 104
0.5 + 200
MeV = 99.75 MeV. (I.45)
I.9 Un fot´on de 100 MeV choca con un electr´on en reposo y es dispersado a 45◦
respecto a la direcci´on de incidencia. Calcule la energ´ıa de cada part´ıcula despu´es de
la colisi´on y determine la direcci´on de salida del electr´on.
Dado que se nos pide m´as informaci´on que en el problema anterior, es oportu-
no hacer un desarrollo m´as detallado del procedimiento para obtener la f´ormula
de Compton, partiendo de la condici´on de que tanto la energ´ıa total como el
momento lineal se conservan en la colisi´on.
Antes de que la colisi´on ocurra, la energ´ıa del fot´on es E0 = 100 MeV, en
tanto que el electr´on s´olo tiene su energ´ıa de reposo mec2. Como resultado de
la colisi´on (mostrada esquem´aticamente en la figura I.2), el fot´on es dispersado
a 45◦ con respecto a la direcci´on de incidencia, su energ´ıa es E1 y su momento
es p1. Por otro lado, el electr´on adquiere energ´ıa cin´etica K y momento p, y es
dispersado a un ´angulo ϕ con respecto a la direcci´on de incidencia del fot´on.
Planteemos la conservaci´on del momento lineal. En la figura I.2 observamos que
a lo largo del eje x se tiene
p0 = p1 cos θ + p cos ϕ, (I.46)
mientras que a lo largo del eje y
0 = p1 sen θ − p sen ϕ. (I.47)
De estas dos expresiones sigue
p2
= p2
0 − 2p0p1 cos θ + p2
1. (I.48)
9
43. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
K, p
E1, p1
p0
Figura I.2 Dispersi´on Compton de un fot´on por un electr´on.
Por otro lado, la ley de conservaci´on de la energ´ıa total conduce a
E0 + mec2
= E1 + K + mec2
, (I.49)
o sea
E0 = E1 + K. (I.50)
Como la masa del fot´on es cero, su energ´ıa y momento est´an relacionados a trav´es
de la expresi´on p = E/c, lo que permite escribir E0 = p0c y E1 = p1c, y
K = c (p0 − p1) . (I.51)
Por otra parte, hemos escrito la energ´ıa total del electr´on despu´es de la colisi´on
como
E = K + mec2
, (I.52)
pero en t´erminos de su momento es
E2
= m2
ec4
+ p2
c2
. (I.53)
De estas dos ´ultimas expresiones tenemos
K2
+ 2mec2
K + m2
ec4
= m2
ec4
+ p2
c2
,
que se reduce a
p2
=
K2
c2
+ 2meK. (I.54)
Insertando este resultado en (I.48) se tiene
K2
c2
+ 2meK = p2
0 − 2p0p1 cos θ + p2
1 (I.55)
y sustituyendo (I.51) en esta ´ultima expresi´on resulta
2mec (p0 − p1) = 2p1p0 (1 − cos θ) . (I.56)
10
44. La mec´anica cu´antica primitiva
De aqu´ı sigue
1
p1
−
1
p0
=
1
mec
(1 − cos θ) , (I.57)
que expresado en t´erminos de la longitud de onda de de Broglie corresponde a la
expresi´on de Compton:
∆λ = λ1 − λ0 = λc (1 − cos θ) , (I.58)
donde
λc =
h
mec
(I.59)
es la longitud de onda de Compton, cuyo valor para el electr´on es
λc = 2.43 × 10−12
m = 0.0243˚A. (I.60)
De la ecuaci´on (I.57) obtenemos tambi´en
p1 =
1
1
p0
+
1 − cos θ
mec
. (I.61)
Para E0 = 100 MeV= 1.602 × 10−11 J se tiene
p0 = E0/c = 5.344 × 10−20
kg · m · s−1
,
y con los valores me = 9.109 × 10−31kg y θ = 45◦ obtenemos para el momento
lineal del fot´on despu´es de la colisi´on:
p1 = 9.164 × 10−22
kg · m · s−1
,
que corresponde a la energ´ıa
E1 = cp1 = 2.747 × 10−13
J = 1.715 MeV,
valor que apenas excede el 1 % de E0; en otras palabras, el fot´on transfiere m´as
del 98 % de su energ´ıa al electr´on durante esta colisi´on.
La energ´ıa cin´etica del electr´on despu´es de la colisi´on es la diferencia E0 −E1,
K = 1.575 × 10−11
J = 98.29 MeV;
de (I.54) sigue que el momento correspondiente es
p =
K
c
1 +
2mec2
K
=
1.575
3
1 + 1.04 × 10−2 1/2
× 10−19
= 5.28 × 10−20
kg · m · s−1
.
Conocidos p1 y p y utilizando la ley de conservaci´on del momento a lo largo del
eje y, podemos escribir
sen ϕ =
p1
p
sen θ. (I.62)
Por lo tanto, la direcci´on de salida del electr´on est´a dada por ϕ sen θ/100, o
sea aproximadamente 0.70◦.
11
45. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
I.10 Un n´ucleo de nitr´ogeno en reposo (M0 14mp) emite un fot´on de 6.2 MeV.
Determine la energ´ıa de retroceso del n´ucleo.
Antes de la emisi´on del fot´on la energ´ıa total y el momento total del sistema
est´an dados por
Ei = M0c2
, pi = 0. (I.63)
Despu´es de la emisi´on del fot´on tendremos los siguientes valores:
Ef = M0c2
+ K + hν, pf = pn´ucleo +
hν
c
, (I.64)
en donde hν es la energ´ıa del fot´on emitido, K es la energ´ıa de retroceso del
n´ucleo y M0 es la masa en reposo del n´ucleo remanente despu´es de la emisi´on del
fot´on. Al escribir la ´ultima expresi´on se tom´o en cuenta que los movimientos son
colineales. De la conservaci´on del momento y de la energ´ıa total sigue
pn´ucleo +
hν
c
= 0 (I.65)
y
M0c2
+ K + hν = M0c2
. (I.66)
Observando que
M0c2
+ K = p2
n´ucleoc2 + M 2
0 c4, (I.67)
podemos escribir
M0 =
(hν)2
− K2
2Kc2
, (I.68)
que substituido en la ecuaci´on (I.66) nos permite despejar la energ´ıa cin´etica,
para obtener (el signo se determina considerando que para ν = 0, K debe ser
nula)
K = M0c2
− hν − (M0c2 − hν)2
− (hν)2
. (I.69)
En el presente caso M0c2 = 1.313 × 104 MeV hν = 6.2 MeV, por lo
que la energ´ıa de retroceso del n´ucleo resulta despreciable y puede considerarse
que el n´ucleo permanece en reposo pr´acticamente. En efecto, desarrollando hasta
segundo orden se obtiene:
K
(hν)2
2M0c2
1.464 × 10−3
MeV. (I.70)
Si hν fuese suficientemente mayor, el valor de K podr´ıa llegar a ser apreciable.
I.11 Demuestre que seg´un la f´ısica cl´asica, una carga libre puede dispersar un fot´on,
pero no absorberlo.
Inicialmente se tiene una part´ıcula libre con masa en reposo m0 y un fot´on
con energ´ıa E0 = hν que se propaga en una direcci´on fija hacia la part´ıcula libre.
Suponiendo que la part´ıcula absorbe el fot´on, la situaci´on final corresponder´ıa a
la part´ıcula con energ´ıa Ef y momento pf ; suponiendo tambi´en que la energ´ıa
total se conservara en tal proceso, deber´a cumplirse que
hν + m0c2
= Ef . (I.71)
12
46. La mec´anica cu´antica primitiva
Como por otro lado
p2
f =
E2
f
c2
− m2
0c2
, (I.72)
eliminando Ef entre ambas expresiones queda
p2
f =
(hν)2
c2
+ 2hνm0. (I.73)
Sin embargo, como antes de la colisi´on el momento lineal del sistema es pi = hν/c,
es posible reescribir la expresi´on anterior en la forma
p2
f = p2
i + 2hνm0 > p2
i , (I.74)
lo que viola la ley de conservaci´on del momento lineal. Esto significa que el proceso
descrito no se realiza en la naturaleza para ninguna frecuencia ν del fot´on. En
otras palabras, mientras que la absorci´on no puede garantizar la conservaci´on
simult´anea del momento y la energ´ıa, la dispersi´on s´ı lo hace, pues en este caso
el momento lineal se distribuye entre los dos sistemas finales.
Las consideraciones anteriores no se aplican al caso del efecto fotoel´ectrico,
pues los electrones que absorben el fot´on no est´an libres, sino ligados, y el ´atomo
(o la red cristalina) se queda con la diferencia de momento. Por otro lado, en
el efecto Compton la colisi´on se da entre un fot´on y un electr´on en reposo (que
puede tomarse como esencialmente libre), como se supuso en el c´alculo anterior;
sin embargo, en este caso el fot´on no cede toda su energ´ıa al electr´on, sino s´olo
una parte de ella.
I.12 Suponiendo aplicables (en lo concerniente) las leyes cl´asicas, calcule la potencia
radiada por un electr´on que se mueve en una ´orbita circular de Bohr caracterizada
por el n´umero cu´antico n.
En f´ısica cl´asica, para que el electr´on pudiera describir una ´orbita circular ser´ıa
necesario que una fuente externa compensara continuamente la energ´ıa perdida
por radiaci´on. Esto es debido a que en la teor´ıa electromagn´etica las cargas
aceleradas radian energ´ıa en forma de ondas electromagn´eticas; espec´ıficamente,
en el l´ımite no relativista la potencia radiada por una carga el´ectrica sujeta a la
aceleraci´on a est´a dada por la f´ormula de Larmor7
P =
2
3
e2a2
4πε0c3
. (I.75)
Olvid´emonos por un momento de la estabilidad de las ´orbitas de Bohr y
calculemos con m´etodos cl´asicos la potencia radiada por un electr´on que se
mueve en una ´orbita circular de Bohr caracterizada por el n´umero cu´antico n.
Consideremos un ´atomo constituido por un n´ucleo de carga Ze y masa M y un
solo electr´on de carga −e y masa m. Como la masa del electr´on es muy peque˜na
en comparaci´on con la del n´ucleo, consideramos a este ´ultimo como fijo en el
espacio. Las ´orbitas estables de la teor´ıa de Bohr pueden determinarse igualando
la fuerza inercial centr´ıfuga y la atracci´on coulombiana ejercida sobre el electr´on
por el n´ucleo:
1
4πε0
Ze2
r2
=
mv2
r
. (I.76)
7
Jackson (1975), p. 659.
13
47. Problemas y ejercicios de mec´anica cu´antica
Para una ´orbita circular, el momento angular del electr´on es
L = mvr (I.77)
y aplicando el segundo postulado de Bohr (o la regla de Wilson-Sommerfeld a
Jθ = L) se obtiene
mvr = n , (I.78)
con lo que la velocidad orbital resulta
v =
n
mr
. (I.79)
Sustituyendo en (I.76) y despejando el radio de la ´orbita, queda
rn =
4πε0
2
mZe2
n2
, n = 1, 2, 3, . . . (I.80)
Vemos que la condici´on de cuantizaci´on del momento angular restringe las ´orbitas
circulares posibles a aquellas cuyos radios satisfacen la ecuaci´on (I.80). Usando
(I.78), la velocidad del electr´on resulta
vn =
1
4πε0
Ze2
n
, (I.81)
mientras que la aceleraci´on, a = v2/r, viene dada por
an =
1
(4πε0)3
mZ3e6
n4 4
. (I.82)
Sustituyendo esta expresi´on en la f´ormula de Larmor (I.75), se obtiene finalmente:
P =
2
3
1
(4πε0)7
Z6e14m2
c3 8n8
. (I.83)
Por ejemplo, para un electr´on en la primera ´orbita permitida de un ´atomo de
hidr´ogeno (Z = 1, n = 1) se obtiene
P = 2.9 × 1010
eV/s = 2.9 × 104
MeV/s.
Esta tasa de p´erdida de energ´ıa es muy alta (como referencia, recu´erdese que la
masa del electr´on en reposo equivale a poco m´as de 0.5 MeV). Peor a´un, se trata
tan s´olo de la tasa inicial, pues debido a la radiaci´on el radio de la ´orbita ir´ıa
decreciendo, con lo cual aumentar´ıa el valor de P y el electr´on perder´ıa energ´ıa
cada vez m´as r´apidamente, cayendo en espiral hacia el n´ucleo. Concluimos que si
no se impusiera el postulado de estabilidad de Bohr, que establece que un electr´on
en una ´orbita permitida no rad´ıa, un ´atomo de hidr´ogeno tomar´ıa s´olo alrededor
de 10−10 segundos en colapsarse, lo cual obviamente no sucede.
I.13 Estudie las ´orbitas el´ıpticas en el modelo de Bohr.
El hamiltoniano de un ´atomo hidrogenoide con Z protones en su n´ucleo es, en
coordenadas esf´ericas (v´ease secci´on 1.7 del texto o Goldstein (1980); ponemos
κ = 1/4πε0),
H = E =
p2
r
2m
+
p2
φ
2mr2
− κ
Ze2
0
r
, (I.84)
14