Mecanica00

Apuntes
de
Mecánica Teórica
José Agustín García García
Badajoz, enero de 2010.

Índice general
1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales 1
1.1. Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Desplazamiento y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2. Trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Cálculo de la energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Geometrización de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1. Las coordenadas no dependen explicitamente del tiempo . . 9
1.6.2. Las coordenadas gi dependen explicitamente del tiempo . . 12
1.7. Ecuaciones de Lagrange en Coordenadas Naturales . . . . . . . . . . 13
1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Fuerzas de ligadura 19
2.1. Fuerzas dadas y fuerzas de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Fuerzas de ligadura ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Fuerza de ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Fuerzas de ligadura no holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. Componentes generalizadas de las fuerzas holónomas y no holónomas 24
2.6. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

ii ÍNDICE GENERAL
3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y anholónomos 31
3.1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos . . . . . . . . . . 31
3.1.1. Componentes generalizadas de la fuerza en sistemas holónomos 33
3.2. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos . . . . . . . . . . 34
3.2.1. Relación entre las ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales y las ecuaciones d
3.2.2. Determinación de la fuerzas de ligadura en sistemas holónomos 36
3.3. Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos . . . . . . . . . 44
3.4. Potenciales generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5. Formulación covariante de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . 55
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Principios disponibles para la integración 63
4.1. Forma explícita de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. Integración de las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3. Sistemas con coordenadas ignorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4. Simetrías y propiedades de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6. Leyes de conservación para lagrangianos gauge-variantes . . . . . . 80
4.6.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7. Introducción a los sistema dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.1. Sistemas no autonomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.2. Estabilidad de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.7.3. Sistemas casi lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5. Dinámica hamiltoniana 95
5.1. Transformación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.1. Coordenadas ignorables en la formulación hamiltoniana . . 102
5.3. Una introducción a la geometría simplética . . . . . . . . . . . . . . 104
6. Principios Variacionales 111
6.1. Principio de D’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3. El principio de Hamilton para fuerzas que no proceden de un potencial119

ÍNDICE GENERAL iii
6.4. Obtención de las ecuaciones canónicas de Hamilton . . . . . . . . . 121
6.5. Expresión de la función principal de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 122
6.6. Simetría y acción. El teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.6.1. Invariancia gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.7. Principio de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.8. Una introducción a la mecánica lagrangiana para medios continuos152
7. Teoría de transformaciones 157
7.1. Transformaciones de Contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.1. Transformaciones de contacto para un número cualquiera de dimensiones163
7.2. Formulas explicitas para las transformaciones de contacto . . . . . 164
7.3. Solucciones alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.4. Relaciones entre las derivadas parciales de los dos conjuntos de variables170
7.5. Algunos ejemplos de transformaciones de contacto . . . . . . . . . . 172
7.5.1. Transformación puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.5.2. Transformación identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.5.3. Transformación de permutación . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.5.4. Transformación de contacto inﬁnitesimal . . . . . . . . . . . 174
7.6. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.7. Teorema de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8. Corchetes de Poisson 183
8.1. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.1.1. Algunas propiedades de los corchetes de Poisson . . . . . . . 185
8.1.2. Las ecuaciones del movimiento en término de los corchetes de Poisson187
8.1.3. Corchetes de Poisson y Transformaciones de contacto inﬁnitesimales189
8.2. Corchetes de Poisson cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9. El método Hamilton - Jacobi 197
9.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.2. La ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3. Sistemas autónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.4. Variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.5. El método de variación de las constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 215

iv ÍNDICE GENERAL
9.6. Relación entre la teoría de Hamilton – Jacobi y la mecánica cuántica225
10.Variables acción – ángulo 231
10.1.Sistemas ciclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.2.Variables acción ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.3.El movimiento del sistema en términos de las variables acción–ángulo234
11.Mecánica de medios continuos 245
11.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.2.Noción del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.3.Concepto de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
11.4.Imagenes euleriana y lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
11.5.Derivada másica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
11.6.Líneas de corriente, trayectorias y líneas de emisión . . . . . . . . . 254
11.6.1. Líneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11.6.2. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.6.3. Líneas de emisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.7.Estudio de la deformabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.7.1. Deformación del vector desplazamiento, vector superficie y volumen259
11.8.Velocidad de deformacion de los elementos de longitud, superficie y volumen262
11.9.Teorema de conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
11.10.Tensor velocidad de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.10.1.Tensor de Cauchy y Green–Venant . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11.11.Teorema de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
11.12.Dinámica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.13.tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.14.Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
11.15.Principio de conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
11.15.1.Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
A. Elementos de cinemática y dinámica del sólido rígido 305
A.1. Ecuaciones del movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
A.2. Teorema de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
A.3. Momentos cinético y lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

ÍNDICE GENERAL v
A.3.1. Teorema de Koenigs relativo al momento cinético . . . . . . . 311
A.4. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.4.1. Teorema de Koenigs relativo a la energía cinética . . . . . . . 314
A.5. Teorema de Steiner generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.5.1. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
A.6. Movimiento de dos sólidos en contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A.7. Teoremas generales de la mecánica del sólido rígido . . . . . . . . . 322
A.7.1. Trabajo de las fuerzas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.8. Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
B. Algunos conceptos de geometría diferencial 335
B.1. Concepto de espacio topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
B.2. Concepto de aplicación continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
B.3. Concepto de homeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
B.4. Concepto de carta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
B.5. Concepto de variedad topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
B.6. Concepto de transformación de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 338
B.7. Variedades lisas. Difeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
B.8. Algunos ejemplos de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
B.9. Vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
B.10.Una definición de vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
B.11.El espacio Tangente TP0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
B.12.Derivada direccional de una función. Otra definición de vector tangente347
B.13.El fibrado tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
B.14.Diferencial de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
B.15.Notacion de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
B.16.Vectores covariantes y contravariantes. El espacio de formas lineales359
B.17.Espacios euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
B.17.1.Subir y bajar indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
B.18.Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
B.19.Tensores covariantes antisimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
B.20.Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
B.20.1.Definición divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . 384

vi ÍNDICE GENERAL
B.21.Diferencial exterior de una forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . 386
B.22.Estructuras simpléticas sobre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . 387
B.23.El sistema de coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
B.24.Campos de vectores. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
B.25.Expresión del campo vectorial en el ﬁbrado tangente . . . . . . . . . 402
B.26.Expresión en coordenadas naturales de la derivada de Lie . . . . . . 403

Capítulo 1
Ecuaciones de Lagrange para
sistemas elementales
1.1. Coordenadas Generalizadas
Vamo en este capítulo introductorio a analizar las ecuaciones del movimien-
to en coordenadas generalizadas como paso previo para el análisis de las ecua-
ciones de Lagrange.
Para ello consideremos un sistema de N partículas cada una de ellas con
masas m(n). Con referencia a un sistema de referencia inercial con un sistema
de coordenadas ortogonales euclídeas, las ecuaciones del movimiento de la n-
éxima partícula toma la forma
m(n) ¨xi (n) = fi (n), i = 1,2,3, n = 1,...,N
siendo xi (n) la i-éxima componente euclídea de la n-éxima partícula y fi (n) la
i-éxima componente euclídea de la fuerza aplicada sobre la n-éxima partícula.
Vamos a introducir una nueva notación y pasar de estudiar nuestro problema

2 Capítulo – 1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales
en un espacio de 3 dimensiones a uno de 3N dimensiones. Para ello hagamos
xi (n) ≡ x3(n−1)+i
fi (n) ≡ f3(n−1)+i
m(n) ≡ m3n−2
≡ m3n−1
≡ m3n
de tal forma que las posiciones de las N partículas vienen dadas por un vector
x = {x1,...,x3N }, y la fuerza por un vector f = {f1,..., f3N } . En estas condiciones
las ecuaciones del movimiento se escriben como
mi ¨xi = fi i = 1,...3N
1.2. Coordenadas generalizadas
En la sección anterior, se escribieron las ecuaciones del movimiento en un
sistema euclídeo, ahora bien no necesariamente tenermos que especificar las
coordenadas de las particulas en un sistema euclídeo, podemos utilizar un sis-
tema de coordenadas cualesquiera, donde las posiciones de las partículas venga
dada por un conjunto de 3N coordenadas g1
,g2
,...,g3N
, llamadas coordenadas
generalizadas. La única condición que se exige, desde un punto de vista mate-
mático, para que podamos emplear este nuevo sistema es que el jacobiano de la
transformacion xi
→ g j
sea distinto de cero, en al menos un punto, lo que nos
garantiza por el teorema de la función implícita que la transformación de coor-
denadas es un difeomorfismo (existe la aplicación inversa, es continua y deriva-
da continua) en un entorno del punto. Así mismo, designaremos por ˙gi
,..., ˙g3N
las componentes generalizadas de la velocidad. Al espacio donde se definen las
coordenadas generalizadas se le denomina espacio de las configuraciones

1.3 Desplazamiento y trabajo virtual 3
1.3. Desplazamiento y trabajo virtual
1.3.1. Desplazamiento virtual
Consideremos dos confifuraciones del sistemas infinitamente próximas
{gi
,...,g3N
} y {gi
+δgi
,...,g3N
+δg3N
}
Se denomina desplazamiento virtual al paso de una configuración del sistema a
otra infinitamente próxima en un instante t. Designaremos por δg el vector des-
plazamiento virtual. Se diferencia este desplazameinto virtual respecto de uno
real en que este último se realiza en un tiempo δt mientras que el primero es
instantaneo. Así mismo, el desplazamiento virtual no corresponde en general
con el desplazamiento que sufre el sistema como resultado de las fuerzas ac-
tuando sobre él. Un ejemplo claro de esta situación se da cuando el sistema esta
sometido a ligaduras que dependen del tiempo. Considerar una partícula que
está situada sobre una mesa giratoria, que gira con velocidad angular constante
ω. Considerar un desplazamiento que consiste en una variación del radio. En
un desplazamiento virtual únicamente varía la distancia al centro de la partícu-
la. En un desplazamiento real varían tanto la distancia al centro como el ángulo
respecto de un recta fija en el plano.
1.3.2. Trabajo virtual
Consideremos un desplazamiento virtual, denominaremos trabajo virtual al
producto escalar de la fuera por el desplazamiento
δW = F·δg (1.1)
en un sistema de coordenadas cartesianas la anterior expresión foma la forma
δW = fi δxi

en un sistema de coordenadas cualesquiera, gi
la anterior expresión toma la
forma
δW =Gi δgi
donde Gi son las componentes covariantes en el sistema gi
de la fuerza actuan-
do sobre el sistema (esto es sobre cada partícula del sistema)1
Puesto que el desplazamiento virtual se realiza en un instante t, a la hora de
evaluar el trabajo virtual emplearemos el valor de la fuerza en dicho instante.
Dado que Gi son las componentes covariantes de la fuerza, si empleamos
otro sistema de coordenadas ˆgi
, las componentes cavariantes de la fuerza en
este nuevo sistema de coordenadas se pueden obtener a partir de la antiguas
mediante la ecuación
ˆGi =
∂g j
∂ ˆgi
Gj (1.2)
Tenemos que destacar que las componentes covariantes Gi de la fuerza no
tienen siempre dimensiones de fuerza, depende de las dimensiones de la coor-
denada gi
. Así por ejemplo si gi
es un ángulo, Gi tiene dimensiones de momen-
to. Es posible obtener lo que se llaman componentes físicas de la fuerza a partir
de sus componentes covariantes. Para ello lo único que tenemos que hacer es
calcular las componentes covariantes no en la base general gi
si no en una base
unitaria obtenida a partir de la base general. Para obtener la base unitaria basta
dividir cada vector base gi
por su longitud. Como se demustra en el apendice
B, si gi j son las componentes del tensor métrico, las componentes físicas de la
fuerza se pueden obtener mediante la expresión
Fi =Gj gi j
gii
y en el caso de que el sistema sea ortogonal gi j
= δi j
(1/gj j ), de donde
Fi =Gi / gii
Así pues para obtener las componentes covariantes de la fuerza en un sis-
1Empleamos aquí la notación de Einstein, en la que un índice repetido indica una suma en el
índice. Tenemos i fi xi = fi xi .

1.4 Ecuaciones de Lagrange 5
tema basta calcular el trabajo virtual y ver cuales son los coeficientes de cada
desplazamiento virtual.
1.4. Ecuaciones de Lagrange
Considerar un sistema dinámico con N partículas, el movimiento de cada
partícula viene gobernada por una una ecuación del tipo mi ¨xi = fi en un sis-
tema de coordenadas cartesiano euclídeo ortonormal. El propósito de esta sec-
ción es generalizar estas ecuaciones para un sistema de coordenadas cualquiera
{gi
}. El término sistema elemental designa un sistema dinámico conteniendo un
número de partículas conocido sobre el que actua un sistema de fuerzas cono-
cidas. Antes de comenzar la demostración de la obtención de las ecuaciones de
Lagrange vamos a demostrar dos lemas que nos van a permitir obtener dichas
ecuaciones. Estos dos lemas nos van a permitir pasar del espacio de las confi-
guraciones que vamos a suponer que es una varidedad diferencial, al espacio
fibrado tangente.
Lema 1.4.1 Sean g ≡ {g1
,...,gN
} y g′
≡ {g′1
,...,g′N
} dos sistemas de coordena-
das generalizadas y ˙g, ˙g′
sus correspondientes velocidades generalizadas, se tie-
ne que
∂ ˙g′i
(g, ˙g,t)
∂g j
=
d
dt
∂g′i
(g,t)
∂g j
(1.3)
y
Lema 1.4.2
∂ ˙g′i
(g, ˙g,t)
∂ ˙g j
=
∂g′i
(g,t)
∂g j
(1.4)
DEMOSTRACIÓN
Puesto que estamos suponiendo que el espacio de las configuraciones es una
variedad diferenciable, tendremos que el nuevo sistema de coordenadas será
una función del antiguo sistema y del tiempo
g′k
= g′k
(g j
,t)

Dado que las velocidades generalizadas son las componentes de un vector con-
travariante, en ambos sistemas estan relacionadas dadas por la expresión
˙g′k
=
∂g′k
∂gi
˙gi
+
∂g′k
∂t
La anterior expresión nos muestra como obtener las componentes de la veloci-
dad (que es un vector del espacio tangente) en el sistema de coordenadas prima-
do a partir de sus correspondentes coordenadas en el sistema sin primar, pero
nos mantenemos en el espacio tangente. Vamos a considerar ahora que en la an-
terior expresión las coordenadas y las velocidades son independientes, esto es
consideramos a la expresión anterior como una expresión en el ﬁbrado tangente
donde los elementos que pertenecen a él no solo dependen de las coordenadas
g j
si no tambien de las velocidades generalizadas ˙g j
. Esto es supondremos que
˙g′k
= ˙g′k
(g, ˙g,t). Derivando parcialmente respecto de g j
manteniendo las velo-
cidades constantes, obtenemos
∂ ˙g′k
(g, ˙g,t)
∂g j
=
∂
∂g j
∂g′k
(g,t)
∂gi
˙gi
+
∂
∂g j
∂g′k
(g,t)
∂t
=
=
∂
∂gi
∂g′k
(g,t)
∂g j
˙gi
+
∂
∂t
∂g′k
(g,t)
g j
=
d
dt
∂g′k
(g,t)
∂g j
como queriamos demostrar. Así mismo partiendo de la expresión de las veloci-
dades generalizadas, derivando parcialmente respecto de ˙g j
, tenemos
∂ ˙g′k
(g, ˙g,t)
∂ ˙g j
=
∂g′k
(g,t)
∂gi
∂ ˙gi
∂ ˙g j
=
∂g′k
(g,t)
∂gi
δi
j =
∂g′k
(g,t)
∂g j
como queriamos demostrar.
Pasemos a estudiar ya cuales son las expresiones de las ecuaciones de La-
grange.
Teorema 1.4.1 Si un sistema dinámico compuesto de N partículas se mueve ba-
jo la acción de un conjunto de fuerzas conocido, función única de las posiciones
de las partículas, las ecuaciones del movimiento en coordenadas generalizadas

1.4 Ecuaciones de Lagrange 7
se puede poner como
d
dt
∂T (g, ˙g,t)
∂ ˙gk
−
∂T (g, ˙g,t)
∂gk
=Gk k = 1,...,N (1.5)
DEMOSTRACIÓN
Partiendo de la segunda ley de Newton, en coordenadas cartesianas
mi ¨xi = fi (x)
teniendo en cuenta que
mi ¨xi =
d
dt
∂
∂ ˙xi
1
2
mj ( ˙x j
)2
=
d
dt
∂T (˙x,t)
∂ ˙xi
obtenemos
d
dt
∂T (˙x,t)
∂ ˙xi
= fi (1.6)
siendo
T (˙x,t) =
1
2
mj ( ˙x j
)2
la energía cinética. Multiplicando ahora por ∂xi
∂g j y sumando en i
d
dt
∂T (˙x,t)
∂ ˙xi
∂xi
∂g j
=
∂xi
∂g j
fi (x)
puesto que fi (x) son las componentes covariantes de la fuerza en el sistema car-
tesiano,
∂xi
∂g j
fi (x1
,...,x3N
) =Gi (g1
,...,g3N
)
serán las componentes covariantes de la fuerza en la nueva base, en cuanto al
primer miembro, tenemos
d
dt
∂T (˙x,t)
∂ ˙xi
∂xi
∂g j
=
=
d
dt
∂T (˙x,t)
∂ ˙xi
∂xi
∂g j
−
∂T (˙x,t)
∂ ˙xi
d
dt
∂xi
∂g j

teniendo en cuenta los lemas anteriores
d
dt
∂xi
∂g j
=
∂ ˙xi
(g, ˙g,t)
∂g j
y
∂xi
∂g j
=
∂ ˙xi
(g, ˙g,t)
∂ ˙g j
sustituyendo, tenemos
d
dt
∂T (˙x,t)
∂ ˙xi
∂xi
∂g j
=
d
dt
∂T (˙x,t)
∂ ˙xi
∂ ˙xi
(g, ˙g,t)
∂ ˙g j
−
∂T (˙x,t)
∂ ˙xi
∂ ˙xi
(g, ˙g,t)
∂g j
=
d
dt
∂T (g, ˙g,t)
∂ ˙g j
−
∂T (g, ˙g,t)
∂g j
por lo que
d
dt
∂T (g, ˙g,t)
∂ ˙g j
−
∂T (g, ˙g,t)
∂g j
=Gj , j = 1,2,...,N (1.7)
que son las ecuaciones de Lagrange en coordenadas generalizadas. Puesto que
el miembro de la derecha representa la componente covariante de la fuerza, el
miembro de la izquierda representa la componente covariante de la aceleración
multiplicada por su correspondiente "masa". De los dos términos del primer
miembro, únicamente el primero aparece en la correspondiente expresión de
las ecuaciones de Lagrange en coordenadas cartesianas euclídeas, ver la ecua-
cion 1.6. El segundo término ha aparecido debido a que estamos en un sistema
de coordenadas no cartesiano y corresponde con los llamados símbolos de Ch-
ristoffel del análisis tensorial.
1.5. Cálculo de la energía cinética
Vamos a ver como poder calcular la energía cinética en un sistema de coor-
denadas cualesquiera, para ello tengamos en cuenta que
xi
= xi
(g,t)

1.6 Geometrización de las ecuaciones de Lagrange 9
de donde
˙xi
=
∂xi
∂g j
˙g j
+
∂xi
∂t
de donde
T =
1
2
mi ˙xi
˙xi
=
1
2
mi (
∂xi
∂g j
˙g j
+
∂xi
∂t
)(
∂xi
∂gk
˙gk
+
∂xi
∂t
) =
T =
1
2
mi (
∂xi
∂g j
∂xi
∂gk
˙g j
˙gk
)+ mi (
∂xi
∂g j
∂xi
∂t
˙g j
)+
1
2
mi (
∂xi
∂t
)(
∂xi
∂t
)
que podemos poner como
T (g, ˙g,t) =
1
2
Tjk(g,t) ˙g j
˙gk
+Tj (g,t) ˙g j
+
1
2
T0(g,t) (1.8)
siendo
Tjk = mi
∂xi
∂g j
∂xi
∂gk
Tj = mi
∂xi
∂g j
∂xi
∂t
T0 = mi (
∂xi
∂t
)(
∂xi
∂t
)
1.6. Geometrización de las ecuaciones de Lagrange
1.6.1. Las coordenadas no dependen explicitamente del tiempo
En el caso que las coordenadas gi
no dependan explicitamente del tiempo,
la energía cinética la podemos poner como
2T = Ti j ˙gi
˙g j
al ser 2T > 0, la anterior ecuación define una forma cuadrática definida positiva
con relación a las velocidades generalizadas. Se puede asociar al anterior siste-
ma dinámico un espacio de Riemann con una métrica definida por la ecuación
ds2
= 2T dt2

de donde
ds2
= Ti j dgi
dg j
(1.9)
A toda conﬁguración del sistema le corresponde un punto M bien determi-
nado del espacio de conﬁguración de tal modo que a todo movimiento del siste-
ma dinámico queda asociado el movimiento del punto M en el espacio rieman-
niano. Vamos a ver como traducir la dinámica del sistema en una dinámica del
punto M en el espacio de Riemann. En primer lugar las componentes contrava-
riantes de la velocidad del punto M vienen dadas por la expresión
vi
=
dgi
dt
= ˙gi
por lo que las componentes covariantes de la velocidad valen
vi = Ti j v j
= Ti j ˙g j
ahora bien, de la expresión de la energía cinética T,
Ti j ˙g j
=
∂T
∂ ˙gi
de donde
vi =
∂T
∂ ˙gi
(1.10)
que como veremos más adeltante constituye la expresión de los momentos ge-
neralizados del sistema.
Vamos a relacionar las ecuaciones de Lagrange con las componentes cova-
riantes de la aceleración, para ello partiremos de la expresión
ai = gih ah
= gih
dvh
dt
+Γh
pq vp
vq
= gih
dvh
dt
+ gihΓh
pq vp
vq
=
=
d
dt
gihvh
− vh dgih
dt
+ gihΓh
pq vp
vq

1.6 Geometrización de las ecuaciones de Lagrange 11
vi = gih vh
, Γi,pq = gihΓh
pq
y que
dgih
dt
=
∂gih
∂gl
vl
obtenemos
ai =
dvi
dt
− vh ∂gih
∂gl
vl
+Γi,pq vp
vq
substituyendo los índices mudos h,l por p,q
ai =
dvi
dt
− vp
∂gip
∂gq
vq
+Γi,pq vp
vq
teniendo en cuenta la expresión de Γi,pq en términos del tensor métrico
Γi,pq =
1
2
[∂p giq +∂q gip −∂i gpq ]
donde ∂i gpq = ∂gpq/∂gi , podemos escribir
ai =
dvi
dt
+
1
2
[∂p giq −∂q gip]vp
vq
−
1
2
∂i gpq vp
vq
ahora bien, el término entre corchetes es antisimétrico, intercambiando los ín-
dices p,q cambia de signo el término, y vp
vq
es simétrico por lo que su producto
contraido se anula, y por tanto
ai =
dvi
dt
−
1
2
∂gpq
∂gi
vp
vq
.
Dada la expresión del tensor métrico
gpq = Tpq
tenemos
vi = gi j v j
= Ti j ˙g j
=
∂T
∂ ˙gi

y
1
2
∂gpq
∂gi
vp
vq
=
1
2
∂Tpq
∂gi
˙gp
˙gq
=
∂T
∂gi
pues T = (1/2)Tpq ˙gp ˙gq
, por lo que
ai =
d
dt
∂T
∂ ˙gi
−
∂T
∂gi
=Gi
siendo Gi la componente covariante de las fuerzas aplicadas. Por lo tanto en
nuestro espacio de Riemann, la partícula parece tener masa unidad.
Nota
Las componentes covariantes de la aceleracion no coinciden con la derivada
total covariante de las componentes covariantes de la velocidad pues
Dvp
Dt
=
dvp
dt
−Γi
pq vi vq
=
dvp
dt
−Γi
pq gik vk
vq
=
dvp
dt
−Γk,pq vk
vq
mientras que
ap =
dvp
dt
−
1
2
∂grs
∂gk
vr
vs
y
Γk,pq =
1
2
∂grs
∂gk
Se puede ver que
∂grs
∂gk
= Γs,rk +Γr,sk
1.6.2. Las coordenadas gi dependen explicitamente del tiempo
Las cosas ahora son similares al caso anterior con tal de introducir una nue-
va coordenada g0
dada por la condición
g0
= t ˙g0
= 1

1.7 Ecuaciones de Lagrange en Coordenadas Naturales 13
1.7. Ecuaciones de Lagrange en Coordenadas Naturales
En física se refiere uno al sistema de coordenada naturales como aquel sis-
tema en el que una de las líneas coordenadas es la propia trayectoria de la par-
tícula. En forma matemática podemos expresar esta condicion de la forma
dy1
dt
= v (1.11)
siendo v el módulo de la velocidad, que en coordenadas g j
toma la forma
v = gjk v j vk = gjk ˙g j ˙gk
Como hemos visto en la sección anterior podemos considerar al sistema me-
cánico como una partícula que se mueve en el espacio de las configuraciones
dotado de una métrica dada por la expresión,
ds2
= Ti j dgi
dg j
de donde,
(ds/dt)2
= Ti j ˙gi
˙g j
que no es otra cosa que el módulo al cuadrado del vector velocidad, por lo que
ds
dt
= v = Ti j ˙gi ˙g j = 2T
Así pues y1
coincide con la longitud del arco.
Dada nuestra definición de coordenadas naturales, el vector v lo podemos
poner como
v = v
∂
∂y1
= v
∂
∂s
= vu
siendo u, por construcción, un vector unitario tangente a la trayectoria, cuya
expresión en el sistema gi
es
∂
∂s
=
∂
∂gi
∂gi
∂s
.

Puesto que en este sistema de coordenadas la energía cinética tiene por expre-
sión
T =
1
2
v2
solo tendremos una ecuación de Lagrange
d
dt
∂T
∂ ˙y1
=Gy1
o sea
d
dt
∂T
∂v
=Gy1
de donde
dv
dt
=Gy1 (1.12)
siendo
Gy1 =Gi
∂gi
∂y1
la componente generalizada de la fuerza en este sistema de coordenadas. Una
expresión igual a esta se obtiene mediante el método tradiciónal en el apendice
B. Así pues, la única ecuación de Lagrange en este sistema de coordenadas nos
da solamente la ley horaria del movimiento. Para encontrar la forma de la tra-
yectoria debemos de actuar de otra forma, ver apendice B, donde se obtienen
un conjunto de n ecuaciones
mai
(n) = mv2 d2
gi
ds2
+
dgp
ds
dgq
ds
Γi
pq = gi j
Gj −Gj
dg j
ds
dgi
ds
(1.13)
cuya solucción nos da la ecuación de la trayectoria.
1.8. Ejercicios
Ejercicio 1.1 Considerad la superﬁcie de revolución x = r cosθ, y = r sinθ,z =
αr2
. Esta superﬁcie se puede considerar como una variedad de dimensión 2 em-
bebida en el espacio Euclídeo usual. Encontrar la expresión de los vectores base
del espacio tangente en la variedad de dimensión 2 en términos de los vectores

1.8 Ejercicios 15
i,j,k de la base euclídea usual. Evaluar las componentes de la velocidad.
Ejercicio 1.2 La expresión de la energía cinética de un punto en un sistema de
coordenadas curvilineo {a,b,c} es
2T = A ˙a2
+B ˙b2
+C ˙c2
+2F ˙b ˙c +2G ˙c ˙a +2H ˙a ˙b
Demostrar que {p,q,r}, las componentes físicas de la aceleración en la dirección
tangente a las lineas coordenadas estan dadas por 3 ecuaciones del tipo
d
dt
∂T
∂ ˙a
−
∂T
∂a
= p A+
H
B
q +
G
C
r
Ejercicio 1.3 Hallense la velocidad y aceleración, angular y radial, de un punto
que se mueve a lo largo de una circunferencia cuyo radio varía sinusoidalmente
con el tiempo mediante las ecuaciones de Lagrange. Suponer que el punto tiene
masa unidad.
Ejercicio 1.4 Considerar una partícula de masa unidad sin peso que se mueve
sobre la superﬁcie de un toro liso sobre la que no actua ninguna fuerza excepto
la normal al toro. El elemento de línea geométrica viene dado por ls expresión
ds2
= (a−b cosθ)2
dφ2
+b2
dθ2
siendo φ el ángulo azimutal y θ el desplazamineto
angular desde el plano ecuatorial. Calcular a) las componentes, contravarian-
tes, covariantes y físicas de la velocidad. b) las componentes, contravariantes,
covariantes y físicas de la aceleración. Demostrar que (a − b cosθ)2
dφ/ds = h,
constante y que
b2 dθ
dφ
2
= (a − b cosθ)4
/h2
−(a − b cosθ)2
Ejercicio 1.5 Considerar la superﬁcie de revolución
x = r cosθ
y = r senθ
z = z(r).

Calcular las componentes tangencial y radial de la aceleración de una partícula
que se mueve sobre ella utilizando las ecuaciones de Lagrange.
Ejercicio 1.6 Considerar una partícula de masa unidad que se mueve a lo largo
de la espiral plana de ecuación r = kθ que se muestra en la ﬁgura 1.1
Figura 1.1:
Calcular las componentes contravariantes, covariantes y física de la velo-
cidad y la aceleración.
Calcular la componente tangencial de la velocidad. Calcular las compo-
nentes tangencial y normal de la aceleración. A la vista de los resultados
obtenidos interpretar los resultados obtenidos en el apartado anterior.
Calcular el radio de curvatura.
Calcular la reacción de la curva.
Ejercicio 1.7 Calcular las ecuaciones del movimiento de un punto no pesado
que se mueve sobre una parabola que gira alrededor de su eje vertical con una
velocidad angular ω constante y es atraido hacia el origen con una fuerza pro-
porcional a la distancia.
Ejercicio 1.8 Una partícula pesada de masa m se mueve a lo largo de un cicloide
liso (sin rozamiento) cuyas ecuación viene dada por las expresiones
x = a(θ−senθ)
y = a(1+cosθ)

1.8 Ejercicios 17
siendo θ el ángulo de la tangente a la curva. Estudiar la ley horaria y la reacción
de la curva utilizando las ecuaciones del movimiento en coordenadas naturales.
Ejercicio 1.9 Se deﬁne el producto vectorial de dos vectores Ai
y Bi
mediante la
expresión
Li
= ggi j
ǫjpq Ap
Bq
siendo g el determinante del tensor métrico y ǫi jk el símbolo de Levi-Civita, que
vale +1 si {i, j,k} es una permutacion par de {1,2,3} y -1 en caso contrario, vale
cero si los índices se repiten. Calcular las componentes del momento angular en
esféricas. Calcular las componentes físicas. Evaluar la componente Lz.

Capítulo 2
Fuerzas de ligadura
2.1. Fuerzas dadas y fuerzas de ligadura
Se denomima fuerza dada o fuerza activa aquella fuerza actuando en un sis-
tema dinámico que es una función conocida de la configuración, movimiento
del sistema y a caso del tiempo.
Una fuerza de ligadura o pasiva es la fuerza ejercida por un agente, llama-
do ligadura, cuya acción en un sistema dinámico consiste en impedir que este
asuma ciertas configuraciones o realize algunos movimientos.
Al resolver un problema real, las fuerzas de ligadura no se puede de tratar
de la misma forma que las fuerzas dadas, puesto que el valor de las fuerzas de
ligadura no es conocido hasta despues de haber resuelto el problema dinámico.
Es por tanto importante distinguir entre fuerzas de ligadura y fuerzas activas a
la hora de resolver un problema de dinámica. Vamos a denominar con G a las
fuerzas activas y con R a las fuerzas de ligadura.
Vamos a distinguir asi mismo entre fuerzas de ligadura geométricas y fuer-
zas de ligadura cinemáticas. Las primeras limitan las posibles configuraciones
en que puede estar el sistema mientras que las segundas limitan los posibles
desplazamientos o movimientos del mismo.
Cada fuerza de ligadura geometrica es tambien una fuerza de ligadura cine-
mática puesto que es imposible restringir las posibles configuraciones del siste-
ma sin restringir su capacidad de movimiento. Sin embargo es posible restringir

20 Capítulo – 2. Fuerzas de ligadura
su capacidad de movimiento sin restringir sus posibles configuraciones. Un ca-
so que ilustra esta diferencia es el caso de una esfera que rueda sin deslizar sobre
una mesa. La ligadura geométrica consiste en que la esfera no abandone la me-
sa, si no estuviese ésta, la esfera caería bajo la acción de la gravedad, puesto que
no cae, la acción de la mesa equivale a la existencia de otra fuerza que se opone a
la acción de la gravedad, es la reacción normal de la mesa. Ahora bien si la esfera
rueda sin deslizar, la fuerza tangencial debida a las rugosidades de la mesa cons-
tituye una fuerza de ligadura cinemática pues actua acoplando el movimiento
rotacional de la bola con el movimiento translacional de su centro de masas,
pues en caso de rodadura sin deslizamiento no se puede producir un desplaza-
miento del centro de masas a lo largo de la mesa sin que venga acompañado por
una rotación de la esfera. Esta fuerza de rozamiento es una fuerza puramente
cinemática, pues no impide que el centro de masas y la orientación de la esfera
tengan un valor arbitrario, por tanto esta fuerza no impide que se alcancen cier-
tas configuraciones del sistema. La fuerza tangencial ejercida por una superficie
puede ser tambien una ligadura geométrica. Considerar por ejemplo un cilin-
dro que rueda sin deslizar sobre un plano, en este caso todas las ligaduras son
geométricas.
2.2. Fuerzas de ligadura ideales
Se denomina fuerzas de ligadura ideal aquellas fuerzas de ligadura que en
cualquier desplazamiento virtual compatible con las ligaduras no realizan tra-
bajo. Aunque esta restricción parece muy importante, existe una gran cantidad
de problemas interesantes donde se puede considerar que las furzas de ligadu-
ras son ideales. Vamos a citar algunos ejemplos.
1. En el caso de un solido rígido, en el que las distancias se mantienen cons-
tantes, las fuerzas de ligadura se pueden considerar ideales. Para verlo,
vamos a calcular el trabajo virtual realizado por las fuerzas de ligadura
compatibles con las ligaduras del sistema. Sea F(i) la fuerza plicada sobre

2.2 Fuerzas de ligadura ideales 21
la partícula i por el resto de partículas del sólido,
F(i) =
j=i
f(i j)
siendo f(i j) la fuerza que realiza la partícula j sobre la i. El trabajo virtual
realizado en el sistema por todas las fuerzas será
δW =
i
F(i)·δr(i) =
i j
f(i j)·δr
ahora bien supuesto que las fuerzas de interacción entre particulas sean
proporcionales al vector que las une
f(i j) = −f(j i) = c(i j)r(i j)
por lo que
δW =
i
F(i)·δr(i) =
p
c(i j)r(i j)·δr(i j)
donde la anterior suma está extendida a todos los pares de partículas. La
condición de que las partículas mantengan constante la distancia la po-
demos poner como
r(i j)·r(i j) = cte
por lo que
r(i j)·δr(i j) = 0
y por tanto
δW = 0
2. Si un cuerpo se desliza sin rozamiento sobre una superficie lisa, la reac-
ción normal a la superficie no realiza trabajo, pues el movimiento del cuer-
po es ortogonal a la reacción y el trabajo virtual compatible con la ligadura
es nulo.
3. Si un cuerpo rueda sin deslizar sobre una superficie, el trabajo ejercido por
la superficie sobre el cuerpo es nulo. Esto se deduce del hecho de que el

proceso de rodadura sin deslizamiento exige que la velocidad del punto de
contacto sea nula, esto es el desplazamiento virtual del punto de contacto
es nulo y por tanto es nulo el trabajo realizado. Efectivamente, considerar
dos cuerpos en contacto, el cuerpo 1 y el cuerpo 2, el cuerpo 1 ejerce una
fuerza de ligadura que denominaremos R1/2 y que el sólido 2 ejerce una
fuerza de ligadura R2/1 sobre el 1. Obviamente, por el principio de acción
reacción R1/2 = −R2/1. Sea A ∈ 1, B ∈ 2 los puntos de contacto de ambos
sólidos en el instante t, la potencia desarrollada por dichas reacciones es
dW = R2/1VA/0 +R1/2VB/0
siendo VA/0 y VB/0 las velocidades referidas a cierto sistema de referencia.
De acuerdo con la ley de transformación de velocidades
VA/0 = VA/2 +VA2/0
esto es la velocidad del punto A respecto del sistema de referencia O, se
puede poner como la velocidad del punto A respecto del sistema 2 más la
velocidad del punto A unida al sistema 2 respecto del sistema de referen-
cia O. Ahora bien, esta velocidad es precisamente la velocidad del punto
B, por tanto
VA2/0 = VB/0
por lo que
dW = R2/1VA/2 +(R2/1 +R1/2)VB/0.
El término entre paréntesis es nulo, por el principio de acción–reacción,
de donde
dW = R2/1VA/2.
Si los sólidos ruedan sin deslizar, VA/2 = 0, resultando que
dW = 0
como queríamos demostrar.

2.3 Fuerza de ligaduras holónomas 23
2.3. Fuerza de ligaduras holónomas
Se dice que tenemos una fuerza de ligadura holónoma, si es una fuerza de
ligadura geométrica ideal que restringe las posibles configuraciones del sistema,
a aquellas que satisface una ecuación del tipo
ψ(g,t) = 0
o equivalentemente, es una fuerza de ligadura cinemática ideal, que restringe
los posibles movimientos del sistema a aquellos que satisfacen una ecuación de
la forma
Ai (g,t)dgi
+ A0dt = 0
siendo la cantidad Ai (g,t)dgi
+ A0dt la diferencial exacta de alguna funcion, o
se puede reducir con algún factor de multiplicidad apropiado a una diferencial
exacta.
En la definición anterior se ha supuesto que la ligadura limitaba las configu-
raciones del sistema a aquellas satisfaciendo una única ecuación ψ(g,t) = 0. Es
posible que existan ligaduras que limiten las posibles configuraciones a aquellas
que satisafen M ecuaciones del tipo ψi (g,t) = 0. En este caso lo que se hace es
suponer que exiten M fuerzas de ligadura, una por cada ecuación. Ejemplos de
fuerzas de ligadura holónomas son las fuerzas que mantienen fijas las distancias
de las partículas en el interior de un sólido rígido.
2.4. Fuerzas de ligadura no holónomas
Una fuerza de ligadura no holónóma es una fuerza de ligadura ideal que
restringe los posibles movimientos del sistema a aquellos que satisfacen una
ecuación de la forma
i
Ai (g,t)dgi
+ A0(g,t)dt = 0
donde la cantidad i Ai (g,t)dgi
+ A0(g,t)dt no es una diferencial exacta ni se
puede convertir en diferencial exacta multiplicandola por alguna función de g y

t.
Un ejemplo de este tipo de ligadura se obtiene cuando se imponen condi-
ciones generales de rodadura sin deslizamiento.
2.5. Componentes generalizadas de las fuerzas holónomas
y no holónomas
Como se dijo anteriormente no podemos dar una expresión de las fuerzas
de ligadura como función de las coordenadas generalizadas, sus velocidades y el
tiempo antes de resolver las ecuaciones del movimiento, sin embargo, podemos
en ciertas ocasiones dar algún paso en dicha dirección. En particular, en caso
de tener ligaduras holónomas o no holónomas (esto es ideales y que sea posible
encontrar una ecuacion de restricción) se pueden determinar las componentes
de la fuerza de ligadura salvo un factor común.
Teorema 2.5.1 Si un sistema dinámico compuesto de N partículas está sujeto a
una fuerza de ligadura R, holónoma o no holónoma, la cual restringe los despla-
zamientos del sistema a aquellos que satisfacen la ecuación
i
Ai (g,t)dgi
+ A0(g,t)dt = 0
donde las cantidades A0, A1,..., A3N son funciones conocidas de g y t, las com-
ponentes generalizadas de la fuerza R1,R2,...,R3N satisfacen las ecuaciones
R1
A1
=
R2
A2
= ··· =
R3N
A3N
(2.1)
o bien existe una cierta cantidad λ, llamado mutiplicador de Lagrange, tal que
Ri = λAi
DEMOSTRACIÓN
Sea δg un desplazamiento virtual del sistema, la condición de ligadura impone
la restricción
Ai δgi
= 0

2.6 Grados de libertad 25
lo que nos indica que no todos los δgi
son independientes, si no que tendremos
3N − 1 independientes, ahora bien, dado que la fuerza de ligadura es ideal, el
trabajo producido por esta en un desplazamiento virtual vale
Ri δgi
= 0.
Puesto que los δgi
no son libres, la anterior expresión no nos permite hacer
Ri = 0. Sin embargo si mutiplicamos la ecuación de ligadura por un cierto factor
−λ y la sumamos a la anterior ecuación, obtenemos
(R1 −λA1)δg1
+···+(R3N −λA3N )δg3N
= 0
este factor λ lo podemos elegir de tal forma que
(R1 −λA1) = 0
de donde
(R2 −λA2)δg2
+···+(R3N −λA3N )δg3N
= 0
Ahora bien, estos 3N −1δgi
son independientes por lo que
Ri −λAi = 0, i = 2,...,3N
por lo que
R1
A1
=
R2
A2
= ··· =
R3N
A3N
= λ (2.2)
por lo que salvo un factor λ podemos calcular las componentes de las fuerza de
ligadura, supuestas conocidas los coeﬁcentes Ai de la ligadura holónoma o no
holónoma.
2.6. Grados de libertad
Considerar un sistema dinámico consistente en N partículas sujetas a L fuer-
zas de ligadura no holónomas y a M fuerzas de ligadura holónomas, en estas
condiciones se dice que el sistema poseé 3N − M grados de libertad conﬁgu-

racionales y 3N −M −L grados de libertad cinemáticos. El numero de grados de
libertad configuraciones es igual al número de coordenadas independientes que
junto con las condiciones de ligadura permiten de forma inequívoca especificar
la configuración del sistema. El número de grados de libertad cinemáticos es el
número de desplazamientos independientes δgi
que son requeridos para que
junto a las condiciones de ligadura (holónomas y no holónomas) especifiquen
inequívocamente un desplazamiento general del sistema δg.
Ejemplo 2.1 Considerar que un disco de radio a rueda sin deslizar sobre un
plano horizontal. El plano del disco permanece vertical pero es libre de rotar
respecto de un eje vertical que pasa por el centro del disco. Discutir las ligadu-
ras
SOLUCCIÓN
Como es de todos conocido, para especificar la configuración de cualquier soli-
do rigido es necesario dar 6 coordenadas que corresponden en general con las
tres coordenadas del centro de masas del sólido y tres ángulos de Euler, que per-
mitan dar la orientación en el espacio del sólido. En este caso exigimos que el
disco ruede sin deslizar ortogonalmente al plano, lo que significa que la distan-
cia del centro del disco, que es el centro de masas, al plano es constante e igual
al radio del mismo, por lo que tenemos una ecuación de ligadura
zg = a
que es holónoma. Por otra parte, dado que el plano del disco se mantiene verti-
cal, de los tres ángulos de Euler, uno de ellos vale π/2 y constituye la otra con-

2.6 Grados de libertad 27
dición de ligadura holónoma, por lo que nos quedan 4 grados de libertad, las
posiciones xg , yg del centro de masas y φ,ψ dos ángulos de Euler. Ahora bien
la condición de rodadura sin deslizamiento impone una condición de ligadura
cinemática, que se expresa mediante el hecho de que el punto de contacto entre
el disco y el plano tenga velocidad nula
vc = vg +ω×GC = 0
siendo vc la velocidad del punto de contacto, vg la velocidad del centro de ma-
sas, ω el vector velocidad instantanea de rotación y r(g c) el radio vector que une
le centro de masas con el punto de contacto. En un sistema de referencia inercial
con el eje k en la dirección ortogonal al plano tenemos
vg = ˙xg i+ ˙yg j,
GC = −ak
y
ω = ˙φk− ˙ψu
siendo u un vector unitario ortogonal al plano del disco y por tanto paralelo al
plano, por lo que
u = cosφi+senφj
y por tanto
ω = ˙φk− ˙ψcosφi− ˙ψsenφj
sustituyendo
vc = ( ˙xg + a ˙ψsenφ)i+( ˙yg − a ˙ψcosφ)j = 0
de donde
˙xg = −a ˙ψsenφ
˙yg = a ˙ψcosφ

de donde se deduce que en un desplazamiento virtual se debe de cumplir que
δxg = −a senφδψ
δyg = a cosφδψ
Estas ecuaciones no las podemos integrar y puesto que podemos mover el dis-
co de tal forma que todos las conﬁguraciones xg , yg ,ψ,φ son accesibles, dichas
ecuaciones son las ecuaciones de ligadura no holónomas, por lo que solo nos
queda 2 grados de libertad cinemáticos.
Ejemplo 2.2 Evaluar las componentes de las fuerzas de ligadura del ejemplo an-
terior
SOLUCCIÓN
Según hemos visto, tenemos 4 ecuaciones de ligadura, 2 holónomas
zG − a = 0
θ−π/2 = 0
dzG = 0 (ligadura1)
dθ = 0 (ligadura2)
y dos anholónomas
dxG + a senφdψ = 0 (ligadura3)
dyG − a cosφdψ = 0 (ligadura4)
De acuerdo con lo explicado en secciones anteriores, tendremos 4 fuerzas
de ligadura cuyas componentes son de la forma
Rj (i) = λ(i)Aj (i)

2.7 Ejercicios 29
siendo Aj los coeficientes de las ecuaciones de ligadura puestas como
Aj (i)dg j
+ A0(i)dt = 0.
El índice i nos indica de que fuerza de ligadura se trata. En el caso que nos ocupa
las ecuciones de ligadura toman la forma general
Ax dx + Ay dy + Az dz + Aθdθ+ Aφdφ+ Aψdψ = 0
Identificando coeficientes, tenemos
ligadura1 : Ax = 0 Ay = 0 Az = 1 Aθ = 0 Aφ = 0 Aψ = 0
ligadura2 : Ax = 0 Ay = 0 Az = 0 Aθ = 1 Aφ = 0 Aψ = 0
ligadura3 : Ax = 1 Ay = 0 Az = 0 Aθ = 0 Aφ = 0 Aψ = a senφ
ligadura4 : Ax = 0 Ay = 1 Az = 0 Aθ = 0 Aφ = 0 Aψ = −a cosφ
por lo que las componentes de las fuerzas de ligadura valen
ligadura1 : Rx = 0 Ry = 0 Rz = λ1 Rθ = 0 Rφ = 0 Rψ = 0
ligadura2 : Rx = 0 Ry = 0 Rz = 0 Rθ = λ2 Rφ = 0 Rψ = 0
ligadura3 : Rx = λ3 Ry = 0 Rz = 0 Rθ = 0 Rφ = 0 Rψ = +λ3a senφ
ligadura4 : Rx = 0 Ry = λ4 Rz = 0 Rθ = 0 Rφ = 0 Rψ = −λ4a cosφ
2.7. Ejercicios
Ejercicio 2.1 Considerar el Lagrangiano
L(x, y,z, ˙x, ˙y, ˙z) =
1
2
( ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
)− mg z
con las ligaduras
y ˙x − x ˙y = 0
(a) >Las ligaduras son holónomas o no holónomas ?
(b) Escribir las ecuaciones del movimiento no holonómicas

Ejercicio 2.2 Considerar el Lagrangiano
L(x, y,z, ˙x, ˙y, ˙z) =
1
2
( ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
)− mg z
con las ligaduras
˙z − y ˙x = 0
Escribir las ecuaciones del movimiento no holonómicas
Ejercicio 2.3 Escribir las ecuaciones de ligadura del patinador o ﬁlo de cuchi-
llo en donde se prohibe el movimiento ortogonal a la dirección en la que esta
orientado el ﬁlo.

Capítulo 3
Ecuaciones de Lagrange para
sistema holónomos y
anholónomos
3.1. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos
Considerar un sistema dinámico en el que hay impuestas un conjunto de M
ligaduras holónomas que se pueden escribir en la forma
φ1(g1
,...,g3N
,t) = 0
φ2(g1
,...,g3N
,t) = 0
... =
...
φM (g1
,...,g3N
,t) = 0
Este conjunto de M ecuaciones son independientes, por lo que de las 3N coor-
denadas originales tendremos que ahora únicamente 3N-M son independien-
tes. Sea f=3N-M el número de grados de libertad, supongamos por simplicidad
que consideremos como independientes las 3N-M primeras coordenadas, pues-
to que las anteriores ecuaciones de ligadura son independientes, podemos des-
pejar las M últimas coordenadas como función de las 3N-M primeras coordena-

32
Capítulo – 3. Ecuaciones de Lagrange para sistema holónomos y
anholónomos
das,
g j
= g j
(g1
,...,g3N−M
,t), j = 3N −M +1,...,3N (3.1)
Ahora bien siempre es posible emplear un conjunto de 3N-M coordenadas cua-
lesquiera qj
, con tal que el jacobiano de la transformación de las g j
→ qk
sea
distinto de cero. De tal forma que
gi
= gi
(q1
,...,qf
,t) i = 1,..., f (3.2)
y a partir de las ecuaciones (3.1) obtenemos el resto de las coordenadas
gi
= gi
(q1
,...,qf
,t) i = 3N −M +1,...,3N (3.3)
por lo que tenemos que resolver el problema únicamente en términos de las
f coordenadas qi
que ya son independientes. El conjunto de ecuaciones (3.2) y
(3.3) contienen las ecuaciones de ligadura, pues si eliminamos las {qi
,i = 1,..., f =
3N − M} en términos de las g j
,{j = 1,...,3N} obtendremos el conjunto de M
ecuaciones de ligadura. Al conjunto de f coordenadas cualesquiera qi
, que jun-
to con las M ecuaciones de ligadura especifica por completo la configuración del
sistema se le denomina coordenadas generalizadas para sistemas holónomos.
El movimiento de un sistema mecánico con N partículas puede ser repre-
sentado por el movimiento de un punto en el espacio de las configuraciones,
que es un espacio de 3N dimensiones. El de un sistema holónomo teniendo f
grados de libertad puede ser representado por el movimiento de un punto en
un subespacio del espacio de las configuraciones de f dimensiones. Nos refe-
riremos a este subespacio como espacio de las configuraciones de un sistema
holónomo. Vimos en un capítulo anterior que el movimiento del sistema en el
espacio de las configuraciones para sistemas elementales está gobernado por
3N ecuaciones de Lagrange, vamos a ver que el movimiento del sistema dentro
del subespacio de las configuraciones para sistemas holónomos está tambien
representado por f ecuaciones de Lagrange en las variables qj

3.1 Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos 33
3.1.1. Componentes generalizadas de la fuerza en sistemas holóno-
mos
Como vimos anteriormente, el trabajo realizado sobre el sistema por el con-
junto de fuerzas exteriores en un desplazamiento virtual viene dado por
δW =Gi δgi
En los sistemas elementales, los desplazamientos δgi
eran independientes, en
un sistema con ligaduras dejan ya de ser independientes. Si restringimos nues-
tros desplazamientos a aquellos que no violan las ligaduras, introduciendo las
coordenadas qj
tenemos
δgi
=
∂gi
∂qj
δqj
, ,i = 1,...,3N; j = 1,..., f
sustituyendo
δW =
∂gi
∂qj
Gi δqj
llamando
Qj =
∂gi
∂qj
Gi
tenemos
δW =Qj δqj
Las cantidadesQj reciben el nombre de componentes generalizadas de la fuerza
para sistemas holónomos.
Teorema 3.1.1 Las componentes generalizadasQi de las fuerzas de ligadura ac-
tuando sobre un sistema holónomo son cero
Dada nuestra hipótesis de que las fuerzas de ligadura son perfectas, el trabajo
realizado por ellas en un desplazamiento virtual es cero, nos lleva a que
0 = δW(ligadura) =Qj (ligadura)δqj

34
anholónomos
puesto que las δqj
son independientes, para que la anterior combinación lineal
sea cero, sus coeﬁcientes han de ser cero
Qj (ligadura) = 0
Darse cuenta que en caso de haber empleado coordenadas gi
no hubiesemos
podido hacer cero los coeﬁcientes dado que las δgi
no son independientes.
3.2. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos
Para obtener las ecuaciones de Lagrange en sistemas holónomos vamos a
partir de las ecuaciones de Lagrange en sistemas elementales. De acuerdo con
nuestras ecuaciones desarrolladas en el capítulo 1,
d
dt
∂T (g, ˙g,t)
∂ ˙gi
−
∂T (g, ˙g,t)
∂gi
=Gi
en un sistema con ligaduras, las fuerzas generalizadas Gi contiene los términos
desconocidos asociados con las fuerzas de ligadura, por lo que el sistema ante-
rior no lo podemos resolver. Dividamos las Gi entre aquellas que son conocidas
y las de ligadura
Gi =Gi +
k
Ri (k)
donde las Ri (k),k = 1,M son las componentes generalizadas de las M fuerzas de
ligadura. Por no complicar más la notación hemos empleado el mismo simbo-
lo para las fuerzas generalizadas totales y las fuerzas generalizadas de aquellas
fuerzas conocidas. Sustituyendo
d
dt
∂T (g, ˙g,t)
∂ ˙gi
−
∂T (g, ˙g,t)
∂gi
=Gi +
k
Ri (k)
Vamos a seguir los mismos pasos que en la demostración hecha en el capítulo 2
cuando se paso de coordenadas cartesianas a generalizadas. Multiplicando por
∂gi
∂qj

y sumando en i (empleamos la notacion de Einstein de suma en índices repeti-
do)
d
dt
∂T (g, ˙g,t)
∂ ˙gi
∂gi
∂qj
−
∂T (g, ˙g,t)
∂gi
∂gi
∂qj
= (Gi +
k
Ri (k))
∂gi
∂qj
de lo visto en la sección anterior
Gi
∂gi
∂qj
=Qj
y
k
Ri (k)
∂gi
∂qj
=
k
Qj (k)(ligaduras) = 0
En cuanto al miembro de la izquierda siguiendo el mismo tratamiento seguido
en el capítulo 1 llegamos a
d
dt
∂T (g, ˙g,t)
∂ ˙gi
∂gi
∂qj
−
∂T (g, ˙g,t)
∂gi
∂gi
∂qj
=
d
dt
∂T (q, ˙q,t)
∂ ˙qj
−
∂T (q, ˙q,t)
∂qj
=Qj (3.4)
que consituyen las ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos. Como ve-
mos la hipótesis de que los trabajos virtuales de las fuerzas de ligadura sean cero
hace que esto no entren de forma explicita en las ecuaciones lo que nos permite
que podamos en principio integrarlas, pues de haber permanecido en ellas esto
no hubiese sido posible pues las fuerzas de ligadura son desconocidas y única-
mente es posible evaluarlas una vez se ha resuelto el problema.
3.2.1. Relación entre las ecuaciones de Lagrange para sistemas ele-
mentales y las ecuaciones de Lagrange para sistemas holóno-
mos
El movimiento de un sistema dinámico compuesto por N partículas puede
ser representado por el movimiento de un punto en un espacio de 3N dimen-
siones, llamado espacio de las conﬁguraciones g, movimiento descrito por las
ecuaciones de Lagrange para sistemas elementales. Si el sistema, es un sistema
holónomo, con f grados de libertad, f < 3N, el movimiento del sistema pue-
de ser representado por el movimiento de un punto en un subespacio q de f
dimensiones incluido en el espacio de las conﬁguraciones. El movimiento de

36
anholónomos
dicho punto viene descrito por las ecuaciones de Lagrange para sistemas holó-
nomos. Aparentemente ambas ecuaciones son idénticas, pero hay importantes
diferencias. En primer lugar la expresión de la energía cinética en los sistemas
elementales presupone movimientos arbitrarios de las partículas del sistema.
En el caso de los sistemas holónomos, la energía cinética solo incluye los movi-
mientos restringidos del sistema. En segundo lugar, las fuerzas generalizadas en
los sistemas elementales incluyen tanto las fuerzas dadas como las fuerzas de
ligadura y están deﬁnidas en término del trabajo virtual realizado en desplaza-
mientos virtuales arbitrarios de las partículas, mientras que las fuerzas genera-
lizadas que aparecen en las ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos
solo incluyen fuerzas dadas y están deﬁnidas en terminos de trabajo virtual rea-
lizado en desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras del sistema.
3.2.2. Determinación de la fuerzas de ligadura en sistemas holóno-
mos
Suponer que tenemos un sistema con N partículas y M ligaduras holónomas
y queremos determinar la fuerza de ligadura asociada con la M-exima condición
de ligadura sin estar interesado en las M-1 primeras ligaduras. En estas condi-
ciones podemos tratar las M-1 primeras fuerzas de ligadura como hacemos en
cualquier sistema holónomo (esto es considerar movimientos virtuales compa-
tibles con estas M-1 condiciones de ligadura) y considerar la M-exima fuerza
de ligadura como una fuerza dada. Así pues vamos a considerar un sistema con
3N-M+1 grados de libertad. La ecuaciones de Lagrange para este sistema serán
d
dt
∂T (q, ˙q,t)
∂ ˙qj
−
∂T (q, ˙q,t)
∂qj
=Qj +Rj (M) j = 1,...,3N −M +1
Suponer que la M-exima condición de ligadura la podemos expresar por la con-
dición
φM (q1
,...,q3N−M+1
,t) = 0.

De acuerdo con la relación derivada anteriormente entre las componentes ge-
neralizadas de las fuerzas de ligadura y las ecuciones de ligadura, tenemos
Rj (M) = λ
∂φM
∂qj
, j = 1,...,3N −M +1
por lo que
d
dt
∂T (q, ˙q,t)
∂ ˙qj
−
∂T (q, ˙q,t)
∂qj
=Qj +λ
∂φM
∂qj
j = 1,...,3N −M +1
que junto a la ecuación
φ(q1
,...,q3N−M+1
,t) = 0
nos dan 3N-M+2 ecuaciones que nos sirven para calcular las 3N-M+1 incógnitas
q1
(t),...q3N−M+1
(t) y λ(t). Una vez resuelto el sistema de ecuaciones podemos
calcular la reacción
Rj (M) = λ(t)
∂φM
∂qj
Ejemplo 3.1 Una bola de masa m desliza libremente sobre una alambre enro-
llada en forma helicoidal, cuya ecuación en coordenadas cilíndricas es
ρ = a z = bφ
La gravedad actua en la dirección z positiva. La bola se abandona con velocidad
cero en el punto ρ = a, φ = 0, z = 0. Determinar, mediante las ecuaciones de La-
grange, las componentes físicas {z,φ} de la reacción que ejerce el alambre sobre
la bola como función de φ.
SOLUCCIÓN
La energía cinética de la bola, supuesta puntual, vale
T =
1
2
m ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2

38
anholónomos
pasando a coordenadas cilíndricas
x = ρcosφ
y = ρsenφ
z = z
de donde
˙x = ˙ρcosφ−ρ ˙φsenφ
˙y = ˙ρsenφ+ρ ˙φcosφ
˙z = ˙z
sustituyendo
T =
1
2
m ˙ρ2
+ρ2 ˙φ2
+ ˙z2
Las condiciones de ligadura son
ρ− a = 0
z − bφ = 0
por lo que
T =
1
2
m
a2
+ b2
b2
˙z2
La fuerza generalizada debida a la gravedad vale
Qz = mg
por lo que las ecuaciones de Lagrange resultan
a2
+ b2
b2
¨z = g
de donde, teniendo en cuenta las condiciones frontera, obtenemos
z(t) =
1
2
g b2
a2 + b2
t2

o sea, la bola recorre el alambre con un movimiento uniformemente acelerado
cuya aceleración vale
a =
b2
a2 + b2
g
La ley horaria para el ángulo resulta ser,
φ =
1
2
g b
a2 + b2
t2
Vamos a analizar ahora las fuerzas de ligadura. Supongamos ahora que la coor-
denada φ la tratamos explicitamente, en estas condiciones la energía cinética
vale
T =
1
2
m a2 ˙φ2
+ ˙z2
Las componentes z,φ de la fuerza vale
Qz = mg, Qφ = 0.
Puesto que la ecuación de ligadura es
z − bφ = 0
las componentes de la reacción asociadas a esta ligadura valen
Rz = λ
∂(z − bφ)
∂z
= λ
Rφ = λ
∂(z − bφ)
∂φ
= −λb
De donde las ecuaciones de Lagrange toman la forma
m ¨z = mg +λ
ma2 ¨φ = −λb
que junto con la ecuación de ligadura
z − bφ = 0

40
anholónomos
nos dan tres ecuaciones para el cálculo de z(t), φ(t) y λ(t). Resolviendo el siste-
ma se obtiene para λ
λ = −
mg a2
a2 + b2
las componentes generalizadas de la fuerza valen
Rz = −
mg a2
a2 + b2
Rφ =
mg a2
b
a2 + b2
Para el cálculo de las componentes físicas, calculamos primero las componen-
tes contravariantes, por lo que multiplicamos por el recíproco del tensor métri-
co, gi j
para a continuación multiplicar por gii . Dado que el tensor métrico es
diagonal (obsérvese la expresión de la energía cinética), estas operaciones equi-
valen a dividir por gii , que en el caso de la variable angular vale ρ, y por la
condición de ligadura es igual a a, por lo que
Rz
(fis) = −
mg a2
a2 + b2
Rφ
(fis) =
mg ab
a2 + b2
El signo negativo de la componente z indica que se opone a la gravedad, la fuer-
za neta vertical a la que se ve sometida la partícula vale
Fz
(neta) = mg −
mg a2
a2 + b2
= mg
b2
a2 + b2
de donde la aceleración vendrá dada por la expresión
¨z = g
b2
a2 + b2
que coincide con la expresión obtenida a partir de la ecuación de Lagrange. Así
mismo, la componente φ de la fuerza es positiva lo que nos indica que es la
fuerza que junto con la fuerza neta calculada anteriormente hace moverse a la
partícula a lo largo de la hélice. Ver la figura 3.1

mg
Rz
Rφ
Ft
Figura 3.1:
Efectivamente, como la fuerza que hace mover a la partícula es la gravedad,
necesitamos una fuerza adicional que haga que la partícula se mueva siguiendo
a la hélice, esta es la reacción del alambre.
Vamos a ver como hacer los cálculos anteriores empleando las técnicas de la
mecánica clásica.
El vector posición de la partícula en cualquier instante viene dado por la
expresión
r = ρρ+ z ˆk
La velocidad vale
v = ˙r = ˙ρρ+ρ ˙φφ+ ˙zk
Puesto que ρ = a
v = a ˙φφ+ ˙zk
De donde vemos que la componente (física) φ vale a ˙φ y la componente z vale ˙z.
Este vector lo podemos poner como
v = vt
siendo v el módulo de v y t el vector unitario tangente a la curva. El modulo v
vale
v = a2 ˙φ2 + ˙z2

42
anholónomos
que teniendo en cuenta que se veriﬁca que z = bφ se tiene
v =
1
b
a2 + b2 ˙z = a2 + b2 ˙φ
La componente contravariante de la velocidad es ˙z , y teniendo en cuenta la for-
ma de la energía cinética (T = (1/2)mv2
= (1/2)m(a2
+ b2
)/b2
˙z2
), el coeﬁciente
del tensor métrico es gzz = (a2
+ b2
)/b2
por lo que las componentes físicas son
v(f is) =
1
b
a2 + b2 ˙z
esto es el módulo de la velocidad. Si hubiesemos empleado como variable inde-
pendiente φ, la componente contravariante hubiese sido ˙φ, la energía cinética
sería T = (1/2)m(a2
+ b2
) ˙φ2
por lo que la componente física sería
v(f is) = a2 + b2 ˙φ
Obviamente, la misma que antes pues ˙φ = ˙z/b El vector unitario tangente a la
hélice se puede expresar como
t = cosαφ+senαk
donde cosα y senα los podemos obtener de la expresión
v = vt = v cosαφ+ v senαk = a ˙φφ+ ˙zk
de donde
v cosα = a ˙φ
v senα = ˙z
teniendo en cuenta la expresión para v, tenemos
cosα =
a
a2 + b2

y
senα =
b
a2 + b2
La aceleración viene dada como la derivada de la velocidad
a = ˙v = a ¨φφ− a ˙φ2
ρ+ ¨zk
El término −a ˙φ2
ρ corresponde a la aceleración centrípeta, el resto corresponde
con la aceleración tangencial a la hélice, esto es
atan
t = a ¨φφ+ ¨zk
de donde, multiplicando por t y teniendo en cuenta la expresión obtenida antes
para cosα y senα llegamos a
atan
= a2 + b2 ¨φ =
a2 + b2
b
¨z
Si calculamos la componente covariante de la aceleración a partir de las ecua-
ciones de Lagrange
at =
d
dt
∂T
∂˙z
−
∂T
∂z
=
a2
+ b2
b2
¨z
y las componentes físicas (elevando el índice y multiplicando por gii )
at
(fis) = at /( a2 + b2/b) =
a2 + b2
b
¨z
que coincide con la componente tangencial atan
a la hélice de la aceleración ob-
tenida anteriormente. Sustituyendo la expresión obtenida anteriormente para
¨z, se obtiene
at
(fis) = g
b
a2 + b2
Podemos calcular la fuerza tangencial Ft
sin mas que sumar las componen-
tes Rφ
(fis) y la fuerza neta Fz
(neta) obtenidas anteriormente
Ft
= (Rφ)2(fis)+(Fz )2(neta) = mg
1
a2 + b2
a2b2 + b4 = mg
b
a2 + b2

44
anholónomos
que obviamente es igual a mat (fis). Os animo a calcular la componente normal
de la fuerza mediante el método de Lagrange y comprobar que vale
Fn
= −
mv2
a
3.3. Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos
Vamos a suponer ahora que además de las ligaduras holónomas, que co-
mo sabemos restringen el movimiento del sistema a un subespacio del espa-
cio de las configuraciones, tenemos un conjunto de ligaduras anholónomas que
imponen ciertas restriciones al movimiento del sistema dentro del subespacio
de las configuraciones. Así pues, consideremos un sistema mecánico compues-
to por N partículas sobre las que actuan un conjunto de fuerzas conocidas,
M fuerzas de ligaduras holónomas y L fuerzas de ligadura anholónomas. Sean
q1
,...,q3N−M
coordenadas generalizadas que junto con las M condiciones de
ligadura nos dan una descripción completa del sistema. Suponer que tenemos
R1,...,RL fuerzas de ligadura anholónomas, que restrigen los desplazamientos
del sistema a aquellos que cumplen el conjunto de ecuaciones,
i
Aki (q,t)dqi
+ Ak0dt = 0, k = 1,...,L
Vamos a suponer que el conjunto de L fuerzas de ligadura anholónomas actuan
como fuerzas dadas, de tal forma que las ecuaciones de Lagrange con 3N-M
grados de libertad dan lugar a 3N-M ecuaciones del tipo
d
dt
∂T
∂ ˙qi
−
∂T
∂qi
=Qi +
k
Rki , i = 1,...,3N −M
de acuerdo con lo demostrado anteriormente, siempre que las ligaduras sean
perfectas se cumple que
Rki = λk Aki

3.3 Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos 45
por lo que las ecuaciones de Lagrange toman la forma
d
dt
∂T
∂ ˙qi
−
∂T
∂qi
=Qi +
k
λk Aki , i = 1,...,3N −M
que junto con las L ecuaciones de ligadura dan lugar a 3N-M+L ecuaciones para
calcular las 3N-M incognitas qi
(t) y las L λk(t)
Ejemplo 3.2 Un disco de radio a y masa m, cuyo plano está restringido a per-
manecer vertical, rueda sin deslizar sobre una superﬁcie horizontal bajo la ac-
ción de una fuerza f cuya línea de acción pasa a través del centro de masas del
disco. Obener las ecuaciones del movimiento del disco.
SOLUCCIÓN
Las ligaduras holónomas vienen dadas por el hecho de que el disco permanece
vertical que implica que el ángulo que forma con la horizontal es π/2 y por el
hecho de que la distancia al plano de su centro de masas es constante e igual al
radio a del disco. Las ligaduras anholónomas vienen dadas por el hecho de que
rueda sin deslizar. Tal y como vimos en un ejemplo anterior esta condición se
puede poner como
˙x + a ˙ψsenφ = 0
˙y − a ˙ψcosφ = 0
La energía cinética del disco se puede poner como suma de la energía cinética de
su centro masas, supuesto que toda la masa está concentrada allí, más la energía
de rotación respecto del centro de masas. La energía del centro de masas vale
T =
1
2
m ˙x2
+ ˙y2
La energía cinética de rotación vale
T =
1
2
ωIGω
siendo IG el tensor de inercía respecto de un sistema de referencia situado en el
centro de masas y que se mueve con movimiento de translación. Puesto que la

46
anholónomos
energía cinética es un escalar su valor no cambia si la calculamos en un sistema
de referencia unido al cuerpo. En el sistema de referencia unido al disco el tensor
de inercia vale
I =




Idd 0 0
0 Idd 0
0 0 I3




siendo Idd el momento de inercia respecto de un diámetro e I3 es el momento
de inercia respecto del eje del disco. La velocidad de rotación ω vale
ω = − ˙ψu+ ˙φk =
que en la base unida al disco (tomando el eje del disco como eje z′
,esto es u = k′
,
y dos ejes cualesquiera en el plano del dico como ejes x′
, y′
) toma la forma
ω = − ˙ψk′
+ ˙φcosψj′
− ˙φsenψi′
De donde la energía cinética de rotación vale
T =
1
2
(− ˙φsenψ, ˙φcosψ,− ˙ψ)




Idd 0 0
0 Idd 0
0 0 I3








− ˙φsenψ
˙φcosψ
− ˙ψ



 =
1
2
Idd
˙φ2
+
1
2
I3 ˙ψ2
y la energía total
T =
1
2
m( ˙x2
+ ˙y2
)+
1
2
Idd
˙φ2
+
1
2
I3 ˙ψ2
La condición de ligadura anholónoma viene dada por el hecho que el punto de
contacto del disco con la superﬁcie horizontal O tenga velocidad nula,
VO = VG +ω×GO = 0
que podemos poner como,

3.3 Ecuaciones de Lagrange para sistemas anholónomos 47
que no son integrables, pues aparece el ángulo φ sin tener ninguna ecuación
asociada a él. En término de desplazamientos, las anteriores ecuaciones las po-
demos poner como
δx + aδψsenφ = 0
δy − aδψcosφ = 0
Podemos introducir dos fuerzas de ligadura R1 y R2, cuyas componentes valen
R1x = λ,R1y = 0,R1,φ = 0,R1,ψ = +λa senφ
y
R2x = 0,R2y = µ,R2,φ = 0,R2,ψ = −µa cosφ
Nos dice el enunciado que las fuerzas aplicadas pasan por el centro de masas,
por lo que el momento de estas respecto del mismo son nulos y por tanto deben
tener nulas sus componentes generalizadas respecto de las variables angulares.
Sean Gx y Gy las componentes generalizadas respecto del eje x e y, las ecuacio-
nes del movimiento toman la forma
m ¨x = Gx +λ
m ¨y = Gy +µ
Id
¨φ = 0
I3 ¨ψ = λa senφ−µa cosφ
que junto con las dos ecuciones de ligadura
nos dan 6 ecuaciones para calcular x(t), y(t),φ(t),ψ(t),λ,µ. Intentad calcular
cuanto vale la fuerza asociada a la ligadura zG = cte

48
anholónomos
3.4. Potenciales generalizados
Suponer que tenemos un sistema dinámico con f grados de libertad, con f
coordenadas generalizadas {q1
,...,qf
} y f componentes generalizadas {Q1,...,Qf }
de las fuerzas externas. Suponer que pasamos a otro sistema de referencia {h1
,...,hf
}
con componentes generalizadas de las fuerzas aplicadas {H1,...,Hf }. Podemos
expresar el siguiente teorema
Teorema 3.4.1 Si existe una función U(q, ˙q,t) tal que
Qj =
d
dt
∂U
∂ ˙qj
−
∂U
∂qj
entonces
Hk =
d
dt
∂U
∂ ˙hk
−
∂U
∂hk
DEMOSTRACIÓN
Puesto que las componentes de la fuerza se comporta como un vector covarian-
te en el cambio de base, se veriﬁca
Hk =
∂qj
∂hk
Qj
puesto que
Qj =
d
dt
∂U
∂ ˙qj
−
∂U
∂qj
tenemos
Hk =
∂qj
∂hk
d
dt
∂U
∂ ˙qj
−
∂U
∂qj
=
=
d
dt
∂U
∂ ˙qj
∂qj
∂hk
−
∂U
∂qj
∂qj
∂hk
=
=
d
dt
∂U
∂ ˙qj
∂qj
∂hk
−
∂U
∂ ˙qj
d
dt
∂qj
∂hk
−
∂U
∂qj
∂qj
∂hk
ahora bien
∂qj
∂hk
=
∂ ˙qj
∂ ˙hk
, y
d
dt
∂qj
∂hk
=
∂ ˙qj
∂hk

3.4 Potenciales generalizados 49
por lo que
Hk =
d
dt
∂U
∂ ˙qj
∂ ˙qj
∂ ˙hk
−
∂U
∂ ˙qj
∂ ˙qj
∂hk
+
∂U
∂qj
∂qj
∂hk
=
d
dt
∂U
∂ ˙hk
−
∂U
∂hk
como queriamos demostrar. Podemos decir entonces que la función U(q, ˙q,t)
actua como una función potencial generalizada. En el caso en queU no dependa
de las velocidades, tenemos
Qj = −
∂U
∂qj
y por tanto en el nuevo sistema de coordenadas
Hk = −
∂U
∂hk
En el caso de tener una función potencial generalizado U, tenemos
Qj =
d
dt
∂U
∂ ˙qj
−
∂U
∂qj
así mismo de acuerdo con las ecuaciones de Lagrange
Qj =
d
dt
∂T
∂ ˙qj
−
∂T
∂qj
restando miembro a miembro
d
dt
∂L
∂ ˙qj
−
∂L
∂qj
= 0 (3.5)
siendo L = T −U la función de Lagrange o lagrangiana.
Ejemplo 3.3 Calcular el potencial generalizado de una partícula cargada some-
tida a un campo electromagnético externo
SOLUCCIÓN
Como es bien sabido la fuerza que actua sobre una partícula cargada sometida
a un campo electromagnético externo viene dada por la expresión (en unidades

50
anholónomos
gaussianas)
F = q E+
1
c
(v×B)
siendo q la carga de la partícula, E el campo eléctrico y B el campo magnético,
que vienen dados por las ecuaciones de Maxwell
∇×E+
1
c
∂B
∂t
= 0
∇×H−
1
c
∂D
∂t
=
4π
c
j
∇·D = 4πρ
∇·B = 0
Puesto que ∇·B = 0 siempre podemos elegir al campo B de la forma
B = ∇×A
siendo A el potencial vector. Sustituyendo en la primera ecuación de Maxwell,
∇×E+
1
c
∂
∂t
(∇×A) = 0
∇×(E+
1
c
∂A
∂t
) = 0
lo que nos indica que podemos igualar lo que esta entre paréntesis al gradiente
de una función escalar
E+
1
c
∂A
∂t
= −∇φ
de donde
E = −∇φ−
1
c
∂A
∂t
sustituyendo en la expresión de la fuerza, obtenemos
F = q (−∇φ−
∂A
∂t
)+
1
c
(v×(∇×A)) .

La componente i del término (v×(∇×A)) la podemos poner como
vj
∂Aj
∂xi
− vj
∂Ai
∂x j
por lo que la i-exima componente de la fuerza vale
Fi = q −
∂φ
∂xi
−
1
c
∂Ai
∂t
+
1
c
vj
∂Aj
∂xi
−
1
c
vj
∂Ai
∂x j
.
Ahora bien teniendo en cuenta la expresión de la derivada total de un vector
dAi
dt
=
1
c
∂Ai
∂t
+
1
c
vj
∂Ai
∂x j
podemos poner la i-exima componente de la fuerza como
Fi = q −
∂φ
∂xi
−
1
c
dAi
dt
+
1
c
vj
∂Aj
∂xi
.
Supongamos a partir de este momento que las velocidades y la coordenadas son
independientes, podemos poner
vj
∂Aj
∂xi
=
∂(vj Aj )
∂xi
=
∂(v·A)
∂xi
sustituyendo
Fi = q −
∂
∂xi
(φ−
1
c
A·v)−
1
c
dAi
dt
el término dAi /dt lo podemos poner como
dAi
dt
=
d
dt
∂
∂vi
(Aj vj ) =
d
dt
∂
∂vi
(A·v)
por lo que
Fi = q −
∂
∂xi
(φ−
1
c
A·v)−
1
c
d
dt
∂
∂vi
(A·v) .
Puesto que φ no depende de v, podemos reescribir la anterior expresión como
Fi = q −
∂
∂xi
(φ−
1
c
A·v)+
d
dt
∂
∂vi
(φ−
1
c
A·v) .

52
anholónomos
Sea U la función
U = q φ−
1
c
A·v
tendremos
Fi =
d
dt
∂U
∂vi
−
∂U
∂xi
así puesU tiene la forma de un potencial generalizado. Formando la lagrangiana
L = T −U = T − qφ+
q
c
A·v =
1
2
mv2
− qφ+
q
c
A·v
Desde el punto de vista de la Mecánica Clásica, son los campos E y H los que
tienen importancia desde un punto de vista dinámico pues de acuerdo con la
expresión de la fuerza Lorentz son los únicos que intervienen en las ecuaciones
del movimiento de la partícula cargada. Los potenciales φ y A son funciones au-
xililiares que nos ayudan, desde el punto de vista matématico, a resolver el pro-
blema (Esto no es así en Mecánica Cuántica, donde los potenciales juegan un
papel similar al de los campos). Puesto que los campos se obtienen por diferen-
ciación de los potenciales, estos no varían cuando se somete a los potenciales a
operaciones del tipo
φ −→ φ−
1
c
∂t Λ
A −→ A+∇Λ
Estas transformaciones reciben el nombre de transformaciones gauge. Si susti-
tuimos los potenciales por sus transformados en la expresión de la Lagrangiana
se obtiene
L −→ L+ q
1
c
∂t Λ+
q
c
∇Λ·v = L+ q
1
c
dΛ
dt
Ahora bien según veremos más adelante, la función de Lagrange está deﬁnida
de forma única salvo la derivada total de una cierta función. Esto signiﬁca que
las ecuciones diferenciales obtenidas mediante la funcion L y su transformada
son idénticas. Por tanto la función de Lagrange es un invariente gauge.

Teorema 3.4.2 Si existe una función W(q, ˙q,t) de tal forma que las componen-
tes generalizadas de la fuerza se pueden poner como
Qj = −
∂W(q, ˙q,t)
∂ ˙qj
,
al cambiar a cualquier otro sistema de coordenadas hk
, tenemos
Hk = −
∂W(h, ˙h,t)
∂ ˙hk
DEMOSTRACIÓN
Puesto que las componentes generalizadas de la fuerza se comportan como un
vector covariante, tenemos
Hk =
∂qj
∂hk
Qj
ahora bien puesto que por deﬁnición
Qj = −
∂W(q, ˙q,t)
∂ ˙qj
y de acuerdo con los lemmas demostrados
∂qj
∂hk
=
∂ ˙qj
∂ ˙hk
se obtiene
Hk = −
∂W(q, ˙q,t)
∂ ˙qj
∂ ˙qj
∂ ˙hk
= −
∂W(h, ˙h,t)
∂ ˙hk
como queriamos demostrar. La función potencial W recibe el nombre de fun-
ción de disipación de Raileygh. Las ecuaciones de lagrange toman la forma
d
dt
∂T
∂ ˙qj
−
∂T
∂qj
= −
∂W(q, ˙q,t)
∂ ˙qj
(3.6)
Teorema 3.4.3 La función de Lagrange está deﬁnida salvo la derivada temporal
de una funcion F(q,t)

54
anholónomos
DEMOSTRACIÓN Suponer que tenemos una función F(q,t), la derivada temporal
vale
˙F(q, ˙q,t) =
j
∂F
∂qj
˙qj
+
∂F
∂t
derivando respecto a qk
∂ ˙F(q, ˙q,t)
∂qk
˙qj ,qj ,t
=
j
∂2
F
∂qk∂qj
˙qj
+
∂2
F
∂qk∂t
(3.7)
puesto que
∂ ˙F(˙q,q,t)
∂ ˙qj
=
∂F(q,t)
∂qj
derivando esta expresión respecto del tiempo
d
dt
∂ ˙F(˙q,q,t)
∂ ˙qj
=
d
dt
∂F(q,t)
∂qj
=
k
∂2
F
∂qk∂qj
˙qk
+
∂2
F
∂qk∂t
(3.8)
restando las ecuaciones 3.8 y 3.7 tenemos
d
dt
∂ ˙F(˙q,q,t)
∂ ˙qj
−
∂ ˙F(q, ˙q,t)
∂qk
˙qj ,qj ,t
= 0 (3.9)
Por lo que si tenemos dos funciones de Lagrange, L y L′
tal que
L′
= L+ ˙F
entonces ambas veriﬁcarán las mismas ecuaciones de Lagrange
d
dt
∂L′
∂ ˙qj
−
∂L′
∂qj
=
d
dt
∂L
∂ ˙qj
−
∂L
∂qj
= 0

3.5 Formulación covariante de las ecuaciones de Lagrange 55
3.5. Formulación covariante de las ecuaciones de Lagran-
ge
Considerar el fibrado tangente TQ sobre el que están definidos las ecuacio-
nes de Lagrange. Considerar la 1 – forma diferencial
ω =
∂L
∂ ˙qj
dqj
= pj dqj
= Ti dxi
cuyas 2n componentes son (∂L/∂ ˙q1
,...,∂L/∂ ˙qn
,0,...,0). Calculemos la derivada
de Lie de la anterior 1 – forma a lo largo de la trayectoria recorrida por el sistema.
De acuerdo con la definición de derivada de Lie, tenemos
ω′
= L∆(ω) = L∆(Ti )dxi
+Ti d(L∆xi
)
siendo Ti las componentes de la 1 – forma y ∆i
las componentes del vector tan-
gente a la curva integral cuyas componentes en este caso son ( ˙qi
, ¨qi
), pues de
acuerdo con nuestra hipótesis la curva integral es la trayectoria seguida por el
sistema dinámico. Puesto que
Ti =
∂L
∂ ˙qi
en las primera n variables y cero en el resto, obtenemos
L∆(ω) = L∆
∂L
∂ ˙qi
dqi
+
∂L
∂ ˙qi
d(L∆qi
)
teniendo en cuenta que la derivada de Lie de una función equivale a la derivada
a lo largo de la curva integral, tenemos
L∆
∂L
∂ ˙qi
=
d
dt
∂L
∂ ˙qi
y de la misma forma
d(L∆qi
) = d(
d
dt
qi
) = d ˙qi
.

56
anholónomos
Así mismo, de acuerdo con las ecuaciones de Lagrange.
d
dt
∂L
∂ ˙qi
−
∂L
∂qi
= 0
por lo que,
L∆
∂L
∂ ˙qi
=
∂L
∂qi
sustituyendo, tenemos
L∆(ω) =
∂L
∂qi
dqi
+
∂L
∂ ˙qi
d ˙qi
Ahora bien, el miembro de la derecha representa la diferencial de la función de
Lagrange, por lo que
L∆(ω)− dL = 0 (3.10)
que constituye la forma covariante de las ecuaciones de Lagrange que estaba-
mos buscando. Todos lo elementos de la anterior ecuacion son objetos geomé-
tricos independientes del sistema de referencia que estemos empleando. Así te-
nemos, la 1 – forma ω, la diferencial de la función de Lagrange dL, el vector tan-
gente ∆ a la trayectoria del sistema y por último la propia función de Lagrange.
Ejemplo 3.4 Considerar el caso de un oscilador armónico unidimensional in-
vertido, cuyo potencial viene dado por la expresión V = −(1/2)kx2
. a) Dibujar
las trayectorias en el espacio de las fases x–v (espacio de las fases de las velo-
cidades). b) Escribir el campo vectorial dinámico ∆. c) Obtener las ecuaciones
para las curvas integrales (esto es la ecuacion de las trayectorias) en el ﬁbra-
do tangente. d) Calcular las derivadas de Lie respecto de ∆ de la energía E y el
momento p = m ˙x. e) Mostrar, calculando la derivada de Lie respecto de ∆ que
˙x −ωx va converge hacia cero exponencialmente en el tiempo.
SOLUCCIÓN:
a) Para evaluar las trayectorias debemos de calcular las ecuaciones del movi-
miento y elimiar el tiempo entre las ecuaciones que describen las posiciones y

3.5 Formulación covariante de las ecuaciones de Lagrange 57
las velocidades. Ahora bien es posible tomarun atajo dado que la energía total
es una constante del movimiento tenemos
E =
1
2
m ˙x2
−
1
2
kx2
que nos describen la trayectoria en el espacio de fases de velocidades. Una ex-
presión de este campo se puede ver en la figura 3.2
-1 -0.5 0 0.5 1
x
-1
-0.5
0
0.5
1
v
Figura 3.2:
b) Por definición el campo ∆ es el vector tangente a la trayectoria en el espacio
de las fases(x, ˙x) y por tanto tiene como componentes ˙x, ¨x, así pues la expresión
vectorial del campo ∆ es
∆ = ˙x
∂
∂x
+ ¨x
∂
∂ ˙x
ahora bien de las ecuaciones del movimiento
m ¨x = Fx = −
∂V
∂x
= kx
llamando ω2
= k/x se tiene que ¨x = ω2
x por lo que
∆ = ˙x
∂
∂x
+ω2
x
∂
∂ ˙x
Así pues ∆ es un campo que tiene como componente x a la velocidad ˙x y como
componente y a la posición x multiplicada por ω2
. La representación de este
campo lo acabamos de ver representado en la figura 3.2.

58
anholónomos
c) Para el cálculo de la curva integral solo tenemos que integrar el campo ∆.
Vamos a llamar x1 a la coordenada x y x2 a la coordenada y que en este caso es
˙x. Del hecho que el vector ∆ es tangente a la curva integral (x1(t),x2(t)) tenemos
dx1
dt
= x2
dx2
dt
= ω2
x1
cuya solucción es
x(t) = x1(t) = a coshω(t − t0)+ b sinhω(t − t0)
˙x(t) = x2(t) = aωsinhω(t − t0)+ bωcoshω(t − t0)
d) La derivada de Lie de la energía E(x, ˙x) vale 1
L∆(E) =
∂E
∂x
˙x +
∂E
∂ ˙x
¨x
teniendo en cuenta la expresión de E
L∆(E) = −mω2
x ˙x + mω2
x ˙x = 0
lo que signiﬁca que E se mantiene constante a lo largo de la curva integral. Esto
ya lo sabiamos pues E es una constante del movimiento (ver el próximo capítu-
lo). Respecto de la derivada de Lie del momento tenemos
L∆(m ˙x) =
∂m ˙x
∂x
˙x +
∂m ˙x
∂ ˙x
¨x = m ¨x = kx
como vemos la deriva de Lie del momento es la fuerza.
e) La derivada de Lie de la función ( ˙x −ωx) vale
L∆( ˙x −ωx) =
∂( ˙x −ωx)
∂x
˙x +
∂( ˙x −ωx)
∂ ˙x
¨x = −ω( ˙x −ωx)
1Podemos interpretar también la derivada de Lie de una función a lo largo de un campo inte-
gral asociado al campo vectorial ξ como ξ(f ) e interpretar al vector tangente como una manera de
derivar y por tanto Lξ = ξ(f ) = ξi (∂/∂xi )f = ξi ∂f /∂xi . En este caso las componentes del vector ∆
son ˙xi , ¨xi

3.6 Ejercicios 59
LLamando ξ = ( ˙x − ωx) y teniendo en cuenta que la deriva de Lie a lo largo del
campo ∆ es la derivada total, la expresión anterior se puede escribir como
dξ
dt
= −ωξ
integrando
( ˙x −ωx) = ξ(t) = ξ0 exp(−ωt)
así pues para tiempos grandes ˙x → ωx
3.6. Ejercicios
Ejercicio 3.1 Una partícula de masa m se mueve a lo largo de un alambre que
forma una circunferencia vertical de radio a. El alambre gira en torno a un diá-
metro vertical ﬁjo con velocidad angular ω. Encontrar las ecuaciones del movi-
miento de la partícula suponiendo que no existe rozamiento y que la partícula
es pesada.
Ejercicio 3.2 Considerar una moneda homogénea que rueda sin deslizar sobre
una mesa horizontal. Encontrar las ecuaciones del movimiento en términos de
los ángulos de Euler y las coordenadas del punto de contacto de la moneda con
la mesa.
Figura 3.3:

60
anholónomos
Ejercicio 3.3 Considerar una barra que se mueve en un plano vertical mante-
niendo uno de sus extremos moviendose a lo largo de una recta horizontal sin
rozamiento. Calcular las ecuaciones del movimiento y la reacción N que se pro-
duce en el extremo.
Ejercicio 3.4 Encontrar las ecuaciones del movimiento del trompo que se loca-
liza sobre una plataforma de masa m sometida a una fuerza F dirigida a lo largo
del eje y y restringida a moverse a lo largo de este eje. Al trompo se le aplica un
momento M en su cima tal y como se muestra en la ﬁgura 3.4.
Figura 3.4:
Ejercicio 3.5 Considerar el sistema que se muestra en la ﬁgura 3.5. Evaluar la
lagrangiana. El disco inferior rueda sin deslizar.
Figura 3.5:

3.6 Ejercicios 61
Ejercicio 3.6 Calcular la energía cinética de una barra que se mueve libremente
en el espacio. Utilizar los ángulos de Euler
Ejercicio 3.7 Dar las ecuaciones del movimiento de una barra que se mueve
libremente en un plano vertical y este a su vez gira con velocidad angular cons-
tante ω en torno a su eje vertical.
Ejercicio 3.8 Dar las ecuaciones del movimiento de un cono de semiángulo β
que rueda sin deslizar sobre un plano inclinado.
Ejercicio 3.9 Estudiar el movimiento de una barra pesada que rueda sin des-
lizar sobre un círculo fijo de radio R. El centro de masas de la barra coincide,
inicialmente, con el punto superior del círculo.
Ejercicio 3.10 La figura 3.6 nos muestra a un collar de masa m que desliza a lo
largo de una barra de masa M y longitud 2L. El coeficiente de fricción entre el
collar y la barra es µ. Hay una fuerza F actuando como se muestra en la figura en
el extremo de la barra. Encontrar las ecuaciones del movimiento utilizando las
ecuaciaones de Lagrange.
Figura 3.6:

62
anholónomos

Capítulo 4
Principios disponibles para la
integración
4.1. Forma explícita de las ecuaciones de Lagrange
Como vimos en el capitulo anterior, el movimiento de un sistema mecáni-
co viene regido por las ecuaciones de Lagrange. Vamos a demostrar que estas
ecuaciones se reducen a un conjunto de n ecuaciones diferenciales de segun-
do orden. Para ello supongamos que tenemos un sistema mecánico en el que la
energía cinética sea una función cuadrática de las velocidades, esto tiene lugar
normalmente si el sistema tiene ligaduras que no dependen del tiempo,
2T = Ti j ˙qi
˙qj
.
Las ecuaciones de Lagrange toman la forma
d
dt
∂T
∂ ˙qk
−
∂T
∂qk
=Qk
Como vimos en un capítulo anterior introduciendo la métrica inducida por la
energía cinética
ds2
= 2T dt2

64 Capítulo – 4. Principios disponibles para la integración
podemos escribir las ecuaciones de Lagrange mediante la expresión
ak =Qk
siendo Qk la componente generalizada de la fuerza y ak la ’aceleración’ genera-
lizada. Teniendo en cuenta que ak = Tk j aj
, que
aj
=
dv j
dt
+Γ
j
il
vi
vl
y que vi
= ˙qi
, tenemos
Tk j ¨qj
+Tk j Γ
j
il
˙qi
˙ql
=Qk
multiplicando por el tensor recíproco T hk
T hk
Tk j ¨qj
+T hk
Tk j Γ
j
il
˙qi
˙ql
= T hk
Qk
T hk
Tk j = δh
j
tenemos
δh
j
¨qj
+δh
j Γ
j
il
˙qi
˙ql
= ¨qh
+Γh
il
˙qi
˙ql
= T hk
Qk
de donde
¨qh
= −Γh
il
˙qi
˙ql
+T hk
Qk (4.1)
que constituyen la forma explícita de las ecuaciones de Lagrange. Vemos pues
que las ecuaciones de Lagrange dan lugar a un sistema de n ecuaciones dife-
renciales de segundo orden lo que nos da por tanto un sistema de ecuaciones
diferenciales de orden 2n.
4.2. Integración de las ecuaciones diferenciales
La teoría de las ecuciones diferenciales ordinarias nos dice que en la soluc-
ción de un sistema de ecuaciones diferenciales de orden 2n aparecen 2n cons-
tantes de integración que tendremos que calcular a partir de las condiciones
iniciales.

4.2 Integración de las ecuaciones diferenciales 65
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden k, el sistema se puede
reducir a k ecuaciones diferenciales de la forma
dxr
dt
= Xr (x1,x2,...,xk), ,r = 1,2,...,k
donde Xr son funciones conocidas de las variables xi , siendo las variables xi
iguales a la originales qi o a sus derivadas hasta el orden (sin incluirlo) de la
derivada más elevada que aparece en cada ecuación diferencial. Así por ejemplo
suponer que tenemos el sistema
d2
q1
dt2
= Q1(q1,q2, ˙q1, ˙q2)
d2
q2
dt2
= Q2(q1,q2, ˙q1, ˙q2)
hagamos
x1 = q1, ,x2 = q2, ,x3 = ˙q1, ,x4 = ˙q2
el sistema de orden 4 se reduce a un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de
primer orden dado por la expresión,
˙x1 = x3
˙x3 = Q1(x1,x2,x3,x4)
˙x2 = x4
˙x4 = Q2(x1,x2,x3,x4)
así pues cualquier sistema de ecuaciones diferenciales de orden k se puede re-
ducir a un sistema de k ecuaciones diferenciales de la forma
dxr
dt
= Xr (x1,x2,...,xk), r = 1,2,...,k (4.2)
Consideremos una función f (x1,x2,...,xk,t), tal que d f /dt = 0 cuando sus
argumentos son soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales, se dice en-

tonces que
f (x1,x2,...,xk,t) =Cte.
es una integral primera del sistema de ecuaciones diferenciales. La condición
para que una función f constituya una integral primera del sistema se encuen-
tra facilmente. Partiendo del hecho que d f /dt = 0, tenemos
∂f
∂x1
˙x1 +
∂f
∂x2
˙x2 +...+
∂f
∂xk
˙xk +
∂f
∂t
= 0
puesto que las xi veriﬁcan el sistema, ˙xi = Xi , se debe de veriﬁcar
∂f
∂x1
X1 +
∂f
∂x2
X2 +...+
∂f
∂xk
Xk +
∂f
∂t
= 0
La solucción completa de un conjunto de ecuaciones diferenciales de orden k
requiere conocer k integrales primeras independientes
fr (x1,x2,...,xk,t) = αr , r = 1,2,...k
siendo αr un conjunto de k constantes arbitrarias. Dado que el anterior sistema
es independiente, podemos despejar las xr ,
xr = φr (α1,α2,...,αk ,t), r = 1,2,...k
que es la solucción que andamos buscando. Considerar por ejemplo la ecuación
diferencial
¨q = −q
hagamos x1 = q y x2 = ˙q, la ecuación diferencial se reduce al sistema
˙x1 = x2
˙x2 = −x1

4.3 Sistemas con coordenadas ignorables 67
el cual posee dos integrales primeras
x2
1 + x2
2 = α1
arctan
x1
x2
− t = α2.
Resolviendo este sistema, se obtiene
x1 = α1/2
1 sen(t +α2)
x2 = α1/2
1 cos(t +α2)
que consituyen la solucción de la ecuación diferencial de segundo orden.
Una división elemental de los problemas que se plantean en mecánica viene
dada por aquellos que son solubles mediante funciones elementales conocidas
o integrales indeﬁnidas de estas y aquellos no resolubles por funciones elemen-
tales o sus integrales indeﬁnidas. Nos referiremos a los primeros como proble-
mas solubles mediante cuadraturas. Los probelmas de dinámica en general no
son solubles mediante cuadraturas y en aquellos casos en los que sí son solu-
bles se debe a que existe alguna razón especial. El objeto del presente capítulo
es analizar que condiciones especiales debe de cumplir la lagrangiana para que
el sistema se pueda integrar por cuadraturas.
4.3. Sistemas con coordenadas ignorables
Considerar un sistema holonómico cuyas fuerzas procedan de un potencial,
en estas condiciones
d
dt
∂L
∂ ˙qk
−
∂L
∂qk
= 0
la cantidad
pk =
∂L
∂ ˙qk
recibe el nombre de momento generalizado correspondiente a la variable qk
.
Suponer que algunas de las variables qk
no aparecen explicitamente en la ex-
presión de la lagrangiana, aunque puedan estar presentes sus velocidades ˙qk
.

Suponer que sean la r primeras q1
,q2
,...,qr
. De acuerdo con las ecuciones de
Lagrange, para este conjunto de r variables tendremos
d
dt
∂L
∂ ˙qk
= 0
por lo que por integración directa
∂L
∂ ˙qk
= pk = βk,k = 1,2,...,r
siendo βk constantes de integración. Este conjunto de r ecuaciones constituyen
r integrales primeras del sistema. A las r variables q1
,q2
,...qr
que no aparecen
en la lagrangiana se las denomina ignorables o cíclicas. La anterior ecuación
nos dice que el momento generalizado asociado a toda variable cíclica es una
constante del movimiento.
Vamos a ver como podemos emplear las r constantes del movimiento para
reducir el orden del sistema de 2n a 2n −2r.
Considerar la función
R = L−
k
˙qk ∂L
∂ ˙qk
, k = 1,2,...,r
Por medio de las r ecuaciones
∂L
∂ ˙qk
= βk, k = 1,2,...,r
podemos expresar las r velocidades generalizadas ˙q1, ˙q2,..., ˙qr como función de
qr+1,qr+2,...,qn, ˙qr+1, ˙qr+2,..., ˙qn,β1,β2,...,βr
de tal forma que la función R solo depende del grupo anterior de variables. Con-
siderar ahora una variación arbitraria de los argumentos de la función R, la va-
riación de la propia función vendrá dada po la expresión
δR = δ(L−
k
˙qk ∂L
∂ ˙qk
)

4.3 Sistemas con coordenadas ignorables 69
ahora bien
δL =
n
r+1
∂L
∂qk
δqk
+
r
1
∂L
∂ ˙qk
δ ˙qk
+
n
r+1
∂L
∂ ˙qk
δ ˙qk
y
δ
r
k=1
˙qk ∂L
∂ ˙qk
=
r
1
∂L
∂ ˙qk
δ ˙qk
+
r
1
˙qk
δβk
puesto que
∂L
∂ ˙qk
= βk
Tenemos que
δR =
n
r+1
∂L
∂qk
δqk
+
n
r+1
∂L
∂ ˙qk
δ ˙qk
−
r
1
˙qk
δβk
Así pues
∂R
∂ ˙qk
=
∂L
∂ ˙qk
k = r +1,r +2,...,n
∂R
∂qk
=
∂L
∂qk
k = r +1,r +2,...,n
˙qk
= −
∂R
∂βk
k = 1,2,...,r
sustituyendo en las ecuaciones de Lagrange
d
dt
∂R
∂ ˙qk
−
∂R
∂qk
= 0 k = r +1,r +2,...,n (4.3)
donde la función R es función únicamente de las qr+1,qr+2,...,qn, ˙qr+1, ˙qr+2,..., ˙qn,β1,β2,...,βr ,
por lo que el numero de grados de libertad ha pasado a ser n − r y el orden del
sistema del orden 2(n − r). Una vez resuelto este sistema, podemos sustituir sus
soluciones en la funcion R y calcular el resto de coordenadas mediante las ecua-
ciones
qk
= −
∂R
∂βk
dt, k = 1,2,...,r (4.4)
La función R recibe el nombre de función de Routh, pues fué introducida por
este investigador en 1876.
Si el problema original se reﬁere a un problema de un sistema dinámico con-
servativo (las fuerzas dependen de un potencial independiente de las velocida-

des) en el que las ligaduras no dependen del tiempo, la lagrangiana depende
unicamente de las velocidades en el término cuadrático que aparece en la ex-
presión de la energía cinética. Ahora bien la función de Routh, no puede ser
separada en dos partes como antes. En general la función de Routh puede de-
pender de forma lineal de las velocidades.
Ejemplo 4.1 Considerar un sistema dinámico con dos grados de libertad cuya
energía cinética toma la forma
T =
1
2
˙q2
1
a + bq2
2
+
1
2
˙q2
2
y la energía potencial vale
V = c + dq2
2
Calcular las ecuaciones del movimiento.
SOLUCCIÓN
La lagrangiana toma la forma
L =
1
2
˙q2
1
a + bq2
2
+
1
2
˙q2
2 − c − dq2
2
puesto que q1 no aparece en la ecuación, la función
1
a + bq2
2
˙q1 = β
es una integral primera del sistema. La funcion de Routh vale
R = L− ˙q1
∂L
∂ ˙q1
=
1
2
˙q2
2 − c − dq2
2 −
1
2
β2
(a + bq2
2)
y las ecuaciones de Lagrange para la función R toma la forma
¨q2 +(2d + bβ2
)q2 = 0
cuya integral vale
q2 = Asen (2d + bβ2
)1/2
+ǫ

4.4 Simetrías y propiedades de conservación 71
de donde
q1 = β(a + bq2
2)dt
obteniendose la expresión
q1 = (βa +
1
2
βbA2
)t −
βbA2
4(2d + bβ2)1/2
sen2 (2d + bβ2
)1/2
+ǫ
lo que completa la solucción del problema.
4.4. Simetrías y propiedades de conservación
Vamos en primer lugar a ver que se entiende por una transformación de si-
metría. Para ello supondremos que tenemos un sistema mecánico, supongamos
que cada partícula del sistema mecánico es sometida a una misma operación,
por ejemplo trasladamos cada partícula en una cierta dirección, o por ejemplo
rotamos cada partícula un cierto ángulo alrededor de un mismo eje. Si el siste-
ma tiene el mismo aspecto al ﬁnal que tenia al principio diremos que el sistema
es simétrico respecto de la operación que acabamos de realizar. Una manera al-
ternativa de realizar las operaciones de transformación es variar la posición del
observador. En vez de trasladar el sistema una cierta cantidad, trasladamos en
la dirección opuesta al observador. La operación inicial (trasladamos el sistema)
se llama activa, la segunda (trasladamos al observador) se llama pasiva. Vamos
a ﬁjarnos en esta segunda manera de trabajar. Equivale a una transformación
de coordenadas. Si se produce una traslación, las nuevas coordenadas serán las
antiguas mas o menos un cierta cantidad
x′
= x + ax
y′
= y + ay
z′
= z + az
siendo a = (ax,ay ,az) el vector de traslación. Este cambio de coordenadas es
simplemente un mapeo del espacio original en el nuevo espacio, en el que cada
punto del sistema de coordenadas inicial se transforma un su correspondiente

punto del sistema de coordenadas ﬁnal. Bajo esta transformación de coordena-
das el Lagrangiano del sistema L(x, ˙x,t) se transforma en un nuevo lagrangiano
L′
(x′
, ˙x′
,t), funcionalmente diferente del lagrangiano original, pero tal que en
cada punto correspondiente el valor es el mismo (es un escalar). Esto es,
L′
(x′
, ˙x′
,t) = L(x, ˙x,t)
Ahora bien, si la transformación es una transformación de simetría, la forma
del lagrangiano es la misma, Esto es
L′
(x′
, ˙x′
,t) = L(x′
, ˙x′
,t)
Como L′
(x′
, ˙x′
,t) = L(x, ˙x,t), se tendrá bajo una transformación de simetría que
L(x′
, ˙x′
,t) = L(x, ˙x,t)
esto es,
δL = L(x′
, ˙x′
,t)−L(x, ˙x,t) = 0
Esto signiﬁca que el lagrangiano en los puntos original y transformado no ha
cambiado y por tanto la dinámica que describe tampoco y el sistema por tanto
se ve de la misma manera por ambos observadores.
Veamos un ejemplo. Suponed una partícula en un campo central. El lagran-
giano viene dado por la expresión
L =
1
2
m( ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
)+
k
x2 + y2 + z2
Hagamos una transformación consistente en rotar el sistema de coordenadas un
ángulo φ en torno al eje z. Bajo esta transformación de coordenadas las nuevas
variables son
x′
= x cosθ+ y sinθ
y′
= −x sinθ+ y cosθ
z′
= z

4.4 Simetrías y propiedades de conservación 73
Bajo esta transformación de coordenadas es fácil ver que el nuevo lagrangiano
vale
L′
(x′
, ˙x′
,t) =
1
2
m( ˙x′2
+ ˙y′2
+ ˙z′2
)+
k
x′2 + y′2 + z′2
y por tanto L′
(x′
, ˙x,t) = L(x′
, ˙x′
,t). Veamos que sucede cuando hay simetrias por
traslación, rotación y traslación temporal.
Teorema 4.4.1 Considerar un sistema de N partículas de masas m(i), posición
r(i) y velocidad v(i). Si el comportamiento del sistema está representado por
una función de Lagrange L(r(i),v(i),t) que es invariante por translación en una
cierta la dirección, la componente de la cantidad ∂L(r,v,t)/∂v(i) en la direc-
ción de translación es una constante del movimiento. Si además el potencial
generalizado no es función de las velocidades v(i), entonces ∂L(r,v,t)/∂v(i) =
m(i)v(i) ≡ P, siendo P el momento lineal total del sistema respecto del origen
del sistema.
DEMOSTRACIÓN
Considerar un desplazamiento virtual del sistema en el cual el sistema sufre una
translación uniforme inﬁnitesimal ǫ. Entonces
δr(1) = δr(2) = ··· = δr(N) = ǫ
δv(1) = δv(2) = ··· = δv(N) = 0
Si el lagrangiano es invariante bajo esta translación, se tiene que 1
δL = L(r+δr,v+δv,t)−L(r,v,t) = 0
por lo que,
δL =
i
∂L(r,v,t)
∂r(i)
·δr(i)+
i
∂L(r,v,t)
∂v(i)
·δv(i) = ǫ·
i
∂L(r,v,t)
∂r(i)
= 0
1Emplearemos la siguiente notación, suponiendo que r = x1i1 +x2i2 +x3i3, ∂L/∂r = i1∂L/∂x1 +
i2∂L/∂x2 +i3∂L/∂x3, esto es el gradiente de L respecto de r.

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