Clase 4

UNEFA 6º Semestre
Teoría de Control Automático
Coord. Ing. Electrónica
22/11/09
UNIDAD 2: Esquemas de sistemas de control
OBJETIVO: Explicar las configuraciones básicas de compensadores en sistemas de control de tiempo continuo y/o de tiempo discreto

Algoritmos de Control:

Un algoritmo de control se encarga de monitorear el valor de la señal de salida del
sistema de control (variable controlada) y compararla con la señal de referencia, con lo
que calcular la señal de error, el cual es pasado por una serie de reglas de control para
calcular el valor de la señal de salida del controlador con la finalidad de ajustar la
variable controlada lo más cerca del valor deseado.

S.P.
Detección

Error Aplicación Al E.F.C.
de Generar Co
reglas
V.m.

Prof. Camilo Duque - camilorene@gmail.com

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El algoritmo de control define la forma en que:
1.- Se detecta el error. (Casi siempre es igual en todos los algoritmos)
2.- Las reglas de control se aplican al error detectado.
3.- Se calcula la señal de salida del controlador.

S.P.
Detección

Error Aplicación Al E.F.C.
de Generar Co
reglas
V.m.


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Los algoritmos de control principalmente usados son:
1.- ON/OFF (Todo o Nada) en sus diversas variantes.
2.- Proporcional (P)
3.- Proporcional + Integral (PI)
4.- Proporcional + Derivativo (PD)
5.- Proporcional + Integral + Derivativo (PID)
6.- Atraso de Fase
7.- Adelanto de Fase
8.- Retroalimentación de los estados.


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El Control ON-OFF:
1. Es la forma más simple de controlar.
2. Es comúnmente utilizado en la industria por la razón anterior.
3. Muestra muchos de los criterios fundamentales inherentes a todas las soluciones de
control.
4. Cumple solo el objetivo de esabilización.

Lo hay en muchas variantes, pero las principales son:
De 2 posiciones o On Off simple
De 3 posiciones o “heat and Cool”


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El Control ON-OFF:
Algoritmo de 2 posiciones:
1.- Se dispone de un Elemento Final de Control (EFC) que tiene solo 2 modos,
encendido o apagado. Ejemplo de esto puede ser un elemento calefactor.
2.- Establece un rango de operación:
Límite Inferior de Control (LIC)
Límite Superior de Control (LSC)
3.- Las reglas son:
Si el valor de la variable a controlar está entre (LIC y LSC) mantener el estado
actual del EFC.
Si el valor de la variable a controlar está por encima del rango de operación
(LIC y LSC) encender/apagar el EFC.
Si el valor de la variable a controlar está por debajo del rango de operación
(LIC y LSC) apagar/encender el EFC.
4.- La diferencia en tiempo entre las transiciones de un estado a otro del E.F.C se
conoce como Histéresis y es muy necesario que exista para la vida util del E.F.C.
5.- El EFC encenderá o apagará según si la acción de este sobre la variable a
controlar sea directa o inversa. Prof. Camilo Duque - camilorene@gmail.com

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LSC
El Control ON-OFF:

Ejemplo:
Control de Tempe-
ratura mediante un
calefactor manipulado
por un relé activado LIC
desde un pin de un
microcontrolador.

ON

toff ton
OFF


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El Control ON-OFF: LSC

Ejemplo:
Control de Tempe-
ratura mediante un
calefactor manipulado
LIC
por un relé activado
desde un pin de un
Microcontrolador.
Ahora con poca
histéresis. ON

OFF

toff ~ ton Prof. Camilo Duque - camilorene@gmail.com

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El Control ON-OFF:

De lo anterior se observa que cuando el nivel de histéresis crece, la frecuencia de
cambio de la señal de entrada decrece, pero la amplitud de las oscilaciones de la salida
crecen.

En el diseño debe existir un compromiso entre el ajuste de la regulación de la
temperatura y el precio que pagamos en términos de velocidad de cambio de la
entrada.

Este tipo de compromisos son los que aparecen en todos los diseños de control.


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El Control ON-OFF:
1.- Se dispone de 2 EFC que tienen solo 2 modos, encendido o apagado. Ej de
esto puede ser un elemento calefactor y un ventilador.
2.- Establece un rango de operación:
Límite Inferior de Control (LIC)
Límite Superior de Control (LSC)
3.- Las reglas son:
Si el valor de la variable a controlar está entre (LIC y LSC) mantener el estado
actual de cada EFC.
Si el valor de la variable a controlar está por encima del rango de operación
(LIC y LSC) encender el EFC de acción inversa y apagar el EFC de acción
directa.
Si el valor de la variable a controlar está por debajo del rango de operación
(LIC y LSC) apagar el EFC de acción inversa y encender el EFC de acción
directa.


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El Control ON-OFF:
Supongamos una estación flotante de perforación en el mar en la que se tiene 2
motores A y B, el A se activará cuando la estación se mueva al Este de la posición
deseada y se apagará cuando se recupere el equilibrio.
El motor B se activará cuando la estación se mueva
al Oeste de la posición deseada y se apagará cuando
se recupere el equilibrio. Es obvio que no se debe
encender ambos motores al mismo tiempo.


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El Control Proporcional (P):
EI controlador proporcional genera a la salida una sefial de control que es
proporcional a la sefial de error. De este modo:

Con lo cual, la funcion de transferencia del control proporcional es:

Donde:
e(t) es la señal de error
m(t) es la señal de salida del controlador
K es la sensibilidad proporcional o ganancia proporcional

El Controlador es sólo un elemento de ganancia que se puede implementar físicamente
a partir de un Amplificador Operacional si se trata de un sistema basado en electrónica
analógica.

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La salida del controlador es una expresión proporcional al error actuante en el
momento en que se analiza el sistema.

Este es un Ej.
Con K = 2

K e(t)

e(t)

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En los sistemas reales, la ganancia constante sólo existe en un rango de valores
del error, a esto se le llama banda proporcional.

Para errores fuera de la banda proporcional, se presenta un corte de saturación de
la salida, la cual obedece a la capacidad instalada del sistema implementado, por
ejemplo, las tensiones de alimentación de un amplificador operacional.


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Cuanto mayor es la ganancia del control proporcional, mayor es la sefial de control
generada para un mismo valor de sefial de error. De este modo, se puede decir que
para una sefial de control determinada cuanto mayor es la ganancia del control
proporcional, menor es la sefial de error actuante. En conclusion, el aumento de la
ganancia del control proporcional permite reducir el error en estado estacionario.

K=5 K = 15
c(t) e(t) c(t)
e(t)

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Lo anterior tiene 2 consecuencias:
- El error no se puede eliminar (ess = 0) con solo la acción integral.
Esto se comprueba al observar la expresión del error estacionario de
posición de un sistema tipo 0:

Lo que requeriría para ess = 0 que K = ∞ y esto es imposible de
implementar.
Esto se puede generalizar para los otros errores.

- La reducción del error estacionario no es gratis, se desmejora el desempeño
y como ya se ha visto, también disminuye la estabilidad marginal del sistema.


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Al aumentar la acción proporcional se desmejora el desempeño:

K=5 K = 15
c(t) e(t) c(t)
e(t)


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Ejemplo: Control de caudal.


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El Control Proporcional Integral (P + I):
En este algoritmo se incluye a demás de la acción P, la acción Integral (I).
En el control integral o de acción I, la salida del controlador se calcula comlo a
integral del error:

La caracteristica mas importante de este tipo de control es que la acción correctora se
efectua mediante la integral del error, o sea, el área bajo la curva de error en los
tiempos anteriores al que se esté estudiando.

Ello permite decir que el control integral proporciona una señal de control que es
función de la propia 'historia' de la señal de error.

El control integral permite obtener error estacionario nulo en un sistema de control
mediante la introducción de un elemento integrador en la función de transferencia de
lazo abierto.


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En el control integral o de acción I, la salida del controlador se calcula como la
integral del error, o sea, el área bajo la curva de error en los tiempos anteriores al que
se esté estudiando.

En las gráficas se observa el caso de
un sistema de control de la posición
(en grados) de un brazo robot, la
primera gráfica es el error y la segunda
es la salida del controlador, donde
el torque aplicado al brazo es la variable
manipulada.


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La salida del controlador con acción integral es una expresión proporcional a la
integral del error actuante en el momento en que se analiza el sistema.

∫ e(t)

e(t)

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Sin embargo, un controlador nunca se implementa solo con acción integral, pues
esta aunque es capaz de eliminar el error estacionario, desmejora el desmpeño al
reducir la estabilidad marginal.

Por esto es que se implemnta al menos con la acción proporcional, quedando el
controlador asi:

Donde Ti es el tiempo integral.


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EI modo de lograr este objetivo es situar el cero del proporcional integral lo más
cercano posible al origen. De esta manera el polo en law cen-ado originado por el
aumento de orden del sistema se anulanía con el cero del proporcional integral, que es
un cero en lazo cerrado del sistema, efectuandose una cancelación polo-cero.
Pudiendose, entonces, aproximar el sistema controlado por el proporcional integral al
sistema inicial con control proporcional.


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Este algoritmo tiene las siguientes características:
1.- Mejora el desempeño en régimen estacionario.
2.- Filtra las componentes de alta frecuencia, pero no mejora el dedempeño en
régimen transitorio.
3.- Mejora la estabilidad relativa o marginal.
4.- Reduce el ancho de banda.


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El Control Proporcional Derivativo (P + D):
En este algoritmo se incluye a demás de la acción P, la acción Derivativa (D).
En el control derivativo, la acción de control derivativa genera una señal de control
proporcional a la derivada de la señal de error:

De este modo, el control derivativo mediante la derivada de la serial de error
'conoce' sus caracterfsticas dinámicas (crecimiento o decrecimiento), produciendo una
corrección antes de que la serñal de error sea excesiva. A este efecto se Ie denomina
acción anticipativa.


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En el control derivativo, la acción de control derivativa genera una señal de control
proporcional a la derivada de la señal de error:

Los cruces por cero de la salida del controlador
corresponden a los mínimos y máximos de e(t)


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Algoritmos de Control: Los cruces por cero de la salida del controlador
El Control Proporcional Derivativo (P + D): corresponden a los mínimos y máximos de e(t)

Impulso infinito

d e(t)
-------
dt

e(t)

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Sin embargo, el control derivativo no puede utilizarse en solitario porque es
incapaz de responder a una serial de error constante, puesto que la derivada de una
constante es cero!

Por esto se implementa con la acción P de la forma siguiente:

Donde Td se llama Tiempo derivativo y


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El control proporcional derivativo proporciona al sistema una mayor estabilidad
relativa que se traduce en una respuesta transitoria con menor sobreimpulso. Sin
embargo, cuando la influencia del control es muy grande, el sistema de control tiende a
ofrecer una respllesta excesivamente lenta.
Este algoritmo tiene las siguientes características:
1.- Mejora el desempeño en régimen transitorio.
2.- Aumenta la velocidad de respuesta, lo que se observa en la reducción de
los tiempos de levantamiento y retardo.
3.- Lo anterior lo logra por que aumenta el ancho de banda, lo que permite la
incorporación de componentes de alta frecuencia.
4.- Un tiempo derivativo puede producir un aumento del ruido y aparición de
rizos en la respuesta.


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El Control Proporcional Integral Derivativo (P + I + D):
Consiste en la implementación simultánea de las 3 acciones.Hay varias formas de
representarlo, la más común es el PID posicional:

Que se conoce como la forma paralelo del algoritmo PID y su F.T. Es:


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Esta forma tiene otro diagrama de bloques equivalente:
1 K p
1
e(t) co(t)

1
1 /T i
s

T d d u /d t

Cualquiera que sea, es importante resaltar que al desarrollar la FT del controlador
PID se presentan 2 ceros y 1 polo en el orígen:


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La otra forma común del algoritmo es la de velocidad:

La principal diferencia es que en el algoritmo de velocidad se no se deriva el error
sino la salida del sistema, lo que elimina entre otras cosas los efectos indeseados del
algoritmo posicional como el impulso infinito al derivar el escalón.


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Un ejemplo de control PID basado en electrónica analógica puede ser:


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El Control por Adelanto de Fase:
La función de transferencia de un controlador de adelanto de fase es:
(s+zi)
Gc(s) = -------------
(s+pi)
Donde pi > zi

Lo que se busca con esta FT es la de producir un corrimiento de fase positivo es decir
aumentar el margen de fase de un sistema al cual se le conecte esta red en cascada.

Si se observa la respuesta en frecuencia de la red en adelanto de fase se aprecia
fácilmente que se trata de un filtro pasa altas.

Si se observa la respuesta en el tiempo se aprecia que esta red mejora velocidad de
respuesta, no afecta el error en estado estable y que incrementa el amortiguamiento.


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La FT generalizada del compensador de adelanto de fase para efectos de diseño
es como sigue: Kc a (s + 1/aT)
Gc(s) = --------------------- con a > 1
(s + 1/T)
Donde:
Kc es la ganancia del compensador necesaria para no afectar la magnitud del
sistema a controlar
a es el factor de atenuación que determina la distancia entre zi y pi
T es el factor de alejamiento de zi y pi desde el origen.

El diagrama de bloques equivalente a este compensador sería:

Kdc Z(s)
P(s)

Donde:
Kdc = Kc a Z(s) (s + 1/aT) con a>1
P(s) (s + 1/T)


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Usualmente Kc a se presenta como un solo elemento de ganancia Kdc que se
especifica según el tipo de error estacionario que se desea corregir.

Para mejores resultados:
- Acercar zi al origen mejora Tr y Ts pero si se
-1/T -1/aT
acerca demasiado aumenta Mp.

- Alejar pi del origen y del zi mejora el Mp.


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El efecto del compensador de adelanto se observa si se analiza la respuesta en
frecuencia y se ve que el compensador es un filtro pasa altas con una fase máxima Фm
y este ocurre a una frecuencia ωm que será donde queremos ubicar el nuevo cruce de
ganancia del sistema compensado. B o d e D ia g r a m
0

-2
M a g n itu d e ( d B )

-4

-6

-8

-1 0
40

30
P has e (deg)

20
Фm
10

0
-1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
F r e q u e n c y ( r a d /s e c )
1/aT 1/T

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El compensador de adelanto de fase añade un polo y un cero donde el cero está
más a la derecha del polo y el efecto general es reducir los tiempos de respuesta Tr y
Ts.

La fase de la trayectoria directa del sistema en el nuevo cruce de ganancia se
incrementa gracias a la fase máxima que incorpora el compensador. Esto mejora el MF.

La pendiente de la curva de magnitud en las cercanías del cruce de ganancia se reduce
lo que mejora la estabilidad relativa del sistema.

El ancho de banda del sistema se incrementa por lo que se mejora la velocidad de
respuesta.


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El Control por Atraso de Fase:
La función de transferencia de un controlador de adelanto de fase es:
(s+zi)
Gc(s) = -------------
(s+pi)
Donde pi < zi

Lo que se busca con esta FT es la de producir un corrimiento de fase es decir
aumentar el margen de fase de un sistema al cual se le conecte esta red en cascada.

Si se observa la respuesta en frecuencia de la red en adelanto de fase se aprecia
fácilmente que se trata de un filtro pasa bajas.

Si se observa la respuesta en el tiempo se aprecia que esta red desmejora velocidad
de respuesta, afecta el error en estado estable.


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La FT generalizada del compensador de adelanto de fase para efectos de diseño
es como sigue: Kc a (s + 1/aT)
Gc(s) = --------------------- con 0 < a < 1
(s + 1/T)
Donde:
Kc es la ganancia del compensador necesaria para no afectar la magnitud del
sistema a controlar
a es el factor de atenuación que determina la distancia entre zi y pi
T es el factor de alejamiento de zi y pi desde el origen.

El diagrama de bloques equivalente a este compensador sería:

Kdc Z(s)
P(s)

Donde:
Kdc = Kc a Z(s) (s + 1/aT) con 0 < a < 1
P(s) (s + 1/T)


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Para mejores resultados:

- El polo y el cero deben estar muy cercanos.

- Ambos deben estar lo más cerca posible del origen.

-1/aT -1/T


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El efecto del compensador de atraso de fase se observa si se analiza la respuesta
en frecuencia y se ve que el compensador es un filtro pasa bajas con una fase mínima
Фm y este ocurre a una frecuencia ωm que será donde queremos ubicar el nuevo cruce
de ganancia del sistema compensado.

Фm

1/T 1/aT


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El compensador de atraso de fase añade un polo y un cero donde el cero está más
a la izquierda del polo y el efecto general es aumentar los tiempos de respuesta Tr y Ts.

La fase de la trayectoria directa del sistema en el nuevo cruce de ganancia se
incrementa gracias a la fase mínima que incorpora el compensador en el cruce de
ganancia. Esto mejora el MF.

El ancho de banda del sistema se reduce por lo que se desmejora la velocidad de
respuesta.

El error estático no se modifica con el polo y cero.


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