Diseño controladores LGR

UNEFA 6º Semestre
Teoría de Control Automático
Coord. Ing. Electrónica
31/01/10
UNIDAD 3: Diseño de compensadores mediante el lugar geométrico de las raíces.
OBJETIVO: Diseñar los algoritmos básicos de control mediante el lugar Geométrico de las Raíces en tiempo continuo y/o tiempo discreto

Diseño de Controladores:
Receta para controlar un sistema:

1.- Determine qué debe hacer el sistema y cómo debe hacerlo, estas serán las
especificaciones de diseño. Con estas Ud. guiará el resto de los pasos y al final
evaluará si su diseño cumple con lo deseado.

2.- Determine cuál es la mejor configuración del sistema de control a implementar.
Esto se logra con un poco de conocimiento teórico y otro tanto de experiencia. Se
debe especificar el esquema y el algoritmo.

3.- Determine los valores exactos (o sus rangos) de los parámetros operativos del
sistema de control de tal forma que este sea capaz de alcanzar las especificaciones de
diseño. Este paso se denomina sintonización o ajuste del sistema de control, se
puede realizar en forma analítica como en forma práctica empírica (error y ensayo).

4.- Compruebe que el sistema de control diseñado cumple las especificaciones de
diseño y de ser necesario repita los pasos 2 y 3 nuevamente. Esto se llama Validación.

Prof. Camilo Duque - camilorene@gmail.com

UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Diseño de Controladores:
Las especificaciones de diseño:
Son únicas para una aplicación dada, inclusive, son únicas para un mismo sistema en
dos aplicaciones diferentes por ejemplo, un mismo modelo de caldera en dos plantas
diferentes.

En general son un conjunto de valores específicos de los parámetros ya conocidos en
el análisis de sistemas y pueden ser tanto en el dominio del tiempo como en el dominio
de la frecuencia.

Es muy común que las especificaciones de diseño se presenten en términos de:
Parámetros de la Respuesta Temporal
Parámetros de la Respuesta de Frecuencia
Estabilidad Marginal o relativa

En la teoría de control avanzado se puede incluir sensibilidad a la variación de
parámetros (robustez), rechazo a perturbaciones y otros.


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Diseño de Controladores mediante LGR:
El método del lugar geométrico de las raíces es un enfoque gráfico que permite
determinar las ubicaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las
ubicaciones de los polos y ceros en lazo abierto conforme algún parámetro (por lo
general la ganancia) varía de cero a infinito.

En la práctica, una gráfica del lugar geométrico de las raíces de un sistema indica que
el desempeño deseado no puede obtenerse con sólo el ajuste de la ganancia (solo
acción P). En estos casos, es necesario que el controlador incorpore dinámica, es
decir un arreglo de polos y ceros (algoritmos PI, PD y redes de adelanto o atraso de
fase).

Cuando se diseña un sistema de control que requiera dinámica, se debe modificar los
lugares geométricos de las raíces originales insertando un el conjunto de polos y ceros
necesarios. Para esto, primero deben comprenderse los efectos de la adición de los
polos y/o ceros sobre el lugar geométrico de las raíces.


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Efectos de la adición de polos.
La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de
mover el lugar geométrico de las raíces a la derecha, lo cual tiende a disrnimrir la
estabilidad relativa del sistema y a relentar el asentamiento de la respuesta.

LGR orginal de 1 polo LGR agregando 1 polo LGR agregando 2 polos


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Efectos de la adición de ceros.
La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de
mover el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende
a ser más estable, y se acelera el asentamiento de la respuesta.

LGR orginal de 2 polos

LGR agregando 1 cero


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Consideraciones para el diseño:

1. En sistemas de 2do orden, la respuesta quedará determinada por la naturaleza de
los polos en sub, sobre o criticamente amortiguada.

2. La respuesta de cualquier sistema estará gobernada por los polos más cercanos al
origen en el plano S o más cercanos al Z=1 en el plano Z (polo dominante).

3. Mientras los polos dominantes están más a la izquierda en el plano S o más cerca
del origen en el plano Z, la respuesta del sistema será más rápida y con mayor ancho
de banda.


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Diseño de Controlador Proporcional:
La escencia del diseño con LGR es en la mayoría de los casos, mover los polos de la
EC hacia un lugar tal que el desempeño del sistema sea mejor. Para lograr esto existen
muchas formas, pero la más sencilla es agregar una ganancia K en la cadena directa
del sistema en Lazo Cerrado (Algoritmo P).

Al incorporar una simple ganancia es posible mover los polos hacia los lugares
deseados, de esta forma el diseño se reduce a encontrar el exacto valor de K (o el
rango) que mueva los polos lo más cerca posible de la ubicación deseada.

UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Poe ejemplo, sea
(s+3)
G(s) = ------- ------------- y H(s) = 1
s (s+1) (s+2)

Veamos la respuesta del sistema en LC para K= [ 0.1, 0.3, 0.7, 1, 1.5, 2]
V a r ia c io n d e lo s p o lo s d e l s is t e m a
2

K = 1 .5 K = 2 .0
1 .5
K = 1 .0
1
K = 0 .7

0 .5
K = 0 .3
K = 0 .1
I m a g in a r y A x is

0

- 0 .5

-1

- 1 .5

-2
-4 - 3 .5 -3 - 2 .5 -2 - 1 .5 -1 - 0 .5 0 0 .5 1
R e a l A x is


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

En el lado izquierdo se observa la ubicación de las raíces del sistema en LC de G(s) a
medida que se varía K.
P o le - Z e r o M a p Root Locus
2 5

4
1 .5

3
1
2

0 .5
1


0 0

-1
- 0 .5

-2
-1
-3

- 1 .5
-4

-2 -5
-4 - 3 .5 -3 - 2 .5 -2 - 1 .5 -1 - 0 .5 0 0 .5 1 - 3 .5 -3 - 2 .5 -2 - 1 .5 -1 - 0 .5 0
R e a l A x is R e a l A x is

En el lado derecho se observa el LGR del mismo sistema para todos los valores de K
posibles.

UNEFA 6º Semestre
31/01/10

En el lado izquierdo se observa el LGR de G(s) y en el derecho el LGR de 2G(s)
Root Locus Root Locus
5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

-3 -3

-4 -4

-5 -5
-4 - 3 .5 -3 - 2 .5 -2 - 1 .5 -1 - 0 .5 0 -4 - 3 .5 -3 - 2 .5 -2 - 1 .5 -1 - 0 .5 0

Entonces, ¿Cuál es la diferencia?


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

En el lado izquierdo se observa el LGR de G(s) y en el derecho el LGR de 2G(s)
Root Locus Root Locus
5 5

4 4

3 3

2 2
S y s te m : g S y s t e m : u n t it le d 1
1 G a in : 3 . 3 5 1 G a in : 1 . 6 9


P o le : - 0 . 2 6 3 + 2 i P o le : - 0 . 2 6 2 + 2 i
D a m p in g : 0 . 1 3 D a m p in g : 0 . 1 3
0 0
O v e r s h o o t ( % ) : 6 6 .1 O v e r s h o o t ( % ) : 6 6 .3
F r e q u e n c y ( r a d /s e c ) : 2 .0 1 F r e q u e n c y ( r a d /s e c ) : 2 .0 2
-1 -1

-2 -2

-3 -3

-4 -4

-5 -5
-4 - 3 .5 -3 - 2 .5 -2 - 1 .5 -1 - 0 .5 0 -4 - 3 .5 -3 - 2 .5 -2 - 1 .5 -1 - 0 .5 0

La diferencia es en el valor de ganancia para una misma posición de un polo. En el
caso de la derecha la ganancia es menor por que ya se ha incuido una ganancia de 2 a
G(s).

UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Para diseñar un compensador con algoritmo solo Proporcional se deben considerar los
requerimientos y su aparición en el plano S y/o Z según sea el caso. Usualmente los
requerimientos se traducen en unos valores de zeta y wn en el mapa del plano
5
respectivo. Root Locus
5
0 .5 6 0 .4 2 0 .3 2 0 .2 2 0 .1 4 0 .0 7
4
4
0 .7 4
3
3

2
2 0 .9

1
1

0 S y s te m : g
G a in : 0 . 2 8 2
-1 P o le : - 0 . 4 4 5 + 0 . 4 4 9 i
D a m p in g : 0 . 7 0 4 1

0 .9 O v e r s h o o t ( % ) : 4 .4 5
-2
F r e q u e n c y ( r a d /s e c ) : 0 .6 3 2 2

-3
3
0 .7 4
-4
4
0 .5 6 0 .4 2 0 .3 2 0 .2 2 0 .1 4 0 .0 7
-5
-4 - 3 .5 -3 - 2 .5 -2 - 1 .5 -1 - 0 .5 5 0

R e a l A x is

LGR de G(s) resaltanto el K para un zeta Respuesta al escalón unitario en lazo
aproximado de 0.707 cerrado de G(s) con K para zeta 0.707

UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Para diseñar un compensador con algoritmo solo Proporcional se deben considerar los
requerimientos y su aparición en el plano S y/o Z según sea el caso. Usualmente los
requerimientos se traducen en unos valores de zeta y wn en el mapa del plano respectivo.
Root Locus
5
5
0 .5 6 0 .4 2 0 .3 2 0 .2 2 0 .1 4 0 .0 7
4
4
0 .7 4
3
3

2
2 0 .9

1
1

0 S y s t e m : u n t it le d 1
G a in : 0 . 1 4
-1 P o le : - 0 . 4 4 5 + 0 . 4 4 7 i
D a m p in g : 0 . 7 0 5 1

0 .9 O v e r s h o o t ( % ) : 4 .3 9
-2
F r e q u e n c y ( r a d /s e c ) : 0 .6 3 1 2

-3
3
0 .7 4
-4
4
0 .5 6 0 .4 2 0 .3 2 0 .2 2 0 .1 4 0 .0 7
-5
-4 - 3 .5 -3 - 2 .5 -2 - 1 .5 -1 - 0 .5 5 0

R e a l A x is
LGR de 2*G(s) resaltanto el K para un zeta Respuesta al escalón unitario en lazo
aproximado de 0.707 cerrado de 2*G(s) con K para zeta 0.707

UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Condición de Angulo y de Magnitud:
Para un sistema de control de lazo cerrado siempre se cumple que:
R(s) Σ Gc(s) G(s) C(s) C  s Gc sG  s 
+ =G LC  s=
- R  s 1Gc  sG  s H  s
H(s)

Extrayendo la E.C. Del sistema en lazo cerrado se tiene:
1Gc sG  s  H  s=0

Considerando que s es una variable compleja que tiene magnitud y fase, para satisfacer la
E.C. Es necesario que se cumplan las siguientes dos condiciones en forma simultánea:
∢{Gc  sG  s H  s}=180º Condición de Angulo
∣Gc  sG  s H  s∣=1 Condición de Magnitud


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Condición de Angulo y de Magnitud:
Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como la de magnitud son las
raíces de la ecuación característica o los polos en lazo cerrado.

El lugar de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que solo satisfacen la
condición de ángulo.

La raíces de la ecuación característica que corresponden a un valor especifico de la
ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.

En resumen: La C.A. y la C.M. Se usarán para calcular los ceros y/o polos de los
controladores y compensadores a diseñar


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Diseño del Controlador PI:
Recordar que la FT de este controlador es:
(s + 1/Ti)
Gc(s) = K ---------------- -1/Ti
s

Sus parametros de ajuste son: K y Ti y solo aceptan valores reales positivos.

La estrategia de diseño es ubicar el cero lo más cerca del origen posible con la finalidad de
mantener el comportamiento del sistema lo más parecido al sistema original.

Para esto se usará como fórmula de cálculo:
1
--- = 0.1 PDD
Ti

Donde PDD es el polo dominante del sistema original.


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

(s + 1/Ti)
Gc(s) = K ---------------- -1/Ti
s

Sus parametros de ajuste son: K y Ti y solo aceptan valores reales positivos.

Una vez obtenido el cero, K se calcula con la misma metodología que en el caso del
controlador proporcional.


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Ejemplo: Sea la siguiente planta:
4
G(s) = ----------------
s+2

Se desea diseñar un controlador PI tal que el Tss = 0.1 seg
Solución: K (s + 1/Ti)
El controlador buscado es: Gc(s) = -------------------
s
1
--- = 0.1 PDD = 0.1 * 2 --> Ti = 5
Ti
LGR de G: Root Locus
LGR de Gc*Go t L o c u s
Ro
1 1

0 .8 0 .8

0 .6 0 .6

0 .4 0 .4

0 .2 0 .2

0 0

- 0 .2 - 0 .2

- 0 .4 - 0 .4

- 0 .6 - 0 .6

- 0 .8 - 0 .8

-1 -1
-4 - 3 .5 -3 - 2 .5 -2
R e a l A x is
- 1 .5 -1 - 0 .5 0 -6 -5 -4 -3
R e a l A x is
-2
-1 0

UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Para obtener el valor de K se debe escribir la E.C. Del sistema total en lazo cerrado,
esto es:
1+Gc(s)G(s)=0
Lo que resulta en:
s2 + (2+4K) s + 0.8K = 0
Si esto se iguala a la E.C. De un sistema de segundo orden:
s2 + 2zwn s + wn2 = 0
Por otro lado, como Tss=0.1seg se tiene:
Tss= 4/(zwn)
Con estas 3 ecuaciones se forma un sistema y se determina que K=19.5
Finalmente:
19.5 (s+0.2)
Gc(s) = --------------------
s


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

19.5 (s+0.2)
Gc(s) = --------------------
S
En la simulación se observa que no se alcanza exactamente el Tss deseado pero es una
muy buena aproximación. S te p R e s p o n s e
1

S y s t e m : u n t it le d 1
S e t t lin g T im e ( s e c ) : 0 . 6 4
0 .9

0 .8

0 .7

0 .6
A m p lit u d e

0 .5

0 .4

0 .3

0 .2

0 .1

0
0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5
T im e ( s e c )


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

En el caso de que la planta tenga un modelo de segundo orden con z>=1 entonces el
procedimiento cambia y se debe usar las condiciones de magnitud y de angulo.
Ejemplo:
Sea el sistema:
1
G(s) = ------------------
(s+2)(s+1)

Se desea que la respuesta en lazo cerrado sea determinada por un polo dominante en
s=-1+-1/2j
Solución:
K (s + 1/Ti)
El controlador buscado es: Gc(s) = ------------------- PDD
s
a1 -1/2
a3
La ubicación de las raíces queda:
a2 b
-2 -1 -1/Ti


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Para determinar la ubicación del cero se usa la C.A. De tal forma que el LGR pase por
PDD:
a1 + a2 + a3 + b = 180º
a1 = arctan(1/0.5) = 26.5651º
a2 = 90º
a3 = 90º + arctan(2/1) = 153.4349º
b = 180º – 273º = 93º
1 – 1/Ti = tan(b-90º)/2 => 1/Ti = 0.9738
Para determinar la K del controlador se usa la C.M.:
K db
------------ = 1
d1 d2 d3

db = 0.5006
d1 = 1.1180
d2 = 0.5
d4 = 1.1180 --> K = 2.2334

UNEFA 6º Semestre
31/01/10

El controlador queda: 2.2334 (s+0.9738)
Gc(s) = --------------------------------
s

Comparando G en L.A. Y GcG en L.C.:
S te p R e s p o n s e S te p R e s p o n s e
0 .3 5 1 .4

0 .3 1 .2


0 .2 5 1

0 .2 0 .8
A m p lit u d e
A m p lit u d e

0 .1 5 0 .6

0 .1 0 .4

0 .0 5 0 .2

0 0
0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 0 1 2 3 4 5 6
T im e ( s e c ) Prof. Camilo Duque - camilorene@gmail.com
T im e ( s e c )

UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Diseño del Controlador PD:
Gc(s) = K ( 1 + Td s ) = Kd ( s + 1/Td )
-1/Td
Sus parametros de ajuste son: K y Td y solo aceptan valores reales positivos.

El método general es para mejorar la respuesta transitoria.
A partir de las especificaciones de diseño se obtiene el PDD en lazo cerrado a
satisfacer. Para lograr que el LGR del sistema incluyendo el controlador pase por el PDD se
ubicará el cero de tal forma que atraiga las ramas del LGR al PDD.

Para fijar el cero, se impone la condición de angulo.
Para establecer la Kd se impone la condición de magnitud.


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Ejemplo: Sea la siguiente planta:
1
G(s) = ----------------------
s (s+2)(s+3)

Se desea diseñar un controlador PD tal que el essp <10% y los polos dominantes sean
s=-1+-2j
Solución:

PDD

Claramente el polo dominante deseado no pertenece al LGR pero el error siempre se
satisface por ser un sistema de tipo 1.

UNEFA 6º Semestre
31/01/10

El ángulo necesario a añadir será:
∠GPDD = - ∠sPDD - ∠(s+1)PDD - ∠(s+3)PDD
∠GPDD = - 116,56° - 90° - 45° = - 251,56°


UNEFA 6º Semestre
31/01/10


El controlador queda:
Gc(s) = 6 (s+1.667)


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Comparando G en L.A. Y GcG en L.C.:
S te p R e s p o n s e S te p R e s p o n s e
1 .4 1 .4

1 .2 1 .2
S y s t e m : u n t it le d 1 P e a k a m p lit u d e : 1 . 2 6
P e a k a m p lit u d e : 1 . 0 3 O v e r s h o o t ( % ) : 2 6 .4
O v e r s h o o t ( % ) : 2 . 6 1S y s t e m : u n t i t l e d 1 A t t im e ( s e c ) : 1 . 4 9
A t t im e ( s e c ) : 8 . 9 4 S e t t li n g T i m e ( s e c ) : 1 0 . 4 S y s t e m : u n t it le d 1
S e t t l i n g T im e ( s e c ) : 3 . 7 1
1 1

0 .8 0 .8

A m p lit u d e
A m p li t u d e

0 .6 0 .6

0 .4 0 .4

0 .2 0 .2

0 0
0 5 10 15 0 1 2 3 4 5 6
T im e ( s e c ) T im e ( s e c )


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Diseño del Controlador PID:

Para diseñar un controlador PID se debe diseñar un PD para cumplir las
especificaciones de respuesta transitoria y un PI para las de respuesta estacionaria.


UNEFA 6º Semestre
31/01/10

Diseño del Controlador de adelanto de Fase:
Procedimiento de diseño:
1) A partir de las especificaciones que debe cumplir el sistema a lazo cerrado, se
determina la localización de los polos dominantes deseados (P.D.D)
2) Se traza el lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado y se verifica si
los polos dominantes deseados pertenecen al LGR. Si no se dispone del LGR se verifica
utilizando la condición de ángulo.
3) Se calcula el ángulo necesario para que los polos dominantes deseados pertenezcan
al LGR. (Ф). Se ubica el cero del compensador abajo del polo dominante deseado y Se
ubica el polo de forma tal que se satisfaga la condición de ángulo αz - αp = Ф

4) Sea cual sea, el método de diseño, se debe calcular por condición de Módulo la
ganancia tal que, los polos dominantes deseados sean la solución de la ecuación
característica.

Diseño controladores LGR

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Diseño controladores LGR

Similar a Diseño controladores LGR (20)

Más de UNEFA

Más de UNEFA (20)

Último

Último (13)

Diseño controladores LGR