Carlos reynoso-etnogeometria

Etnogeometrías.
Patrones geométricos y
cultura
Carlos Reynoso
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
http://carlosreynoso.com.ar
* En construcción

Agenda
• Hipótesis de trabajo
• Estudios léxicos en etnogeometría
• Orígenes de la etnogeometría
• Hitos:
• Ron Eglash - African fractals
• Craig Kaplan – Diseños islámicos en estrella
• Paulus Gerdes – Etnogeometrías
• Etnogeometrías latinoamericanas
• Conclusiones y recursos

Hipótesis de trabajo (1/2)
• No hay casi geometrías rudimentarias en
sociedades simples.
– Tampoco abundan geometrías complejas
autóctonas en Occidente
– Nada comparable a geometrías de textiles,
cerámica y cestería precolombina.
• No se ha requerido notación ni léxico
matemático para desarrollar geometrías
complejas.
– Sí se lo requiere para su análisis.

Hipótesis de trabajo (2/2)
• La etnogeometría aun no se ha integrado a la ciencia
cognitiva o a la neurociencia social cognitiva.
– Hay una nueva geometría del pensamiento (Peter
Gärdenfors) y áreas conexas vinculadas a la cognición
espacial pero todavía son incipientes.
– Pocos estudios de etnogeometría en etnomatemáticas
• Está pendiente averiguar si existió o existe alguna
sociedad sin algún grado de diseño geométrico
– No aplica el caso Pirahã.
• No hay casi estudios sobre geometría como dominio
semántico (componencial) en ninguna cultura.
– Excepciones…

Estudios léxicos de etnogeometría
• Friedrich, Paul. 1970. “Shape in Grammar”. Language,
46(2/1): 379–407].
• Eco, Umberto. 1972. "A componential analysis of the
architectural sign /Column/". Semiotica, 5(2): 97-117.
• Goddard, Cliff. 1998. ”Universal Semantic Primes of Space –
A Lost Cause?”. Paper for the LAUD symposium, April 1998.
• Brotherson, Anna. 2008. “The ethnogeometry of the
Makasai (East Timor)”. En: Cliff Godard (editor), Cross-
linguistics semantics: explications, metalanguage, grammar.
Amsterdam/Filadelfia, John Benjamins, pp. 259-276.
• Positivamente, ya en el siglo XXI se admite que no hay un
léxico universal relativo a las formas geométricas, aunque
hay un núcleo importante de primitivas:
– LEJOS, CERCA, ENCIMA, DEBAJO, LADO, PARTE…

Etnogeometría
• Etnomatemáticas: Nomenclatura ligada a Ubiratan D’Ambrosio
(ca. 1975)
• Existen estudios etnomatemáticos muy anteriores
– Cole, Gay, Glick (1960s)
• Estudios de Sistemas numéricos, anteriores aun
– John Murdock – Notes on counting and measuring among the Eskimos of
Point Barrow (1890)
– Dixon & Kroeber – Numeral systems of the languages of California (1907)
• Etnogeometría: Nomenclatura atribuida a Paulus Gerdes (ca.
1975)
• Noción no utilizada por Ron Eglash (1999), quien menciona a
Gerdes pero no a D’Ambrosio
• Eventualmente usada para medición en contexto etnográfico y
para el comercio artístico de artesanías, mantas y biombos
– http://laetnomatematicaylaetnogeometria.blogspot.com.ar/
– https://www.bimago.se/rumsavdelare/ethno-geometry-room-dividers-
95686.html

Etnogeometrías tratadas en otras
páginas y trabajos
• Kolaṃ, sona y otras geometrías/gramáticas recursivas:
– http://carlosreynoso.com.ar/complejidad-gramatical-
sistemas-l/
– http://carlosreynoso.com.ar/diseno-artistico-y-
arquitectonico-con-gramaticas-complejas-2008/
• Autómatas celulares y juegos de mancala, owari, etc.:
– http://carlosreynoso.com.ar/automatas-celulares/
• Simetrías en la cultura:
– http://carlosreynoso.com.ar/categorias/simetria/
• Cognición espacial – Espacio y memoria:
– http://carlosreynoso.com.ar/espacio-memoria-y-
territorio/

Demarcación
• Buckminster Fuller y E. J. Applewhite. 1975. Synergetics. Explorations
in the geometry of thinking. Londres, Macmillan.
• Modelos geométricos del espacio social
– De Voronoi a Pierre Bordieu
• Peter Gärdenfors – Conceptual spaces, the geometry of thought (2000)
• Doreen Massey – For space (2005) – Geometría del poder
– Falta de operacionalización
– Severos problemas de tipificación lógica y misplaced concreteness (“la
sociedad construye el espacio…”, etc)
• Geometrías del poder latinoamericanas y pos-estructuralistas
– El retorno de la metáfora
• Valtteri Viljanen – Spinoza’s Geometry of power (2011)
– Valor agregado: No se basa en Massey ni en Deleuze, sino en Baruch
Spinoza

Fractales africanos
• Rutgers University
Press, 1999

African fractals
Paulus Gerdes, Geometry from Africa, 1999

African fractals
* Georg Gerster

African fractals
• Georg Gerster, Flugbilder 133 aus der Luft gegriffene Fundsachen

Jean-Paul Bourdier
• https://africa.berkeley.edu/people/jean-paul-bourdier

Culturally situated design tools

African fractals page
• https://csdt.rpi.edu/culture/africanfractals/architecture.html

Craig Kaplan
• http://www.cgl.uwaterloo.ca/csk/

Simetrías islámicas en estrella

Daud Sutton (2007)
• Simetría como proceso constructivo (1/3)

Daud Sutton (2007)

Personajes
• http://professorubiratandambrosio.blogspot.com.ar/

Paulus Gerdes [1952-2014]
• Edición de 2014, edición de origen
1974, original de 1881.
• Basado en Manuscritos matemáticos
de Marx
• Versión en portugués (1987) y bengalí
(1994) [ca. 140 páginas, cálculo
diferencial].
• Imperdible para comprender
estructura algorítmica de la dialéctica
y la negación de la negación.
• Disponible versión maoísta en inglés:
https://www.marxists.org/archive/ma
rx/works/download/Marx_Mathemat
ical_Manuscripts_1881.pdf.
• Fundamental para comprender parte
de las matemáticas soviéticas y los
conceptos matemáticos
fundamentales de la dinámica, el
límite y lo infinitesimal.

Etnogeometría
• Edición 2013, primera
edición e inglés en 2003,
originales en alemán y
portugués en 1985.
• Prólogo de Dirk Struik con
referencia a Donald Crowe,
quien caracterizó como
‘etnogeometría’ las
investigaciones de Gerdes
en un review de 1987 en
Mathematical Intelligencer.
• Minuciosa lectura crítica de
manuscritos antiguos.

Etnogeometrías africanas
• The
Mathematical
Association of
America, 1999

• Universidade
Pedagógica
Maputo,
Mozambique,
2007
• Reino de Lunda,
1665-1887
• Vecino del reino de
Luba, 1585-1889

Sona de los Cokwe* de Angola
• Similares a dibujos de umbrales Tamil
* Chokwe, Tschokwe – Bantú – Se liberaron de los Lunda y se dedicaron al tráfico y posesión de esclavos

Poliominós
• Conjuntos conectados de cuadrados de igual tamaño
– Pueden desarrollarse a partir de curvas en espejo
• Cokwe de Angola (región Lunda, s/Gerdes), diseño
de crestas en Japón (s/Adachi), diseño de celdas en
China (s/Dye), Tamil del sur de la India (s/Layard),
ornamentaciones egipcias (s/Flinders Petrie*),
símbolos auspiciosos en Bhutan (s/Gibbs)

Layard – Threshold and tattoo design

Artículo sobre poliominós
• https://en.wikipedia.org/wiki/Polyomino

Definición clásica
• Princeton University Press,
1994 [Scribner, 1953]
• Se remonta a la antigüedad
– Observación s/12 pentominós en
el Juego del Go
• Solomon W. Golomb [1932-
2016]

Número restringido de posibilidades
• Utilizar la nomenclatura establecida en geometría

Pentoplus
• Harmut Brown Pentomino Page
– http://www.pmthomas.ch/hardy/PentoPlus/PentoPlus.aspx

Geometría Sona de Angola
Tres volúmenes (2014)

Gráficos geométricos
• Marcia Ascher – Graphs in cultures
• Huylenbrouck – Mathematics in (central) Africa

Gráficos geométricos
• Grafos eulerianos en Malekula (Ascher 1988 I)

Cestería de Mozambique (2007)

Etnogeometrías africanas:
Cestería
• eBook
• © Paulus Gerdes,
2007
• http://lulu.com

• Edição:
• Centro de Estudos
Moçambicanos e de
Etnociência (CEMEC),
Universidade
Pedagógica - Av.
Salvador Allende nº
366, 1º andar -
Maputo,
Moçambique, 1993

Etnogeometrías latinoamericanas
• Ministerio de Educación,
Perú, 2007.
• Anexos 1: Cestería,
etnomatemática e
historia de la
matemática
• Anexos 2: Aritmética y
ornamentación
geométrica: el análisis
de algunos cestos de
indios del Brasil

Caso extremo: Grafos adinkra
• Robert Sutherland Rattray. 1927.
Religion and Art in Ashanti, Oxford, p.
265.
• 1. Gyawu Atiko, lit. the back of Gyawu's head. Gyawu was a
sub-chief of Bantama who at the annual Odwira ceremony
is said to have had his hair shaved in this fashion. 2. Akoma
ntoaso, lit. the joined hearts. 3. Epa, handcuffs. See also No.
16. 4. Nkyimkyim, the twisted pattern. 5. Nsirewa, cowries.
6. Nsa, from a design of this name found on nsa cloths. 7.
Mpuannum, lit. five tufts (of hair). 8. Duafe. the wooden
comb. 9. Nkuruma kese, lit. dried okros. 10. Aya, the fern;
the word also means ' I am not afraid of you ', ' I am
independent of you' and the wearer may imply this by
wearing it. 11. Aban, a two-storied house, a castle; this
design was formerly worn by the King of Ashanti alone. 12.
Nkotimsefuopua, certain attendants on the Queen Mother
who dressed their hair in this fashion. It is really a variation
of the swastika. 13 and 14 Both called Sankofa, lit. turn back
and fetch it. See also Fig. 149 , No. 27. 15. Kuntinkantan, lit.
bent and spread out ; nkuntinkantan is used in the sense of '
do not boast, do not be arrogant '. 16. Epa, handcuffs, same
as No. 3.

Grafos adinkra
• Tela mortuoria adinkra
recolectada por Thomas
Edward Bowdich en 1817.
• Bowdich obtuvo esta tela de
algodón en Kumasi (Ghana
sur-central).
• Los patrones se imprimieron
usando sellos de calabaza y
tintura vegetal.
• Ejemplo más antiguo de arte
adinkra. Quince símbolos
estampados, incluyendo
nsroma (estrellas), dono
ntoasuo (tambores dobles
dono) y diamantes. Museo
Británico.

Grafos Adinkra
• Gates – Symbols of power. Representación de
sistemas de ecuaciones super-diferenciales

Grafos adinkra
• Gates – Symbols
of power
• Complex ideas,
complex shapes
Adinkras – geometric
objects that encode
mathematical
relationships between
supersymmetric
particles – are named
after symbols that
represent wise
sayings in West
African culture.
• This adinkra is called
“nea onnim no sua a,
ohu”, which translates
as “he who does not
know can become
knowledgeable
• through learning”.

América Latina:
Estudios pendientes
• Simetrías geométricas en USA
– Bien procesadas por Washburn & Rowe
• Arte geométrico de México y América Central
– Aceptablemente relevado pero sin sistematizar el análisis
• Geometrías andinas en cerámicas y textiles
– Idem
• Cestería y cerámica sudamericana en general,
amazónica en particular
– Relevamiento fragmentario, análisis inadecuado a
excepción de cestería de Brasil por Gerdes
• Cestería Yamana
– Relevamiento insuficiente, análisis eventual y no
sistemático

Etnogeometría latinoamericana
• https://prezi.com/uhzqttzjbeo9/geometria-precolombina/

Cestería Yamana
• http://chileprecolombino.cl/exposicion-chile-15-mil-anos/tejer-con-juncos/

Cestería Yamana
• http://www.museomartingusinde.cl/sitio/Contenido/Galerias
/38255:Trenzado-en-la-cesteria-yagan

Problemáticas (1/2)
• No hay cestería en toda la costa de Buenos Aires ni en
las provincias patagónicas argentinas, norte y este de
Tierra del Fuego incluida.
• El método de impermeabilización de los Yámana es
análogo al de Amazonia.
• No se ha establecido el carácter endógeno o exógeno
de la práctica, ni su profundidad temporal, ni su
afinidad con prácticas vecinas.
• Las técnicas de trama, trenzado, composición,
curvatura y ajuste no han sido ni siquiera mal
descriptas desde el punto de vista geométrico.
– Ref.: P. Gerdes - Cestería de los Bora, African basketry, etc

Problemáticas (2/2)
• En Argentina la descripción geométrica no se atiene a los protocolos
descriptivos elaborados en los siglos XX y XXI.
– La investigación “simbólica” está OK pero no deslinda las pautas
específicas de la geometría de cada pueblo.
• Tampoco se han configurado las descripciones previendo el armado
de un esquema comparativo.
– Comenzando por el uso de una nomenclatura adecuada.
• No ha habido modelos geométricos de transformación que
organizaran las secuencias cronológicas.
– No se sabe si los procesos de cambio son de unos pocos tipos o si varían
cada vez.
• En Argentina, el conocimiento (etno)geométrico (emic) no ha sido
objeto de relevamiento.
• La etnogeometría (y la etnomatemática en general) no figuran en los
planes de grado y posgrado ni en la curricula de educación escolar.

Recursos - Simetrías
• http://carlosreynoso.com.ar/analisis-de-simtrias/

Recursos - Simetrías
• http://www.cgl.uwaterloo.ca/csk/projects/starpatterns/

Recursos – Geometrías recursivas
• http://carlosreynoso.com.ar/complejidad-gramatical-sistemas-l/

Recursos - Adinkra
• https://en.wikipedia.org/wiki/Adinkra_symbols

Recursos - Adinkra
• https://en.wikipedia.org/wiki/Adinkra_symbols_(physics)

Recursos
• http://www.britishmuseum.org/research/collection_online/se
arch.aspx?searchText=adinkra&place=38711

Conclusiones (1/4)
• Carácter específicamente social, colectivo, aprendido
y cultural de la práctica geométrica.
• No es una capacidad innata, ni un don del individuo,
ni una peculiaridad del genio, ni producto de una GU.
• No hay especies que lo hagan mejor.
– Telas de araña como diseño óptimo
– Panales de abejas, idem
• Conjetura – Marco Terencio Varrón (36 aC) o Papo de Alejandría (290-
350)
• Teorema – Thomas Hales (2001)
• Las geometrías “naturales” no se asemejan en nada a
las geometrías culturales estimadas “primitivas”.

Conclusiones (2/4)
• La geometría deductiva es a la práctica geométrica lo que la
musicología es a la música.
– En geometría, el mismo nombre se asigna a la teoría y a la
práctica.
• Origen no-occidental de los principales principios
geométricos complejos.
– Fractales, simetrías, poliominós, sistemas-l, kolaṃs, sona, curvas
espejadas, geometrías en textiles, cestería y cerámica, grafos
eulerianos en Africa y Oceanía, embaldosados [tilings],
segmento áureo, triángulos de Sierpiński y teorema de Pitágoras
en todas partes.
• Geometrías idénticas, geografías discontinuas, historias
irrecuperables.
• Sólo con asistencia de computadoras se han vuelto
tratables problemas geométricos que en otras sociedades
han sido rutina.

Conclusiones (3/4)
• En América Latina, algunas áreas y tradiciones
etnográficas han sido bien estudiadas (v. gr. cestería
en Brasil).
• La mayoría sólo ha sido objeto de documentación
fotográfica, diagramación sin nomenclatura y
descripción subestándar.
• Ninguna referencia a ‘etnogeometría’ anterior a
Donald Crowe (1987).
– 20 años después del colapso del análisis componencial.
• La concepción de una sistematización cognitiva
viable en etnogeometría está siendo minada por
la moda antropológica dominante.

Conclusiones (4/4)
• Ningún sistema de simetrías ha sido aplicado a casos o
mencionado como tal por investigadores
latinoamericanos.
– Ninguna pieza etnográfica o arqueológica ha sido asignada
a una clase de isomorfismo según alguna notación
simétrica formal.
• Igual que en el caso del lenguaje, no hay correlación
entre complejidad geométrica y escritura, complejidad
cultural, complejidad tecnológica, modalidad
ontológica o lo que fuere.
• Salvo excepciones esporádicas, resta analizar y
describir de manera adecuada (emic o etic) la totalidad
de los sistemas (etno)geométricos precolombinos.

¿Preguntas?
Carlos Reynoso
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