¿Qué era un irracional para un matemático griego clásico?

Bienvenida Portada Fundamentos Razón áurea Razón y proporción Aproximación De los griegos a Dedekind
La obra de Euclides perdurará por mucho tiempo después de que
todos los libros de texto del presente sean superados y olvidados.
Es uno de los más nobles monumentos de la antigüedad; ningún
matemático digno de su nombre puede permitirse el lujo de
desconocer a Euclides; el Euclides verdadero, distinto de cualquiera
de las versiones revisadas o reescritas que sirven para escolares o
ingenieros. Pero, para conocer a Euclides es necesario conocer su
lenguaje y —hasta donde pueda alcanzarse— la historia de los
“elementos” que él coleccionó en su tratado inmortal.
Thomas L. Heath
Douglas Jiménez UNEXPO. Vicerrectorado de Barquisimetodougjim@cantv.net; djimenez@bqto.unexpo.edu.ve
¿Qué era un irracional para un matemático griego antiguo?

¿Qué era un irracional para un matemático
griego antiguo?
Douglas Jiménez
UNEXPO. Vicerrectorado de Barquisimeto
dougjim@cantv.net; djimenez@bqto.unexpo.edu.ve
28 de Noviembre de 2006

De Pit´agoras

De Pit´agoras a Euclides

¿Tienen A y B medida com´un?

A y B están en la razón 14 : 5
Concepto de proporción: A : B :: 14 : 5

¿Son conmensurables la diagonal y el
lado de un cuadrado?

Inconmensurabilidad por antifairesis

Inconmensurabilidad por antifairesis
FC = AD − EC

División en extrema y media razón
La estrella pitagórica

División en extrema y media razón
La sección áurea: AC : AD :: AD : DC

Inconmensurabilidad en la secci´on
´aurea
AC : AD :: AD : DC

Inconmensurabilidad en la secci´on
´aurea
AC : AD :: AD : DC
Si AE = DC entonces AD : AE :: AE : ED

¿Qu´e es una raz´on entre
inconmensurables?
D : L :: d : l

Construcción del concepto de razón:
D : L
Def. V.3. Una razón es determinada relación con respecto a su tamaño
entre dos magnitudes homogéneas.

Construcción del concepto de razón:
D : L
Def. V.3. Una razón es determinada relación con respecto a su tamaño
entre dos magnitudes homogéneas.
Def. V.4. Se dice que guardan razón entre s´ı las magnitudes que, al
multiplicarse, pueden exceder una a otra.

Construcci´on del concepto de
“misma raz´on”: D : L :: d : l

Def. V.5. Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con
una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera
equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la
par o resulten inferiores a la par, que cualquiera equimúltiplos de la
segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el orden
correspondiente.

Def. V.5. Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con
una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera
equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la
par o resulten inferiores a la par, que cualquiera equimúltiplos de la
segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el orden
correspondiente.
Def. V.6. Llámense proporcionales las magnitudes que guardan la misma
razón

Orden entre razones

Orden entre razones
Def. V.7. Entre los equimúltiplos, cuando el múltiplo de la primera
excede al múltiplo de la segunda pero el múltiplo de la tercera no excede
al múltiplo de la cuarta, entonces se dice que la primera guarda con la
segunda una razón mayor que la tercera con la cuarta.

Concepto de “misma raz´on”
(nomenclatura moderna)
D
L
=
d
l
si y s´olo si dados dos enteros cualesquiera m, n se tiene que



mD < nL implica que md < nl
mD = nL implica que md = nl
mD > nL implica que md > nl

Concepto de “raz´on mayor”
(nomenclatura moderna)
D
L
>
d
l
si y s´olo si es posible encontrar dos enteros m, n tales que
mD > nL pero md ≤ nl

Separaci´on de razones de enteros
D : L separa a las razones de enteros m : n en dos partes
La parte Y en la que D : L es mayor que cualquier m : n
La parte X en la que D : L no es mayor que cualquier m : n

igualmente
d : l separa a las razones de enteros m : n en dos partes
La parte y en la que d : l es mayor que cualquier m : n
La parte x en la que d : l no es mayor que cualquier m : n

igualmente
d : l separa a las razones de enteros m : n en dos partes
La parte y en la que d : l es mayor que cualquier m : n
La parte x en la que d : l no es mayor que cualquier m : n
Si D : L :: d : l entonces Y es exactamente y, y X es exactamente
x.

“Entonces, siempre que nos encontremos con una cortadura
(A1, A2) que no haya sido producida por ningún número racional,
crearemos un nuevo número, un número irracional α, al que
consideraremos completamente definido por esta cortadura
(A1, A2); diremos que el número α corresponde a esta cortadura o
que la produce.”
Essays on the theory of numbers (I. Continuity and irrational
numbers. II. The nature and meaning of numbers). Richard
Dedekind. Dover Publications Inc. New York. 1963. Pág. 15.

Nuestras vidas son los r´ıos
que van a dar en la mar
que es el morir;
all´ı van los se˜nor´ıos
derechos a se acabar
e consumir.
Jorge Manrique, poeta renacentista espa˜nol.

¿Qué era un irracional para un matemático griego clásico?

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