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1. UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y
ELÉCTRICA
“MODELADO Y CONTROL DE UN SISTEMA
DE SUSPENSIÓN AUTOMOTRIZ”
TESIS
Que para obtener el título de:
INGENIERO MECÁNICO ELÉCTRICISTA
PRESENTA:
SARAHÍ FERNNÁNDEZ SÁNCHEZ
DIRECTOR:
DR. ERVIN JESÚS ALVAREZ SÁNCHEZ
XALAPA, VER. MARZO 2014

3. Dedicatorias:
A Dios por ser mi mejor amigo, mi fortaleza, por su amor, por escucharme
y darme el entusiasmo necesario para seguir adelante con mis estudios, por
darme todo lo que tengo y nunca dejarme caer.
Al cumplir esta meta tan importante, quiero dedicar este triunfo a mis
padres Tomás Fernández Tejeda y Francisca Sánchez Ortiz, las personas
más importantes en mi vida, quienes han estado conmigo en todo momento.
Gracias por todo, por darme la mejor herencia que un hijo puede recibir
como lo es el estudio, por creer en mí, los quiero y este trabajo es para
ustedes que me han dado todo, es una mínima recompensa a sus grandes
esfuerzos y sacrificios.
A mis hermanos por su cariño y su apoyo brindado durante todo el tiempo,
los quiero mucho y a pesar de las diferencias que algunas veces tenemos, son
los mejores hermanos.
A mis padrinos, por estar a mi lado, brindarme sus consejos y sus palabras,
y formar parte de mis triunfos, pero sobre todo por estar junto a mí en los
momentos más difíciles de mi vida.
A mis abuelitos Servando Sánchez, Maurilia Ortiz y Juana Tejeda que son
parte importante en mi vida, gracias por sus consejos, por sus palabras y por
estar a mi lado siempre.

4. Y como olvidar a mi abuelito Don Taurino Fernández que han sido el
motor de la familia, el mejor ejemplo en mi vida, siendo un hombre de
principios y virtudes, que nunca se dio por vencido para lograr sus
objetivos, a pesar de lo fuerte que fueran las adversidades, es por ello que a
pesar de que no está físicamente conmigo, espiritualmente está en todo
momento.
Familia son formidables y únicos, la unidad que tenemos no es casualidad,
todas las enseñanzas y ejemplos que recibí de ustedes me serán útiles por el
resto de mi vida.
Mis amigos, los que han pasado y los que se han quedado, porque todos
ustedes han sido tantas veces parte aguas de mi vida, quienes han marcado
mi vida de alguna forma, en especial a mis amigos del Laboratorio de
Tribología, con quienes eh compartido grandes momentos, que serán
inolvidables para mí persona. Así como a mis amigos que sin estar presentes
durante la realización de éste trabajo, siempre me han brindado su apoyo
incondicional.
Ustedes que han estado presentes en mi vida, logrando hacer de ella
momentos inolvidables, estando en las buenas y en las malas, acompañando
mis logros y mis fracasos, pero sobre todo, siendo parte de mis triunfos.
Los quiero y son lo mejor que me ha sucedido en la vida.

5. Agradecimientos:
El hombre más sabio, no es el que más ha creado; sino a aquel que sabe
reconocer a su prójimo, el que brinda su apoyo incondicional en su largo
sendero lleno de obstáculos y virtudes, es por eso, que en esta hoja quiero
dejar impreso mis sentimientos de gratitud y estima a aquellas personas que
estuvieron compartiendo sus sabios conocimientos, compartiendo
momentos amenos o tan solo brindándome un consejo, en especial a mis
padres y a mis maestros que no midieron esfuerzo alguno, ni sacrificio para
el presente trabajo llegue a su feliz término.
A todos los ingenieros de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de
la Universidad Veracruzana, por la impartición de sus conocimientos
durante mi tiempo de preparación; al Laboratorio de Tribología y al
Laboratorio de Termofluidos, lugares donde me brindaron un espacio para
realizar mi trabajo, y en especial a quien dirigió este trabajo. Muy
sinceramente y con todo el respeto que se merece por su valiosa gentileza de
brindarme todo su apoyo y confianza, de ser maestro, guía y amigo, a mi
querido Director de Tesis Dr. Ervin Jesús Álvarez Sánchez, por sus sabios
consejos, asesoría y enseña desinteresada de sus conocimientos, ya que de no
ser así, no hubiera sido posible la culminación satisfactoria de este trabajo.
Sarahí Fernández Sánchez

6. “Hay una fuerza motriz más poderosa
que el vapor, la electricidad y la energía atómica:
La Voluntad”
(Albert Einstein)

7. Indice General
i. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA................................................................................ 17
ii. JUSTIFICACION..................................................................................................................... 18
iii. OBJETIVOS GENERAL........................................................................................................ 18
ii.i OBJETIVOS ESPECÍFICOS............................................................................................... 18
iv. HIPÓTESIS.............................................................................................................................. 18
DINÁMICA DEL AUTOMÓVIL................................................................................................... 20
1.1 Breve historia de la suspensión automotriz y su dinámica ....................................................... 20
1.2 Elementos que conforman a un sistema de suspensión automotriz ........................................ 24
1.2.1 Elementos elásticos.......................................................................................................... 25
1.2.2 Elementos de amortiguación............................................................................................ 28
1.2.3 Otros tipos de elementos.................................................................................................. 32
1.3 Tipos de suspensiones ............................................................................................................. 33
1.3.2 De eje rígido...................................................................................................................... 34
1.2.1 Semi-independiente.......................................................................................................... 34
1.3.3 Independiente................................................................................................................... 35
1.5 Conclusión Capítulo I............................................................................................................... 40
MODELADO MATEMÁTICO...................................................................................................... 43
2.1 Algunos modelos existentes de los sistemas de suspensión automotriz................................. 43
2.1.1 Comportamiento dinámico de ¼ de vehículo utilizando la técnica de Bond Graph......... 43
2.2 El modelado matemático ........................................................................................................ 54
2.3 Análisis del sistema de suspensión Automotriz mediante Euler-Lagrange............................. 58
2.4 El modelado en el espacio de estados..................................................................................... 65
2.5 Aplicación de Ecuaciones de Variables de Estado al Sistema Automotriz............................... 66
2.6 Conclusión Capítulo II.............................................................................................................. 67
DISEÑO DE CONTROLADORES................................................................................................ 70
3.1 Breve descripción de los controladores y su diseño ................................................................ 70
3.1.1 Control proporcional (P) ................................................................................................. 71

8. 3.1.2 Control Integral (I)........................................................................................................... 72
3.1.3 Control Derivativo (D)..................................................................................................... 73
3.2 Combinaciones de los controles .............................................................................................. 73
3.2.1 Control proporcional-integral (PI)................................................................................. 74
3.2.2 Control proporcional-derivativo (PD)............................................................................ 74
3.2.3 Control proporcional-integral-derivativo (PID)............................................................. 75
3.3 Diseño del controlador para el Sistema Automotriz ............................................................... 76
3.4 Conclusión Capitulo III............................................................................................................. 80
SIMULACIONES............................................................................................................................. 82
4.1 Simulaciones del sistema sin controlador ............................................................................... 83
4.4 Simulaciones del sistema con controlador.............................................................................. 87
4.5 Concusión Capítulo IV.............................................................................................................. 96
CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 98
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................ 102

9. Indice de Figuras
Figura 1.1.- Oscilaciones en el automóvil (Mecánica Virtual)........................................................................ 22
Figura 1.2 Cuarta parte del sistema de suspensión automotriz (Mecánica Virtual)........................................ 24
Figura 1.3 Resortes o muelles helicoidales...................................................................................................... 25
Figura 1.4 Ballesta........................................................................................................................................... 26
Figura 1.5 Barra de torsión ............................................................................................................................ 27
Figura 1.6 Amortiguador hidráulico (Urbieta)................................................................................................ 28
Figura 1.7 a) Flujo de aceite a través del paso permanente b)Flujo de aceite a través de las válvulas de
apertura por presión (Urbieta) ........................................................................................................................ 30
Figura 1.8 Amortiguador de gas (Urbieta) ...................................................................................................... 31
Figura 1.9 Principio de funcionamiento de la barra estabilizadora (Mula Vivero, 2009) .............................. 32
Figura 1.10 Conjunto Barra estabilizadora – Suspensión (Mecánica Virtual)................................................ 33
Figura 1.11 Suspensión rígida (Mecánica Virtual).......................................................................................... 34
Figura 1.12 Suspensión semi-independiente- Esquema de una suspensión De Dion (Mecánica Virtual). ...... 35
Figura 1.13 Suspensión independiente (Mecánica Virtual) ............................................................................. 35
Figura 1.14 Esquema de una suspensión de eje oscilante (Mecánica Virtual)................................................ 37
Figura 1.15 Suspensión de brazos tirados (Mecánica Virtual)........................................................................ 37
Figura 1.16 Esquema de un sistema de suspensión McPherson (AutoCosmos.com)....................................... 38
Figura 1.17 Suspensión de paralelogramo deformable (PuroTuning.com)..................................................... 39
Figura 1.18 Esquema de una suspensión multibrazo delantera (Mecánica Virtual) ....................................... 40
Figura 2.1 Modelo aproximado del sistema..................................................................................................... 44
Figura 2.2 Modelo de la rueda......................................................................................................................... 44
Figura 2.3 Modelo de la suspensión. ............................................................................................................... 45
Figura 2.4 Diagrama Bond Graph de la rueda............................................................................................... 45
Figura 2.5 Diagrama Bond Graph de la suspensión y el chasis. ..................................................................... 45
Figura 2.6 Diagrama Bond Graph y sus ecuaciones. ...................................................................................... 47
Figura 2.7 Bond Graph resumen de flujos y esfuerzos..................................................................................... 48
Figura 2.9 Bond Graph de cuarto de vehículo considerando ángulo de caída................................................ 50
Figura 2.10 Representación del sistema de suspensión a analizar .................................................................. 59
Figura 4.1 Entorno del software Simnon. A) sin control. B) con control......................................................... 83
Figura 4.2 Desplazamiento de la perturbación al sistema............................................................................... 84
Figura 4.3 Comportamiento de la masa no suspendida................................................................................... 85
Figura 4.5 Desplazamiento de la masa suspendida ......................................................................................... 86
Figura 4.6 Aceleración de la masa suspendida................................................................................................ 87
Figura 4.7 Desplazamiento de la perturbación................................................................................................ 92
Figura 4.8 Desplazamiento de la masa no suspendida .................................................................................... 93
Figura 4.9 Comparación de los desplazamientos ............................................................................................ 94
Figura 4.10 Desplazamiento de la masa suspendida ....................................................................................... 94
Figura 4.11 Aceleración que presenta la masa suspendida............................................................................. 95
Figura 4.12 Comparación de la respuesta en el desplazamiento(antes y después) de la aplicación del
controlador....................................................................................................................................................... 99

10. Figura 4.13 Comparación de la respuesta en la aceleración (antes y después) de la aplicación del
controlador....................................................................................................................................................... 99

11. Introducción

12. INTRODUCCIÓN
Como se sabe los automóviles son máquinas complejas que están en constante desarrollo,
diseñados para el uso en carreteras, existe un gran número de fabricantes, marcas y modelos
en la actualidad.
Los automóviles, tienen sus orígenes a principios de 1800, a partir de entonces han sufrido
grandes modificaciones e innovaciones en los sistemas que lo componen. Y deben enfrentar
dos desafíos fundamentales:
1) Aumentar la seguridad de los ocupantes para reducir así el número de víctimas de
los accidentes de tráfico.
2) Aumentar su eficiencia para reducir el consumo de recursos y la contaminación.
Si bien en un principio no se tenía un método definido para afrontar los desafíos
mencionados, eventualmente con el avance de la ciencia se comenzaron a emplear modelos
matemáticos y posteriormente simulaciones por computadora.
Los modelos matemáticos tienen gran importancia en el desarrollo de sistemas complejos.
En este trabajo se hace el modelado de un sistema de suspensión automotriz, abarca tanto
aspectos cinemáticos como dinámicos. Se involucra también el análisis del modelado que
describe al sistema, para realizar el diseño de un sistema de control que reduzca las
oscilaciones y por consecuente las vibraciones generadas por la interacción del sistema con
el terreno, con el cual se tiene contacto, debido a que las vibraciones son dañinas para la
vida útil de los elementos que conforman al vehículo, así como para los pasajeros en
términos de seguridad y confort.
La intención de la generación de este controlador es proporcionar una mayor seguridad en
el pasajero y así mismo que los automóviles tengan una mejor condición de operación
como son: estabilidad y confort, para lo cual los vehículos actualmente cuentan con un
sistemas de suspensión, que permite reducir los efectos que se tienen por las irregularidades
del terreno, el objetivo de este sistema es evitar la trasmisión de oscilaciones hacia los
pasajeros.

13. El análisis se realiza basado en la simulación del comportamiento utilizando la plataforma
Simnon la cual permite la ejecución de simulaciones y posteriormente el estudio del
comportamiento del vehículo.
La simulación por computadora comenzó a mediados de los años setenta. Durante este
periodo su desarrollo y aplicación fueron liderados por los procesos de investigación en
ingeniería aeronáutica; en esta área del conocimiento trabajaron los pioneros en el
desarrollo y mejora de los métodos de análisis numéricos. Es una técnica numérica para
conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos
tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el
comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos
periodos de tiempo.
Para llevar a cabo una simulación se requieren tres componentes básicos (Julio Enrique
Duarte, 2005):
 La base teórica que permite formular el problema por resolver en función de
modelos que permitan hacer un análisis matemático y entender el problema desde
una perspectiva abstracta. En modelos reales, este componente dejará observar
aspectos cuantitativos del problema pero difícilmente, excepto en casos sencillos. Es
por esto que las herramientas de cálculo numérico son de gran ayuda.
 Los algoritmos que facilitan desarrollar una secuencia de pasos lógicos que serán
ejecutados por la computadora para la solución del modelo y el estudio más
minucioso del problema.
 El conocimiento de lenguajes y técnicas de programación permitirán efectuar las
simulaciones y, a partir de sus resultados, iniciar un proceso iterativo para
perfeccionar el modelo a medida que se descubren nuevos aspectos del problema
real.
La importancia de la simulación en la Ingeniería es que a través de un estudio de
simulación, se puede estudiar el efecto de cambios internos y externos del sistema, al hacer
alteraciones en el modelo del sistema y observando los efectos de esas alteraciones en el

14. comportamiento del mismo. Una observación detallada del sistema que se está simulando
puede conducir a un mejor entendimiento del sistema y por consiguiente a sugerir
estrategias que mejoren la operación y eficiencia del sistema.
La simulación de sistemas complejos puede ayudar a entender mejor la operación del
sistema, a detectar las variables más importantes que interactúan en el sistema y a entender
mejor las interrelaciones entre estas variables. La técnica de simulación puede ser utilizada
para experimentar con nuevas situaciones, sobre las cuales tiene poca o ninguna
información. A través de esta experimentación se puede anticipar mejor a posibles
resultados no previstos.
En el área de control automático integra la simulación digital como una herramienta
poderosa para el estudio del comportamiento dinámico de los sistemas tanto en el dominio
del tiempo como en la frecuencia, para la optimización de controladores, el diseño de
compensadores, etc. La necesidad de herramientas de simulación en esta área ha originado
el desarrollo de software, como por ejemplo SIMNON. La simulación puede entenderse
como la utilización del computador para la reproducción aproximada y el estudio de un
fenómeno (físico, químico, biológico, económico, psicológico, sociológico, etc.) (Wachuka,
1994)
Las simulaciones o prácticas virtuales, tradicionalmente se utilizan como alternativa en
casos de que algunas prácticas requieran instalaciones muy costosas o con un grado de
peligrosidad determinado. En la actualidad los softwares disponibles, así como los
ambientes amistosos y comprensibles logrados y la obtención de información con un grado
de confiabilidad adecuado, han hecho posible las disciplinas como el control automático.
Las áreas de aplicación de la simulación son muy amplias, numerosas y diversas, la
simulación se utiliza en la etapa de diseño para auxiliar en el logro o mejoramiento de un
proceso o diseño o bien a un sistema ya existente para explorar algunas modificaciones.
Las simulaciones se hacen con el propósito de obtener el mayor conocimiento posible sobre
un proceso o sistema, empleando un modelo matemático que reúna las principales variables
que intervienen en él, resuelto por la computadora.

15. Como cualquier método, tiene ventajas y desventajas (Julio Enrique Duarte, 2005)
Las ventajas de las simulaciones son:
 Permite el estudio del sistema completo, independientemente de su complejidad, sin
necesidad de disponer de los componentes físicos.
 Permite el modelado físico completo; es decir, pueden estudiarse fenómenos
térmicos, mecánicos, electromagnéticos y fluídicos.
 Permite hacer el análisis de efectos acoplados, así como estudios de no linealidad.
 Permite realizar análisis de sensibilidad, es decir, estudio el efecto de pequeñas
variaciones de los parámetros y propiedades de los materiales sobre el
comportamiento del sistema.
 Posibilidad la optimización de los parámetros de diseño y rendimiento del sistema,
con base en los criterios de diseño establecidos.
 Permite el estudio de variaciones probabilísticas y estadísticas del diseño.
 El grado de automatismo de los programas es cada día mayor, minimizando la
intervención del usuario. Además permite la interface con otros programas.
 La presentación gráfica de los resultados facilita bastante la comprensión del
problema y la optimización del objeto de estudio.
Todo lo anterior unido al bajo costo de los programas y equipos de cómputo requeridos,
convierte a las herramientas de simulación en elementos indispensables para la
investigación y desarrollo de soluciones novedosas en temáticas interdisciplinarias, en las
cuales sería muy fácil trabajar de otra manera.
Pase a las grandes bondades de la simulación, esta debe emplearse con precaución, dado
que presenta limitaciones propias de la metodología en la cual está basada. Como
principales desventajas pueden citarse las siguientes:
 La solución del problema implica elaborar un modelo simplificado en el cual
pueden omitirse variables simplificado en el cual pueden omitirse variables y
parámetros importantes a la hora de evaluar el comportamiento global del sistema.

16.  El resultado de una simulación es una aproximación a la realidad, sin embargo, la
verificación o ‘prueba de fuego’ del modelo se obtendrá al comparar sus resultados
con los del sistema o proceso real.
 Cuando la simulación no ha sido bien estructurada, puede convertirse en un proceso
lento y costoso.
Para ser competitivos en cualquier área de la ciencia y la tecnología de hoy es indispensable
incorporar, adoptar y adaptar las metodologías de simulaciones por computadora al campo
especifico de trabajo, con el propósito de obtener un mejor rendimiento en el desarrollo
profesional. No obstante, es necesario ser cuidadosos en el uso y evaluación de los
resultados de las simulaciones, pues si bien los programas disponibles en la actualidad son
bastantes ‘inteligentes’, también están lejos de ser la panacea para resolver todos los
problemas que plantean los avances tecnológicos en física e ingeniería. (Julio Enrique
Duarte, 2005)
En el Capítulo I, se describe la dinámica general sobre el comportamiento que presenta un
automóvil, así también los componentes que conforman el sistema de suspensión, y la
clasificación de las misma de acuerdo al comportamiento que tenga cada uno de sus
elementos.
En el Capítulo II, habla una breve historia sobre el modelado matemático. También se
explica la obtención del modelo matemático que rige al sistema se suspensión mediante el
método de Euler-Lagrange, para posteriormente implementar el análisis mediante
ecuaciones con variables de estado.
En el Capítulo III, en un inicio se hace la descripción de los controladores, así también la
clasificación de los mismos. Para posteriormente realizar el análisis del modelo matemático
estableció en el Capítulo II, y realizar el diseño del controlador que servirá para reducir las
oscilaciones dentro del sistema, que es la finalidad de este trabajo.
En el Capítulo IV¸ nos habla en un principio sobre las plataformas que se utilizarán para
realizar las simulaciones, en este caso SIMNON. Un software que puede ser usado para los

17. algoritmos de control complejos, para los modelos financieros, dinámica del robot. Cada
sistema, que se puede definir en términos matemáticos, también se puede simular en
SIMNON. Miles de personas de todo el mundo están utilizando SIMNON como una
herramienta eficaz para simular procesos y productos. Universidades y centros de
investigación en más de 40 países han encontrado SIMNON ser un gran programa para la
simulación interactiva. (Software informer)
SIMNON es un programa que resuelve ecuaciones diferenciales y en diferencias en forma
numérica. Por tanto es capaz de simular el comportamiento de sistemas continuos
representados mediante ecuaciones diferenciales, así como sistemas discretos representados
mediante ecuaciones en diferencias. Puede también ser utilizado para simular sistemas
compuestos, esto es, formados por subsistemas, que en general pueden ser de distinta
naturaleza. Este tipo de sistemas son un común ejemplo de aquellos encontrados en la
Ingeniería de Control. El simulador SIMNON ha sido utilizado para apoyo en educación e
investigación en disciplinas como el Control Automático, Biología, Ingeniería Química,
Economía, Ingeniería Eléctrica, etc. También SIMNON ha sido utilizado en la industria
para la Simulación de Sistemas de Control. (Scribd)
i. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Los automóviles hoy en día, presentan la problemática de trasmitir las vibraciones de las
perturbaciones que recibe del terreno por donde circula, mediante el sistema de suspensión.
Por ello, en este trabajo se realiza el diseño de un controlador para evitar la transmisión de
las vibraciones de la suspensión, hacia los ocupantes del vehículo, ya que éstas ocasionan
poco confort y seguridad.

18. ii. JUSTIFICACION
El controlador a diseñar, será capaz de evitar que se transmitan las vibraciones de las
perturbaciones que presenta la superficie del terreno, a los ocupantes de los vehículos. Para
aumentar el nivel de confort y la seguridad en los automóviles.
iii. OBJETIVOS GENERAL
Analizar la dinámica de un cuarto del sistema de suspensión de un automóvil, sometido a
ciertos tipos de variaciones del camino, con la finalidad de diseñar un controlador que
permitan mejorar el nivel de confort y seguridad en los pasajeros, evitando la trasmisión de
las vibraciones hacia los ocupantes del vehículo.
ii.i OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Realizar la investigación sobre los sistemas matemáticos que modelen el
comportamiento de un sistema masa-resorte-amortiguador.
 Matemáticamente analizar el comportamiento de un sistema de suspensión
automotriz.
 Diseñar un control mediante el modelado matemático, para reducir las vibraciones
en un sistema de suspensión automotriz.
iv. HIPÓTESIS
El diseño de un controlador, para que absorba las vibraciones y permita al vehículo
aumentar el nivel de seguridad y confort, así los ocupantes del vehículo no se vean
afectados por las vibraciones que se transmiten del terreno hacia los componentes del
automóvil que están en contacto directo con los pasajeros.

19. Capítulo I

20. DINÁMICA DEL AUTOMÓVIL
En este capítulo se aborda, el análisis de la dinámica del automóvil, de forma teórica.
También se realiza la descripción de las partes fundamentales de un sistema de suspensión
automotriz, como son elementos elásticos y elementos de amortiguamiento. Además se
describen los tipos de suspensiones existentes, como son de eje rígido, semi-rígido e
independiente.
1.1 Breve historia de la suspensión automotriz y su dinámica
La historia de los mecanismos de suspensión se remota a las antiguas civilizaciones, ya en
tiempos egipcios y romanos se utilizaban en carruajes tirados por caballos con el fin de
hacer los viajes más suaves para sus pasajeros. Quizás la descripción más antigua de un
mecanismo de suspensión es la que se refiere al Pilentum, un antiguo coche romano. En el
que se utilizaron barras elásticas de madera entre el carro y las ruedas para hacer un viaje
más suave (Mula Vivero, 2009).
Estas barras elásticas de madera con los antiguos antecesores de los actuales resortes planos
de placas metálicas, comúnmente llamadas “leaf springs”, que se utilizan aún ahora en
muchos automóviles. En 1804, en Londrés, Obadiah Elliott Patentó el primer sistema
moderno de resortes planos de metal (el así llamado resorte elíptico). El diseño de Elliott
consistía en varias placas de acero de distinto largo, apiladas unas sobre otras atornilladas.
Estas barras, se unía luego mediante dos piezas metálicas en forma de U, una al carruaje y
la otra al eje de la rueda (Mula Vivero, 2009).
Con la invención de los automóviles en la segunda mitad del siglo XX, surgió la necesidad
de mejores sistemas de suspensión. En 1898 el ciclista francés J. M. M. Truffault,
construyó el primer amortiguador, que utilizó para bicicletas de carreras. (Mula Vivero,
2009)
La dinámica del automóvil tiene sus inicios en trabajos de grandes científicos de los últimos
cuatro siglos, estableciendo la metodología de los sistemas dinámicos. El desarrollo de la

21. dinámica del vehículo se ha movido hacia el modelado, análisis y la optimización (Mula
Vivero, 2009).
La dinámica de vehículos se basa en el estudio del comportamiento y movimiento del
automóvil así como las fuerzas que lo determinan (MotorGiga). Es considerada como una
parte principal de la ingeniería basada en mecánica clásica, involucrando diversas áreas
como mecánica de fluidos, ingeniería eléctrica, teoría de control, por mencionar algunas.
El vehículo es un cuerpo que se encuentra sujeto a las leyes de la mecánica, por lo que el
movimiento de un automóvil está determinado mediante las fuerzas externas que se ejercen
sobre él, se dan por el aire y por el terreno o la superficie por la cual circula.
El comportamiento dinámico de los automóviles puede ser analizado realizando una
analogía simple sistema de masas, con diferentes grados de libertad, lo que incrementa la
complejidad del análisis del sistema. Este análisis permite conocer el sistema y con ende
establecer un modelo matemático mediante el cual se diseñe un sistema de control que nos
permita reducir las vibraciones en la carrocería e incrementar el confort y la seguridad de
los ocupantes del vehículo.
El sistema de suspensión tiene dos funciones en los automóviles: una de seguridad, cuyo
objetivo es mantener constante el contacto de las cuatro ruedas con el suelo o, lo que es lo
mismo, evitar que las ruedas sufran aceleraciones verticales mayores que el valor de la
gravedad y otra de comodidad, que consiste en frenar y amortiguar las vibraciones de la
carrocería debidas a la irregularidades del terreno, para confort del conductor y los demás
ocupantes del vehículo.
Sin embargo existen los sistemas de suspensión de dureza variable, las tienen un
microprocesador que controla el nivel donde actúan los amortiguadores, adaptando la
suspensión al terreno por donde circula y a la carga del vehículo; de esta manera, se ofrece
en cada situación particular la máxima seguridad conjugada con el confort máximo. (Martí,
2000)

22. Cuando el vehículo circula por un terreno irregular, las ruedas están sometidas a una serie
de impactos o perturbaciones que se transmiten a la carrocería a través de los elementos de
unión. Si el terreno tiene pequeñas irregularidades, estás son absorbidas por la elasticidad
de los neumáticos. Cuando las irregularidades son grandes, los impactos producidos serían
sentidos por los ocupantes del vehículo, de no absorberse en la suspensión.
Una mala conducción o un mal reparto de las cargas pueden también originar
"oscilaciones". Estos movimientos se generan en el centro de gravedad del vehículo y se
propagan en distintos sentidos. Los tres tipos de oscilaciones existentes son los que se
observan en la figura 1.1 (Mecánica Virtual):
Figura 1.1.- Oscilaciones en el automóvil (Mecánica Virtual)
 Empuje: se produce al pasar por terreno ondulado.
 Cabeceo: debido a las frenadas bruscas.
 Balanceo: se genera al tomar curvas a alta velocidad.
El comportamiento del vehículo está determinado en gran medida por el tipo de suspensión
que lleve. Sin embargo, el peso en los vehículos automovilísticos se descompone en dos
partes denominadas:

23.  Masa suspendida: la integrada por todos los elementos cuyo peso es soportado por
el bastidor o chasis (Carrocería, motor, etc.).
 Masa no suspendida: constituida por el resto de los componentes (sistemas de
frenos, llantas, etc.).
La unión entre ambas masas es mediante la suspensión. El sistema está compuesto por un
elemento elástico (que bien puede ser una ballesta, muelle helicoidal, barra de torsión,
estabilizador, muelle de goma, gas, aire, etc.) y otro de amortiguación (amortiguador en
cualquiera de sus variantes), cuya misión es reducir las oscilaciones de la masa suspendida
originadas por el elemento elástico al adaptarse a las irregularidades del terreno
transformando la energía que almacena el resorte en calor. (Urbieta)
Debido a las dos partes en las que se divide la masa de un automóvil, es necesario conocer
los elementos que conforman el sistema de suspensión. Los cuales se dividen en dos
categorías principales, elementos elásticos y elementos de amortiguación.
Sin embargo, el establecimiento de las fuerzas que están involucradas, en el sistema de
suspensión automotriz, de debido a que cuenta con elementos elásticos (resorte) y de
amortiguamiento (amortiguador).
La fuerza en el resorte se encuentra dad, por la relación proporcional de la constante de
rigidez y el posicionamiento del mismo.
(1.1)
Siendo:
En cambio, la fuerza que sea ejercida por un amortiguador, se encuentra relacionando
proporcionalmente la constante de amortiguamiento del mismo, con la velocidad que sufre
el amortiguador al realizar el desplazamiento.

24. (1.2)
Dónde:
Ahora bien, la descripción de cada uno de los elementos que conforman la suspensión, ya
sean elásticos o de amortiguamiento, se describen en la sección 1.2
1.2 Elementos que conforman a un sistema de suspensión
automotriz
Dentro del sistema de suspensión automotriz existen diversos elementos que la conforman
(Ver figura 1.2).
Figura 1.2 Cuarta parte del sistema de suspensión automotriz (Mecánica Virtual)

25. Cada uno de los elementos, como en cualquier sistema, tiene una función específica, los
cuales se describen a continuación.
1.2.1 Elementos elásticos
Son los elementos encargados de almacenar la energía cinética que posee la masa no
suspendida con respecto a la suspendida.
Los muelles proporcionan elasticidad o movimiento hacia arriba o hacia abajo entre las
ruedas y la carrocería. Los diseños de muelles pueden ser de láminas (ballestas),
helicoidales (resortes) o barras de torsión. (ITA, Información Técnica Automotriz, 2012)
Por ello, es necesario conocer sobre los resortes o muelles de forma, un poco más detallada.
Resorte o Muelle:
Los resortes o muelles, se actúa mediante la compresión que sufre, generando un
movimiento oscilatorio que asegura el confort y la seguridad de los tripulantes del vehículo.
Este movimiento es aplicable para cualquier tipo de resorte pudiendo ser helicoidales (de
tipo espiral, Ver figura 1.3) o de flejes (tipo ballestas. Ver figura 1.4).
Figura 1.3 Resortes o muelles helicoidales

26. Los helicoidales son un tramo de barra de acero para resortes con forma redonda que está
enrollado en forma de espiral. El diámetro y la longitud del alambre determinan la
resistencia de un resorte. Un aumento en el diámetro del alambre producirá un resorte más
fuerte, mientras que un aumento en su longitud lo hará más flexible.
Algunos resortes espirales están hechos con una resistencia variable, estos ofrecen una
suspensión más suave, y una tasa de resorte más alta en condiciones con carga, lo cual
produce más soporte y control.
Los muelles helicoidales o resortes, se utilizan modernamente en casi todos los vehículos
en sustitución de las ballestas, debido a que tienen la ventaja de conseguir una elasticidad
blanda debido al gran recorrido del resorte sin apenas ocupar espacio ni incrementar el
peso. Debido a que los resortes espirales convencionales no desarrollan fricción entre las
láminas, proporcionan una suspensión más suave.
En cambio, las ballestas están constituidas por un conjunto de hojas o láminas de acero
especial para muelles, unidas mediante abrazaderas que permiten el deslizamiento entre las
hojas, dependiendo de la deformación que sufran por el peso al que se encuentren
sometidas.
Figura 1.4 Ballesta
Los resortes de láminas o ballestas se diseñan de dos maneras: multilámina y monolámina.
El resorte multilámina está hecho con varios platos de acero de diferentes longitudes
apilados unos sobre otros. Durante el funcionamiento normal, el resorte se comprime para
absorber los impactos de la carretera. Los resortes de láminas se arquean y se deslizan unos
sobre otros, permitiendo el movimiento de la suspensión.

27. Un ejemplo de un resorte monolámina es el resorte de lámina cónica. La lámina es gruesa
en el centro y se conifica hacia los dos extremos. Muchos de estos resortes de láminas están
hechos con un material compuesto, mientras que otros están hechos de acero.
En la mayoría de los casos, los resortes de láminas se utilizan en parejas, montados
transversalmente (de lado a lado). (MONROE)
Aún hoy en día se siguen empleando ballestas, pero como elemento elástico en conjunción
con modernos amortiguadores telescópicos. Su uso se restringe a vehículos pesados como
camiones, camionetas, todo terreno e incluso algún deportivo de renombre como el
Chevrolet Corvette. Pero como se mencionó en un principio existen 3 elementos que
conforman los elementos elásticos, por último se describirá la barra de torsión.
La barra de torsión (Ver figura 1.5) es una barra de acero para resortes, recta o con forma
de L. La mayoría de las barras de torsión son longitudinales, se montan sólidamente en el
bastidor en un extremo y se conectan a una pieza móvil de la suspensión en el otro extremo.
Las barras de torsión también se pueden montar transversalmente. Durante el movimiento
de la suspensión, la barra de torsión experimentará una torsión, proporcionando una acción
de resorte. (MONROE)
Figura 1.5 Barra de torsión
Sin embargo existen otros tipos de componentes como son los tensores y estos sirven como
componentes de apoyo. Los tensores son en forma triangular, también conocidos como
triángulos inferior o superior dependiendo de la ubicación que tengan en el sistema, estos

28. son los soportes de los resortes y de los amortiguadores, fijando todo al vehículo
automotor, evitando movimientos y el cambio de posiciones de estos dentro del sistema.
Considerando que los triángulos tensores, son los soportes de los amortiguadores, y a su
vez, los amortiguadores son los que amortiguando las oscilaciones del rebote de los
muelles, es necesario conocer de forma específica, cuales son los elementos que forman
parte de la amortiguación del vehículo.
1.2.2 Elementos de amortiguación
Los elementos de amortiguación son los encargados de devolver al resorte su posición de
equilibrio en el mínimo tiempo posible, absorbiendo la energía cinética transmitida al
sistema. El principal componente de amortiguación es el amortiguador.
Amortiguador:
Los Amortiguadores (ver figura 1.6), son los elementos encargados de absorber las
vibraciones de los elementos elásticos (muelles, ballestas, barras de torsión), convirtiendo
en calor la energía generada por las oscilaciones. (Urbieta)
Figura 1.6 Amortiguador hidráulico (Urbieta)
La energía absorbida por las perturbaciones del terreno, se transmite en forma de vibración,
estas perturbaciones son las que debe frenar el amortiguador, el efecto de compresión y
luego la reacción del muelle actúa en el frenado de la transmisión de las vibraciones,
frenando en ambos sentidos (Urbieta).

29. Los amortiguadores pueden ser "fijos" o "regulables". Los primeros tienen siempre la
misma resistencia y los segundos presentan una rosca que permite disminuir o aumentar el
diámetro del agujero por medio del cual fluye el aceite y puede variar dentro de unos
rangos pre-establecidos por fabricación (Tipos de.org). En los modelos más modernos esta
regulación se puede hacer incluso desde el interior del vehículo.
La mayoría de los amortiguadores funcionan con un fluido hidráulico, tienen incluido un
resorte en su interior, y cuando se genera una presión dentro de una cámara de aceite, el
cual se hace circular por válvulas y orificios, impidiendo el cambio de posición del resorte,
evitando así que éste vuelva a su posición inicial. Y con ellos reduciendo las oscilaciones,
que se puedan generar.
Existen varios tipos de amortiguadores, entre los cuales podemos encontrar:
 Amortiguador hidráulico telescópico
 Amortiguador de gas
Debido a que el amortiguador hidráulico telescópico es el más común y obliga a frenar el
movimiento oscilante que se transmite hacia el automóvil. El amortiguador de gas, porque
es que produce mayor confort.
Actualmente y desde hace unos años atrás se ha impuesto en la industria el uso de los
amortiguadores hidráulicos. En estos, la fuerza amortiguadora es función creciente con la
velocidad.
Básicamente, los amortiguadores hidráulicos telescópicos constan de un pistón que trabaja
dentro de un cilindro en el que hay aceite. Sobre el pistón existen una serie de orificios y
unas válvulas pre-comprimidas que permiten el paso de aceite de una parte a otra del pistón
cuando la presión es superada. Los orificios representan el paso permanente y las válvulas
el paso de apertura por presión respectivamente (Urbieta).

30. a) b)
Figura 1.7 a) Flujo de aceite a través del paso permanente b)Flujo de aceite a través de
las válvulas de apertura por presión (Urbieta)
En cambio los amortiguadores de gas (Ver figura 1.8), trabajan bajo el mismo principio
básico que los hidráulicos, pero contienen en uno de sus extremos nitrógeno a alta presión
(aproximadamente 25 bares) (Urbieta).
Un pistón flotante separa este gas del aceite impidiendo que se mezclen. Cuando el aceite,
al desplazarse el vástago, comprime el gas, este sufre una variación de volumen que
permite dar una respuesta instantánea y un funcionamiento silencioso. Los amortiguadores
de gas además de amortiguar también hacen en cierto modo de resorte elástico, es por ello
que este tipo de amortiguadores vuelven a su posición cuando se deja de actuar sobre ellos
(Urbieta).

31. Figura 1.8 Amortiguador de gas (Urbieta)
Existen dos tipos de amortiguadores de gas, los no regulables y los regulables.
Los amortiguadores no regulables suelen ser amortiguadores monotubo o bitubo, muy
resistentes a golpes, de alta duración y de alta resistencia a la pérdida de eficacia por la
temperatura de trabajo. Aunque el precio es mayor, se ve compensado por su durabilidad y
fiabilidad. Es un tipo de amortiguador de muy alta calidad. Su uso es ciertamente
recomendable para los vehículos de altas prestaciones.
Por el contrario los amortiguadores regulables son amortiguadores monotubo, con o sin
botella exterior, con posibilidad de variación de tarados. Es un tipo de amortiguador de alta
tecnología, con precio alto pero proporcional a su eficacia, por eso es el más usado en
conducción deportiva, en los vehículos de competición y de altas prestaciones.
Sin embargo, los amortiguadores no son los únicos elementos que ayudan a la
amortiguación de las oscilaciones transmitidas por las perturbaciones del terreno, también
existen otros elementos como es la barra estabilizadora.

32. 1.2.3 Otros tipos de elementos
La barra estabilizadora también es conocida como Palier de la transmisión, cuya función es
reducir las oscilaciones del vehículo durante la trayectoria que transite en las curvas que se
puedan presentar en el terreno, absorbiendo con ello el movimiento del automóvil. En ella
actúan una fuerza centrífuga que hace que el chasis se role hacia el lado de afuera de la
curva, regulando con ello la estabilidad del sistema.
Las barras estabilizadoras (figura 1.9), se montan sobre los ejes delantero y trasero, y
consisten esencialmente en una barra de acero cuyos extremos se fijan a los soportes de
suspensión de las ruedas. De esta forma al tomar la curva, como una de las ruedas tiende a
bajar y la otra a subir, se crea un par de torsión en la barra que absorbe el esfuerzo y se
opone a que esto ocurra. Así, impide que se incline a un lado, manteniéndolo estable (Mula
Vivero, 2009).
Figura 1.9 Principio de funcionamiento de la barra estabilizadora (Mula Vivero, 2009)
Un efecto muy similar se produce cuando una de las ruedas se encuentra con un bache u
obstáculo, una tienen a subir o bajar, generando un el par de torsión en la barra que
mantiene al vehículo en la posición horizontal.

33. Figura 1.10 Conjunto Barra estabilizadora – Suspensión (Mecánica Virtual)
1.3 Tipos de suspensiones
Existen diversos tipos de suspensiones, esta clasificación se da de acuerdo a la forma y el
montaje de los elementos, de acuerdo al funcionamiento de todos ellos, en el sistema.
En la actualidad existen diversas disposiciones de suspensión, esto depende el
comportamiento que se busca tener en el vehículo, pudiendo ser estos, mayores
prestaciones, más comodidad, sencillez y economía, por ejemplo.
Las suspensiones pueden ser del tipo independiente, semi-independiente y de eje rígido.
Cada una de ellas se puede diferenciar en la estabilidad o rigidez con la que se comportan,
de acuerdo a fuerzas externas que influyen sobre ellas.
Dirección de Cremallera
Eje palier
Barra estabilizadora

34. 1.3.2 De eje rígido
Las suspensiones de eje rígido, es donde todos los movimientos de la rueda se trasmiten a
la otra. Debido a que se encuentran interconectadas mediante el eje. Y si una de las ruedas
se mueve hacia abajo la otra tiende a moverse hacia abajo, o a la inversa, pero siempre una
en sentido contrario de la otra (Ver figura 1.11) (Mecánica Virtual).
El montaje de este tipo se sistema de suspensión es muy resistente y más económico de
fabricar, pero tiene la desventaja de ser poco cómodo para los pasajeros y con consecuencia
una menor seguridad (Mecánica Virtual).
Figura 1.11 Suspensión rígida (Mecánica Virtual).
1.2.1 Semi-independiente
En las suspensiones semi-independientes, la parte de los movimientos se traspasan de una
rueda a otra. Este tipo de suspensión tiende a ser utilizado principalmente en los vehículos
de tracción delantera. El movimiento generado puede transmitirse mediante una acción de
torsión al eje sólido que genera la conexión del sistema (Mecánica Virtual).
Este tipo de suspensiones son muy parecidas a los sistemas de eje rígido. Ya que, las ruedas
están unidas entre sí como en el eje rígido, pero su diferencia principal es que transmiten de
una forma parcial las oscilaciones que reciben de las irregularidades del terreno. En
cualquier caso, aunque la suspensión no es rígida total, tampoco es independiente. La
función motriz se separa de la función de suspensión y de guiado (Mecánica Virtual).

35. Figura 1.12 Suspensión semi-independiente- Esquema de una suspensión De Dion
(Mecánica Virtual).
1.3.3 Independiente
Las suspensiones independientes. Permiten que cada rueda asimile ondulaciones o
accidentes del piso sin transferirlas a las otras. Debido a que cada una de las ruedas del
vehículo se encuentran en forma separada de las otras, lo cual permite que cada una de las
ruedas del automóvil se mueva hacia arriba o hacia abajo sin afectar a la que se encuentra
localizada al lado opuesto (Mecánica Virtual).
Figura 1.13 Suspensión independiente (Mecánica Virtual)

36. En un principio el tipo se suspensión más utilizado en los vehículos era el de eje rígido,
pero con el transcurso del tiempo, los automóviles modernos o de la actualidad manejan
suspensiones totalmente independientes, para evitar la unión rígida entre las ruedas, sin
importar que sean del mismo eje.
Actualmente, el número de modelos de suspensión independiente es muy amplio y además
posee numerosas variantes. Los principales tipos de suspensión de tipo independiente son
(Mecánica Virtual):
• Suspensión de eje oscilante.
• Suspensión de brazos tirados.
• Suspensión McPherson.
• Suspensión de paralelogramo deformable.
• Suspensión multibrazo (multilink).
1.3.3.1 De eje oscilante
Las suspensiones de eje oscilante, poseen un elemento de rodadura y un semieje, que son
solidarios, de tal forma que el conjunto oscila alrededor de una articulación que se
encuentra próxima al plano medio longitudinal del vehículo. Este tipo de suspensión no se
puede usar como eje directriz debido a que en el movimiento oscilatorio de los semiejes se
altera a gran medida la caída de las ruedas en las curvas. El conjunto de muelle-
amortiguador sirve para completar el sistema de suspensión (Mecánica Virtual).

37. Figura 1.14 Esquema de una suspensión de eje oscilante (Mecánica Virtual)
1.3.3.2 De brazos tirados
La suspensión de brazos tirados se caracteriza por tener dos elementos de soporte o
“brazos” en disposición longitudinal que van unidos por el extremo al bastidor y por otro a
la rueda. Las barras se montan de manera transversal a la carrocería. Como mínimo se
utilizan dos brazos, aunque algunas veces suele montarse cuatro. (Mecánica Virtual)
Figura 1.15 Suspensión de brazos tirados (Mecánica Virtual)
1.3.3.3 McPherson
La suspensión McPherson es un tipo de suspensión ampliamente utilizado en los
automóviles modernos, toma su nombre de Earl S. McPherson, ingeniero de Ford. Es

38. utilizada principalmente en el eje delantero, donde proporciona un punto de apoyo a la
dirección y actúa como eje de giro de la rueda (AutoCosmos.com).
Algunas de sus ventajas son, que es de gran simplicidad y tiene un bajo costo en su
fabricación, sin embargo, tiene un problema geométrico, debido a su configuración no es
posible que el movimiento de la rueda sea vertical, sino que el ángulo vertical varía algunos
grados durante su movimiento. Además de transmitir el movimiento directamente del
asfalto al chasis, provocando ruidos y vibraciones en el habitáculo. Considerando también
que, son una menor masa no suspendida, una amplia base de apoyo, fuerzas reducidas y un
diseño más compacto (AutoCosmos.com).
Figura 1.16 Esquema de un sistema de suspensión McPherson (AutoCosmos.com)
Por consecuente, las ruedas son controladas por un brazo oscilante bajo el centro de
gravedad de la rueda (normalmente un brazo oscilante triangular), un montante de
suspensión y una varilla de guía. Los brazos oscilantes están fijados al subastidor por dos
soportes de goma-metal. La separación funcional de las fuerzas longitudinales (soporte
delantero) y laterales (soporte trasero) permiten alcanzar una agilidad, una seguridad y un

39. confort de marcha óptimos sin que ambas fuerzas se influyan mutuamente
(AutoCosmos.com).
El diseño de este tipo de eje es notable por los elevados niveles de confort de marcha y la
excelente seguridad que proporciona. Se ha ido perfeccionando con el trascurso del tiempo,
y es en la mayoría de los automóviles un elemento de gran importancia, para su
funcionamiento.
1.3.3.4 Suspensión de paralelogramo deformable
La suspensión de paralelogramo deformable junto con la McPherson es la más utilizada en
un gran número de automóviles, tanto para el tren delantero como para el trasero. Esta
suspensión también se denomina suspensión por trapecio articulado y suspensión de
triángulos superpuestos (PuroTuning.com).
Figura 1.17
Suspensión de paralelogramo deformable (PuroTuning.com)

40. 1.3.3.5 Suspensión Multibrazo o Multilink
Las suspensiones multibrazo se basan en el mismo principio básico que las suspensiones de
paralelogramo deformable, es decir, el paralelogramo está conformado por dos brazos
transversales, la manguera de la rueda y el bastidor. Pero este tipo del sistema presenta una
diferencia que suele ser fundamental, y es que este tipo puede tener anclajes elásticos
mediante mandos de goma. Esto, permite hacer modificaciones en los parámetros de la
rueda (como son la caída o la convergencia), permitiendo la configuración de forma precisa
e independiente de cada una de las ruedas, permitiendo con ello la estabilidad direccional y
confort (Mecánica Virtual).
Figura 1.18 Esquema de una suspensión multibrazo delantera (Mecánica Virtual)
Todos los movimientos en un vehículo, se ven afectados no solo por el desplazamiento por
carretera, sino, también por el cambio de fuerza lateral del neumático.
1.5 Conclusión Capítulo I

41. En base a lo descrito anteriormente, podemos concluir que la dinámica del automóvil,
debido a las diferentes fuerzas que interactúan en el sistema; es un sistema complejo. Y
desde el punto de vista de la dinámica, se pueden obtener diferentes comportamientos en
los automóviles, dependiendo del tipo de suspensión con la que se cuente, ya sea de eje
rígido, semi-independiente o independiente. Debido a que son comportamientos
cinemáticos diferentes, y la transferencia de las oscilaciones o vibraciones provenientes del
terreno donde circula, son transmitidas mediante el sistema de suspensión hacia los demás
componentes del automóvil, y por consecuencia hacia los pasajeros que viajan en el
vehículo, generando poco confort durante el tiempo en que las personas viajan.
Así también comprender el comportamiento que tienen cada uno de los elementos que
conforman el sistema de suspensión, y la complejidad que esto representa al realizar el
análisis de todo el sistema en conjunto. Siendo esta una tarea compleja donde se puede
realizar la aplicación de la dinámica y la cinemática de los componentes, así como la
interacción que pueden tener los elementos, ya sea de forma individual o complementada
unos con otros.

42. Capítulo II

43. MODELADO MATEMÁTICO
2.1 Algunos modelos existentes de los sistemas de suspensión
automotriz
Actualmente varias personas han mostrado interés en investigar sobre el comportamiento
dinámico de los sistemas de suspensiones de los automóviles, utilizando diferentes métodos
de análisis, estos modelamientos se muestran a continuación:
2.1.1 Comportamiento dinámico de ¼ de vehículo utilizando la
técnica de Bond Graph
(Márquez) Este trabajo aplica la teoría de los multicuerpos mediante la técnica de
Bond Graph en el modelado de un cuarto de vehículo de pasajeros pero, además, se
incluye el comportamiento del mismo mediante variaciones del ángulo de caída de
la rueda. Ahora bien, por una parte, un modelo Bond Graph permite unir gráficos de
flujo con diagramas de bloque y, a partir de esto, permite la derivación algorítmica
de modelos matemáticos y computacionales mediante una tarea sumamente
formalizada. La conjunción de estos y otros rasgos hacen de Bond Graph una
herramienta basada en el diseño orientado a objetos, poseedora de un lenguaje
gráfico conveniente para el modelado dinámico, el análisis y la simulación de
complejos sistemas de ingeniería que implican la presencia de diversos dominios
físicos y técnicos.
La rueda posee, como modelo básico (figura 2.1) para todas las simulaciones, el
definido por un muelle, de constante C, y dos resortes, de constantes K y
respectivamente. Además, m corresponde a la masa de la rueda y M a la masa de la
carga superior, o chasis.

44. Figura 2.1 Modelo aproximado del sistema.
Se realizó la descomposición de dicho modelo en dos componentes: (a) rueda
(figura 2.2) y (b) Suspensión y chasis (figura 2.3); sin considerar, inicialmente, el
ángulo de inclinación ε. Todas las variables V corresponden a las velocidades de los
objetos donde ellas aparecen.
Figura 2.2 Modelo de la rueda.

45. Figura 2.3 Modelo de la suspensión.
Se procedió a obtener los Bond Graph de cada uno de los componentes (figura 2.4 y
figura 2.5, respectivamente), o subsistemas, por separado para finalmente obtener el
diagrama del sistema integrado.
Figura 2.4 Diagrama Bond Graph de la rueda.
Figura 2.5 Diagrama Bond Graph de la suspensión y el chasis.

46. Construidos los diagramas definieron las variables independientes de tal manera de
obtener las ecuaciones de los subsistemas. Para el primer grafo, las variables se
deben estar asociada a los componentes m y ; en éste caso, serán , momento en
m, y el desplazamiento para .
Realizaron el análisis de flujos, recorriendo el grafo desde abajo hacia arriba,
sabiendo que son válidas las expresiones en (2.1) debido a que es flujo de
entrada y se ha elegido como variable independiente, en la puerta de inercia ,
respectivamente.
(2.1)
En el nudo 1, donde los flujos son constante, tenemos que . En el
nudo 0, tenemos que . Luego, debido a que y son conocidos,
entonces tenemos a la expresión (2.2). Así hemos determinado los 5 flujos de éste
diagrama.
(2.2)
Para los esfuerzos, tenemos que, para comenzar, y ,
éste último por haberse elegido como variable independiente.
Para el nudo 0, donde los esfuerzos son constantes, tenemos que ; por
lo tanto, conocidos. En el nudo 1, ; por ello, tenemos a a partir
expresión (2.3).
(2.3)

47. Finalmente se obtiene las expresiones representadas en el diagrama Bond Graph de
la figura 2.6. De este subsistema obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones de
resumen:
(2.4)
Figura 2.6 Diagrama Bond Graph y sus ecuaciones.
Ahora, procederemos a modelar el chasis De dicho diagrama Bond Graph tenemos
que las variables serán , para M, y para K.

48. Procediendo al análisis de forma similar al proceso anterior obtenemos los flujos y
esfuerzos para este subsistema (figura 2.7).
Figura 2.7 Bond Graph resumen de flujos y esfuerzos.
De lo anterior, sólo queda integrar los 2 sub-modelos de tal forma de obtener un
cuarto de vehículo en forma completa. Es aquí donde está la gran ventaja de la
técnica Bond Graph que permite aprovechar los esfuerzos dedicados al

49. planteamiento de un modelo puesto que permite unir los dos subsistemas, ya
obtenidos, de tal forma de obtener el modelo final sin pérdida de algún fenómeno
asociado al proceso de unión; es decir, gracias a su orientación al diseño de objetos.
Lo anterior se puede comprobar obteniendo el modelo total (figura 2.8) y
compararlo con el obtenido por la integración. Debemos recordar que en este último
grafo aún no se considera el ángulo de caída.
Figura 2.8 Bond Graph integrado.

50. De aquí, y considerando nuestro modelo presentado en la figura anterior, se procede
a unificar las ecuaciones de los dos subsistemas. Una vez realizado dicho
procedimiento se obtienen las ecuaciones de estado finales.
Entonces, el sistema de ecuaciones finales, en forma matricial, se presenta en (2.5).
(2.5)
A partir de ahora se procederá a incorporar el ángulo de caída ε en el grafo Bond
Graph (figura 2.9), que sólo lo podemos visualizar al observar frontalmente la
rueda.
Figura 2.9 Bond Graph de cuarto de vehículo considerando ángulo de caída.

51. Para la obtención de las expresiones para Bond Graph, desde abajo hacia arriba, se
tiene como fuente de flujo y como variable del sistema las siguientes expresiones
respectivamente.
(2.6)
(2.7)
Del nudo 1, se tiene la siguiente expresión:
(2.8)
Del nudo tipo 0, se obtiene a partir de la expresión:
(2.9)
Aplicando la Transformada se tiene para f7 la expresión:
(2.10)
Para continuar se debe comenzar ahora desde arriba para poder obtener los flujos
directamente accesibles. Por ello, se parte con la expresión (2.11), por ser
variable del sistema:
(2.11)
Puesto que por nudo 1 se tien que f11=f12=f13; por lo tanto, para la expresion es
(2.12).

52. (2.12)
Por lo anterior, se obtiene los flujos y por tener el mismo valor que en
nudo tipo 1. Con ello se da por terminada la búsqueda de los valores para los flujos.
Prosiguiendo, se continúa con determinar los esfuerzos. El proceso comienza por
determinar aquellos valores que son directos; es decir , , y mediante las
expresiones (2.13), (2.14), (2.15) y (2.16), respectivamente.
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Entonces . Debemos ahora comenzar nuevamente desde
arriba para seguir con los despejes. La expresión (2.17) nos permite obtener por
definición de un elemento tipo capacitor.
(2.17)
Como tenemos a y , entonces obtenemos (2.18).
(2.18)
De ello, obtenemos e7 y e11 directamente.

53. Prosiguiendo, obtenemos e13, e6 y e4 según las expresiones (2.19), (2.20) y (2.21),
respectivamente.
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Finalmente, el sistema de ecuaciones dado por las expresiones (2.22), (2.23), (2.24)
y (2.25).
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Donde a1 y a2 corresponden a las aceleraciones verticales en el objeto rueda y en el
objeto chasis del cuarto de vehículo.

54. Finalmente, el sistema de ecuaciones es (2.26).
(2.26)
Este modelo considera la inflexión que se produce al inclinarse la rueda pero sólo en
el eje Z. Por lo anterior, el modelo puede ser ampliado de tal forma que se considere
el comportamiento de la componente Y de las fuerzas.
2.2 El modelado matemático
El modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones
que representan la dinámica del sistema con precisión. Debe tenerse en cuenta que un
modelo matemático no es único para un sistema determinado. Un sistema puede
representarse en muchas formas diferentes, por lo que puede tener muchos modelos
matemáticos, dependiendo de cada perspectiva. La dinámica de muchos sistemas, ya sean
mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, biológicos, etc., se describe en términos de
ecuaciones diferenciales. (Katsuhiko, 1987)
Los fundamentos teóricos de los métodos dinámicos actualmente se apoyan en la mecánica
clásica, específicamente en el planteamiento de las ecuaciones diferenciales del
movimiento de los sólidos rígidos con restricciones.
La mecánica, fue cimentada por Newton, al describir un punto material sometido a fuerzas
centrales. Sin embargo, no hizo la descripción del movimiento de los cuerpos, ya sean
rígido o no.

55. Euler, precisó matemáticamente los conceptos de masa puntual y aceleración, desarrollando
el concepto de “sólido rígido”. Fue entonces cuando tuvo comienzo la mecánica del sólido.
Posteriormente al estudio de este trabajo, se sumó Bernoulli, D’Alembert y Lagrange.
Convirtiéndose la suma de sus trabajos en los principios fundamentales de la mecánica,
desplazando con ello, la mecánica newtoniana y desarrollando una nueva línea que
culminara con la elaboración de a la actualmente conocida como “mecánica clásica”.
El que realizó por primera vez un estudio sobre la dinámica de varios sólidos rígidos con
restricciones, distinguiendo entre fuerzas aplicadas y fuerzas de reacción, fue D’Alembert.
La profundización en la mecánica analítica la realizó Lagrange, para lo cual no se basó en
los principios planteados por Newton o Euler sino en los cuatro principios conocidos en su
tiempo: conservación de las fuerzas, conservación del movimiento del centro de gravedad,
conservación del momento de la cantidad de movimiento y principio de la mínima acción.
Fue Lagrange, quien aplicando un principio variacional a la suma de las energías cinética y
potencial llegó a las ecuaciones diferenciales del movimiento prácticamente en la forma en
que hoy se utilizan (Vidal, 2006).
Las ecuaciones de Lagrange (conocidas también como Ecuaciones de Euler-Lagrange, o
simplemente de Euler) permiten contar con un sistema analítico para llegar a la descripción
del comportamiento físico de las partículas, sin tratarse de una nueva teoría independiente,
sino de la teoría Newtoniana. Y constituyen una síntesis de la mecánica, mediante la
formulación de las ecuaciones de movimiento de los cuerpos y soluciones originales a
problemas realmente difíciles.
La mecánica lagrangiana es una reformulación de la mecánica clásica, es la integral de la
diferencia de las energías cinéticas y potencial en función del tiempo. La formulación
lagrangiana simplifica muchos de los problemas físicos. Esto se basa en el principio de
Hamilton, que proporciona una formulación diferente de las leyes de la mecánica. Esta
formulación se basa en conceptos energéticos y ha demostrado ser sumamente útil,
particularmente en casos donde intervienen muchos grados de libertad. Los grados de

56. libertad son el número mínimo de coordenadas necesarias para establecer completamente el
movimiento de un sistema.
Considerando que la energía puede ser definida como la capacidad de efectuar trabajo,
cuando proviene del movimiento de la partícula se llama energía cinética. Cuando proviene
de la posición de la partícula medida desde un punto fijo o plano de referencia, se denomina
energía potencial.
El principio de Hamilton proporciona una formulación diferente de las leyes de la
mecánica. Esta formulación se basa en conceptos energéticos y ha demostrado ser
sumamente útil, particularmente donde intervienen muchos grados de libertad. El principio
de Hamilton presupone que el sistema en consideración se caracteriza por dos funciones
energéticas: una energía cinética (T) y una energía potencial (V). Cuando el sistema
analizado mediante términos de un número finito de grados de libertad, análogos a una base
finita. Estas energías pueden describirse mediante un número finito de coordenadas,
llamadas coordenadas generalizadas, y de sus derivadas respecto al tiempo t. Cuando el
sistema bajo consideración se describe mediante un conjunto finito de coordenadas
generalizadas las energías se expresan en términos de las variables dependientes tomando
valores distintos en diferentes puntos del sistema (Rasmussen, 1989).
En los sistemas mecánicos existen 2 tipos de fuerzas, las conservativas y las no
conservativas. Las fuerzas conservativas (F), son las que se pueden remplazar por el
gradiente de un potencial del sistema, en la mayoría de los casos identificada con la letra V
(Rasmussen, 1989):
(2.27)
Donde V= V(r) que es la energía potencial de la partícula o del sistema a analizar.
Considerando r (t) la trayectoria que sigue una partícula y siendo es la variación de la
trayectoria. Como para este tipo de sistemas se conserva la suma de todas las energías
potencial y cinética, a las fuerzas descritas por la ecuación (2.27) se les conoce como

57. conservativas. Con este requerimiento sobre F, se observa la ecuación 2.28 (Rasmussen,
1989):
(2.28)
Debido a que el operador variacional ( ) tiene un comportamiento igual que el operador
diferencial, el operador variacional puede obtenerse de la ecuación (2.28), y al sacar la
integral se tiene (2.29) (Rasmussen, 1989):
(2.29)
La diferencia entre las energías potencial y cinética se denomina función de Lagrange
(Rasmussen, 1989):
(2.30)
Dónde:
L: Lagrangiano que es igual a la diferencia de energía cinética y potencial.
T: Energía cinética total del sistema.
V: Energía potencial total del sistema.
Las ecuaciones de lagrange de movimiento, son las mismas que las de Euler para un
problema variacional, por lo que algunas veces se le conoce como ecuaciones de Euler-
Lagrange.
El formulismo de Euler-Lagrange (Rasmussen, 1989), para un sistema dinámico masa-
resorte-amortiguador, que es como se analiza el cuarto de suspensión de un automóvil, está
definido por la ecuación:

58. (2.31)
Dónde:
D: Disipación de energía.
: Coordenada generalizada, que ese encuentra dada por cada grado de libertad.
: Fuerzas externas aplicadas al sistema.
En base a la ecuación de Euler –Lagrange, en la siguiente sección, se realiza el análisis del
sistema de suspensión automotriz.
2.3 Análisis del sistema de suspensión Automotriz mediante Euler-
Lagrange
El sistema masa-resorte-amortiguador que analizará, representa de forma gráfica el sistema
de suspensión de un automóvil se realizara mediante 2 grados de libertad, que son los
puntos de referencia de donde se desplazan las masas (Ver figura 2.10).

59. Figura 2.10 Representación del sistema de suspensión a analizar
En la Tabla 2.1 se muestra la nomenclatura de los parámetros que se aplican para realizar el
análisis del sistema de un cuarto de suspensión automotriz.
Parámetro dentro del sistema Nomenclatura asignada
Masa Suspendida
Masa No suspendida
Rigidez del resorte
Constante de amortiguamiento
Rigidez del neumático
Amortiguación del neumático
Perturbación que recibe el sistema
Desplazamiento con respecto a
Desplazamiento con respecto a
Tabla 2.1 Nomenclatura de los parámetros

60. Para posteriormente al realizar el análisis del sistema descrito en la sección 2.2, en base a la
figura 2.12 podemos obtener las siguientes ecuaciones Euler-lagrange:
La energía cinética se encuentra descrita en función de la masa y la velocidad:
(2.32)
Reescribiendo la ecuación (2.32) en función de la posición, se obtiene la ecuación (2.33):
(2.33)
Y la energía potencial se encuentra representada por la ecuación, en función de la posición
(2.34):
(2.34)
Si se considera y se realiza la sustitución de las energías descritas en el
Lagrangiano, se obtiene:
(2.35)
Al aplicar la ecuación al formulismo de Euler-Lagrange a la ecuación (2.35).
Donde tenemos, las derivadas:
(2.36)

61. (2.37)
Sustituyendo las ecuaciones (2.36-2.37), se obtiene la ecuación.
(2.38)
A partir de la (2.35) se puede obtener la descripción matemática de un sistema masa-
resorte, mostrada (2.39).
(2.39)
Al realizar el análisis de la disipación de la energía en el sistema, está se encuentra en el
movimiento que realiza el amortiguador, la cual está representada por la constate de
fricción, y el desplazamiento.
(2.40)
Realizando la aplicación de la derivada parcial a la ecuación (2.40), se obtiene:
(2.41)
Reescribiendo la ecuación de Euler-Lagrange en función del desplazamiento que sufre el
sistema, se obtiene la ecuación:
(2.42)

62. Al realizar la sustitución de las ecuaciones (2.36, 2.37 y 2.41) en la ecuación (2.42), se
obtiene la expresión siguiente:
(2.43)
Haciendo la igualación a cero en (2.43), debido a que el sistema se encuentra en un punto
de equilibrio y se tiene la ecuación:
(2.44)
La ecuación (2.44) es la que rige matemáticamente el comportamiento de un sistema masa-
resorte-amortiguador.
De acuerdo al diagrama mostrado en la figura 2.10 es un sistema masa-resorte-
amortiguador y tomando en cuenta la nomenclatura de los parámetros que se muestran en la
Tabla 2.1. Es necesario realizar el cambio de variables a los parámetros que en la figura se
consideran.
Considerando que la masa tiene desplazamiento con respecto a 2 puntos específicos, se
obtienen la ecuación que es el Lagrangiano de la y en la disipación de la energía que
sufre a consecuencia del amortiguador, respecto al desplazamiento . Además se analiza el
comportamiento con respecto al desplazamiento que sufre la misma masa.
(2.45)
(2.46)

63. (2.47)
(2.48)
Ahora realizando el análisis del comportamiento que sufre la , se puede visualizar que
el comportamiento de ésta, depende de los 3 desplazamientos que se pueden observar en la
figura 2.1 y los cuales son , y . Para los cuales se obtienen las ecuaciones (2.49) y
(2.50) para el desplazamiento , las (2.51) y (2.52) para y por último las (2.53) y
(2.54) para .
(2.49)
(2.50)
(2.51)
(2.52)
(2.53)
(2.54)

64. Sin embargo la masa solo se desplaza con respecto a es por ello tomando en cuenta
la ecuación (2.43) e incluyendo las ecuaciones que describen por separado el
comportamiento de cada una de las mesas, de donde obtenemos que la ecuación que
describe el movimiento es la ecuación (2.55).
(2.55)
Reescribiendo la ecuación (2.55), se obtiene la ecuación (2.56), siendo está la ecuación que
modela el comportamiento de una de las masas que conforman al sistema de suspensión
para este análisis. Siendo la fuerza del controlador que se aplicará para estabilizar el
sistema.
(2.56)
De acuerdo a la ecuación (2.56) y dejando en el lado derecho de la igualdad la masa por la
aceleración, se tiene:
(2.57)
Realizando el análisis del desplazamiento que sufre la masa mu, la cual solo se desplaza
con respecto a , sin embargo los demás elementos si sufren un desplazamiento por una
delta entre todo los demás puntos ( y ). En la (2.58) se encuentra el comportamiento
matemático del sistema masa-resorte-amortiguador.
(2.58)
Reescribiendo la ecuación (2.58) y dejando en el lado izquierdo de la igualdad el término
correspondiente a la masa, se tiene:

65. (2.59)
Para conocer el comportamiento del sistema mediante las expresiones matemáticas, es
necesario aplicar el método de Ecuaciones de Variables de estado, para ello, en la sección
2.3 se explica de una mejor manera en que consiste este método, que es el modelado en el
espacio de estados.
2.4 El modelado en el espacio de estados.
Aproximadamente desde 1960 se ha desarrollado la teoría de control moderna (Katsuhiko,
1987), la cual es aplicada en los sistemas de ingeniería de mayor complejidad,
considerando que los sistemas complejos pueden tener múltiples entradas y salidas, que
varían en función del tiempo. El aumento de la complejidad de los sistemas y el acceso
fácil a las computadoras, le da un nuevo enfoque a la teoría de control moderna, en el
análisis y diseño de sistemas de control complejos. Este nuevo enfoque se basa en el
concepto de estado, el cual existe desde hace largo tiempo en el campo de la dinámica
clásica.
Las variables de estado no necesariamente necesitan ser cantidades medibles u observables
físicamente, ya que no representan cantidades físicas. Esto representa una ventaja de los
métodos de espacio de estados. Pero es conveniente elegirá cantidades que se midan con
facilidad para las variables de estado, debido a que las leyes del control óptimo requieran la
realimentación de todas las variables de estado (Katsuhiko, 1987).

66. 2.5 Aplicación de Ecuaciones de Variables de Estado al Sistema Automotriz.
Aplicando lo expuesto en la sección 2.3 al sistema de suspensión automotriz y
considerando el sistema mecánico que aparece en la figura 2.1. Suponemos que el sistema
es lineal, donde la fuerza externa es la entrada o perturbación para el sistema y los
desplazamientos que sufre son y de las masas ( y ) es la salida. El
desplazamiento se mide a partir de la posición de equilibrio en ausencia de la fuerza externa
o perturbación que recibe el sistema.
A partir del diagrama que se observa en la figura 2.1, mediante el método de Euler-
Lagrange, como anteriormente se explicó, se obtienen las ecuaciones que modelan el
sistema. Pero se aplican las variables de estado, debido a que en el software para realizar las
simulaciones, las derivadas solo pueden ser de primer grado.
Y como el modelo que describe al sistema es de segundo orden, significa que cada una de
las ecuaciones del sistema contiene dos integradores, y a partir de ellos se definen las
variables de estado , , , y .
(2.60)
(2.61)
(2.62)
(2.63)
(2.64)
(2.65)

67. Al aplicar las variables de estado establecidas (2.60– 2.65) y tomando en cuenta que es
la fuerza o perturbación del sistema, se tienen las ecuaciones, las cuales son las que se
aplicarán a la programación en el software para realizar las simulaciones correspondientes.
(2.66)
(2.67)
(2.68)
(2.69)
Las ecuaciones (2.66-2.69), son las ecuaciones con variables de estado, que describen el
movimiento que tiene el sistema mecánico analizado, que es un sistema de suspensión
automotriz.
Para el cual, en el Capítulo III, se realizará el diseño del controlador, y en el Capítulo IV, se
conocerán las simulaciones del mismo, mediante gráficas que nos describen el
comportamiento que tiene, con las oscilaciones que se producen por la perturbación que
recibe.
2.6 Conclusión Capítulo II
En base a lo realizado en este capítulo se puede concluir, que el modelado de sistemas
complejos, es de gran importancia, ya que sirve para conocer el comportamiento de manera
matemática.
Sin embargo los modelos matemáticos encontrados, principalmente son modelos mediante
el método de análisis gráfico, que es el método de Bond Graph, en el cual se puede realizar

68. un análisis gráfico del comportamiento mediante vectores que tiene cada una de las partes
que conforman la suspensión, y en base a ello, hacer la determinación del comportamiento
de todas las partes en conjunto. Lo anteriormente mencionado, se observa en el apartado
2.1.1 Comportamiento dinámico de /4 de vehículo utilizando la técnica de bond Graph.
Hay que considerar que si los sistemas son complejos, la aplicación de las ecuaciones de
variables de estado son de gran ayuda, ya que permiten reducir las expresiones
matemáticas. Y de la misma forma, reducir a gran medida la complejidad del sistema de
ecuaciones que rigen los sistemas, para realizar los análisis con aplicación de software.
Posteriormente se procederá mediante el conocimiento de las ecuaciones que rigen al
sistema de suspensión de un automóvil, a realizar el diseño de un controlador para este tipo
de sistemas, dicho diseño se realiza en el siguiente capítulo.

69. Capítulo III

70. DISEÑO DE CONTROLADORES
3.1 Breve descripción de los controladores y su diseño
Existen diversos tipos de controladores, que son elementos adicionales a la configuración
original con la finalidad de mejorar las características de la respuesta de los sistemas y de
esa manera satisfacer las especificaciones de funcionamiento (Gaviño, 2010).
Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los requerimientos
impuestos sobre el sistema de control se detallan como especificaciones de desempeño. Por
lo general se refieren a la precisión, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta
(Gaviño, 2010).
Una de las formas de modificar las características de respuesta en los sistemas es mediante
el ajuste de ganancia, aunque por lo general el incremento de la ganancia mejora el
funcionamiento en estado estable, pero no en la respuesta de régimen transitorio o
viceversa. Lo cual conlleva a diversos tipos de controladores (Gaviño, 2010):
 Control Proporcional (P).
 Control Integral (I).
 Control Derivativo (D).
Sin embargo, los controladores pueden interactuar entre ellos, dando como resultado la
formación de las siguientes configuraciones (Gaviño, 2010):
 Control Proporcional-Integral (PI).
 Control Proporcional-Derivativo (PD).
 Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID).
El diseño del controlador permite modificar las características de respuesta del sistema en
lazo cerrado para que satisfaga los requisitos de funcionamiento del sistema.

71. Analizando los tipos de controladores que existen, en la sección siguiente, se realiza la
descripción de casa uno de ellos.
3.1.1 Control proporcional (P)
(Gaviño, 2010) Se dice que un control es del tipo proporcional cuando la salida del
controlador (función con respecto al tiempo) es proporcional al error e(t), de la salida
con respecto a la entrada .
(3.1)
La ganancia del controlador es proporcional al error. La ganancia puede ajustarse según
sea necesario, para pequeñas variaciones, aunque logra un comportamiento aceptable para
el sistema en régimen transitorio, la respuesta en estado estable lleva implícita una
magnitud muy elevada en el error, de acuerdo a su comportamiento en la forma gráfica. Al
tratar de corregir este problema, los incrementos de ganancia mejoraran las características
de la respuesta de estado estable, pero afectaran la respuesta transitoria.
Aunque el control P es fácil de ajustar e implementar, porque el comportamiento es lineal,
no suele incorporarse a un sistema de control de forma aislada, debido a que el
comportamiento obtenido no es de gran ayuda, sino más bien se acompaña de algún otro
elemento, para que tenga un mejor funcionamiento en el control.
Las principales características del control proporcional son:
 El tiempo de elevación, de la respuesta del sistema experimenta una pequeña
reducción.
 El máximo pico de sobreimpulso en la respuesta del comportamiento del sistema se
incrementa.
 El amortiguamiento en la respuesta del sistema se reduce.
Otro de los tipos de controladores son los de tipo integral.

72. 3.1.2 Control Integral (I)
(Gaviño, 2010) Se dice que un control es de tipo integral cuando la salida del controlador
(función con respecto al tiempo) es proporcional a la integral del error , de la
salida con respecto de la entrada.
(3.2)
Donde es la ganancia del control integral. En cualquier tipo de controlador, la acción
proporcional es la más importante, por lo que la constante se puede escribirse en
términos de la ganancia de un control proporcional .
(3.3)
Donde es un factor de proporcionalidad ajustable que indica el tiempo de integración, en
la respuesta del sistema. El control integral tiende a reducir o hacer nulo el error de estado
estable, a la salida de la respuesta del comportamiento del sistema, sin embargo, dicho
comportamiento muestra una tendencia del controlador a sobrecorregir el error. Así, la
respuesta del sistema es de forma muy oscilatoria o incluso inestable, debido a la reducción
la estabilidad relativa del sistema.
De forma inversa al control integral, se encuentra el control derivativo.

73. 3.1.3 Control Derivativo (D)
(Gaviño, 2010) En este tipo derivativo cuando la salida del controlador (siendo una
función con respecto del tiempo) es proporcional a la derivada del error , de la
salida con respecto a la entrada.
(3.4)
Donde es la ganancia del control derivativo. La constante puede escribirse en
términos de la ganancia del control proporcional .
(3.5)
Donde es un factor de proporcionalidad ajustable que indica el tiempo de derivación. El
significado de la derivada se relaciona con la velocidad de cambio de la variable
dependiente, que en el caso del control derivativo indica que éste responde a la rapidez de
cambio del error, que se genera en la salida con respecto a la entrada, lo que produce una
corrección importante antes de que el error sea elevado. Además, la acción derivativa es
anticipada, esto es, la acción del controlador se adelante a frente a una tendencia de error
(expresando en forma derivativa). Para que el control derivativo llegue a ser de utilidad
debe actuar junto con otro tipo de acción de control, ya que aislado, el control derivativo no
responde a errores de estado estable.
Como se mencionó, estos tipos de controladores presentan un mejor funcionamiento si se
encuentran acoplados entre ellos, en base a esto, es que surgen las diferentes combinaciones
de los controladores.
3.2 Combinaciones de los controles
(Gaviño, 2010) Las acciones proporcional, integral y derivativa suele combinarse entre sí
para producir las combinaciones de los tipos de controladores.

74. La primera combinación que se presenta es del tipo proporcional-integral.
3.2.1 Control proporcional-integral (PI)
(Gaviño, 2010) Un control es de tipo proporcional-integral cuando la salida del
controlador , siendo ésta en función del tiempo, es proporcional al error , que se
obtiene en la salida con respecto a la entrada, sumado a una cantidad proporcional a la
integral del error .
(3.6)
Algunas de las características de un control PI, son:
 El amortiguamiento en la respuesta del sistema se reduce.
 El máximo pico de sobreimpulso del comportamiento del sistema se incrementa.
 Decrece el tiempo de elevación, de la gráfica del comportamiento. Se mejoran los
márgenes de ganancia y fase.
 El tipo de sistema se incrementa en una unidad.
3.2.2 Control proporcional-derivativo (PD)
(Gaviño, 2010) Se dice que un control es de tipo proporcional-derivativo cuando la salida
del controlador es proporcional al error , sumando a una cantidad proporcional a
la derivada del error .
(3.7)

75. Algunas de las características de un controlador PD, son:
 El amortiguamiento se incrementa.
 El máximo pico de sobreimpulso se reduce.
 El tiempo de elevación experimenta pequeños cambios.
 Se mejoran el margen de ganancia y el margen de fase.
 El error de estado estable presenta pequeños cambios.
 El tipo de sistema permanece igual.
3.2.3 Control proporcional-integral-derivativo (PID)
(Gaviño, 2010) Se dice que un control es de tipo proporcional-integral-derivativo cuando
la salida del controlador es proporcional al error , sumado a una cantidad
proporcional a la integral del error más una cantidad proporcional a la derivada del
error .
(3.8)
Las características de un controlador PID son:
 Este tipo de controlador contiene las mejores características del control
proporcional-derivativo y del control proporcional-integral.
Sin embargo, el control PID, modifica la ecuación del sistema, es por ello, que el control
que se diseña es un control PD, ya que el éste tipo de control, no altera la ecuación del
sistema.

76. 3.3 Diseño del controlador para el Sistema Automotriz
Tomando en consideración las ecuaciones de estado que describen el movimiento del
sistema (2.45) y (2.46), descritas en el Capítulo II.
(2.68)
(2.69)
Para realizar el diseño del controlador, en primer lugar se realiza la separación de las
variables que se tienen en el sistema. Tomando en consideración que el controlador solo se
aplicará a la Masa Suspendida ( ), descrito en la ecuación (2.68), siendo está la masa que
se encuentra en contacto directo con los pasajeros de vehículo, en función de los
desplazamientos que sufre por las oscilaciones transmitidas por la masa suspendida, y que
es introducida por las perturbaciones que recibe el sistema.
Se realiza la separación de variables de acuerdo al desplazamiento que sufre, ya sea y sus
derivadas del lado izquierdo de la igualdad, y del lado derecho el desplazamiento con sus
respectivas derivadas, a partir de ello se obtiene la ecuación (3.9).
(3.9)
Para que la no se vea afectada por las perturbaciones que recibe la masa , se debe tomar en
cuenta la consideración enunciada en la ecuación (3.10).
(3.10)

77. De donde:
(3.11)
Siendo el controlador que se aplicará para controlar las oscilaciones que perturban al
sistema, haciendo el término del desplazamiento con respecto a . Por lo tanto para
que se encuentre en equilibrio, por lo tanto la ecuación de movimiento se modifica y queda
expresa da como se muestra en la (3.12).
(3.12)
La ecuación (3.12) es una ecuación de segundo orden, por lo tanto, para resolverla, se
aplica la ecuación general para una función cuadrática (3.13), y con ello, conocer el
desplazamiento que tiene el sistema (3.12).
(3.13)
Tomando en cuenta:
(3.14)
(3.15)
(3.16)
Sustituyendo las igualdades (3.14-3.16) en la (3.13), se obtiene la (3.17).

78. (3.17)
El comportamiento de este tipo de ecuaciones, se encuentra descrita por el discriminante
de la función, que puede ser sub-amortiguado, sobre-amortiguado o críticamente
amortiguado, de acuerdo a lo establecido en Teoría y Problemas de Vibraciones
Mecánicas, (Williams, 1970).
1) , por lo tanto críticamente amortiguado.
2) , por lo tanto Sub-amortiguado.
3) , por lo tanto Sobre-amortiguado.
Debido a que el sistema analizado tiene un comportamiento como el caso 3 se determina
que la ecuación de movimiento debe ser igual al controlador u, considerando a u como se
muestra en la ecuación (3.18).
(3.18)
Por lo tanto igualando el controlador, con el movimiento que describe el sistema, se obtiene
la ecuación (3.19).
(3.19)
Sustituyendo la (3.18) en (3.19) se obtiene la (3.20).
(3.20)
Haciendo la igualación de la (3.20) con cero, debido a que se quiere que la masa se
encuentre en un punto de equilibrio, se obtiene la (3.21).

79. (3.21)
Reduciendo términos en la (3.21) se obtiene de manera simplificada la (3.22).
(3.22)
Se aplica nuevamente la ecuación general, a la ecuación (3.22) y se obtiene la expresión
(3.23).
(3.23)
Donde de igual manera se vuelve a presentar el caso de analizar el comportamiento de la
respuesta, de acuerdo a los valores del determinante, establecidos en Teoría y Problemas de
Vibraciones Mecánicas, (Williams, 1970).
Para que el sistema que se tiene, no tenga oscilaciones el comportamiento debe ser sobre-
amortiguado amortiguador. Para ello debe cumplirse la igualdad establecida en la ecuación
(3.24).
(3.24)
Donde los parámetros del controlador deben ser suficientemente grandes o pequeños,
dependiendo si sea el o el , para que el sistema tenga la respuesta que se quiere, se
realizará simulaciones referentes al comportamiento que se quiere, en el Capítulo IV, para

80. conocer cuáles son los valores que se necesitan para tener el comportamiento requerido en
el sistema.
Como el controlador a diseñarse, con base en la ecuación para una función de segundo
orden, se define que el controlador sea un controlador Proporcional-Derivativo, ya que este
tipo de controladores no realiza alteraciones en las ecuaciones, que modelan el sistema de
suspensión automotriz.
3.4 Conclusión Capitulo III
Podemos concluir, en base al capítulo estudiado; la importancia de los controladores y su
diseño en la actualidad, por el incremento del desarrollo tecnológico que nos permite
nuevas formas de percibir el mundo, y a su vez nos permite modificar el comportamiento
de algunos sistemas, aplicando controladores que sirven para que el sistema tenga el
comportamiento deseado.
Al realizar el análisis del comportamiento del sistema, y considerando que la masa
suspendida es la que se encuentra en contacto directo con el/los tripulante/s del vehículo, es
por ello que el controlador se aplica de manera directa a esa masa, considerando el sistema
como una ecuación de segundo grado, es por ello que se aplica la ecuación general para una
función cuadrática.
Sin embargo en este capítulo no se vio el comportamiento gráfico del sistema con o sin el
controlador, estos aspectos serán cubiertos en el Capítulo IV.

81. Capítulo IV

82. SIMULACIONES
En este capítulo se realizaron las simulaciones en un principio sin controlador, para conocer
el comportamiento del sistema. Posteriormente, las simulaciones fueron realizadas con
controlador, para poder realizar una comparación de ambos comportamientos, y visualizar
que efectivamente el controlador estable el sistema en el punto que se considere punto de
equilibrio.
Para realizar las simulaciones y posteriormente el estudio de cada uno de los
comportamientos se tiene que hacer mención de los parámetros, los cuales se encuentran
mostrados en la Tabla 4.1.
Parámetros Valor Unidades
Masa Suspendida ( ) 315 Kg
Masa No Suspendida ( ) 51 Kg
Rigidez del Resorte ( ) 43.3 KN/m
Constante de Amortiguamiento ( ) 3.9 KNs/m
Rigidez del Neumático ( ) 210 KN/m
Amortiguación del Neumático ( ) 1.1 KNs/m
Tabla 4.1 Parámetros de un cuarto de automóvil Honda Civic 2005 (Ervin Alvarez-
Sanchez, 2013)
Los parámetros fueron tomados del artículo (Ervin Alvarez-Sanchez, 2013).
Para resolver las ecuaciones de manera práctica se utilizó el Software SIMNON. El cual
como se mencionó anteriormente, es un software que permite la simulación de sistemas
mediante ecuaciones.
En la figura 4.1 se puede ver el entorno que se tiene al utilizar SIMNON, para su
programación y las simulaciones, sin y con control.

83. a)
b)
Figura 4.1 Entorno del software Simnon. A) sin control. B) con control.
4.1 Simulaciones del sistema sin controlador
En la figura 4.2 se puede visualizar la respuesta gráfica del sistema, específicamente la
perturbación que fue aplicada al sistema masa-resorte-amortiguador. La cual fue
denominada , y tiene un valor de 0.1sin(t).

84. Figura 4.2 Desplazamiento de la perturbación al sistema
Como se puede observar en la figura 4.2 el comportamiento de la perturbación los
parámetros de amplitud y frecuencia de la señal de perturbación permanece constante.
La figura 4.3 muestra la gráfica del comportamiento que sufre el desplazamiento con
respecto a la masa no suspendida ( ), como respuesta a la perturbación que recibe de .
Como se puede observar el comportamiento es muy similar al comportamiento de , esto
se debe a que esta parte del sistema se encuentra en contacto directo con la perturbación.
Sin embargo, al inicio de la oscilación se puede observar un comportamiento diferente, ya
que se muestran amplitudes mayores a las del comportamiento de la perturbación. Y
durante el trascurso del tiempo, la magnitud de la onda varía.

85. Figura 4.3 Comportamiento de la masa no suspendida.
En la figura 4.4 se puede observar el comportamiento de los desplazamiento que sufre la
perturbación que recibe el sistema, caso a y el comportamiento en el desplazamiento que la
perturbación ocasiona en la masa que se encuentra en contacto directo, caso b.
a) b)
Figura 4.4 Comparación del desplazamientos a) perturbación b) masa no suspendida
Al realizar la simulación correspondiente al desplazamiento que sufre la masa suspendida
( , es decir la que se encuentra en contacto directo con los ocupantes del vehículo, se
observa un comportamiento diferente, este lo podemos ver en la figura 4.4, a pesar de que

86. la gráfica es completamente distinta a las anteriores, ésta sigue conservando oscilaciones
periódicas.
Figura 4.5 Desplazamiento de la masa suspendida
Las distorsiones que se presentan en la gráfica de la figura 4.5 con respecto a las anteriores,
esto se debe a que existe un mayor número de elementos que intervienen y las
perturbaciones no llevan de forma directa, como en el caso anterior.
Y al realizar el análisis de la gráfica del comportamiento de la aceleración que se presenta
en la masa suspendida, se puede observar en la figura 4.6 que existe una alta cantidad de
oscilaciones, éstas son percibidas a gran medida por los ocupantes del vehículo.

87. Figura 4.6 Aceleración de la masa suspendida
La figura 4.6 nos sirve para posteriormente realizar la comparación de la misma
aceleración, pero cuando ya se tenga implementado el controlador, dentro del sistema.
Después de que se realizaron las simulaciones sin controlador, se procede a realizar las
simulaciones incluyendo el controlador, para que permita mantener la masa en una
posición específica, sin importar la aceleración y las oscilaciones que presenten los demás
elementos del sistema, las cuales se presentan en la siguiente sección.
4.4 Simulaciones del sistema con controlador
Al realizar el diseño del controlador, se optó por agregar de forma matemática los
elementos resorte-amortiguador, para que se modifique el comportamiento dinámico en la
ecuación que modela el sistema original, esto para reducir las oscilaciones que se tenían,
para ello, fue necesario agregar una de control ( ) y una b de control ( ).

88. Sin embargo al realizar la anulación de la parte de la ecuación que modela el
comportamiento de la masa , ya que es la masa que se encuentra en contacto directo con
los tripulantes del vehículo, es por ello que a esta masa es a la que se le aplico el control,
como se vio en el Capítulo III, sección 3.3.
(4.1)
Tomando en cuenta que: y sustituyéndola en (4.1) se obtiene la (4.2).
(4.2)
Y considerando que: Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación
(4.2) se obtiene la (4.3)
(4.3)
Sustituyendo los valores de los parámetros mostrados en la Tabla 4.1 se tiene que:
Considerando la ecuación (4.2), como una ecuación de segundo orden, como se mencionó
en el capítulo anterior, se tiene la (4.4)

89. (4.4)
Donde al aplicar la ecuación general se obtiene la (4.5)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
A partir de la (4.7), podemos reescribir la respuesta del sistema como la ecuación (4.8).
(4.8)
(4.9)
Como se puede observar en la (4.9) la respuesta del sistema, es casi cero, al realizar la
anulación de ciertos términos. Es por ello que con ayuda del controlador se desea establecer
el sistema a 10cm del punto de reposo. Para esto se considera como el desplazamiento
deseado, por lo tanto en metros.
(4.10)

90. (4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
Tomando en cuenta que el controlador se encuentra dado por la (4.16).
(4.16)
De donde se analiza que el comportamiento se encuentra regido por (4.17).
(4.17)
A partir de la (4.11) se desglosan (4.18).
(4.18)
Sustituyendo en la (4.19) el valor de la que ya es conocida, se obtiene la (4.19).
(4.19)

91. (4.20)
Considerando entonces la (4.20) se reescribe como (4.21)
(4.21)
Por lo tanto a partir de la (4.22), es igual a , como se muestra en (4.22)
(4.22)
(4.23)
Para que el coeficiente sea menor, pero que se siga manteniendo el mismo
comportamiento, se decidió, establecerlos valores de y como submúltiplos de 10.
Por lo tanto, los valores del controlador son (4.24) y (4.25), para y respectivamente.
(4.24)
(4.25)
La programación en Simnon, donde se incluyen los parámetros del control, se muestra en la
figura 4.16.