Análisis de circuitos eléctricos: conceptos básicos de la teoría de circuitos

Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación
UNIVERSIDAD DE VIGO

web: www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/index.html
web: www.tsc.uvigo.es/Docencia/FichasAsignaturas/ar.php

Análisis de redes
Transparencias de clase

Enrique Sánchez
Artemio Mojón

Vigo, enero 2003

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación. Lagoas-Marcosende, s/n. 36200 VIGO
Tfno.: 986812142. Fax: 986812116. Correo electrónico: esanchez@tsc.uvigo.es, amojon@tsc.uvigo.es

Análisis de redes

Índice

Conceptos básicos ....................................................................................... 1

Régimen transitorio .................................................................................... 25

Régimen sinusoidal permanente.................................................................... 79

Cuadripolos ............................................................................................... 169

Análisis de redes

Conceptos básicos

Conceptos básicos - 1: páginas 3-9
Conceptos básicos - 2: páginas 10-22
Ejercicios de repaso: página 23

Los sistemas electromagnéticos se analizan
utilizando las ecuaciones de Maxwell.

Se requiere un proceso de cálculo complejo para determinar
las intensidades de los campos eléctrico y magnético.

Se utilizan simplificaciones matemáticas
(teoría de circuitos, teoría de líneas de transmisión).

Aproximación básica
de la teoría de circuitos (análisis de redes)
Las dimensiones de los elementos del sistema son mucho menores
que la menor de las longitudes de onda de las señales.

Consecuencia

Las magnitudes a calcular son
Magnitud Símbolo Unidades
voltaje / tensión v(t) voltios (V)
corriente i(t) amperios (A)
potencia |p(t)| = |v(t)i(t)| watios (W)
t2
energía w= p(t)dt julios (J)
t1

En general, estas magnitudes varían con el tiempo (t).

Análisis: se supone que el sistema está formado
por elementos ideales y se aplican las leyes de Kirchhoff.

Elementos ideales
Esquema i

funcionales
terminales

relaciones
v = f (i)

(bornes)
+
v
- i = f-1 (v)

Características
Un elemento ideal no puede descomponerse en otros.
Sólo tiene dos terminales.
Los terminales pueden estar a distinta tensión.
La corriente que entra por un terminal es igual
a la que sale por el otro.
La corriente y la tensión están relacionadas
por una función (distinta en cada elemento).
En el cálculo de la potencia se aplica el convenio pasivo.
Se clasifican en activos y pasivos.

Convenio pasivo de signos
Se asignan arbitrariamente la polaridad de la tensión (+ -)
y el sentido de la corriente (-> <-).
- v + = + -v - i -i
=

i i i i

+ v - + v - - v + - v +
p = vi p = - vi p = - vi p = vi

Si p < 0, el elemento libera energía.
Si p > 0, el elemento absorbe energía.

Elementos activos (fuentes, generadores)
Representan la excitación que se aplica al resto del circuito.

Clasificación
Por la magnitud: de tensión, de corriente.
Por la relación con otros elementos:
independientes,
dependientes (su valor depende de otros elementos).
Por la relación con el tiempo:
continuas (el valor no cambia con el tiempo),
variables (el valor cambia con el tiempo).

Representación gráfica
+ - + -

Fuente de tensión Fuente de tensión Fuente de tensión
independiente independiente independiente
(continua o variable) continua sinusoidal

Fuente de corriente Fuente de corriente Fuente de tensión
independiente dependiente dependiente
(continua o variable) (continua o variable) (continua o variable)

Fuente de tensión
Impone en sus bornes la tensión indicada
por la relación funcional; soporta cualquier corriente.

Fuente de corriente:
Impone en sus bornes la corriente indicada
por la relación funcional; soporta cualquier tensión.

Elementos pasivos
Soportan la excitación proporcionada por las fuentes.

Caracterización de los elementos pasivos
Esquema Elemento Relación Observaciones
y unidades funcional
+ i Resistencia
v v = Ri Ley de Ohm
- R Ohmios (Ω)
+ i Conductancia
v i = Gv Ley de Ohm
- G Siemens (S)
+ i Inductancia No soporta
v v = L di cambios bruscos
- L Henrios (H) dt de corriente
+ i Capacidad No soporta
v i = C dv cambios bruscos
- C Faradios (F) dt de tensión
+ i
Cortocircuito v=0 Soporta
- R=0 cualquier corriente
+ i
Circuito i=0 Soporta
- R=∞ abierto cualquier tensión
Si se cambia el sentido de la corriente con relación a la tensión,
hay que utilizar un signo menos
en el segundo miembro de la relación funcional.

L y C son elementos reactivos; almacenan y liberan energía.
R y G son elementos resistivos; disipan energía.

Análisis
Analizaremos exclusivamente circuitos lineales
(los elementos pasivos tienen valores positivos, constantes con el
tiempo, e independientes de los valores de cualquier otro elemento),
con lo que podremos aplicar el principio de superposición.

Principio de superposición
Si en un sistema lineal
la respuesta a una excitación xk (k = 1, 2,... n) es una salida yk,
la respuesta a una excitación compuesta
por una combinación lineal de las excitaciones xk
es una salida que es la misma combinación lineal
de las excitaciones xk.

sistema
xk yk k = 1, 2,... n
lineal

sistema
Σ a kx k Σ a kyk
lineal
ak = cte, para todo k

La linealidad (y el principio de superposición)
sólo se mantiene si las salidas son tensiones o corrientes,
y no si las salidas son potencias o energías.

Leyes de Kirchhoff
Definiciones
Nudo: punto en el que se conectan dos o más elementos.
Malla: conjunto cerrado de elementos conectados
uno a uno que puede recorrerse
sin pasar dos veces por ninguno de ellos.

Ley de las corrientes en los nudos
La suma algebraica de las corrientes en un nudo es nula.
Σ ik = 0, k = 1, 2,... n
n: número de elementos conectados al nudo

Ley de las tensiones en las mallas
La suma algebraica de las tensiones en una malla es nula.
Σ vk = 0, k = 1, 2,... n
n: número de elementos que forman la malla

Análisis de redes
Analizar un circuito consiste en calcular
las corrientes y las tensiones en sus elementos
(y, en caso necesario, potencias y energías).

Para ello hay que:
plantear las leyes de Kirchhoff en los nudos y en las mallas;
relacionar la corriente y la tensión en cada elemento
mediante su correspondiente relación funcional.

Ejemplo de análisis de redes
Conocidos los valores de vg, R1, R2, y R3,
R1 se desea hallar los valores
de las corrientes y las tensiones
R2 en todos los elementos del circuito.
vg
R3

a + v1 - b Se identifican los nudos (a, b, c, y d)
y las mallas (abcd) del circuito.
i1 R1
+ Se asignan tensiones y corrientes
ig i2 v2 arbitrarias a los distintos elementos
vg R2 - (excepto para la fuente,
R3 i3 el sentido de cuya tensión
ya está especificado).
d + v3 - c

nudo a: ig - i1 = 0 Se aplica la ley de las corrientes
nudo b: i1 + i2 = 0 a los nudos
nudo c: i2 - i3 = 0 (una ecuación por cada nudo).
nudo d: i3 + ig = 0
malla abcd: Se aplica la ley de las tensiones
vg - v1 - v2 + v3 = 0 a las mallas
(una ecuación por cada malla).
v1 = R1i1 Se consideran las relaciones
v2 = - R2i2 funcionales de los elementos
v3 = R3i3 (una relación por elemento).

A partir del sistema de ecuaciones es posible
hallar las corrientes y las tensiones buscadas.

Refinamientos del análisis de redes
El análisis de un circuito mediante la aplicación directa
de las leyes de Kirchhoff puede ser muy complicado.

Para resolver este problema pueden utilizarse
simplificaciones y procedimientos derivados,
sin aproximaciones matemáticas, de las leyes de Kirchhoff.

Simplificaciones
Elementos en serie.
Elementos en paralelo.
Equivalencia ∇-Y (∏-T) entre agrupaciones de resistencias.
Divisores de tensión.
Divisores de corriente.

Procedimientos
Análisis por mallas.
Análisis por nudos.

Otros aspectos (también derivados de las leyes de Kirchhoff)
Equivalentes de Thèvenin y Norton.

Elementos en serie
Se dice que dos elementos están en serie cuando
tienen un nudo común,
y a este nudo no se conecta ningún otro elemento.
a b c Los elementos a, b y c
están en serie

La corriente que circula por un conjunto de elementos en serie
es igual en todos ellos. Por tanto:
no es posible conectar en serie
fuentes de corriente de distintos valores;
si los elementos en serie son idénticos en naturaleza y valor,
la tensión es igual en ellos.

Elementos en serie de igual naturaleza pueden agruparse.
E1 En Eeq

i1 = = = in = i i
Elementos de igual naturaleza en serie Elemento equivalente
n

Fuentes de tensión vk (k = 1, 2,... n) veq = ∑ vk
k=1
n
Resistencias Rk (k = 1, 2,... n) Req = ∑ Rk
k=1
n
Inductancias Lk (k = 1, 2,... n) Leq = ∑ Lk
k=1
n
Capacidades Ck (k = 1, 2,... n) 1 = ∑ 1
Ceq k = 1 Ck

Elementos en paralelo
Se dice que dos elementos están en paralelo
cuando los terminales de todos ellos se conectan a los mismos nudos.

a b c Los elementos a, b y c
están en paralelo

La tensión en un conjunto de elementos en paralelo
es igual en todos ellos. Por tanto:
no es posible conectar en paralelo
fuentes de tensión de distintos valores;
si los elementos en paralelo son idénticos en naturaleza y valor,
la corriente es igual en ellos.

Elementos en paralelo de igual naturaleza pueden agruparse.
+ + +
v1 E1 vn En v1 = ... = vn = v v Eeq
- - -
Elementos de igual naturaleza en paralelo Elemento equivalente
n

Fuentes de corriente ik (k = 1, 2,... n) ieq = ∑ ik
k=1
n
Resistencias Rk (k = 1, 2,... n) 1 = ∑ 1
Rk
eq k=1
n
Inductancias Lk (k = 1, 2,... n) 1 = ∑ 1
Lk
eq k=1
n
Capacidades Ck (k = 1, 2,... n) Ceq = ∑ Ck
k=1

Divisor de tensión
+ v1 - R1
v1 = v
+ R 1 + R2
R1
v2
v R2 - v2 = v R2
R 1 + R2

Divisor de corriente
R2
i1 = i
R1 i1 R 2 i2 R 1 + R2
i
i2 = i R1
R 1 + R2

Transformación de generadores
a a
R R
v b i b

Desde la perspectiva de un circuito externo
conectado a los terminales a y b, ambos esquemas son iguales
si se cumplen las relaciones indicadas más abajo.
Sin embargo, téngase presente que para cálculos de corrientes y
tensiones en el conjunto generador-resistencia
la equivalencia no se mantiene en general.

v = Ri i = v/R

Utilización de las simplificaciones
vg = 60 V, ig = 5.6 mA,
+ R1 = 30 kΩ, R2 = 60 kΩ,
R1 R3 R5
v6 R3 = 5 kΩ, R4 = 100 kΩ,
vg R2 ig R4 R6 - R5 = 1 kΩ, R6 = 4 kΩ
Hallar v6

+ Transformación de fuente
R3 R5 vg
v6 i1 =
i1 R1 R2 ig R4 R6 - R1

+ Agrupación de resistencias
R3 R5 en paralelo
v6
ig
i1 R12 R4 R6 - R12 = R1R2
R 1 + R2

R12 R3 R5 v12 = R12i1
v6
v12 ig R4 R6 -

R123 R5 en serie
v6
v12 ig R4 R6 - R123 = R12 + R3

+ Transformación de fuentes
i2 R5
v6 i2 = v12
R123 ig R4 R6 - R123

Utilización de las simplificaciones
Agrupación de resistencias en paralelo
R1234 = R123R4
+
R5
v6 R123 + R4
i3 R1234 R6 - Agrupación de fuentes en paralelo
i 3 = ig - i2

R1234 R5 v1234 = R1234i3
v6
v1234 R6 -

R12345 en serie
v6
v1234 R6 - R12345 = R1234 + R5

+ Divisor de tensión
R12345 R6
v6 v6 = v1234 = 12.8 V
v1234 R6 - R12345 + R6

Equivalentes de Thèvenin y Norton
Un circuito puede conectarse a una red externa
a través de dos o más terminales.

Si una red externa está conectada a un circuito
a través de dos terminales,
el comportamiento del segundo puede representarse
mediante los equivalentes de Thèvenin y Norton.

Un circuito tiene tantos equivalentes distintos
como parejas de terminales se consideren.

Equivalentes de Thèvenin y Norton en continua
a a a
RTh
VTh IN RN
b b b
Circuito original Equivalente Equivalente
de Thèvenin de Norton

Entre los equivalentes se cumplen las relaciones
(transformación de fuentes)
RTh = RN VTh = RNIN IN = VTh
RTh

Si entre los terminales a y b se conecta una resistencia
RL = RTh
la potencia disipada en dicha resistencia es la máxima posible,
y vale
2
VTh
pmax =
4RTh

Análisis por mallas
Identificación de mallas
En un circuito hay r - (n - 1) mallas independientes.
n: número de nudos esenciales.
nudo esencial: conecta tres o más elementos.
r: número de ramas esenciales.
rama esencial: camino entre dos nudos esenciales
que no pasa por otro nudo esencial.

Sistema de ecuaciones
A cada malla independiente se asigna una corriente.
Se formula una ecuación por cada malla independiente
(refleja la ley de Kirchhoff de las tensiones en la malla).
Las incógnitas son las corrientes de las mallas.

Ecuaciones adicionales
Debe formularse una ecuación adicional por:
cada fuente independiente de corriente,
cada fuente dependiente.
Las incógnitas de las ecuaciones adicionales
están relacionadas con los elementos que las introducen.

Nota
Las corrientes de malla no tienen existencia real.
Las corrientes que tienen sentido físico y pueden medirse
son las corrientes de rama.
En una rama no compartida entre dos mallas
la corriente coincide con la de la malla
de la que forma parte la rama.

Ejemplo de análisis por mallas
R1 R3 R2 Datos:
v a , vb , R1 , R2 , R3 , R4 , R5
i3
va vb Hallar i3
R4 R5 i3 = ia - ib

R1 + v1 - R3 + v2 - R2 Asignación de corrientes
+ de malla (sentido arbitrario)
v3 y tensiones (polaridad arbitraria)
va ia - i3 ib vb
R4 + v 4 - + v 5 - R5
v a - v1 - v3 + v4 = 0 Ley de Kirchhoff
v 3 - v2 - vb + v 5 = 0 de tensiones en las mallas
v3 = R3i3 = R3(ia - ib) Relaciones funcionales
v1 = R1ia, v4 = - R4ia
v2 = R2ib, v5 = - R5ib
va - R1ia - R3(ia - ib) - R4ia = 0 Ecuaciones de malla
R3(ia - ib) - R2ib - vb - R5ib = 0
va = ia(R1 + R3 + R4) - ibR3 Ecuaciones de malla
vb = iaR3 - ib(R3 + R2 + R5) (ordenadas)

Prescindiendo de signos:
suma algebraica fuentes tensión independientes en malla =
= corriente de malla X suma resistencias malla +
+ suma algebraica (resistencia compartida X
X corriente en resistencia compartida)

Los signos dependen de las relaciones entre:
corrientes y fuentes en una malla,
corrientes en las ramas compartidas.

Ejemplo de análisis por mallas
R1 R3 Datos:
vd = ri2,
i2 ig, r, R1, R2, R3
ig R2 vd
Hallar potencias en las fuentes

R1 R3 Identificación de incógnitas
+
vg i2
- ig ia ib vd
R2

vg = ia(R1 + R2) - ibR2 Ecuaciones de malla
vd = - iaR2 + ib(R2 + R3)

vd = ri2 = r(ib - ia) Ecuación adicional
para la fuente dependiente
i a = ig Ecuación adicional
para la fuente de corriente
p g = - vg i g , pd = - vd i b Cálculos

Análisis por nudos
Identificación del nudo de referencia
Se escoge arbitrariamente un nudo esencial
como referencia y se le asigna una tensión arbitraria.
Suele escogerse el nudo con más conexiones
y suele asignársele una tensión nula.

Indicación del nudo de referencia con tensión nula
(conexión a tierra, a masa).

Sistema de ecuaciones
A cada nudo esencial se asigna una tensión
con relación al de referencia.
Se formula una ecuación por cada nudo
(refleja la ley de Kirchhoff de las corrientes en el nudo).
Las incógnitas son las tensiones en los nudos
(excepto la del de referencia).

Ecuaciones adicionales
Debe formularse una ecuación adicional por:
cada fuente independiente de tensión,
cada fuente dependiente.
Las incógnitas de las ecuaciones adicionales
están relacionadas con los elementos que las introducen.

Nota
Las tensiones en los nudos no tienen existencia real.
Las tensiones que tienen sentido físico y pueden medirse
son las diferencias de tensiones entre los nudos
y el de referencia.

Ejemplo de análisis por nudos
Datos:
Rc i 1 , i2 , R a , R b , R c
i1 Ra Rb i2 Hallar la potencia en Rc
ic
v1 v2 Identificación de nudos
y asignación de tensiones (vo = 0 V).
Rc
Asignación arbitraria del sentido
i1 ia R a R b ib i2 de las corrientes de rama.
vo
i 1 - ia - ic = 0 Ley de Kirchhoff
i 2 - ib - ic = 0 de corrientes en los nudos
ia = (v1 - vo) / Ra = v1/Ra Relaciones funcionales
ic = (v1 - v2) / Rc
ib = (vo - v2) / Rb = - v2/Rb
i1 - (v1/Ra) - (v1 - v2) / Rc = 0 Ecuaciones de nudo
i2 - (- v2/Rb) - (v1 - v2) / Rc = 0
i1 = v1 1 + 1 - v2 Ecuaciones de nudo
Ra Rc Rc (ordenadas)
- i 2 = - v1 + v 2 1 + 1
Rc Rb Rc

pc = ic(v1 - v2) Cálculo

suma algebraica fuentes corriente independientes en nudo =
= tensión de nudo X suma conductancias nudo -
- suma algebraica (conductancia compartida X
X tensión en otro nudo de conductancia compartida)
Los signos de las fuentes se toman positivos
si sus corrientes entran en el nudo considerado.

Ejemplo de análisis por nudos
+ vb - Datos:
id = gvb,
R1 R2
v g, g, R1, R2, R3
vg R3 id
Hallar potencia
en la fuente independiente

v1 + vb - v2 Identificación de nudos
y asignación de tensiones
R1 R2 (vo = 0 V)
vg ig R3 id
vo

- ig = v1 1 + 1 - v2 Ecuaciones de nudo
R1 R2 R2
id = - v1 + v2 1 + 1
R2 R2 R3

id = gvb = g(v1 - v2) Ecuación adicional
para la fuente dependiente
v 1 = - vg Ecuación adicional
para la fuente de tensión
p g = - vg i g Cálculo

CONTINUA 2003/1
ID R4
VG = 5 V, IS = - 1 mA, ID = gV3,
R1 R2
g = 1 mS, R1 = R2 = R3 = R4 = 1 kΩ x y
El circuito de la figura funciona en régimen perma- +
nente continuo. Hallad las potencias en las tres fuentes (indi- V3
cando si liberan o absorben energía) y la tensión entre x e y. VG - R3 IS

CONTINUA 2003/2 R1
R2
R3
VG = 1 V, IS = 250 mA, +
R1 = R2 = R3 = R4 = 2 Ω V4
El circuito de la figura funciona en régimen VG IS R4 -
permanente continuo. Hallad la tensión V4.

Análisis de redes

Régimen transitorio

Transitorio-1: páginas 27-40
Ejercicios para resolver en clase: página 41
Ejercicios para resolver en clase: página 70

En el régimen permanente
la excitación mantiene sus características mucho tiempo;
la excitación fue aplicada hace mucho tiempo.

En régimen permanente, las salidas del circuito (corrientes,
tensiones) son de la misma forma que la excitación.
Una excitación continua provoca salidas continuas.
Una excitación sinusoidal provoca salidas sinusoidales.

El régimen transitorio es el que se produce inmediatamente después
de que se aplique o se suprima una excitación.
y elementos

elementos
excitación

asociados

Interruptor cerrado: cortocircuito.
otros

t = ta
Interruptor abierto: circuito abierto.

En régimen transitorio, las salidas del circuito
no son de la misma forma que la excitación.
Ello se debe a la presencia de elementos reactivos
(sus relaciones funcionales implican dependencias del tiempo).
En un circuito puramente resistivo no hay régimen transitorio.

Condiciones de estudio
del régimen transitorio
La excitación que se aplica al circuito o se suprime de él es continua.
Sólo se analizan respuestas de circuitos
con dos elementos reactivos como mucho.
Los cálculos se realizan mediante análisis integro-diferencial.

Elementos reactivos en régimen transitorio
Relaciones funcionales
+ v -
LoC

i
vL = L diL iC = C dvC
dt dt

Consecuencias
La corriente no puede variar bruscamente (en un tiempo nulo)
en una inductancia (provocaría tensión infinita).
La tensión no puede variar bruscamente (en un tiempo nulo)
en una capacidad (provocaría corriente infinita).
La tensión en una inductancia y la corriente en una capacidad
sí pueden variar bruscamente.
(Las resistencias admiten cambios bruscos de corriente y tensión).
En continua
la inductancia se comporta como un cortocircuito
(tensión nula ya que la corriente es constante);
la capacidad se comporta como un circuito abierto
(corriente nula ya que la tensión es constante).

Condiciones iniciales y finales
Iniciales (t = 0): las que hay en el circuito cuando cesa
el permanente (t = 0-) y empieza el transitorio (t = 0+).
Finales (t = ∞): las que hay en el circuito
cuando cesa el transitorio y se llega al permanente.

Determinación de condiciones
iniciales y finales
(aplicación de excitación, cálculo directo, septiembre 1999)
Datos:
iC + + IG (continua), R, L, C
vC t = 0 R iL vL
IG C - R L - Hallar condiciones en
t = 0-, t = 0+, y t = ∞
iC(0-) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(0-) = 0 L es un cortocircuito en continua
iL(0-) = 0 L no está conectada a la excitación
vC(0-) = RIG toda corriente fuente se va por R paralelo C;
las tensiones en R y C son iguales
vC(0+) = vC(0-) = RIG tensión en C no cambia bruscamente
iL(0+) = iL(0-) = 0 corriente en L no cambia bruscamente
vL(0+) = RIG en la malla que contiene a L
vC (0+) = RiL(0+) + vL(0+)
iC(0+) = 0 vC (0+) = vC (0-) →
toda corriente fuente se va por R paralelo C
manteniendo la tensión en C

iC(∞) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(∞) = 0 L es un cortocircuito en continua

iL(∞) = IG/2 toda corriente fuente se reparte entre R y R
(iC (∞) = 0) igual entre ambas
vC(∞) = RIG/2 tensión en C igual a tensión R paralelo C

iniciales y finales
(aplicación de excitación, cálculo directo, junio 2001)
Datos:
R t=0 iC + avL R iL + IG (continua), a, R, L, C
vC vL
IG C - L - Hallar: condiciones en
t = 0-, t = 0+, y t = ∞;
wL (0 ≤ t ≤ ∞)
iL(0-) = 0 iL(0-) + iC(0-) = 0
vC(0-) = 0 vC(0-) = avL(0-) + RiL(0-) + vL(0-)
vC(0+) = vC(0-) = 0 tensión en C no cambia bruscamente
iC(0+) = IG iC(0+) = IG - vC(0+)/R - iL(0+)
vL(0+) = 0 vC(0+) = avL(0+) + RiL(0+) + vL(0+)


iL(∞) = IG/2 toda corriente fuente se reparte entre R y R
(iC (∞) = 0) igual entre ambas
vC(∞) = RIG/2 vC(∞) = avL(∞) + RiL(∞) + vL(∞)

∞ ∞ ∞
d iL(t)
wL = pL(t)dt = vL(t)iL(t)dt = iL(t)L dt = L i2 (∞) - i2 (0)
dt 2 L L
0 0 0

iniciales y finales
(aplicación de excitación, cálculo directo, diciembre 2002)
t=0 Datos:
+ iL + IG (continua), a, R, L, C
R
iC vC vL
IG C - aiC L - Hallar: condiciones en
t = 0-, t = 0+, y t = ∞;
wL (0 ≤ t ≤ ∞)
vC(0-) = 0 vC(0-) = vL(0-)
iC(0+) = IG/(1 - a) IG = vC(0+)/R + (1 -a)iC(0+) + iL(0+)
vL(0+) = 0 vL(0+) = vC(0+)


iL(∞) = IG IG = vC(∞)/R + (1 -a)iC(∞) + iL(∞)
vC(∞) = 0 vC(∞) = vL(∞)

∞ ∞ ∞
d iL(t)
wL = pL(t)dt = vL(t)iL(t)dt = iL(t)L dt = L i2 (∞) - i2 (0)
dt 2 L L
0 0 0

iniciales y finales
(supresión de excitación, cálculo directo, julio 1999)
+ vL - Datos:
L iC + VG (continua), R, L, C
iL t=0 vC
VG R R C - Hallar: condiciones en
t = 0-, t = 0+, y t = ∞;
wC (0 ≤ t ≤ ∞)
iL(0-) = 2VG/R iC (0-) = 0 → VG = vL(0-) + (R//R)iL(0-)
vC(0-) = VG VG = vL(0-) + vC(0-)
vC(0+) = vC(0-) = VG tensión en C no cambia bruscamente
iL(0+) = iL(0-) = 2VG/R corriente en L no cambia bruscamente
iC(0+) = - VG/R iC(0+) + vC(0+)/R = 0
vL(0+) = - VG VG = vL(0+) + RiL(0+)


iL(∞) = VG/R vL(∞) = 0
vC(∞) = 0 iC(∞) + vC(∞)/R = 0

∞ ∞ ∞
d vC(t)
wC = pC(t)dt = vC(t)iC(t)dt = vC(t)C dt = C v2 (∞) - v2 (0)
dt 2 C C
0 0 0

iniciales y finales
(supresión de excitación, cálculo directo, junio 2000)
t=0 Datos:
iC + IG (continua), a, R, L, C
R + avC R iL
vC vL
IG C - R L - Hallar condiciones en
t = 0-, t = 0+, y t = ∞
iL(0-) = IG(1 - a)/(3 - a) IG = vC(0-)/R + iC(0-) + vC(0-)/R + iL(0-)
vC(0-) = RIG/(3 - a) vC(0-) = avC(0-) + RiL(0-) + vL(0-)
vC(0+) = vC(0-) tensión en C no cambia bruscamente
iL(0+) = iL(0-) corriente en L no cambia bruscamente
iC(0+) = IG(2 - a)/(3 - a) IG = iC(0+) + vC(0+)/R
vL(0+) = RIG(a - 2)/(3 - a) 0 = RiL(0+) + vL(0+) + avC(0+) + RiL(0+)


vC(∞) = RIG IG = iC(∞) + vC(∞)/R
iL(∞) = - aIG/2 0 = RiL(∞) + vL(∞) + avC(∞) + RiL(∞)

iniciales y finales
(aplicación de excitación, cálculo directo, otras variables, septiembre 2002)
+ v1 - Datos:
R + IG (continua), a, R, L, C
R t=0 Ri
L iC v C
VG L RiL C - Hallar: v1, vC, iL e iC
en t = 0-, t = 0+, y t = ∞
v1(0-) = 0 v1(0-) = RiL(0-)
vC(0-) = 0 RiL(0-) = RiC(0-) + vC(0-)
v1(0+) = 0 v1(0+) = RiL(0+)
iC(0+) = 0 RiL(0+) = RiC(0+) + vC(0+)

iL(∞) = VG/(2R) VG = (R + R)iL(∞) + vL(∞), vL(∞) = 0
v1(∞) = VG/2 v1(∞) = RiL(∞)
vC(∞) = VG/2 RiL(∞) = RiC(∞) + vC(∞)

iniciales y finales
(aplicación de excitación, cálculo directo, otras variables, junio 2002)
+ v1 - Datos:
+ IG (continua), g, R, L, C
R t=0 R iL R i2
vC
VG C - gvC L R Hallar: v1, vC, iL e i2
en t = 0-, t = 0+, y t = ∞;
wG (0 ≤ t ≤ ∞)
v1(0-) = 0 v1(0-) = RiC(0-), iC(0-) = 0
vC(0-) = 0 C no está conectada a la excitación
iL(0-) = 0 gvC(0-) = iL(0-) + i2(0-)
i2(0-) = 0 vL(0-) = 0 → iL(0-) = i2(0-)
v1(0+) = VG/2 v1(0+) = RiC(0+), VG = (R + R)iC(0+) + vC(0+)
i2(0+) = 0 gvC(0+) = iL(0+) + i2(0+)

v1(∞) = 0 v1(∞) = RiC(∞), iC(∞) = 0
vC(∞) = VG VG = (R + R)iC(∞) + vC(∞)
iL(∞) = gVG/2 gvC(∞) = iL(∞) + i2(∞)
i2(∞) = gVG/2 vL(∞) = 0 → iL(∞) = i2(∞)

∞ ∞ ∞
dv C(t)
wG = pG(t)dt = - VGiC(t)dt = - VGC dt = - CVG[vC(∞) - vC(0)]
dt
0 0 0

iniciales y finales
(cálculo directo, otras variables, junio 1998)

t=0 + +

t=0
RG i1 i2 i4 i5 i6 i7 v 7
i3 v3
VG L1 C2 R3 - gVG R4 C5 R6 L7 -

Datos: VG (continua), g, RG, L1, C2, R3, R4, C5, R6, L7

Hallar las variables que se indican en negrita

v3(0+) = vC2(0+) = vC2(0-) = vL1(0-) = 0
i1(0+) = i1(0-) = [VG - vL1(0-)]/RG = VG/RG
i3(0+) = v3(0+)/R3 = 0
i2(0+) = - i1(0+) - i3(0+) = - VG/RG
i7(0+) = i7(0-) = 0
v7(0+) = vC5(0+) = vC5(0-) = gVGR4
i6(0+) = vC5(0+)/R6 = gVGR4/R6
i5(0+) = gVG - i4(0+) - i6(0+) - i7(0+) =
= gVG - vC5(0+)/R4 - i6(0+) - i7(0+) = - gVGR4/R6
v7(∞) = 0
i7(∞) = gVG - i4(∞) - i5(∞) - i6(∞) =
= gVG - vC5(∞)/R4 - vC5(∞)/R6 = gVG

Una vez conocidas las variables fundamentales (iL, vC)
para un instante dado, es posible obtener
cualquier otra corriente o tensión para el mismo instante.

iniciales y finales
(cálculo de derivadas, septiembre 2000)
+ vL - Datos: IG (continua), R, L, C
R L RiL +
iL t=0 iC vC Hallar las derivadas
IG R R C - que se indican en negrita

iL(0+) = 2IG , vC(0+) = - RIG
3 3

- RiC(0+) = RiL(0+) + vC(0+) →
+) = - IG → dv C iC(0+)
→ iC(0 = = - IG
3 dt 0 + C 3C

vL(0+) + RiL(0+)
IG = + iL(0+) → vL(0+) = - RIG →
R 3
+)
→
diL = vL(0 = - RIG
dt 0 + L 3L

El cálculo de la corriente y la tensión en t = 0+
se hace como se indicó en problemas anteriores.

Las derivadas de cualquier variable
en régimen permanente continuo son nulas.

iniciales y finales
(influencia de distintas condiciones iniciales, diciembre 1994)
- vC +
Ra + +C IG

t=0

t=0
i1 v1 i2 v2 iC
gvC L1 - L2 - Rb
Datos: IG (continua), g, Ra, Rb, L1, L2, C

Hallar i1(∞) e i2(∞)

Solución aparente: i1(∞) = i2(∞) = 0.
Es falsa porque i1 e i2 tienen corrientes distintas en t = 0.

t=∞ 0 = iC(∞) = i1(∞) + i2(∞) (1)

t≥0 v1(t) = v2(t) → L1 di1 = L2 di2 →
dt dt
→ L1 di1 dt = L2 di1 dt → L1i1(t) = L2i2(t) + K
dt dt

t = 0+ L1i1(0+) = L2i2(0+) + K
i1(0+) = gRbIG, i2(0+) = 0 → K = L1gRbIG (2)

t=∞ L1i1(∞) = L2i2(∞) + K (3)
gRbIGL2 Combinando (1-3)
i1(∞) = = - i2(∞)
L 1 + L2

El cálculo de las corrientes en t = 0 se hace
como se indicó en problemas anteriores.

iniciales y finales
(influencia de distintas condiciones iniciales, diciembre 1996)
+ v1 - + v2 - Datos:
R + VG (continua), r, R, C1, C2, L
iL v L i1 C 1 i2 C 2 R
VG L - t=0 riL Hallar v1(∞) y v2(∞)

Solución aparente: v1(∞) = v2(∞) = 0
(C1 y C2 están entre dos cortocircuitos).
Es falsa porque v1 y v2 tienen tensiones distintas en t = 0.

t=∞ 0 = vL(∞) = v1(∞) + v2(∞) (1)

t≥0 i1(t) = i2(t) → C1 dv1 = C2 dv2 →
dt dt
→ C1 dv1 dt = C2 dv2 dt → C1v1(t) = C2v2(t) + K
dt dt

t = 0+ C1v1(0+) = C2v2(0+) + K
(2)
v1(0+) = 0, v2(0+) = - rVG → K = C2rVG
R R

t=∞ C1v1(∞) = C2v2(∞) + K (3)

v1(∞) = C2rVG = - v2(∞) Combinando (1-3)
(C1 + C2)R

El cálculo de las tensiones en t = 0 se hace
como se indicó en problemas anteriores.

iniciales y finales
(problema inverso, diciembre 1999
t=0 t=0
+ v1 -
1
+
i1 i2 2 v 2
+ + +
-
+ i4 4 v 4 i5 5 v 5 i6 6 v6
VG i3 3 v3 - - -
-
t i1 v1 i2 v2 i3 v3 i4 v4 i5 v5 i6 v6
0+ VG VG VG 0 VG VG 0 VG 0 0 0 0
2R 2 2R 2R 2 2
0- VG VG VG 0 VG VG -1A VG 1A VG 0 VG
2R 2 2R 2R 2 2 2 2

Identificar la naturaleza (R, L, C) de los elementos
1 i1(0-) ≠ 0 → no C; v1(0-) ≠ 0 → no L resistencia

2 i2(0-) ≠ 0 → no C; v2(0-) = 0 → no R inductancia

3 i3(0-) ≠ 0 → no C; v3(0-) ≠ 0 → no L resistencia

4 v4(0-) ≠ 0 → no L; i4(0-) = 0 → no R capacidad

5 cambio brusco de corriente y tensión resistencia
6 cambio brusco de tensión → no C inductancia
v6(0+) ≠ 0 e i6(0+) = 0 → no R

Ejercicios para resolver en clase
TRANSITORIO- + v3 -
CONDICIONES 2003/A i1 iC + +
+ kv R iL

t=0
C
vC v2 vL
El circuito de la figura funciona en IG R C - R - L -
régimen permanente continuo.
Hallad los valores de i1, iC, v2, y vL Son datos los valores
de todos los elementos del circuito.
para t = 0-, t = 0+, y t = ∞.

TRANSITORIO- + v1 - - vL +
CONDICIONES 2003/B + L gvC
R R iL
t=0 iC vC i2
El circuito de la figura - R
VG C R
funciona en régimen permanente
continuo. Son datos los valores
Hallad los valores de v1, vC, de todos los elementos del circuito.
i2, e iL para t = 0-, t = 0+, y t = ∞.

TRANSITORIO- + vL -
CONDICIONES 2003/C + L + Ri +
t=0
iL L
v1 v3 i vC
El circuito de la figura funciona C
- R IG R R - C -
en régimen permanente continuo.
Hallad los valores de v1, vL, v3, y Son datos los valores
vC para t = 0-, t = 0+, y t = ∞. de todos los elementos del circuito.

Respuesta en régimen transitorio
Se entiende por respuesta de un circuito en transitorio
la evolución temporal de sus corrientes y tensiones
entre dos estados permanentes.

La respuesta de un circuito en régimen transitorio
es igual para todas sus corrientes y tensiones
(excepto cuando son variables desacopladas).
Es decir, un circuito tiene un único tipo de respuesta
en régimen transitorio.

Tipos de respuestas
natural: la que se tiene cuando se suprime la excitación;
forzada: la que se tiene cuando se aplica la excitación.

Objeto del análisis en régimen transitorio
Hallar las expresiones temporales (ecuaciones que reflejan
la variación de corrientes y tensiones con el tiempo)
que caracterizan matemáticamente la respuesta.

Metodología de estudio
Análisis de respuestas en circuitos con un solo elemento reactivo.
Análisis de respuestas en circuitos con dos elementos reactivos.
Caso particular: circuitos con variables desacopladas.
Circuitos con cambios sucesivos.

Respuesta natural de un circuito RL
t=0
RG + iL
vL Datos: IG (continua), RG, L, R
IG - L R

Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t ≥ 0.

En esas condiciones la parte de interés (la que contiene a L)
está caracterizada por la ecuación de malla
vL + RiL = 0 → L diL + RiL = 0
dt
Se trata de la ecuación diferencial que caracteriza
la evolución temporal de iL para t ≥ 0.

Por ser una ecuación diferencial de primer orden
con segundo miembro nulo, la solución es de la forma
iL(t) = Ae-t/τ, constante de tiempo: τ = L/R

Esta ecuación es la expresión temporal de iL para t ≥ 0
y caracteriza la respuesta del circuito.

Para que la expresión temporal esté completa
es necesario determinar el valor de la constante A.
Para ello se tienen en cuenta las condiciones iniciales.

Por el circuito Por la expresión temporal
iL(0+) = iL(0-) = IG iL(0) = A →A = IG

La respuesta del circuito es
iL(t) = IGe-t/τ

Significado de la constante de tiempo
iL(t)
respuesta para
IG ritmo de descenso
constante
respuesta Representación gráfica
0.37I G natural de la expresión temporal
0.007IG que caracteriza
la respuesta natural
de un circuito RL
τ 5τ t

La constante de tiempo es una medida
de lo rápido que desaparece el régimen transitorio.

Puede decirse que el nuevo régimen permanente
se establece una vez que ha transcurrido un tiempo
igual a cinco constantes de tiempo
(pasado ese tiempo apenas hay variaciones
en la respuesta del circuito).

Esto valida la suposición de que
el circuito está en régimen permanente
antes del cambio de posición del interruptor
(se supone que el circuito ha permanecido en el mismo estado
mucho tiempo antes de que se produzca dicho cambio).

Ejempo de respuesta natural en circuito RL
t=0 Datos:
VG = 24 V, L = 5 mH,
RG + R + iL RG = 12 Ω, R1 = 6 Ω,
2
v1 vL R3
R2 = 4 Ω, R3 = 10 Ω
VG - R1 - L
Hallar:
v1(t ≥ 0) y wR3(0 ≤ t ≤ ∞)

t≥0

vL + i + vL = 0 Ecuación de nudo
R1 + R2 L R3
+ 1 diL + iL = 0
1 Ecuación diferencial
L
R1 + R2 R3 dt
iL = Ae-t/τ, τ = L 1 + 1 = 1 ms Expresión temporal
R1 + R2 R3

Por circuito Por expresión temporal
iL(0+) = iL(0-) = iL(0) = A
→A =1A
V GR 1
= =1A
RG(R1 + R2) + R1R2

vL(t) = L diL = - 5e-t V (t en ms)
dt
R1 = - 3e-t V (t en ms)
v1(t) = divisor de tensión = vL
R 1 + R2
∞ ∞ ∞
vL(t)
wR3 = pR3(t)dt = vR3(t)iR3(t)dt = vL(t) dt = 1.25 mJ
R3
0 0 0

Respuesta natural de un circuito RC
t=0
RG + iC
vC Datos: IG (continua), RG, C, R
IG - C R

Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t ≥ 0.

En esas condiciones la parte de interés (la que contiene a C)
está caracterizada por la ecuación de nudo

iC + vC = 0 → C dvC + vC = 0
R dt R
Se trata de la ecuación diferencial que caracteriza
la evolución temporal de vC para t ≥ 0.

con segundo miembro nulo, la solución es de la forma
vC(t) = Ae-t/τ, constante de tiempo: τ = RC

Esta ecuación es la expresión temporal de vC para t ≥ 0

Para que la expresión temporal esté completa
es necesario determinar el valor de la constante A.
Para ello se tienen en cuenta las condiciones iniciales.

Por el circuito Por la expresión
temporal
vC(0+) = vC(0-) = IG(RG//R) vC(0) = A →A = IG(RG//R)

La respuesta del circuito es
vC(t) = IG(RG//R)e-t/τ

Ejempo de respuesta natural en circuito RC
t=0 Datos:
VG (continua), RG, R, C1, C2
RG + iC2
vC Hallar vC(t ≥ 0)
VG iC1 C1 - R C2

t≥0

iC1 + vC + iC2 = 0 Ecuación de nudo
R
(C1 + C2) dvC + vC = 0 Ecuación diferencial
dt R
vC = Ae-t/τ, τ = R(C1 + C2) Expresión temporal

Por circuito Por expresión temporal
vC(0+) = vC(0-) = vC(0) = A → A = VG R
= VG R RG + R
RG + R

El circuito contiene dos elementos reactivos,
pero, como pueden ser agrupados en un solo,
el circuito es del tipo RC.

Respuesta forzada
en circuitos RL y RC (t ≥ 0)
t=0 t=0

RG R RG R +
iL vC
VG L VG C -
L descargada para t ≤ 0 C descargada para t ≤ 0

Ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal
L diL + (RG + R)iL = VG (RG + R)C dvC + vC = VG
dt dt

con segundo miembro no nulo, la solución es de la forma
iL(t) = B + (A - B)e-t/τ vC(t) = B + (A - B)e-t/τ
τ= L τ = (RG + R)C
RG + R

Esta ecuación es la expresión temporal para t ≥ 0

Es necesario determinar las constantes A y B.
Para ello se consideran condiciones iniciales y finales.
Circuito Circuito
iL(0+) = iL(0-) = 0 vC(0+) = vC(0-) = 0
→ A = 0 → A=0
Ex. temporal Ex. temporal
iL(0) = A vC(0) = A
Circuito Circuito
→ B =
iL(∞) = VG vC(∞) = VG
→ B = VG
RG + R = VG
Exp. temporal RG + R Exp. temporal
iL(∞) = B vC(∞) = B

Respuesta forzada de circuitos
con un solo elemento reactivo (t ≥ 0)
La ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal
es de la forma (x = iL; x = vC)

dx + x = K ⇔ τ dx + x = Kτ = xf
dt τ dt

La expresión temporal que representa la respuesta
x(t) = xf + (xo - xf)e-t/τ
xo = x(t = 0), xf = x(t = ∞)

Respuesta general de circuitos
con un solo elemento reactivo (t ≥ 0)
La respuesta natural es un caso particular
de la respuesta forzada en el que
K = 0 = xf

Procedimiento de análisis en régimen transitorio
Formular ecuaciones de mallas o de nudos.
Establecer la ecuación diferencial relativa
a la variable fundamental (iL, vC).
Obtener la expresión temporal.
Determinar la(s) constante(s) de la expresión temporal
comparando lo que ocurre en el circuito
(condiciones inicial y final) con la expresión temporal.

Ejemplo de respuesta forzada
t=0 Datos: IG (continua), R1, R2, L1, L2
R1 + R2
i1 vL i2 Hallar i1(t ≥ 0)
IG L1 - L2

t≥0

R iL + Simplificación para t ≥ 0
vL
IG L - L = L1L2 , R = R1R2
L 1 + L2 R 1 + R2

IG = iL + vL Ecuación de nudo
R
L diL + iL = IG Ecuación diferencial
R dt
iL = iLf + (iLo - iLf)e-t/τ, τ = L/R Expresión temporal

circuito 0 = iL(0) = iLo exp. temporal
circuito IG = iL(∞) = iLf exp. temporal

iL = IG(1 - e-t/τ), τ = L/R Respuesta

circuito L1 di1 = L2 di2 = L diL circuito
original dt dt dt simplificado

L1 di1 dt = L diL dt → L1i1 = LiL + K
dt dt
t = 0 → i1 = 0 = iL → K = 0 →
→ i1(t) = LiL(t)/L1

Ejemplo de respuesta forzada
t=0 t=0 Datos:
VA = 2 V = VB, C = 1µF,
+ R2 R1 = R2 = R3 = 2 Ω
R1 iC vC
VA C - R3 iB VB
Hallar potencia
en VB para t ≥ 0

t≥0

iB = VB - vC = iC + vC Ecuación de nudo
R2 R3
R2C dvC + R2 + R3 vC = VB Ecuación diferencial
dt R3
vC = vCf + (vCo - vCf)e-t/τ Expresión temporal
τ = R2R3C/(R2 + R3) = 1 µs

circuito 2 V = VA = vC(0) = vCo exp. temporal
circuito 1 V = VBR3/(R2 + R3) = vC(∞) = vCf exp. temporal

vC = 1 + e-t V (t en µs) Respuesta

VB - vC(t)
pB(t) = - VBiB(t) = - VB = - 1 + e-t W (t en µs)
R2

Respuesta en régimen transitorio
de circuitos con dos elementos reactivos
distintos, o iguales pero no agrupables
t=0 + vL -
L + Caracterización de la respuesta
R
iL iC vC para t ≥ 0
VG C -

(1) VG = RiL + vL + vC Ecuaciones del circuito

(2) vL = L diL , iL = iC = C dvC Relaciones entre variables
dt dt

Sustituyendo (2) en (1),
d2vC + RC dvC + v = V (3) y (4) son
(3) LC 2 C G
las ecuaciones diferenciales
dt dt
que caracterizan
Despejando vC en (1) la evolución temporal
y sustituyendo en (2), de vC e iL para t ≥ 0
d2iL + RC diL + i = 0
(4) LC 2 L
dt dt

La respuesta de un circuito con dos elementos reactivos
se caracteriza por dos ecuaciones diferenciales
de segundo orden
(al igual que la de un circuito con un elemento reactivo
se caracteriza por una ecuación diferencial
de primer orden).

Respuesta de circuitos
con dos elementos reactivos
Las ecuaciones diferenciales que caracterizan
la evolución temporal son de la forma (x = iL; x = vC)
2
a d x + b dx + cx = K
dt2 dt

Los coeficientes a, b y c son iguales para todas
las variables fundamentales del circuito
(corrientes en inductancias, tensiones en capacidades)
excepto en el caso de variables desacopladas.

El valor de K puede ser distinto para cada variable.

La solución general (expresión temporal) de la ecuación
diferencial (ecuación diferencial de segundo orden
en una sola variable con coeficientes constantes)

x(t) = xf + xh(t)
xf = x (t = ∞), (= 0 si K = 0)
xh(t): solución de la ecuación homogénea

Solución de la ecuación homogénea
Ecuación característica:
as2 + bs + c = 0 (aunque K ≠ 0)

Raíces de la ecuación característica:
- b ± b2 - 4ac
s1,2 = = - α ± α2 - ω0
2
2a

Coeficiente de amortiguamiento: α s-1 = b/(2a)
Frecuencia angular de resonancia: ω0 rad/s = s-1 = c/a

Caso 1 (respuesta supercrítica o sobreamortiguada):
(s1 y s2 reales y < 0) y (s1 ≠ s2) ⇔ ω0 < α2
2

xh(t) = Aes1t + Bes2t

Caso 2 (respuesta crítica o amortiguada):
(s1 y s2 reales y < 0) y (s1 = s2) ⇔ ω0 = α2
2

xh(t) = Ate-αt + Be-αt

Caso 3 (respuesta subcrítica o subamortiguada):
(s1 y s2 complejas) y (s1 = s2) ⇔ ω0 > α2
* 2

xh(t) = Ae-αtcos(ωdt) + Be-αtsen(ωdt), ωd = + ω2 - α2
0

Procedimiento de análisis
de circuitos con dos elementos reactivos

Formular dos ecuaciones de circuito
aplicando las leyes de Kirchhoff.

Formular relaciones entre variables.

Transformar las ecuaciones de circuito
en dos ecuaciones diferenciales
(una por cada variable fundamental).

Seleccionar una de las variables fundamentales.

Obtener la solución de la ecuación homogénea
correspondiente a la variable seleccionada.

Obtener las soluciones generales (expresiones temporales)
correspondientes a las dos variables.

Determinar las constantes de las soluciones generales
comparando lo que ocurre en el circuito
(condiciones iniciales y finales)
con las expresiones temporales (soluciones generales).

Ejemplo de análisis de circuitos
(respuesta supercrítica)

t=0 t=0 Datos:
a VG = 1 V, k = - 1,
R R R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F
VG
R
+ kiL + Hallar:
iC vC iL vL iL(t ≥ 0) y vC(t ≥ 0)
C - L -

t≥0
(1) RiC + vC = va = RiL + vL Ecuaciones del circuito
(2) kiL = iC + va/R + iL

(3) vL = LdiL/dt Relaciones entre variables
(4) iC = CdvC/dt

Combinando (1-4),

d2vC + (3 - k)RC + L dvC + (2 - k)v = 0 Ecuaciones
2LC 2 C
dt R dt diferenciales
d2iL + (3 - k)RC + L diL + (2 - k)i = 0
2LC 2 L
dt R dt

a = 2LC = 2 s2, b = (3 - k)RC + L/R = 5 s, c = 2 - k = 3 Ecuación.
característ.
α = b/(2a) = 5/4 s-1, ω0 = c/a = 3/2 s-1
α2 > ω0 → respuesta supercrítica
2

Ejemplo de análisis de circuitos
(respuesta supercrítica)

(5) vC(t) = vCf + Aes1t + Bes2t Expresiones
temporales
s1,2 = - α ± α2 - ω0
2 → s1 = - 1 s-1, s2 = - 1.5 s-1
Sustituyendo (5) en (4), y el resultado en (2),
iL(t) = 1 ×
k-1
× vCf + A 2Cs1 + 1 es1t + B 2Cs2 + 1 es2t =
R R R
= - vCf + Ae 1 + Bes2t
st
2 2

circuito 1 V = VG = vC(0) = vCf + A + B exp. temporal
circuito 0 = vC(∞) = vCf exp. temporal
circuito 0 = iL(0) = - vCf + A + B exp. temporal
2 2
vCf = 0, A = 2 V, B = - 1 V

vC(t) = 2e-t - e-1.5t V (t en s) Respuesta
iL(t) = e-t - e-1.5t A (t en s)

Circuitos con dos elementos reactivos
(respuesta crítica, diciembre 1997)
t=0 t=0 Datos:
a IG = 2 A, R = 1 Ω,
R R R L = 1 H, C = 1 F
IG R IG
+ + Hallar:
iC vC
pG
iL vL iL(t ≥ 0), vC(t ≥ 0);
L C - L - pG(t ≥ 0)

t≥0

(1) RCdvC/dt + vC = va = RiL + LdiL/dt Ecuaciones del circuito
(2) IG = CdvC/dt + va/R + iL y relaciones

d2vC + (3RC + L ) dvC + 2v = RI Ecuaciones
2LC 2 C G
d2iL + (3RC + L ) diL + 2i = I
2LC 2 L G
dt R dt

a = 2LC = 2 s2, b = 3RC + L/R = 4 s, c = 2 Ecuación
α = b/(2a) = 1 s-1, ω0 = c/a = 1 s-1 característica
α2 = ω0 → respuesta crítica
2

(3) vC(t) = vCf + Ate-αt + Be-αt Expresiones
Combinando (1-3), temporales

iL(t) = IG - vCf + A 2αC - 1 te-αt +
R R
+ -2CA + B 2αC - 1 e-αt =
R
= 2 - vCf + Ate-αt + (B - 2A)e-αt (t en s, vCf en V)


circuito 2 V = RIG = vC(0) = vCf + B exp. temporal
circuito 1 V = RIG/2 = vC(∞) = vCf exp. temporal
circuito 1 A = IG/2 = iL(0) = 2 - vCf + B - 2A exp. temporal
vCf = 1 V, A = 0.5 V/s, B = 1 V

vC(t) = 1 + 0.5te-t + e-t V (t en s) Respuesta
iL(t) = 1 + 0.5te-t A (t en s)

pG(t) = - va(t)IG = - RiL + L diL IG = - (2 + e-t) W (t en s)
dt

(respuesta subcrítica, septiembre 1999)
Datos:
t=0 IG = 2 A, R = 1 Ω,
+ + L = 1 H, C = 1 F
R
iC v C R iL vL
IG C - L - Hallar:
iL(t ≥ 0), vC(t ≥ 0);
wC(0 ≤ t ≤ ∞)

t≥0

(1) vC = RiL + LdiL/dt Ecuaciones del circuito
(2) IG = CdvC/dt + vC/R + iL y relaciones entre variables

d2vC + (RC + L ) dvC + 2v = RI
LC 2 C G
dt R dt Ecuaciones
d2iL + (RC + L ) diL + 2i = I diferenciales
LC 2 L G
dt R dt

a = LC = 1 s2, b = RC + L/R = 2 s, c = 2 Ecuación
característ.
α = b/(2a) = 1 s-1, ω0 = c/a = 2 s-1
α2 < ω0 → respuesta subcrítica, ωd = ω2 - α2 = 1 s-1
2
0

(3) iL(t) = iLf + Ae-αtcos(ωdt) + Be-αtsen(ωdt) Expresiones
Sustituyendo (3) en (2), temporales
-αt (R - αL)cos(ω t) - ω Lsen(ω t) +
C(t) = RiLf + Ae d d d
+ Be-αt (R - αL)sen(ωdt) + ωdLcos(ωdt) =
= iLf - Ae-tsen(t) + Be-tcos(t) (t en s, iLf en A)

(respuesta subcrítica, septiembre 1999)

circuito 0 = iL(0) = iLf + A exp. temporal
circuito 1 A = IG/2 = iL(∞) = iLf exp. temporal
circuito 2 V = RIG = vC(0) = iLf + B exp. temporal
iLf = 1 A, A = - 1 A, B = 1 A

iL(t) = 1 - e-tcos(t) + e-tsen(t) A (t en s) Respuesta
vC(t) = 1 + e-tsen(t) + e-tcos(t) V (t en s)

∞ ∞ ∞
d vC(t)
wC = pC(t)dt = vC(t)iC(t)dt = vC(t)C dt =
dt
0 0 0

= C v2 (∞) - vC(0) = - 1.5 J
C
2
2

(los valores de vC para t = 0 y t = ∞ se obtienen
directamente de la correspondiente expresión temporal)

(respuesta crítica)
R iL Datos:
L VG continua; RC = τ = L/R
C
+ vC - R Hallar:
VG
t=0
R iL(t ≥ 0), vC(t ≥ 0)

t≥0

(1) VG = RiL + LdiL/dt + R(iL + CdvC/dt) Ecuaciones del circuito
(2) VG = RCdvC/dt + vC + R(iL + CdvC/dt) y relaciones

d2vC + (3RC + L ) dvC + 2v = V Ecuaciones
2LC 2 C G
d2iL + (3RC + L ) diL + 2i = VG
2LC 2 L
dt R dt R

RC = τ = L/R → (RC)(L/R) = τ2 = LC Ecuación
característica
a = 2LC = 2 τ2, b = 3RC + L/R = 4 τ, c = 2
α = b/(2a) = 1/τ, ω0 = c/a = 1/τ
2

(3) vC(t) = vCf + Ate-αt + Be-αt Expresiones
Sustituyendo (3) en (1), temporales

iL(t) = IG - vCf + A 2αC - 1 te-αt +
R R
+ -2CA + B 2αC - 1 e-αt
R


circuito 0 V = vC(0) = vCf + B exp. temporal
circuito VG/2 = vC(∞) = vCf exp. temporal
circuito 0 A = i (0) = VG - vCf - 2CA + B 2αC - 1 exp. temporal
L

vCf = VG , A = 0 V/s, B = VG
2 2

vC(t) = VG (1 - e-t/τ) Respuesta
2
iL(t) = VG (1 - e-t/τ)
2R

Ejemplo de circuito con más de
dos elementos reactivos (agrupables)
t=0 Datos:
VG = 0.5 V, R = 0.5 Ω,
R L1 = 0.6 mH, L2 = 0.4 mH,
L1 C1
VG C1 = 2 mF, C2 = 2 mF
L2 C2 Hallar pC2(t ≥ 0)

t≥0

t=0
Simplificación para t ≥ 0
+ + IG = VG/R = 1 A
IG iL v L iC vC
R L - C - L = L1 + L2 = 1 mH
C = C1C2 = 1 mF
C 1 + C2

vC = LdiL/dt Ecuaciones del circuito
- IG = CdvC/dt + vC/R + iL y relaciones entre variables

d2vC + L dvC + v = 0 Ecuaciones
LC 2 C
d2iL + L diL + i = - I
LC 2 L G
dt R dt

a = LC = 10-6 s2, b = L/R = 2×10-3 s, c = 1 Ecuación
característica
α = b/(2a) = 103 s-1, ω0 = c/a = 103 s-1
2

Ejemplo de circuito con más de
dos elementos reactivos (agrupables)
iL(t) = iLf + Ate-αt + Be-αt Expresiones
vC(t) = L A(1 - αt)e-αt - αBe-αt temporales

circuito 0 = iL(0) = iLf + B exp. temporal
circuito - 1 A = - IG = iL(∞) = iLf exp. temporal
circuito 0 = vC(0) = L(A - αB) exp. temporal
iLf = - 1 A, A = 103 A/s, B = 1 A

iL(t) = - 1 + te-t + e-t A (t en ms) Respuesta
vC(t) = - te-t V (t en ms)

C dvC = iC = C2dvC2 → CdvC dt = C2dvC2dt → C2vC2(t) = CvC(t) + K
dt dt dt dt
CvC(t)
t = 0 → vC2 = 0 = vC → K = 0 → vC2(t) =
C2
CvC(t) dvC t(1 - t)e-2t
pC2(t) = vC2(t)iC(t) = C = W (t en ms)
C2 dt 2

(problema inverso-directo, junio 1999)

Datos:
+ vL - t=0 VG = 2 V, R = 1 Ω,
+ α = 1 s-1, ω0 = 1 rad/s
L i
L
R R iC vC
VG C - Hallar:
L y C; vC (t ≥ 0) e iL (t ≥ 0)

t≥0

iL = vC(1/R + 1/R) + CdvC/dt Ecuaciones del circuito
VG = LdiL/dt + vC y relaciones entre variables
d2vC + 2L dvC + v = V Ecuación diferencial
LC 2 C G
dt R dt
a = LC, b = 2L/R, c = 1 Ecuación
1 s-1 = α = b/(2a) = 1/(RC) → C = 1 F característica

1 s-1 = ω0 = c/a = 1/ LC → L = 1 H
2

vC(t) = vCf + Ate-αt + Be-αt Expresiones
iL(t) = 2vCf + A(1 + t)e-αt + Be-αt A (vCf en V, t en s) temporales

circuito 0 = vC(0) = vCf + B exp. temporal
circuito 2 V = VG = vC(∞) = vCf exp. temporal
circuito 2 A = VG/R = iL(0) = 2vCf + A + B exp. temporal
vCf = 2 V, A = 0, B = - 2 V
vC(t) = 2 - 2e-t V (t en s) Respuesta
iL(t) = 4 - 2e-t A (t en s)

(problema inverso-directo, septiembre 1999)

t=0 Datos:
IG = 2 A, R = 1 Ω,
+ R + α = 1 s-1, ω0 = 2 rad/s
iC v C R iL vL
IG C - L -
Hallar: L y C;
vC (t ≥ 0) e iL (t ≥ 0)

t≥0

vC = RiL + LdiL/dt Ecuaciones del circuito
IG = CdvC/dt + vC/R + iL y relaciones entre variables
d2vC + (RC + L ) dvC + 2v = RI Ecuación diferencial
LC 2 C G
dt R dt
a = LC, b = RC + L/R, c = 2 Ecuación
característica
1 s-1 = α = b/(2a) = 1/(2RC) + R/(2L) L=1H
→
2 s-1 = ω0 = c/a = 2/(LC) C=1F

α2 < ω0 → respuesta subcrítica, ωd = ω2 - α2 = 1 s-1
2
0

vC(t) = vCf + Ae-αtcos(ωdt) + Be-αtsen(ωdt) Expresiones
L(t) = (2 - vCf) + Ae-tsen(t) - Be-tcos(t) V (vCf en V, t en s) temporales
circuito 2 V = RIG = vC(0) = vCf + A exp. temporal
circuito 1 V = RIG/2 = vC(∞) = vCf exp. temporal
circuito 0 = iL(0) = 2 - vCf - B exp. temporal
vCf = 1 V, A = 1 V, B = 1 V
vC(t) = 1 + e-tsen(t) + e-tcos(t) V (t en s) Respuesta
iL(t) = 1 - e-tcos(t) + e-tsen(t) A (t en s)

(problema inverso, diciembre 1999)

Datos (t ≥ 0, t en s):
R vC = (1 - t)e-t V
t=0 t = 0 iL +
+ iL = 0.5te-t A
iC vC R L vL
VG C - - Hallar: α y ω0;
L
VG (continua), R, L y C

t≥0

vC = LdiL/dt Ecuaciones del circuito
0 = CdvC/dt + vC/R + iL y relaciones entre variables
d2iL + L diL + i = 0 Ecuación diferencial
LC 2 L
dt R dt
a = LC, b = L/R, c = 1 Ecuación característica

La respuesta es crítica, ya que en las expresiones temporales
figuran términos de la forma te-t.
En la respuesta crítica α es el coeficiente del exponente
en el término exponencial; luego α = 1 s-1.
En la respuesta crítica α2 = ω0; luego ω0 = 1 s-1.
2

(circuito) VG = vC(0) = 1 V (exp. temporal) → VG = 1 V
e-t - te-t = vC = diL = 0.5e-t - 0.5te-t → igualando → L = 2 H
L L L dt términos

1 s-1 = ω0 = c/a = 1/ LC → C = 0.5 F
1 s-1 = α = b/(2a) = 1/(2RC) → R = 1 Ω

(problema inverso, septiembre 1996)
t=0 + vL - Datos (t ≥ 0, t en s):
vC = 10 - 5e-9000t - 5e-9000t V
L +
R iL = 9e-9000t + e-1000t mA
iL iC vC
VG C - Hallar: α y ω0;
VG (continua), R, L y C

t≥0

iL = CdvC/dt Ecuaciones del circuito
VG = LdiL/dt + vC + RiL y relaciones entre variables
d2vC + RC dvC + v = V Ecuación diferencial
LC 2 C G
dt dt
a = LC, b = RC, c = 1 Ecuación característica

La respuesta es supercrítica, ya que en las expresiones
temporales figuran dos términos exponenciales distintos.
En la respuesta supercrítica los coeficientes
de los exponentes son las raíces de la ecuación característica.
s1 = - 9000 s-1, s2 = - 1000 s-1

α = - s1 + s2 = 5000 s-1
s1,2 = - α ± α2 - ω0 →
2 2
ω0 = + α 2 - s1 - s2 = 3000 s-1
2
2
(circuito) VG = vC(∞) = 10 V (exp. temporal) → VG = 10 V
0.009e-9000t + 0.001e-1000t = iL =
C C C
igualando
= dvC = 45000e-9000t + 5000te-1000t → → C = 200 nF
dt términos
3000 s-1 = ω0 = c/a = 1/ LC → L = 5/9 H
5000 s-1 = α = b/(2a) = R/(2L) → R = 50/9 kΩ

Ejercicios para resolver en clase
TRANSITORIO-RESPUESTA 2003/A R R R
iL +
El circuito de la figura funciona en régimen permanente L vC
C VG
continuo. Llegó al estado indicado en ella en t = 0; en ese -
momento, la corriente en la inductancia y la tensión en la VG = 2 V,
capacidad valían I0 y V0, respectivamente. Con posterioridad, V0 = 1 V, I0 = 2 A,
el circuito no experimenta más cambios. Hallad la expresión R = 1 Ω,
temporal de la potencia en la fuente para t ≥ 0. L = 1 µH, C = 1 µF

TRANSITORIO-RESPUESTA 2003/B L +
iL
R R vC
El circuito de la figura funciona en régimen IG C -
permanente continuo. Llegó al estado indicado en ella en
t = 0; en ese momento, la corriente en la inductancia y la IG = 2 mA,
tensión en la capacidad valían I0 y V0, respectivamente. V0 = 2 V, I0 = 2 mA,
Con posterioridad, el circuito no experimenta más R = 1 kΩ,
cambios. Hallad la expresión temporal de la potencia en L = 1 mH, C = 1 nF
la fuente para t ≥ 0.

TRANSITORIO-RESPUESTA 2003/C +
iL R
vC
El circuito de la figura funciona en régimen IG C -
L R
permanente continuo. Llegó al estado indicado en ella en
t = 0; en ese momento, la corriente en la inductancia y la IG = 1 A,
tensión en la capacidad valían I0 y V0, respectivamente. V0 = 1.62 V, I0 = 0 A,
R = 1 Ω,
Con posterioridad, el circuito no experimenta más
L = 2.62 µH, C = 0.38 µF
cambios. Hallad la expresión temporal de la potencia en
la fuente para t ≥ 0.

parcial o totalmente desacoplados
(julio 1999)
+ vL - Datos:
L iC + VG (continua), R, L, C
iL t=0 vC
VG R R C - Hallar iL(t ≥ 0) y vC(t ≥ 0)

t≥0

VG = LdiL/dt + RiL Ecuaciones
0 = CdvC/dt + vC/R del circuito
iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/τL Expresiones
temporales
Lo = iL(0) = 2VG /R, iLf = iL(∞) = VG/R, τL = L/R

vC(t) = vCf + (vCo - vCf)e-t/τC
vCo = vC(0) = VG, vCf = vC(∞) = 0, τC = RC

Para t > 0 los dos elementos no se influyen entre sí
(las variables son independientes -están desacopladas-).
A cada variable fundamental le corresponde
una ecuación diferencial de primer orden.
Puede haber influencia de un elemento en otro
sin que el segundo influya en el primero
(circuito parcialmente acoplado -desacoplado).
A la variable independiente le corresponde
una ecuación diferencial de primer orden.
A la variable acoplada le corresponde
una ecuación diferencial de segundo orden.
En circuitos parcial o totalmente desacoplados
no hay respuesta única.

Circuito desacoplado
a Datos:
RG L + iSC VG = 2 V, RG = 2 Ω,
iL vC R = 1 Ω, L = 1 H, C = 0.5 F
C -

t=0
VG
R Hallar iSC(t ≥ 0)
R

t≥0

vC(t) + RCdvC/dt = va = 0 Ecuaciones
VG = RGiL + LdiL/dt + va = RGiL + LdiL/dt del circuito

vC(t) = vCoe-t/τC, τC = RC = 0.5 s Expresiones
vCo = vC(0) = VGR/(R + RG) = 2/3 V temporales

iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/τL, τL = L/RG = 0.5 s
iLo = iL(0) = VG/(R + RG) = 2/3 A
iLf = VG/RG = 1 A

iSC(t) = iL - C dvC = 1 + e A (t en s)
-2t
dt 3

Circuito parcialmente acoplado
(junio 2000)
t=0 Datos:
I = 2 A, k = 1, R = 1 Ω,
iC + R + G
kvC iL vL L = 1 H, C = 1 F
R vC R
IG C - L -
Hallar i (t ≥ 0) y v (t ≥ 0)
L C

t≥0

(1) IG = vC/R + CdvC/dt Ecuaciones
del circuito
(2) 0 = (R + R)iL + LdiL/dt + kvC
(3) vC(t) = vCf + (vCo - vCf)e-t/τC, τC = RC = 1 s Cálculo
de vC(t)
Co = vC(0) = RIG/(3 - k) = 1 V, vCf = vC(∞) = RIG = 2 V

Despejando vC de (2) y sustituyendo en (1),
d2iL + 2RC + L diL + 2i = - kI Ecuación
LC 2 L G
dt R dt diferencial de iL
a = LC = 1 s2, b = 2RC + L/R = 3 s, c = 2 Ecuación
α = b/(2a) = 1.5 s-1, ω0 = c/a = 2 s-1 característica
2

(4) iL(t) = iLf + Aes1t + Bes2t Expresión
s1,2 = - α ± α2 - ω0 → s1 = - 1 s-1, s2 = - 2 s-1
2 temporal de
iL(t)
(5) (4) en (2) → vC(t) = - 2iLf - Ae-t V (iLf en A, t en s)
(3) = (5) → iLf = - vCf/2 = - 1 A, A = - (vCo - vCf) = 1 A
(circuito) 0 = iL(0) = iLf + A + B (exp. temporal) → B = 0

vC(t) = 2 - e-t V, iL(t) = - 1 - e-t A (t en s)

Circuito parcialmente acoplado
(septiembre 2000)
t=0 Datos:
VG = 2 V, R = 1 Ω,
R i L + L = 4 H, C = 1 F
L
R RiL vC
VG R C -
Hallar iL(t ≥ 0) y vC(t ≥ 0)

t≥0

(1) VG = (R + R)iL + LdiL/dt Ecuaciones
del circuito
(2) 0 = RCdvC/dt + vC + RiL
(3) iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/τL, τL = L/(2R) = 2 s Cálculo
de iL(t)
iLo = iL(0) = 2VG/(3R) = 4/3 A, iLf = iL(∞) = VG/(2R) = 1 A

Despejando iL de (2) y sustituyendo en (1),
d2vC + 2RC + L dvC + 2v = - V Ecuación
LC 2 C G
dt R dt diferencial de vC
a = LC = 4 s2, b = 2RC + L/R = 6 s, c = 2 Ecuación
α = b/(2a) = 3/4 s-1, ω0 = c/a = 1/ 2 s-1 característica
2

(4) vC(t) = vCf + Aes1t + Bes2t Expresión
s1,2 = - α ± α2 - ω2 → s1 = - 1 s-1, s2 = - 0.5 s-1 temporal de
0
vC(t)
(5) (4) en (2) → iL(t) = - vCf - 0.5Be-0.5t A (vCf en V, t en s)
(3) = (5) → vCf = - iLf = - 1 V, B = - 2(iLo - iLf) = - 2/3 V
(circuito) - 2/3 = vC(0) = vCf + A + B (exp. temporal) → A = 1 V

-0.5t
iL(t) = 1 + e A, vC(t) = - 1 + e-t - 2e
-0.5t
V (t en s)
3 3

Circuitos con cambios sucesivos

La evolución de un circuito en régimen transitorio
está determinada por

las constantes de tiempo de las expresiones temporales
correspondientes a variables independientes;
los términos exponenciales de las expresiones temporales
correspondientes a variables acopladas.

En un circuito pueden producirse cambios en distintos instantes.
La evolución del circuito se calcula como se indicó anteriormente,
con algunas peculiaridades:

El circuito no sabe que va a producirse un cambio;
en consecuencia, tras cada cambio evoluciona
como si fuera a alcanzar el régimen permanente.
Las condiciones iniciales correspondientes a un intervalo
se obtienen de las expresiones temporales
que caracterizan el intervalo anterior.
La variable t ha de ser sustituida por t - t0,
donde t0 es el instante final del intervalo anterior.

Análisis de circuitos eléctricos: conceptos básicos de la teoría de circuitos

Análisis de circuitos eléctricos: conceptos básicos de la teoría de circuitos

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (17)

Similar a Análisis de circuitos eléctricos: conceptos básicos de la teoría de circuitos

Similar a Análisis de circuitos eléctricos: conceptos básicos de la teoría de circuitos (20)

Más de federicoblanco

Más de federicoblanco (20)

Análisis de circuitos eléctricos: conceptos básicos de la teoría de circuitos