Este documento describe un curso sobre las propiedades eléctricas y mecánicas de nanohilos metálicos y otros sistemas de baja dimensionalidad que se llevará a cabo del 2 al 6 de marzo de 2009. El curso será impartido por el Dr. Pedro A. Serena del Instituto de Ciencia de Materiales de Madrid.

1. II Escuela Andina de Espectroscopía
2-6 de marzo de 2009
CURSO:
“Propiedades eléctricas y mecánicas de
nanohilos metálicos y otros sistemas de
baja dimensionalidad”
Dr. Pedro A. Serena
Instituto de Ciencia de Materiales de Madrid
Consejo Superior de Investigaciones Científicas
E-mail: pedro.serena@icmm.csic.es
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2. Instituto de Ciencias de Materiales de Madrid
(ICMM-CSIC)
Campus de la Universidad Autónoma de Madrid
Cantoblanco, 28049-Madrid
Carretera de Colmenar km. 14,5 / Tren Cercanias / Bus: Plaza de Castilla
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3. Esquema del “nano-curso”
•Nanociencia y nanotecnología
•Un breve repaso a Física Cuántica y Estado Sólido.
•Modelos clásicos y semiclásicos de transporte
electrónico.
•Modelos cuánticos de transporte electrónico.
•Transporte en nanotubos de carbono y en
materiales nanoestructurados.
•Transporte en nanocontactos metálicos.
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4. Nanociencia y nanotecnología.
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5. Razones para empezar a conocer lo que es Nanotecnología
Creciente impacto científico: Evolución de
publicaciones y patentes.
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6. ¿Qué entendemos por Nanociencia y Nanotecnología?
Nanotecnología: “Investigación y desarrollo tecnológico
a nivel atómico, molecular y supramolecular destinados a
proporcionar entendimiento fundamental de los
fenómenos y los materiales en la nanoescala (1-100 nm)
y poder así, crear y usar estructuras, dispositivos y
sistemas que presenten nuevas propiedades y funciones
debido a su tamaño pequeño o intermedio.”
(M. Roco, NSF – NNI, EE.UU., http://www.nano.gov)
El término “Nanotecnología” fue acuñado en 1974 por el Prof. Norio
Taniguchi (Universidad de Tokio) dentro del contexto de la futura
fabricación de componentes electrónicos con gran precisión.
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7. La ley de Moore (1965): aproximadamente cada 18
meses se dobla la capacidad de integración.
•2007: Intel lanza al mercado Itanium 2
•1997: Pentium II (7.5 millones de
que contiene 410 millones de
transistores)
transistores con un tamaño promedio de
•1997: 250 nm de ancho de línea 45 nm, en un chip de 3 cm2.
•2000: Se usan líneas de 180 nm
•2002: Se usan elementos de 130 nm de
tamaño
•2004: Intel Prescott con tecnología de
90nm (55 millones de transistores en el
chip).
•2005: IBM, Sony y Toshiba presentan el
procesador Cell 65nm (234 millones de
transistores en 221 milímetros cuadrados,
multinúcleo, y 256 Gflops).
•2006: Litografía EUV (Extreme
Ultraviolet Lithography). INFINEON
(Alemania) anuncia la fabricación de
chips de telefonía móvil de 65 nm.
•2006: SAMSUNG anuncia la fabricación
de memoria Flash NAND de 32 Gbytes de
40 nm (36000 fotos o 40 películas).
• 2006: Intel anuncia memorias Flash de
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tecnología de 50 nm.

8. La ley de Moore (1965): el camino hacia la nada.
El uso de semiconductores para elaborar circuitos integrados tiene sus
propias limitaciones físicas. La densidad típica de portadores en
semiconductores es de 1015 a 1019 portadores/cm3. Típicamente
10x10x10=1000 nm3 de material semiconductor dopado contienen entre
0,001 (¡!) y 10 electrones: EMPIEZAN LOS PROBLEMAS PARA LA
CONDUCCIÓN ELECTRÓNICA (SIN ELECTRONES... NO HAY
ELECTRÓNICA).
La transición de la
Microelectrónica a la
Nanoelectrónica implica
una revolución
tecnológica. Y esta se
hará de la mano de la
NANOTECNOLOGIA.
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9. El salto hacia la Nanotecnología:
El planteamiento de una posibilidad fascinante.
Richard P. Feynman (Premio Nobel en 1965)
There's Plenty of Room at the Bottom
29 de diciembre de 1959
(Publicada en 1960, Caltech Science and Technology)
“The principles of Physics, as far as I can see, do not speak
against the possibility of maneuvering things atom by
atom. It is not an attempt to violate any laws; it is
something, in principle, that can be done; but in practice,
it has not been done because we are too big”.
http://www.zyvex.com/nanotech/feynman.html
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10. STM: haciendo realidad la posibilidad planteada por R.
Feynman.
H. Rohrer y G. Binnig desarrollan a principios de los años 80 una
herramienta que cambia la ‘metodología’ y la forma de abordar el
estudio de los sistemas nanométricos: el Microscopio de Barrido Túnel
(STM). Ambos recibieron el Premio Nobel de Física en 1986.
Del ‘nanocontrol’ han surgido poderosas herramientas como el
Microscopio de Fuerzas Atómicas (AFM) (1985, Binnig, Quate,
Gerber).
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11. 09/07/2007 11

12. STM: Una herramienta con la que ‘ver’ átomos
Grafito
Silicio
Au(110)
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13. AFM: El microscopio de fuerzas atómicas.
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14. AFM: El microscopio de fuerzas atómicas.
Virus MVM (diminuto del ratón)
Imagen de DNA sobre mica
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15. ¿Es posible usar estas máquinas para modificar a escala
atómica?
La respuesta es sí, podemos modificar a pequeña escala algunas
superficies, haciendo marcas hacer marcas a voluntad.
La montaña tiene 20 nm de diámetro
Formación de 2 marcas sobre un substrato de oro.
Obsérvese que las marcas creadas evolucionan con el tiempo.
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16. ¿Es posible usar estas máquinas para hacer modificaciones a escala
atómica?
Usando un STM como una “pinza”.
D. Eigler y K. Schweizer
http://www.almaden.ibm.com
Almaden IBM Research Lab.
(1990)
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17. Aspectos fundamentales de la Nanotecnología
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18. Aspectos fundamentales:
La Nanotecnología es multidisciplinar
Moléculas
FISICA Nanoestructuras
Nanopartículas
QUÍMICA Sistemas porosos
Polímeross
Proteínas,
BIOLOGIA
NANOTECNOLOGIA
Biomoléculas,
Bioestructuras
INGENIERIA
Dispositivos
Sensores
MODELIZACION
Superfícies
Supercomputación
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19. Aspectos fundamentales: Efectos de tamaño.
Efectos de tamaño debidos al cambio superficie/volumen: A
medida que un material se presenta en forma de grano, polvo,
nanopolvo, etc se modifican ciertas propiedades por el hecho de
aumentar su ratio superficie/volumen. Por ejemplo, la superficie
efectiva de absorción, reactividad, etc.
Efectos de tamaño de origen cuántico: Cuando el tamaño del
material se hace muy pequeño de forma que las funciones de
onda “sienten” las paredes, se empiezan a modificar sus
propiedades. Sistemas aislantes dejan de serlo, cambios
oscilatorios de la función de trabajo, desarrollo de propiedades
ópticas y magnéticas nuevas.
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20. Aspectos fundamentales: Dos formas de trabajo.
Arribaabajo versus abajoarriba
NANOTECNOLOGIA
0,1 nm 1 nm 10 nm 100 nm 1 m 10 m 100 m 1 mm
“BOTTOM-UP” “TOP-DOWN”
• La visión del químico. • La visión de ingenieros de
• La visión del físico que trabaja materiales.
con STM, AFM, etc. • La visión desde la litografía
electrónica.
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21. Fascinante comportamiento de la materia
calcita
tiza
Contiene cristales de carbonato de
calcio del tipo calcita, de forma
prismática y moléculas proteicas. La
estratificación oblicua de los prismas
de carbonato de calcio le da mayor
firmeza a la concha.
En ambos casos se usa la misma sustancia (carbonato cálcico) pero
con ordenación diferente de las unidades de CaCO3.
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22. Un repaso a las cosas que hoy sabemos hacer.
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23. “Top-Down”: MBE + Litografía + FIB
NANOFABRICACIÓN….
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24. “Bottom-Up”: Control a escala molecular
SAM (self-assembly molecules, moléculas autoensambladas).
Las moléculas siguen un patrón de ensamblado y el material
crece de una forma concreta. Se puede dar una utilidad
funcional a las moléculas y construir dispositivos con
aplicaciones específicas.
8.1nm
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25. “Bottom-Up”: Diseño de partículas con
propiedades a medida.
Nanopartículas de CdSe
ORO: Las nanopartículas redondas
son rojas, pero si tienen forma de palito
son azules.
PLATA: Las NP redondas son amarillas
y las triangulares son azules o verdes.
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26. “Bottom-Up”: Uso de nanopartículas para diagnosis y
tratamiento de cáncer.
Nanopartículas funcionalizadas
15 nm
Detección cancer de próstata
NP (d: 5nm)
núcleo-corteza CdSe-ZnS
X. Gao et al., Nature Biotechnology 22 (2004) 969
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27. “Bottom-Up”: Ensamblado de nanopartículas
C. Mirkin (NU, EE.UU.)
http://www.chem.northwestern.edu/~mkngrp/pictmenu.htm
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28. “Bottom-Up”: Contactando nanotubos
C. Dekker, T.U. Delft, NL
http://vortex.tn.tudelft.nl/grdekker/grdekker.html
Los Nanotubos de Carbono son
rectificadores o conductores en
función de su diámetro y forma
de enrollamiento.
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29. Otros dispositivos de ámbito “nano”
Sensores biológicos
“Narices” y
“lenguas”
electrónicas.
E. Meyer, et al. Science, Vol. 288, Number 5464, April 14, 2000.
J. Fritz, M. Baller, H.P. Lang, Proyecto conjunto U. Basilea – IBM (Zurich)
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30. El abanico de aplicaciones de la Nanotecnología.
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31. Agrupando las líneas de investigación en Nanotecnología
NANOBIOTECNOLOGÍA / /
NANOBIOTECNOLOGÍA NANOMATERIALES NANOELECTRÓNICA
NANOMATERIALES NANOELECTRÓNICA
NANOMEDICINA
NANOMEDICINA
Liberación de Defensa Computación
Ingeniería de Almacenamien
Liberación de Defensa Computación
Ingeniería de Cosmética Almacenamien
fármacos Aeronaútica Cuántica
tejidos Cosmética to de datos
fármacos Aeronaútica Cuántica
tejidos to de datos
Síntesis de Bienes de Impresión /
Síntesis de Biomimetismo Bienes de Impresión / Espintrónica Fotónica
fármacos Biomimetismo consumo Empaquetado Espintrónica Fotónica
fármacos consumo Empaquetado
Dispositivos
Agentes para Nanohilos y Dispositivos
Diagnosis Agentes para Catalizadores Energía Nanohilos y de un solo
Diagnosis imagen Catalizadores Energía Nnaotubos de un solo
imagen Nnaotubos electrón
electrón
Paneles
Implantes Construcción Automoción Paneles Pantallas
Implantes Construcción Automoción Solares Pantallas
Solares
SENSORES YY Dispositivos Electrónica
SENSORES Polución Automóviles Dispositivos Electrónica
Polución Automóviles médicos de consumo
ACTUADORES médicos de consumo
ACTUADORES
INSTRUMENTACION YY Dimensión Análisis Medidas de Control de
INSTRUMENTACION Dimensión Análisis Medidas de Control de
crítica Químico espesor calidad
METROLOGÍA crítica Químico espesor calidad
METROLOGÍA
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32. Nanotecnología: La actitud de las Administraciones Públicas.
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33. Iniciativas en la Unión Europea: Centros y Redes
FRANCIA: Minatec (Grenoble)
Fusión de CEA-Léti e INP Grenoble
3500 Ingenieros más personal de apoyo.
Presupuesto (2000-2005): 400 M€
Áreas: Microelectrónica, Nanociencia, Biología, Software.
Se inagurará en 2006.
http://www.minatec.com
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34. Control sobre la fabricación de
nanopartículas, de nanomateriales.
La industria basada en la
aproximación “top-down” sigue
predominando.
Las tecnologías “bottom-up”
conviven con las tecnologías “top-
down”. Las nanopartículas dejan
paso a sistemas nanométricos de
mayor complejidad.
Predominio de las técnicas “bottom-
up” en la industria. Los
nanosistemas se convierten en
complejos nanodispositivos.
2000 2010 2020 2030 2040 2050
AÑO
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35. Del laboratorio a los escaparates...
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36. Nanotecnología: Principio de precaución
SALUD
SALUD
IMPACTO SEGURIDAD
IMPACTO SEGURIDAD
ECOLÓGICO LABORAL
ECOLÓGICO LABORAL
NANO-
NANO-
ECO-
ECO-
TOXICOLOGÍA
TOXICOLOGÍA
NANO-
NANO-
NORMATIVA
NORMATIVA METROLOGÍA
METROLOGÍA
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37. Un breve repaso a Física Cuántica y Estado Sólido.
Modelos clásicos y semiclásicos de transporte
electrónico.
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38. De Newton a Schrödinger
Newton Schrödinger
Dada la fuerza, se encuentra Dado el potencial, se encuentra
la trayectoría la función de onda.
F = ma = m (d2r/dt2) (- (h2 / 2m) 2 + V) i h (d /dt)
solución: r = f(t) solución:  = f(r,t)
Conocido el potencial se procede a calcular (de forma muy
costosa, eso sí) la función de onda (ecuación diferencial en
derivadas parciales con condiciones de contorno adecuadas)...
Según la forma de V(r,t) el proceso puede ser sencillo (rara vez),
costoso o inalcanzable (la mayoría de las veces)... Ahora
supongamos que lo logramos...
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39. Simplificando la vida... Modelos de fácil resolución.
Los físicos suelen simplificar muchas interacciones reales a
situaciones (a ser posibles unidimensionales y estacionarias) en
las que los potenciales sean “asequibles”, de fácil tratamiento
dentro de la MC. He aquí algunos de ellos...
Potencial plano (partícula libre)
Escalón de potencial (interfase)
Escalón de potencial (interfase)
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40. Simplificando la vida... Modelos de fácil resolución.
Barrera de potencial (interfase doble)
Pozo de potencial (átomo, cavidad)
Pozo de potencial de paredes de altura
infinita (átomo, cavidad)
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41. Simplificando la vida... Modelos de fácil resolución.
Barrera doble de potencial (sistema confinado con posibilidad de escape,
sistemas radiativos)
Potencial periódico: barreras periódicas de potencial (cristal, interfases
múltiples)
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42. IMPLICACIONES DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
(Unos sencillos ejemplos resolubles en 1D)
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43. Potencial plano (partícula libre)
La ecuación de Schrödinger es -(2 /m)2 (r) =E (r)
que tiene como solución general (r) = A e ikr+
A es la amplitud de la onda, el momento es p= k, y  es una
fase. La energía de una onda plana sería E= 2k2/(2m)=
p 2/(2m)= mv2/2
Esto es por lo que en Mecánica Cuántica una partícula libre es
análoga a una onda plana.
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44. Barrera de potencial
I II III
de altura V y ancho L
Para definir la barrera de potencial se asume que tenemos el
problema dividido en tres zonas:
-potencial es igual a 0 si x<0 (zona I) y x>L (zona III),
-y es igual a la cantidad V para 0<x<L (zona II).
La solución de la ecuación de Schrödinger es una función que
consiste en la conexión adecuada de las tres soluciones para cada
región. La solución tiene una forma sencilla (donde aparecen
funciones seno, coseno y exponenciales). Sin embargo lo más
importante es que una vez encontrada la solución se puede calcular
el llamado coeficiente de transmisión T, probabilidad de que una
partícula que incide desde la izquierda –zona I- en la barrera
aparezca en la derecha –zona III.
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45. Barrera de potencial
I II III
de altura V y ancho L
1
T
Caso E>V
sin 2 (2q E / V  1)
1
4( E / V )( E / V  1)
1
Caso E<V T
sinh 2 (2q 1  E / V )
1
Lo más importante es que T no es 4( E / V )(1  E / V )
0 en el caso E<V. Esto es el
efecto túnel. Además se tienen
2mVL2
q
efectos divertidos como que T no
2
es siempre 1 si E>V (efectos de
resonancia).
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46. Pozo de ancho L y paredes de altura infinita.
La función de onda sólo puede definirse dentro de la cavidad ya
que fuera de ella toma valores nulos. A la hora de encontrar la
solución nos encontramos que (x) sólo puede existir para
ciertos valores de la energía. Es decir, de forma natural
aparecen niveles de energía. Las otras energías están
prohibidas.
2 2 2
 n
En  2
2m L
A medida que la caja se estrecha los niveles aumentan su energía.
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47. Pozo de ancho L y paredes de altura infinita.
¿Qué sucede con los niveles a
medida que cambia el ancho L?
n=3
n=3
n=2
n=2
n=1
n=1
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48. Efectos de la cuantización de los niveles
(asociada al tamaño)
Nanopartículas de CdSe
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49. EFECTOS CUÁNTICOS DE TAMAÑO
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50. Schrödinger equation
2
 ( r )  V fe ( r ) ( r )  E ( r )

2m
V fe ( r )  0 r Vbox V represents the set of points inside
box
the nanowire (box)
V fe ( r )   r Vbox
a
a
L a’
L L
b
a
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51. Wavefunctions and eigenvalues in simple systems
n y  2 k z2
n x
 ( r )  N exp(ik z z ) sin(  n
x ) sin ( y) E
2m
a b
2
2
2 2  nx ny 
 2 2
n  nx ,ny 
2m  a b 
  n12+ n22
n n deg G/G0 (si abierto)
1 2
1 1 2 1 1
1 2 5 2 3
2 1 5
2 2 8 1 4
1 3 10 2 6
3 1 10
b a 2 3 13 2 8
L 3 2 13
1 4 17 2 10
4 1 17
3 3 18 1 11
b 2 4 20 2 13
a 4 2 20
2
2 2  2 ny  3 4 25 2 15
n  2 
n  nx ,ny  4 3 25
2 x 

2ma  1 5 26 2 17
 5 1 26
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52. Wavefunctions and eigenvalues in simple systems
2 2
2
2 2  nx ny  2 2  2 ny 
 2  2  n  2 
n  nx ,ny 
2m  a b  2ma  2 x

  
26
a=1 nm b= 1 nm
24
a=2 nm b= 0.5 nm
22
a=3 nm b= 1/3 nm
20
a=4 nm b= 1/4 nm
18
16
Energy (eV)
14
12
b a 10
8
L
6
4
2
b 0
0 5 10 15 20 25 30
a
Level index
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53. Energy 1D subbands
 2 k z2
2.0
 n
E
2m
Energy (arb. units) 7
1.5
EF
6
 2k z k z
5
E 
1.0 E
m
4
3
0.5
2
D( E )   Dn ( E )
1
n
0.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
kz
kz
2m 1 2L
Dn ( E )  L 2 2 
 E   n h vi ( E )
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54. Density of states. Square nanowires.
29
5.0x10
a=b= 1 nm
g(E): density of states per unit length
bulk DOS
29
4.0x10
(electrons J m )
-1 29
3.0x10
-1
29
2.0x10
E
29
1.0x10
0.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
EF (eV)
2m 1
g ( E )   g n ( E )   Dn ( E ) / L  
 2 2 E  n
n n n
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55. Linear electron density
2m
 ( EF   n )1/ 2 ( EF   n )
N  2L
 2 2 n
N 2m
 2 2 2  ( E F   n )1 / 2 ( E F   n )

 n
L
Kinetic energy
tot
 L  dE E D( E )  L  dE E Dn ( E )
Ekin
n
2m  1/ 2  
1
tot 3/ 2
 2 L 2 2  ( EF   n )  ( E F   n )   n ( EF   n )  
Ekin
  n 3 
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56. Open systems: Grand canonical potential
(  , T )   k BT  dE D ( E ) ln(1  e( E   ) / kBT )
tot
( , T  0)  Ekin  EF N
Forces in free-electron nanowires
1 / 2 d n 
2m  4
d 3/ 2
2 2 
( E F   n )  2 L( E F   n )
F   
 n 3
dL dL 
2
 ny 
2 2
  2
 Square cross-section
 n   n x ,n y  L  nx 
2mV  
 
2m  4 
d 3/ 2 1/ 2
2 2 
( E F   n )  2( E F   n )  n 
F  
  n 3
dL 
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57. Elongation of a square nanowire
L
b
a
b a •Constant volume
l  l0  wt •Constant ratio b/a
V  a  b  L   a2 L
2 2
  ( L0  wt ) 2
(nx  n 2 )  EF
y
V  a  b  L   a 2 L  constant
2mV
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58. Free-electron model for mesoscopic force fluctuations in nanowires
S. Blom et al., PRB 57, 8830 (1998)
20 150
Au rs=3.01 au Au rs=3.10 au
3 3
V0=3 nm V0=3 nm
125
1/3 1/3
a0=b0=l0=(V0) =1.4422 nm a0=b0=l0=(V0) =1.4422 nm
0
Conductance G/G0
Total charge (electrons)
100
10 75
-d/dl
50
-2
25
Force (nN)
0 0
0 10 20 0 10 20
Au rs=3.01 au
-4 l (nm) l (nm)
3
V 0=3 nm
1/3
a 0=b 0=l0=(V 0) =1.4422=3.01 au
Au r nm
500
Total energy, themodynamic potential (eV)
22
Au rs=3.01 au
1.0x10 s
3
V0=3 nm
3
V0=3 nm 400
-6 1/3
a0=b0=l0=(V0) =1.4422 nm
1/3
a0=b0=l0=(V0) =1.4422 nm
Total DOS (electrons/J)
300
tot
E
200 kin
100
21
5.0x10
-8 0

0 10 20
-100
-200
l (nm)
0.0 -300
0 10 20 0 10 20
l (nm) l (nm)
09/07/2007 58

59. LA AGITADA VIDA DE UN ELECTRON EN UN
METAL
MODELOS DE DRUDE y DRUDE-SOMMERFELD
09/07/2007 59

60. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
La “piscina” electrónica
Principio de exclusión de Pauli. En cada nivel podemos poner dos electrones
(uno con spin “up” y otro con spin “down”). El número total de electrones del
cristal lo determina el tipo de material. Por ejemplo, el oro cede un electrón
por átomo, mientras que el aluminio cede tres.
Niveles
Función de
vacíos
trabajo
Niveles
Energía
llenos
de Fermi
09/07/2007 60

61. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
Algunos datos técnicos:
Densidad electrónica n (número de electrones por unidad de volumen)
Momento de Fermi kF= (32n)1/3
Velocidad de Fermi vF=kF/m
Energía de Fermi EF= 2kF2/(2m)
Algunos ejemplos:
Sodio(Na) Oro (Au) Aluminio(Al)
N (e/cm3) 2,65 1022 5,90 1022 18,1 1022
kF (m-1) 9,22 107 1,20 108 1,65 108
1,07 106 1,39 106 2,03 106
vF (m/s)
EF (electronvolt) 3,24 5,53 11,67
09/07/2007 61

62. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
Sin campo eléctrico
colisión
E
con campo eléctrico
09/07/2007 62

63. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
El juego de las colisiones...
Una colisión implica que un electrón cambia de estado.
Una colisión sólo está permitida si el estado final del electrón
está vacío.
Colisión
Colisión
Si el estado final ya lo ocupa un electrón con igual momento
(p=mv) dicha colisión está prohibida.
09/07/2007 63

64. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
El juego de las colisiones...
Sólo los electrones situados cerca del nivel de Fermi pueden
colisionar. La región energética involucrada tiene un ancho kBT.
Se puede asumir que sólo los electrones de energía EF juegan...
Niveles
Función de vacíos
trabajo
Región donde
hay colisiones
Niveles
Energía
llenos
de Fermi
09/07/2007 64

65. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
Distribución de Fermi-Dirac
KBT=0.01 eV
1,0
KBT=0.03 eV
1 KBT=0.05 eV
f FD ( E ,  )  0,8 KBT=0.07 eV
E KBT=0.09 eV
1  exp( )
k BT 0,6
fFD(E)
0,4
potencial químico=1 eV
0,2
0,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
E (eV)
09/07/2007 65

66. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
l8 l13
l1 l9
l7 l14
l10 l12
l6 l15
l3
l2 l4 l11
l5
Recorrido libre medio (l). Es la distancia promedio que un
electrón recorre entre dos colisiones. (p.ej. l= (l1+l2...+l15)/15).
Tiempo medio entre colisiones (). Es el tiempo promedio entre
dos colisiones consecutivas. (p.ej.  = (1+ 2...+ 15)/15).
¿Cuánto vale la velocidad típica que se alcanza entre dos
colisiones?
09/07/2007 66

67. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?


p av (t   )   eE
e 

vav (t   )   E
m
09/07/2007 67

68. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
Calculando la conductividad...
• La ley de Ohm dice J=E (donde J es la densidad de
corriente,  es la conductividad (inversa de la
resistividad =-1) y E es el campo eléctrico aplicado.
• Por otro lado se puede calcular J=nev, a partir de la
densidad de portadores (electrones), la carga del
electrón, e, y del aumento neto de velocidad, v, que
sufren los electrones en presencia de campo E.
• Pero es fácil ver que en promedio v=a =(F/m) =
(eE/m) .
• Luego J=ne(eE/m) =(ne2 /m)E => = ne2 /m.
09/07/2007 68
• Esta expresión es la conductividad de Drude.

69. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
= ne2 /m
¿Cómo calcular el recorrido libre medio?
De la medida experimental de  a diversas temperaturas podemos
estimar el valor de l=v .
¿Qué valor tiene la velocidad? Sólo los electrones con energía
cercana a la energía de Fermi intervienen en el transporte
electrónico. Por lo tanto se debe asumir que los electrones se
desplazan con la velocidad de Fermi.
l  vF   2 E F / m  
1/ 2
09/07/2007 69

70. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
Resistividad del oro
ne2/m
=
l=vF 10,0
(10-8 Ohm m)
Re sisitiv idad
8,0
El caso del oro en el
rango de 1 a 900 K 6,0
4,0
2,0
0,0
0,0 200,0 400,0 600,0 800,0 1000,0
Temperatura (K)
09/07/2007 70

71. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
= ne2/m Recorrido Libre Medio en Au
l=vF
Re cor rido Libre M e dio
500,0
A temperatura ambiente
El caso del oro en el 400,0
(300K) un electrón en el
rango de 1 a 900 K
oro tiene recorridos libres
300,0
(nm )
medios de más de 35 nm
200,0
100,0
0,0
0 200 400 600 800 1000
Temperatura (K)
09/07/2007 71

72. EL EFECTO DE LA RED PERIODICA
09/07/2007 72

73. Red periódica 1D (espacio real)
a
Red recíproca 1D
-2π/a π/a π/a
0 2π/a
09/07/2007 73

74. 2

Ecuación de
2
  (r )  V (r ) (r )  E (r )

Schrödinger
2m
2 2
H (r )  E (r )
H    V (r )
2m
Potencial periódico V (r )  V (r  R)
Red periódica R  m1 a1  m2 a2  m3 a3
(a1 , a2 , a3 ) son vectores que definen la celda unidad
(m1 , m2 , m3 ) son números enteros
09/07/2007 74

75. Teorema de Bloch
 (r  R )  e i k r (r )

k es un vector en el espacio recíproco

k es una etiqueta que define el momento cristalino

H k (r )  E (k ) k (r ) V (r )  V (r  R )

E ( k ) es la relación de dispersión
Partícula libre
 k (r )  N exp(ik x x) exp(ik y y ) exp(ik z z )
2
2
k
 22
 2 k x2  k y  2 k z2
E (k )    
2m 2m 2m 2m
09/07/2007 75

76. Teorema de Bloch. Funciones de onda tipo Bloch.

H n ,k (r )  En (k ) n ,k (r ) V (r )  V (r  R)

En (k ) es la relación de dispersión
  
vn (k )   n , k (r ) v  n , k (r ) 

   1 En (k )

 n ,k (r )   n ,k ( r ) 
 k
im
09/07/2007 76

77. Ejemplo de relación de dispersión en caso 1D
Bandas prohibidas
E(k)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
k*a/pi
09/07/2007 77

78. Relación de dispersión en un caso 3D: GaAs

En (k )
09/07/2007 78

79. EL MODELO SEMICLASICO DEL TRANSPORTE
09/07/2007 79

80. Tensor de conductividad en el modelo semiclásico
  xx  xy  xz 
 


    yx  yy  yz       ( n ) 
j E
 
 zy  zz  n
 zx

    f FD ( E ) 
dk
  
 ( n )  2
 e  3  ( En ( k )) vn (k )  vn (k )    
E  E  En ( k )
4 

  1 En (k )
25
KBT=0.01 eV

vn ( k )  KBT=0.03 eV
20
KBT=0.05 eV
KBT=0.07 eV
 k
-(dfFD(E) / dE)
KBT=0.09 eV
15
10
potencial químico=1 eV
5
0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
09/07/2007 80
E (eV)

81. ¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?
Las colisiones electrón-fonón son eventos inelásticos en los
que el electrón puede gana o perder energía. En dicha colisión
el electrón suele perder su comportamiento cuántico en el
sentido de perder su fase cuántica. Sin embargo entre dos
eventos inelásticos podemos decir que el electrón conserva su
descripción cuántica.
Inelastic events
= ne2i/m
li=vFi
09/07/2007 81

82. Temperatura decreciente
09/07/2007
82

83. DISMINUYENDO EL TAMAÑO DE LOS
CIRCUITOS
09/07/2007 83

84. ¿Qué sucede con el transporte a través de
un sistema de dimensiones nanométricas?
La resistencia total de este sistema es la suma de las resistencias
de los tres cilindros. Rtot=R1+R2+R3, donde Ri=i Li / (ai2). Se
ha aplicado la Ley de Ohm que rige en el mundo macroscópico.
a1
a2
a3
1 3
2
L1 L2 L3
09/07/2007 84

85. ¿Qué sucede con el transporte a través de
un sistema de dimensiones nanométricas?
A medida que el cilindro central se hace más corto y estrecho la
resistencia total está determinada esencialmente por la resistencia
central (la mayor de las tres), es decir R2=2 L2 / (a22).
a1 a2 a3
1 3
L1 L2 L3
09/07/2007 85

86. ¿Qué sucede con el transporte a través de
un sistema de dimensiones nanométricas?
¿Qué sucede si el cilindro central se llega a hacer tan pequeño
que sus dimensiones estén por debajo del recorrido libre medio?
l
a2
L2
Ocurre que en ese caso la probabilidad de colisión con la red en
movimiento se hace muy pequeña y el electrón pasa por la
constricción de forma BALÍSTICA. Es decir, EL CONCEPTO
DE RESISTIVIDAD MACROSCÓPICA NO TIENE SENTIDO.
09/07/2007 86

87. ¡¡¡¡¡NECESITAMOS UNA DESCRIPCION
ALTERNATIVA!!!
09/07/2007 87

88. -(2 /m)2 (r) +V(r) (r) =E (r) => Dispersión 3D


  o (r )
i ( ki r i )
 i (r )  Aie
Onda emergente
Onda plana incidente Región de interacción
09/07/2007 88

89. -(2 /m)2 (r) +V(r) (r) =E (r) => Dispersión 3D
Onda emergente en campo lejano
  i(k'r (k'))

 o (r )   dk 'Ao (k ' )e
Onda plana incidente

 i (ki r i )
 i (r )  Aie Región de interacción
La información sobre el efecto dispersivo de la región de interacción
está contenida en las amplitudes Ao(k’) y los desfasajes δ(k’).
09/07/2007 89

90. -(2 /m)2 (r) +V(r) (r) =E (r) => Dispersión cuasi-1D
Dirección transversal Dirección longitudinal
09/07/2007 90

91. -(2 /m)2 (r) +V(r) (r) =E (r) => Dispersión cuasi-1D
2,0
Energy (arb. units) e7
1,5
EF
e6
e5
E
1,0
e4
e3
0,5
e2
e1
0,0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
kz
EVENTOS ELÁSTICOS: Conservan la energía total.
09/07/2007 91

92. -(2 /m)2 (r) +V(r) (r) =E (r) => Matriz Scattering
Scattering Matrix
I d , Di , I i , Dd
Amplitudes de las ondas entrantes y
salientes.
 I d   r tˆ´  I d 
 Ii  ˆ
   S   
 D i   tˆ r´ D i 
 
 Dd  ˆ  
 

1 
S S
09/07/2007 92

93. Probabilidades de transmisión y reflexión
 I d   r tˆ´  I d 
 Ii  ˆ
   S     t r´  D i 
ˆ ˆ  
 Dd   Di 
   

 *   *

( (r ) (r )  (r ) (r ))
j
2mi
vi vi
vi vi ~ ~
2 2
2 2
Ti , j  t i , j Ri , j  Ti , j  t 'i , j Ri , j 
r i, j r 'i , j
vj vj vj vj
~ ~ ~ ~
Ti   Ti , j Ri   Ri , j Ti   Ti , j Ri   Ri , j
j j j j
09/07/2007 93

94. Situaciones no elásticas y no descritas en la matriz S
2,0
Energy (arb. units) e7
1,5
e6
e5
1,0
e4
e3
0,5
e2
e1
0,0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
kz
09/07/2007 94

95. FORMALISMO DE LANDAUER-BÜTTIKER
09/07/2007 95

96. µ1 µ2
2m 1 2
gi (E )   29
5.0x10
 2 2 E   n h vi ( E ) a=b= 1 nm
g(E): density of states per unit length
bulk DOS
29
4.0x10
(electrons J m )
-1
29
3.0x10
-1
29
2.0x10
29
1.0x10
0.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
EF (eV)
09/07/2007 96

97. µ1 µ2
dI ( medido en el electrodo derecho en el canal i y en el intervalo dE ) 
2,0

 e vi ( E ) g i ( E ) f1 ( E )dE  Ti , j ( E )
Energy (arb. units)
e7
1,5
e6
j
e5

1,0
e4
 e vi ( E ) g i ( E )dEf 2 ( E )
e3
0,5

e2
~
 e vi ( E ) g i ( E ) f 2 ( E )dE  Ri , j ( E )
e1
0,0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
j
kz

 
 ~
I   dE  e vi ( E ) g i ( E )  f1 ( E ) Ti , j ( E )  f 2 ( E )  Ri , j ( E )  1
 
 
j
 
i j

09/07/2007 97

98. µ1 µ2

 
~
2e
dE  f1 ( E ) Ti , j ( E )  f 2 ( E )  Ri , j ( E )  1
I  
h  

 
j j
~
 (Ti , j  Ri , j )  1
j

 
2e
dE   f1 ( E )  f 2 ( E )  Ti, j ( E )
I
h i 
j
09/07/2007 98

99. µ1 µ2
1   2  eV
1
1
f 2 ( E )  f FD ( E ,  2 ) 
f1 ( E )  f FD ( E , 1 ) 
E  2
E  1
1  exp( 1  exp(
) )
k BT
k BT
 f ( E ) 
eV 
f1 ( E )  f 2 ( E )  f FD ( E  1 )  f FD ( E   2 )  f FD ( E  1 )  f FD ( E  1  eV )   1
E 

09/07/2007 99

100. µ1 µ2

 
2e
dE   f1 ( E )  f 2 ( E )  Ti, j ( E )
I
h i 
j
 f1 ( E ) 
eV 
f 1 ( E )  f 2 ( E )  
 E 

2e 2  f ( E ) 
 Ti , j ( E )
V  dE   1
I
E  i , j
h  
09/07/2007 100

101. µ1 µ2

I 2e 2  f ( E ) 
  E  Ti , j ( E )
dE   1
G 
V h  i, j

f1 ( E )
  ( E  EF )
T 0
E
2e 2
T ( E F )  G0  Ti , j ( E F )
G i, j
h i, j i, j
09/07/2007 101

102. G  G0  Ti
i
2
2e
and Ti   Ti , j ( E F )
where G0 
h j
1
R0   12900
G0
09/07/2007 102

103. Sistemas de altas transmitividades
• El valor G0 esen un 10-5 -1 y que es muy estrecho de por el que sólo
¿Que ocurre 7,747 sistema se conoce como “cuanto y la conductancia”.
La resistenciaposeer undicho valor es de 12906  y que además casi no
es posible asociada a canal de conducción se conoce como “cuanto
de resistencia”.
siente los defectos (es decir T1 es aproximadamente 1)?
2e2
T (EF )  G0
G R  12,9 k
h
• El valor G0 es 7,747 10-5 -1 y se conocepoco “cuanto de la conductancia”.
¿Que ocurre si el sistema es un como más ancho y ahora es
La resistencia asociada dos canales de 12906  y se conoce son buenos
posible introducir a dicho valor es de transporte (que como “cuanto
de resistencia”.
conductores, es decir T1  T2 1)?
2e2
T (EF )  2G0 R  6,45 k
G
h
09/07/2007 103

104. Landauer formalism
2 terminals 
2e 2  f ( E ) 
I
dE  E  Ti ( E )
G
S h  i

A
T  0  G  G0  Ti ( EF )
i
I
V G 2e 2
and Ti ( E F )   Ti , j ( E F )
V G0 
h j
4 terminals Vab
I
I
a b
¿Gab 
S
?
A
Vab
VG I
ab
Vab
09/07/2007 104

105. Landauer formalism
Vab
1   2
I
a b
Gab  G 
S
 a  b
A
V
   f ( E )      f ( E )  1
 Ti ( E )  2  dE   
  dE   
E  i E  i vi ( E ) 
      
Gab  G0 
 f ( E )  
1
dE  E   vi ( E ) (1  Ri ( E )  Ti ( E )) 
 i 
  

09/07/2007 105

106. UN EJEMPLO: SISTEMAS DE FUNCIONES DELTA EN UN
HILO 1D
09/07/2007 106

107. Distribución de defectos sobre una recta
L
reservoir reservoir
delta-function potential
09/07/2007 107

108. Resolviendo la ecuación de Schrödinger
ik ( x x p ) ik ( x x p )
a1e b2e
ik ( x x p ) ik ( x x p )
b1e a2e
mU0
 2
k
V ( x, xp )  U0  ( x  xp )
ik ( xx p ) ik ( xx p )
1(x, xp )  a1e  b1e
ik ( x x p ) ik ( x x p )
 2 (x, xp )  b2e  a2e
09/07/2007 108

109. Obteniendo la matriz de scattering para un defecto
ik ( xx p ) ik ( x x p )
a1e b2e
ik ( xx p ) ik ( x x p )
b1e a2e
mU0
 2
k
V ( x, xp )  U0  ( x  xp )
 I d   r tˆ´  I d 
 Ii  ˆ
   S   
 D i   tˆ r´ D i 
ˆ  
 Dd 
   

  i 1
 b1   r t'  a1 
 r t'   1  i 
 
 b   t r'  a  1  i 
 
 t r'    1
S  
 2   2   i 

  
 1  i 1  i 
09/07/2007 109

110. Combinando dos matrices de Scattering
ik ( xxq )
ik ( xx p ) ik ( x xq )
ik ( xx p )
a1(q)e
a1( p)e b2 (q)e
b2 ( p)e
ik ( xxq )
ik ( xx p ) ik ( x xq )
ik ( x x p )
b1 (q)e
b1 ( p)e a2 (q)e
a2 ( p)e
V ( x, xp )  U0  ( x  xp ) V (x, xq )  U0  (x  xq )
b1( p)   r t '  a1 ( p)  b1(q)   r t '  a1(q) 

b ( p)    t r' a ( p)  
b (q)    t r'  a (q) 
   
 
2    2  2    2 
ik ( xx p ) ik ( xxq ) ik ( x p  xq )
 a1(q)e  b2 ( p)  a1(q)e
b2 ( p)e
ik ( x x p ) ik ( x  xq ) ik ( x p  xq )
 b1 (q)e  a2 ( p)  b1 (q)e
a2 ( p)e
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111. Combinando dos matrices de Scattering
ik ( xx p ) ik ( x xq )
a1( p)e b2 (q)e
ik ( xx p ) ik ( x xq )
b1 ( p)e a2 (q)e
V ( x, xp )  U0  ( x  xp ) V (x, xq )  U0  (x  xq )
b1( p)   r( p, q) t ' ( p, q)  a1 ( p) 
    
b (q)   t( p, q) r' ( p, q)  a (q) 
2    2 
ik ( xx p ) ik ( x xq )
a1( p)e b2 (q)e
ik ( xx p ) ik ( x xq )
b1 ( p)e a2 (q)e
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112. Combinando varias matrices de scattering
reservoir
reservoir
An example: 10 defects in the wire
S1S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10
ikx ikx
a1e b10e
b1eikx a10eikx
 b1   r1...10 t1...10'  a1  2
2e 2
    G t1...10
b  t  a 
 10   1...10 r1...10'  10  h
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113. Situación de electrodo móvil: barriendo la línea
reservoir
reservoir
An example: N defects in the wire
S1S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10
ikx ikx
a1e ikx
bN e
bN e
b1eikx aN eikx aN eikx
b1   r1...N t1...N '  a1  2
2e 2
     G t1...10
b   t r1...N '  aN  h
 N   1...N  
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114. We study 6 different (random) defects configuration within
the ensemble characterized with 5000 sites, 25 defects (having ε=0.5 y T=0.8)
1.0 Def. conc. = 0.5% T=0.8
0.8
G el-tip (G 0 )
0.6
0.4
0.2
0.0
0 500 1000 1500 2000
Lel-tip (nm)
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115. Promedios estadísticos: ¿Por qué?
1.0 a=4.17 A E=5.53 eV
Defect concentration = 0.5%
=0.5 T=0.8
<G (L el-tip )>/G 0
0.8
Nsamples=1000,500,200,100,50,25,10
0.6
0.4
0.2
0.0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Lel-tip (nm)
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116. Dependencia de la concentración de defectos
L=5000 sites
1.0 Ndef=10,25,50,75,100,150,200,250
1200
a=4.17 A E=5.53 eV T=0.8
L=5000 sites  prop. 1/N def
1000
Ndef=10,25,50,75,100,150,200,250
0.8
=0.5 T=0.8
<G (L el-tip )>/G 0
800
 (nm )
600
0.6
 1/ Ndef
400
0.4 200
0
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.2 1/N def
Leltip
0.0
G(Leltip)/ G 1
0 500 1000 1500 2000
0

Lel-tip (nm)
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117. UN EJEMPLO: SISTEMA QUASI 1D CON DESORDEN
(TRATAMIENTO TIGHT-BINDING)
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118. Modelo Tight-binding (TB) en hilos quasi 1D
Orbital atómico de tipo s (esférico) centrado en un nodo (m,n) de la malla
cuadrada 2D con posición genérica Rm,n y con energía ε.
En la posición de la
malla (m,n) el orbital s
tiene una amplitud
(peso) denotada como
Am,n
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