Notas sobre calculo tensorial.pdf

1Tensores
1.1 Introducción
Muchos fenómenos físicos se representan matemáticamente mediante Tensores, los cuales,
por necesidad son representados en un sistema de referencia, de este modo surge el
concepto de componentes del tensor. Si bien los tensores son independientes del sistema
de referencia, las componentes serán dependientes y variarán con éste.
Los tensores pueden ser clasificados según su orden como:
Escalar (Tensor de orden 0): Cantidad que tiene magnitud pero no dirección (ejemplo:
densidad, temperatura, presión). Los escalares pueden ser funciones del espacio y del
tiempo y no necesariamente han de ser constantes.
Vector (Tensor de orden 1): Cantidad que tiene magnitud y dirección (ejemplo: velocidad,
fuerza, momento, campo eléctrico). Será simbolizado por una letra en negrita con una
flecha en la parte superior del tensor, i.e.: •
r
.
Tensor de segundo orden (Tensor de orden 2): Cantidad que tiene magnitud y dos
direcciones (ejemplo: tensión, deformación). Será simbolizado por una letra en negrita.
Para los tensores de órdenes superiores también usaremos letras en negrita.
Este capítulo trata del estudio detallado de los tensores (escalar, vector, tensor de segundo
orden, y de orden superior), y de algunas herramientas matemáticas que darán soporte al
desarrollo de las teorías que se exponen en los capítulos posteriores.
Primeramente, revisaremos algunas operaciones de vectores independientemente del
sistema de coordenadas. A continuación, introduciremos el sistema de coordenadas
rectangulares para expresar las componentes de un vector en dicho sistema. Una vez
definido el sistema de referencia, podremos expresar las operaciones con vectores tan sólo
Tensores
1

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS
Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. Por: Eduardo W.V. Chaves
12
en función de sus componentes. Por último, expondremos la notación indicial por su
simplicidad y fácil manipulación matemática.
Posteriormente estudiaremos los tensores de orden superior, poniendo especial énfasis en
los tensores de segundo orden. Para finalizar, plantearemos los campos de tensiones y los
sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas.
1.2 Vectores
A continuación presentamos algunas operaciones entre vectores en el espacio vectorial
tridimensional Euclidiano ( )
E .
Suma
Sean los vectores a
r
y b
r
pertenecientes al espacio de vectores. La suma de los mismos, ver
Figura 1.1(a), será otro vector (c
r
) dado por:
a
b
b
a
c
r
r
r
r
r
+
=
+
= (1.1)
Figura 1.1: Suma y resta de vectores.
Resta
La resta de dos vectores (a
r
, b
r
), ver Figura 1.1(b), será otro vector (d
r
) dado por:
b
a
d
r
r
r
−
= (1.2)
Para los vectores a
r
, b
r
y c
r
, pertenecientes al espacio de vectores, se cumplen las siguientes
relaciones:
c
b
a
c
b
a
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
+
+
=
+
+
=
+
+ )
(
)
( (1.3)
Producto por un escalar λ
Sea el vector a
r
, el producto a
r
λ será un vector con la misma dirección de a
r
, mientras que
su módulo y sentido dependerán del valor del escalar λ , tal y como se indica en la Figura
1.2.
c
r
a
r
b
r
c
r
a
r
b
r
b
r
−
d
r
a) b)

1 TENSORES
13
Figura 1.2: Producto de un vector por un escalar.
Producto Escalar
Sean los vectores a
r
y b
r
, se define el Producto Escalar de ambos vectores como un escalar γ
de valor:
θ
=
= ⋅ cos
b
a
b
a
r
r
r
r
γ (1.4)
siendo θ el ángulo formado por los dos vectores, y • es el módulo (o magnitud) de •.,
ver Figura 1.3(a). Se puede concluir también que a
b
b
a
r
r
r
r
⋅
⋅ = .
Para el caso en que b
a
r
r
= obtenemos que:
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅ =
⇒
=

 →

θ
= =
θ
cos º
0
(1.5)
Vector Unitario (versor)
Dado un vector a
r
, el versor (vector unitario) asociado a esta dirección será un vector â
con la misma dirección y sentido de a
r
, definido por:
a
a
a r
r
=
ˆ (1.6)
donde a
r
es el módulo del vector a
r
. Si â es un vector unitario, entonces debe cumplir
que:
1
ˆ =
a (1.7)
Vector Nulo
El vector nulo viene representado por:
r
0 (1.8)
Vector Proyección
El vector proyección del vector a
r
sobre el vector b
r
(Figura 1.3(b)) será un vector con la
dirección de b
r
y con módulo de valor a
b
r
r
proj dado por:
a
r
1
>
λ 0
<
λ
1
=
λ
a
r
λ
a
r
λ
a
r
λ
1
0 <
λ
<
a
r a
r
a
r

14
ˆ
= ⋅
r
r r
b
a a b
proj (1.9)
donde b̂ es el versor según la dirección de b
r
, luego se cumple que:
=
⋅
r
r
r
r
r
b
a b
a
b
proj (1.10)
Figura 1.3: Producto escalar.
Podemos obtener el vector a
b
r
r
proj como su módulo a
b
r
r
proj multiplicado por el versor
según la dirección de b
r
:
escalar
= =
⋅ ⋅
r
r r r
r r r
r
r r r r
1
4
24
3
b
a b b a b
a b
b b b b
proj
(1.11)
Ortogonalidad de dos vectores
Dos vectores son ortogonales entre sí cuando se cumple la siguiente condición:
0
=
⋅b
a
r
r
(1.12)
Producto Vectorial
El producto vectorial de dos vectores a
r
y b
r
da como resultado un tercer vector c
r
que se
caracteriza por ser perpendicular a estos dos vectores (Figura 1.4), y que posee las
siguientes características:
! Representación:
a
b
b
a
c
r
r
r
r
r
∧
−
=
∧
= (1.13)
! Dado que c
r
es perpendicular a a
r
y a b
r
, se cumple entonces que:
0
=
= ⋅
⋅ c
b
c
a
r
r
r
r
(1.14)
! El módulo de c
r
es por definición:
θ
= sin
b
a
c
r
r
r
(1.15)
siendo θ el menor ángulo formado entre los vectores a
r
y b
r
, ver Figura 1.4.
θ
a
r
b
r θ
a
r
b
r
.
a
b
r
r
proj
a) b)
π
≤
θ
≤
0

1 TENSORES
15
Figura 1.4: Producto vectorial.
El módulo del producto vectorial es el área ( A ) del paralelogramo formado por estos dos
vectores, ver Figura 1.4:
b
a
r
r
∧
=
A (1.16)
y como consecuencia el área del triangulo formado por los puntos OCD (Figura 1.4(a))
será:
b
a
r
r
∧
=
2
1
T
A (1.17)
Si a
r
y b
r
son colineales (linealmente dependiente, i.e. b
a
r
r
α
= , donde α es un escalar), el
producto vectorial entre ellos resultará el vector nulo, 0
r
.
Triple Producto Escalar
Dados tres vectores ( c
b
a
r
r
r
,
, ) se denomina el triple producto escalar a:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a
b
c
c
a
b
b
c
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∧
−
=
∧
−
=
∧
−
=
=
∧
=
∧
=
∧
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
V
V
(1.18)
El resultado de esta operación es el volumen del paralelepípedo ( V ) formado por estos tres
vectores, tal y como se muestra en la Figura 1.5.
Luego, para vectores cualesquiera a
r
, b
r
se cumple que:
( ) 0
a
b
a
r
r
r
r
=
∧
⋅ (1.19)
Dado los vectores a
r
, b
r
, c
r
, d
r
, y α , β escalares, la siguiente propiedad es válida:
)
(
)
(
)
(
)
( d
c
b
d
c
a
d
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∧
+
∧
=
∧
+ ⋅
⋅
⋅ β
α
β
α (1.20)
NOTA: Algunos autores representan el triple producto escalar por la siguiente
nomenclatura, ( )
c
b
a
c
b
a
r
r
r
r
r
r
∧
≡ ⋅
]
,
,
[ , ( )
a
c
b
a
c
b
r
r
r
r
r
r
∧
≡ ⋅
]
,
,
[ , ( )
b
a
c
b
a
c
r
r
r
r
r
r
∧
≡ ⋅
]
,
,
[ , y así
sucesivamente. ■
b
a
c
r
r
r
∧
=
a
r
b
r
θ
a
b
c
r
r
r
∧
=
−
..
a
r
b
r
θ
..
A
A
O
C
D
a) b)
c
r
O
C
D

16
Figura 1.5: Triple producto escalar.
Triple Producto Vectorial
Dados tres vectores a
r
, b
r
y c
r
, el triple producto vectorial resulta un vector w
r
dado por
( )
c
b
a
w
r
r
r
r
∧
∧
= , siendo válidas las siguientes relaciones:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )c
b
a
b
c
a
a
b
c
b
a
c
a
b
c
b
a
c
c
b
a
w
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
−
=
∧
∧
=
∧
∧
−
=
∧
∧
=
(1.21)
Observemos que el vector w
r
es un vector contenido en el plano 1
Π , formado por los vectores
b
r
y c
r
, según se muestra en la Figura 1.6.
Figura 1.6: Triple producto vectorial.
a
r
b
r
θ
a
r
∧ b
r
..
V
c
r
≡
V Triple producto escalar
1
Π
2
Π
a
r
b
r
c
r
c
b
r
r
∧
1
Π - plano formado por b
r
y c
r
2
Π - plano formado por a
r
y c
b
r
r
∧
w
r
w
r
contenido en el plano 1
Π

1 TENSORES
17
Ejemplo 1.1: Probar que si a
r
y b
r
son vectores se cumple que:
( ) ( ) ( )( ) ( )2
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅ −
=
∧
∧
Solución:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
cos
cos
1
sin
sin
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
−
=
θ
−
=
θ
−
=
θ
−
=
θ
=
θ
=
∧
=
∧
∧
donde hemos considerado que
2
a
a
a
r
r
r
=
⋅ y
2
b
b
b
r
r
r
=
⋅ .
Transformación Lineal
Decimos que una transformación F es una transformación lineal cuando dados dos
vectores u
r
y v
r
y un escalar α se cumplen que:
! )
(
)
(
)
( v
u
v
u
r
r
r
r
F
F
F +
=
+
! )
(
)
( u
u
r
r
F
F α
α =
Ejemplo 1.2: Verificar si para las siguientes transformaciones ε
=
ε
σ E
)
( y 2
2
1
)
( ε
=
ε E
ψ
son transformaciones lineales.
Solución:
[ ] )
(
)
(
)
( 2
1
2
1
2
1
2
1 ε
σ
+
ε
σ
=
ε
+
ε
=
ε
+
ε
=
ε
+
ε
σ E
E
E (transformación lineal)
)
(ε
σ
ε
2
1 ε
+
ε
2
ε
1
ε
)
( 2
ε
σ
)
( 1
ε
σ
)
(
)
(
)
( 2
1
2
1 ε
σ
+
ε
σ
=
ε
+
ε
σ

18
La transformación 2
2
1
)
( ε
=
ε E
ψ se demuestra fácilmente que no es una
transformación lineal ya que:
[ ] [ ]
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
ε
+
ε
≠
ε
ε
+
ε
+
ε
=
ε
ε
+
ε
+
ε
=
ε
+
ε
ε
+
ε
=
ε
+
ε
=
ε
+
ε
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
E
E
E
E
E
E
ε
2
1 ε
+
ε
1
ε 2
ε
)
(ε
ψ
)
( 2
1 ε
+
ε
ψ
)
( 2
ε
ψ
)
( 1
ε
ψ
)
(
)
( 2
1 ε
+
ε ψ
ψ

1 TENSORES
19
1.3 Sistema de Coordenadas
Un tensor es una interpretación matemática de un concepto físico. Sus componentes
adoptan valores que dependen del sistema de coordenadas elegido para representarlo, ver
Figura 1.7.
Figura 1.7: Esquema tensor-componentes.
Consideremos un tensor de orden uno (a
r
) como el representado en la Figura 1.8(a), la
representación de este tensor en un sistema de coordenadas genérico ( 3
2
1 ,
, ξ
ξ
ξ ) se hace a
través de sus componentes ( 3
2
1 a
a
a ,
, ), ver Figura 1.8(b).
Figura 1.8: Representación de un vector.
Los sistemas de coordenadas pueden ser de varios tipos: coordenadas curvilíneas,
coordenadas cartesianas rectangulares, coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas,
entre otros.
1.3.1 Sistema de Coordenadas Rectangulares
El sistema de coordenadas cartesianas rectangulares viene definido por tres vectores: î , ĵ ,
k̂ , los cuales constituyen una base ortonormal. Se entiende por base ortonormal, aquella que
satisface las siguientes propiedades:
1. Los vectores que forman esta base son unitarios (versores):
1
ˆ
ˆ
ˆ =
=
= k
j
i (1.22)
o lo que es igual:
a
r
a)
a
r
1
ξ
2
ξ
3
ξ
b)
a
r
( 3
2
1 a
a
a ,
, )
TENSORES
Interpretación matemática de conceptos físicos
(Independiente del sistema de coordenadas)
COMPONENTES
Representación del Tensor en
un Sistema de Coordenadas

20
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ =
=
= ⋅
⋅
⋅ k
k
j
j
i
i (1.23)
2. Los vectores de esta base son ortogonales entre sí, es decir:
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ =
=
= ⋅
⋅
⋅ i
k
k
j
j
i (1.24)
3. El Producto vectorial entre los versores que forman esta base cumple lo siguiente:
j
i
k
i
k
j
k
j
i ˆ
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
ˆ =
∧
=
∧
=
∧ (1.25)
Para conocer el sentido del vector resultante del producto vectorial utilizamos la regla de la
mano derecha, tal y como se indica en la Figura 1.9.
k
j
i ˆ
ˆ
ˆ =
∧ i
k
j ˆ
ˆ
ˆ =
∧ j
i
k ˆ
ˆ
ˆ =
∧ (1.26)
Figura 1.9: Regla de la mano derecha.
1.3.2 Representación de los Vectores en el Sistema de
Coordenadas Cartesianas
En el sistema de coordenadas cartesianas, el vector a
r
(Figura 1.10) está representado por
sus componentes ( x
a , y
a , z
a ) como:
k
j
i ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x a
a
a +
+
=
a
r
(1.27)
Figura 1.10: Vector en el sistema cartesiano.
î
ĵ
k̂
î
ĵ
k̂ k̂
î
ĵ
x
y
z
a
r
î
ĵ
k̂
x
a
y
a
z
a

1 TENSORES
21
Las operaciones básicas particularizadas a este sistema de referencia son:
! Producto Escalar de dos vectores a
r
y b
r
)
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
z
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
+
+
=
+
+
+
+
= ⋅
⋅ k
j
i
k
j
i
b
a
r
r
(1.28)
Luego, se cumple que
2
2
2
2
a
a
a
r
r
r
=
+
+
=
+
+
=
⋅ z
y
x
z
z
y
y
x
x a
a
a
a
a
a
a
a
a
NOTA: La proyección de un vector sobre una dirección determinada obtenemos a
través del producto escalar del vector y del versor que define esa dirección. Como
ejemplo, si quisiéramos obtener la componente del vector a
r
según la dirección y
(representado por su versor ĵ ) es suficiente con: y
z
y
x a
a
a
a =
+
+
= ⋅
⋅ )
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
ˆ j
k
j
i
j
a
r
.■
! módulo del vector a
r
2
2
2
z
y
x a
a
a +
+
=
a
r
(1.29)
! vector unitario correspondiente al vector a
r
k
j
i ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
z
z
y
x
y
z
y
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
a
a
a r
r
(1.30)
! vector nulo
ˆ ˆ ˆ
0 0 0
= + +
i j k
r
0 (1.31)
! Suma de dos vectores a
r
y b
r
( ) ( ) ( )k
j
i
k
j
i
k
j
i
ˆ
ˆ
ˆ
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
z
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+ b
a
r
r
(1.32)
! Resta de dos vectores a
r
y b
r
( ) ( ) ( )k
j
i
k
j
i
k
j
i
ˆ
ˆ
ˆ
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
z
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
−
+
−
+
−
=
+
+
−
+
+
=
− b
a
r
r
(1.33)
! Multiplicación por un escalar λ
k
j
i ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x a
a
a λ
+
λ
+
λ
=
λa
r
(1.34)
! Producto Vectorial de dos vectores a
r
y b
r
k
j
i
k
j
i
k
j
i
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x
y
y
x
x
z
z
x
y
z
z
y
y
x
y
x
z
x
z
x
z
y
z
y
z
y
x
z
y
x
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
b
a
a
a
−
+
−
−
−
=
+
−
=
=
∧
= b
a
c
r
r
r
(1.35)
donde el símbolo )
(•
≡
• det se emplea para indicar el determinante de una matriz.

22
! Triple Producto Escalar de los vectores ( c
b
a
r
r
r
,
, ) en términos de sus
componentes viene definido por:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
y
y
x
z
x
z
z
x
y
y
z
z
y
x
y
x
y
x
z
z
x
z
x
y
z
y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
c
b
c
b
a
c
b
c
b
a
c
b
c
b
a
c
c
b
b
a
c
c
b
b
a
c
c
b
b
a
c
c
c
b
b
b
a
a
a
V
−
+
−
−
−
=
+
−
=
=
∧
=
∧
=
∧
= ⋅
⋅
⋅ b
a
c
a
c
b
c
b
a
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
)
,
,
(
(1.36)
! Triple Producto Vectorial de los vectores ( c
b
a
r
r
r
,
, ) en función de sus
componentes es:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )k
j
i ˆ
ˆ
ˆ
2
1
2
1
2
1 z
z
y
y
x
x c
b
c
b
c
b λ
−
λ
+
λ
−
λ
+
λ
−
λ
=
−
=
∧
∧ ⋅
⋅ c
b
a
b
c
a
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(1.37)
con z
z
y
y
x
x c
a
c
a
c
a +
+
=
=
λ ⋅c
a
r
r
1 , y z
z
y
y
x
x b
a
b
a
b
a +
+
=
=
λ ⋅b
a
r
r
2 .
Ejemplo 1.3: Considérense los puntos ( )
1
,
3
,
1
A , ( )
1
,
1
,
2 −
B , ( )
3
,
1
,
0
C y ( )
4
,
2
,
1
D .
Se pide:
1) Encontrar el área del paralelogramo definido por
→
AB y
→
AC ;
2) Encontrar el volumen del paralelepípedo definido por:
→
AB ,
→
AC y
→
AD ;
3) Encontrar el vector proyección del vector
→
AB sobre el vector
→
BC .
Solución:
1) Primero se calculan los vectores
→
AB y
→
AC :
( ) ( ) k
j
i
k
j
i
k
j
i ˆ
0
ˆ
4
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
3
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
2 +
−
=
+
+
−
+
−
=
−
=
=
→
→
→
OA
OB
AB
a
r
( ) ( ) k
j
i
k
j
i
k
j
i ˆ
2
ˆ
2
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
3
ˆ
1
ˆ
3
ˆ
1
ˆ
0 +
−
−
=
+
+
−
+
+
=
−
=
=
→
→
→
OA
OC
AC
b
r
Utilizando la definición (1.35) se obtiene el producto vectorial:
k
j
i
k
j
i
ˆ
)
6
(
ˆ
2
ˆ
)
8
(
2
2
1
0
4
1
ˆ
ˆ
ˆ
−
+
−
−
=
−
−
−
=
∧ b
a
r
r
El área del paralelogramo será igual al módulo del vector resultante del producto
vectorial:
104
)
6
(
)
2
(
)
8
( 2
2
2
=
−
+
−
+
−
=
∧
= b
a
r
r
A (unidades cuadradas)
2) Calculando vector
→
AD :
( ) ( ) k
j
i
k
j
i
k
j
i ˆ
3
ˆ
1
ˆ
0
ˆ
1
ˆ
3
ˆ
1
ˆ
4
ˆ
2
ˆ
1 +
−
=
+
+
−
+
+
=
−
=
=
→
→
→
OA
OD
AD
c
r
Utilizando la definición (1.36):

1 TENSORES
23
( ) ( ) ( )
cúbicas)
(unidades
16
18
2
0
ˆ
6
ˆ
2
ˆ
8
ˆ
3
ˆ
1
ˆ
0
)
,
,
(
=
−
+
=
−
−
−
+
−
=
∧
= ⋅
⋅ k
j
i
k
j
i
b
a
c
c
b
a
r
r
r
r
r
r
V
3) A continuación calculamos el vector
→
BC :
( ) ( ) k
j
i
k
j
i
k
j
i ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
2
ˆ
3
ˆ
1
ˆ
0 +
+
−
=
+
−
−
+
+
=
−
=
→
→
→
OB
OC
BC
Utilizando la ecuación (1.11):
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
4
4
4
0
8
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
0
ˆ
4
ˆ
1
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
2
+
+
−
+
+
+
−
−
=
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
−
+
+
−
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅ →
→
→
→
→
→
→
→
BC
BC
BC
AB
BC
AB
BC
BC
4
3
4
2
1
proj
k
j
i ˆ
3
5
ˆ
3
5
ˆ
3
5
−
−
=
→
→
AB
BC
proj
1.3.3 Convenio de Suma de Einstein
Definimos en la ecuación (1.27) la representación de un vector a
r
en el sistema de
coordenadas rectangular:
k
j
i ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x a
a
a +
+
=
a
r
(1.38)
Podemos reescribir la ecuación anterior como:
3
3
2
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ e
e
e
a a
a
a +
+
=
r
(1.39)
donde hemos considerado que: x
a
a ≡
1 , y
a
a ≡
2 , z
a
a ≡
3 , î
ˆ 1 ≡
e , ĵ
ˆ 2 ≡
e , k̂
ˆ 3 ≡
e , tal y
como se indica en la Figura 1.11. De esta forma podemos expresar la ecuación (1.39) como
una suma:
∑
=
=
+
+
=
3
1
3
3
2
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
i
i
i e
e
e
e
a a
a
a
a
r
(1.40)
o simplemente utilizando el convenio de suma o Notación de Einstein, según la cual, se
utilizan índices repetidos para indicar suma, así pues la expresión (1.40) queda de la
siguiente manera:
)
3
,
2
,
1
(
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ 3
3
2
2
1
1 =
=
+
+
= i
i
ie
e
e
e
a a
a
a
a
r
)
3
,
2
,
1
(
ˆ =
= i
i
ie
a a
r
(1.41)
NOTA: La notación de suma fue introducida por Albert Einstein en 1916, dando origen
así a la notación indicial. ■

24
1.4 Notación Indicial
Utilizando notación indicial los ejes del sistema de coordenadas son designados por la letra
x con un subíndice. Por eso i
x no representa un único valor, sino i valores, es decir 1
x ,
2
x , 3
x ( si 3
,
2
,
1
=
i ) donde estos valores ( 1
x , 2
x , 3
x ) corresponden respectivamente a los
ejes ( x , y , z ).
En un sistema de coordenadas cartesianas, un vector a
r
será representado por sus
componentes en la base del citado sistema de la siguiente forma:
3
3
2
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ e
e
e
a a
a
a +
+
=
r
(1.42)
donde 1
ê , 2
ê , 3
ê son versores (vectores unitarios), tal y como se muestra en la Figura
1.12, y 1
a , 2
a , 3
a son las componentes del vector. En notación indicial las componentes del
vector serán representadas por i
a . Si no se indica el rango del subíndice, se supondrá que
adopta los valores 1,2,3. Por tanto, las componentes de vector pueden representarse de la
siguiente forma:










=
=
3
2
1
)
(
a
a
a
ai
i
a
r
(1.43)
x
y
z
a
r
1
ˆ
ˆ e
≡
i
2
ˆ
ˆ e
≡
j
3
ˆ
ˆ e
≡
k
1
a
a ≡
x
2
a
a ≡
y
3
a
a ≡
z

1 TENSORES
25
Componentes del Vector Unitario: Dado un vector a
r
, el vector unitario asociado a esta
dirección será un vector â dado por:
1
ˆ
ˆ =
= a
a
a
a con
r
r
(1.44)
cuyas componentes serán:
)
3
,
2
,
1
,
,
(
ˆ
2
3
2
2
2
1
=
=
=
+
+
= k
j
i
k
k
i
j
j
i
i
i
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a (1.45)
Los subíndices se denominan de 2 formas:
Subíndices libres aquellos que sólo aparecen una vez en un término de la expresión. En la
ecuación anterior el subíndice libre es el subíndice (i ). El número de subíndices
libres indica el orden del tensor.
Subíndices mudos son los subíndices que se repiten en una expresión indicando suma. En la
ecuación anterior (1.45) son, o bien el ( j ), o bien el (k ).
Producto Escalar: Utilizando las definiciones (1.4) y (1.28), podemos expresar el producto
escalar en notación indicial de la siguiente forma:
)
3
,
2
,
1
,
(
cos
3
3
2
2
1
1 =
=
=
+
+
=
θ
=
= ⋅
j
i
j
j
i
i b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
γ
γ b
a
b
a
r
r
r
r
(1.46)
OBS.: Un subíndice en un término de una expresión sólo puede aparecer una o
dos veces. En el caso de que aparezca tres o más veces, entonces la expresión es
incorrecta.
1
x
x ≡
2
x
y ≡
3
x
z ≡
a
r
1
ê
2
ê
3
ê
1
a
2
a
3
a

26
Ejemplo 1.4: Reescribir en notación indicial las siguientes expresiones:
1) 3
3
3
3
2
2
3
1
1 x
x
a
x
x
a
x
x
a +
+
Solución: )
3
,
2
,
1
(
3 =
i
x
x
a i
i
2) 2
2
1
1 x
x
x
x +
Solución: )
2
,
1
( =
i
x
x i
i
3)





=
+
+
=
+
+
=
+
+
z
y
x
b
z
a
y
a
x
a
b
z
a
y
a
x
a
b
z
a
y
a
x
a
33
32
31
23
22
21
13
12
11
Solución:





=
+
+
=
+
+
=
+
+
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a

 →
 j
mudo
índice





=
=
=
3
3
2
2
1
1
b
x
a
b
x
a
b
x
a
j
j
j
j
j
j

 →
 i
libre
índice
i
j
ij b
x
a =
Como podemos apreciar, la utilización de la notación indicial supone que la
expresión quede muy concisa. En muchos casos, tratar de realizar manipulaciones
algebraicas sin utilizar notación indicial o tensorial es casi imposible debido a la
gran cantidad de términos que pueden intervenir.
Ejemplo 1.5: Expandir la expresión: )
3
,
2
,
1
,
( =
j
i
x
x
A j
i
ij
Solución: Los índices j
i, son índices mudos (indican suma), no hay índice libre, y como
resultado tenemos un escalar. Expandimos primero el índice mudo i y a
continuación el índice j , resultando así:
4
3
4
2
1
4
3
4
2
1
4
3
4
2
1
3
3
33
2
3
32
1
3
31
3
3
3
2
23
2
2
22
1
2
21
2
2
3
1
13
2
1
12
1
1
11
1
1
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A j
j
j
j
j
j
i
o
expandiend
j
i
ij
+
+
+
+
+
+
+
+



 →

Reagrupando los términos anteriores obtenemos:
3
3
33
2
3
32
1
3
31
3
2
23
2
2
22
1
2
21
3
1
13
2
1
12
1
1
11
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
x
A j
i
ij
+
+
+
+
+
+
+
+
=
expandiendo
j

1 TENSORES
27
1.4.1.1 Delta de Kronecker
El símbolo delta de Kronecker ij
δ definimos de la manera siguiente:





≠
=
=
j
i
si
j
i
si
ij
0
1
δ (1.47)
Observemos también que el producto escalar de la base ortonormal j
i e
e ˆ
ˆ ⋅ es 1 si j
i = y 0
si j
i ≠ . Si lo anterior lo exponemos de forma explícita, obtendremos:
ij
j
i δ
=










=










=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e (1.48)
Una propiedad muy interesante de la delta de Kronecker la demostraremos a continuación
con el siguiente ejemplo, sea un vector (V
r
) de componentes ( i
V ) se cumple:
3
3
2
2
1
1 V
V
V
V j
j
j
i
ij δ
δ
δ
δ +
+
= (1.49)
luego, como )
3
,
2
,
1
( =
j es un índice libre tenemos:
j
i
ij
i
ij
i
ij
i
ij
V
V
V
V
V
V
V
j
V
V
V
V
V
j
V
V
V
V
V
j
=
⇒





=
+
+
=
⇒
=
=
+
+
=
⇒
=
=
+
+
=
⇒
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
3
3
33
2
23
1
13
2
3
32
2
22
1
12
1
3
31
2
21
1
11
3
2
1
(1.50)
Es decir, en la presencia del símbolo Delta de Kronecker reemplazamos el índice repetido,
tal y como se indica a continuación:
j
i
j
i V
V =
δ (1.51)
Por esta razón, la delta de Kronecker es frecuentemente llamada operador de sustitución. Otros
ejemplos:
33
22
11
33
22
11 3
a
a
a
a
a
a jj
ii
ji
ji
jj
ii
ji
ij
jk
ik
ij A
A
+
+
=
=
=
=
+
+
=
=
=
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
(1.52)
Más aún, se puede decir que:
ij
j
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
δ
=










=


















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
(1.53)
Sea la base ortonormal i
ê , podemos obtener las componentes del vector a
r
en esta base
como:

28
i
pi
p
i
p
p
i a
a
a =
=
= ⋅
⋅ δ
e
e
e
a ˆ
ˆ
ˆ
r
(1.54)
Con eso podemos representar un vector como:
i
i
i
i e
e
a
e
a ˆ
)
ˆ
(
ˆ ⋅
=
=
r
r
a (1.55)
Ejemplo 1.6: Resolver las siguientes expresiones:
1) jj
iiδ
δ
Solución: ( )( ) 9
3
3
33
22
11
33
22
11 =
×
=
+
+
+
+
= δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ jj
ii
2) 1
1 γ
αγ
α δ
δ
δ
Solución: 1
11
1
1
1
1 =
=
= γ
γ
γ
αγ
α δ
δ
δ
δ
δ
δ
NOTA: Observar que es incorrecto hacer la siguiente operación
1
3 11
1
1 =
≠
=
≠ γγ
γ
γ δ
δ
δ
δ , ya que lo que se reemplaza es el índice repetido ■
1.4.1.2 Símbolo de Permutación
El símbolo de permutación ijk
 viene definido como:
{ }
{ }





=
=
=
∈
−
∈
+
≡
)
(
)
(
)
(
)
3
,
1
,
2
(
),
1
,
2
,
3
(
),
2
,
3
,
1
(
)
,
,
(
1
)
2
,
1
,
3
(
),
1
,
3
,
2
(
),
3
,
2
,
1
(
)
,
,
(
1
0 k
i
o
k
j
o
j
i
si
k
j
i
si
k
j
i
si
:
i.e.
casos
de
resto
el
para
ijk
 (1.56)
NOTA: ijk
 son las componentes del Pseudo-tensor Levi-Civita, que será definido mas
adelante. ■
Otra forma de expresar este operador es a través de sus subíndices:
)
)(
)(
(
2
1
i
k
k
j
j
i
ijk −
−
−
=
 (1.57)
Los valores de ijk
 pueden ser fácilmente memorizados si utilizamos la Figura 1.13(a).
Figura 1.13: Símbolo de permutación.
Con la definición (1.67) y utilizando la Figura 1.13(b) podemos comprobar que las
siguientes relaciones son válidas:
kji
jik
ikj
ijk
kij
jki
ijk







−
=
−
=
−
=
=
=
(1.58)
1
2
3
1
=
ijk

1
−
=
ijk

a)
i
j
k
b)
kij
jki
ijk 

 =
=
ikj
ijk 
 −
=
jik
kji
ikj
ijk




−
=
−
=
−
=

1 TENSORES
29
Si expresamos el símbolo de permutación en función de la delta de Kronecker (operador de
sustitución), obtenemos:
( ) ( ) ( )
j
i
j
i
k
k
i
k
i
j
k
j
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
nk
mj
li
lmn
ijk
2
3
3
2
1
2
3
3
2
1
2
3
3
2
1
1
2
3
1
3
2
2
1
3
3
1
2
2
3
1
3
2
1
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
−
+
−
−
−
=
−
+
+
−
−
=
= 

(1.59)
lo que es igual al resultado del siguiente determinante:
k
k
k
j
j
j
i
i
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
ijk
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
=
=
 (1.60)
Por lo tanto podemos expresar el producto pqr
ijk 
 como el producto de dos
determinantes que definimos a continuación:
r
q
p
r
q
p
r
q
p
k
k
k
j
j
j
i
i
i
pqr
ijk
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
=

 (1.61)
Si tenemos en cuenta que dadas dos matrices cuadradas se cumple que
)
(
)
(
)
( B
A
AB det
det
det = , donde •
≡
•)
(
det es el determinante de la matriz •, la relación
(1.61) resulta ser:
kr
kq
kp
jr
jq
jp
ir
iq
ip
pqr
ijk
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
=

 (1.62)
Observemos que el término ip
δ fue obtenido a través de la operación:
ip
mp
mi
p
i
p
i
p
i δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ =
=
+
+ 3
3
2
2
1
1 , análogamente podemos obtener el resto de
términos.
Para el caso particular en el que k
r = la relación (1.62) puede expresarse como:
3
,
2
,
1
,
,
,
, =
−
= q
p
k
j
i
jp
iq
jq
ip
pqk
ijk δ
δ
δ
δ

 (1.63)
Ejemplo 1.7: a) Probar que ip
pjk
ijk δ
2
=

 y que 6
=
ijk
ijk 
 . b) Obtener el valor numérico
de la siguiente expresión i
k
j
ijk 1
3
2 δ
δ
δ
 .
Solución: a) Utilizando la expresión (1.63):
jp
iq
jq
ip
pqk
ijk δ
δ
δ
δ −
=


y haciendo j
q = , resulta:
ip
ip
ip
jp
ij
jj
ip
pjk
ijk
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
2
3 =
−
=
−
=


Partiendo del resultado anterior, es trivial la siguiente comprobación:
6
2 =
= ii
ijk
ijk δ


b) 1
123
1
3
2 =
= 
 i
k
j
ijk δ
δ
δ

30
! El Producto Vectorial de dos vectores a
r
y b
r
resultará un vector c
r
, definido en
(1.35), y viene dado por:
3
3
1
2
2
1
2
2
3
1
1
3
1
1
2
3
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
ˆ
ˆ
e
e
e
e
e
e
b
a
c
43
42
1
43
42
1
4
43
4
42
1
r
r
r
c
c
c
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
−
+
−
+
−
=
=
∧
=
(1.64)
Podemos utilizar la definición del símbolo de permutación ijk
 , definido en (1.56), y
expresar las componentes de c
r
como:
k
j
ijk
i
k
j
jk
k
j
jk
k
j
jk
b
a
c
b
a
b
a
b
a
c
b
a
b
a
b
a
c
b
a
b
a
b
a
c










=
⇒





=
+
=
=
+
=
=
+
=
3
1
2
321
2
1
312
3
2
3
1
213
1
3
231
2
1
2
3
132
3
2
123
1
(1.65)
Luego, el producto vectorial, entre dos vectores a
r
, b
r
, podrá ser representado a través del
símbolo de permutación como:
i
k
j
ijk e
b
a ˆ
b
a

=
∧
r
r
(1.66)
Podemos relacionar el operador de permutación con la base ortonormal i
ê a través del
triple producto escalar de dicha base:
( )
( ) ijk
k
j
i
mk
ijm
k
m
ijm
k
j
i
m
ijm
j
i




=
∧
=
=
∧
=
∧
⋅
⋅
⋅
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
δ (1.67)
! El Triple Producto Escalar de los vectores ( c
b
a
r
r
r
,
, ) viene dado por:
( ) ( ) ( )
3
2
1
3
2
1
3
2
1
c
c
c
b
b
b
a
a
a
=
∧
=
∧
=
∧
=
λ ⋅
⋅
⋅ b
a
c
a
c
b
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(1.68)
En función del símbolo de permutación lo podemos expresar como:
( ) )
3
,
2
,
1
,
,
( =
=
∧
=
λ
⇒ ⋅ k
j
i
k
j
i
ijk c
b
a

c
b
a
r
r
r
(1.69)
Demostraremos que se cumplen ( ) ( ) ( )
b
a
c
a
c
b
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∧
=
∧
=
∧ ⋅
⋅
⋅ partiendo de la relación
(1.69), y además teniendo en cuenta las relaciones dadas en (1.58), obtenemos que:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ]
,
,
[
]
,
,
[
]
,
,
[
]
,
,
[
]
,
,
[
]
,
,
[
a
b
c
a
b
c
c
a
b
c
a
b
b
c
a
b
c
a
b
a
c
b
a
c
a
c
b
a
c
b
c
b
a
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
−
≡
∧
−
=
−
=
−
≡
∧
−
=
−
=
−
≡
∧
−
=
−
=
≡
∧
=
=
≡
∧
=
=
=
∧
≡
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
k
j
i
kji
k
j
i
jik
k
j
i
ikj
k
j
i
kij
k
j
i
jki
k
j
i
ijk
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a






(1.70)

1 TENSORES
31
Ejemplo 1.8: Escribir la siguiente relación ( ) ( )
d
c
b
a
r
r
r
r
∧
∧ ⋅ sin emplear el producto
vectorial.
Solución: Observemos que el producto vectorial ( )
b
a
r
r
∧ lo podemos expresar de la siguiente
forma: ( ) i
k
j
ijk
k
k
j
j e
e
e
b
a ˆ
ˆ
ˆ b
a
b
a 
=
∧
=
∧
r
r
, cuyo resultado será un vector. De esta
forma hemos utilizado la definición del símbolo de permutación (1.66).
Análogamente podemos expresar el producto vectorial ( )
d
c
r
r
∧ como
( ) n
m
l
nlm e
d
c ˆ
d
c

=
∧
r
r
, por lo tanto:
( ) ( )
m
l
k
j
ilm
ijk
in
m
l
k
j
nlm
ijk
n
i
m
l
k
j
nlm
ijk
n
m
l
nlm
i
k
j
ijk
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a








=
=
=
=
∧
∧
⋅
⋅
⋅
δ
e
e
e
e
d
c
b
a
ˆ
ˆ
)
ˆ
(
)
ˆ
r
r
r
r
Teniendo en cuenta que lmi
jki
ilm
ijk 


 = (relación (1.58)) y aplicando la relación
(1.63) ( i.e.: ilm
jki
kl
jm
km
jl
lmi
jki 


 =
−
= )
δ
δ
δ
δ ), concluimos que:
( ) m
l
l
m
m
l
m
l
m
l
k
j
kl
jm
km
jl
m
l
k
j
ilm
ijk d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a −
=
−
= δ
δ
δ
δ


Puesto que el subíndice mudo indica el producto escalar: ( )
c
a
r
r
⋅
=
l
l c
a y
( )
d
b
r
r
⋅
=
m
m d
b , luego:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
c
b
d
a
d
b
c
a
d
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ −
=
∧
∧
Ejemplo 1.9: Probar que: ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
c
d
b
a
d
c
d
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
∧
−
∧
=
∧
∧
∧ ⋅
⋅
Solución: Expresaremos en notación indicial el segundo miembro de la expresión:
( ) ( )
[ ] ( )
[ ] ( )
[ ]
k
j
ijk
i
p
k
j
ijk
i
p
p b
a
c
d
b
a
d
c 
 −
=
∧
−
∧ ⋅
⋅ b
a
c
d
b
a
d
c
r
r
r
r
r
r
r
r
( )
p
i
i
p
k
j
ijk
p
i
k
j
ijk
i
p
k
j
ijk
d
c
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
−
⇒
−
⇒



Si utilizamos la propiedad de la delta de Kronecker:
( )
( ) ( )
np
im
ni
pm
n
m
k
j
ijk
np
n
m
im
ni
n
m
pm
k
j
ijk
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
−
⇒
−
⇒
d
c
b
a
d
c
d
c
b
a


y si consideramos (1.63), resulta: mnl
pil
np
im
ni
pm 

=
− δ
δ
δ
δ . Reemplazamos en la
expresión anterior y obtenemos:
( ) ( )
( )( )
[ ]
n
m
mnl
k
j
ijk
pil
mnl
pil
n
m
k
j
ijk
d
c
b
a
d
c
b
a






⇒
⇒
Dado que las componentes de ( )
b
a
r
r
∧ son k
j
ijk b
a
 y las componentes de ( )
d
c
r
r
∧
son n
m
mnl d
c
 , obtenemos que:
( )( )
[ ] ( ) ( )
[ ]p
n
m
mnl
k
j
ijk
pil d
c
b
a
r
r
r
r
∧
∧
∧
=
d
c
b
a 



32
Ejemplo 1.10: Si a
r
, b
r
, c
r
y v
r
son vectores y que se cumple que:
c
b
a
v
r
r
r
r
γ
β
α +
+
=
Probar que los escalares α , β , γ son dados por:
r
q
p
pqr
k
j
i
ijk
r
q
p
pqr
k
j
i
ijk
r
q
p
pqr
k
j
i
ijk
c
b
a
v
b
a
c
b
a
c
v
a
c
b
a
c
b
v






=
=
= γ
β
α ;
;
Solución:
Las componentes del vector v
r
vienen dadas por:
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
c
b
a
v
c
b
a
v
c
b
a
v
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Podemos expresar α como:
r
q
p
pqr
k
j
i
ijk
c
b
a
c
b
v
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
v
c
b
v
c
b
v


=
=
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
α
Análogamente se puede obtener los parámetros β , γ .
Ejemplo 1.11: Probar la relación (1.37):
( ) ( ) ( )c
b
a
b
c
a
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅ −
=
∧
∧
Solución: Representando el producto vectorial ( ) k
j
ijk
i c
b

=
∧ c
b
r
r
, luego:
( )
[ ]
( )
( ) ( )
b
a
c
a
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅ −
=
−
=
−
=
−
=
=
=
∧
∧ =
r
r
r
j
j
k
r
k
k
j
s
sj
rk
k
j
s
sk
rj
k
j
s
sj
rk
sk
rj
k
j
s
jki
rsi
k
j
s
ijk
rsi
k
j
ijk
s
rsi
r
c
b
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
)
(






luego
( )
[ ] ( ) ( )
[ ]r
r b
a
c
c
a
b
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅ −
=
∧
∧

1 TENSORES
33
1.5 Tensores de Orden Superior
1.5.1 Diádicas
El producto diádico de dos vectores (producto tensorial) resultará ser un tensor de segundo
orden. Si consideramos los vectores v
r
y u
r
, el producto diádico vendrá representado por:
A
v
u
v
u =
⊗
≡
r
r
r
r
(1.71)
donde el operador ⊗ denota el producto tensorial.
El producto diádico obedece a las siguientes leyes:
1. )
(
)
(
)
( x
v
u
x
v
u
x
v
u
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅ ⊗
≡
=
⊗ (1.72)
2. w
u
v
u
w
v
u
r
r
r
r
r
r
r
⊗
+
⊗
=
+
⊗ β
α
β
α )
( (1.73)
3.
[ ] [ ]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
r
w
x
u
v
x
r
w
x
u
v
x
r
w
u
v
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⊗
+
⊗
=
⊗
+
⊗
=
⊗
+
⊗
β
α
β
α
β
α
(1.74)
donde α y β son escalares. Por definición, la diádica no posee la propiedad conmutativa,
es decir, u
v
v
u
r
r
r
r
⊗
≠
⊗ .
La expresión (1.71) también la podemos expresar en el sistema cartesiano como:
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
(
)
ˆ
(
j
i
ij
j
i
j
i
j
j
i
i
e
e
e
e
e
e
v
u
A
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
=
A
v
u
v
u
r
r
)
3
,
2
,
1
,
( =
j
i (1.75)
{ { 4
3
4
2
1
base
j
i
s
componente
ij
Tensor
e
e
A ˆ
ˆ ⊗
= A
)
3
,
2
,
1
,
( =
j
i (1.76)
Las componentes de un tensor de segundo orden serán representadas de diferentes formas
en el desarrollo de este libro:
ij
j
i
ij
ij
s
componente
A
v
u =
=
⊗
=
⊗
=
↓
↓
)
(
)
( v
u
A
v
u
A
r
r
4
3
4
2
1
r
r
(1.77)
Dichas componentes pueden estar explícitamente expresadas de forma matricial:










=
=
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
)
(
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A A
ij
ij
A (1.78)
A continuación exponemos la representación de tensores de diferentes órdenes, dos, tres y
cuatro, en el sistema cartesiano:

34
l
k
j
i
ijkl
k
j
i
ijk
j
i
ij
e
e
e
e
e
e
e
T
e
e
U
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
⊗
⊗
⊗
=
⊗
⊗
=
⊗
=
I
I
T
U
)
3
,
2
,
1
,
,
,
( =
l
k
j
i (1.79)
Ejemplo 1.12: ¿ Cuál es el orden de los tensores representados por sus componentes: i
v ,
ijk
Φ , ijj
F , ij
ε , ijkl
C , ij
σ ? Determinar cuantas componentes independientes tiene el tensor
C .
Solución: El orden del tensor viene dado por el número de subíndices libres, luego:
Tensores de orden uno: v
r
, F
r
Tensores de segundo orden: ε , σ
Tensor de tercer orden: Φ
Tensor de cuarto orden: C
El número de componentes de un tensor viene dado por el máximo valor del
rango del subíndice, 3 si ( 3
,
2
,
1
=
i ), elevado al número de subíndices libres. Es
decir, para el tensor de cuarto orden, el número de índices libres es 4, luego:
( ) ( ) ( ) ( ) 81
3
3
3
3
34
=
=
×
=
×
=
×
=
= l
k
j
i
El tensor de cuarto orden ijkl
C tiene 81 componentes independientes.
1.5.2 Operaciones con Tensores
Dados dos tensores de segundo orden A y B , a continuación definimos algunas
operaciones entre ellos:
! Suma
La suma de dos tensores del mismo orden resulta ser un tercer tensor de igual orden:
A
B
B
A
C +
=
+
= (1.80)
Las componentes del tensor resultante (C ) viene representadas por:
ij
ij
ij
ij
ij
B
A
C +
=
+
= )
(
)
( B
A
C
(1.81)
que de forma matricial expresamos como:
B
A
C +
= (1.82)
! Multiplicación de un tensor por un escalar
La multiplicación de un tensor de segundo orden ( A ) por un escalar (λ ) viene definido
por un tensor D , tal que:
OBS.: El orden de un tensor viene dado por el número de subíndices libres en sus
componentes.
OBS.: El número de componentes de un tensor viene dado por el máximo valor
del rango del subíndice, elevado al número de subíndices libres.

1 TENSORES
35
ij
ij
s
componente
en
)
(
)
( A
D
A
D λ
=




 →

λ
= (1.83)
en forma matricial:










λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
λ
→











=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A (1.84)
También se cumple:
)
(
)
( v
A
v
A
r
r
⋅
⋅ λ
=
λ (1.85)
para cualquier vector v
r
.
! Producto Escalar
El producto escalar de un tensor de segundo orden A por un vector x
r
(tensor de orden
uno) resulta ser otro vector y
r
(tensor de orden uno):
j
j
j
j
k
jk
j
kl
l
jk
l
l
k
j
jk
e
e
e
e
e
e
x
A
y
ˆ
ˆ
ˆ
)
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
y
x
A
x
A
x
A
y
=
=
=
⊗
=
=
⋅
⋅
3
2
1
r
r
δ
(1.86)
El producto escalar de dos tensores de segundo orden A y B es otro tensor de segundo
orden, verificándose que A
B
B
A ⋅
⋅ ≠ :
l
i
il
l
i
kl
ik
l
i
jk
kl
ij
l
k
kl
j
i
ij
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
B
A
C
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
⊗
=
= ⋅
⋅
C
B
A
B
A
B
A
3
2
1
AB
δ
l
i
il
l
i
kl
ik
l
i
jk
kl
ij
l
k
kl
j
i
ij
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
A
B
D
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
⊗
=
= ⋅
⋅
D
A
B
A
B
A
B
3
2
1
BA
δ
(1.87)
También se cumplen las siguientes propiedades:
C
B
A
C
B
A
C
A
B
A
C
B
A
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
+
=
+
)
(
)
(
)
(
(1.88)
! Potencia de Tensores
El producto escalar (contracción simple) nos permite definir la potencia de tensores de
segundo orden, luego:
A
A
A
A
A
1
A ⋅
=
=
= 2
1
0
;
; (1.89)
donde 1 es el tensor identidad de segundo orden.
! Doble Producto Escalar
kl
δ
jk
δ jk
δ

36
Consideremos dos diádicas, d
c
A
r
r
⊗
= y v
u
B
r
r
⊗
= , el doble producto escalar (doble
contracción) podrá ser definido de distintas formas B
A : y B
A ⋅
⋅ tal como se indica a
continuación.
Doble contracción (:):
( ) ( ) ( )( )
v
d
u
c
v
u
d
c
B
A
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
=
⊗
⊗
= :
: (1.90)
Según la definición del doble producto escalar, podemos demostrar que es conmutativo:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) B
A
v
d
u
c
d
v
c
u
d
c
v
u
A
B :
:
: =
=
=
⊗
⊗
= ⋅
⋅
⋅
⋅
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(1.91)
En componentes:
)
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
escalar
ij
ij
jl
ik
kl
ij
l
k
kl
j
i
ij
λ
=
=
=
⊗
⊗
=
B
A
B
A
B
A
δ
δ
e
e
e
e
B
A :
:
(1.92)
El doble producto escalar de un tensor de tercer orden (S ) y uno de segundo (B ), resulta:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )a
d
v
c
u
a
d
c
v
u
S
B
c
u
d
v
a
v
u
a
d
c
B
S
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⊗
⊗
⊗
=
=
⊗
⊗
⊗
=
:
:
:
:
(1.93)
En notación simbólica la doble contracción de un tensor de tercer orden y un de segundo
queda:
i
jk
ijk
i
kq
jp
pq
ijk
q
p
pq
k
j
i
ijk e
e
e
e
e
e
e ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ B
S
B
S
B
S =
=
⊗
⊗
⊗ δ
δ
: (1.94)
Doble contracción :
)
( ⋅
⋅
( ) ( ) ( )( )
u
d
v
c
v
u
d
c
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅ =
⊗
⊗ (1.95)
)
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
escalar
ji
ij
il
jk
kl
ij
l
k
kl
j
i
ij
γ
δ
δ
=
=
=
⊗
⊗
= ⋅
⋅
⋅
⋅
B
A
B
A
B
A e
e
e
e
B
A
(1.96)
Observemos que B
A
B
A ⋅
⋅
≠
: , excepto cuando al menos uno de los dos tensores es
simétrico, en cuyo caso ambos productos serán iguales.
A través del doble producto escalar, podemos obtener las componentes del tensor de
segundo orden A , según el sistema cartesiano, como:
ik
δ
jl
δ
il
δ
jk
δ

1 TENSORES
37
ij
lj
ki
kl
j
l
k
kl
i
j
i
l
k
kl
ij
A
A
A
A
=
=
⊗
=
⊗
⊗
= ⋅
⋅
δ
δ
e
e
e
e
e
e
e
e
A ˆ
)
ˆ
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
( :
(1.97)
A continuación expresamos algunas propiedades del doble producto escalar:
( )
( ) ( ) ( )
B
A
B
A
B
A
C
A
B
A
C
B
A
A
B
B
A
λ
=
λ
=
λ
+
=
+
=
:
:
:
:
:
:
:
:
)
)
)
c
b
a
(1.98)
donde C
B
A ,
, son tensores de segundo orden y λ escalar.
La doble contracción de un tensor de cuarto orden C con uno de segundo orden ε queda
definido por:
j
i
kl
ijkl
j
i
lq
kp
pq
ijkl
q
p
pq
l
k
j
i
ijkl e
e
e
e
e
e
e
e
e
e ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ⊗
ε
=
⊗
ε
=
⊗
ε
⊗
⊗
⊗ C
C
C δ
δ
: (1.99)
Resultando ser un tensor de segundo orden. Definimos también la doble contracción entre
un tensor de tercer orden (T ) y uno de segundo orden (ε ) como:
i
jk
ijk
i
kq
jp
pq
ijk
q
p
pq
k
j
i
ijk T
T
T e
e
e
e
e
e
e ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ε
=
ε
=
⊗
ε
⊗
⊗ δ
δ
: (1.100)
Consideremos dos vectores cualesquiera a
r
, b
r
y A un tensor de segundo orden,
demostramos que:
)
(
)
(
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
b
a
A
e
e
e
e
b
A
a
r
r
r
r
⊗
=
=
=
=
⊗
= ⋅
⋅
⋅
⋅
:
j
i
ij
j
ij
i
jr
pi
r
ij
p
r
r
j
i
ij
p
p
b
a
A
b
A
a
b
A
a
b
A
a
δ
δ
(1.101)
! Producto Vectorial
El producto vectorial de un tensor de segundo orden A por un vector x
r
(tensor de orden
uno) resulta ser un tensor de segundo orden dado por:
l
i
k
ij
ljk
k
k
j
i
ij
e
e
e
e
e
x
A
ˆ
ˆ
)
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
⊗
=
∧
⊗
=
∧
x
A
x
A

r
(1.102)
donde empleamos la definición (1.67), es decir, l
ljk
k
j e
e
e ˆ
ˆ
ˆ 
=
∧ . Hemos demostrado en el
Ejemplo 1.11 la siguiente relación ( ) ( ) ( )c
b
a
b
c
a
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅ −
=
∧
∧ , que también podemos
representar a través de diádicas como:

38
( )
[ ]
( )
[ ]j
k
k
j
k
j
j
k
k
j
k
k
j
a
b
c
c
b
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⊗
−
⊗
=
−
=
−
=
∧
∧ a
b
c
c
b
c
b
a
b
c
a )
(
)
(
)
(
(1.103)
En el caso particular cuando c
a
r
r
= podemos decir que:
( )
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
{ }j
p
j
p
jp
k
k
p
j
kp
k
jp
k
k
j
kp
p
k
jp
p
k
k
j
k
k
j
k
k
j
b
a
a
1
a
a
a
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅ ⊗
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
∧
∧
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
b
a
b
a
a
a
b
a
b
a
a
δ
δ
δ
δ
δ
(1.104)
Con lo cual podemos decir que las siguientes relaciones son válidas:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ] b
a
a
1
a
a
a
b
a
a
b
c
c
b
c
b
a
b
c
a
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⊗
−
=
∧
∧
⊗
−
⊗
=
−
=
∧
∧
)
(
(1.105)
1.5.2.1 Representación de las Componentes de un Tensor de Segundo
Orden
Dado un tensor de segundo orden T representado en la base cartesiana como:
3
3
33
2
3
32
1
3
31
3
2
23
2
2
22
1
2
21
3
1
13
2
1
12
1
1
11
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
T
⊗
+
⊗
+
⊗
+
+
⊗
+
⊗
+
⊗
+
+
⊗
+
⊗
+
⊗
=
⊗
=
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T j
i
ij
(1.106)
Su proyección sobre la base k
ê resulta:
3
3
2
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
e
e
e
e
e
e
e
e
e
T
k
k
k
i
ik
jk
i
ij
k
j
i
ij
k
T
T
T
T
T
T
+
+
=
=
=
⊗
= ⋅
⋅
δ
(1.107)
Observemos que resultan tres vectores:







=
+
+
=
=
=
+
+
=
=
=
+
+
=
=
⇒
=
⋅
)
ˆ
(
3
33
2
23
1
13
3
)
ˆ
(
3
32
2
22
1
12
2
)
ˆ
(
3
31
2
21
1
11
1
3
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
3
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
e
e
e
t
e
e
e
e
t
e
e
e
e
t
e
e
e
e
e
e
T
r
r
r
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
i
i
i
i
i
i
i
ik
k
k
k
k
(1.108)
Denotaremos de vector tensor el vector resultante de la proyección de un tensor de segundo
orden sobre una dirección. La representación de tres vectores tensores )
ˆ
( 1
e
t
r
, )
ˆ
( 2
e
t
r
, )
ˆ
( 3
e
t
r
,
en la base cartesiana, se muestra en la Figura 1.14.
Observemos también que )
ˆ
( 1
e
t
r
es el vector tensor según la dirección 1
ê que
representamos por el versor [ ]
0
,
0
,
1
ˆ )
1
(
=
i
n luego:
)
ˆ
(
31
21
11
33
32
31
23
22
21
31
12
11
1
0
0
1
)
ˆ
( e
n
T i
i t
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
=










=




















=
⋅ (1.109)

1 TENSORES
39
Figura 1.14: Vectores tensores en la base cartesiana.
El mismo resultado podemos obtener simplemente haciendo el producto escalar de T
dado por (1.106) por la base 1
ê , es decir:
[
]
3
31
2
21
1
11
1
3
3
33
2
3
32
1
3
31
3
2
23
2
2
22
1
2
21
3
1
13
2
1
12
1
1
11
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
+
+
=
⊗
+
⊗
+
⊗
+
+
⊗
+
⊗
+
⊗
+
+
⊗
+
⊗
+
⊗
=
⋅
⋅
(1.110)
Luego, podemos representar las componentes de un tensor de segundo orden en la base
cartesiana tal y como se indica en la Figura 1.15.
Figura 1.15: Representación de las componentes de un tensor de segundo en la base
cartesiana.
1
x
2
x
3
x
)
ˆ
( 2
e
t
r
)
ˆ
( 3
e
t
r
)
ˆ
( 1
e
t
r
2
ê
3
ê
1
ê
1
x
2
x
3
x
1
11ê
T
2
21ê
T
3
31ê
T
1
12ê
T
3
32ê
T
2
22ê
T
3
33ê
T
1
13ê
T 2
23ê
T
)
ˆ
( 1
e
t
r
)
ˆ
( 2
e
t
r
)
ˆ
( 3
e
t
r

40
Las componentes de la diagonal principal, 11
T , 22
T , 33
T , están normales a los planos
definidos por los versores 1
ê , 2
ê , 3
ê , respectivamente. Por ello denominamos de
componentes normales. Las componentes que están tangentes al plano denominamos de
componentes tangenciales, que corresponden a las componentes que están fuera de la diagonal
principal.
1.5.3 Propiedades de los Tensores
1.5.3.1 Transpuesta
Sea un tensor de segundo orden A , representado por:
)
ˆ
ˆ
( j
i
ij e
e
A ⊗
= A (1.111)
La transpuesta del tensor A definimos como:
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
i
j
ij
j
i
ji
T
e
e
e
e
A
⊗
=
⊗
=
A
A
(1.112)
Si ij
A son las componentes de A , las componentes de la transpuesta de A serán:
ji
ij
T
A
=
)
(A (1.113)
Si v
u
A
r
r
⊗
= , la transpuesta de A vendrá dada por u
v
A
r
r
⊗
=
T
:
( )
( )
( )
( ) j
i
ji
i
j
ij
T
j
i
ij
j
i
i
j
i
j
j
i
T
j
i
j
i
j
j
i
i
i
i
j
j
T
j
j
i
i
T
T
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
u
v
v
u
A
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
=
A
A
A
v
u
v
u
v
u
u
v
u
v
v
u
r
r
r
r
(1.114)
Sean A , B dos tensores y α , β escalares, las siguientes relaciones son válidas:
A
A =
T
T
)
(
T
T
T
A
B
A
B β
α
β
α +
=
+ )
(
T
T
T
B
A
A
B ⋅
⋅ =
)
(
(1.115)
La transpuesta de la matriz que contienen las componentes del tensor, se forma al cambiar
filas por columna y viceversa, es decir:










=










=



 →











=
33
23
13
32
22
12
31
21
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
T
T
a
transpuest
A
A (1.116)
También son válidas las siguientes relaciones:

1 TENSORES
41
( ) ( )
( ) ( ) B
A
e
e
e
e
B
A
B
A
e
e
e
e
B
A
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
=
⊗
⊗
=
=
=
=
⊗
⊗
=
ji
ij
il
jk
kl
ij
l
k
kl
i
j
ij
T
ji
ij
jk
il
kl
ij
k
l
kl
j
i
ij
T
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
δ
δ
δ
δ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:
:
:
:
(1.117)
Ejemplo 1.13: Demostrar que la siguiente propiedad es válida:
( ) ( ) ( ) B
C
A
C
A
B
C
B
A :
:
: T
T
⋅
⋅
⋅ =
=
donde A , B , C son tensores de segundo cualesquiera.
Solución: Demostraremos esta identidad a través de sus componentes:
( ) ( )
( )
kj
ik
ij
jq
il
kp
pq
lk
ij
q
l
kp
j
i
pq
lk
ij
q
p
pq
k
l
lk
j
i
ij
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
=
=
⊗
⊗
=
⊗
⊗
⊗
= ⋅
⋅
δ
δ
δ
δ e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
C
B
A
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:
:
:
Observemos que cuando trabajamos en notación indicial el orden no importa, es
decir:
ik
kj
ij
kj
ij
ik
kj
ik
ij B
C
A
C
A
B
C
B
A =
=
Podemos ahora observar que la operación ij
ik A
B resultará un tensor de segundo
orden cuyas componentes son kj
T
)
( A
B ⋅ luego, ( ) C
A
B :
⋅
= T
kj
ij
ik C
A
B .
Análogamente podemos decir que ( ) B
C
A :
T
ik
kj
ij ⋅
=
B
C
A .
Ejemplo 1.14: Demostrar que, si u
r
, v
r
son vectores y A un tensor de segundo orden, la
siguiente relación es válida:
u
A
v
v
A
u
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅ =
T
Solución:
l
jl
j
j
jl
l
il
i
jl
kj
k
jk
k
il
jl
i
i
i
l
j
jl
k
k
k
k
j
l
jl
i
i
T
u
A
v
v
A
u
u
A
v
v
A
u
u
A
v
v
A
u
=
=
⊗
=
⊗
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
δ
δ
δ
δ
e
e
e
e
e
e
e
e
u
A
v
v
A
u
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
r
r
r
r
1.5.3.2 Simetría y Antisimetría
1.5.3.2.1 Tensor Simétrico
Un tensor de segundo orden A es simétrico, i.e.: sym
A
A ≡ , si el tensor es igual a su
transpuesta:
ji
ij
s
componente
en
T
A
A =




 →

= A
A (1.118)
En forma de matriz:










=
→

=
33
23
13
23
22
12
13
12
11
A
A
A
A
A
A
A
A
A
sym
T
A
A
A (1.119)
Podemos notar claramente que un tensor simétrico de segundo orden tiene 6 componentes
independientes: 11
A , 22
A , 33
A , 12
A , 23
A , 13
A .
Según ecuación (1.118) un tensor simétrico se puede representar por:

42
)
(
2
1
)
(
2
1
2
T
ji
ij
ij
ji
ij
ij
ji
ij
ij
ij
ji
ij
A
A
A +
=
⇒
+
=
+
=
+
=
+
=
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
(1.120)
Un tensor de cuarto orden C , cuyas componentes son ijkl
C , puede presentar:
Simetría menor:
jilk
ijlk
jikl
ijkl C
C
C
C =
=
= (1.121)
Simetría mayor:
klij
ijkl C
C = (1.122)
Luego, un tensor de cuarto orden es simétrico si presenta simetría menor y mayor. Un
tensor de cuarto orden no simétrico presenta 81 componentes independientes. Si presenta
sólo simetría menor, es decir, simetría en )
6
(
ji
ij = y simetría en )
6
(
lk
kl = , quedando el
tensor con 36 componentes independientes. Si además de simetría menor el tensor
presenta también simetría mayor, el tensor presenta 21 componentes independientes.
1.5.3.2.2 Tensor Antisimétrico
Un tensor A será antisimétrico, i.e.: anti
A
A ≡ , si:
ji
ij
s
componente
en
T
A
A −
=




 →

−
= A
A (1.123)
o aún:










−
−
−
=
→

−
=
0
0
0
23
13
23
12
13
12
A
A
A
A
A
A
anti
T
A
A
A (1.124)
Observemos que un tensor antisimétrico de segundo orden tiene 3 componentes
independientes: 12
A , 23
A , 13
A .
Según la condición (1.123) un tensor antisimétrico viene dado por:
)
(
2
1
)
(
2
1
2
T
ji
ij
ij
ji
ij
ij
ji
ij
ij
ij
A
A
A −
=
⇒
−
=
−
=
−
=
+
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
(1.125)
Sea W un tensor antisimétrico luego, debe cumplir la relación (1.125):
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
il
jk
jl
ik
kl
il
jk
kl
jl
ik
kl
ji
ij
ij
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
−
=
−
=
−
=
W
W
W
W
W
W
(1.126)

1 TENSORES
43
Utilizando la relación entre la delta de Kronecker y el operador de permutación dada por
(1.63) obtenemos que lkr
ijr
il
jk
jl
ik 

−
=
− δ
δ
δ
δ y reemplazando en la expresión (1.126)
resulta:
lkr
ijr
kl
ij 

W
W
2
1
−
= (1.127)
Desarrollando el término lkr
kl 
W para los índices mudos k , l sólo quedamos con los
términos:
r
r
r
r
r
r
lkr
kl 23
32
13
31
32
23
12
21
31
13
21
12 





 W
W
W
W
W
W
W +
+
+
+
+
= (1.128)
con lo que concluimos que:
r
lkr
kl
lkr
kl
lkr
kl
lkr
kl
w
w
r
w
r
w
r
2
2
2
3
2
2
2
2
2
1
3
12
21
12
2
13
31
13
1
23
32
23
=
⇒







=
−
=
+
−
=
⇒
=
=
=
−
=
⇒
=
=
−
=
+
−
=
⇒
=




W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
(1.129)
donde hemos hecho el siguiente cambio de variables:










−
−
−
=










−
−
−
=










=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
3
2
3
23
13
23
12
13
12
32
31
23
21
13
12
w
w
w
w
w
w
ij
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W (1.130)
Definimos así el vector axil w
r
correspondiente al tensor antisimétrico W . Reemplazando
(1.129) en (1.127) y considerando que rij
ijr 
 = obtenemos que:
rij
r
ij w 
−
=
W (1.131)
donde w
r
es la representación vectorial del tensor antisimétrico W . Y el módulo de w
r
viene dado por:
2
12
2
13
2
23
2
3
2
2
2
1
2
2
W
W
W +
+
=
+
+
=
=
= ⋅ w
w
w
w
w
w
r
r
r
ω (1.132)
Partiendo de la expresión (1.131) y multiplicando los dos miembros por kij
 obtenemos
que:
k
rk
r
kij
rij
r
ij
kij
w
w
w
2
2 −
=
−
=
−
=
δ


 W
(1.133)
donde aplicamos la relación rk
kij
rij δ
2
=

 obtenida en el Ejemplo 1.7, con lo que
concluimos que:
ij
kij
k
w W

2
1
−
= (1.134)
La representación de las componentes del tensor antisimétrico en el sistema cartesiano y de
su vector axil correspondiente se puede apreciar en la Figura 1.16.

44
Figura 1.16: Componentes de un tensor antisimétrico.
Sean a
r
y b
r
vectores arbitrarios y W un tensor antisimétrico, entonces se cumple que:
b
W
a
b
W
a
a
W
b
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ −
=
= T
(1.135)
luego si b
a
r
r
= resulta que:
0
)
( =
⊗
=
⋅
⋅ a
a
W
a
W
a
r
r
r
r
: (1.136)
Observar que )
( a
a
r
r
⊗ resulta un tensor de segundo orden simétrico, con lo que
concluimos que el doble producto de un tensor simétrico y un tensor antisimétrico resulta
ser cero.
Sean W un tensor antisimétrico y a
r
un vector arbitrario, las componentes del producto
escalar a
W
r
⋅ vienen dadas por:
3
33
2
32
1
31
3
23
2
22
1
21
3
13
2
12
1
11
3
3
2
2
1
1
3
2
1
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
+
+
⇒
=
+
+
⇒
=
+
+
⇒
=
+
+
=
i
i
i
i
i
i
j
ij
(1.137)
Considerando la propiedad del tensor antisimétrico, i.e., 0
11 =
W , 0
22 =
W , 0
33 =
W , el
producto escalar (1.137) resulta:
( )





+
⇒
=
+
⇒
=
+
⇒
=
⇒
⋅
2
32
1
31
3
23
1
21
3
13
2
12
3
2
1
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
i
i
i
i
a
W
r
(1.138)
Fijemos que las componentes anteriores son las mismas que resultan de la operación:
23
1 W
−
=
w
1
x
2
x
3
x
12
W
12
W
23
W
13
W
13
W
13
2 W
=
w
12
3 W
−
=
w
3
3
2
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ e
e
e w
w
w +
+
=
w
r
23
W

1 TENSORES
45
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 3
2
32
1
31
2
3
23
1
21
1
3
13
2
12
3
2
1
1
2
2
3
1
1
3
1
3
2
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
e
e
e
e
e
e
e
e
e
a
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
a
W
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
=
+
−
+
−
+
+
−
=
=
∧
w
w
w
w
w
w
w
w
w
r
r
w
(1.139)
donde se cumple que 32
23
1 W
W −
=
=
− w , 31
13
2 W
W −
=
=
w , 21
12
3 W
W −
=
=
− w . Luego,
dado un tensor antisimétrico W , y el vector axil w
r
correspondiente a W se cumple que:
a
a
W
r
r
r
∧
=
⋅ w (1.140)
para todo vector a
r
. Además si w
r
correspondiente a W , podemos representar el vector w
r
por su módulo, ω
=
w
r
, y por un versor según la dirección de w
r
como *
1
ê
ω
=
w
r
, luego la
expresión (1.140) puede aun ser expresada por:
a
e
a
a
W
r
r
r
r
∧
=
∧
=
⋅
*
1
ˆ
ω
w
(1.141)
Además escogemos dos versores *
2
ê , *
3
ê que constituyan una base ortonormal con *
1
ê , ver
Figura 1.17, tal que:
*
2
*
1
*
3
*
1
*
3
*
2
*
3
*
2
*
1
ˆ
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
ˆ e
e
e
e
e
e
e
e
e ∧
=
∧
=
∧
= (1.142)
Figura 1.17: bases ortonormales.
Pudiendo así representar el vector a
r
en esta nueva base como *
3
*
3
*
2
*
2
*
1
*
1
ˆ
ˆ
ˆ e
e
e
a a
a
a +
+
=
r
,
luego:
[ ] a
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
a
e
a
W
e
e
0
r
4
3
4
2
1
4
3
4
2
1
4
3
4
2
1
r
r
⋅
⋅
⊗
−
⊗
=
−
=
∧
+
∧
+
∧
=
+
+
∧
=
∧
=
−
=
=
=
)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
ˆ
ˆ
*
3
*
2
*
2
*
3
*
2
*
3
*
3
*
2
*
2
*
3
*
1
*
3
*
3
*
2
*
1
*
2
*
1
*
1
*
1
*
3
*
3
*
2
*
2
*
1
*
1
*
1
*
1
ˆ
ˆ
ˆ
ω
ω
ω
ω
ω
a
a
a
a
a
a
a
a
(1.143)
Con lo cual podemos representar un tensor antisimétrico como:
*
3
ê
*
1
ê
3
ê 2
ê
1
ê
*
2
ê
*
1
ê
ω
=
w
r

46
)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( *
3
*
2
*
2
*
3 e
e
e
e
W ⊗
−
⊗
= ω (1.144)
Aprovechando la representación del tensor antisimétrico (1.144), podemos obtener la
proyección del tensor W según las direcciones *
1
ê , *
2
ê , *
3
ê :
*
2
*
3
*
3
*
2
*
1
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
;
ˆ e
e
W
e
e
W
0
e
W ω
ω −
=
=
= ⋅
⋅
⋅
r
(1.145)
También podemos verificar que se cumple lo siguiente:
[ ] ω
ω =
⊗
−
⊗
= ⋅
⋅
⋅
⋅ *
2
*
3
*
2
*
2
*
3
*
3
*
2
*
3
ˆ
)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(
ˆ
ˆ
ˆ e
e
e
e
e
e
e
W
e (1.146)
Luego, en este nuevo espacio podemos representar las componentes del tensor W como:










−
=
0
0
0
0
0
0
0
*
ω
ω
ij
W (1.147)
En la Figura 1.18 podemos apreciar dichas componentes. Observemos también que, cuales
otros dos versores (normales entre si) definidos en el plano *
3
*
2
ˆ
ˆ e
e − nos proporcionarán las
mismas componentes que (1.147).
Figura 1.18: Componentes del tensor antisimétrico en el espacio definido por el vector axil.
1.5.3.2.3 Descomposición Aditiva de Tensores en una Parte Simétrica y Antisimétrica
Cualquier tensor puede ser descompuesto (de forma adicional) en una parte simétrica sym
A
y en otra antisimétrica anti
A :
anti
sym
T
T
anti
sym
A
A
A
A
A
A
A
A
A
+
=
−
+
+
=
43
42
1
43
42
1
)
(
2
1
)
(
2
1
(1.148)
en componentes:
)
(
2
1
)
(
2
1
ji
ij
anti
ij
ji
ij
sym
ij y A
A
A
A
A
A −
=
+
= (1.149)
Observemos que, sí A y B son tensores de segundo orden cualesquiera, se cumple que:
*
3
ê
*
1
ê
ω
*
2
ê
1
x
2
x
3
x
ω
*
1
ê
ω
=
w
r

1 TENSORES
47
( ) ( ) ( )
[ ]
[ ]
A
B
A
A
B
B
A
A
B
A
A
B
A
A
B
A
A
B
A
A
B
A
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
+
=
+
=





 +
=
sym
T
T
T
T
T
T
T
T
T
sym
T
2
1
2
1
2
1
(1.150)
Ejemplo 1.15: Si σ es un tensor de segundo orden simétrico y W es un tensor de
segundo orden antisimétrico. Demostrar que 0
=
W
σ : .
Solución:
(escalar)
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
ij
ij
jk
il
lk
ij
k
l
lk
j
i
ij
W
W
W
σ
=
σ
=
⊗
⊗
σ
=
δ
δ
e
e
e
e
W
σ :
:
Desarrollando
4
3
4
2
1
4
3
4
2
1
3
2
1
33
33
32
32
31
31
3
3
23
23
22
22
21
21
2
2
13
13
12
12
11
11
1
1
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
σ
+
σ
+
σ
σ
+
σ
+
σ
+
σ
σ
+
σ
+
σ
+
σ
σ
=
σ j
j
j
j
j
j
ij
ij
Considerando la propiedad de un tensor simétrico 21
12 σ
=
σ , 13
31 σ
=
σ , 23
32 σ
=
σ
y antisimétrico 0
33
22
11 =
=
= W
W
W , 12
21 w
w −
= , 13
31 W
W −
= , 23
32 W
W −
= ,
resultando:
0
=
W
σ :
Ejemplo 1.16: Demostrar que:
a) M
Q
M
M
Q
M
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅ = sym
b) anti
anti
sym
sym
B
A
B
A
B
A :
:
: +
=
donde , M
r
es un vector y Q , A , y B son tensores de segundo orden.
Solución:
a)
( )
M
Q
M
M
Q
M
M
Q
Q
M
M
Q
M
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
=
+
=
anti
sym
anti
sym
Ya que el producto: ( ) 0
=
⊗
=
⋅
⋅ M
M
Q
M
Q
M
r
r
r
r
:
anti
anti
, resulta que:
M
Q
M
M
Q
M
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅ = sym
b)
anti
anti
sym
sym
anti
anti
sym
anti
anti
sym
sym
sym
anti
sym
anti
sym
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
B
A
A
B
A
:
:
:
:
:
:
:
:
+
=
+
+
+
=
+
+
=
=
=
4
3
4
2
1
4
3
4
2
1
0
0
)
(
)
(
Luego como consecuencia tenemos que:
anti
anti
anti
sym
sym
sym
B
A
B
A
B
A
B
A :
:
:
: =
= ;
c.q.d.
c.q.d.
c.q.d.

48
Ejemplo 1.17: ¿La relación n
T
T
n
r
r
⋅
⋅ = es válida siempre? Siendo T un tensor de segundo
orden y n
r
un vector. En el supuesto de que la relación no sea válida, ¿para qué caso
particular lo sería?
Solución:
l
kl
k
l
ik
kl
i
l
k
kl
i
i
e
e
e
e
e
T
n
ˆ
ˆ
)
ˆ
ˆ
(
ˆ
T
n
T
n
T
n
=
=
⊗
= ⋅
⋅
δ
r
y
l
lk
k
l
ki
lk
i
i
i
k
l
lk
e
e
e
e
e
n
T
ˆ
ˆ
ˆ
)
ˆ
ˆ
(
T
n
T
n
n
T
=
=
⊗
= ⋅
⋅
δ
r
Con lo que comprobamos que lk
k
kl
k T
n
T
n ≠ , luego:
n
T
T
n
r
r
⋅
⋅ ≠
La relación n
T
T
n
r
r
⋅
⋅ = sólo será válida cuando el tensor T sea simétrico.
1.5.3.3 Cofactor de un Tensor. Adjunta de un Tensor
Dado un tensor A , representamos el cofactor de A como )
cof(A . Dados dos vectores a
r
y b
r
existe un único tensor )
cof(A asociado al tensor A tal que:
)
(
)
(
)
( b
A
a
A
b
a
A
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅ ∧
=
∧
)
cof( (1.151)
Definimos la adjunta de un tensor A como:
[ ]T
)
(A
A cof
)
adj( = (1.152)
donde se cumple que:
[ ] )
adj(
)
adj( T
T
A
A = (1.153)
Las componentes de )
cof(A podemos obtener de la siguiente manera:
[ ]
[ ] kr
jp
ijk
tpr
it
r
kr
p
jp
ijk
r
p
tpr
it
A
A
)
cof(
b
A
a
A
b
a
)
cof(




=
⇒
=
A
A
(1.154)
Multiplicando ambos lados de la igualdad por qpr
 y además considerando que
tq
qpr
tpr δ
2
=

 , concluimos que:
[ ]
[ ]
[ ] kr
jp
qpr
ijk
iq
kr
jp
qpr
ijk
tq
qpr
tpr
it
kr
jp
ijk
tpr
it
A
A
)
cof(
A
A
)
cof(
A
A
)
cof(








2
1
2
=
⇒
=
⇒
=
=
A
A
A
4
3
4
2
1
δ (1.155)
1.5.3.4 Traza de un Tensor
Antes de definir la traza de un tensor de segundo orden definimos la traza de su base:

1 TENSORES
49
ij
j
i
j
i δ
=
=
⊗ ⋅e
e
e
e ˆ
ˆ
)
ˆ
ˆ
(
Tr (1.156)
Luego la traza de un tensor A es la suma de las componentes de su diagonal principal:
33
22
11
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
(
A
A
A
A
A
A
Tr
A
A
Tr
Tr
+
+
=
=
=
=
⊗
=
⊗
=
⋅
ii
ij
ij
j
i
ij
j
i
ij
j
i
ij
δ
e
e
e
e
e
e
A
(1.157)
Análogamente podemos decir que:
v
u
e
e
e
e
e
e
v
u
r
r
r
r
⋅
⋅
=
=
=
=
⊗
=
⊗
=
⊗
i
i
ij
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
j
i
i
v
u
v
u
v
u
Tr
v
u
v
u
Tr
Tr
δ
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
(
(1.158)
NOTA: Podemos adelantar que la traza de un tensor es un invariante, es decir, es
independiente del sistema de referencia. ■
Dados dos tensores A y B :
! La traza de la transpuesta de un tensor es igual a la traza del tensor:
( ) ( )
A
A Tr
Tr =
T
(1.159)
! La traza de la suma de estos dos tensores será la suma de la traza de los tensores:
( ) ( ) ( )
B
A
B
A Tr
Tr
Tr +
=
+ (1.160)
La demostración es muy sencilla bastando expresar en términos de componentes la
expresión anterior:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
33
22
11
33
22
11
33
33
22
22
11
11 B
B
B
A
A
A
B
A
B
A
B
A
Tr
Tr
Tr
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+ B
A
B
A
(1.161)
! La traza del producto escalar será:
( ) [ ]
[ ]
( )
A
B
B
A
e
e
e
e
e
e
B
A
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
=
⊗
=
⊗
⊗
=
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
Tr
B
A
Tr
B
A
B
A
Tr
Tr
li
il
im
m
i
jl
lm
ij
m
l
lm
j
i
ij
4
4 3
4
4 2
1
δ
δ
(1.162)
Análogamente podemos obtener:
( ) ( ) ( ) ki
jk
ij C
B
A
Tr
Tr
Tr =
=
= ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ B
A
C
A
C
B
C
B
A (1.163)
Luego, es fácil demostrar que las siguientes relaciones son válidas:

50
ii
A
Tr =
)
(A
[ ] jj
ii A
A
Tr
Tr
Tr =
= )
(
)
(
)
(
2
A
A
A
( ) ( ) li
il A
A
Tr
Tr =
=
⋅ 2
A
A
A
( ) ( ) ki
jk
ij A
A
A
Tr
Tr =
=
⋅
⋅ 3
A
A
A
A
(1.164)
Podemos escribir el doble producto escalar en función de la traza:
( ) ( )
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⋅
⋅
T
T
kk
T
kk
T
kl
kl
T
il
ik
kl
kl
T
lj
kj
jl
jk
il
ik
il
ik
lj
kj
ij
ij
Tr
Tr
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
δ
δ
δ
δ
δ
δ
3
2
1
3
2
1
:
(1.165)
Ejemplo 1.18: Demostrar las siguientes identidades:
( ) ( ) ( ) ( )
m
m
T
m
T
T
m
T
T
T
T Tr
Tr =
= ; .
Solución:
( ) ( ) ( )m
T
T
T
T
T
T
m
T
T
T
T
T
T
T
T =
=
= ⋅
⋅ L
L
Para la segunda demostración utilizaremos la propiedad de la traza ( ) ( )
T
T Tr
Tr =
T
( ) ( ) ( )
m
T
m
m
T
T
T
T Tr
Tr
Tr =
=
1.5.3.5 Tensores Particulares
1.5.3.5.1 Tensores Identidad
! Tensor identidad de segundo orden:
j
i
i
i
j
i
ij e
e
e
e
e
e
1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ⊗
=
⊗
=
⊗
= 1
δ (1.166)
donde 1 es la matriz con las componentes del tensor 1 . ij
δ es conocido como el símbolo
delta de Kronecker, definido en (1.47):





≠
=
=
j
i
si
j
i
si
ij
0
1
δ (1.167)
! Tensores identidades de cuarto orden:
l
l
l
l e
e
e
e
e
e
e
e ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ⊗
⊗
⊗
=
⊗
⊗
⊗
= k
j
i
ijk
k
j
i
j
ik I
δ
δ
I (1.168)
l
l
l
l e
e
e
e
e
e
e
e ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ⊗
⊗
⊗
=
⊗
⊗
⊗
= k
j
i
ijk
k
j
i
jk
i I
δ
δ
I (1.169)
c.q.d.
c.q.d.

1 TENSORES
51
donde que, dado un tensor de segundo orden A se cumplen que:
( ) ( )
( )
( )
( )
A
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
A
=
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
⊗
⊗
⊗
=
j
i
ij
j
i
k
j
ik
j
i
q
kp
pq
j
ik
q
p
pq
k
j
i
j
ik
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A
A
A
A
l
l
l
l
l
l
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ :
:
I
(1.170)
y
( ) ( )
( )
( )
( )
T
j
i
ji
j
i
k
jk
i
j
i
q
kp
pq
jk
i
q
p
pq
k
j
i
jk
i
A
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
A
=
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
⊗
⊗
⊗
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A
A
A
A
l
l
l
l
l
l
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ :
:
I
(1.171)
La parte simétrica del tensor de identidad de cuarto orden será:
( ) ( )
jk
i
j
ik
ijk
s
componente
en
sym
δ
δ
δ
δ l
l
l +
=




 →

⊗
+
⊗
=
≡
2
1
2
1
I
1
1
1
1
I
I (1.172)
La propiedad que presenta el producto tensorial ⊗ se presenta a continuación.
Consideremos un tensor de segundo orden simétrico luego cumple que
j
i
ij
j
i
j
i
j
j
i
i e
e
e
e
e
e
1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ⊗
=
⊗
=
⊗
= δ
u
u
u
u luego, definimos el producto tensorial ⊗
como:
( ) ( )
l
le
e
e
e
1
1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ u
u
u
u ⊗
⊗
⊗
=
⊗ k
k
j
j
i
i (1.173)
( ) ( )
l
l
l
l e
e
e
e
e
e
e
e
1
1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
)
)(
( ⊗
⊗
⊗
=
⊗
⊗
⊗
=
⊗ k
j
i
j
ik
k
j
i
j
k
i δ
δ
u
u
u
u (1.174)
Y el producto tensorial ⊗ como:
( ) ( )
l
l e
e
e
e
1
1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ u
u
u
u ⊗
⊗
⊗
=
⊗ k
k
j
j
i
i (1.175)
( ) ( )
l
l
l
l e
e
e
e
e
e
e
e
1
1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
)
)(
( ⊗
⊗
⊗
=
⊗
⊗
⊗
=
⊗ k
j
i
jk
i
k
j
i
k
j
i δ
δ
u
u
u
u (1.176)
La parte antisimétrica de I será:
( ) ( )
jk
i
j
ik
anti
ijk
s
componente
en
anti
δ
δ
δ
δ l
l
l −
=




 →

⊗
−
⊗
=
2
1
2
1
I
1
1
1
1
I (1.177)
Se puede demostrar que, dado un tensor de segundo orden A y un vector b
r
las siguientes
relaciones son válidas:

52
b
1
b
r
r
=
⋅
sym
sym
A
A
A
A =
= :
: I
I ;
ii
A
Tr =
= )
(A
1
A :
( ) ( ) li
il A
A
Tr
Tr =
=
= ⋅A
A
A
1
A 2
2
:
( ) ( ) ki
jk
ij A
A
A
Tr
Tr =
=
= ⋅
⋅ A
A
A
A
1
A 3
3
:
(1.178)
1.5.3.5.2 Tensor Levi-Civita
El Tensor Levi-Civita, también conocido como Tensor de Permutación, es un tensor de tercer
orden definido como:
k
j
i
ijk e
e
e ˆ
ˆ
ˆ ⊗
⊗
= 
 (1.179)
donde ijk
 son las componentes del operador de permutación definido en (1.56).
Ejemplo 1.19: Demostrar que: )
(T
1
T Tr
=
: .
Solución:
)
(
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
T
e
e
e
e
1
T
Tr
T
T
T
T
T
=
=
=
=
=
⊗
⊗
=
jj
ii
ij
ij
jl
ik
kl
ij
l
k
kl
j
i
ij
δ
δ
δ
δ
δ
:
:
Ejemplo 1.20: Probar que si σ y D son tensores de segundo orden la siguiente relación es
válida:
)
( D
σ
D
σ ⋅
⋅
⋅ = Tr
Solución: Basándonos en lo que fue demostrado en (1.96), podemos decir que:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
D
σ
D
σ
D
σ
D
σ
D
σ
D
σ
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
=
=
σ
=
σ
=
σ
=
σ
=
⋅
Tr
D
D
D
D
ll
kk
lk
kl
lk
kl
jl
kj
lk
jl
kj
il
ik
jl
kj
ji
ij
δ
δ
δ
δ
δ
3
2
1
Una segunda alternativa para la demostración sería:
( )
)
( D
σ
1
D
σ
D
σ
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
σ
=
σ
=
Tr
D
D
:
ik
jk
ij
ji
ij δ
1.5.3.6 Determinante de un Tensor
El determinante de un tensor es un escalar y también es un invariante:
c.q.d.
c.q.d.
c.q.d.

1 TENSORES
53
4
4 3
4
4 2
1
T
k
j
i
ijk
k
j
i
ijk
A
A
A
3
2
1
3
2
1
)
(
A
A
A
A
A
A
det

 =
=
≡
(1.180)
El determinante de un tensor es igual al determinante de la matriz que contiene las
componentes del tensor.
La demostración puede hacerse partiendo directamente del determinante:
3
2
1
3
2
31
3
3
2
21
2
3
2
11
1
3
2
3
31
3
2
2
21
3
2
1
11
22
13
23
12
31
32
13
33
12
21
32
23
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
k
j
i
ijk
k
j
jk
k
j
jk
k
j
jk
k
j
jk
k
j
jk
k
j
jk
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
det







=
+
+
=
+
−
−
=
−
+
−
−
−
=
=
= A
A
(1.181)
Algunas consideraciones sobre el determinante de un tensor:
1
)
( =
1
det (1.182)
! Podemos concluir de (1.180) que:
)
(
)
( A
A det
det =
T
(1.183)
! También se puede demostrar que la siguiente relación es válida:
)
(
)
(
)
( B
A
B
A det
det
det =
⋅
)
(
)
( 3
A
A det
det α
α = siendo α un escalar
(1.184)
! Un tensor )
(A se dice que es singular si 0
)
( =
A
det .
! Intercambiando dos líneas o columnas el signo del determinante cambia.
! Si todos elementos de una fila o columna son cero, el determinante es cero.
! Multiplicando todos los elementos de una fila o columna por una constante c
(escalar), el determinante queda: A
c .
Ejemplo 1.21: Demostrar que: kq
jp
rt
rjk
tpq A
A
A

 =
A
Solución:
Sabemos que:
3
2
1
3
2
1
k
j
r
tpq
rjk
tpq
k
j
r
rjk
A
A
A
A
A
A




=
=
A
A
(1.185)
Como lo visto anteriormente, ecuación (1.62), la expresión tpq
rjk 
 podrá ser
expresada en función de la delta de Dirac como:
rp
jt
kq
rt
kp
jq
kt
jp
rq
kp
jt
rq
kt
jq
rp
kq
jp
rt
kq
kp
kt
jq
jp
jt
rq
rp
rt
tpq
rjk
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
−
−
−
+
+
=
=


(1.186)

54
Reemplazando en la expresión anterior (1.186) en la expresión (1.185), y
utilizando la propiedad del operador de sustitución obtenemos que:
( ) ( ) ( )
qk
pj
tr
rjk
kq
jp
rt
rjk
qk
pj
jk
t
qk
pj
jk
t
qk
pj
jk
t
q
t
p
p
q
t
t
p
q
p
t
q
t
q
p
q
p
t
tpq
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A






=
=
+
+
=
−
−
−
+
+
=
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
A
Ejemplo 1.22: Demostrar que: kq
jp
rt
tpq
rjk A
A
A


6
1
=
A
Solución:
Partiendo del problema anterior: kq
jp
rt
rjk
tpq A
A
A

 =
A y multiplicando ambos
lados por tpq
 , resulta:
kq
jp
rt
tpq
rjk
tpq
tpq A
A
A



 =
A (1.187)
Utilizando la propiedad definida anteriormente en la ecuación (1.63), obtenemos
que 6
=
−
=
−
= tt
pp
tt
tp
tp
pp
tt
tpq
tpq δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ

 . Luego, la relación (1.187) resulta:
kq
jp
rt
tpq
rjk A
A
A


6
1
=
A
Ejemplo 1.23: Demostrar que:
( ) b
a
b
a
1
r
r
r
r
⋅
+
=
⊗
+ 1
det (1.188)
Solución:
Si denotamos por j
i
ij
ij b
a
A +
δ
 , el determinante de A viene dado por
3
2
1 k
j
i
ijk A
A
A

=
A , donde 1
1
1 b
a
A i
i
i +
= δ , 2
2
2 b
a
A j
j
j +
= δ y 3
3
3 b
a
A k
k
k +
= δ ,
luego podemos decir que:
( ) ( )( )( )
3
3
2
2
1
1 b
a
b
a
b
a
det k
k
j
j
i
i
ijk +
+
+
=
⊗
+ δ
δ
δ

b
a
1
r
r
(1.189)
Desarrollando la expresión (1.189) obtenemos que:
( ) [
]
3
2
1
3
2
1
2
3
1
3
2
1
1
3
2
3
1
2
2
1
3
3
2
1
b
b
b
a
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
det
k
j
i
k
j
i
j
k
i
k
j
i
i
k
j
k
i
j
j
i
k
k
j
i
ijk
+
+
+
+
+
+
+
+
=
⊗
+
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ

b
a
1
r
r
Observemos que:
0
0
0
1
3
2
1
2
1
1
2
213
2
1
2
1
123
2
1
3
3
2
1
3
1
1
3
3
1
3
1
3
1
2
2
3
1
1
1
2
2
3
3
1
23
2
3
1
3
12
3
2
1
3
1
2
2
1
3
3
2
1
=
=
−
=
=
=
−
=
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
⋅
b
b
b
a
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
k
j
i
ijk
j
i
ij
k
j
i
ijk
k
i
k
i
j
k
i
ijk
i
i
j
j
k
k
k
j
i
ijk
k
i
j
ijk
j
i
k
ijk
k
j
i
ijk














δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
b
a
r
r
Con lo que hemos demostrado que:
( ) b
a
b
a
1
r
r
r
r
⋅
+
=
⊗
+ 1
det
También podemos demostrar que se cumple la siguiente relación:
[ ] [ ]
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
( 2
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b
a
1
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ −
+
+
+
=
⊗
+
⊗
+ αβ
β
α
β
α
det (1.190)
c.q.d.
c.q.d.
c.q.d.

1 TENSORES
55
donde α , β son escalares. Si 0
=
β recaemos en la expresión ( ) b
a
b
a
1
r
r
r
r
⋅
+
=
⊗
+ α
α 1
det .
Si β
α = , obtenemos que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) 




 ∧
−
+
=





 −
+
+
+
=
⊗
+
⊗
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
2
2
2
2
1
1
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b
a
1
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
α
α
α
α
α
α
α
det
(1.191)
donde hemos utilizado la propiedad ( ) ( )( ) ( )2
2
b
a
b
b
a
a
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
∧
−
=
− ⋅
⋅
⋅ , ver Ejemplo 1.1.
Podemos demostrar que la siguiente propiedad es válida:
[ ] [ ]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( c
b
a
A
c
A
b
A
a
A
r
r
r
r
r
r
∧
=
∧ ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ det (1.192)
Para la demostración partiremos de la definición del triple producto escalar dada por (1.69),
( ) k
j
i
ijk c
b
a

=
∧
⋅ c
b
a
r
r
r
, y multiplicamos por ambos lados de la igualdad por el determinante
del tensor A , resultando:
( ) A
A
c
b
a k
j
i
ijk c
b
a

=
∧
⋅
r
r
r
(1.193)
Fue demostrado en el Ejemplo 1.21 que se cumple que rk
qj
pi
pqr
ijk A
A
A

 =
A , con lo cual:
( )
[ ]
)
(
)
(
)
(
)
)(
)(
(
c
A
b
A
a
A
A
A
c
b
a
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
∧
=
=
=
=
∧
k
rk
j
qj
i
pi
pqr
k
j
i
rk
qj
pi
pqr
k
j
i
ijk
c
A
b
A
a
A
c
b
a
A
A
A
c
b
a



(1.194)
También podemos demostrar que la siguiente relación es válida:
( ) ( ) [ ] [ ] ( )
B
B
A
A
B
A
B
A det
adj
Tr
adj
Tr
det
det 3
2
2
3
)
(
)
( β
αβ
β
α
α
β
α +
+
+
=
+ ⋅
⋅ (1.195)
Para el caso particular cuando 1
=
β , 1
A = , b
a
B
r
r
⊗
= , y además teniendo en cuenta que
( ) 0
=
⊗ b
a
r
r
det , y ( ) 0
b
a =
⊗
r
r
cof , concluimos que:
( ) ( ) [ ] [ ] b
a
1
b
a
1
b
a
1
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅ +
=
+
=
⊗
+
=
⊗
+ β
β
β
β 1
1 j
ib
a
Tr
Tr
det
det (1.196)
cuya relación ya fue demostrada anteriormente.
1.5.3.7 Inversa de un Tensor
La inversa de un tensor A es un tensor 1
−
A :
si 1
A
A
A
A
A
A =
= ⋅
⋅ −
−
−
∃
⇔
≠ 1
1
1
0 (1.197)
En notación indicial:
ik
jk
ij δ
=
−1
A
A (1.198)

56
La expresión de la inversa podemos obtener partiendo de la definición de la adjunta de un
tensor dada por (1.151), )
(
)
(
)
( b
A
a
A
b
a
A
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅ ∧
=
∧
)
adj( T
, y multiplicamos escalarmente
por el vector d
r
, resultando:
[ ]
{ } [ ]
[ ]
[ ] 3
2
1
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
c
d
A
A
b
A
a
A
d
1
b
A
a
A
d
b
A
a
A
d
b
a
A
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
∧
=
∧
=
∧
=
∧
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
T
)
adj(
(1.199)
Observemos que en (1.194), hemos demostrado que:
( ) [ ]
)
(
)
(
)
( b
A
a
A
c
A
A
b
a
c
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ∧
=
∧ (1.200)
Luego:
[ ]
{ } [ ]
( ) d
A
b
a
A
d
A
A
b
A
a
A
d
b
a
A
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
∧
=
∧
=
∧
1
1
)
(
)
(
)
(
T
)
adj(
(1.201)
El vector resultante de la operación )
( b
a
r
r
∧ representamos por el vector )
( b
a
p
r
r
r
∧
= , con
lo cual la expresión anterior en notación inicial queda:
[ ]
{ }
[ ]
[ ] [ ] [ ]
d
b
a
A
A
d
b
a
A
A
A
A
A
r
r
r
r
r
r
⊗
∧
=
⊗
∧
⇒
=
⇒
=
−
−
−
)
(
)
( 1
1
1
:
:
)
adj(
d
p
A
d
p
)
adj(
d
A
p
d
p
)
adj(
i
k
ki
i
k
ki
i
ki
k
i
k
ki
(1.202)
Con lo cual concluimos que:
[ ] ⇒
= −1
A
A
A)
adj( [ ] [ ]T
)
cof(
)
adj( A
A
A
A
A
1
1
1
=
=
−
(1.203)
Algunas consideraciones sobre la inversa de tensores:
! Si los tensores A y B son invertibles entonces las siguientes propiedades son
válidas:
( )
( )
[ ] 1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
1
)
(
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
= ⋅
⋅
A
A
A
A
A
A
A
B
B
A
det
det
β
β
(1.204)
! La siguiente nomenclatura será utilizada para representar la transpuesta de la
inversa:
1
1
)
(
)
( −
−
−
≡
≡ T
T
T
A
A
A (1.205)
Podemos demostrar que también es válida la relación )
adj(
)
adj(
)
adj( A
B
B
A ⋅
⋅ = ,
partiendo de la propia definición de la inversa (1.203):

1 TENSORES
57
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( ) [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
)
adj(
)
adj(
)
adj(
)
adj(
)
adj(
)
adj(
)
adj(
)
adj(
)
adj(
)
adj(
)
adj(
)
adj(
A
B
B
A
A
B
B
A
B
A
B
A
A
B
B
A
B
A
A
B
A
B
B
A
A
A
B
B
A
B
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
−
−
−
−
−
1
1
1
1
1
(1.206)
donde hemos utilizado la propiedad que B
A
B
A =
⋅ . Análogamente podemos demostrar
que [ ] [ ]
)
cof(
)
cof(
)
cof( B
A
B
A ⋅
⋅ = .
Inversa de una matriz
Pasos para obtener la inversa de una matriz A :
1) Obtener la matriz cofactor: )
(A
cof .
Sea la matriz A :










=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A (1.207)
Definiremos la matriz M donde las componentes ij
M serán obtenidas a partir del
determinante resultante de la matriz A al eliminar la línea i y la columna j , es decir:




















=
22
21
12
11
23
21
13
11
23
22
13
12
32
31
12
11
33
31
13
11
33
32
13
12
32
31
22
21
33
31
23
21
33
32
23
22
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
M (1.208)
con esto podemos definir la matriz cofactor de A :
ij
j
i
M
A +
−
= )
1
(
)
(
cof (1.209)
2) Obtener la adjunta de la matriz A :
La adjunta de la matriz A es la transpuesta de la matriz cofactor:
[ ]T
)
(A
A cof
)
adj( = (1.210)
3) La inversa será:
A
A
A
)
adj(
=
−1
(1.211)
luego se cumple que:
[ ] 1
A
A
A =
)
adj( (1.212)

58
donde 1 es la matriz identidad.
Teniendo en cuenta (1.65), podemos expresar las componentes de la primera, segunda,
tercera fila de la matriz cofactor, (1.209), respectivamente como: k
j
ijk
i 3
2
1 A
A
M 
= ,
k
j
ijk
i 3
1
2 A
A
M 
= , k
j
ijk
i 2
1
3 A
A
M 
= .
Ejemplo 1.24: Dado un tensor A , demostrar que existe un vector no nulo 0
n
r
r
≠ tal que
0
n
A
r
r
=
⋅ si y solo si 0
)
( =
A
det .
Solución: Partimos del hecho que 0
)
( =
≡ A
A
det y también escogemos una base arbitrario
}
,
,
{ h
g
f
r
r
r
(linealmente independiente), y reemplazamos en la definición obtenida en (1.194):
( ) [ ]
)
(
)
(
)
( h
A
g
A
f
A
A
h
g
f
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ∧
=
∧
Por el hecho que 0
)
( =
≡ A
A
det , eso implica que:
[ ] 0
)
(
)
(
)
( =
∧ ⋅
⋅
⋅
⋅ h
A
g
A
f
A
r
r
r
Con lo cual concluimos que los vectores )
( f
A
r
⋅ , )
( g
A
r
⋅ , )
( h
A
r
⋅ son linealmente
dependientes. Esto implica que existen escalares no nulos 0
≠
α , 0
≠
β , 0
≠
γ tal que:
( )
0
n
A
0
h
g
f
A
0
h
A
g
A
f
A
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
=
⇒
=
+
+
⇒
=
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
γ
β
α
γ
β
α )
(
)
(
)
(
donde 0
h
g
f
n
r
r
r
r
r
≠
+
+
= γ
β
α , ver Ejemplo 1.10.
Ahora escogemos dos vectores k
r
, m
r
que no son linealmente independientes con n
r
y
reemplazamos esta base }
,
,
{ n
m
k
r
r
r
en lugar de los vectores }
,
,
{ c
b
a
r
r
r
de la definición en
(1.194):
( ) [ ]
)
(
)
(
)
( n
A
m
A
k
A
A
n
m
k
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ∧
=
∧
Considerando que 0
n
A
r
r
=
⋅ y que ( ) 0
≠
∧
⋅ n
m
k
r
r
r
, ya que la base }
,
,
{ n
m
k
r
r
r
está constituida
por vectores linealmente independientes, obtenemos que:
( )
0
0
0
=
⇒
=
∧
≠
⋅
A
A
n
m
k 4
3
4
2
1
r
r
r
1.5.3.8 Tensores Ortogonales
Tensores ortogonales (tensores de rotación) juega un papel muy importante en la mecánica
del continuo. Un tensor de segundo orden (Q ) se dice que es ortogonal cuando la
transpuesta ( T
Q ) es igual a la inversa ( 1
−
Q ):
1
−
= Q
QT
(1.213)
Luego, se cumple que:
1
Q
Q
Q
Q =
= ⋅
⋅ T
T
(1.214)
En notación indicial:
c.q.d.

1 TENSORES
59
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
j
i
ij
j
i
jk
ik
j
i
kl
jl
ik
j
l
jl
k
i
ik
T
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
Q
Q
⊗
=
⊗
=
⊗
=
⊗
⊗
= ⋅
⋅
δ
δ
Q
Q
Q
Q
Q
Q
(1.215)
Una transformación ortogonal propia tiene las siguientes características:
! La inversa de Q es igual a la transpuesta (ortogonalidad):
T
Q
Q =
−1
(1.216)
! El tensor Q será propio si:
1
)
( +
=
≡ Q
Q
det (1.217)
Un tensor ortogonal es impropio cuando 1
−
=
Q . Podemos demostrar que si A y B son
tensores ortogonales, un tercer tensor resultante del producto C
B
A =
⋅ también es un
tensor ortogonal.
Consideremos dos vectores arbitrarios a
r
y b
r
y que a través de una transformación
ortogonal obtenemos:
b
Q
b
a
Q
a
r
r
r
r
⋅
⋅ =
=
~
;
~ (1.218)
El producto escalar de los vectores resultantes de esta operación (a
r
~
) y (b
r
~
) viene dado por:
b
a
b
Q
Q
a
b
Q
a
Q
b
a
1
r
r
r
3
2
1
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ =
=
=
=
T
)
(
)
(
~
~
(1.219)
Lo que también es válido cuando b
a
r
r ~
~
= , luego
2
2
~
~
~
a
a
a
a
a
a
r
r
r
r
r
r
=
=
= ⋅
⋅ . Con lo que
concluimos que una transformación ortogonal aplicada a vectores, preserva los módulos de
los vectores y preserva los ángulos entre los vectores, Figura 1.19. Es decir, una
transformación ortogonal está caracterizada sólo por rotaciones de los vectores.
Figura 1.19: Transformación ortogonal.
Q
a
r
b
r
θ
θ
a
r
~
b
r
~
b
b
a
a
r
r
r
r
=
=
~
~

60
1.5.3.9 Tensor Definido Positivo y Tensor Semi-Definido Positivo
Decimos que un tensor es definido positivo cuando se cumple que:
Notación Tensorial Notación Indicial Notación Matricial
0
>
⋅
⋅ x
T
x
r
r
0
>
j
ij
i x
T
x 0
>
x
x T
T
(1.220)
para todo vector x
r
no nulo. Una condición necesaria y suficiente para que un tensor sea
definido positivo es que sus autovalores ( 0
1 >
λ , 0
2 >
λ , >
λ3 ) sean positivos (cuya
demostración se encuentra en el subapartado “Representación Espectral de un Tensor”), y
el tensor será semi-definido positivo si 0
≥
⋅
⋅ x
T
x
r
r
para todo 0
x
r
r
≠ . Recordar que también se
cumple que 0
≥
= ⋅
⋅
⋅
⋅ x
T
x
x
T
x
r
r
r
r sym
.
Si j
i
ij x
x
T
=
⊗
=
= ⋅
⋅ )
( x
x
T
x
T
x
r
r
r
r
:
α , luego la derivada de α con respecto a x
r
viene dada
por:
( ) i
ik
ki
i
ik
j
kj
jk
i
ij
j
ik
ij
k
j
i
ij
j
k
i
ij
k
x
T
T
x
T
x
T
x
T
x
T
x
x
x
T
x
x
x
T
x
+
=
+
=
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
δ
δ
α
(1.221)
Con lo que concluimos que:
x
T
x
r
r ⋅
=
∂
∂ sym
2
α
(1.222)
y que:
sym
T
x
x
2
2
=
∂
⊗
∂
∂
r
r
α
(1.223)
Ejemplo 1.25: Sea un tensor de segundo orden arbitrario F . Demostrar que los tensores
resultantes F
F
C ⋅
= T
y T
F
F
b ⋅
= son tensores simétricos y semi-definidos positivos. Verificar
también en que condiciones C y b son tensores definidos positivos.
Solución:
Simetría:
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
Con lo cual hemos demostrado que los tensores F
F
C ⋅
= T
y T
F
F
b ⋅
= son simétricos.
Para demostrar que los tensores F
F
C ⋅
= T
y T
F
F
b ⋅
= son semi-definidos positivos,
partimos de la definición de un tensor semi-definido positivo, es decir, un tensor A es
semi-definido positivo si se cumple que 0
≥
⋅
⋅ x
A
x
r
r
, para todo 0
x
r
r
≠ . Luego:
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
≥
=
≥
=
=
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F

1 TENSORES
61
Con lo cual demostramos que F
F
C ⋅
= T
y T
F
F
b ⋅
= son semi-definidos positivos.
Observemos que
2
x
x
x
r
r
r
⋅
⋅
⋅ = F
C sólo será igual a cero, con 0
x
r
r
≠ , si 0
x
r
r
=
⋅
F , y por
definición 0
x
r
r
=
⋅
F con 0
x
r
r
≠ , si y solo si 0
)
( =
F
det , ver Ejemplo 1.24. Luego, los
tensores F
F
C ⋅
= T
y T
F
F
b ⋅
= serán tensores definidos positivos si y solo si 0
)
( ≠
F
det .
1.5.3.10 Descomposición Aditiva de Tensores
Dados dos tensores arbitrarios S , 0
T ≠ , y un escalar α , podemos hacer la representación
del tensor S a través de la siguiente descomposición aditiva de tensores:
T
S
U
U
T
S α
α −
=
+
= donde (1.224)
Observemos que dependiendo del valor de α tendremos infinitas posibilidades para la
representación del tensor S de forma aditiva de tensores. Pero, si
0
)
(
)
( =
= ⋅
⋅ T
T
T
U
U
T Tr
Tr la descomposición aditiva es única. Partiendo de (1.224)
podemos obtener el valor de α :
)
(
)
(
)
(
)
(
0
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
U
T
T
T
S
T
U
T
T
T
S ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ =
+
=
⇒
+
=
=
Tr
Tr
Tr
Tr α
α
α 4
3
4
2
1 (1.225)
con lo cual obtenemos que:
)
(
)
(
T
T
T
T
T
S
⋅
⋅
=
Tr
Tr
α (1.226)
Como ejemplo, supongamos que 1
T = , obtenemos α como:
3
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( S
1
S
1
1
1
S
T
T
T
S Tr
Tr
Tr
Tr
Tr
Tr
Tr
=
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
T
T
α (1.227)
Con eso podemos definir el tensor U como:
dev
S
1
S
S
T
S
U ≡
−
=
−
=
3
)
(
Tr
α (1.228)
Luego:
dev
esf
dev
S
S
S
1
S
S +
=
+
=
3
)
(
Tr
(1.229)
NOTA: Al tensor 1
S
S
3
)
(
Tr
=
esf
denominamos de tensor esférico y al tensor
1
S
S
S
3
)
(
Tr
−
=
dev
de tensor desviador. ■
Supongamos ahora que el tensor )
(
2
1 T
S
S
T +
= luego, podemos definir α como:
[ ]
[ ]
1
)
(
)
(
4
1
)
(
2
1
)
(
)
(
=
+
+
+
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
T
T
T
T
T
T
T
S
S
S
S
S
S
S
T
T
T
S
Tr
Tr
Tr
Tr
α (1.230)
Con eso podemos definir el tensor U como:

62
)
(
2
1
)
(
2
1 T
T
S
S
S
S
S
T
S
U −
=
+
−
=
−
= α (1.231)
Representando así el tensor S a través de la siguiente descomposición aditiva única como:
anti
sym
T
T
S
S
S
S
S
S
S +
=
−
+
+
= )
(
2
1
)
(
2
1
(1.232)
que es la misma obtenida en la descomposición aditiva de un tensor en una parte simétrica
y otra antisimétrica, ver expresión (1.148).
1.5.3.11 Derivada Temporal de Tensores
Asumamos que un tensor de segundo orden depende de un parámetro t , que es el tiempo.
Definimos la primera derivada temporal y la segunda derivada temporal del tensor T ,
respectivamente, por:
T
T
T
T &
&
& =
= 2
2
;
Dt
D
Dt
D
(1.233)
La derivada temporal del determinante de un tensor viene definida como:
( )
[ ] ( )
ij
ij
Dt
D
Dt
D
T
cof
T
det =
T (1.234)
donde ( )
ij
T
cof es el cofactor de ij
T y definido como ( )
[ ] ( )( )ij
T
ij
1
−
= T
T
det
T
cof .
1.5.3.12 Módulo de un Tensor
El módulo de un tensor, también conocido como Norma de Frobenius, viene dado a
continuación:
i
i v
v
=
= ⋅v
v
v
r
r
r
(vector) (1.235)
ij
ij T
T
=
= T
T
T : (tensor de segundo orden) (1.236)
ijk
ijk A
A
=
= ⋅A
A
A : (tensor de tercer orden) (1.237)
ijkl
ijkl C
C
=
= C
C
C :: (tensor de cuarto orden) (1.238)

1 TENSORES
63
1.5.4 Ley de Transformación de las Componentes de
Tensores
Las componentes de un tensor dependen del sistema de coordenadas, es decir, si cambia el
sistema de coordenadas debido a una rotación del sistema, las componentes también
cambiarán. Entre los sistemas de coordenadas, las componentes están relacionadas entre sí
a través de las leyes de transformación de base, Figura 1.20.
Figura 1.20: Leyes de transformación de base.
Consideremos el sistema de coordenadas cartesianas ( )
3
2
1 ,
, x
x
x representado por la base
ortonormal ( )
3
2
1
ˆ
,
ˆ
,
ˆ e
e
e , véase Figura 1.21. En este sistema, un vector arbitrario v
r
representamos a través de sus componentes como sigue:
3
3
2
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ e
e
e
e
v v
v
v
v +
+
=
= i
i
r
(1.239)
COMPONENTES
Representación del Tensor en
un Sistema de Coordenadas
SISTEMA DE
COORDENADAS
I
SISTEMA DE
COORDENADAS
II
LEYES
DE
TRANSFORMACIÓN
TENSORES
Interpretación matemática de conceptos físicos
(Independiente del sistema de coordenadas)

64
Figura 1.21: Transformación de coordenadas.
Representaremos sus componentes a través de una matriz columna, i.e.:










=
=
3
2
1
)
(
v
v
v
vi
i
v
r
(1.240)
Considerando ahora un nuevo sistema de coordenadas ortogonal ( )
3
2
1 ,
, x
x
x ′
′
′ , representado
por sus respectivos versores ( )
3
2
1
ˆ
,
ˆ
,
ˆ e
e
e ′
′
′ , como se muestra en la Figura 1.21, el vector v
r
será representado en este sistema como j
j e′
′ ˆ
v .
Como hemos mencionado anteriormente un vector, por ser un tensor, es independiente del
sistema adoptado, luego:
j
j
k
k e
e
v ˆ
ˆ v
v =
′
′
=
r
(1.241)
Para obtener las componentes según una dirección es suficiente hacer el producto escalar
por el versor correspondiente a esta dirección:
i
i
i
j
j
ki
k
i
j
j
i
k
k
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
′
+
+
=
′
′
=
′
′
=
′
′
′
⋅
⋅
⋅
⋅
ˆ
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
ˆ
3
3
2
2
1
1 v
v
v
v
v
v
v
v
δ (1.242)
o aún:










′
+
+
′
+
+
′
+
+
=










′
′
′
⋅
⋅
⋅
3
3
3
2
2
1
1
2
3
3
2
2
1
1
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
ˆ
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
ˆ
ˆ
(
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
(1.243)
2
x
1
x′
3
x
1
x
2
x′
3
x′
1
α
1
β
1
γ
2
ê
3
ê
1
ê
3
ê′ 1
ê′
2
ê′

1 TENSORES
65
Reestructurando la expresión anterior, obtenemos:




















′
′
′
′
′
′
′
′
′
=










′
′
′
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
3
2
1
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
3
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
v
v
v
v
v
v
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
(1.244)
o aún:
j
ij
i a v
v =
′ (1.245)
donde definimos la matriz de transformación de coordenadas ij
a
≡
A como:










′
′
′
′
′
′
′
′
′
=










′
′
′
′
′
′
′
′
′
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
≡
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
ij
a
A (1.246)
Considerando el producto escalar ( )
j
i
j
i
j
i x
x ,
cos
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ′
′
=
′ ⋅ e
e
e
e , ver ecuación (1.4), la
relación anterior será expresada a través de los cosenos directores por:
{
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) {
v
v




















′
′
′
′
′
′
′
′
′
=










′
′
′
′
3
2
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3
2
1
,
cos
,
cos
,
cos
,
cos
,
cos
,
cos
,
cos
,
cos
,
cos
v
v
v
v
v
v
4
4
4
4
4
4
4 3
4
4
4
4
4
4
4 2
1
A
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
v A
=
′
(1.247)
En la Figura 1.21, ( )
1
1
1 ,
cos
cos x
x′
=
α , ( )
2
1
1 ,
cos
cos x
x′
=
β y ( )
3
1
1 ,
cos
cos x
x′
=
γ .
Observemos que esta matriz es no simétrica T
A
A ≠ , y será representada explícitamente
por:










=
≡
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aij A (1.248)
La inversa de la ecuación (1.245) será:
v
v ′
=
′
=
′
=
′
′
= ⋅
⋅
T
ji
j
i
ji
j
ki
k
i
j
j
i
k
k
a
a
A
v
v
v
v
v
v
δ
e
e
e
e ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(1.249)
También podemos decir que:
j
ji
i a e
e ′
= ˆ
ˆ (1.250)
La inversa de la relación (1.247) viene dada por:
v
v ′
= −1
A (1.251)
Comparando las relaciones (1.251) y (1.249), concluimos que la matriz A es una matriz
ortogonal, es decir:

66
ij
kj
ki
T
T
a
a δ
=


 →

=
⇒
=
− Indicial
Notación
1
1
A
A
A
A (1.252)
Tensor de segundo orden
Consideremos un sistema de coordenadas representado por su base ortonormal i
ê luego,
el cambio de base para un nuevo sistema representado por su base ortonormal i
e′
ˆ será
dado por la ley de transformación: i
ik
k a e
e ′
= ˆ
ˆ . Consideremos ahora la representación de
un tensor de segundo orden T de forma simbólica:
j
i
ij
j
i
jl
ik
kl
j
jl
i
ik
kl
l
k
kl
a
a
a
a
e
e
e
e
e
e
e
e
T
′
⊗
′
′
=
′
⊗
′
=
′
⊗
′
=
⊗
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
T
T
T
T
(1.253)
Resultando que la transformación de base para las componentes de tensores de segundo
será:
jl
ik
kl
ij a
a
T
T =
′ (1.254)
Tensor de tercer orden
Consideremos ahora un tensor de tercer orden S representado en la base i
ê :
k
j
i
ijk
k
j
i
kn
jm
il
lmn
k
kn
j
jm
i
il
lmn
n
m
l
lmn
a
a
a
a
a
a
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
S
′
⊗
′
⊗
′
′
=
′
⊗
′
⊗
′
=
′
⊗
′
⊗
′
=
⊗
⊗
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
S
S
S
S
(1.255)
concluyendo que las componentes del tensor de tercer orden en la nueva base i
e′
ˆ serán:
kn
jm
il
lmn
ijk a
a
a
S
S =
′ (1.256)
En forma general, las transformaciones de coordenadas de las componentes de tensores de
primer, segundo, tercer y cuarto orden serán dadas respectivamente por:
orden de ( ) ( )
3
2
1
3
2
1 ,
,
,
, x
x
x
x
x
x a
′
′
′
→
 de ( ) ( )
3
2
1
3
2
1 ,
,
,
, x
x
x
x
x
x a
→

′
′
′
0 (escalar) λ
=
λ′ λ′
=
λ
1 (vector) j
ij
i S
a
S =
′ j
ji
i S
a
S ′
=
2 kl
jl
ik
ij S
a
a
S =
′ kl
lj
ki
ij S
a
a
S ′
=
3 lmn
kn
jm
il
ijk S
a
a
a
S =
′ lmn
nk
mj
li
ijk S
a
a
a
S ′
=
4 mnpq
lq
kp
jn
im
ijkl S
a
a
a
a
S =
′ mnpq
ql
pk
nj
mi
ijkl S
a
a
a
a
S ′
=
(1.257)

1 TENSORES
67
Ejemplo 1.26: Obtener las componentes de la siguiente operación:
T
A
T
A
T ⋅
⋅
=
′
donde ij
T y ij
a son las componentes de los tensores T y A , respectivamente.
Si ij
a son las componentes de la matriz de transformación de base, hacer también la
representación de las componentes de los tensores T y T′ en sus respectivos sistemas.
Solución: La expresión T
A
T
A
T ⋅
⋅
=
′ en notación simbólica queda:
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
k
r
kq
pq
rp
k
r
ql
sp
kl
pq
rs
k
l
kl
q
p
pq
s
r
rs
b
a
ab
a
a
a
a
a
a
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
⊗
=
⊗
=
⊗
⊗
⊗
=
⊗
′ ⋅
⋅
T
T
T
T
δ
δ
Para obtener las componentes de T′ es suficiente hacer el doble producto escalar
por la base )
ˆ
ˆ
( j
i e
e ⊗ , resultando:
jq
pq
ip
ij
kj
ri
kq
pq
rp
bj
ai
ab
j
i
k
r
kq
pq
rp
j
i
b
a
ab
a
a
a
a
a
a
T
T
T
T
T
T
=
′
=
′
⊗
⊗
=
⊗
⊗
′
δ
δ
δ
δ
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
ˆ
( e
e
e
e
e
e
e
e :
:
Observemos que esta operación viene representada en forma matricial como:
T
A
T
A
T =
′
Si A es la matriz de transformación de base se cumple que 1
−
= A
AT
luego, se
cumple que A
T
A
T ′
= T
, y la representación de las componentes se muestran
en la Figura abajo:
Figura 1.22: Ley de transformación de base.
Ejemplo 1.27: Probar que ii
I T
=
T es un invariante bajo un cambio de base.
1
x′
2
x
3
x
11
T
21
T
31
T
12
T
32
T
22
T
33
T
13
T
23
T
3
x′
2
x′
1
x
11
T′ 21
T′
31
T′ 12
T′
32
T′ 22
T′
33
T′
13
T′
23
T′
T
A
T
A
T =
′
A
T
A
T ′
= T

68
Solución: Considerando la ley de transformación para un tensor de segundo orden dado por
(1.257), podemos decir que: kl
jl
ik
ij a
a T
T =
′ . Luego, ii
T′ vendrá dado por:
T
I
a
a kk
kl
kl
kl
il
ik
ii =
=
=
=
′ T
T
T
T δ
Lo que demuestra que T
I es un invariante.
Consideremos ahora cuatro sistemas de coordenadas ( )
3
2
1 ,
, x
x
x , ( )
3
2
1 ,
, x
x
x ′
′
′ , ( )
3
2
1 ,
, x
x
x ′
′
′
′
′
′ y
( )
3
2
1 ,
, x
x
x ′
′
′
′
′
′
′
′
′ y así como las siguientes matrices de transformación, ver Figura 1.23:
A : matriz de transformación del sistema ( )
3
2
1 ,
, x
x
x al sistema ( )
3
2
1 ,
, x
x
x ′
′
′ ;
B : matriz de transformación del sistema ( )
3
2
1 ,
, x
x
x ′
′
′ al sistema ( )
3
2
1 ,
, x
x
x ′
′
′
′
′
′ ;
C : matriz de transformación del sistema ( )
3
2
1 ,
, x
x
x ′
′
′
′
′
′ al sistema ( )
3
2
1 ,
, x
x
x ′
′
′
′
′
′
′
′
′ .
Figura 1.23: Matrices de transformación entre sistemas.
Si consideramos una matriz columna v formada por las componentes del tensor de orden
uno v
r
en el sistema ( )
3
2
1 ,
, x
x
x y las matrices de transformación A , B , C , podemos
decir que las componentes de este vector en el sistema ( )
3
2
1 ,
, x
x
x ′
′
′ serán:
v
v A
=
′ (1.258)
y su forma inversa
v
v ′
= T
A (1.259)
Las componentes de este vector en el sistema ( )
3
2
1 ,
, x
x
x ′
′
′
′
′
′ son:
v
v ′
=
′
′ B (1.260)
y su forma inversa:
v
v ′
′
=
′ T
B (1.261)
Reemplazando la ecuación (1.258) en la ecuación (1.260) hallamos:
v
v BA
=
′
′ (1.262)
X′
X ′
′
X
B
T
B
B =
−1
A
T
A
A =
−1
T
T
B
A
BA
X ′
′
′
T
T
T
C
B
A
CBA
T
C
C =
−1
C

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